Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat. Maka persamaannya: (10+x)(10 -x) =96 atau: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) Solusi x = -2 tidak ada untuk Diophantus, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif .

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Persamaan kuadrat di India. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Persamaan kuadrat dalam al-Khorezmi. 1) “Kotak adalah akar-akar yang sama,” yaitu ax2 + c = bx. 2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu ax2 = c. 3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu ax = c. 4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu ax2 + c = bx. 5) “Kuadrat dan akar sama dengan bilangan”, yaitu ax2 + bx = c. 6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat”, yaitu bx + c = ax2.

Persamaan kuadrat di Eropa pada abad ke-13 dan ke-17. x2 +bx = c, untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien b, c dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Tentang teorema Vieta. “Jika B + D dikalikan A - A 2 sama dengan BD, maka A sama dengan B dan sama dengan D.” Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas mempunyai arti: jika (a + b)x - x2 = ab, yaitu x2 - (a + b)x + ab = 0, maka x1 = a, x2 = b.

Metode penyelesaian persamaan kuadrat. 1. METODE: Memfaktorkan ruas kiri persamaan. Mari selesaikan persamaan x2 + 10 x - 24 = 0. Mari kita faktorkan ruas kirinya: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut: (x + 12)(x - 2) = 0 Karena hasil kali nol, maka paling sedikit salah satu faktornya adalah nol. Oleh karena itu, ruas kiri persamaan menjadi nol pada x = 2, dan juga pada x = - 12. Artinya bilangan 2 dan - 12 merupakan akar-akar persamaan x2 + 10 x - 24 = 0.

2. METODE: Metode ekstraksi persegi penuh. Mari kita selesaikan persamaan x2 + 6 x - 7 = 0. Pilih persegi lengkap di sisi kiri. Untuk melakukan ini, kita menulis ekspresi x2 + 6 x dalam bentuk berikut: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Dalam ekspresi yang dihasilkan, suku pertama adalah kuadrat dari bilangan x, dan suku kedua adalah ganda hasil kali x dengan 3. Oleh karena itu, untuk mendapatkan kuadrat lengkap, Anda perlu menjumlahkan 32, karena x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Sekarang kita ubah ruas kiri persamaan x2 + 6 x - 7 = 0, tambahkan dan kurangi 32. Kita peroleh: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Jadi, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Jadi, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, atau x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODE : Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus. Kalikan kedua ruas persamaan ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 dengan 4 a dan secara berurutan kita mendapatkan: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 kapak + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 kapak + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 kapak = - b ± √ b 2 - 4 ac,

4. METODE: Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta. Seperti diketahui persamaan kuadrat tereduksi berbentuk x2 + px + c = 0. (1) Akar-akarnya memenuhi teorema Vieta, dimana untuk a = 1 berbentuk x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 dan x 2 = 1, karena q = 2 > 0 dan p = - 3 0 dan p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 dan x 2 = 1, karena q= - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 dan x 2 = - 1, karena q = - 9

5. METODE: Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode “melempar”. Misalkan ax = y, maka x = y/a; maka kita sampai pada persamaan y2 + by + ac = 0, yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan. Kita mencari akarnya y1 dan y2 menggunakan teorema Vieta. Akhirnya kita mendapatkan x1 = y1/a dan x1 = y2/a.

Contoh. Mari kita selesaikan persamaan 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Solusi. Mari kita “lempar” koefisien 2 ke suku bebas, sehingga kita mendapatkan persamaan y2 – 11 y + 30 = 0. Menurut teorema Vieta, y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Jawaban : 2, 5; 3.x 1 = 2. 5 x 2 = 3.

6. METODE: Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat. A. Misalkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dimana a ≠ 0. 1) Jika a + b + c = 0 (yaitu jumlah koefisiennya nol), maka x1 = 1, x2 = c/ A. Bukti. Membagi kedua ruas persamaan dengan a ≠ 0, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi x 2 + b/a x + c/a = 0. Menurut teorema Vieta, x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Dengan syarat, a – b + c = 0, maka b = a + c. Jadi, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), yaitu x1 = -1 dan x2 = c/ a, yaitu apa yang perlu dibuktikan.

B. Jika koefisien kedua b = 2 k bilangan genap, maka rumus akar-akar B. Persamaan di atas x2 + px + q = 0 berimpit dengan persamaan umum a = 1, b = p dan c = Q. Oleh karena itu, untuk persamaan kuadrat tereduksi, rumus akarnya adalah

7. METODE: Solusi grafis persamaan kuadrat. Jika pada persamaan x2 + px + q = 0 kita pindahkan suku kedua dan ketiga ke ruas kanan, kita peroleh x2 = - px - q. Mari kita buat grafik ketergantungan y = x2 dan y = - px - q.

Contoh 1) Mari kita selesaikan persamaan x2 - 3 x - 4 = 0 secara grafis (Gbr. 2). Larutan. Mari kita tuliskan persamaannya dalam bentuk x2 = 3 x + 4. Buatlah parabola y = x2 dan garis lurus y = 3 x + 4. Garis lurus y = 3 x + 4 dapat dibuat dengan menggunakan dua titik M (0; 4) dan N (3; 13) . Jawaban: x1 = - 1; x2 = 4

8. METODE : Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan kompas dan penggaris. menemukan akar kompas dan penggaris persegi (Gbr. 5). persamaan Kemudian, dengan teorema garis potong, kita mendapatkan OB OD = OA OC, dimana OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 menggunakan

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Jari-jari lingkaran lebih besar dari ordinat pusatnya (AS > SK, atau R > sebuah +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. METODE: Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram. z 2 + pz + q = 0. Skala lengkung nomogram dibuat sesuai dengan rumus (Gbr. 11): Dengan asumsi OS = p, ED = q, OE = a (semua dalam cm), Dari persamaan segitiga SAN dan CDF kita peroleh proporsinya

Contoh. 1) Untuk persamaan z 2 - 9 z + 8 = 0, nomogram memberikan akar-akar z 1 = 8, 0 dan z 2 = 1, 0 (Gbr. 12). 2) Dengan menggunakan nomogram, kita selesaikan persamaan 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Bagi koefisien persamaan ini dengan 2, kita mendapatkan persamaan z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomogram tersebut memberikan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0, 5. 3) Untuk persamaan z 2 - 25 z + 66 = 0, koefisien p dan q berada di luar skala, kita lakukan substitusi z = 5 t, kita peroleh persamaan t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, yang kita selesaikan menggunakan nomogram dan dapatkan t 1 = 0,6 dan t 2 = 4. 4, dari mana z 1 = 5 t 1 = 3. 0 dan z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. METODE: Metode geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Contoh. 1) Mari kita selesaikan persamaan x2 + 10 x = 39. Dalam persamaan aslinya, soal ini dirumuskan sebagai berikut: “Kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39” (Gbr. 15). Untuk sisi x yang diperlukan dari persegi asli yang kita peroleh

y2 + 6 y - 16 = 0. Penyelesaiannya ditunjukkan pada Gambar. 16, dimana y2 + 6 y = 16, atau y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Penyelesaian. Ekspresi y2 + 6 y + 9 dan 16 + 9 secara geometris mewakili persegi yang sama, dan persamaan awal y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 adalah persamaan yang sama. Dari sini kita peroleh bahwa y + 3 = ± 5, atau y1 = 2, y2 = - 8 (Gbr. 16).

Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, bahkan pada zaman dahulu, disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas bidang tanah dan pekerjaan penggalian. sifat militer, serta dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Orang Babilonia mampu menyelesaikan persamaan kuadrat sekitar 2000 tahun sebelum kita beriman. Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks paku mereka, selain teks-teks yang tidak lengkap, terdapat, misalnya, persamaan kuadrat lengkap: Aturan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks-teks Babilonia, bertepatan dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai di sana. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya menyajikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana cara menemukannya. Meskipun tingkat perkembangan aljabar yang tinggi di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat “Temukan dua bilangan, mengetahui bahwa jumlahnya adalah 20 dan hasil kali mereka adalah 96.” Diophantus beralasan sebagai berikut: dari kondisi soal maka bilangan-bilangan yang diperlukan tidak sama, karena jika keduanya sama, maka hasil kali keduanya bukan 96, melainkan 100. Jadi, salah satunya akan lebih dari setengah jumlah keduanya, yaitu. 10+X, yang lainnya lebih kecil, mis. 10-X. Selisih keduanya adalah 2X Maka X=2. Salah satu bilangan yang diperlukan adalah 12, yang lainnya adalah 8. Solusi X = -2 tidak ada untuk Diophantus, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif. PERSAMAAN: atau:

Persamaan kuadrat di India Permasalahan persamaan kuadrat juga ditemukan dalam risalah astronomi “Aryabhattiam”, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta, menguraikan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi satu bentuk kanonik: ax ² +bx=c, a>0 Salah satu soal matematikawan India terkenal abad ke-12 Bhaskara Sekawanan monyet lincah , setelah makan sepuasnya, bersenang-senang. Bagian kedelapan di alun-alun Saya bersenang-senang di lapangan. Dan dua belas di tanaman merambat... Mereka mulai melompat sambil bergelantungan... Berapa banyak monyet di sana, katakan padaku, dalam kawanan ini? Persamaan yang sesuai dengan soal tersebut adalah: Baskara menulis di bawah formulir: Selesaikan sisi kiri menjadi persegi, 0 Salah satu soal matematikawan India terkenal abad ke-12 Bhaskara Sekawanan monyet lincah, setelah makan sepuasnya, bersenang-senang. Bagian kedelapan di alun-alun Saya bersenang-senang di lapangan. Dan dua belas di tanaman merambat... Mereka mulai melompat sambil bergelantungan... Berapa banyak monyet di sana, katakan padaku, dalam kawanan ini? Persamaan yang sesuai dengan soal: Baskara menulis di bawah formulir: Selesaikan sisi kiri menjadi persegi,">

Persamaan kuadrat di Asia Kuno Beginilah cara ilmuwan Asia Tengah al-Khawarizmi memecahkan persamaan ini: Dia menulis: “Aturannya adalah: gandakan jumlah akarnya, x = 2x 5, Anda mendapatkan lima dalam soal ini, kalikan 5 dengan persamaan ini jadinya jadi dua puluh lima, 5 ·5=25 tambahkan ini jadi tiga puluh sembilan, jadinya enam puluh empat, 64 ambil akarnya, jadinya delapan, 8 dan kurangi setengah dari jumlah itu akar, yaitu lima, 8-5 akan tetap 3 ini akan menjadi akar kuadrat, yang Anda cari." Bagaimana dengan root kedua? Akar kedua tidak ditemukan, karena bilangan negatif tidak diketahui. x x = 39

Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII-XVII. Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2+inx+c=0 dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh Stiefel. Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat di Eropa pertama kali dinyatakan pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonard Fibonacci. Derivasi rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dalam bentuk umum tersedia dari Vieth, tetapi Vieth hanya mengenali akar-akar positif. Baru pada abad ke-17. berkat karya Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern

Tentang Teorema Vieta Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, yang diberi nama Vieta, dirumuskan pertama kali pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B + D dikalikan A-A sama dengan BD, maka A sama dengan B dan sama dengan D." Untuk memahami Vieta, kita harus ingat bahwa A, seperti huruf vokal lainnya, berarti yang tidak diketahui (x kita), sedangkan vokal B, D adalah koefisien untuk yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas berarti: Jika persamaan kuadrat x 2 +px+q=0 yang diberikan mempunyai akar-akar real, maka jumlahnya sama dengan -p, dan hasil kali sama dengan q, yaitu, x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (jumlah akar-akar persamaan kuadrat di atas sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas ).

Metode faktorisasi menjadikan persamaan kuadrat umum menjadi: A(x)·B(x)=0, dengan A(x) dan B(x) adalah polinomial terhadap x. Sasaran: Menghilangkan faktor persekutuan dari tanda kurung; Menggunakan rumus perkalian yang disingkat; Metode pengelompokan. Metode: Contoh:

Akar persamaan kuadrat: Jika D>0, Jika D 0, Jika D"> 0, Jika D"> 0, Jika D" title="Akar-akar persamaan kuadrat: Jika D>0, Jika D"> title="Akar persamaan kuadrat: Jika D>0, Jika D"> !}

X 1 dan x 2 – akar-akar persamaan Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 · X 2 = – 10 yang artinya akar-akar tersebut mempunyai tanda yang berbeda X 1 + X 2 = – 3 yang artinya akar memiliki modulus yang lebih besar - negatif Dengan seleksi kita menemukan akar-akarnya: X 1 = – 5, X 2 = 2 Contoh:

