Kita telah mengetahui bahwa himpunan bilangan real $R$ dibentuk oleh bilangan rasional dan irasional.

Bilangan rasional selalu dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal (periodik berhingga atau tak terhingga).

Bilangan irasional ditulis sebagai pecahan desimal tak terhingga namun bukan periodik.

Himpunan bilangan real $R$ juga mencakup elemen $-\infty $ dan $+\infty $, yang pertidaksamaannya $-\infty berlaku

Mari kita lihat cara untuk merepresentasikan bilangan real.

Pecahan biasa

Pecahan biasa ditulis menggunakan dua bilangan asli dan garis pecahan mendatar. Bilah pecahan sebenarnya menggantikan tanda pembagian. Angka di bawah garis merupakan penyebut pecahan (pembagi), angka di atas garis merupakan pembilangnya (pembagi).

Definisi

Suatu pecahan disebut pecahan biasa jika pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Sebaliknya, suatu pecahan disebut pecahan biasa jika pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya.

Untuk pecahan biasa, ada aturan perbandingan yang sederhana dan hampir jelas ($m$,$n$,$p$ - bilangan asli):

dari dua pecahan yang penyebutnya sama, pecahan yang pembilangnya lebih besar akan lebih besar, yaitu $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ for $m>n$;
dari dua pecahan yang pembilangnya sama, pecahan yang penyebutnya lebih kecil lebih besar, yaitu $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ untuk $ m
pecahan biasa selalu kurang dari satu; pecahan biasa selalu lebih besar dari satu; pecahan yang pembilangnya sama dengan penyebutnya sama dengan satu;
Setiap pecahan biasa lebih besar dari setiap pecahan biasa.

Angka desimal

Notasi bilangan desimal (pecahan desimal) berbentuk: bagian bilangan bulat, titik desimal, bagian pecahan. Notasi desimal pecahan biasa dapat diperoleh dengan membagi pembilangnya dengan penyebutnya dengan “sudut”. Hal ini dapat menghasilkan pecahan desimal berhingga atau pecahan desimal periodik tak terhingga.

Definisi

Digit bagian pecahan disebut desimal. Dalam hal ini, angka pertama setelah koma disebut angka persepuluhan, angka kedua - angka keseratus, angka ketiga - angka keseribu, dan seterusnya.

Contoh 1

Tentukan nilai bilangan desimal 3,74. Kita mendapatkan: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Angka desimal dapat dibulatkan. Dalam hal ini, Anda harus menunjukkan digit yang akan dibulatkan.

Aturan pembulatannya adalah sebagai berikut:

semua angka di sebelah kanan angka ini diganti dengan angka nol (jika angka tersebut sebelum koma) atau dibuang (jika angka tersebut setelah koma);
jika angka pertama setelah angka tertentu kurang dari 5, maka angka dari angka tersebut tidak diubah;
jika angka pertama setelah suatu angka tertentu berjumlah 5 atau lebih, maka angka dari angka tersebut ditambah satu.

Contoh 2

Mari kita bulatkan angka 17302 menjadi ribuan: 17000.
Mari kita bulatkan angka 17378 menjadi ratusan: 17400.
Mari kita bulatkan angka 17378,45 menjadi puluhan: 17380.
Mari kita bulatkan angka 378.91434 ke ratusan terdekat: 378.91.
Mari kita bulatkan angka 378.91534 ke ratusan terdekat: 378.92.

Ubah angka desimal menjadi pecahan.

Kasus 1

Angka desimal mewakili pecahan desimal yang berakhir.

Contoh berikut menunjukkan metode konversi.

Contoh 2

Kita mempunyai: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Kami menguranginya menjadi penyebut yang sama dan mendapatkan:

Pecahan yang dapat dikurangi: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Kasus 2

Desimal mewakili pecahan desimal periodik tak terhingga.

Metode konversi didasarkan pada kenyataan bahwa bagian periodik dari pecahan desimal periodik dapat dianggap sebagai jumlah suku-suku suatu barisan geometri menurun yang tak terhingga.

