Hukum distribusi normal paling sering ditemui dalam praktik. Ciri utama yang membedakannya dari undang-undang lain adalah bahwa ia merupakan undang-undang yang membatasi, yang didekati oleh hukum-hukum distribusi lainnya dalam kondisi-kondisi tipikal yang sangat umum (lihat Bab 6).

Definisi. Variabel acak kontinu yang dimiliki Xhukum distribusi normal (Hukum Gauss)dengan parameter a dan sebuah 2, jika kepadatan probabilitasnya berbentuk

Istilah “normal” tidak sepenuhnya tepat. Banyak tanda yang mematuhi hukum normal, misalnya tinggi badan seseorang, jangkauan proyektil, dll. Namun jika suatu sifat mengikuti hukum distribusi yang berbeda dari normal, maka hal ini tidak berarti bahwa fenomena yang terkait dengan sifat tersebut adalah “abnormal”.

Kurva distribusi normal disebut normal, atau Gaussian, bengkok. Pada Gambar. 4.6, A, 6 kurva normal fd, (x) dengan parameter yio 2 diberikan, mis. saya[a] a 2), dan grafik fungsi distribusi variabel acak X, yang mempunyai hukum normal. Mari kita perhatikan fakta bahwa kurva normal adalah simetris terhadap garis lurus x = sebuah, memiliki maksimum pada titik tersebut X= A,

setara , yaitu

Dan dua titik belok x = a±

dengan ordinat

Dapat dicatat bahwa dalam ekspresi hukum kepadatan normal, parameter ditunjukkan dengan huruf A dan st 2, yang kita gunakan untuk menunjukkan ekspektasi matematis M(X) dan varians OH). Kebetulan ini bukanlah suatu kebetulan. Mari kita perhatikan sebuah teorema yang menetapkan makna teoretis probabilistik dari parameter hukum normal.

Dalil. Ekspektasi matematis dari variabel acak X yang terdistribusi menurut hukum normal sama dengan parameter a hukum ini, itu.

A dispersinya - ke parameter a 2, yaitu

Ekspektasi variabel acak X:

Mari kita ubah variabelnya dengan meletakkan

Kemudian batas integrasi tidak berubah

dan karena itu

(integral pertama sama dengan nol sebagai integral dari fungsi ganjil pada interval yang simetris terhadap titik asal, dan integral kedua - Euler - Integral Poisson).

Varians dari variabel acak X:

Mari kita membuat perubahan variabel yang sama x = a + o^2 t, seperti pada perhitungan integral sebelumnya. Kemudian

Dengan menerapkan metode integrasi per bagian, kita peroleh

Mari kita cari tahu bagaimana kurva normal akan berubah ketika parameternya berubah A dan dengan 2 (atau a). Jika a = const, dan parameternya berubah a (a x a 3), mis. pusat simetri distribusi, maka kurva normal akan bergeser sepanjang sumbu absis tanpa mengubah bentuknya (Gbr. 4.7).

Jika sebuah = const dan parameter a 2 (atau a) berubah, maka ordinatnya berubah

kurva maksimum Dengan bertambahnya, ordinat maksimumnya

kurvanya mengecil, tetapi karena luas di bawah kurva distribusi harus tetap sama dengan satu, kurva menjadi lebih datar, memanjang sepanjang sumbu x; ketika menurun su, sebaliknya, kurva normal memanjang ke atas sekaligus menekan dari samping. Pada Gambar. Gambar 4.8 menunjukkan kurva normal dengan parameter a 1 (o 2 dan a 3, dimana o, A(alias ekspektasi matematis) mencirikan posisi pusat, dan parameter a 2 (alias dispersi) mencirikan bentuk kurva normal.

Hukum distribusi normal variabel acak X dengan parameter A= 0, st 2 = 1, mis. X ~ N( 0; 1), disebut standar atau dinormalisasi dan kurva normal yang sesuai adalah standar atau dinormalisasi.

Kesulitan dalam mencari secara langsung fungsi distribusi suatu variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal menurut rumus (3.23) dan peluang jatuhnya pada interval tertentu menurut rumus (3.22) dikaitkan dengan fakta bahwa integral dari fungsi (4.26) “tidak tertagih” dalam fungsi dasar. Oleh karena itu, mereka diekspresikan melalui fungsi

- fungsi (probabilitas integral) Laplace, yang tabelnya telah dikompilasi. Ingatlah bahwa kita telah menemukan fungsi Laplace ketika mempertimbangkan teorema integral Moivre-Laplace (lihat bagian 2.3). Sifat-sifatnya juga dibahas di sana. Secara geometris, fungsi Laplace Ф(.с) merepresentasikan luas di bawah kurva normal standar pada segmen tersebut [-X; X] (Gbr. 4.9) 1 .

Beras. 4.10

Beras. 4.9

Dalil. Fungsi distribusi variabel acak X, yang terdistribusi menurut hukum normal, dinyatakan melalui fungsi Laplace(х) sesuai rumus

Menurut rumus (3.23), fungsi distribusinya adalah:

Mari kita lakukan perubahan variabel, atur pada X-> -oo? -» -00, oleh karena itu

1 Selain integral probabilitas dalam bentuk (4.29), yang merepresentasikan fungsi (х), ekspresinya juga digunakan dalam literatur dalam bentuk fungsi tabulasi lainnya:

mewakili area yodium dari kurva normal standar, masing-masing, pada interval (0; x], (-oo; x], [-x>/2; Chl/2 .

Integral pertama

(karena paritas integral dan fakta bahwa integral Euler - Poisson sama dengan [Ke).

Integral kedua, dengan memperhatikan rumus (4.29), adalah

Secara geometris, fungsi distribusi merepresentasikan luas area di bawah kurva normal pada interval (-co, x) (Gbr. 4.10). Seperti yang bisa kita lihat, ini terdiri dari dua bagian: yang pertama, pada interval (-oo, A), sama dengan 1/2, mis. setengah dari seluruh luas di bawah kurva normal, dan yang kedua, pada interval (i, x),

sama dengan

Mari kita perhatikan sifat-sifat variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal.

1. Peluang mengenai variabel acak X yang terdistribusi menurut hukum normal adalah V selang[x 1(x 2 ], sama dengan

Mengingat, menurut sifat (3.20), probabilitas P(x,

dimana dan Г 2 ditentukan dengan rumus (4.33) (Gbr. 4.11). ?

2. Probabilitas penyimpangan suatu variabel acak X, yang terdistribusi menurut hukum normal, dari ekspektasi matematis a tidak akan melebihi nilai SEBUAH > 0 ( dalam nilai absolut) sama dengan

dan juga sifat keanehan dari fungsi Laplace yang kita peroleh

Di mana? =D/o (Gbr. 4.12). ?

Pada Gambar. 4.11 dan 4.12 memberikan interpretasi geometris dari sifat-sifat hukum normal.

Komentar. Dibahas di Bab. 2 Rumus integral perkiraan Moivre - Laplace (2.10) mengikuti sifat (4.32) dari variabel acak yang terdistribusi normal di x ( = a, x 2 = b ) a = pr Dan Jadi

sebagai hukum binomial distribusi variabel acak X = t dengan parameter N Dan P, untuk itulah rumus ini diperoleh, dengan n -> OS cenderung ke hukum normal (lihat Bab 6).

Konsekuensi serupa (2.13), (2.14) dan (2.16) dari rumus integral Moivre-Laplace untuk bilangan X = t terjadinya suatu peristiwa di N pengujian independen dan frekuensinya t/n mengikuti sifat (4.32) dan (4.34) hukum normal.

Mari kita hitung probabilitasnya menggunakan rumus (4.34) P(X-a e) pada berbagai nilai D (kami menggunakan Tabel II lampiran). Kami mengerti

Dari sinilah “aturan tiga sigma” berasal.

Jika suatu variabel acak X mempunyai hukum distribusi normal dengan parameter a dan 2, yaitu M(sebuah; sebuah 2), maka hampir dapat dipastikan nilainya terletak pada interval tersebut(a - Untuk, A+ Untuk).

Pelanggaran terhadap “aturan tiga sigma”, yaitu deviasi variabel acak yang terdistribusi normal X lebih dari 3 (tetapi nilai absolut), merupakan peristiwa yang hampir mustahil, karena probabilitasnya sangat rendah:

Perhatikan bahwa deviasi D di, di mana , ditelepon

kemungkinan penyimpangan. Untuk hukum normal D di « 0.675a, yaitu. per interval (A - 0,675a, A+ 0,675a) menyumbang setengah dari total luas di bawah kurva normal.

Mari kita cari koefisien skewness dan kurtosis suatu variabel acak X, didistribusikan menurut hukum biasa.

Jelas sekali, karena simetri kurva normal relatif terhadap garis vertikal x = sebuah, melewati pusat distribusi a = M(X), koefisien asimetri distribusi normal A = 0.

Kurtosis dari variabel acak yang terdistribusi normal X kita temukan menggunakan rumus (3.37), yaitu.

dimana kita memperhitungkan momen sentral orde ke-4, ditemukan dengan rumus (3.30) dengan memperhatikan definisi (4.26), yaitu.

(kami menghilangkan perhitungan integral).

Dengan demikian, kurtosis distribusi normal adalah nol dan kecuraman distribusi lainnya ditentukan dalam kaitannya dengan distribusi normal (kami telah menyebutkannya di paragraf 3.7).