0, dengan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita memperoleh akar-akarnya: 5;6, kemudian kita kembali ke akar-akar persamaan awal: 2.5; 3. Jawaban: 2.5; 3. Penyelesaian persamaan" title="Selesaikan persamaan: 2x 2 - 11x +15 = 0. Mari kita pindahkan koefisien 2 ke suku bebas 2 - 11y +30= 0. D>0, menurut ke teorema kebalikan teorema Vieta, kita peroleh akar-akarnya: 5;6, lalu kita kembali ke akar-akar persamaan awal: 2.5; 3. Jawaban: 2.5;" class="link_thumb"> 14 !} Selesaikan persamaan: 2x x +15 = 0. Mari kita pindahkan koefisien 2 ke suku bebas y y +30= 0. D>0, menurut teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita mendapatkan akar-akarnya: 5;6, maka kita kembali ke akar persamaan awal: 2, 5; 3. Jawaban: 2.5; 3. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode “lempar”. 0, dengan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita memperoleh akar-akarnya: 5;6, kemudian kita kembali ke akar-akar persamaan awal: 2.5; 3. Jawaban: 2.5; 3. Penyelesaian persamaan "> 0, menurut teorema kebalikan teorema Vieta, kita peroleh akar-akarnya: 5;6, kemudian kita kembali ke akar-akar persamaan awal: 2,5; 3. Jawaban: 2,5; 3. Penyelesaian persamaan menggunakan metode "melempar". > 0, dengan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita memperoleh akar-akarnya: 5;6, kemudian kita kembali ke akar-akar persamaan awal: 2.5; 3. Jawaban: 2.5; 3. Penyelesaian persamaan" title="Selesaikan persamaan: 2x 2 - 11x +15 = 0. Mari kita pindahkan koefisien 2 ke suku bebas 2 - 11y +30= 0. D>0, menurut ke teorema kebalikan teorema Vieta, kita peroleh akar-akarnya: 5;6, lalu kita kembali ke akar-akar persamaan awal: 2.5; 3. Jawaban: 2.5;"> title="Selesaikan persamaan: 2x 2 - 11x +15 = 0. Mari kita pindahkan koefisien 2 ke suku bebas y 2 - 11y +30= 0. D>0, dengan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita mendapatkan akar-akarnya: 5; 6, lalu kita kembali ke akar persamaan awal: 2.5; 3. Jawaban: 2.5; 3. Penyelesaian persamaan"> !}

Jika dalam persamaan kuadrat a+b+c=0, maka salah satu akarnya sama dengan 1, dan akar kedua menurut teorema Vieta sama dengan akar kedua menurut teorema Vieta sama dengan Jika dalam persamaan kuadrat a+c=b , maka salah satu akarnya sama dengan (-1), dan akar kedua menurut teorema Vieta sama dengan Contoh: Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Jawaban: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Jawaban: 1;

Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat Tanpa menggunakan rumus, persamaan kuadrat dapat diselesaikan secara grafis. Mari kita selesaikan persamaannya. Untuk melakukannya, kita akan membuat dua grafik: X Y X 01 Y012 Jawaban: Absis titik potong grafik tersebut akan menjadi akar-akar persamaannya. Jika grafik-grafik tersebut berpotongan di dua titik, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar. Jika grafik-grafik tersebut berpotongan di satu titik, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar. Jika grafiknya tidak berpotongan, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar. 1)y=x2 2)y=x+1

Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram Ini adalah metode lama dan tidak dapat dilupakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, ditempatkan di hal. 83 “Tabel matematika empat digit” Bradis V.M. Tabel XXII. Nomogram untuk menyelesaikan persamaan Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan dari koefisiennya. Untuk persamaannya, nomogram memberikan akar-akarnya

Metode geometri untuk menyelesaikan persamaan kuadrat Pada zaman dahulu, ketika geometri lebih berkembang daripada aljabar, persamaan kuadrat diselesaikan bukan secara aljabar, tetapi secara geometris. Tapi, misalnya, bagaimana orang Yunani kuno memecahkan persamaan: atau Ekspresi dan secara geometris mewakili persegi yang sama, dan persamaan aslinya adalah persamaan yang sama. Di mana kita mendapatkan apa, atau

Kesimpulan Metode penyelesaian ini patut mendapat perhatian, karena tidak semuanya tercermin dalam buku teks matematika sekolah; menguasai teknik-teknik ini akan membantu siswa menghemat waktu dan menyelesaikan persamaan secara efektif; perlunya solusi cepat karena penggunaan sistem tes untuk ujian masuk;

Sejarah perkembangan penyelesaian persamaan kuadrat

Aristoteles

D.I.Mendeleev

Hitunglah sisi-sisi suatu bidang yang berbentuk persegi panjang jika luasnya 12 , A

Mari kita pertimbangkan masalah ini.

• Misal x adalah panjang lapangan, lalu lebarnya,
• – wilayahnya.
• Mari kita buat persamaan kuadrat:
• Papirus memberikan aturan untuk menyelesaikannya: “Bagi 12 dengan.”
• 12: .
• Jadi, .
• “Panjang bidangnya adalah 4,” kata papirus itu.

• Persamaan kuadrat tereduksi
• di mana bilangan real.

Dalam salah satu soal Babilonia, penting juga untuk menentukan panjang bidang persegi panjang (sebut saja) dan lebarnya ().

Menjumlahkan panjang dan dua lebar sebuah bidang persegi panjang, Anda mendapatkan 14, dan luas bidang tersebut adalah 24. Temukan sisi-sisinya.

Mari kita buat sistem persamaan:

Dari sini kita mendapatkan persamaan kuadrat.

Untuk menyelesaikannya, kita menambahkan angka tertentu pada ekspresi,

untuk mendapatkan persegi lengkap:

Karena itu, .

Sebenarnya persamaan kuadrat

Memiliki dua akar:

• DIOPHAN
• Seorang ahli matematika Yunani kuno yang diperkirakan hidup pada abad ke-3 SM. e. Penulis "Aritmatika" - sebuah buku yang didedikasikan untuk memecahkan persamaan aljabar.
• Saat ini, “persamaan Diophantine” biasanya berarti persamaan dengan koefisien bilangan bulat, yang penyelesaiannya harus dicari di antara bilangan bulat. Diophantus juga salah satu orang pertama yang mengembangkan notasi matematika.

“Temukan dua bilangan dengan mengetahui jumlah keduanya adalah 20 dan hasil kali keduanya adalah 96.”

Salah satu angkanya akan lebih dari setengah jumlahnya, yaitu 10+, sedangkan angka lainnya lebih kecil, yaitu 10-.

Oleh karena itu persamaan ()()=96

Mari kita sajikan salah satu permasalahan yang terkenal

Matematikawan India abad ke-12, Bhaskara:

Sekawanan monyet lincah

Setelah makan sepuasnya, saya bersenang-senang.

Bagian delapan di antaranya berbentuk persegi

Saya bersenang-senang di tempat terbuka.

Dan dua belas di sepanjang tanaman merambat...

Mereka mulai melompat, bergelantungan...

Berapa banyak monyet di sana?

Katakan padaku, di paket ini?

• Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahwa ia mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat bernilai dua.
• Solusi yang sesuai untuk persamaan tersebut

• Bhaskara menulis dalam bentuk dan, untuk melengkapi ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, kita tambahkan 32 2 pada kedua ruasnya, sehingga didapat

“AL-JEBR” – RESTORASI – AL-KHWAZMI MENYEBUT OPERASI PENGECUALIAN ISTILAH NEGATIF ​​DARI KEDUA BAGIAN PERSAMAAN DENGAN MENAMBAHKAN ISTILAH YANG SAMA, TETAPI BERLAWANAN PADA TANDA.