Contoh 4

$0,\kiri(74\kanan)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Suku pertama barisan tersebut adalah $a=0,74$, penyebut barisan tersebut adalah $q=0,01$.

Contoh 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Suku pertama barisan tersebut adalah $a=0,08$, penyebut barisan tersebut adalah $q=0,1$.

Jumlah suku-suku suatu barisan geometri menurun tak terhingga dihitung dengan rumus $s=\frac(a)(1-q) $, dengan $a$ adalah suku pertama dan $q$ adalah penyebut barisan $ \kiri (0

Contoh 6

Mari kita ubah pecahan desimal periodik tak hingga $0,\left(72\right)$ menjadi pecahan biasa.

Suku pertama barisan tersebut adalah $a=0,72$, penyebut barisan tersebut adalah $q=0,01$. Kita peroleh: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,72)(1-0,01) =\frac(0,72)(0,99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11)$. Jadi, $0,\kiri(72\kanan)=\frac(8)(11) $.

Contoh 7

Mari kita ubah pecahan desimal periodik tak hingga $0,5\kiri(3\kanan)$ menjadi pecahan biasa.

Suku pertama barisan tersebut adalah $a=0,03$, penyebut barisan tersebut adalah $q=0,1$. Kita mendapatkan: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.

Jadi, $0,5\kiri(3\kanan)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Bilangan real dapat direpresentasikan dengan titik-titik pada sumbu bilangan.

Dalam hal ini, kita menyebut sumbu bilangan sebagai garis lurus tak terhingga di mana titik asal (titik $O$), arah positif (ditunjukkan oleh panah) dan skala (untuk menampilkan nilai) dipilih.

Ada korespondensi satu-satu antara semua bilangan real dan semua titik pada sumbu bilangan: setiap titik berhubungan dengan satu bilangan dan, sebaliknya, setiap bilangan berhubungan dengan satu titik. Oleh karena itu, himpunan bilangan real adalah kontinu dan tak terhingga, seperti halnya garis bilangan yang kontinu dan tak terhingga.

Beberapa himpunan bagian dari himpunan bilangan real disebut interval numerik. Unsur-unsur interval numerik adalah bilangan $x\in R$ yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Misalkan $a\di R$, $b\di R$ dan $a\le b$. Dalam hal ini, jenis intervalnya bisa sebagai berikut:

Interval $\kiri(a,\; b\kanan)$. Pada saat yang sama $a
Segmen $\kiri$. Selain itu, $a\le x\le b$.
Setengah segmen atau setengah interval $\kiri$. Terlebih lagi $ a \le x
Interval tak terhingga, misalnya $a

Jenis interval yang disebut lingkungan suatu titik juga penting. Lingkungan suatu titik $x_(0) \in R$ adalah interval sembarang $\left(a,\; b\right)$ yang memuat titik ini di dalam dirinya sendiri, yaitu $a 0$ adalah jari-jarinya.

Nilai mutlak suatu bilangan

Nilai absolut (atau modulus) bilangan real $x$ adalah bilangan real non-negatif $\left|x\right|$, ditentukan dengan rumus: $\left|x\right|=\left\(\ mulai(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm at)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm at)\; \; x

Secara geometris, $\left|x\right|$ berarti jarak antara titik $x$ dan 0 pada garis bilangan.

Sifat-sifat nilai absolut:

dari definisi berikut bahwa $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
untuk modulus penjumlahan dan modulus selisih dua bilangan, pertidaksamaan berikut ini valid: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, serta $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\kiri|y\kanan|$,$\ kiri|x-y\kanan|\ge \kiri|x\kanan|-\kiri|y\kanan|$;
untuk modulus hasil kali dan modulus hasil bagi dua bilangan, persamaan berikut ini benar: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ dan $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Berdasarkan definisi nilai absolut untuk bilangan sembarang $a>0$, kita juga dapat menetapkan kesetaraan dari pasangan pertidaksamaan berikut:

jika $\kiri|x\kanan|
jika $\kiri|x\kanan|\le a$, maka $-a\le x\le a$;
jika $\left|x\right|>a$, maka $xa$;
jika $\left|x\right|\ge a$, maka $x\le -a$ atau $x\ge a$.

