LDE orde ke-n - ur-e, linier terhadap fungsi yang tidak diketahui dan turunannya serta berbentuk
a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+an (x)y=φ(x)|: a 0 (x )
φ(x)≠0- LNOU
y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) kamu-e dalam bentuk yang diberikan
*jika y 1 adalah solusi LOU, maka C y 1, dengan C adalah konstanta sembarang, juga merupakan solusi persamaan ini.
*Jumlah solusi y 1 + y 2 dari LOE adalah solusi yang levelnya sama.
1 0 Kombinasi linier dengan konstanta solusi sembarang y 1 , y 2 ,…, y m LOU merupakan penyelesaian persamaan yang sama.
*jika LOU (1) dengan koefisien nyata p i (x)∈R memiliki solusi komprehensif y(x)=u(x)+iv(x), maka bagian real dari penyelesaian tersebut Rey=u(x) dan bagian imajinernya Imy=v(x) merupakan solusi terpisah dari persamaan yang sama.
Fungsi y 1 (x), y 2 (x),…, yn (x) disebut bergantung secara linier pada suatu interval (a,b), jika ada konstanta a1,a2,…,an≠0 sehingga untuk semua x pada interval (a,b) identitas a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+an -1 (x)y' + benar a n y n (x)=0. Jika fungsi-fungsi tersebut bergantung linier, maka paling sedikit salah satu fungsi tersebut merupakan kombinasi linier dari fungsi-fungsi lainnya.
Jika identitas hanya valid untuk a1=a2=…=an=0, maka fungsi y 1 (x), y 2 (x),…, yn (x) disebut independen linier pada interval (a,b).
*jika fungsi y 1 (x), y 2 (x),…, yn (x) bergantung secara linier pada interval (a,b), maka determinannya (Pulau Vronsky)
P(x)=W= 
=0 pada interval ini.
Kondisi kemandirian linier solusi pribadi:
* jika fungsi bebas linier y 1 (x), y 2 (x),…, yn (x) merupakan solusi LOE (1) dengan koefisien pi (x) kontinu pada interval (a,b), maka dikompilasi untuk fungsi tersebut determinan Wronski tidak = 0 pada titik mana pun dalam interval (a,b).
Solusi umum LOU (1) dengan koefisien p i (x) kontinu pada (a,b) (i=1,2,...,n) merupakan kombinasi linier y oo = n bebas linier pada interval parsial yang sama solusi y i dengan sewenang-wenang koefisien konstan.
1 0 jumlah maksimal linier keputusan independen LOU sama dengan pesanannya.
FSR- setiap n LOU penyelesaian parsial independen dari urutan ke-n.
*y pada =y oo +y chn
Struktur solusi umum persamaan diferensial linier tak homogen. Metode variasi konstanta sembarang untuk mencari solusi khusus persamaan diferensial tak homogen linier orde ke-n.
LPDE diselesaikan dengan metode memvariasikan konstanta sembarang. Yang pertama adalah solusi umum 
persamaan homogen 
, memiliki hal yang sama sisi kiri, seperti aslinya persamaan tidak homogen. Kemudian solusi persamaan tersebut ditemukan dalam bentuk, yaitu. Diasumsikan bahwa konstanta C adalah f-mi dari variabel bebas x. Dalam hal ini, fungsi C 1 (x) dan C 2 (x) dapat diperoleh sebagai solusi sistem
Kamu dia = kamu oo + kamu chn
jumlah maksimum solusi suatu persamaan sama dengan orde persamaan tersebut.
solusi umum
44*. Homogen linier persamaan diferensial dengan koefisien konstan. Polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik. Konstruksi sistem mendasar solusi dalam kasus ini akar sederhana polinomial karakteristik(nyata dan kompleks).