“AL-MUQABALAH” – KONTRASTISI – PENGURANGAN ISTILAH SERUPA DALAM BAGIAN DARI PERSAMAAN.

ATURAN "AL-JEBR"

SAAT MENYELESAIKAN PERSAMAAN

JIKA DI BAGIAN SATU,

TIDAK PENTING APA

TEMUI ANGGOTA NEGATIF,

KAMI UNTUK KEDUA BAGIAN

KAMI AKAN MEMBERIKAN ANGGOTA YANG SAMA,

HANYA DENGAN TANDA LAIN,

DAN KITA AKAN MENDAPATKAN HASIL YANG POSITIF.

1) kuadrat sama dengan akar, yaitu;

2) persegi sama dengan angka, yaitu;

3) akar-akarnya sama dengan bilangan, yaitu;

4) kuadrat dan bilangan sama dengan akar, yaitu ;

5) kuadrat dan akar sama dengan suatu bilangan, yaitu;

6) akar dan bilangan sama dengan kuadrat, mis.

Tugas . Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya.

Larutan. Bagilah jumlah akar menjadi dua - Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan dirinya sendiri,

Kurangi 21 dari hasil perkaliannya, sisakan 4.

Ambil akar dari 4 dan Anda mendapatkan 2.

Kurangi 2 dari 5 - Anda mendapatkan 3, ini akan menjadi root yang diinginkan. Atau tambahkan ke 5, sehingga menghasilkan 7, ini juga merupakan root.

Fibonacci lahir di pusat perdagangan Italia Pisa, mungkin pada tahun 1170an. . Pada tahun 1192 ia ditunjuk untuk mewakili koloni perdagangan Pisan di Afrika Utara. Atas permintaan ayahnya, dia pindah ke Aljazair dan belajar matematika di sana. Pada tahun 1200, Leonardo kembali ke Pisa dan mulai menulis karya pertamanya, The Book of Abacus. [ . Menurut sejarawan matematika A.P. Yushkevich Kitab Abacus “meningkat tajam di atas literatur aritmatika-aljabar Eropa pada abad ke-12-14 dengan keragaman dan kekuatan metode, kekayaan masalah, bukti penyajian... Matematikawan berikutnya banyak mengambil manfaat darinya baik masalah maupun metode. untuk menyelesaikannya ».

Mari kita plot fungsinya

• Grafiknya berbentuk parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, karena

2) Koordinat titik puncak parabola

W. Sawyer berbicara :

“Seringkali lebih bermanfaat bagi seseorang yang mempelajari aljabar untuk menyelesaikan soal yang sama dengan tiga cara berbeda daripada menyelesaikan tiga atau empat soal berbeda. Dengan menyelesaikan satu masalah menggunakan metode yang berbeda, Anda dapat mengetahui melalui perbandingan mana yang lebih pendek dan efisien. Inilah bagaimana pengalaman dikembangkan.”

“Kota adalah kesatuan dari ketidaksamaan”

Aristoteles

“Angka yang dinyatakan sebagai tanda desimal dapat dibaca oleh orang Jerman, Rusia, Arab, dan Yankee secara setara.”

a) Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, bahkan pada zaman dahulu, disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas bidang tanah dan pekerjaan penggalian yang bersifat militer, serta begitu pula dengan perkembangan ilmu astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan sekitar tahun 2000 SM. Babilonia. Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks runcingnya, selain teks-teks yang tidak lengkap, ada, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya.

Meskipun tingkat perkembangan aljabar yang tinggi di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Aritmatika Diophantus tidak memuat penyajian aljabar secara sistematis, tetapi memuat serangkaian soal yang sistematis, disertai penjelasan dan diselesaikan dengan menyusun persamaan-persamaan dengan berbagai derajat.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih persamaan yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Misalnya, ini adalah salah satu tugasnya.

Soal 2. “Temukan dua bilangan, dengan mengetahui bahwa jumlah keduanya adalah 20 dan hasil kali keduanya adalah 96.”

Alasan Diophantus sebagai berikut: dari kondisi soal maka bilangan-bilangan yang disyaratkan tidak sama, karena jika sama maka hasil kali bilangan-bilangan tersebut bukan sama dengan 96, melainkan 100. Jadi, salah satunya akan lebih dari setengah dari jumlah mereka, yaitu 10 + x. Yang lainnya lebih kecil, yaitu 10 - x. Selisih keduanya adalah 2x. Oleh karena itu persamaannya:

(10+x)(10-x) =96,

atau

Jadi x = 2. Salah satu bilangan yang diperlukan adalah 12, bilangan lainnya adalah 8. Solusi x = - 2 tidak ada untuk Diophantus, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.

Jika Anda menyelesaikan masalah ini dengan memilih salah satu bilangan yang diperlukan sebagai bilangan yang tidak diketahui, Anda dapat menemukan solusi persamaan:

Jelas bahwa dengan memilih setengah selisih dari angka-angka yang diperlukan sebagai angka yang tidak diketahui, Diophantus menyederhanakan solusinya; dia berhasil mereduksi masalahnya menjadi menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap.
b) Persamaan kuadrat di India.

Permasalahan persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi “Aryabhattiam”, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menetapkan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal

Oh 2 + Bx = c, a > 0

Dalam persamaan tersebut, koefisiennya kecuali A, mungkin negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

Kompetisi publik dalam memecahkan masalah-masalah sulit adalah hal biasa di India. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi semacam itu: “Seperti matahari mengalahkan bintang-bintang dengan kecemerlangannya, maka orang terpelajar akan melampaui kejayaannya di pertemuan publik dengan mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu permasalahan matematikawan India terkenal abad ke-12. Bhaskar.

Tugas 3.

Persamaan yang sesuai dengan masalah 3 adalah:

Bhaskara menulis dengan kedok:

x 2 - 64x = - 768

dan, untuk melengkapi ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, tambahkan 32 2 pada kedua ruasnya, sehingga diperoleh:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Persamaan kuadrat menurut Al-Khorezmi

Risalah aljabar Al-Khwarizmi memberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1. 
   “Kotak sama dengan akar”, yaitu ax 2 = bx.
2. 
   “Kotak sama dengan angka,” yaitu kapak 2 = c.
3. 
   “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu ax = c.
4. 
   “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu ax 2 + c = bx.
5. 
   “Kuadrat dan akar-akar sama dengan bilangan tersebut,” yaitu ax 2 + bx = c.
6. 
   “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat”, yaitu bx + c == ax 2.

Mari kita beri contoh.

Soal 4. “Kuadrat dan bilangan 21 sama dengan 10 akar. Cari akarnya" (artinya akar persamaan x 2 + 21 = 10x).