Contoh 8

Selesaikan pertidaksamaan $\left|2\cdot x+1\right|

Ketimpangan ini setara dengan ketimpangan $-7

Dari sini kita mendapatkan: $-8

No.1. Sifat-sifat bilangan rasional.

 Ketertiban . Untuk bilangan rasional apa pun, ada aturan yang memungkinkan seseorang mengidentifikasi secara unik satu dan hanya satu dari ketiga bilangan tersebut hubungan: "", "" atau "". Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan positif dan dihubungkan dengan hubungan yang sama seperti dua bilangan bulat; dua bilangan bukan positif mempunyai hubungan yang sama dengan dua bilangan bukan negatif; kalau tiba-tiba bukan negatif, tapi negatif, ya.

Menjumlahkan Pecahan

 Operasi penambahan . aturan penjumlahan, yang menempatkannya dalam korespondensi dengan bilangan rasional tertentu. Dalam hal ini, nomor itu sendiri yang dipanggil jumlah bilangan u dilambangkan, dan proses menemukan bilangan tersebut disebut penjumlahan. Aturan penjumlahan memiliki bentuk sebagai berikut: .

 Operasi perkalian . Untuk bilangan rasional apa pun ada yang disebut aturan perkalian, yang menempatkannya dalam korespondensi dengan bilangan rasional tertentu. Dalam hal ini, nomor itu sendiri yang dipanggil bekerja bilangan dan dilambangkan, dan proses mencari bilangan tersebut disebut juga perkalian. Aturan perkaliannya terlihat seperti ini: .

 Transitivitas hubungan ketertiban. Untuk setiap tiga bilangan rasional, dan jika semakin kecil, maka semakin kecil, dan jika sama, maka sama.

 Komutatifitas tambahan. Mengubah tempat suku-suku rasional tidak mengubah jumlah.

 Asosiatif tambahan. Urutan penjumlahan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.

 Tersedianyanol . Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.

 Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional mempunyai bilangan rasional yang berlawanan, yang bila dijumlahkan menghasilkan 0.

 Komutatifitas perkalian. Mengganti tempat faktor rasional tidak mengubah produk.

 Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.

 Tersedianyaunit . Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.

 Tersedianyanomor timbal balik . Setiap bilangan rasional bukan nol mempunyai bilangan rasional terbalik, yang bila dikalikan dengan menghasilkan 1.

 Distribusi perkalian relatif terhadap penjumlahan. Operasi perkalian dikoordinasikan dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:

 Koneksi hubungan urutan dengan operasi penjumlahan. Bilangan rasional yang sama dapat dijumlahkan pada ruas kiri dan kanan suatu pertidaksamaan rasional.

 Hubungan antara relasi orde dan operasi perkalian. Ruas kiri dan kanan suatu pertidaksamaan rasional dapat dikalikan dengan bilangan rasional positif yang sama.

 Aksioma Archimedes . Berapapun bilangan rasionalnya, kita dapat mengambil begitu banyak satuan yang jumlahnya melebihi.

No.2. Modulus bilangan real.

Definisi . Modulus bilangan real non-negatif x adalah bilangan itu sendiri: | x | = x; Modulus bilangan real negatif x adalah kebalikannya: I x | = -x.

Singkatnya ditulis seperti ini:

2. Arti geometris modulus bilangan real

Mari kita kembali ke himpunan R bilangan real dan geometriknya model- garis bilangan. Mari kita tandai dua titik a dan b (dua bilangan real a dan b) pada suatu garis lurus, dan dilambangkan dengan (a, b) jarak antara titik a dan b (huruf alfabet Yunani “rho”). Jarak ini sama dengan b - a, jika b > a (Gbr. 101), sama dengan a - b, jika a > b (Gbr. 102), dan terakhir sama dengan nol jika a = b.

