Bentuk akar-akar persamaan kuadrat. Kalkulator daring

Saya berharap setelah mempelajari artikel ini Anda dapat mempelajari cara mencari akar-akar persamaan kuadrat lengkap.

Dengan menggunakan diskriminan, hanya persamaan kuadrat lengkap yang diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap, metode lain digunakan, yang dapat Anda temukan di artikel “Menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap.”

Persamaan kuadrat apa yang disebut lengkap? Ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, dimana koefisien a, b dan c tidak sama dengan nol. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, kita perlu menghitung diskriminan D.

D = b 2 – 4ac.

Tergantung pada nilai diskriminannya, kami akan menuliskan jawabannya.

Jika diskriminannya adalah bilangan negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminannya nol, maka x = (-b)/2a. Jika diskriminannya adalah bilangan positif (D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Misalnya. Selesaikan persamaannya x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawaban: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawaban: tidak ada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawaban: – 3,5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadrat lengkap menggunakan diagram pada Gambar 1.

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun. Anda hanya perlu berhati-hati persamaan ditulis sebagai polinomial dari bentuk standar

A x 2 + bx + c, jika tidak, Anda mungkin membuat kesalahan. Misalnya, saat menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, Anda mungkin salah menentukannya

a = 1, b = 3 dan c = 2. Maka

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan persamaan tersebut mempunyai dua akar. Dan ini tidak benar. (Lihat solusi contoh 2 di atas).

Oleh karena itu, jika persamaan tersebut tidak ditulis sebagai polinomial bentuk standar, maka persamaan kuadrat lengkap harus ditulis terlebih dahulu sebagai polinomial bentuk standar (monomial dengan eksponen terbesar harus didahulukan, yaitu A x 2 , lalu dengan lebih sedikit – bx dan kemudian menjadi anggota gratis Dengan.

Saat menyelesaikan persamaan kuadrat tereduksi dan persamaan kuadrat dengan koefisien genap pada suku kedua, Anda dapat menggunakan rumus lain. Mari berkenalan dengan rumus-rumus ini. Jika dalam persamaan kuadrat lengkap koefisien pada suku kedua genap (b = 2k), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan menggunakan rumus yang diberikan pada diagram pada Gambar 2.

Persamaan kuadrat lengkap disebut tereduksi jika koefisiennya di x 2 sama dengan satu dan persamaannya berbentuk x 2 + piksel + q = 0. Persamaan seperti itu dapat diberikan untuk penyelesaian, atau dapat diperoleh dengan membagi semua koefisien persamaan dengan koefisiennya A, berdiri di x 2 .

Gambar 3 menunjukkan diagram penyelesaian kuadrat tereduksi
persamaan. Mari kita lihat contoh penerapan rumus yang dibahas pada artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaannya

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari selesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram di Gambar 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3

Terlihat bahwa koefisien x pada persamaan ini adalah bilangan genap, yaitu b = 6 atau b = 2k, maka k = 3. Kemudian mari kita coba menyelesaikan persamaan tersebut menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram gambar D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3. Perhatikan bahwa semua koefisien dalam persamaan kuadrat ini habis dibagi 3 dan dengan melakukan pembagian tersebut, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan rumus kuadrat tereduksi
persamaan gambar 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang Anda lihat, saat menyelesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang berbeda, kami mendapatkan jawaban yang sama. Oleh karena itu, setelah menguasai rumus-rumus yang ditunjukkan pada diagram pada Gambar 1 secara menyeluruh, Anda akan selalu dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Topik ini mungkin tampak rumit pada awalnya karena banyaknya rumus yang tidak terlalu sederhana. Persamaan kuadrat itu sendiri tidak hanya memiliki notasi yang panjang, tetapi akar-akarnya juga ditemukan melalui diskriminan. Total diperoleh tiga formula baru. Tidak terlalu mudah untuk diingat. Hal ini hanya mungkin terjadi setelah sering menyelesaikan persamaan tersebut. Maka semua rumus itu akan teringat dengan sendirinya.

Pandangan umum tentang persamaan kuadrat

Di sini kami mengusulkan pencatatan eksplisitnya, ketika derajat terbesar ditulis terlebih dahulu, dan kemudian dalam urutan menurun. Seringkali ada situasi ketika persyaratannya tidak konsisten. Maka lebih baik menulis ulang persamaan tersebut dalam urutan derajat variabelnya.

Mari kita perkenalkan beberapa notasi. Mereka disajikan pada tabel di bawah ini.

Jika kita menerima notasi ini, semua persamaan kuadrat direduksi menjadi notasi berikut.

Selain itu, koefisien a ≠ 0. Biarkan rumus ini ditetapkan sebagai nomor satu.

Ketika suatu persamaan diberikan, tidak jelas berapa banyak akar yang ada pada jawabannya. Karena salah satu dari tiga pilihan selalu memungkinkan:

solusinya akan memiliki dua akar;
jawabannya adalah satu angka;
persamaan tersebut tidak mempunyai akar sama sekali.

Dan sampai keputusan tersebut final, sulit untuk memahami pilihan mana yang akan muncul dalam kasus tertentu.

Jenis pencatatan persamaan kuadrat

Mungkin ada entri berbeda dalam tugas. Rumus tersebut tidak selalu terlihat seperti rumus persamaan kuadrat pada umumnya. Terkadang ada beberapa istilah yang hilang. Apa yang ditulis di atas adalah persamaan lengkapnya. Jika Anda menghapus suku kedua atau ketiga di dalamnya, Anda mendapatkan sesuatu yang lain. Catatan ini disebut juga persamaan kuadrat, hanya saja tidak lengkap.