HAI Contoh 4.9. Dengan asumsi tinggi badan laki-laki pada kelompok umur tertentu merupakan variabel acak yang berdistribusi normal X dengan parameter A= 173 dan a 2 =36:

• 1) Temukan: a) ekspresi kepadatan probabilitas dan fungsi distribusi variabel acak X; b) bagian pakaian dengan tinggi ke-4 (176-182 cm) dan tinggi ke-3 (170-176 cm), yang harus disediakan dalam total volume produksi untuk kelompok umur tertentu; c) kuantil x 07 dan poin 10% dari variabel acak X.
• 2) Merumuskan “aturan tiga sigma” untuk variabel acak X.Solusi. 1, a) Dengan menggunakan rumus (4.26) dan (4.30) kita menulis

1, b) Bagian pakaian dengan tinggi ke-4 (176-182 cm) dalam total volume produksi akan ditentukan dengan rumus (4.32) sebagai probabilitas

(Gbr. 4.14), karena menurut rumus (4.33)

Bagian setelan dengan tinggi ke-3 (170-176 cm) dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan rumus (4.32), tetapi lebih mudah dilakukan dengan menggunakan rumus (4.34), mengingat interval ini simetris terhadap ekspektasi matematis A = M(X) = 173, yaitu. ketimpangan 170 X X -173|

(lihat Gambar 4.14;.

1, c) Kuantil x 07(lihat paragraf 3.7) variabel acak X kita temukan dari persamaan (3.29) dengan memperhatikan rumus (4.30):

Di mana

Menurut tabel Kami menemukan 11 aplikasi SAYA- 0,524 dan

Artinya, 70% pria pada kelompok usia ini memiliki tinggi badan hingga 176 cm.

• Titik 10% adalah kuantil ego x 09 = 181 cm (letaknya sama), mis. 10% pria memiliki tinggi minimal 181 cm.
• 2) Hampir dapat dipastikan bahwa tinggi badan laki-laki pada kelompok umur ini berada dalam batasan A- Z = 173 - 3 6 = 155 sampai sebuah + Zet = 173 + 3 - 6 = = 191 (cm), yaitu 155

  Karena ciri-ciri hukum distribusi normal yang disebutkan di awal bagian ini (dan di Bab 6), hukum ini menempati tempat sentral dalam teori dan praktik metode statistik probabilistik. Signifikansi teoretis yang besar dari hukum normal adalah bahwa dengan bantuannya diperoleh sejumlah distribusi penting, yang dibahas di bawah.

  • Panah pada Gambar. 4.11-4.13 area konvensional dan gambar yang sesuai di bawah kurva normal ditandai.
  • Nilai fungsi Laplace (х) ditentukan dari tabel. II aplikasi.

Hukum distribusi variabel acak kontinu

Hukum distribusi variabel acak kontinu tidak dapat ditentukan dengan cara yang sama seperti hukum diskrit. Hal ini tidak dapat diterapkan karena tidak mungkin untuk membuat daftar seluruh kumpulan nilai yang tak terhitung jumlahnya, dan probabilitas setiap nilai individu dari variabel acak kontinu sama dengan nol.

Untuk menjelaskan hukum distribusi variabel acak kontinu X pendekatan lain diusulkan: tidak mempertimbangkan kemungkinan kejadian X=x untuk berbeda X, dan kemungkinan kejadiannya X<х . Dalam hal ini, kemungkinannyaP( X< X) bergantung pada variabel saat ini, yaitu suatu fungsi dari X.

Fungsi distribusi variabel acak X disebut fungsiF( X) , mengekspresikan untuk masing-masing X probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari X:

Fungsi F( X) ditelepon fungsi distribusi kumulatif atau hukum distribusi integral.

Metode menentukan variabel acak kontinu dengan menggunakan fungsi distribusi bukanlah satu-satunya. Penting untuk mendefinisikan beberapa fungsi yang mencerminkan probabilitas suatu titik acak jatuh ke dalam bagian berbeda dari rentang nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu. Artinya, untuk memberikan pengganti probabilitas pi saya untuk variabel acak diskrit dalam kasus kontinu.

Fungsi ini adalah fungsi kepadatan probabilitas. Kepadatan probabilitas (kepadatan distribusi, fungsi diferensial) variabel acak X disebut fungsiF( X), yang merupakan turunan pertama dari fungsi distribusi integral:

.

Tentang variabel acak X dikatakan mempunyai sebaran (terdistribusi) dengan kepadatanF( X) pada bagian tertentu dari sumbu x.

Hukum distribusi seragam. Variabel acak kontinu X mempunyai hukum distribusi seragam (hukum kepadatan konstan) pada segmen [A; B], jika pada segmen ini fungsi kepadatan probabilitas dari variabel acak adalah konstan, yaitu.F( X) memiliki bentuk:

Ekspektasi
. Ekspektasi matematis dari variabel acak yang terdistribusi secara merata pada suatu segmen(a, b), sama dengan titik tengah segmen ini.

Penyebaran:

Nilai tersebut disebut koreksi Sheppard.

Peluang nilai suatu variabel acak yang berdistribusi seragam berada dalam interval (a, b) yang seluruhnya termasuk dalam segmen [a, b]:

Secara geometris, peluang ini adalah luas persegi panjang yang diarsir. Angka A DanBdipanggil parameter distribusi Dan secara unik menentukan distribusi seragam.

Contoh 4. Waktu tunggu jawaban panggilan telepon merupakan variabel acak yang mengikuti hukum distribusi seragam dalam rentang 0 hingga 2 menit. Temukan fungsi distribusi integral dan diferensial dari variabel acak ini.

Hukum distribusi normal (Hukum Gauss). Variabel acak kontinu X memiliki hukum distribusi normal dengan parameter dan (dilambangkan ), jika kepadatan probabilitasnya berbentuk:

Ekspektasi matematis mencirikan pusat dispersi nilai-nilai variabel acak dan ketika berubah, kurva akan bergeser sepanjang sumbu absis (lihat Gambar 2 di dan di ). Jika, dengan ekspektasi matematis yang konstan, varians suatu variabel acak berubah, maka kurva akan berubah bentuk, memampatkan atau meregang (lihat Gambar 2 untuk : ; ; ). Jadi, parameter mencirikan posisi, dan parameter mencirikan bentuk kurva kepadatan probabilitas.

Hukum distribusi normal variabel acak X dengan parameter dan (dilambangkanN(0;1)) dipanggil standar atau dinormalisasi dan kurva normal yang sesuai adalah standar atau dinormalisasi.

Menurut definisi tersebut, fungsi kepadatan probabilitas dan fungsi distribusi saling berhubungan:

, Di mana .

Integral semacam ini adalah “tidak mungkin”, oleh karena itu, untuk menemukannya digunakan fungsi khusus, yang disebut integral probabilitas atau Fungsi Laplace, yang tabelnya telah dikompilasi (lihat Lampiran 1).

Dengan menggunakan fungsi Laplace, Anda dapat menyatakan fungsi distribusi hukum normal dengan menggunakan rumus:

, Di mana .

Untuk tujuan praktis, ini sangat penting properti variabel acak yang mempunyai hukum distribusi normal.

1. Jika , maka untuk mencari peluang nilai ini jatuh ke dalam interval tertentu ( x 1 ;) rumus yang digunakan:

2. Peluang penyimpangan suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya tidak melebihi nilai (dalam nilai absolut) adalah:

.

3. "Aturan Tiga Sigma" . Jika suatu variabel acak adalah , maka hampir dapat dipastikan nilainya terletak pada interval ( ). (Probabilitas melampaui batas-batas ini adalah 0,0027.) Aturan ini memungkinkan, dengan mengetahui parameternya ( dan ), untuk menentukan kira-kira interval nilai praktis dari variabel acak.

Contoh 5. Variabel acak berdistribusi normal dengan parameter , . Tentukan peluang bahwa variabel acak hasil percobaan akan mengambil nilai yang terdapat dalam interval (12,5; 14).

Contoh 6. Kesalahan pengukuran acak tunduk pada hukum distribusi normal dengan parameter , . Tiga pengukuran independen dilakukan. Temukan probabilitas bahwa kesalahan setidaknya satu pengukuran tidak melebihi nilai absolut 3 mm.

Kemungkinan kesalahan pengukuran dalam satu pengujian tidak melebihi 3 mm:

Peluang kesalahan pengukuran dalam satu pengujian melebihi 3 mm adalah:

Peluang kesalahan pengukuran lebih besar dari 3 mm pada ketiga pengujian adalah:

.

Probabilitas yang diperlukan: .

fungsi NORMIDIST

Mengembalikan fungsi distribusi normal untuk mean dan deviasi standar yang ditentukan. Fungsi ini sangat banyak digunakan dalam statistik, termasuk dalam pengujian hipotesis.

Sintaksis

NORMDIS(X;rata-rata;standar_mati;integral )

X - nilai dimana distribusi dibangun.

Rata-rata

Standar_mati

Integral- nilai logika yang menentukan bentuk fungsi. Jika kumulatifnya BENAR, NORMDIST mengembalikan fungsi distribusi kumulatif; jika argumen ini SALAH, fungsi kepadatan dikembalikan.

Catatan

· Jika argumennya "rata-rata" atau " standar_mati" bukan angka, fungsi NORMDIST mengembalikan nilai kesalahan #VALUE!.

· Jika standar_mati≤ 0, maka fungsi NORMIDIST mengembalikan nilai kesalahan #NUM!

· Jika rata-rata = 0, standar_mati= 1 dan kumulatif = TRUE, maka fungsi NORMSDIST mengembalikan distribusi normal standar yaitu NORMSDIST.

· Persamaan massa jenis berdistribusi normal (argumen “kumulatif” mengandung nilai FALSE) adalah sebagai berikut:

· Jika integral BENAR, rumus tersebut menggambarkan integral dengan batas dari minus tak terhingga hingga x.

fungsi NORMSDIST

Mengembalikan distribusi kumulatif normal standar.