Penyelesaian: bagi jumlah akar menjadi dua, didapat 5, kalikan 5 dengan dirinya sendiri, kurangi 21 dari hasil perkaliannya, yang tersisa adalah 4. Ambil akar dari 4, Anda mendapatkan 2. Kurangi 2 dari 5, Anda mendapatkan 3, ini akan menjadi root yang diinginkan. Atau tambahkan 2 ke 5, sehingga menghasilkan 7, ini juga merupakan akar.

Risalah Al-Khorezmi merupakan buku pertama yang sampai kepada kita, yang secara sistematis menguraikan klasifikasi persamaan kuadrat dan memberikan rumus-rumus penyelesaiannya.

d) Persamaan kuadrat di Eropa pada abad 13-17.

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat yang meniru model al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam “Kitab Sempoa”, yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika dari negara-negara Islam dan Yunani Kuno, dibedakan dari kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk memecahkan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang melakukan pendekatan terhadap pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16-17. dan sebagian XVIII.

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal

x 2 + bx = c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien B, Dengan dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Derivasi rumus penyelesaian persamaan kuadrat dalam bentuk umum tersedia dari Vieta, tetapi Vieta hanya mengenali akar-akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. Berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

Asal usul metode aljabar untuk memecahkan masalah praktis dikaitkan dengan ilmu pengetahuan dunia kuno. Sebagaimana diketahui dari sejarah matematika, sebagian besar masalah yang bersifat matematika, yang diselesaikan oleh ahli kalkulator Mesir, Sumeria, Babilonia (abad XX-VI SM), bersifat komputasi. Namun demikian, dari waktu ke waktu, muncul masalah di mana nilai yang diinginkan dari suatu besaran ditentukan oleh kondisi tidak langsung tertentu yang, dari sudut pandang modern kita, memerlukan komposisi suatu persamaan atau sistem persamaan. Awalnya, metode aritmatika digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Selanjutnya, awal mula konsep aljabar mulai terbentuk. Misalnya, kalkulator Babilonia mampu memecahkan masalah yang, dari sudut pandang klasifikasi modern, dapat direduksi menjadi persamaan derajat kedua. Sebuah metode untuk memecahkan masalah cerita telah dibuat, yang kemudian menjadi dasar untuk mengisolasi komponen aljabar dan mempelajarinya secara mandiri.

Kajian ini dilakukan pada era lain, pertama oleh ahli matematika Arab (abad VI-X M), yang mengidentifikasi tindakan-tindakan khas yang digunakan untuk membawa persamaan ke bentuk standar: membawa suku-suku serupa, memindahkan suku-suku dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya dengan menggunakan perubahan tanda. Dan kemudian oleh ahli matematika Eropa pada zaman Renaisans, yang, sebagai hasil pencarian panjang, menciptakan bahasa aljabar modern, penggunaan huruf, pengenalan simbol untuk operasi aritmatika, tanda kurung, dll. Pada pergantian abad ke-16- abad ke-17. aljabar sebagai bagian tertentu dari matematika, dengan mata pelajaran, metode, dan bidang penerapannya sendiri, telah terbentuk. Perkembangan selanjutnya, hingga zaman kita, terdiri dari penyempurnaan metode, perluasan cakupan penerapan, klarifikasi konsep dan hubungannya dengan konsep cabang matematika lainnya.

Jadi, mengingat pentingnya dan luasnya materi yang berkaitan dengan konsep persamaan, kajiannya dalam metode matematika modern dikaitkan dengan tiga bidang utama asal usul dan fungsinya.

Kementerian Pendidikan Federasi Rusia

Institusi pendidikan kota

"Sekolah Menengah No. 22"

Persamaan kuadrat dan orde tinggi

Selesai:

Siswa kelas 8 "B".

Kuznetsov Evgeniy dan Rudi Alexei

Pengawas:

Zenina Alevtina Dmitrievna

guru matematika

Perkenalan

1.1 Persamaan di Babel Kuno

1.2 Persamaan Arab

1.3 Persamaan di India

Bab 2. Teori persamaan kuadrat dan persamaan orde tinggi

2.1 Konsep dasar

2.2 Rumus koefisien genap di x

2.3 Teorema Vieta

2.4 Persamaan kuadrat yang bersifat tertentu

2.5 Teorema Vieta untuk polinomial (persamaan) derajat yang lebih tinggi

2.6 Persamaan yang dapat direduksi menjadi kuadrat (biquadratic)

2.7 Mempelajari persamaan biquadratic

2.8 Rumus Cordano

2.9 Persamaan simetri derajat ketiga

2.10 Persamaan timbal balik

2.11 Sirkuit tanduk

Kesimpulan

Daftar literatur bekas

Lampiran 1

Lampiran 2

Lampiran 3

Perkenalan

Persamaan menempati tempat terdepan dalam kursus aljabar sekolah. Lebih banyak waktu dicurahkan untuk mempelajarinya dibandingkan topik lainnya. Memang benar, persamaan tidak hanya mempunyai signifikansi teoritis yang penting, namun juga mempunyai tujuan praktis. Banyaknya masalah mengenai bentuk spasial dan hubungan kuantitatif di dunia nyata disebabkan oleh penyelesaian berbagai jenis persamaan. Dengan menguasai cara penyelesaiannya, kita menemukan jawaban atas berbagai pertanyaan dari ilmu pengetahuan dan teknologi (transportasi, pertanian, industri, komunikasi, dll).

Dalam esai ini saya ingin menampilkan rumus dan metode untuk menyelesaikan berbagai persamaan. Untuk itu diberikan persamaan-persamaan yang tidak dipelajari dalam kurikulum sekolah. Ini terutama persamaan yang sifatnya tertentu dan persamaan derajat yang lebih tinggi. Untuk memperluas topik ini, bukti dari rumus-rumus ini diberikan.

Tujuan esai kami:

Meningkatkan keterampilan pemecahan persamaan

Kembangkan cara baru untuk menyelesaikan persamaan

Pelajari beberapa cara dan rumus baru untuk menyelesaikan persamaan ini.

Objek kajiannya adalah aljabar dasar. Objek kajiannya adalah persamaan. Pemilihan topik ini didasarkan pada fakta bahwa persamaan dimasukkan dalam kurikulum dasar dan di setiap kelas berikutnya di sekolah menengah, bacaan, dan perguruan tinggi. Banyak masalah geometri, masalah fisika, kimia dan biologi diselesaikan dengan menggunakan persamaan. Persamaan tersebut telah dipecahkan dua puluh lima abad yang lalu. Mereka masih dibuat sampai sekarang - baik untuk digunakan dalam proses pendidikan, dan untuk ujian kompetitif di universitas, untuk olimpiade tingkat tertinggi.