Selain itu, hanya suku dengan koefisien “b” dan “c” yang dapat hilang. Angka "a" tidak boleh sama dengan nol dalam keadaan apapun. Karena dalam hal ini rumusnya berubah menjadi persamaan linier. Rumus bentuk persamaan tidak lengkap adalah sebagai berikut:

Jadi, jenisnya hanya ada dua, selain persamaan kuadrat lengkap juga ada persamaan kuadrat tidak lengkap. Biarkan rumus pertama menjadi nomor dua, dan rumus kedua menjadi nomor tiga.

Diskriminan dan ketergantungan jumlah akar pada nilainya

Anda perlu mengetahui angka ini untuk menghitung akar persamaan. Itu selalu bisa dihitung, apa pun rumus persamaan kuadratnya. Untuk menghitung diskriminan, Anda perlu menggunakan persamaan yang tertulis di bawah ini, yang memiliki angka empat.

Setelah mensubstitusi nilai koefisien ke dalam rumus ini, Anda bisa mendapatkan angka dengan tanda berbeda. Jika jawabannya ya, maka jawaban persamaannya adalah dua akar yang berbeda. Jika bilangannya negatif, maka tidak ada akar persamaan kuadratnya. Jika sama dengan nol, maka hanya ada satu jawaban.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap?

Sebenarnya, pertimbangan masalah ini sudah dimulai. Karena pertama-tama Anda perlu menemukan diskriminan. Setelah diketahui akar-akar persamaan kuadratnya, dan diketahui jumlahnya, maka perlu menggunakan rumus-rumus variabelnya. Jika ada dua akar, maka Anda perlu menerapkan rumus berikut.

Karena mengandung tanda “±”, maka akan ada dua arti. Ekspresi di bawah tanda akar kuadrat adalah diskriminan. Oleh karena itu, rumusnya dapat ditulis ulang secara berbeda.

Rumus nomor lima. Dari catatan yang sama terlihat jelas bahwa jika diskriminan sama dengan nol, maka kedua akar akan bernilai sama.

Jika penyelesaian persamaan kuadrat belum berhasil, maka lebih baik menuliskan nilai semua koefisien sebelum menerapkan rumus diskriminan dan variabel. Nantinya momen ini tidak akan menimbulkan kesulitan. Namun pada awalnya terjadi kebingungan.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap?

Semuanya jauh lebih sederhana di sini. Bahkan tidak diperlukan formula tambahan. Dan hal-hal yang telah ditulis untuk yang diskriminan dan tidak diketahui tidak akan diperlukan.

Pertama, mari kita lihat persamaan nomor dua yang tidak lengkap. Dalam persamaan ini, besaran yang tidak diketahui perlu dikeluarkan dari tanda kurung dan menyelesaikan persamaan linier yang akan tetap berada dalam tanda kurung. Jawabannya akan memiliki dua akar. Yang pertama harus sama dengan nol, karena ada pengali yang terdiri dari variabel itu sendiri. Yang kedua akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan linier.

Persamaan tak lengkap nomor tiga diselesaikan dengan memindahkan bilangan dari ruas kiri persamaan ke kanan. Maka Anda perlu membaginya dengan koefisien yang menghadap ke yang tidak diketahui. Yang tersisa hanyalah mengekstrak akar kuadrat dan ingat untuk menuliskannya dua kali dengan tanda yang berlawanan.

Berikut adalah beberapa tindakan yang akan membantu Anda mempelajari cara menyelesaikan semua jenis persamaan yang berubah menjadi persamaan kuadrat. Mereka akan membantu siswa untuk menghindari kesalahan karena kurangnya perhatian. Kekurangan ini menyebabkan nilai buruk ketika mempelajari topik ekstensif “Persamaan Kuadrat (Kelas 8).” Selanjutnya, tindakan ini tidak perlu dilakukan terus-menerus. Karena akan muncul skill yang stabil.

Pertama, Anda perlu menulis persamaan dalam bentuk standar. Yaitu, suku pertama dengan derajat variabel terbesar, dan kemudian - tanpa derajat, dan terakhir - hanya angka.

Jika tanda minus muncul sebelum koefisien “a”, hal ini dapat mempersulit pekerjaan bagi pemula yang mempelajari persamaan kuadrat. Lebih baik menyingkirkannya. Untuk tujuan ini, semua persamaan harus dikalikan dengan “-1”. Artinya semua suku akan berubah tanda menjadi sebaliknya.

Disarankan untuk menghilangkan pecahan dengan cara yang sama. Kalikan saja persamaan tersebut dengan faktor yang sesuai sehingga penyebutnya hilang.

Contoh

Diperlukan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat berikut:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Persamaan pertama: x 2 − 7x = 0. Persamaan tersebut tidak lengkap, oleh karena itu diselesaikan seperti yang dijelaskan pada rumus nomor dua.

Setelah dikeluarkan dari tanda kurung, ternyata: x (x - 7) = 0.

Akar pertama bernilai: x 1 = 0. Akar kedua dicari dari persamaan linier: x - 7 = 0. Sangat mudah untuk melihat bahwa x 2 = 7.

Persamaan kedua: 5x 2 + 30 = 0. Sekali lagi tidak lengkap. Hanya itu yang diselesaikan seperti yang dijelaskan untuk rumus ketiga.