Sintaksis

Distribusi ini mempunyai mean nol dan deviasi standar satu. Fungsi ini digunakan sebagai pengganti tabel luas kurva normal standar.(NORMSDIS )

zZ

Catatan

- nilai dimana distribusi dibangun. · Jika

· z bukan angka, fungsi NORMSDIST mengembalikan nilai kesalahan #VALUE!

Persamaan massa jenis distribusi normal standar adalah sebagai berikut:

fungsi NORMINV

Sintaksis

Mengembalikan distribusi normal terbalik untuk mean dan deviasi standar yang ditentukan.(;rata-rata;standar_mati )

NORMOBREKemungkinan

Rata-rata- probabilitas yang sesuai dengan distribusi normal.

Standar_mati - rata-rata aritmatika dari distribusi.

Catatan

· Jika salah satu argumennya bukan angka, NORMINV mengembalikan nilai kesalahan #VALUE!

· Jika kemungkinannya< 0 или вероятность >1, fungsi NORMINV mengembalikan nilai kesalahan #NUM!

· Jika standar_mati≤ 0, fungsi NORMINV mengembalikan nilai kesalahan #NUM!

· Jika rata-rata = 0 dan standar_mati= 1, fungsi NORMSINV menggunakan distribusi normal standar (lihat NORMSINV).

Jika nilai probabilitas diberikan, fungsi NORMIDST mencari nilai x yang mana NORMIDST(x, rata-rata, standar_mati, BENAR) = probabilitas.

Namun, keakuratan fungsi NORMINV bergantung pada keakuratan NORMIDST. Fungsi NORMINV menggunakan metode iterasi untuk pencarian. Jika pencarian belum berakhir setelah 100 iterasi, fungsi akan mengembalikan nilai kesalahan #N/A.

Aturan tiga sigma.

Akankah kita mengganti nilainya? ke dalam rumus (*), kita peroleh:

Jadi, dengan probabilitas yang mendekati satu, kita dapat menyatakan bahwa modulus deviasi variabel acak yang terdistribusi normal dari ekspektasi matematisnya tidak melebihi tiga kali simpangan baku.

Teorema limit pusat.

Teorema limit pusat adalah sekelompok teorema yang ditujukan untuk menetapkan kondisi di mana hukum distribusi normal muncul. Di antara teorema-teorema ini, tempat yang paling penting adalah teorema Lyapunov. X Jika variabel acak X mewakili jumlah dari sejumlah besar saling? variabel acak bebas, yaitu pengaruh masing-masing variabel terhadap keseluruhan jumlah dapat diabaikan, maka variabel acak

mempunyai distribusi yang mendekati distribusi normal hingga tak terhingga.

Momen awal dan sentral suatu variabel acak kontinu, skewness dan kurtosis. Modus dan median.

Dalam permasalahan terapan, misalnya dalam statistik matematika, ketika mempelajari secara teoritis distribusi empiris yang berbeda dari distribusi normal, diperlukan estimasi kuantitatif terhadap perbedaan tersebut. Untuk tujuan ini, karakteristik tak berdimensi khusus telah diperkenalkan. Definisi.X)) Modus variabel acak kontinu (Mo ( adalah nilai yang paling mungkin, yang probabilitasnya p Saya

Dalam permasalahan terapan, misalnya dalam statistik matematika, ketika mempelajari secara teoritis distribusi empiris yang berbeda dari distribusi normal, diperlukan estimasi kuantitatif terhadap perbedaan tersebut. Untuk tujuan ini, karakteristik tak berdimensi khusus telah diperkenalkan. atau kepadatan probabilitas f(x) mencapai maksimum. X (Median dari variabel acak kontinu(X)) Aku

– inilah nilainya yang menjadi dasar kesetaraan:

Secara geometris, garis vertikal x = Me (X) membagi luas bangun di bawah kurva menjadi dua bagian yang sama besar.

Pada titik X = Me (X), fungsi distribusi F (Me (X)) =

Kerapatan probabilitas f(x) maksimum pada x = 1, yaitu f (1) = 3, maka Mo (X) = 1 pada interval [ 0; 1].

Untuk mencari median, mari kita nyatakan Saya (X) = b.

Karena Saya (X) memenuhi kondisi P (X 3 = .

b 3 = ; b = "0,79

M (X) = =+ =

Mari kita perhatikan 3 nilai yang dihasilkan Mo (x), Me (X), M (X) pada sumbu Ox:

Dalam permasalahan terapan, misalnya dalam statistik matematika, ketika mempelajari secara teoritis distribusi empiris yang berbeda dari distribusi normal, diperlukan estimasi kuantitatif terhadap perbedaan tersebut. Untuk tujuan ini, karakteristik tak berdimensi khusus telah diperkenalkan. Asimetri Distribusi teoretis disebut rasio momen pusat orde ketiga dengan pangkat tiga simpangan baku:

Dalam permasalahan terapan, misalnya dalam statistik matematika, ketika mempelajari secara teoritis distribusi empiris yang berbeda dari distribusi normal, diperlukan estimasi kuantitatif terhadap perbedaan tersebut. Untuk tujuan ini, karakteristik tak berdimensi khusus telah diperkenalkan. Kelebihan distribusi teoritis adalah besaran yang ditentukan oleh persamaan:

Di mana ? momen sentral orde keempat.

Untuk distribusi normal. Jika menyimpang dari distribusi normal, asimetrinya positif jika bagian kurva distribusi yang “panjang” dan datar terletak di sebelah kanan titik pada sumbu x yang sesuai dengan modus; jika bagian kurva ini terletak di sebelah kiri mode, maka asimetrinya negatif (Gbr. 1, a, b).

Kurtosis mencirikan “kecuraman” kenaikan kurva distribusi dibandingkan dengan kurva normal: jika kurtosis positif, maka kurva memiliki puncak yang lebih tinggi dan tajam; dalam kasus kurtosis negatif, kurva yang dibandingkan mempunyai puncak yang lebih rendah dan datar.

Perlu diingat bahwa ketika menggunakan karakteristik perbandingan yang ditentukan, asumsi tentang nilai ekspektasi matematis dan dispersi yang sama untuk distribusi normal dan teoritis adalah yang menjadi acuan.

Contoh. Biarkan variabel acak diskrit X diberikan oleh hukum distribusi:

Temukan: kecondongan dan kurtosis distribusi teoritis.

Mari kita cari dulu ekspektasi matematis dari variabel acak:

Kemudian kita hitung momen awal dan momen sentral orde 2, 3 dan 4 dan:

Sekarang, dengan menggunakan rumus, kita menemukan jumlah yang dibutuhkan:

Dalam hal ini, bagian “panjang” dari kurva distribusi terletak di sebelah kanan mode, dan kurva itu sendiri sedikit lebih puncaknya daripada kurva normal dengan nilai ekspektasi dan dispersi matematis yang sama.

Dalil. Untuk variabel acak yang berubah-ubah X dan nomor berapa pun

?>0 pertidaksamaan berikut ini benar:

Kemungkinan terjadinya ketimpangan yang berlawanan.

Rata-rata konsumsi air pada suatu peternakan adalah 1000 liter per hari, dan simpangan baku variabel acak ini tidak melebihi 200 liter. Perkirakan probabilitas aliran air di lahan pertanian pada hari tertentu tidak melebihi 2000 L dengan menggunakan pertidaksamaan Chebyshev.

Membiarkan X– konsumsi air di peternakan (l).

Penyebaran D(X) = . Karena batas intervalnya adalah 0 X 2000 relatif simetris terhadap ekspektasi matematis M(X) = 1000, maka untuk memperkirakan peluang kejadian yang diinginkan kita dapat menerapkan pertidaksamaan Chebyshev:

Artinya, tidak kurang dari 0,96.

Untuk distribusi binomial, pertidaksamaan Chebyshev berbentuk:

HUKUM DISTRIBUSI VARIABEL ACAK

HUKUM DISTRIBUSI VARIABEL ACAK - bagian Matematika, TEORI PROBABILITAS DAN STATISTIK MATEMATIKA Hukum yang paling umum adalah Seragam, Normal dan Eksponensial.

Hukum yang paling umum adalah distribusi probabilitas yang seragam, normal, dan eksponensial dari variabel acak kontinu.

Distribusi probabilitas suatu variabel acak kontinu X disebut seragam jika, pada interval (a,b), yang mencakup semua kemungkinan nilai X, kepadatan distribusinya mempertahankan nilai konstan (6.1)

Fungsi distribusi berbentuk:

Normal adalah distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu X, yang kepadatannya berbentuk:

Peluang munculnya variabel acak X akan mengambil nilai yang termasuk dalam interval (?; ?):

di mana fungsi Laplace, dan,

Peluang nilai absolut simpangan lebih kecil dari bilangan positif?:

Khususnya, untuk a = 0, . (6.7)

Eksponensial adalah distribusi probabilitas suatu variabel acak kontinu X, yang digambarkan dengan kepadatan:

Di mana? – nilai positif konstan.

Fungsi distribusi hukum eksponensial:

Peluang suatu variabel acak kontinu X jatuh ke dalam interval (a, b), terdistribusi menurut hukum eksponensial:

1. Variabel acak X terdistribusi merata pada interval (-2;N). Temukan: a) fungsi diferensial dari variabel acak X; b) fungsi integral; c) peluang suatu variabel acak masuk ke dalam interval (-1;); d) ekspektasi matematis, varians dan simpangan baku variabel acak X.

2. Tentukan ekspektasi matematis dan varians dari suatu variabel acak yang terdistribusi merata dalam interval: a) (5; 11); b) (-3; 5). Gambarlah grafik fungsi-fungsi ini.