Bab 1. Sejarah persamaan kuadrat dan persamaan orde tinggi

1.1 Persamaan di Babel Kuno

Aljabar muncul sehubungan dengan penyelesaian berbagai masalah dengan menggunakan persamaan. Biasanya, masalah memerlukan penemuan satu atau lebih hal yang tidak diketahui, sekaligus mengetahui hasil dari beberapa tindakan yang dilakukan pada besaran yang diinginkan dan tertentu. Masalah seperti itu direduksi menjadi penyelesaian satu atau sistem beberapa persamaan, hingga menemukan persamaan yang diperlukan menggunakan operasi aljabar pada besaran tertentu. Aljabar mempelajari sifat-sifat umum operasi besaran.

Beberapa teknik aljabar untuk menyelesaikan persamaan linier dan kuadrat telah dikenal 4000 tahun yang lalu di Babilonia Kuno. Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, bahkan pada zaman dahulu, disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas bidang tanah dan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta. dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Seperti disebutkan sebelumnya, persamaan kuadrat mampu diselesaikan sekitar tahun 2000 SM oleh bangsa Babilonia. Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa persamaan kuadrat tidak lengkap dan persamaan kuadrat lengkap terdapat dalam teks pakunya.

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya.

Meskipun tingkat perkembangan aljabar yang tinggi di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

1.2 Persamaan Arab

Beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dan persamaan tingkat tinggi dikembangkan oleh orang Arab. Oleh karena itu, matematikawan Arab terkenal Al-Khorezmi dalam bukunya “Al-Jabar” menjelaskan banyak cara untuk menyelesaikan berbagai persamaan. Keunikan mereka adalah Al-Khorezmi menggunakan radikal kompleks untuk menemukan akar (solusi) persamaan. Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tersebut diperlukan dalam pertanyaan tentang pembagian warisan.

1.3 Persamaan di India

Persamaan kuadrat juga diselesaikan di India. Permasalahan persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi “Aryabhattiam”, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menetapkan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kerucut tunggal:

aх² + bx= c, dimana a > 0

Dalam persamaan ini, koefisiennya, kecuali a, bisa bernilai negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

Di India kuno, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi semacam itu: “Seperti matahari mengalahkan bintang-bintang dengan kecemerlangannya, maka orang terpelajar akan mengungguli kemuliaan orang lain dalam pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Berbagai persamaan, baik persamaan kuadrat maupun persamaan derajat yang lebih tinggi, telah diselesaikan oleh nenek moyang kita yang jauh. Persamaan ini diselesaikan di negara-negara yang sangat berbeda dan jauh. Kebutuhan akan persamaan sangat besar. Persamaan tersebut digunakan dalam konstruksi, urusan militer, dan dalam situasi sehari-hari.

Bab 2. Persamaan kuadrat dan persamaan orde tinggi

2.1 Konsep dasar

Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk

dimana koefisien a, b, c adalah sembarang bilangan real, dan a ≠ 0.

Suatu persamaan kuadrat disebut tereduksi jika koefisien utamanya adalah 1.

Contoh :

x 2 + 2x + 6 = 0.

Persamaan kuadrat disebut tidak tereduksi jika koefisien utamanya berbeda dari 1.

Contoh :

2x 2 + 8x + 3 = 0.

Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan kuadrat yang ketiga sukunya ada, dengan kata lain persamaan yang koefisien b dan cnya bukan nol.

Contoh :

3x 2 + 4x + 2 = 0.

Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah persamaan kuadrat yang paling sedikit salah satu koefisien b, c sama dengan nol.

Jadi, ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:

1) ax² = 0 (memiliki dua akar yang berhimpitan x = 0).

2) ax² + bx = 0 (memiliki dua akar x 1 = 0 dan x 2 = -)

Contoh :

x 1 = 0, x 2 = -5.

Menjawab: x 1 =0, x 2 = -5.

Jika -<0 - уравнение не имеет корней.

Contoh :

Menjawab: Persamaan tersebut tidak mempunyai akar.

Jika –> 0, maka x 1,2 = ±

Contoh :

Menjawab: x 1,2 =±

Persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan dengan menggunakan diskriminan (b² - 4ac). Biasanya persamaan b² - 4ac dilambangkan dengan huruf D dan disebut diskriminan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 (atau diskriminan tiga suku kuadrat ax² + bx + c)

Contoh :

x 2 +14x – 23 = 0

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x 2 =

Menjawab: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Bergantung pada diskriminannya, persamaan tersebut mungkin memiliki solusi atau tidak.

1) Jika D< 0, то не имеет решения.

2) Jika D = 0, maka persamaan tersebut mempunyai dua solusi yang berimpit x 1,2 =

3) Jika D > 0, maka terdapat dua penyelesaian sesuai rumus:

x 1,2 =

2.2 Rumus koefisien genap di x

Kita terbiasa dengan kenyataan bahwa akar-akar persamaan kuadrat

ax² + bx + c = 0 dicari dengan rumus

x 1,2 =

Namun matematikawan tidak akan pernah melewatkan kesempatan untuk membuat perhitungan mereka lebih mudah. Mereka menemukan bahwa rumus ini dapat disederhanakan jika koefisien b adalah b = 2k, khususnya jika b adalah bilangan genap.

Faktanya, misalkan koefisien b dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 menjadi b = 2k. Menggantikan angka 2k dan bukan b ke dalam rumus kita, kita mendapatkan:

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat ax² + 2kx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

x 1,2 =

Contoh :

5x 2 - 2x + 1 = 0

Keuntungan rumus ini adalah bukan bilangan b yang dikuadratkan, melainkan separuhnya; bukan 4ac yang dikurangkan dari kuadrat ini, melainkan hanya ac, dan, terakhir, penyebutnya tidak mengandung 2a, melainkan hanya a. .

Jika persamaan kuadrat tersebut direduksi, maka rumus kita akan menjadi seperti ini:

Contoh :

x 2 – 4x + 3 = 0

Menjawab: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Teorema Vieta

Sifat yang sangat menarik dari akar persamaan kuadrat ditemukan oleh ahli matematika Perancis Francois Viète. Properti ini disebut teorema Vieta:

Sehingga bilangan x 1 dan x 2 merupakan akar-akar persamaan:

kapak² + bx + c = 0

itu perlu dan cukup untuk memenuhi kesetaraan

x 1 + x 2 = -b/a dan x 1 x 2 = c/a

Teorema Vieta memungkinkan kita menilai tanda dan nilai absolut persamaan kuadrat

x² + bx + c = 0

1. Jika b>0, c>0 maka kedua akarnya negatif.

2. Jika b<0, c>0 maka kedua akarnya positif.

3. Jika b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Jika b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Persamaan kuadrat yang bersifat tertentu

1) Jika a + b + c = 0 pada persamaan ax² + bx + c = 0, maka

x 1 = 1, dan x 2 = .