Persamaan bentuk y"+p(x)y=f(x), dimana p(x), f(x) merupakan fungsi kontinu pada interval a Jika f(x)= 0, maka persamaan tersebut disebut homogen. Jika di LO ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0 Semua koefisien pi adalah konstan, maka solusi parsialnya dapat dicari dalam bentuk y=e kx, dengan k adalah konstanta. Menggantikan Anda (k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0 Mengurangi sebesar e kx kita mendapatkan apa yang disebut Tingkat karakteristik k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0 Persamaan derajat ke-n ini menentukan nilai k di mana y= e kx adalah solusi persamaan diferensial awal dengan koefisien konstan. 1.k 1 , k 2 ,…,k n – nyata dan berbeda FSR: ek 1 x , ek 2 x ,…, e knx 2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ , k ~ - m - akar kelipatan ur-i, dan semua akar n-m lainnya berbeda FSR: e k ~ x ,x e k ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x lihat juga Menyelesaikan persamaan diferensial linier secara online Kita sebut persamaan diferensial linier (*) sebagai persamaan yang koefisiennya konstan jika koefisien dalam persamaan tersebut konstan, yaitu a i (x)=const. Maka persamaan homogen yang bersesuaian L(y)=0 akan berbentuk Contoh. Untuk persamaan y""-3y" + 2y=0, akar-akar persamaan karakteristik r 2 - 3r + 2 = 0 sama dengan r 1 = 1, r 2 = 2 (akar-akarnya ditemukan melalui layanan pencarian diskriminan). Oleh karena itu, sistem penyelesaian dasar terdiri dari fungsi y 1 = e x, y 2 = e 2 x, dan penyelesaian umumnya ditulis sebagai y = C 1 e x + C 2 e 2 x. Kami akan terus menyempurnakan teknologi kami transformasi dasar pada sistem persamaan linear yang homogen. Jawabannya muncul dengan sendirinya. Suatu sistem persamaan linier dikatakan homogen jika suku bebasnya setiap orang persamaan sistemnya adalah nol. Misalnya: Hal ini sangat jelas sistem yang homogen selalu konsisten, artinya, selalu ada solusi. Dan, pertama-tama, yang menarik perhatian Anda adalah apa yang disebut remeh larutan Contoh 1 Larutan: untuk menyelesaikan sistem homogen perlu ditulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi dasar membawanya ke bentuk bertahap. Harap dicatat bahwa di sini tidak perlu menuliskan bilah vertikal dan kolom nol suku bebas - lagipula, apa pun yang Anda lakukan dengan nol, keduanya akan tetap nol: (1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –3. (2) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1. Membagi baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal. Sebagai hasil transformasi dasar, diperoleh sistem homogen yang setara Menjawab: Mari kita merumuskan kriteria yang jelas: memiliki sistem persamaan linear yang homogen hanya solusi sepele, Jika peringkat matriks sistem(dalam hal ini 3) sama dengan jumlah variabel (dalam hal ini – 3 buah). Mari kita melakukan pemanasan dan menyetel radio kita ke gelombang transformasi dasar: Contoh 2 Memecahkan sistem persamaan linear homogen Untuk akhirnya mengkonsolidasikan algoritma, mari kita menganalisis tugas akhir: Contoh 7 Selesaikan sistem homogen, tulis jawabannya dalam bentuk vektor. Larutan: mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap: (1) Tanda baris pertama diubah. Sekali lagi, saya menarik perhatian pada teknik yang telah ditemui berkali-kali, yang memungkinkan Anda menyederhanakan tindakan selanjutnya secara signifikan. (1) Baris pertama ditambahkan ke baris ke-2 dan ke-3. Baris pertama, dikalikan 2, ditambahkan ke baris ke-4. (3) Tiga garis terakhir proporsional, dua diantaranya dihilangkan. Hasilnya, matriks langkah standar diperoleh, dan solusinya berlanjut di sepanjang jalur knurled: – variabel dasar; Mari kita nyatakan variabel dasar dalam bentuk variabel bebas. Dari persamaan ke-2: – substitusikan ke persamaan pertama: Jadi solusi umumnya adalah: Karena dalam contoh yang dibahas terdapat tiga variabel bebas, sistem fundamental memuat tiga vektor. Mari kita substitusikan tiga nilai Untuk tiga kali lipat nilai Dan yang terakhir untuk ketiganya Menjawab: , Di mana Mereka yang ingin menghindari nilai pecahan dapat mempertimbangkan kembar tiga Berbicara tentang pecahan. Mari kita lihat matriks yang diperoleh dari soal Solusi kedua: Idenya adalah untuk mencoba