3. Variabel acak X terdistribusi merata pada interval (2; 6), dengan D(x) = 12. Tentukan fungsi distribusi variabel acak X. Gambarkan grafik fungsi tersebut.

4. Variabel acak X terdistribusi menurut hukum segitiga siku-siku (Gbr. 1) pada interval (0; a). Temukan: a) fungsi diferensial dari variabel acak X; b) fungsi integral; c) mungkin

probabilitas hit dari variabel acak

ke int(); d) matematika

ekspektasi, varians, dan mean square

deviasi ratical acak

5. Variabel acak X didistribusikan menurut hukum Simpson (“hukum segitiga sama kaki”) (Gbr. 2) pada interval (-a; a). Temukan: a) fungsi distribusi probabilitas diferensial dari variabel acak X;

b) integral fungsi dan buat grafiknya; c) peluang suatu variabel acak masuk ke dalam interval (-); d) ekspektasi matematis, varians dan simpangan baku variabel acak X.

6. Untuk mempelajari produktivitas suatu jenis unggas tertentu, dilakukan pengukuran diameter telur. Diameter melintang telur terbesar merupakan peubah acak yang terdistribusi menurut hukum normal dengan nilai rata-rata 5 cm dan simpangan baku 0,3 cm. Tentukan peluang bahwa: a) diameter telur yang diambil secara acak adalah antara 4,7 dan 6,2 cm; b) penyimpangan diameter dari rata-rata tidak melebihi 0,6 cm dalam nilai absolut.

7. Berat ikan yang ditangkap dalam suatu kolam mengikuti hukum distribusi normal dengan simpangan baku 150 g dan ekspektasi matematis a = 1000 g. Tentukan peluang berat ikan yang ditangkap adalah: a) dari 900 hingga 1300 g ; b) tidak lebih dari 1500 gram; c) tidak kurang dari 800 gram; d) berbeda dari modulo berat rata-rata tidak lebih dari 200 g; e) menggambar grafik diferensial fungsi variabel acak X.

8. Hasil gandum musim dingin pada sekumpulan petak didistribusikan menurut hukum normal dengan parameter: a = 50 c/ha, = 10 c/ha. Tentukan: a) berapa persentase plot yang akan menghasilkan lebih dari 40 c/ha; b) persentase plot dengan hasil 45 sampai 60 c/ha.

9. Kontaminasi biji-bijian diukur dengan menggunakan metode selektif; kesalahan pengukuran acak tunduk pada hukum distribusi normal dengan simpangan baku 0,2 g dan ekspektasi matematis a = 0. Tentukan peluang bahwa dari empat pengukuran independen, kesalahan paling sedikit satu adalah satu. diantaranya tidak akan melebihi nilai absolut 0,3 g.

10. Banyaknya gabah yang dikumpulkan dari setiap petak lahan percobaan merupakan peubah acak X yang berdistribusi normal, mempunyai ekspektasi matematis a = 60 kg dan simpangan baku 1,5 kg. Temukan interval di mana nilai X akan terkandung dengan probabilitas 0,9906. Tuliskan fungsi diferensial dari variabel acak ini.

11. Dengan probabilitas 0,9973, diketahui bahwa deviasi absolut bobot hidup seekor sapi yang dipilih secara acak dari rata-rata bobot hewan untuk seluruh kawanan tidak melebihi 30 kg. Tentukan simpangan baku bobot hidup ternak, dengan asumsi distribusi ternak menurut bobot hidup mengikuti hukum normal.

12. Hasil sayur-sayuran menurut petak merupakan variabel acak berdistribusi normal dengan ekspektasi matematis 300 c/ha dan simpangan baku 30 c/ha. Dengan probabilitas 0,9545, tentukan batas-batas rata-rata hasil sayuran di petak-petak tersebut.

13. Variabel acak X yang terdistribusi normal ditentukan oleh fungsi diferensial:

Tentukan: a) peluang suatu variabel acak masuk ke dalam interval

(3; 9); b) modus dan median variabel acak X.

14. Suatu perusahaan dagang menjual produk sejenis dari dua produsen. Masa pakai produk tunduk pada hukum normal. Masa pakai rata-rata produk dari pabrikan pertama adalah 5,5 ribu jam, dan dari pabrikan kedua 6 ribu jam. Pabrikan pertama mengklaim bahwa dengan probabilitas 0,95 masa pakai pabrikan pertama berkisar antara 5 hingga 6 ribu jam, dan yang kedua, dengan probabilitas 0,9, dalam kisaran 5 hingga 7 ribu jam. Pabrikan mana yang memiliki variabilitas lebih besar dalam masa pakai produk.

15. Gaji bulanan karyawan perusahaan didistribusikan menurut hukum normal dengan ekspektasi matematis a = 10 ribu rubel. Diketahui bahwa 50% karyawan perusahaan menerima gaji 8 hingga 12 ribu rubel. Tentukan berapa persentase karyawan perusahaan yang memiliki gaji bulanan 9 hingga 18 ribu rubel.

16. Tuliskan fungsi massa jenis dan distribusi berdasarkan hukum eksponensial jika: a) parameter; B) ; DI DALAM) . Menggambar grafik fungsi.

17. Variabel acak X terdistribusi menurut hukum eksponensial, dan. Tentukan peluang variabel acak X masuk ke dalam interval: a) (0; 1); b) (2; 4). M(X), D(X), (X).

18. Temukan M(X), D(X), (X) dari hukum distribusi eksponensial variabel acak X dengan fungsi yang diberikan:

19. Dua elemen yang beroperasi secara independen diuji. Durasi operasi bebas kegagalan yang pertama memiliki distribusi yang lebih jelas dibandingkan yang kedua. Temukan probabilitas bahwa dalam jangka waktu 20 jam: a) kedua elemen akan bekerja; b) hanya satu elemen yang akan gagal; c) setidaknya satu elemen akan gagal; d) kedua elemen akan gagal.

20. Peluang kedua unsur yang berdiri sendiri akan bekerja dalam waktu 10 hari adalah 0,64. Tentukan fungsi keandalan setiap elemen jika fungsinya sama.

21. Rata-rata banyaknya kesalahan yang dilakukan seorang operator selama satu jam kerja adalah 2. Tentukan peluang bahwa dalam 3 jam kerja operator akan melakukan: a) 4 kesalahan; b) setidaknya dua kesalahan; c) setidaknya satu kesalahan.

22. Rata-rata jumlah panggilan yang diterima sentral telepon per menit adalah tiga. Tentukan peluang bahwa dalam 2 menit Anda akan menerima: a) 4 panggilan; b) setidaknya tiga panggilan.

23. Variabel acak X terdistribusi menurut hukum Cauchy

Variabel acak kontinu

6. Variabel acak kontinu

6.1. Karakteristik numerik dari variabel acak kontinu

Kontinu adalah variabel acak yang dapat mengambil semua nilai dari suatu interval berhingga atau tak terhingga.

Fungsi distribusi disebut fungsi F (x) ? menentukan peluang bahwa variabel acak X sebagai hasil pengujian akan mengambil nilai lebih kecil dari x, yaitu.

Sifat-sifat fungsi distribusi:

1. Nilai-nilai fungsi distribusi termasuk dalam segmen, yaitu.

2. F(x) adalah fungsi tak menurun, yaitu. jika , maka .

· Peluang variabel acak X mengambil nilai yang terdapat dalam interval adalah sama dengan:

· Probabilitas suatu variabel acak kontinu X akan mengambil satu nilai tertentu adalah nol.

Kepadatan distribusi probabilitas suatu variabel acak kontinu X disebut fungsi - turunan pertama dari fungsi distribusi.

Peluang suatu variabel acak kontinu masuk ke dalam interval tertentu:

Menemukan fungsi distribusi menggunakan kepadatan distribusi yang diketahui:

Sifat kepadatan distribusi

1. Kepadatan distribusi merupakan fungsi non-negatif:

2. Kondisi normalisasi:

Deviasi standar

6.2. Distribusi seragam

Suatu distribusi probabilitas disebut seragam jika, pada interval di mana semua kemungkinan nilai variabel acak berada, kepadatan distribusinya tetap konstan.

Kepadatan probabilitas dari variabel acak yang terdistribusi seragam

Deviasi standar

6.3. Distribusi biasa

Normal adalah distribusi probabilitas suatu variabel acak, yang digambarkan oleh kepadatan distribusi

a- ekspektasi matematis

deviasi standar

penyebaran

Kemungkinan jatuh ke dalam interval

Dimana fungsi Laplace. Fungsi ini ditabulasikan, mis. tidak perlu menghitung integral; Anda perlu menggunakan tabel.

Probabilitas penyimpangan suatu variabel acak x dari ekspektasi matematis

Aturan tiga sigma

Jika suatu variabel acak berdistribusi normal, maka nilai absolut simpangannya dari ekspektasi matematis tidak melebihi tiga kali simpangan baku.

Tepatnya, kemungkinan melampaui interval yang ditentukan adalah 0,27%

Probabilitas kalkulator online berdistribusi normal

6.4. Distribusi eksponensial

Variabel acak X terdistribusi menurut hukum eksponensial jika kepadatan distribusinya berbentuk

Deviasi standar

Ciri khas dari distribusi ini adalah ekspektasi matematisnya sama dengan simpangan baku.

Teori probabilitas. Peristiwa Acak (halaman 6)

12. Variabel acak X , Jika , , , .

13. Peluang dihasilkannya produk cacat adalah 0,0002. Hitung peluang bahwa seorang pemeriksa yang memeriksa kualitas 5.000 produk akan menemukan 4 produk cacat.