Ketiga kasus tersebut dicakup oleh satu rumus:

b) Persamaan | x + 3,2 | = 2 kita tulis ulang dalam bentuk | x - (- 3.2) | = 2 dan selanjutnya (x, - 3.2) = 2. Pada garis koordinat ada dua titik yang dipindahkan dari titik - 3.2 dengan jarak sama dengan 2. Yaitu titik - 5.2 dan - 1.2 (Gbr. 104) . Jadi persamaannya ada dua akar: -5.2 dan - 1.2.

№4.SET ANGKA NYATA

Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional disebut himpunan sah (atau nyata ) angka . Himpunan bilangan real dilambangkan dengan simbol R. Jelas sekali, .

Bilangan real ditampilkan sumbu angka Oh titik (Gbr.). Dalam hal ini, setiap bilangan real berhubungan dengan titik tertentu pada sumbu bilangan, dan setiap titik pada sumbu berhubungan dengan bilangan real tertentu.

Oleh karena itu, alih-alih menggunakan kata “bilangan real”, Anda dapat mengucapkan “titik”.

Nomor 5. Interval numerik.

Jenis kesenjangan	Gambar geometris	Penamaan	Menulis menggunakan ketidaksetaraan
Selang

Setengah interval
Setengah interval


Sinar terbuka
Sinar terbuka

Nomor 6. Fungsi numerik.

Biarkan satu set nomor diberikan Jika setiap nomor dikaitkan dengan satu nomor kamu, lalu mereka mengatakan itu di lokasi syuting D numerik yang diberikan fungsi :

kamu = F (X),

Banyak D ditelepon domain fungsi dan ditunjuk D (F (X)). Himpunan yang terdiri dari semua elemen F (X), di mana ia dipanggil rentang fungsi dan ditunjuk E (F (X)).

Nomor X sering dipanggil argumen fungsi atau variabel bebas, dan bilangan kamu– variabel terikat atau, pada kenyataannya, fungsi variabel X. Nomor yang sesuai dengan nilai disebut nilai fungsi pada suatu titik dan menunjukkan

Untuk mengatur suatu fungsi F, Anda perlu menentukan:

1) domain definisinya D (F (X));

2) tentukan aturannya F, yang mana setiap nilai dikaitkan dengan nilai tertentu kamu = F (X).

№7. Fungsi terbalik,

Fungsi terbalik

Jika peran argumen dan fungsi dibalik, maka X akan menjadi fungsi dari kamu. Dalam hal ini kita berbicara tentang fungsi baru yang disebut fungsi terbalik. Katakanlah kita mempunyai fungsi:

ay = kamu 2 ,

Di mana kamu- argumen, a ay- fungsi. Jika kita mengubah peran mereka, kita dapat kamu sebagai sebuah fungsi ay :

Jika kita menyatakan argumen di kedua fungsi dengan X , dan fungsinya – melalui kamu, maka kita memiliki dua fungsi:

yang masing-masing merupakan kebalikan dari yang lain.

CONTOH. Fungsi-fungsi ini merupakan kebalikan satu sama lain:

1) dosa X dan Arcsin X, karena jika kamu= dosa X, Itu X= Arcsin kamu;

2) karena X dan Arccos X, karena jika kamu= karena X, Itu X= Arccos kamu;

3) berjemur X dan Arctan X, karena jika kamu= berjemur X, Itu X= Arctan kamu;

4) e X dan ln X, karena jika kamu= e X, Itu X= mencatat kamu.

Fungsi trigonometri terbalik- fungsi matematika yang merupakan kebalikan dari fungsi trigonometri. Enam fungsi biasanya diklasifikasikan sebagai fungsi trigonometri terbalik:

arcsinus(simbol: arcsin)

busur kosinus(simbol: arccos)

tangen busur(sebutan: arctg; dalam sastra asing arctan)

kotangen busur(sebutan: arcctg; dalam literatur asing arccotan)

arcsecant(simbol: arcsec)

arccosecant(sebutan: arccosec; dalam literatur asing arccsc)

№8. Fungsi dasar dasar. Fungsi dasar

Perlu dicatat bahwa fungsi trigonometri invers bersifat multinilai (signifikan tak terhingga), dan ketika bekerja dengannya, apa yang disebut nilai pokok digunakan.