Setelah memindahkan 30 ke ruas kanan persamaan: 5x 2 = 30. Sekarang kita perlu membaginya dengan 5. Ternyata: x 2 = 6. Jawabannya adalah bilangan: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Persamaan ketiga: 15 − 2x − x 2 = 0. Selanjutnya, penyelesaian persamaan kuadrat akan dimulai dengan menulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk standar: − x 2 − 2x + 15 = 0. Sekarang saatnya menggunakan tip berguna kedua dan mengalikan semuanya dengan dikurangi satu. Ternyata x 2 + 2x - 15 = 0. Dengan menggunakan rumus keempat, Anda perlu menghitung diskriminan: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Itu bilangan positif. Dari uraian di atas ternyata persamaan tersebut mempunyai dua akar. Mereka perlu dihitung menggunakan rumus kelima. Ternyata x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Maka x 1 = 3, x 2 = - 5.

Persamaan keempat x 2 + 8 + 3x = 0 diubah menjadi: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminannya sama dengan nilai ini: -23. Karena bilangan ini negatif, maka jawaban untuk tugas ini adalah entri berikut: “Tidak ada akar.”

Persamaan kelima 12x + x 2 + 36 = 0 ditulis ulang sebagai berikut: x 2 + 12x + 36 = 0. Setelah menerapkan rumus diskriminan, diperoleh bilangan nol. Artinya mempunyai satu akar yaitu: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Persamaan keenam (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) memerlukan transformasi, yang terdiri dari fakta bahwa Anda perlu membawa suku-suku serupa, terlebih dahulu membuka tanda kurung. Ekspresi berikut akan menggantikan persamaan pertama: x 2 + 2x + 1. Setelah persamaan, entri berikut akan muncul: x 2 + 3x + 2. Setelah suku-suku serupa dihitung, persamaannya akan berbentuk: x 2 - x = 0. Menjadi tidak lengkap. Hal serupa telah dibahas sedikit lebih tinggi. Akarnya adalah angka 0 dan 1.

Melanjutkan topik “Menyelesaikan Persamaan”, materi pada artikel ini akan mengenalkan Anda pada persamaan kuadrat.

Mari kita lihat semuanya secara detail: esensi dan notasi persamaan kuadrat, definisikan suku-suku yang menyertainya, analisis skema penyelesaian persamaan tidak lengkap dan lengkap, kenali rumus akar dan diskriminan, jalin hubungan antara akar dan koefisien, dan tentunya kami akan memberikan solusi visual melalui contoh praktis.

Yandex.RTB RA-339285-1

Persamaan kuadrat, jenis-jenisnya

Definisi 1

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang ditulis sebagai ax 2 + bx + c = 0, Di mana X– variabel, a , b dan C– beberapa nomor, sementara A tidak nol.

Persamaan kuadrat sering disebut juga persamaan derajat kedua, karena pada hakikatnya persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar derajat kedua.

Mari kita beri contoh untuk mengilustrasikan definisi yang diberikan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, dst. Ini adalah persamaan kuadrat.

Definisi 2

Angka a, b dan C adalah koefisien persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, sedangkan koefisiennya A disebut koefisien pertama, atau senior, atau pada x 2, b - koefisien kedua, atau koefisien pada X, A C disebut anggota bebas.

Misalnya pada persamaan kuadrat 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 koefisien terdepan adalah 6, koefisien kedua adalah − 2 , dan suku bebasnya sama dengan − 11 . Mari kita perhatikan fakta bahwa ketika koefisien B dan/atau c negatif, maka digunakan bentuk pendek 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, bukan 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Mari kita perjelas juga aspek ini: jika koefisien A dan/atau B setara 1 atau − 1 , maka mereka tidak boleh mengambil bagian secara eksplisit dalam penulisan persamaan kuadrat, yang dijelaskan oleh kekhasan penulisan koefisien numerik yang ditunjukkan. Misalnya pada persamaan kuadrat kamu 2 − kamu + 7 = 0 koefisien terdepan adalah 1, dan koefisien kedua adalah − 1 .

Persamaan kuadrat tereduksi dan tidak tereduksi

Berdasarkan nilai koefisien pertama, persamaan kuadrat dibedakan menjadi tereduksi dan tidak tereduksi.

Definisi 3

Persamaan kuadrat tereduksi adalah persamaan kuadrat yang koefisien utamanya adalah 1. Untuk nilai koefisien terdepan lainnya, persamaan kuadrat tidak tereduksi.

Mari kita beri contoh: persamaan kuadrat x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 dikurangi, yang masing-masing koefisien utamanya adalah 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- persamaan kuadrat tak tereduksi yang koefisien pertamanya berbeda 1 .

Persamaan kuadrat tak tereduksi apa pun dapat diubah menjadi persamaan tereduksi dengan membagi kedua ruasnya dengan koefisien pertama (transformasi ekuivalen). Persamaan yang ditransformasikan akan memiliki akar-akar yang sama dengan persamaan tak tereduksi yang diberikan atau juga tidak memiliki akar sama sekali.

Pertimbangan contoh spesifik akan memungkinkan kita untuk dengan jelas menunjukkan transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan tereduksi.

Contoh 1

Diketahui persamaan 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Persamaan asli perlu diubah menjadi bentuk tereduksi.

Larutan

Berdasarkan skema di atas, kita membagi kedua ruas persamaan awal dengan koefisien utama 6. Kemudian kita mendapatkan: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, dan ini sama dengan: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 dan selanjutnya: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Dari sini: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Dengan demikian, diperoleh persamaan yang setara dengan persamaan yang diberikan.