memilih variabel dasar lainnya. Mari kita lihat matriksnya dan perhatikan dua matriks di kolom ketiga. Jadi mengapa tidak ada angka nol di atas? Mari kita lakukan transformasi dasar lainnya: Untuk memahami apa itu sistem keputusan mendasar Anda dapat menonton video tutorial untuk contoh yang sama dengan mengklik. Sekarang mari kita beralih ke deskripsi sebenarnya dari semua pekerjaan yang diperlukan. Ini akan membantu Anda memahami inti masalah ini secara lebih rinci. Mari kita ambil contoh sistem persamaan linear berikut: Mari kita cari solusi dari sistem persamaan linier ini. Untuk memulainya, kita Anda perlu menuliskan matriks koefisien sistem. Persamaan diferensial linier orde kedua Persamaan diferensial orde kedua berbentuk . Definisi. Solusi umum persamaan orde kedua adalah fungsi yang, untuk nilai berapa pun, merupakan solusi persamaan ini. Definisi. Persamaan homogen linier orde kedua disebut persamaan. Jika koefisiennya konstan, mis. tidak bergantung pada , maka persamaan ini disebut persamaan dengan koefisien konstan dan ditulis sebagai berikut: . Persamaan Definisi. Persamaan yang diperoleh dari persamaan linier homogen dengan mengganti fungsinya dengan satu, dan dan dengan pangkat yang bersesuaian, disebut persamaan karakteristik. Diketahui persamaan kuadrat yang penyelesaiannya bergantung pada diskriminan: Contoh 4. Selesaikan persamaannya. Larutan. Oleh karena itu, diskriminan persamaan kuadrat ini adalah . Kami akan menunjukkan cara mencari solusi umum persamaan linier homogen orde dua menggunakan bentuk akar-akar persamaan karakteristik. Jika merupakan akar real dari persamaan karakteristik, maka Jika akar-akar persamaan karakteristiknya sama, yaitu. , kemudian dicari penyelesaian umum persamaan diferensial tersebut dengan menggunakan rumus Jika persamaan karakteristik mempunyai akar kompleks, maka. Contoh 5. Temukan solusi umum persamaan tersebut. Larutan. Mari kita buat persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial ini: . Akarnya valid dan berbeda. Oleh karena itu solusi umum Sistem dasar penyelesaian persamaan diferensial homogen linier. Teorema tentang struktur solusi umum solusi persamaan diferensial homogen linier. Pada bagian ini kita akan membuktikan bahwa basis ruang linier dari solusi parsial persamaan homogen dapat berupa himpunan apa pun N
penyelesaiannya yang bebas linear.
Menemukan sistem solusi mendasar dalam kasus umum adalah tugas yang agak sulit. Namun, ada beberapa persamaan yang permasalahannya dapat diselesaikan dengan cukup mudah. Kami sekarang mulai mempelajari kelas ini.
(*)
. (6)
Kita akan mencari solusi persamaan (6) dalam bentuk y = e rx . Maka y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx . Substitusikan ke dalam (6), kita peroleh
Karena e rx tidak hilang kemana-mana 
. (7)
Persamaan (7) disebut persamaan karakteristik persamaan diferensial homogen linier dengan koefisien konstan.
Jadi, kami telah membuktikan teorema berikut. Dalil. Fungsi y = e rx merupakan penyelesaian persamaan diferensial homogen linier dengan koefisien konstan (6) jika dan hanya jika r adalah akar persamaan karakteristik (7).
Kasus-kasus berikut mungkin terjadi.
1. Semua akar polinomial karakteristik adalah nyata dan berbeda. Mari kita nyatakan mereka r 1 ,r 2 ,…,rn . Kemudian kita mendapatkan n solusi berbeda
y 1 = e r1x , y 2 = e r2x ,…, yn = e rnx (8)
persamaan (6). Mari kita buktikan bahwa sistem penyelesaian yang dihasilkan adalah bebas linier. Mari kita pertimbangkan determinan Wronsky-nya 
.
Faktor e (r 1+ r 2+..+ rn) x di ruas kanan W(er 1 x, e r 2 x,…, e rnx) tidak hilang kemana-mana. Oleh karena itu, tetap ditunjukkan bahwa faktor kedua (determinan) tidak sama dengan nol. Mari kita asumsikan itu 
Maka baris-baris determinan ini bergantung linier, yaitu ada bilangan α 1, α 2, ..., α n sedemikian rupa sehingga
Jadi, kami menemukan bahwa r i , i = 1,2,..,n adalah n akar berbeda dari polinomial berderajat (n-1), dan hal ini tidak mungkin. Akibatnya, determinan di ruas kanan W(er 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) tidak sama dengan nol dan sistem fungsi (8) membentuk sistem dasar penyelesaian persamaan (6) dalam kasus ketika akar-akar persamaan karakteristiknya berbeda.