№9. Bilangan kompleks

ditulis dalam bentuk: sebuah+ dua. Di Sini A Dan B – bilangan real, A Saya – satuan imajiner, yaitu Saya 2 = –1. Nomor A ditelepon absis, A B – ordinat bilangan kompleks sebuah+ dua. Dua bilangan kompleks sebuah+ dua Dan A – dua dipanggil mengkonjugasikan bilangan kompleks.

Bilangan real dapat direpresentasikan dengan titik-titik pada suatu garis lurus, seperti terlihat pada gambar, dimana titik A melambangkan bilangan 4, dan titik B melambangkan bilangan -5. Angka yang sama juga dapat diwakili oleh segmen OA, OB, dengan mempertimbangkan tidak hanya panjangnya, tetapi juga arahnya.

Setiap titik M pada garis bilangan mewakili suatu bilangan real (rasional jika ruas OM sepadan dengan satuan panjang, dan irasional jika tidak dapat dibandingkan). Hal ini tidak memberikan ruang bagi bilangan kompleks pada garis bilangan.

Namun bilangan kompleks dapat digambarkan pada bidang bilangan. Untuk melakukan ini, kita memilih sistem koordinat persegi panjang pada bidang, dengan skala yang sama pada kedua sumbu.

Bilangan kompleks a + b saya diwakili oleh titik M yang absisnya x sama dengan absisnya A bilangan kompleks, dan ordinat y sama dengan ordinatnya B bilangan kompleks.

ANGKA NYATA II

§ 44 Representasi geometris bilangan real

Bilangan real secara geometris, sama seperti bilangan rasional, dilambangkan dengan titik-titik pada suatu garis.

Membiarkan aku adalah garis lurus sembarang, dan O adalah beberapa titiknya (Gbr. 58). Setiap bilangan real positif α mari kita kaitkan titik A yang terletak di sebelah kanan O pada jarak α satuan panjang.

Jika, misalnya, α = 2.1356..., lalu

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

dan seterusnya. Tentunya titik A dalam hal ini harus berada pada garis lurus aku di sebelah kanan titik-titik yang sesuai dengan angka-angka tersebut

2; 2,1; 2,13; ... ,

tetapi di sebelah kiri titik-titik yang sesuai dengan angka-angka tersebut

3; 2,2; 2,14; ... .

Dapat ditunjukkan bahwa kondisi ini ditentukan pada garis aku satu-satunya titik A, yang kita anggap sebagai bayangan geometri suatu bilangan real α = 2,1356... .

Demikian pula untuk setiap bilangan real negatif β mari kita kaitkan titik B yang terletak di sebelah kiri O pada jarak | β | satuan panjang. Terakhir, kita kaitkan angka “nol” dengan titik O.

Jadi, angka 1 akan tergambar pada garis lurus aku titik A, terletak di sebelah kanan O pada jarak satu satuan panjang (Gbr. 59), bilangan - √2 - oleh titik B, terletak di sebelah kiri O pada jarak √2 satuan panjang, dst .

Mari kita tunjukkan caranya pada garis lurus aku menggunakan kompas dan penggaris, Anda dapat menemukan titik-titik yang sesuai dengan bilangan real √2, √3, √4, √5, dst. Untuk melakukan ini, pertama-tama, kami akan menunjukkan bagaimana Anda dapat membuat segmen yang panjangnya dinyatakan oleh angka-angka ini. Misalkan AB adalah ruas yang diambil sebagai satuan panjang (Gbr. 60).