Menjawab: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Mari kita beralih ke definisi persamaan kuadrat. Di dalamnya kami menetapkan hal itu sebuah ≠ 0. Kondisi serupa diperlukan untuk persamaan tersebut ax 2 + bx + c = 0 tepatnya persegi, sejak di sebuah = 0 itu pada dasarnya berubah menjadi persamaan linier bx + c = 0.

Dalam kasus ketika koefisien B Dan C sama dengan nol (yang mungkin terjadi baik sendiri-sendiri maupun bersama-sama), persamaan kuadrat tersebut disebut tidak lengkap.

Definisi 4

Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan kuadrat seperti itu ax 2 + bx + c = 0, di mana setidaknya salah satu koefisien B Dan C(atau keduanya) adalah nol.

Persamaan kuadrat lengkap– persamaan kuadrat yang semua koefisien numeriknya tidak sama dengan nol.

Mari kita bahas mengapa jenis persamaan kuadrat diberi nama seperti ini.

Jika b = 0, persamaan kuadratnya berbentuk a x 2 + 0 x + c = 0, yang sama dengan a x 2 + c = 0. Pada c = 0 persamaan kuadrat ditulis sebagai ax 2 + bx + 0 = 0, yang setara ax 2 + bx = 0. Pada b = 0 Dan c = 0 persamaannya akan berbentuk a x 2 = 0. Persamaan yang kita peroleh berbeda dengan persamaan kuadrat lengkap karena ruas kirinya tidak memuat suku dengan variabel x, suku bebas, atau keduanya. Sebenarnya, fakta ini memberi nama pada persamaan jenis ini – tidak lengkap.

Misalnya, x 2 + 3 x + 4 = 0 dan − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 adalah persamaan kuadrat lengkap; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – persamaan kuadrat tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap

Definisi yang diberikan di atas memungkinkan kita untuk membedakan jenis persamaan kuadrat tidak lengkap berikut ini:

a x 2 = 0, persamaan ini sesuai dengan koefisien b = 0 dan c = 0 ;
a · x 2 + c = 0 pada b = 0 ;
a · x 2 + b · x = 0 pada c = 0.

Mari kita perhatikan secara berurutan penyelesaian setiap jenis persamaan kuadrat tidak lengkap.

Penyelesaian persamaan a x 2 =0

Seperti disebutkan di atas, persamaan ini berhubungan dengan koefisien B Dan C, sama dengan nol. Persamaan a x 2 = 0 dapat diubah menjadi persamaan ekuivalen x 2 = 0, yang kita peroleh dengan membagi kedua ruas persamaan awal dengan angka A, tidak sama dengan nol. Fakta yang jelas adalah akar persamaannya x 2 = 0 ini nol karena 0 2 = 0 . Persamaan ini tidak memiliki akar lain, yang dapat dijelaskan dengan sifat-sifat derajat: untuk bilangan berapa pun P, tidak sama dengan nol, pertidaksamaan tersebut benar hal 2 > 0, yang kemudian diikuti oleh kapan hal ≠ 0 persamaan hal 2 = 0 tidak akan pernah tercapai.

Definisi 5

Jadi, untuk persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 = 0 terdapat akar tunggal x = 0.

Contoh 2

Misalnya, mari kita selesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap − 3 x 2 = 0. Ini setara dengan persamaan x 2 = 0, satu-satunya akarnya adalah x = 0, maka persamaan aslinya memiliki akar tunggal - nol.

Secara singkat solusinya ditulis sebagai berikut:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Menyelesaikan persamaan ax 2 + c = 0

Baris berikutnya adalah penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap, dimana b = 0, c ≠ 0, yaitu persamaan bentuk a x 2 + c = 0. Mari kita transformasikan persamaan ini dengan memindahkan suatu suku dari satu ruas persamaan ke ruas lainnya, mengubah tandanya ke ruas yang berlawanan, dan membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang tidak sama dengan nol:

transfer C ke sisi kanan, yang memberikan persamaan a x 2 = − c;
bagi kedua ruas persamaan dengan A, kita mendapatkan x = - c a .

Transformasi kita ekuivalen; oleh karena itu, persamaan yang dihasilkan juga ekuivalen dengan persamaan aslinya, dan fakta ini memungkinkan kita menarik kesimpulan tentang akar-akar persamaan tersebut. Dari apa nilai-nilainya A Dan C nilai ekspresi - c a bergantung: dapat memiliki tanda minus (misalnya, jika sebuah = 1 Dan c = 2, maka - c a = - 2 1 = - 2) atau tanda tambah (misalnya, jika Sebuah = − 2 Dan c = 6, maka - c a = - 6 - 2 = 3); itu bukan nol karena c ≠ 0. Mari kita membahas lebih detail situasi ketika - c a< 0 и - c a > 0 .

Dalam kasus ketika - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P persamaan p 2 = - c a tidak mungkin benar.

Semuanya berbeda ketika - c a > 0: ingat akar kuadrat, dan akan menjadi jelas bahwa akar persamaan x 2 = - c a akan menjadi bilangan - c a, karena - c a 2 = - c a. Tidak sulit untuk memahami bahwa bilangan - - c a juga merupakan akar persamaan x 2 = - c a: memang, - - c a 2 = - c a.