Bukti :

Dalam persamaan ax² + bx + c = 0, akar-akarnya

x 1,2 = (1).

Mari kita nyatakan b dari persamaan a + b + c = 0

Mari kita substitusikan ekspresi ini ke dalam rumus (1):

=

Jika kita mempertimbangkan kedua akar persamaan secara terpisah, kita mendapatkan:

1) x 1 =

2) x 2 =

Berikut ini: x 1 = 1, dan x 2 =.

1. Contoh :

2x² - 3x + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, oleh karena itu

2. Contoh :

418x² - 1254x + 836 = 0

Contoh ini sangat sulit diselesaikan dengan menggunakan diskriminan, namun dengan mengetahui rumus di atas maka dapat diselesaikan dengan mudah.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x 1 = 1 x 2 = 2

2) Jika a - b + c = 0, pada persamaan ax² + bx + c = 0, maka:

x 1 =-1, dan x 2 =-.

Bukti :

Perhatikan persamaan ax² + bx + c = 0, maka:

x 1,2 = (2).

Mari kita nyatakan b dari persamaan a - b + c = 0

b = a + c, substitusikan ke rumus (2):

=

Kami mendapatkan dua ekspresi:

1) x 1 =

2) x 2 =

Rumus ini mirip dengan rumus sebelumnya, tetapi juga penting karena... Contoh jenis ini adalah hal yang umum.

1) Contoh :

2x² + 3x + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, oleh karena itu

2)Contoh :

Menjawab: x 1 = -1; x 2 = -

3) Metode “ transfer ”

Akar-akar persamaan kuadrat y² + by + ac = 0 dan ax² + bx + c = 0 dihubungkan dengan hubungan berikut:

x 1 = dan x 2 =

Bukti :

a) Perhatikan persamaan ax² + bx + c = 0

x 1,2 = =

b) Perhatikan persamaan y² + by + ac = 0

kamu 1,2 =

Perhatikan bahwa diskriminan kedua solusi adalah sama; mari kita bandingkan akar-akar kedua persamaan ini. Mereka berbeda satu sama lain dengan faktor utama, akar persamaan pertama lebih kecil dari akar persamaan kedua sebesar a. Dengan menggunakan teorema Vieta dan aturan di atas, tidaklah sulit untuk menyelesaikan berbagai persamaan.

Contoh :

Kami memiliki persamaan kuadrat sembarang

10x² - 11x + 3 = 0

Mari kita ubah persamaan ini sesuai dengan aturan yang diberikan

y² - 11y + 30 = 0

Kami memperoleh persamaan kuadrat tereduksi, yang dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan teorema Vieta.

Misalkan y 1 dan y 2 adalah akar-akar persamaan y² - 11y + 30 = 0

kamu 1 kamu 2 = 30 kamu 1 = 6

kamu 1 + kamu 2 = 11 kamu 2 = 5

Mengetahui bahwa akar-akar persamaan ini berbeda satu sama lain sebesar a, maka

x 1 = 6/10 = 0,6

x 2 = 5/10 = 0,5

Dalam beberapa kasus, lebih mudah untuk menyelesaikan terlebih dahulu bukan persamaan yang diberikan ax² + bx + c = 0, tetapi persamaan y² + by + ac = 0 yang tereduksi, yang diperoleh dari koefisien “transfer” a yang diberikan, dan kemudian membagi hasil yang ditemukan akar dengan a untuk mencari persamaan awal.

2.5 Rumus Vieta untuk polinomial (persamaan) derajat yang lebih tinggi

Rumus yang diturunkan oleh Viète untuk persamaan kuadrat juga berlaku untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi.

Biarkan polinomial

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +an

Mempunyai n akar yang berbeda x 1, x 2..., x n.

Dalam hal ini mempunyai bentuk faktorisasi:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ an = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Mari kita bagi kedua ruas persamaan ini dengan a 0 ≠ 0 dan buka tanda kurung di bagian pertama. Kami mendapatkan persamaan:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Tetapi dua polinomial dikatakan sama jika dan hanya jika koefisien pangkatnya sama. Oleh karena itu kesetaraan

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Misalnya untuk polinomial derajat ketiga

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Kami memiliki identitas

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Sedangkan untuk persamaan kuadrat, rumus ini disebut rumus Vieta. Ruas kiri rumus ini adalah polinomial simetris dari akar-akar x 1, x 2 ..., x n persamaan ini, dan ruas kanan dinyatakan melalui koefisien polinomial.

2.6 Persamaan yang dapat direduksi menjadi kuadrat (biquadratic)

Persamaan derajat keempat direduksi menjadi persamaan kuadrat:

kapak 4 + bx 2 + c = 0,

disebut biquadratic, dan a ≠ 0.

Cukup dengan memasukkan x 2 = y ke dalam persamaan ini, oleh karena itu,

ay² + oleh + c = 0

mari kita cari akar-akar persamaan kuadrat yang dihasilkan

kamu 1,2 =

Untuk segera mencari akar-akar x 1, x 2, x 3, x 4, ganti y dengan x dan dapatkan

x² =

x 1,2,3,4 = .

Jika persamaan derajat keempat mempunyai x 1, maka persamaan tersebut juga mempunyai akar x 2 = -x 1,

Jika mempunyai x 3, maka x 4 = - x 3. Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah nol.

Contoh :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Mari kita substitusikan persamaan tersebut ke dalam rumus akar-akar persamaan bikuadrat:

x 1,2,3,4 = ,

mengetahui bahwa x 1 = -x 2, dan x 3 = -x 4, maka:

x 3,4 =

Menjawab: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Mempelajari persamaan biquadratic

Mari kita ambil persamaan biquadratic

kapak 4 + bx 2 + c = 0,

dimana a, b, c adalah bilangan real, dan a > 0. Dengan memasukkan bilangan bantu yang tidak diketahui y = x², kita periksa akar-akar persamaan ini dan masukkan hasilnya ke dalam tabel (lihat Lampiran No. 1)

2.8 Rumus Cardano

Jika kita menggunakan simbolisme modern, turunan dari rumus Cardano akan terlihat seperti ini:

x =

Rumus ini menentukan akar-akar persamaan umum derajat ketiga:

kapak 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Rumus ini sangat rumit dan rumit (mengandung beberapa radikal kompleks). Itu tidak selalu berlaku, karena... sangat sulit untuk diisi.

2.9 Persamaan simetri derajat ketiga

Persamaan simetri derajat ketiga merupakan persamaan bentuk

kapak³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

kapak³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )

dimana a dan b diberi nomor, dengan a¹0.