X X akan mengambil nilai milik interval . Buatlah grafik fungsi dan .

15. Probabilitas operasi bebas kegagalan suatu elemen didistribusikan menurut hukum eksponensial (). Temukan probabilitas bahwa elemen tersebut akan beroperasi tanpa kegagalan selama 50 jam.

16. Perangkat ini terdiri dari 10 elemen yang beroperasi secara independen. Kemungkinan kegagalan setiap elemen seiring waktu T sama dengan 0,05. Dengan menggunakan pertidaksamaan Chebyshev, perkirakan probabilitas bahwa nilai absolut dari selisih antara jumlah elemen yang gagal dan jumlah rata-rata (ekspektasi matematis) kegagalan dari waktu ke waktu T akan kurang dari dua.

17. Tiga tembakan independen ditembakkan ke sasaran (pada Gambar 4.1 m, m) tanpa kesalahan sistematis () dengan penyebaran pukulan yang diharapkan m.

1. Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari bilangan 0,1,2,3,4,5?

2. Paduan suara terdiri dari 10 peserta. Ada berapa cara untuk memilih 6 peserta dalam 3 hari sehingga setiap harinya terdapat paduan suara yang berbeda?

3. Dalam berapa cara setumpuk 52 kartu yang dikocok dapat dibagi menjadi dua sehingga satu setengahnya berisi tiga kartu as?

4. Dari kotak yang berisi token bernomor 1 sampai 40, peserta pengundian mengambil token. Tentukan peluang terambilnya angka pertama secara acak secara acak tidak mengandung angka 2.

5. Di bangku tes, 250 perangkat diuji dalam kondisi tertentu. Tentukan peluang paling sedikit salah satu perangkat yang diuji akan gagal dalam waktu satu jam jika diketahui peluang kegagalan salah satu perangkat tersebut dalam waktu satu jam adalah 0,04 dan sama untuk semua perangkat.

6. Ada 10 senapan di dalam piramida, 4 di antaranya dilengkapi dengan penglihatan optik. Peluang seorang penembak mengenai sasaran ketika menembakkan senapan dengan penglihatan teleskopik adalah 0,95; untuk senapan tanpa penglihatan optik, probabilitasnya adalah 0,8. Penembak mengenai sasaran dengan senapan yang diambil secara acak. Temukan probabilitas bahwa penembak menembakkan senapan dengan penglihatan teleskopik.

7. Perangkat terdiri dari 10 node. Keandalan (probabilitas operasi bebas kegagalan seiring waktu T untuk setiap node sama dengan . Node-node gagal secara independen satu sama lain. Temukan probabilitas bahwa pada waktunya T: a) setidaknya satu node akan gagal; b) tepat dua node akan gagal; c) tepat satu node akan gagal; d) setidaknya dua node akan gagal.

8. Masing-masing dari 16 elemen perangkat tertentu diuji. Peluang elemen tersebut lulus pengujian adalah 0,8. Temukan jumlah elemen yang paling mungkin lulus ujian.

9. Tentukan peluang kejadian tersebut A(perpindahan gigi) akan terjadi sebanyak 70 kali pada jalan raya sepanjang 243 kilometer jika peluang perpindahan gigi pada setiap kilometer jalan raya tersebut adalah 0,25.

10. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,8. Tentukan peluang bahwa dengan 100 tembakan sasaran akan mengenai sasaran paling sedikit 75 kali dan tidak lebih dari 90 kali.

X.

12. Variabel acak X dan mandiri. Temukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak , Jika , , , .

13. Naskah 1000 halaman yang diketik mengandung 100 kesalahan ketik. Tentukan peluang suatu halaman yang diambil secara acak mengandung tepat 2 kesalahan ketik.

14. Variabel acak kontinu X terdistribusi secara merata dengan kepadatan probabilitas yang konstan, dimana Temukan 1) parameternya dan tuliskan hukum distribusinya; 2) Temukan , ; 3) Temukan probabilitas itu X akan mengambil nilai milik interval .

15. Durasi operasi bebas kegagalan suatu elemen memiliki distribusi eksponensial (). Temukan kemungkinan itu T= 24 jam elemen tidak akan gagal.

16. Variabel acak kontinu X terdistribusi secara normal . Menemukan , . Temukan probabilitas bahwa sebagai hasil tes X akan mengambil nilai yang terkandung dalam interval.

17. Distribusi probabilitas variabel acak dua dimensi diskrit diberikan:

Temukan hukum distribusi komponen X Dan ; ekspektasi matematis mereka dan; varians dan ; koefisien korelasi.

1. Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat dari angka-angka 1,2, 3, 4, 5 jika masing-masing angka tersebut digunakan tidak lebih dari satu kali?

2. Diberikan N titik, tidak ada 3 titik yang terletak pada garis yang sama. Berapa banyak garis lurus yang dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik secara berpasangan?

Berapa banyak kartu domino yang bisa kamu buat dengan menggunakan angka 0 sampai 9?

3. Berapa peluang terambilnya selembar kertas secara acak dari kalender baru yang bertepatan dengan hari pertama suatu bulan? (Tahun ini tidak dianggap sebagai tahun kabisat).

4. Ada 3 telepon di bengkel, yang beroperasi secara independen satu sama lain.

5. Peluang kerja masing-masing adalah sebagai berikut: ; ; . Temukan probabilitas bahwa setidaknya satu telepon gratis.

6. Ada tiga guci yang identik. Guci pertama berisi 20 bola putih, guci kedua berisi 10 bola putih dan 10 bola hitam, dan guci ketiga berisi 20 bola hitam. Sebuah bola putih diambil dari sebuah guci yang dipilih secara acak. Tentukan peluang terambilnya bola dari guci pertama.

7. Di beberapa daerah pada musim panas, rata-rata 20% hari turun hujan. Berapa peluang dalam satu minggu: a) akan terjadi paling sedikit satu hari hujan; b) akan terjadi tepat satu hari hujan; c) jumlah hari hujan tidak lebih dari empat; d) tidak akan ada hari hujan.

8. Kemungkinan pelanggaran keakuratan dalam perakitan perangkat adalah 0,32. Tentukan jumlah instrumen presisi yang paling mungkin dalam kumpulan 9 buah.

9. Tentukan peluang bahwa dengan 150 tembakan senapan, sasaran akan mengenai sasaran sebanyak 70 kali, jika peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,4.

10. Tentukan peluang lahirnya 1000 anak laki-laki, jumlah anak laki-laki paling sedikit 455 dan tidak lebih dari 555, jika peluang lahir anak laki-laki adalah 0,515.

11. Hukum distribusi variabel acak diskrit diberikan X:

Temukan: 1) nilai probabilitas yang sesuai dengan nilai tersebut; 2) , , ; 3) fungsi distribusi; membangun grafiknya. Buatlah poligon distribusi variabel acak X.

12. Variabel acak X dan mandiri. Temukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak , Jika , , , .

13. Peluang terproduksinya suku cadang yang tidak standar adalah 0,004. Tentukan peluang bahwa di antara 1000 bagian akan terdapat 5 bagian yang tidak baku.

14. Variabel acak kontinu X diberikan oleh fungsi distribusi Temukan: 1) fungsi kepadatan; 2) , , ; 3) probabilitas bahwa sebagai hasil percobaan suatu variabel acak X akan mengambil nilai milik interval . Buatlah grafik fungsi dan .km, km. Tentukan peluang dua kali mengenai sasaran.

1. Pembicara wajib hadir dalam rapat A, DI DALAM, DENGAN, D. Dengan berapa cara mereka dapat ditempatkan pada daftar pembicara sehingga DI DALAM berbicara setelah pembicara A?

2. Berapa cara 14 bola identik dapat dibagikan ke dalam 8 kotak?

3. Berapa banyak bilangan lima angka yang dapat dibuat dari bilangan 1 sampai 9?

4. Siswa datang ke ujian hanya mengetahui 24 dari 32 soal dalam program. Penguji mengajukan 3 pertanyaan kepadanya. Temukan probabilitas bahwa siswa tersebut menjawab semua pertanyaan.

5. Pada penghujung hari, tersisa 60 buah semangka di toko, termasuk 50 buah semangka yang sudah matang. Pembeli memilih 2 buah semangka. Berapa peluang terambilnya kedua semangka tersebut matang?

6. Dalam satu kelompok atlet terdapat 20 orang pelari, 6 orang pelompat dan 4 orang pelempar palu. Peluang seorang pelari memenuhi standar master olahraga adalah 0,9; pelompat - 0,8 dan pelempar - 0,75. Tentukan peluang bahwa seorang atlet yang dipilih secara acak akan memenuhi norma master olahraga.

7. Peluang pengembalian barang sewaan dalam keadaan baik adalah 0,8. Tentukan peluang bahwa dari lima barang yang diambil: a) tiga barang akan dikembalikan dalam keadaan baik; b) kelima barang tersebut akan dikembalikan dalam kondisi baik; c) setidaknya dua item akan dikembalikan dalam kondisi baik.

8. Peluang terjadinya cacat dalam batch yang terdiri dari 500 bagian adalah 0,035. Tentukan jumlah suku cadang cacat yang paling mungkin dalam kumpulan ini.

9. Dalam produksi bola lampu listrik, peluang menghasilkan lampu kelas satu diasumsikan 0,64. Tentukan peluang terambilnya 100 lampu listrik secara acak, 70 diantaranya merupakan lampu kelas satu.

10. 400 sampel bijih harus diperiksa. Peluang kandungan logam industri pada setiap sampel adalah sama yaitu sebesar 0,8. Tentukan peluang banyaknya sampel dengan kandungan logam industri antara 290 dan 340.