Persamaannya tidak akan memiliki akar lain. Kita dapat mendemonstrasikannya dengan menggunakan metode kontradiksi. Untuk memulainya, mari kita definisikan notasi untuk akar-akar yang ditemukan di atas sebagai x 1 Dan − x 1. Misalkan persamaan x 2 = - c a juga mempunyai akar x 2, yang berbeda dari akarnya x 1 Dan − x 1. Kita mengetahuinya dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan X akar-akarnya, kita ubah persamaan tersebut menjadi persamaan numerik yang adil.

Untuk x 1 Dan − x 1 kita menulis: x 1 2 = - c a , dan untuk x 2- x 2 2 = - c a . Berdasarkan sifat-sifat persamaan numerik, kita mengurangkan satu suku demi suku persamaan yang benar dari persamaan lainnya, sehingga diperoleh: x 1 2 − x 2 2 = 0. Kami menggunakan properti operasi dengan angka untuk menulis ulang persamaan terakhir sebagai (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Diketahui hasil kali dua bilangan adalah nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satu bilangan tersebut adalah nol. Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa x 1 − x 2 = 0 dan/atau x 1 + x 2 = 0, yang sama x 2 = x 1 dan/atau x 2 = − x 1. Kontradiksi yang nyata muncul, karena pada mulanya disepakati akar persamaan x 2 berbeda dari x 1 Dan − x 1. Jadi, kita telah membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar-akar selain x = - c a dan x = - - c a.

Mari kita rangkum semua argumen di atas.

Definisi 6

Persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + c = 0 setara dengan persamaan x 2 = - c a, yang:

tidak akan berakar pada - c a< 0 ;
akan memiliki dua akar x = - c a dan x = - - c a untuk - c a > 0.

Mari kita berikan contoh penyelesaian persamaan a x 2 + c = 0.

Contoh 3

Diberikan persamaan kuadrat 9 x 2 + 7 = 0. Solusinya perlu dicari.

Larutan

Mari kita pindahkan suku bebasnya ke ruas kanan persamaan, maka persamaan tersebut akan berbentuk 9 x 2 = − 7.
Mari kita bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan 9 , kita sampai pada x 2 = - 7 9 . Di sebelah kanan kita melihat angka dengan tanda minus yang artinya: persamaan yang diberikan tidak memiliki akar. Kemudian persamaan kuadrat tidak lengkap yang asli 9 x 2 + 7 = 0 tidak akan mempunyai akar.

Menjawab: persamaan 9 x 2 + 7 = 0 tidak memiliki akar.

Contoh 4

Persamaan tersebut perlu diselesaikan − x 2 + 36 = 0.

Larutan

Mari kita pindahkan 36 ke sisi kanan: − x 2 = − 36.
Mari kita bagi kedua bagiannya − 1 , kita dapatkan x 2 = 36. Di sebelah kanan ada bilangan positif, dari situ kita dapat menyimpulkannya x = 36 atau x = - 36 .
Mari kita ekstrak akarnya dan tuliskan hasil akhirnya: persamaan kuadrat tidak lengkap − x 2 + 36 = 0 mempunyai dua akar x = 6 atau x = − 6.

Menjawab: x = 6 atau x = − 6.

Penyelesaian persamaan a x 2 +b x=0

Mari kita analisis persamaan kuadrat tidak lengkap jenis ketiga, kapan c = 0. Untuk menemukan solusi persamaan kuadrat tidak lengkap ax 2 + bx = 0, kita akan menggunakan metode faktorisasi. Mari kita faktorkan polinomial yang ada di sisi kiri persamaan, keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung X. Langkah ini akan memungkinkan untuk mengubah persamaan kuadrat tidak lengkap asli menjadi persamaannya x (a x + b) = 0. Dan persamaan ini, pada gilirannya, setara dengan sekumpulan persamaan x = 0 Dan a x + b = 0. Persamaan a x + b = 0 linier, dan akarnya: x = − b a.

Definisi 7

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap ax 2 + bx = 0 akan memiliki dua akar x = 0 Dan x = − b a.

Mari kita perkuat materi dengan sebuah contoh.

Contoh 5

Perlu dicari penyelesaian persamaan 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Larutan

Kami akan mengeluarkannya X di luar tanda kurung kita mendapatkan persamaan x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Persamaan ini setara dengan persamaan x = 0 dan 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sekarang Anda harus menyelesaikan persamaan linier yang dihasilkan: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Tuliskan secara singkat penyelesaian persamaan tersebut sebagai berikut:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau x = 3 3 7

Menjawab: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminan, rumus akar-akar persamaan kuadrat

Untuk mencari solusi persamaan kuadrat, ada rumus akar:

Definisi 8

x = - b ± D 2 · a, dimana D = b 2 − 4 a c– yang disebut diskriminan persamaan kuadrat.

Penulisan x = - b ± D 2 · a pada dasarnya berarti x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Akan berguna untuk memahami bagaimana rumus ini diturunkan dan bagaimana menerapkannya.

Penurunan rumus akar-akar persamaan kuadrat

Mari kita dihadapkan pada tugas menyelesaikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0. Mari kita lakukan sejumlah transformasi yang setara:

membagi kedua ruas persamaan dengan angka A, berbeda dengan nol, kita peroleh persamaan kuadrat berikut: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Mari kita pilih kuadrat lengkap di sisi kiri persamaan yang dihasilkan:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Setelah itu, persamaannya akan berbentuk: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Sekarang kita bisa memindahkan dua suku terakhir ke ruas kanan, mengubah tandanya menjadi kebalikannya, setelah itu kita mendapatkan: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Terakhir, kami mengubah ekspresi yang ditulis di sisi kanan persamaan terakhir:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Jadi, kita sampai pada persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekuivalen dengan persamaan awal ax 2 + bx + c = 0.