Di titik A, kita buat garis tegak lurus terhadap segmen ini dan gambarkan di atasnya segmen AC yang sama dengan segmen AB. Kemudian, dengan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC, kita peroleh; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

Jadi, ruas BC mempunyai panjang √2. Sekarang mari kita buat garis tegak lurus ruas BC di titik C dan pilih titik D di atasnya sehingga ruas CD sama dengan satu satuan panjang AB. Kemudian dari segitiga siku-siku BCD kita temukan:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Jadi, ruas BD mempunyai panjang √3. Melanjutkan proses yang dijelaskan lebih lanjut, kita dapat memperoleh segmen BE, BF, ..., yang panjangnya dinyatakan dengan angka √4, √5, dst.

Sekarang dalam garis lurus aku mudah untuk menemukan titik-titik yang berfungsi sebagai representasi geometris dari bilangan √2, √3, √4, √5, dst.

Dengan meletakkan, misalnya, ruas BC di sebelah kanan titik O (Gbr. 61), kita memperoleh titik C, yang berfungsi sebagai bayangan geometri bilangan √2. Dengan cara yang sama, letakkan ruas BD di sebelah kanan titik O, kita peroleh titik D", yang merupakan bayangan geometri bilangan √3, dst.

Namun, jangan berpikir menggunakan kompas dan penggaris pada garis bilangan aku seseorang dapat menemukan titik yang sesuai dengan bilangan real tertentu. Misalnya, telah dibuktikan bahwa, dengan hanya memiliki kompas dan penggaris, tidak mungkin membuat segmen yang panjangnya dinyatakan dengan bilangan. π = 3,14... . Oleh karena itu, pada garis bilangan aku dengan bantuan konstruksi seperti itu tidak mungkin untuk menunjukkan titik yang sesuai dengan angka ini. Namun demikian, titik tersebut ada.

Jadi, untuk setiap bilangan real α adalah mungkin untuk mengasosiasikan suatu titik tertentu dengan garis lurus aku . Titik ini akan berada pada jarak | α | satuan panjang dan berada di sebelah kanan O jika α > 0, dan di sebelah kiri O, jika α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой aku . Faktanya, biarkan nomornya α titik A sesuai, dan nomornya β - poin B. Lalu, jika α > β , maka A berada di sebelah kanan B (Gbr. 62, a); jika α < β , maka A terletak di sebelah kiri B (Gbr. 62, b).

Berbicara di § 37 tentang gambaran geometri bilangan rasional, kami mengajukan pertanyaan: dapatkah suatu titik pada suatu garis dianggap sebagai gambaran geometri suatu bilangan? rasional angka? Kami tidak dapat menjawab pertanyaan ini; Sekarang kita bisa menjawabnya dengan pasti. Terdapat titik-titik pada garis yang berfungsi sebagai representasi geometri bilangan irasional (misalnya √2). Oleh karena itu, tidak setiap titik pada suatu garis mewakili bilangan rasional. Namun dalam kasus ini, muncul pertanyaan lain: dapatkah suatu titik pada garis bilangan dianggap sebagai gambaran geometris suatu titik sah angka? Masalah ini telah diselesaikan secara positif.

Memang benar, misalkan A adalah suatu titik sembarang pada garis aku , terletak di sebelah kanan O (Gbr. 63).

Panjang segmen OA dinyatakan dengan bilangan real positif α (lihat § 41). Oleh karena itu, titik A merupakan bayangan geometri suatu bilangan α . Hal serupa juga ditetapkan bahwa setiap titik B yang terletak di sebelah kiri O dapat dianggap sebagai gambaran geometris bilangan real negatif - β , Di mana β - panjang segmen VO. Terakhir, titik O berfungsi sebagai representasi geometris dari angka nol. Jelaslah bahwa dua titik berbeda merupakan suatu garis lurus aku tidak dapat merupakan bayangan geometri bilangan real yang sama.

Oleh karena alasan-alasan tersebut di atas, suatu garis lurus yang titik O tertentu diindikasikan sebagai titik “awal” (untuk satuan panjang tertentu) disebut garis bilangan.

Kesimpulan. Himpunan semua bilangan real dan himpunan semua titik pada garis bilangan berkorespondensi satu-satu.