2. Di antara akar-akar persamaan karakteristik terdapat kelipatan. Misalkan r 1 mempunyai multiplisitas α, dan yang lainnya berbeda. Mari kita perhatikan dulu kasusnya r 1 = 0. Maka persamaan karakteristiknya berbentuk
karena jika tidak maka ia tidak akan menjadi akar dari multiplisitas α. Oleh karena itu, persamaan diferensial memiliki bentuk
artinya, tidak mengandung turunan berorde di bawah α. Persamaan ini dipenuhi oleh semua fungsi yang turunannya berorde α dan lebih tinggi sama dengan nol. Secara khusus, ini semua adalah polinomial yang derajatnya tidak lebih tinggi dari α-1, misalnya,
1, x, x 2, …, x α-1. (9)
Mari kita tunjukkan bahwa sistem ini bebas linier. Setelah menyusun determinan Wronski dari sistem fungsi ini, kita peroleh 
.
Ini adalah determinan segitiga dengan elemen bukan nol pada diagonal utama. Oleh karena itu, berbeda dengan nol, yang membuktikan independensi linier dari sistem fungsi (9). Perhatikan bahwa dalam salah satu contoh di paragraf sebelumnya kami membuktikan independensi linier sistem fungsi (9) dengan cara yang berbeda. Misalkan sekarang akar persamaan karakteristik multiplisitas α adalah bilangan r 1 ≠0. Mari kita lakukan penggantian y = z r 1 x = z exp(r 1 x) pada persamaan (6) L(y) = 0. Kemudian 
dan sebagainya. Mengganti nilai turunan yang diperoleh ke dalam persamaan asli, kita kembali memperoleh persamaan homogen linier dengan koefisien konstan
(0)
dengan persamaan karakteristik 
. (1)
Perhatikan bahwa jika k adalah akar persamaan karakteristik (1), maka z = e kx adalah solusi persamaan (0), dan y = y r 1 x = e (k + r 1) x adalah solusi persamaan ( 6). Maka r=k+r 1 adalah akar persamaan karakteristik (7). Sebaliknya, persamaan (6) dapat diperoleh dari persamaan (0) dengan substitusi terbalik z = ye - r 1 x dan oleh karena itu setiap akar persamaan karakteristik (7) bersesuaian dengan akar k = r - r 1 dari persamaan karakteristik (1). Dengan demikian, korespondensi satu-satu telah dibuat antara akar-akar persamaan karakteristik (7) dan (1), dan akar-akar persamaan yang berbeda bersesuaian dengan akar-akar persamaan lainnya. Karena r = r 1 adalah akar multiplisitas α dari persamaan (7), maka persamaan (1) mempunyai k=0 sebagai akar multiplisitas α. Berdasarkan apa yang telah dibuktikan sebelumnya, persamaan (0) mempunyai solusi bebas linier α
yang sesuai dengan solusi bebas linier α
(2)
persamaan (7). Dengan menambahkan sistem solusi yang dihasilkan (2) ke solusi n- α yang sesuai dengan akar-akar persamaan karakteristik yang tersisa, kita memperoleh sistem solusi dasar untuk persamaan diferensial homogen linier dengan koefisien konstan dalam kasus banyak akar.
Contoh.
Untuk persamaan y"""-4y""+4y" = 0, persamaan karakteristik r 3 -4r 2 + 4r = 0 mempunyai akar-akar r=0 kelipatan 1 dan r=2 kelipatan 2, karena r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2, maka sistem dasar penyelesaian persamaan awal adalah sistem fungsi y 1 = 1, y 2 = e 2 x, y 3 = xe 2 x, dan penyelesaian umum berbentuk y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x .