Kami memeriksa solusi persamaan tersebut di paragraf sebelumnya (menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap). Pengalaman yang diperoleh memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan mengenai akar-akar persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

dengan b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
bila b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 persamaannya adalah x + b 2 · a 2 = 0, maka x + b 2 · a = 0.

Dari sini satu-satunya akar x = - b 2 · a sudah jelas;

untuk b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, yang berikut ini benar: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 atau x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , sama dengan x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 atau x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , mis. persamaan tersebut memiliki dua akar.

Dapat disimpulkan bahwa ada tidaknya akar-akar persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (dan oleh karena itu persamaan aslinya) bergantung pada tanda ekspresi b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ditulis di sebelah kanan. Dan tanda ungkapan ini diberikan dengan tanda pembilangnya (penyebut 4 dan 2 akan selalu positif), yaitu tanda ekspresi b 2 − 4 a c. Ekspresi ini b 2 − 4 a c nama yang diberikan adalah diskriminan persamaan kuadrat dan huruf D didefinisikan sebagai sebutannya. Di sini Anda dapat menuliskan esensi diskriminan - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka dapat menyimpulkan apakah persamaan kuadrat akan memiliki akar real, dan, jika ya, berapa jumlah akarnya - satu atau dua.

Mari kita kembali ke persamaan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Mari kita tulis ulang menggunakan notasi diskriminan: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Mari kita rumuskan kembali kesimpulan kita:

Definisi 9

pada D< 0 persamaan tersebut tidak memiliki akar real;
pada D=0 persamaan tersebut mempunyai akar tunggal x = - b 2 · a ;
pada D > 0 persamaan mempunyai dua akar: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 atau x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Berdasarkan sifat-sifat radikal, akar-akar tersebut dapat ditulis dalam bentuk: x = - b 2 · a + D 2 · a atau - b 2 · a - D 2 · a. Dan, ketika kita membuka modul dan membawa pecahan ke penyebut yang sama, kita mendapatkan: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Jadi, hasil pemikiran kami adalah turunan rumus akar-akar persamaan kuadrat:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminan D dihitung dengan rumus D = b 2 − 4 a c.

Rumus ini memungkinkan untuk menentukan kedua akar real ketika diskriminannya lebih besar dari nol. Jika diskriminan sama dengan nol, penerapan kedua rumus akan menghasilkan akar yang sama dengan satu-satunya solusi persamaan kuadrat. Dalam kasus di mana diskriminannya negatif, jika kita mencoba menggunakan rumus akar kuadrat, kita akan dihadapkan pada kebutuhan untuk mengambil akar kuadrat dari suatu bilangan negatif, yang akan membawa kita keluar dari lingkup bilangan real. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak akan memiliki akar nyata, tetapi sepasang akar konjugasi kompleks dimungkinkan, ditentukan oleh rumus akar yang sama dengan yang kita peroleh.

Algoritma penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan segera menggunakan rumus akar, tetapi hal ini umumnya dilakukan jika diperlukan untuk mencari akar kompleks.

Dalam sebagian besar kasus, ini biasanya berarti mencari bukan akar persamaan kuadrat yang kompleks, melainkan akar riil. Maka sebaiknya, sebelum menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, tentukan dulu diskriminannya dan pastikan tidak negatif (jika tidak kita akan menyimpulkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar real), lalu lanjutkan menghitung nilai akarnya.

Alasan di atas memungkinkan untuk merumuskan algoritma penyelesaian persamaan kuadrat.

Definisi 10

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, diperlukan:

sesuai dengan rumusnya D = b 2 − 4 a c temukan nilai diskriminannya;
di D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
untuk D = 0, cari satu-satunya akar persamaan dengan menggunakan rumus x = - b 2 · a;
untuk D > 0, tentukan dua akar real persamaan kuadrat tersebut dengan menggunakan rumus x = - b ± D 2 · a.

Perhatikan bahwa jika diskriminannya nol, Anda dapat menggunakan rumus x = - b ± D 2 · a, hasilnya akan sama dengan rumus x = - b 2 · a.

Mari kita lihat contohnya.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Mari kita berikan solusi contoh untuk nilai diskriminan yang berbeda.

Contoh 6

Kita perlu mencari akar persamaannya x 2 + 2 x − 6 = 0.

Larutan

Mari kita tuliskan koefisien numerik persamaan kuadrat: a = 1, b = 2 dan c = − 6. Selanjutnya kita lanjutkan sesuai algoritma, yaitu. Mari kita mulai menghitung diskriminan, yang koefisiennya akan kita substitusikan a, b Dan C ke dalam rumus diskriminan: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Jadi didapat D > 0, artinya persamaan awal mempunyai dua akar real.
Untuk menemukannya, kita menggunakan rumus akar x = - b ± D 2 · a dan, dengan mengganti nilai yang sesuai, kita mendapatkan: x = - 2 ± 28 2 · 1. Mari kita sederhanakan ekspresi yang dihasilkan dengan menghilangkan faktor dari tanda akar dan kemudian mengurangi pecahannya:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 atau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 atau x = - 1 - 7

Menjawab: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Contoh 7

Perlu menyelesaikan persamaan kuadrat − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Larutan

Mari kita definisikan diskriminannya: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Dengan nilai diskriminan tersebut, persamaan awal hanya akan mempunyai satu akar yang ditentukan dengan rumus x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Menjawab: x = 3,5.