11. Hukum distribusi variabel acak diskrit diberikan X jika X X Dan ; 4) mencari tahu apakah besaran-besaran ini bergantung.

1. Berapa cara 8 tamu dapat duduk pada sebuah meja bundar sehingga dua tamu terkenal duduk bersebelahan?

2. Berapa banyak “kata” berbeda yang dapat Anda buat dengan menyusun ulang huruf-huruf dari kata “kombinatorik”?

3. Berapa banyak segitiga yang panjang sisinya mempunyai salah satu nilai berikut: 4, 5, 6, 7 cm?

4. Amplop berisi huruf-huruf alfabet yang dibelah: TENTANG, P, R, DENGAN, T. Huruf-hurufnya tercampur rata. Tentukan peluang bahwa, dengan mengambil huruf-huruf ini dan menempatkannya berdampingan, Anda akan mendapatkan kata “ OLAHRAGA‘.

5. Dari mesin pertama, 20% suku cadang dipasok ke perakitan, dari mesin kedua 30%, dari mesin ketiga - 50% suku cadang. Mesin pertama menghasilkan rata-rata 0,2% cacat, mesin kedua - 0,3%, dan mesin ketiga - 1%. Temukan probabilitas bahwa suatu bagian yang diterima untuk perakitan rusak.

6. Salah satu dari tiga penembak dipanggil ke garis tembak dan melepaskan tembakan. Targetnya tercapai. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan untuk penembak pertama adalah 0,3, untuk penembak kedua - 0,5, untuk penembak ketiga - 0,8. Tentukan peluang tertembaknya tembakan oleh penembak kedua.

7. Ada 6 motor di bengkel tersebut. Untuk setiap motor, probabilitas bahwa motor tersebut sedang dihidupkan adalah 0,8. Tentukan peluang saat ini: a) 4 motor dihidupkan; b) setidaknya satu motor dihidupkan; c) semua motor dihidupkan.

8. TV mempunyai 12 lampu. Masing-masing dengan probabilitas 0,4 mungkin gagal selama masa garansi. Temukan jumlah lampu yang paling mungkin rusak selama masa garansi.

9. Peluang mempunyai anak laki-laki adalah 0,515. Tentukan peluang bahwa dari 200 anak yang lahir, jumlah laki-laki dan perempuan sama banyak.

10. Kemungkinan bagian tersebut tidak lolos pemeriksaan kendali mutu adalah . Tentukan peluang bahwa di antara 400 bagian yang dipilih secara acak terdapat 70 hingga 100 bagian yang belum diuji.

11. Hukum distribusi variabel acak diskrit diberikan X:

• Hukum dasar distribusi variabel acak Institusi pendidikan “Departemen Matematika Tinggi Negeri Belarusia” untuk kajian topik “Hukum dasar distribusi variabel acak” oleh mahasiswa fakultas akuntansi pendidikan korespondensi (NISPO) Hukum dasar distribusi dari variabel acak [...]
• Denda polisi lalu lintas Leninogorsk Terlambat, negara akan mengambil tindakan untuk menagih denda Anda jika Anda belum mengajukan banding. Denda polisi lalu lintas Leninogorsk memerlukan Simbol. Tanpa dokumen registrasi dan tanpa polis asuransi kewajiban motor wajib, akan dikenakan biaya 500 untuk hyperlink ke artikel ini. Pejabat Denda polisi lalu lintas Leninogorsk [...]
• Pesangon korban Chernobyl: (3+1) atau hanya 3? Bagi warga negara yang menderita akibat bencana Chernobyl (selanjutnya disebut korban Chernobyl), Undang-undang No. 796* menetapkan manfaat dan jaminan tertentu. Dengan demikian, korban Chernobyl yang tergolong kategori 1 antara lain diberikan hak istimewa untuk tinggal […]
• Pajak pondok. Anda perlu mengetahui hal ini.
• Saya dan suami sedang memikirkan tentang rumah musim panas di mana kami bisa datang, menggali sedikit di tempat tidur, dan di malam hari duduk di kursi goyang dekat api unggun dan tidak memikirkan apa pun. Santai aja. Kita tahu secara langsung bahwa berkebun itu tidak murah (pupuk kandang, pupuk, bibit), pajak… Pajak apa […]
• 3. VARIABEL ACAK. KONSEP VARIABEL ACAK Variabel acak adalah besaran yang, sebagai hasil pengujian yang dilakukan pada kondisi yang sama, mempunyai nilai yang berbeda, secara umum, bergantung pada faktor acak yang tidak diperhitungkan. Contoh variabel acak: jumlah poin yang diambil per […]
• Penghapusan lintasan Luas total benda, km 2; N pori-pori adalah jumlah elemen objek yang terkena dampak (bangunan, bengkel, struktur, sistem); Ntot adalah jumlah seluruh elemen benda. Untuk menentukan jumlah korban dapat digunakan persamaan berikut: dimana Spor adalah jumlah korban ledakan mendadak; Lс adalah jumlah pekerja untuk suatu […]
• Hukum radiasi Stefan Boltzmann Untuk benda nyata, hukum Stefan-Boltzmann hanya dipenuhi secara kualitatif, yaitu dengan meningkatnya suhu, luminositas energik semua benda meningkat. Namun, untuk benda nyata, ketergantungan luminositas energik pada suhu tidak lagi dijelaskan dengan hubungan sederhana (16.7), tetapi […]

Bab 6. Variabel acak kontinu.

§ 1. Massa jenis dan fungsi distribusi variabel acak kontinu.

Himpunan nilai dari variabel acak kontinu tidak dapat dihitung dan biasanya mewakili suatu interval berhingga atau tak terhingga.

Variabel acak x(w) yang didefinisikan dalam ruang probabilitas (W, S, P) disebut kontinu(mutlak kontinu) W, jika terdapat fungsi non-negatif sehingga untuk sembarang x fungsi distribusi Fx(x) dapat direpresentasikan sebagai integral

Fungsi tersebut disebut fungsi kepadatan distribusi probabilitas.

Definisi tersebut menyiratkan sifat-sifat fungsi kepadatan distribusi:

1..gif" lebar = "97" tinggi = "51">

3. Pada titik kontinuitas, kerapatan distribusi sama dengan turunan fungsi distribusi: .

4. Kepadatan distribusi menentukan hukum distribusi suatu variabel acak, karena menentukan peluang suatu variabel acak masuk ke dalam interval:

5. Peluang suatu variabel acak kontinu mengambil nilai tertentu adalah nol: . Oleh karena itu, persamaan berikut ini valid:

Grafik fungsi kepadatan distribusi disebut kurva distribusi, dan luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dan sumbu x sama dengan satu. Maka secara geometris nilai fungsi distribusi Fx(x) di titik x0 adalah luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dan sumbu absis serta terletak di sebelah kiri titik x0.

Tugas 1. Fungsi kepadatan variabel acak kontinu berbentuk:

Tentukan konstanta C, buat fungsi distribusi Fx(x) dan hitung probabilitasnya.

Larutan. Konstanta C ditemukan dari kondisi Kita mempunyai:

dari mana C=3/8.

Untuk membangun fungsi distribusi Fx(x), perhatikan bahwa interval membagi rentang nilai argumen x (sumbu numerik) menjadi tiga bagian: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" lebar="264" tinggi="49">

karena massa jenis x pada setengah sumbu adalah nol. Dalam kasus kedua

Terakhir, pada kasus terakhir, ketika x>2,

Karena massa jenisnya hilang pada sumbu semi. Sehingga diperoleh fungsi distribusi

Kemungkinan Mari kita hitung menggunakan rumus. Dengan demikian,

§ 2. Karakteristik numerik dari variabel acak kontinu

Ekspektasi untuk variabel acak yang terdistribusi terus menerus ditentukan dengan rumus https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

jika integral di sebelah kanan konvergen mutlak.

Penyebaran x dapat dihitung menggunakan rumus , dan juga, seperti dalam kasus diskrit, menurut rumus https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Semua sifat ekspektasi dan dispersi matematis yang diberikan dalam Bab 5 untuk variabel acak diskrit juga berlaku untuk variabel acak kontinu.

Masalah 2. Untuk variabel acak x dari Soal 1, hitung ekspektasi matematis dan variansnya .

Larutan.

Dan itu artinya

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Untuk grafik kepadatan distribusi seragam, lihat Gambar. .

Gambar.6.2. Fungsi distribusi dan kepadatan distribusi. hukum yang seragam

Fungsi distribusi Fx(x) dari variabel acak yang terdistribusi seragam adalah sama dengan

Fx(x)=

Ekspektasi dan varians; .

Distribusi eksponensial (eksponensial). Variabel acak kontinu x yang mengambil nilai non-negatif mempunyai distribusi eksponensial dengan parameter l>0 jika distribusi kepadatan probabilitas variabel acak tersebut sama dengan

px(x)=

Beras. 6.3. Fungsi distribusi dan kepadatan distribusi hukum eksponensial.

Fungsi distribusi dari distribusi eksponensial berbentuk

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> dan jika kepadatan distribusinya sama dengan

.

Melalui menunjukkan himpunan semua variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal dengan parameter parameter dan .

Fungsi distribusi variabel acak yang terdistribusi normal adalah sama dengan

.

Beras. 6.4. Fungsi distribusi dan kepadatan distribusi normal

Parameter distribusi normal adalah ekspektasi matematis https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Dalam kasus khusus kapan https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> distribusi normal disebut standar, dan kelas distribusi tersebut dilambangkan dengan https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

dan fungsi distribusi

Integral seperti itu tidak dapat dihitung secara analitis (tidak diambil dalam “kuadrat”), dan oleh karena itu tabel telah disusun untuk fungsi tersebut. Fungsi ini terkait dengan fungsi Laplace yang diperkenalkan pada Bab 4

,

oleh hubungan berikut . Dalam hal nilai parameter arbitrer https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> fungsi distribusi variabel acak dihubungkan ke fungsi Laplace menggunakan relasi:

.