Ini berarti bahwa setiap bilangan real bersesuaian dengan satu titik yang terdefinisi dengan baik pada garis bilangan, dan sebaliknya, dengan setiap titik pada garis bilangan, dengan korespondensi seperti itu, terdapat satu bilangan real yang terdefinisi dengan baik.

Latihan

320. Tentukan titik mana yang berada di sebelah kiri dan mana yang berada di sebelah kanan garis bilangan, jika titik-titik tersebut bersesuaian dengan bilangan:

a) 1,454545... dan 1,455454...; c) 0 dan - 1,56673...;

b) - 12,0003... dan - 12,0002...; d) 13.24... dan 13.00....

321. Tentukan titik manakah di antara dua titik yang terletak pada garis bilangan lebih jauh dari titik awal O, jika titik-titik tersebut sesuai dengan bilangan:

a) 5,2397... dan 4,4996...; ..c) -0,3567... dan 0,3557... .

d) - 15.0001 dan - 15.1000...;

322. Pada bagian ini ditunjukkan bahwa untuk membuat ruas yang panjangnya √ N dengan menggunakan kompas dan penggaris, Anda dapat melakukan hal berikut: pertama buatlah ruas dengan panjang √2, kemudian ruas dengan panjang √3, dst., hingga kita mencapai ruas yang panjangnya √ N . Tapi untuk setiap tetap N > 3 proses ini dapat dipercepat. Misalnya, bagaimana Anda mulai membuat segmen dengan panjang √10?

323*. Cara menggunakan kompas dan penggaris untuk mencari titik pada garis bilangan yang sesuai dengan angka 1 / α , jika posisi titik sesuai dengan nomor tersebut α , apakah sudah diketahui?

Persamaan dengan modul, metode solusi. Bagian 1.

Sebelum memulai studi langsung tentang teknik penyelesaian persamaan tersebut, penting untuk memahami esensi modul dan makna geometrisnya. Dalam memahami definisi modulus dan makna geometrisnya, metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut diletakkan. Apa yang disebut metode interval ketika membuka tanda kurung modular sangat efektif sehingga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan apa pun dengan modulus. Pada bagian ini, kita akan mempelajari secara rinci dua metode standar: metode interval dan metode penggantian populasi.

Namun, seperti yang akan kita lihat, metode ini selalu efektif, namun tidak selalu mudah dan dapat menyebabkan perhitungan yang panjang dan bahkan tidak terlalu mudah, yang tentunya memerlukan lebih banyak waktu untuk menyelesaikannya. Oleh karena itu, penting untuk mengetahui metode-metode yang secara signifikan menyederhanakan penyelesaian struktur persamaan tertentu. Mengkuadratkan kedua ruas persamaan, metode memasukkan variabel baru, metode grafis, menyelesaikan persamaan yang mengandung modulus di bawah tanda modulus. Kita akan melihat metode ini di bagian selanjutnya.

Penentuan modulus suatu bilangan. Arti geometris dari modul.

Pertama-tama, mari berkenalan dengan arti geometris dari modul:

Modulus angka sebuah (|sebuah|) sebut jarak pada garis bilangan dari titik asal (titik 0) ke titik tersebut A A).

Berdasarkan definisi ini, mari kita lihat beberapa contoh:

|7| - ini jarak 0 ke titik 7, tentu sama dengan 7. → | 7 |=7

|-5|- ini jarak dari 0 ke titik -5 dan itu sama dengan: 5.→ |-5| = 5

Kita semua memahami bahwa jarak tidak bisa negatif! Oleh karena itu |x| ≥ 0 selalu!

Mari selesaikan persamaan: |x |=4

Persamaannya bisa dibaca seperti ini: jarak titik 0 ke titik x adalah 4. Iya, ternyata dari 0 kita bisa bergerak ke kiri dan ke kanan, artinya bergerak ke kiri dengan jarak yang sama dengan 4 kita akan sampai di titik: -4, dan bergerak ke kanan kita akan sampai di titik: 4. Memang benar, |-4 |=4 dan |4 |=4.