Mari kita tunjukkan bagaimana persamaan ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

Kami menemukan bahwa persamaan ( 1 ) setara dengan persamaan

(x + 1) (kapak² +(b – a)x + a) = 0.

Artinya akar-akarnya akan menjadi akar-akar persamaan

kapak² +(b – a)x + a = 0

dan bilangan x = -1

persamaan ( 2 )

kapak³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (kapak 2 + kapak + a + bx) = (x - 1) (kapak² +(b + a)x + a).

1) Contoh :

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

Jelas bahwa x 1 = 1, dan

x 2 dan x 3 akar persamaan 2x² + 5x + 2 = 0,

Mari kita temukan melalui diskriminan:

x 1,2 =

x 2 = -, x 3 = -2

2) Contoh :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

Jelas bahwa x 1 = -1, dan

x 2 dan x 3 akar persamaan 5x² + 26x + 5 = 0,

Mari kita temukan melalui diskriminan:

x 1,2 =

x 2 = -5, x 3 = -0,2.

2.10 Persamaan timbal balik

Persamaan timbal balik – persamaan aljabar

a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + an – 1 x + an =0,

dimana a k = a n – k, dimana k = 0, 1, 2 …n, dan a ≠ 0.

Masalah mencari akar-akar persamaan timbal balik direduksi menjadi masalah mencari solusi persamaan aljabar yang derajatnya lebih rendah. Istilah persamaan timbal balik diperkenalkan oleh L. Euler.

Bentuk persamaan derajat keempat:

kapak 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Mengurangi persamaan ini ke bentuk

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, dan y = x + m/x dan y² - 2m = x² + m²/x²,

dari mana persamaan direduksi menjadi kuadrat

ay² + oleh + (c-2am) = 0.

3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0

Membaginya dengan x 2 menghasilkan persamaan yang setara

3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, atau

Dimana dan

3(kamu 2 - 4) + 5kamu – 14 = 0, dari mana

y 1 = y 2 = -2, oleh karena itu

Dan dari mana

Jawaban: x 1,2 = x 3,4 = .

Kasus khusus persamaan timbal balik adalah persamaan simetris. Kita telah membahas persamaan simetri derajat ketiga sebelumnya, tetapi ada persamaan simetri derajat keempat.

Persamaan simetri derajat keempat.

1) Jika m = 1, maka ini adalah persamaan simetris jenis pertama, yang berbentuk

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 dan diselesaikan dengan substitusi baru

2) Jika m = -1, maka persamaan tersebut merupakan persamaan simetri jenis kedua yang berbentuk

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 dan diselesaikan dengan substitusi baru

2.11 Sirkuit tanduk

Untuk membagi polinomial, digunakan aturan “pembagian dengan sudut”, atau skema Horner . Untuk tujuan ini, polinomial disusun dalam derajat menurun X dan carilah suku terdepan dari hasil bagi Q(x) dari syarat bahwa jika dikalikan dengan suku utama pembagi D(x), diperoleh suku utama dari pembagi P(x). Suku hasil bagi yang ditemukan dikalikan, kemudian dengan pembaginya dan dikurangi dengan pembagiannya. Suku terdepan dari hasil bagi ditentukan dari kondisi bahwa, jika dikalikan dengan suku utama pembagi, maka diperoleh suku utama dari polinomial selisih, dan seterusnya. Proses berlanjut hingga derajat selisihnya lebih kecil dari derajat pembaginya (lihat Lampiran No. 2).

Dalam kasus persamaan R = 0, algoritma ini digantikan oleh skema Horner.

Contoh :

x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0

Temukan pembagi suku bebas ±1; ± 2; ± 3; ± 6.

Mari kita nyatakan ruas kiri persamaan dengan f(x). Jelasnya, f(1) = 0, x1 = 1. Bagilah f(x) dengan x – 1. (lihat Lampiran No. 3)

x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)

Kami menyatakan faktor terakhir dengan Q(x). Kita selesaikan persamaan Q(x) = 0.

x 2,3 =

Menjawab : 1; -2; -3.

Dalam bab ini, kami telah memberikan beberapa rumus untuk menyelesaikan berbagai persamaan. Sebagian besar rumus ini untuk menyelesaikan persamaan parsial. Sifat-sifat ini sangat mudah digunakan karena lebih mudah menyelesaikan persamaan menggunakan rumus terpisah untuk persamaan ini, daripada menggunakan prinsip umum. Kami telah memberikan bukti dan beberapa contoh untuk setiap metode.

Kesimpulan

Bab pertama mengkaji sejarah munculnya persamaan kuadrat dan persamaan orde tinggi. Berbagai persamaan diselesaikan lebih dari 25 abad yang lalu. Banyak metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut diciptakan di Babilonia, India. Telah ada dan akan terus ada kebutuhan akan persamaan.

Bab kedua memberikan berbagai cara untuk menyelesaikan (menemukan akar) persamaan kuadrat dan persamaan orde tinggi. Pada dasarnya ini adalah metode penyelesaian persamaan yang bersifat tertentu, yaitu untuk setiap kelompok persamaan yang disatukan oleh beberapa sifat atau jenis yang sama, diberikan aturan khusus yang hanya berlaku untuk kelompok persamaan tersebut. Metode ini (memilih rumus Anda sendiri untuk setiap persamaan) jauh lebih mudah daripada mencari akar melalui diskriminan.

Dalam abstrak ini, semua tujuan telah tercapai dan tugas pokok telah selesai, rumus-rumus baru yang sebelumnya tidak diketahui telah dibuktikan dan dipelajari. Kami mengerjakan banyak varian contoh sebelum memasukkannya ke dalam abstrak, jadi kami sudah memiliki gambaran tentang cara menyelesaikan beberapa persamaan. Setiap solusi akan berguna bagi kita dalam studi selanjutnya. Esai ini membantu mengklasifikasikan pengetahuan lama dan mempelajari pengetahuan baru.

Referensi

1. Vilenkin N.Ya. “Aljabar untuk kelas 8”, M., 1995.

2. Galitsky M.L. “Kumpulan Soal Aljabar”, M. 2002.

3. Daan-Dalmedico D. “Jalan dan labirin”, M., 1986.

4. Zvavich L.I. “Aljabar kelas 8”, M., 2002.

5. Kushnir I.A. “Persamaan”, Kyiv 1996.

6. Savin Yu.P. “Kamus Ensiklopedis Seorang Ahli Matematika Muda”, M., 1985.

7. Mordkovich A.G. “Aljabar kelas 8”, M., 2003.

8. Khudobin A.I. “Kumpulan Soal Aljabar”, M., 1973.

9. Sharygin I.F. “Kursus pilihan aljabar”, M., 1989.

Lampiran 1

Studi persamaan biquadratic

Lampiran 2

Membagi polinomial menjadi polinomial menggunakan sudut

Lampiran 3

Skema Horner