Oleh karena itu, peluang suatu variabel acak berdistribusi normal masuk ke dalam suatu interval dapat dihitung dengan menggunakan rumus

.

Variabel acak non-negatif x disebut terdistribusi lognormal jika logaritmanya h=lnx memenuhi hukum normal. Nilai yang diharapkan dan varians dari variabel acak yang terdistribusi secara lognormal adalah Mx= dan Dx=.

Tugas 3. Biarkan variabel acak diberikan https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Larutan. Di sini https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Distribusi Laplace diberikan oleh fungsi fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> dan kurtosisnya adalah gx=3.

Gambar.6.5. Fungsi kepadatan distribusi Laplace.

Variabel acak x didistribusikan hukum Weibull, jika memiliki fungsi kepadatan distribusi sama dengan https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Distribusi Weibull mengatur waktu pengoperasian bebas kegagalan pada banyak perangkat teknis. Dalam permasalahan profil ini, karakteristik penting adalah tingkat kegagalan (tingkat kematian) l(t) dari elemen usia t yang dipelajari, ditentukan oleh hubungan l(t)=. Jika a=1, maka distribusi Weibull berubah menjadi distribusi eksponensial, dan jika a=2 - menjadi apa yang disebut distribusi Rayleigh.

Ekspektasi matematis dari distribusi Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, dengan Г(а) adalah Euler fungsi. .

Dalam berbagai permasalahan statistik terapan, sering dijumpai apa yang disebut dengan distribusi “terpotong”. Misalnya, otoritas pajak tertarik pada distribusi pendapatan individu yang pendapatan tahunannya melebihi batas tertentu c0 yang ditetapkan oleh undang-undang perpajakan. Distribusi ini ternyata kurang lebih bertepatan dengan distribusi Pareto. Distribusi Pareto diberikan oleh fungsi

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> dari variabel acak x dan fungsi terdiferensiasi monotonik ..gif" width="200" height="51">

Di sini https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Tugas 4. Variabel acak terdistribusi secara merata pada segmen tersebut. Temukan kepadatan variabel acak.

Larutan. Dari kondisi masalah berikut ini

Selanjutnya fungsinya merupakan fungsi monoton dan terdiferensiasi pada suatu interval serta mempunyai fungsi invers , yang turunannya sama dengan Oleh karena itu,

§ 5. Pasangan variabel acak kontinu

Misalkan dua variabel acak kontinu x dan h diberikan. Kemudian pasangan (x, h) mendefinisikan titik “acak” pada bidang. Pasangan (x, h) disebut vektor acak atau variabel acak dua dimensi.

Fungsi distribusi bersama variabel acak x dan h dan fungsinya disebut F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. kepadatan sendi distribusi probabilitas variabel acak x dan h disebut fungsi sedemikian rupa .

Arti dari pengertian kepadatan distribusi gabungan adalah sebagai berikut. Peluang “titik acak” (x, h) jatuh pada suatu daerah pada bidang dihitung sebagai volume bangun tiga dimensi – silinder “lengkung” yang dibatasi oleh permukaan https://pandia.ru/ teks/78/107/images/image098_3.gif" lebar="211" tinggi="39 src=">

Contoh paling sederhana dari distribusi gabungan dua variabel acak adalah dua dimensi distribusi seragam di lokasi syutingA. Misalkan himpunan berbatas M diberikan dengan luas. Didefinisikan sebagai distribusi pasangan (x, h), yang ditentukan oleh kepadatan sambungan berikut:

Tugas 5. Misalkan vektor acak dua dimensi (x, h) terdistribusi secara merata di dalam segitiga. Hitung peluang pertidaksamaan x>h.

Larutan. Luas segitiga yang ditunjukkan adalah (lihat Gambar No.?). Berdasarkan definisi distribusi seragam dua dimensi, kepadatan gabungan variabel acak x, h sama dengan

Suatu peristiwa berhubungan dengan suatu himpunan di pesawat, yaitu setengah pesawat. Lalu kemungkinannya

Pada setengah bidang B, kerapatan sambungan adalah nol di luar himpunan https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Jadi, setengah bidang B dibagi menjadi dua himpunan dan https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> dan , dan integral kedua sama dengan nol, karena kepadatan sambungan di sana sama dengan nol. Itu sebabnya

Jika kepadatan distribusi gabungan untuk pasangan (x, h) diberikan, maka kepadatan kedua komponen x dan h disebut kepadatan pribadi dan dihitung menggunakan rumus:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Untuk variabel acak yang terdistribusi kontinu dengan kepadatan рx(х), рh(у), independensi artinya

Tugas 6. Pada kondisi soal sebelumnya, tentukan apakah komponen vektor acak x dan h bebas?

Larutan. Mari kita hitung kepadatan parsial dan . Kami memiliki:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Jelasnya, dalam kasus kami https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> adalah kepadatan gabungan dari besaran x dan h, dan j( x, y) adalah fungsi dari dua argumen

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Tugas 7. Dalam kondisi soal sebelumnya, hitunglah .

Larutan. Menurut rumus di atas kita mempunyai:

.

Mewakili segitiga sebagai

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Kepadatan jumlah dua variabel acak kontinu

Misalkan x dan h adalah variabel acak bebas dengan kepadatan https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Kepadatan variabel acak x + h dihitung dengan rumus lilitan

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Hitung kepadatan jumlah tersebut.

Larutan. Karena x dan h terdistribusi menurut hukum eksponensial dengan parameter , maka kepadatannya sama

Karena itu,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Jika x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">negatif, dan oleh karena itu. Oleh karena itu, jika https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Jadi kami mendapat jawabannya:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> terdistribusi normal dengan parameter 0 dan 1. Variabel acak x1 dan x2 independen dan normal distribusi dengan parameter a1, dan a2 masing-masing. Buktikan bahwa x1 + x2 berdistribusi normal. Variabel acak x1, x2, ... xn terdistribusi dan bebas serta mempunyai fungsi kepadatan distribusi yang sama.

.

Temukan fungsi distribusi dan kepadatan distribusi nilai:

a) h1 = menit (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = maks (x1,x2, ... xn)

Variabel acak x1, x2,…xn bersifat bebas dan terdistribusi merata pada interval [a, b]. Temukan fungsi distribusi dan fungsi kepadatan distribusi besaran

x(1) = min (x1,x2, ...xn) dan x(2)= maks(x1, x2, ...xn).

Buktikan bahwa Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Variabel acak terdistribusi menurut hukum Cauchy Temukan: a) koefisien a; b) fungsi distribusi; c) peluang jatuh pada interval (-1, 1). Tunjukkan bahwa ekspektasi matematis x tidak ada. Variabel acak tunduk pada hukum Laplace dengan parameter l (l>0): Temukan koefisien a; membuat grafik kepadatan distribusi dan fungsi distribusi; temukan Mx dan Dx; tentukan peluang kejadian (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Tuliskan rumus rapat distribusi, cari Mx dan Dx.

Tugas komputasi.

Sebuah titik acak A mempunyai distribusi seragam dalam lingkaran berjari-jari R. Tentukan ekspektasi matematis dan varians jarak r suatu titik ke pusat lingkaran. Tunjukkan bahwa nilai r2 terdistribusi merata pada segmen tersebut.

Kepadatan distribusi suatu variabel acak berbentuk:

Hitung konstanta C, fungsi distribusi F(x), dan probabilitas Kepadatan distribusi suatu variabel acak berbentuk:

Hitung konstanta C, fungsi distribusi F(x), dan probabilitas Kepadatan distribusi suatu variabel acak berbentuk:
Hitung konstanta C, fungsi distribusi F(x), , varians dan probabilitas

Hitung kepadatan variabel acak, ekspektasi matematis, varians dan probabilitas Periksa apakah fungsinya =
mungkin merupakan fungsi distribusi dari variabel acak. Temukan karakteristik numerik dari besaran ini: Mx dan Dx. Variabel acak terdistribusi secara merata pada segmen tersebut. Tuliskan kepadatan distribusi. Temukan fungsi distribusi. Temukan peluang munculnya variabel acak pada segmen dan segmen tersebut. Kepadatan distribusi x sama dengan

.

Temukan konstanta c, kepadatan distribusi h = dan probabilitas

P (0,25

Waktu pengoperasian bebas kegagalan suatu komputer didistribusikan menurut hukum eksponensial dengan parameter l = 0,05 (kegagalan per jam), yaitu memiliki fungsi kepadatan

p(x) = .

Memecahkan masalah tertentu memerlukan pengoperasian mesin bebas masalah selama 15 menit. Jika terjadi kegagalan saat menyelesaikan suatu masalah, kesalahan tersebut terdeteksi hanya setelah solusi selesai, dan masalah diselesaikan kembali. Temukan: a) probabilitas bahwa selama penyelesaian masalah tidak akan terjadi satu pun kegagalan; b) waktu rata-rata penyelesaian masalah.