Contoh 8

Persamaan tersebut perlu diselesaikan 5 tahun 2 + 6 tahun + 2 = 0

Larutan

Koefisien numerik persamaan ini adalah: a = 5, b = 6 dan c = 2. Kita menggunakan nilai berikut untuk mencari diskriminan: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Diskriminan yang dihitung adalah negatif, sehingga persamaan kuadrat asli tidak memiliki akar real.

Jika tugasnya adalah menunjukkan akar kompleks, kami menerapkan rumus akar, melakukan tindakan dengan bilangan kompleks:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 saya 10 atau x = - 6 - 2 saya 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i atau x = - 3 5 - 1 5 · i.

Menjawab: tidak ada akar yang sebenarnya; akar kompleksnya adalah sebagai berikut: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Dalam kurikulum sekolah tidak ada syarat baku untuk mencari akar kompleks, oleh karena itu jika pada saat penyelesaian diskriminan ditentukan negatif, jawabannya langsung dituliskan tidak ada akar real.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus akar x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) memungkinkan diperoleh rumus lain yang lebih ringkas, sehingga memungkinkan seseorang menemukan solusi persamaan kuadrat dengan koefisien genap untuk x ( atau dengan koefisien berbentuk 2 · n, misalnya 2 3 atau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mari kita tunjukkan bagaimana rumus ini diturunkan.

Mari kita dihadapkan pada tugas mencari solusi persamaan kuadrat a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Kita lanjutkan sesuai dengan algoritma: kita menentukan diskriminan D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), dan kemudian menggunakan rumus akar:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · ca .

Misalkan ekspresi n 2 − a · c dilambangkan sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan D "). Maka rumus akar-akar persamaan kuadrat yang ditinjau dengan koefisien kedua 2 · n akan berbentuk:

x = - n ± D 1 a, dimana D 1 = n 2 − a · c.

Sangat mudah untuk melihat bahwa D = 4 · D 1, atau D 1 = D 4. Dengan kata lain, D 1 adalah seperempat dari diskriminan. Tentunya tanda D 1 sama dengan tanda D, artinya tanda D 1 juga dapat berfungsi sebagai indikator ada tidaknya akar-akar persamaan kuadrat.

Definisi 11

Jadi, untuk mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2 n, perlu:

temukan D 1 = n 2 − a · c ;
di D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
bila D 1 = 0, tentukan satu-satunya akar persamaan dengan menggunakan rumus x = - n a;
untuk D 1 > 0, tentukan dua akar real dengan rumus x = - n ± D 1 a.

Contoh 9

Persamaan kuadrat 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 harus diselesaikan.

Larutan

Kita dapat menyatakan koefisien kedua dari persamaan yang diberikan sebagai 2 · (− 3) . Kemudian kita tulis ulang persamaan kuadrat tersebut menjadi 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, dengan a = 5, n = − 3 dan c = − 32.

Mari kita hitung bagian keempat dari diskriminan: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Nilai yang dihasilkan bernilai positif, artinya persamaan tersebut mempunyai dua akar real. Mari kita tentukan menggunakan rumus akar yang sesuai:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 atau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 atau x = - 2

Perhitungan dapat dilakukan dengan menggunakan rumus biasa untuk akar-akar persamaan kuadrat, tetapi dalam kasus ini penyelesaiannya akan lebih rumit.

Menjawab: x = 3 1 5 atau x = - 2 .

Menyederhanakan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang dimungkinkan untuk mengoptimalkan bentuk persamaan asli, yang akan menyederhanakan proses penghitungan akar.

Misalnya, persamaan kuadrat 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 jelas lebih mudah diselesaikan daripada 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat lebih sering dilakukan dengan mengalikan atau membagi kedua ruasnya dengan bilangan tertentu. Misalnya, di atas kami menunjukkan representasi sederhana dari persamaan 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, yang diperoleh dengan membagi kedua ruas dengan 100.

Transformasi seperti itu dimungkinkan jika koefisien persamaan kuadrat bukan bilangan koprima. Kemudian kita biasanya membagi kedua ruas persamaan dengan pembagi persekutuan terbesar dari nilai absolut koefisiennya.

Sebagai contoh, kita menggunakan persamaan kuadrat 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Mari kita tentukan GCD dari nilai absolut koefisiennya: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Mari kita membagi kedua ruas persamaan kuadrat asli dengan 6 dan memperoleh persamaan kuadrat ekuivalen 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan kuadrat, Anda biasanya menghilangkan koefisien pecahan. Dalam hal ini, mereka dikalikan dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut koefisiennya. Misalnya setiap bagian persamaan kuadrat 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 dikalikan dengan KPK (6, 3, 1) = 6, maka akan ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Terakhir, kita perhatikan bahwa kita hampir selalu menghilangkan minus pada koefisien pertama persamaan kuadrat dengan mengubah tanda setiap suku persamaan, yang dicapai dengan mengalikan (atau membagi) kedua ruas dengan − 1. Misalnya, dari persamaan kuadrat − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, Anda dapat beralih ke versi sederhananya 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Hubungan antara akar dan koefisien

Rumus akar-akar persamaan kuadrat yang sudah kita ketahui, x = - b ± D 2 · a, menyatakan akar-akar persamaan melalui koefisien numeriknya. Berdasarkan rumus ini, kita mempunyai kesempatan untuk menentukan ketergantungan lain antara akar dan koefisien.

Yang paling terkenal dan dapat diterapkan adalah rumus teorema Vieta:

x 1 + x 2 = - b a dan x 2 = c a.