3. Di antara akar-akar persamaan karakteristik terdapat akar-akar kompleks. Anda dapat mempertimbangkan solusi yang kompleks, tetapi untuk persamaan dengan koefisien nyata hal ini sangat tidak nyaman. Mari kita cari solusi nyata yang berhubungan dengan akar kompleks. Karena kita mempertimbangkan persamaan dengan koefisien real, maka untuk setiap akar kompleks r j = a+bi dari multiplisitas α persamaan karakteristik, bilangan konjugasi kompleksnya r k = a-bi juga merupakan akar multiplisitas α persamaan ini. Pasangan solusi yang bersesuaian dengan akar-akar ini adalah fungsi dan , l=0,1,.., α-1. Daripada menyelesaikan solusi ini, pertimbangkan kombinasi liniernya 3. Untuk persamaan y (4) + 8y"" + 16y =0, persamaan karakteristik r 4 +8r 2 +16=0 memiliki r 1 = 2i, r 2 = -2i multiplisitas 2, karena r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2, maka sistem dasar penyelesaian persamaan awal adalah sistem fungsi y 1 = cos2x, y 2 = sin2x, y 3 = xcos2x , y 4 = xsin2x, dan solusi umumnya berbentuk y = C 1 cos2x+ C 2 sin2x+ C 3 xcos2x+ C 4 xsin2x.
Berdasarkan paragraf pertama, materi mungkin terkesan membosankan dan biasa-biasa saja, namun kesan ini menipu. Selain pengembangan teknik lebih lanjut, akan banyak informasi baru, jadi mohon jangan mengabaikan contoh di artikel ini.Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear homogen?
. Sepele, bagi yang belum paham sama sekali arti kata sifat itu artinya tanpa pamer. Tentu saja tidak secara akademis, tetapi secara cerdas =) ...Mengapa bertele-tele, mari kita cari tahu apakah sistem ini memiliki solusi lain:
, dan, dengan menggunakan kebalikan dari metode Gaussian, mudah untuk memverifikasi bahwa solusi tersebut unik.
– variabel bebas.
ke dalam solusi umum dan memperoleh vektor yang koordinatnya memenuhi setiap persamaan sistem homogen. Dan sekali lagi, saya ulangi bahwa sangat disarankan untuk memeriksa setiap vektor yang diterima - ini tidak akan memakan banyak waktu, tetapi ini akan sepenuhnya melindungi Anda dari kesalahan.
temukan vektornya 
kita mendapatkan vektor ketiga: 
dan dapatkan jawaban dalam bentuk yang setara:
dan mari kita bertanya pada diri sendiri: apakah mungkin untuk menyederhanakan solusi selanjutnya? Lagi pula, di sini pertama-tama kita menyatakan variabel dasar melalui pecahan, kemudian melalui pecahan sebagai variabel dasar, dan, harus saya katakan, proses ini bukanlah yang paling sederhana dan bukan yang paling menyenangkan.Bagaimana cara mencari sistem dasar penyelesaian persamaan linear?
Mari kita ubah matriks ini menjadi matriks segitiga. Kami menulis ulang baris pertama tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(11)$ harus dijadikan nol. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(21)$, Anda perlu mengurangi baris pertama dari baris kedua, dan menulis selisihnya di baris kedua. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(31)$, Anda perlu mengurangi baris pertama dari baris ketiga dan menulis selisihnya di baris ketiga. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(41)$, Anda perlu mengurangi baris keempat yang pertama dikalikan 2 dan menuliskan selisihnya pada baris keempat. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(31)$, Anda perlu mengurangi baris kelima yang pertama dikalikan 2 dan menuliskan selisihnya pada baris kelima. 
Kami menulis ulang baris pertama dan kedua tanpa perubahan. Dan semua elemen yang berada di bawah $a_(22)$ harus dijadikan nol. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(32)$, Anda perlu mengurangi baris kedua yang dikalikan 2 dengan baris ketiga dan menulis selisihnya pada baris ketiga. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(42)$, Anda perlu mengurangi baris kedua dikalikan 2 dengan baris keempat dan menuliskan selisihnya pada baris keempat. Untuk membuat angka nol menggantikan elemen $a_(52)$, Anda perlu mengurangi baris kedua dikalikan 3 dengan baris kelima dan menuliskan selisihnya pada baris kelima. 
Kami melihatnya tiga baris terakhir sama, jadi jika Anda mengurangkan angka ketiga dari angka keempat dan kelima, maka hasilnya akan menjadi nol. 
Menurut matriks ini tulis sistem persamaan baru.
Kita melihat bahwa kita hanya mempunyai tiga persamaan bebas linier, dan lima persamaan yang tidak diketahui, sehingga sistem penyelesaian fundamental akan terdiri dari dua vektor. Jadi kita kita perlu memindahkan dua hal terakhir yang tidak diketahui ke kanan.