Sebuah batang yang panjangnya 24 cm dipecah menjadi dua bagian; Kita asumsikan bahwa titik patah terdistribusi secara merata di sepanjang batang. Berapa panjang rata-rata sebagian besar batang? Sepotong berukuran panjang 12 cm dipotong secara acak menjadi dua bagian. Titik potong didistribusikan secara merata di sepanjang segmen. Berapa panjang rata-rata bagian kecil dari segmen tersebut? Variabel acak terdistribusi secara merata pada segmen tersebut. Tentukan rapat distribusi variabel acak a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Tunjukkan jika x mempunyai fungsi distribusi kontinu

F(x) = P(x

Tentukan fungsi massa jenis dan fungsi distribusi dari jumlah dua besaran bebas x dan h yang mempunyai hukum distribusi seragam pada segmen dan masing-masing. Variabel acak x dan h saling bebas dan terdistribusi merata pada segmen dan masing-masing. Hitung massa jenis dari jumlah x+h. Variabel acak x dan h saling bebas dan terdistribusi merata pada segmen dan masing-masing. Hitung massa jenis dari jumlah x+h. Variabel acak x dan h saling bebas dan terdistribusi merata pada segmen dan masing-masing. Hitung massa jenis dari jumlah x+h. Variabel acak bersifat independen dan memiliki distribusi eksponensial dengan kepadatan . Temukan kepadatan distribusi jumlah mereka. Tentukan distribusi jumlah variabel acak bebas x dan h, dimana x berdistribusi seragam pada intervalnya, dan h berdistribusi eksponensial dengan parameter l. Temukan P , jika x mempunyai: a) berdistribusi normal dengan parameter a dan s2; b) distribusi eksponensial dengan parameter l; c) distribusi seragam pada segmen [-1;1]. Distribusi gabungan x, h adalah kuadrat seragam
K = (x, kamu): |x| +|kamu|£ 2). Temukan probabilitas . Apakah x dan h independen? Sepasang variabel acak x dan h terdistribusi merata di dalam segitiga K=. Hitung massa jenis x dan h. Apakah variabel acak ini independen? Temukan kemungkinannya. Variabel acak x dan h saling bebas dan terdistribusi merata pada segmen dan [-1,1]. Temukan kemungkinannya. Variabel acak dua dimensi (x, h) terdistribusi merata pada persegi dengan simpul (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Tentukan nilai fungsi distribusi gabungan di titik (1, -1). Sebuah vektor acak (x, h) terdistribusi merata di dalam lingkaran berjari-jari 3 yang berpusat di titik asal. Tuliskan ekspresi kepadatan distribusi gabungan. Tentukan apakah variabel acak ini bergantung. Hitung probabilitas. Sepasang variabel acak x dan h terdistribusi merata di dalam trapesium dengan simpul di titik (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Temukan kepadatan distribusi gabungan untuk pasangan variabel acak ini dan kepadatan komponennya. Apakah x dan h bergantung? Pasangan acak (x, h) terdistribusi merata di dalam setengah lingkaran. Temukan kepadatan x dan h, selidiki pertanyaan tentang ketergantungannya. Kepadatan gabungan dua variabel acak x dan h sama dengan .
Temukan kepadatan x, h. Selidiki pertanyaan tentang ketergantungan x dan h. Pasangan acak (x, h) terdistribusi merata di himpunan. Temukan kepadatan x dan h, selidiki pertanyaan tentang ketergantungannya. Temukan M(xh). Variabel acak x dan h saling bebas dan terdistribusi menurut hukum eksponensial dengan parameter Find

– jumlah anak laki-laki di antara 10 bayi baru lahir.

Jelas sekali bahwa jumlah ini tidak diketahui sebelumnya, dan sepuluh anak yang lahir berikutnya mungkin termasuk:

Atau anak laki-laki - satu dan hanya satu dari opsi yang terdaftar.

Dan, agar tetap bugar, sedikit pendidikan jasmani:

– jarak lompat jauh (di beberapa unit).

Bahkan seorang ahli olahraga pun tidak dapat memprediksinya :)

Namun hipotesis Anda?

2) Variabel acak kontinu – menerima Semua nilai numerik dari beberapa interval berhingga atau tak terhingga.

Catatan : singkatan DSV dan NSV populer dalam literatur pendidikan

Pertama, mari kita analisis variabel acak diskrit, lalu - kontinu.

Hukum distribusi variabel acak diskrit

- Ini korespondensi antara nilai yang mungkin dari besaran ini dan probabilitasnya. Paling sering, hukum ditulis dalam sebuah tabel:

Istilah ini cukup sering muncul baris distribusi, tetapi dalam beberapa situasi kedengarannya ambigu, jadi saya akan tetap berpegang pada "hukum".

Dan sekarang poin yang sangat penting: karena variabel acak Perlu akan menerima salah satu nilai, lalu bentuk acara terkait kelompok penuh dan jumlah peluang terjadinya sama dengan satu:

atau jika ditulis ringkas:

Jadi, misalnya, hukum distribusi probabilitas poin yang dilempar pada sebuah dadu memiliki bentuk sebagai berikut:

Tidak ada komentar.

Anda mungkin mendapat kesan bahwa variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat yang “baik”. Mari kita hilangkan ilusi - mereka bisa berupa apa saja:

Contoh 1

Beberapa permainan memiliki hukum distribusi kemenangan sebagai berikut:

...Anda mungkin sudah lama memimpikan tugas seperti itu :) Saya akan memberi tahu Anda sebuah rahasia - saya juga. Apalagi setelah selesai mengerjakan teori lapangan.

Larutan: karena variabel acak hanya dapat mengambil satu dari tiga nilai, maka kejadian yang bersesuaian akan terbentuk kelompok penuh, yang berarti jumlah probabilitasnya sama dengan satu:

Mengungkap “partisan”:

– jadi, probabilitas memenangkan unit konvensional adalah 0,4.

Pengendalian: itulah yang perlu kami pastikan.

Menjawab:

Bukan hal yang aneh jika Anda perlu membuat undang-undang distribusi sendiri. Untuk ini mereka menggunakan definisi klasik tentang probabilitas, teorema perkalian/penjumlahan untuk probabilitas kejadian dan chip lainnya tervera:

Contoh 2

Kotak itu berisi 50 tiket lotere, 12 di antaranya menang, dan 2 di antaranya memenangkan masing-masing 1000 rubel, dan sisanya - masing-masing 100 rubel. Buatlah hukum untuk distribusi variabel acak - besarnya kemenangan, jika satu tiket diambil secara acak dari kotak.

Larutan: seperti yang Anda perhatikan, nilai variabel acak biasanya ditempatkan di dalamnya dalam urutan menaik. Oleh karena itu, kita mulai dengan kemenangan terkecil, yaitu rubel.

Total ada 50 tiket seperti itu - 12 = 38, dan menurut definisi klasik:
– kemungkinan tiket yang diambil secara acak akan kalah.

Dalam kasus lain, semuanya sederhana. Peluang memenangkan rubel adalah:

Periksa: – dan ini adalah momen yang sangat menyenangkan untuk melakukan tugas seperti itu!

Menjawab: hukum pembagian kemenangan yang diinginkan:

Tugas berikut ini harus Anda selesaikan sendiri:

Contoh 3

Peluang penembak mengenai sasaran adalah . Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak - jumlah pukulan setelah 2 tembakan.

...Aku tahu kamu merindukannya :) Mari kita ingat teorema perkalian dan penjumlahan. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Hukum distribusi secara lengkap mendeskripsikan variabel acak, namun dalam praktiknya akan berguna (dan terkadang lebih berguna) jika mengetahui hanya sebagian saja. karakteristik numerik .

Ekspektasi variabel acak diskrit

Secara sederhana, ini adalah nilai rata-rata yang diharapkan ketika pengujian diulang berkali-kali. Biarkan variabel acak mengambil nilai dengan probabilitas masing-masing. Maka ekspektasi matematis dari variabel acak ini sama dengan jumlah produk semua nilainya dengan probabilitas yang sesuai:

atau runtuh:

Mari kita hitung, misalnya, ekspektasi matematis dari variabel acak - jumlah poin yang dilempar pada dadu:

Sekarang mari kita mengingat permainan hipotetis kita:

Timbul pertanyaan: apakah menguntungkan memainkan game ini? ...siapa yang punya kesan? Jadi Anda tidak bisa mengatakannya “begitu saja”! Tetapi pertanyaan ini dapat dengan mudah dijawab dengan menghitung ekspektasi matematis, pada dasarnya - rata-rata tertimbang berdasarkan kemungkinan menang:

Demikian ekspektasi matematis dari game ini kekalahan.

Jangan percaya kesan Anda - percayalah pada angka-angkanya!

Ya, di sini Anda bisa menang 10 atau bahkan 20-30 kali berturut-turut, tetapi dalam jangka panjang kita akan menghadapi kehancuran yang tak terhindarkan. Dan saya tidak menyarankan Anda memainkan game seperti itu :) Yah, mungkin saja untuk bersenang-senang.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa ekspektasi matematis bukan lagi nilai ACAK.

Tugas kreatif untuk penelitian independen:

Contoh 4

Tuan X memainkan roulette Eropa menggunakan sistem berikut: dia terus-menerus bertaruh 100 rubel pada “merah”. Buatlah hukum distribusi variabel acak - kemenangannya. Hitung ekspektasi matematis dari kemenangan dan bulatkan ke kopeck terdekat. Berapa banyak rata-rata Apakah pemain kalah untuk setiap seratus taruhannya?

Referensi : Roulette Eropa berisi 18 sektor merah, 18 hitam dan 1 hijau (“nol”). Jika “merah” muncul, pemain dibayar dua kali lipat dari taruhannya, jika tidak maka akan masuk ke pendapatan kasino

Ada banyak sistem roulette lain di mana Anda dapat membuat tabel probabilitas Anda sendiri. Namun hal ini terjadi ketika kita tidak memerlukan hukum atau tabel distribusi apa pun, karena sudah dipastikan bahwa ekspektasi matematis pemain akan sama persis. Satu-satunya hal yang berubah dari sistem ke sistem adalah