Khususnya, untuk persamaan kuadrat tertentu, jumlah akar-akarnya adalah koefisien kedua yang berlawanan tanda, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya. Misalnya dengan melihat bentuk persamaan kuadrat 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, kita dapat langsung menentukan jumlah akar-akarnya adalah 7 3 dan hasil kali akar-akarnya adalah 22 3.

Anda juga dapat menemukan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam koefisien:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Saya berharap setelah mempelajari artikel ini Anda dapat mempelajari cara mencari akar-akar persamaan kuadrat lengkap.

D = b 2 – 4ac.

Tergantung pada nilai diskriminannya, kami akan menuliskan jawabannya.

Jika diskriminannya adalah bilangan negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminannya nol, maka x = (-b)/2a. Jika diskriminannya adalah bilangan positif (D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Misalnya. Selesaikan persamaannya x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawaban: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawaban: tidak ada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawaban: – 3,5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadrat lengkap menggunakan diagram pada Gambar 1.

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun. Anda hanya perlu berhati-hati persamaan ditulis sebagai polinomial dari bentuk standar

A x 2 + bx + c, jika tidak, Anda mungkin membuat kesalahan. Misalnya, saat menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, Anda mungkin salah menentukannya

a = 1, b = 3 dan c = 2. Maka

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan persamaan tersebut mempunyai dua akar. Dan ini tidak benar. (Lihat solusi contoh 2 di atas).

Gambar 3 menunjukkan diagram penyelesaian kuadrat tereduksi
persamaan. Mari kita lihat contoh penerapan rumus yang dibahas pada artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaannya

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari selesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram di Gambar 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumber aslinya.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat. Kasus-kasus akar nyata, ganda dan kompleks dipertimbangkan. Memfaktorkan trinomial kuadrat. Interpretasi geometris. Contoh penentuan akar dan pemfaktoran.

Rumus dasar

Perhatikan persamaan kuadrat:
(1) .
Akar persamaan kuadrat(1) ditentukan dengan rumus:
; .
Rumus ini dapat digabungkan seperti ini:
.
Jika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, maka polinomial derajat kedua dapat direpresentasikan sebagai hasil kali faktor-faktor (difaktorkan):
.

Selanjutnya kita asumsikan itu adalah bilangan real.
Mari kita pertimbangkan diskriminan persamaan kuadrat:
.
Jika diskriminannya positif, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar real yang berbeda:
; .
Maka faktorisasi trinomial kuadrat berbentuk:
.
Jika diskriminan sama dengan nol, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar real kelipatan (sama):
.
Faktorisasi:
.
Jika diskriminannya negatif, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar konjugasi kompleks:
;
.
Berikut adalah satuan imajinernya, ;
dan merupakan bagian akar nyata dan imajiner:
; .
Kemudian

.

Interpretasi grafis

Jika Anda memplot fungsinya
,
yang merupakan parabola, maka titik potong grafik tersebut dengan sumbunya adalah akar-akar persamaannya
.
Pada , grafik memotong sumbu x (sumbu) di dua titik.
Ketika , grafik menyentuh sumbu x di satu titik.
Jika , grafiknya tidak memotong sumbu x.

Di bawah ini adalah contoh grafik tersebut.

Rumus berguna terkait persamaan kuadrat

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Penurunan rumus akar-akar persamaan kuadrat

Kami melakukan transformasi dan menerapkan rumus (f.1) dan (f.3):

,
Di mana
; .

Jadi, kita mendapatkan rumus polinomial derajat kedua dalam bentuk:
.
Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut

dilakukan di
Dan .
Artinya, dan merupakan akar persamaan kuadrat
.

Contoh menentukan akar-akar persamaan kuadrat

Contoh 1

(1.1) .

Larutan

.
Dibandingkan dengan persamaan kita (1.1), kita menemukan nilai koefisien:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Karena diskriminannya positif, persamaan tersebut mempunyai dua akar real:
;
;
.

Dari sini kita memperoleh faktorisasi trinomial kuadrat:

.

Grafik fungsi y = 2x2+7x+3 memotong sumbu x di dua titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Ia melintasi sumbu absis (sumbu) di dua titik:
Dan .
Titik-titik ini adalah akar-akar persamaan awal (1.1).

Menjawab

;
;
.

Contoh 2

Temukan akar persamaan kuadrat:
(2.1) .

Larutan

Mari kita tulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
.
Dibandingkan dengan persamaan awal (2.1), kita menemukan nilai koefisiennya:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Karena diskriminannya nol, persamaan tersebut mempunyai dua akar kelipatan (sama):
;
.

Maka faktorisasi trinomialnya berbentuk:
.

Grafik fungsi y = x 2 - 4x+4 menyentuh sumbu x di satu titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Menyentuh sumbu x (sumbu) di satu titik:
.
Titik ini merupakan akar persamaan awal (2.1). Karena akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar seperti itu biasanya disebut kelipatan. Artinya, mereka percaya bahwa ada dua akar yang sama:
.

Menjawab

;
.

Contoh 3

Temukan akar persamaan kuadrat:
(3.1) .

Larutan

Mari kita tulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
(1) .
Mari kita tulis ulang persamaan awal (3.1):
.
Dibandingkan dengan (1), kita menemukan nilai koefisien:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Diskriminannya negatif, .

Oleh karena itu tidak ada akar yang sebenarnya.
;
;
.

Anda dapat menemukan akar kompleks:

.