Maka jawabannya adalah x=±4.

Jika Anda mempelajari persamaan sebelumnya dengan cermat, Anda akan melihat bahwa: jarak ke kanan sepanjang garis bilangan dari 0 ke titik sama dengan titik itu sendiri, dan jarak ke kiri dari 0 ke bilangan tersebut sama dengan kebalikannya. nomor! Memahami bahwa angka di sebelah kanan 0 adalah positif, dan angka di sebelah kiri 0 adalah negatif, kita rumuskan pengertian modulus suatu bilangan: modulus (nilai mutlak) suatu bilangan X(|x|) adalah bilangan itu sendiri X, jika x ≥0, dan bilangan – X, jika x<0.

Disini kita perlu mencari himpunan titik pada garis bilangan yang jarak 0 sampai kurang dari 3, bayangkan sebuah garis bilangan, titik 0 di atasnya, ke kiri dan hitung satu (-1), dua (-2) dan tiga (-3), berhenti. Berikutnya adalah titik-titik yang letaknya lebih jauh dari 3 atau jarak dari 0 lebih besar dari 3, sekarang kita ke kanan: satu, dua, tiga, berhenti lagi. Sekarang kita pilih semua titik kita dan dapatkan interval x: (-3;3).

Penting bagi anda untuk melihatnya dengan jelas, jika masih belum bisa, gambarlah di atas kertas dan perhatikan agar ilustrasi ini benar-benar jelas bagi anda, jangan malas dan coba lihat solusi dari tugas-tugas berikut ini di benak anda. :

|x |=11, x=? |x|=-5, x=?

|x |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, x-? |x|> -3, x-?

|π-3|=? |-x²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|x²+2|=? |x²+4|=0

|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0

Apakah Anda memperhatikan tugas-tugas aneh di kolom kedua? Memang jarak tidak boleh negatif oleh karena itu: |x|=-5- tidak mempunyai solusi, tentu saja tidak boleh kurang dari 0, oleh karena itu: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 semuanya angka.

Setelah Anda belajar melihat gambar dengan solusi dengan cepat, baca terus.

Mundur ke Depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Sasaran:

Perlengkapan: proyektor, layar, komputer pribadi, presentasi multimedia

Kemajuan pelajaran

1. Momen organisasi.

2. Memperbarui pengetahuan siswa.

2.1. Jawab pertanyaan siswa tentang pekerjaan rumah.

2.2. Memecahkan teka-teki silang (pengulangan materi teori) (Geser 2):

Kombinasi simbol matematika yang mengekspresikan sesuatu

penyataan. ( Rumus.)
Pecahan non-periodik desimal tak terhingga. ( Irasional angka)

Digit atau sekelompok digit yang diulang dalam desimal tak berujung. ( Periode.)

Angka yang digunakan untuk menghitung benda. ( Alami angka.)

Pecahan periodik desimal tak terhingga. (Rasional angka .)

Angka rasional + bilangan irasional = ? angka .)

(Sah – Setelah menyelesaikan teka-teki silang, bacalah nama topik pelajaran hari ini pada kolom vertikal yang disorot.

(Slide 3, 4)

3. Penjelasan topik baru. A 3.1. – Guys, kalian sudah ketemu dengan konsep modul, kalian sudah menggunakan notasi |

| . Sebelumnya, kita hanya berbicara tentang bilangan rasional. Sekarang kita perlu memperkenalkan konsep modulus untuk sembarang bilangan real.

Setiap bilangan real berhubungan dengan satu titik pada garis bilangan, dan sebaliknya, setiap titik pada garis bilangan berhubungan dengan satu bilangan real. Semua sifat dasar operasi bilangan rasional dipertahankan untuk bilangan real. Konsep modulus bilangan real diperkenalkan.

(Geser 5). X Definisi. Modulus bilangan real non-negatif X| = X hubungi nomor ini sendiri: | X; modulus bilangan real negatif X| = – X .

– hubungi nomor sebaliknya: |