Sekarang, kita mulai mengungkapkan hal-hal yang tidak diketahui yang ada di sisi kiri melalui hal-hal yang tidak diketahui di sisi kanan. Kita mulai dengan persamaan terakhir, pertama kita nyatakan $x_3$, lalu kita substitusikan hasilnya ke persamaan kedua dan nyatakan $x_2$, lalu ke persamaan pertama dan di sini kita nyatakan $x_1$. Jadi, kami mengungkapkan semua hal yang tidak diketahui di sisi kiri melalui hal yang tidak diketahui di sisi kanan. 
Lalu, alih-alih $x_4$ dan $x_5$, kita dapat mengganti angka apa pun dan mencari $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Masing-masing lima angka ini akan menjadi akar dari sistem persamaan awal kita. Untuk mencari vektor-vektor yang termasuk di dalamnya FSR kita perlu mengganti 1 sebagai ganti $x_4$, dan mengganti 0 sebagai ganti $x_5$, cari $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, lalu sebaliknya $x_4=0$ dan $x_5=1$.
kita akan menyebutnya persamaan linear tak homogen.
, yaitu. jika , maka akar-akar dan merupakan bilangan real berlainan. Jika, maka. Jika, mis. , maka akan menjadi bilangan imajiner, dan akar-akarnya akan menjadi bilangan kompleks. Dalam hal ini, kami sepakat untuk menyatakan .
.
atau .
.
Def. 14.5.5.1. sistem dasar solusi. Sistem solusi mendasar persamaan diferensial homogen linier N
Orde -th adalah sistem yang bebas linier kamu
1 (X
), kamu
2 (X
), …, kamu n
(X
) miliknya N
solusi pribadi.
Teorema 14.5.5.1.1 tentang struktur solusi umum persamaan diferensial homogen linier. Solusi umum kamu
(X
) persamaan diferensial homogen linier adalah kombinasi fungsi linier dari sistem dasar penyelesaian persamaan ini:
kamu
(X
) = C
1 kamu
1 (X
) + C
2 kamu
2 (X
) + …+ C n y n
(X
).
Dokumen. Membiarkan kamu
1 (X
), kamu
2 (X
), …, kamu n
(X
) adalah sistem dasar penyelesaian persamaan diferensial homogen linier. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa setiap solusi tertentu kamu
Apa ( X
) persamaan ini terkandung dalam rumus kamu
(X
) = C
1 kamu
1 (X
) + C
2 kamu
2 (X
) + …+ C n y n
(X
) untuk himpunan konstanta tertentu C
1 , C
2 , …, Cn
. Mari kita ambil titik mana pun, hitung angka-angka pada titik ini dan temukan konstanta C
1 , C
2 , …, Cn
sebagai solusi sistem persamaan aljabar linier tidak homogen 
Solusi seperti itu ada dan unik, karena determinan sistem ini sama dengan . Pertimbangkan kombinasi linier kamu
(X
) = C
1 kamu
1 (X
) + C
2 kamu
2 (X
) + …+ C n y n
(X
) fungsi dari sistem dasar solusi dengan nilai konstanta ini C
1 , C
2 , …, Cn
dan bandingkan dengan fungsinya kamu
Apa ( X
). Fungsi kamu
(X
) Dan kamu
Apa ( X
) memenuhi persamaan yang sama dan kondisi awal yang sama di titik tersebut X
0, oleh karena itu, karena keunikan solusi masalah Cauchy, keduanya bertepatan: kamu
Apa ( X
) = C
1 kamu
1 (X
) + C
2 kamu
2 (X
) + … + C n y n
(X
). Teorema tersebut telah terbukti.
Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa dimensi ruang linier solusi parsial persamaan homogen dengan koefisien kontinu tidak melebihi N
. Masih harus dibuktikan bahwa dimensi ini tidak kurang dari N
.
Teorema 14.5.5.1.2 tentang keberadaan sistem fundamental penyelesaian persamaan diferensial homogen linier. Persamaan diferensial homogen linier apa pun N
orde dengan koefisien kontinu memiliki sistem penyelesaian fundamental, yaitu. sistem dari N
solusi bebas linier.
Dokumen. Mari kita ambil determinan numerik apa pun N
urutan -th, tidak sama dengan nol
