Musim

Rumah Kepada guru Variabel acak Variabel disebut variabel yang, sebagai hasil dari setiap pengujian, mengambil satu nilai yang sebelumnya tidak diketahui, bergantung pada alasan acak. Variabel acak dilambangkan dengan huruf latin kapital: $X,\ Y,\ Z,\ \titik $ Menurut jenisnya, variabel acak dapat berupa terpisah.

Dan kontinu

Variabel acak diskrit - ini adalah variabel acak yang nilainya tidak lebih dari dapat dihitung, yaitu berhingga atau dapat dihitung. Yang kami maksud dengan countability adalah nilai-nilai suatu variabel acak dapat diberi nomor.

Contoh 1

. Berikut adalah contoh variabel acak diskrit:

a) jumlah pukulan tepat sasaran dengan tembakan $n$, di sini nilai yang mungkin adalah $0,\ 1,\ \titik ,\ n$.

b) banyaknya emblem yang dijatuhkan pada pelemparan sebuah koin, disini nilai yang mungkin adalah $0,\ 1,\ \titik ,\ n$.

c) jumlah kapal yang tiba di kapal (seperangkat nilai yang dapat dihitung).

d) jumlah panggilan yang masuk ke PBX (kumpulan nilai yang dapat dihitung). 1. Hukum distribusi probabilitas suatu variabel acak diskrit. Variabel acak diskrit $X$ dapat mengambil nilai $x_1,\dots ,\ x_n$ dengan probabilitas $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Kesesuaian antara nilai-nilai ini dan probabilitasnya disebut

hukum distribusi variabel acak diskrit
. Biasanya, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ sesuai dengan nilai-nilai ini ditunjukkan.
$\begin(array)(|c|c|)
. Biasanya, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ sesuai dengan nilai-nilai ini ditunjukkan.
\hline
. Biasanya, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ sesuai dengan nilai-nilai ini ditunjukkan.
X_i & x_1 & x_2 & \titik & x_n \\

p_i & p_1 & p_2 & \titik & p_n \\ \end(array)$

hukum distribusi variabel acak diskrit
. Biasanya, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ sesuai dengan nilai-nilai ini ditunjukkan.
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
. Biasanya, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ sesuai dengan nilai-nilai ini ditunjukkan.

. Biasanya, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ sesuai dengan nilai-nilai ini ditunjukkan.
X_i & x_1 & x_2 & \titik & x_n \\

Contoh 2. Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah poin yang diperoleh ketika sebuah dadu dilempar. Variabel acak $X$ dapat mengambil nilai berikut: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitas semua nilai ini sama dengan $1/6$. Maka hukum distribusi probabilitas variabel acak $X$:

Komentar

Ekspektasi variabel acak menetapkan makna “pusat”-nya. Untuk variabel acak diskrit, ekspektasi matematis dihitung sebagai jumlah produk dari nilai $x_1,\dots ,\ x_n$ dan probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ yang sesuai dengan nilai-nilai ini, yaitu : $M\kiri(X\kanan)=\jumlah ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Dalam literatur berbahasa Inggris, notasi lain $E\left(X\right)$ digunakan.

Sifat ekspektasi matematis$M\kiri(X\kanan)$:

1. $M\left(X\right)$ terletak di antara nilai terkecil dan terbesar dari variabel acak $X$.
2. Ekspektasi matematis suatu konstanta sama dengan konstanta itu sendiri, yaitu. $M\kiri(C\kanan)=C$.
3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda ekspektasi matematis: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Ekspektasi matematis dari hasil kali variabel acak independen sama dengan hasil kali ekspektasi matematisnya: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Contoh 3 . Mari kita cari ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ dari contoh $2$.

$$M\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\lebih (6))=3,5.$$

Kita dapat melihat bahwa $M\left(X\right)$ terletak di antara nilai terkecil ($1$) dan terbesar ($6$) dari variabel acak $X$.

Contoh 4 . Diketahui ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ sama dengan $M\left(X\right)=2$. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak $3X+5$.

Dengan menggunakan properti di atas, kita mendapatkan $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Contoh 5 . Diketahui ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ sama dengan $M\left(X\right)=4$. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak $2X-9$.

Dengan menggunakan properti di atas, kita mendapatkan $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersi variabel acak diskrit.

Nilai yang mungkin dari variabel acak dengan ekspektasi matematis yang sama dapat menyebar secara berbeda di sekitar nilai rata-ratanya. Misalnya, dalam dua kelompok siswa, nilai rata-rata ujian teori probabilitas adalah 4, tetapi dalam satu kelompok semuanya menjadi siswa yang baik, dan di kelompok lain hanya ada siswa C dan siswa yang sangat baik. Oleh karena itu, diperlukan suatu karakteristik numerik dari suatu variabel acak yang dapat menunjukkan penyebaran nilai-nilai variabel acak tersebut di sekitar ekspektasi matematisnya. Karakteristik ini adalah dispersi.

Varians dari variabel acak diskrit$X$ sama dengan:

$$D\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(p_i(\kiri(x_i-M\kiri(X\kanan)\kanan))^2).\ $$

Dalam literatur Inggris notasi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ digunakan. Seringkali varians $D\left(X\right)$ dihitung menggunakan rumus $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ kiri(X \kanan)\kanan))^2$.

Sifat dispersi$D\kiri(X\kanan)$:

1. Variansnya selalu lebih besar atau sama dengan nol, yaitu. $D\kiri(X\kanan)\ge 0$.
2. Varians dari konstanta adalah nol, mis. $D\kiri(C\kanan)=0$.
3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi asalkan dikuadratkan, yaitu. $D\kiri(CX\kanan)=C^2D\kiri(X\kanan)$.
4. Varians dari jumlah variabel acak independen sama dengan jumlah variansnya, yaitu. $D\kiri(X+Y\kanan)=D\kiri(X\kanan)+D\kiri(Y\kanan)$.
5. Varians selisih antara variabel acak independen sama dengan jumlah variansnya, yaitu. $D\kiri(X-Y\kanan)=D\kiri(X\kanan)+D\kiri(Y\kanan)$.

Contoh 6 . Mari kita hitung varians variabel acak $X$ dari contoh $2$.

$$D\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(p_i(\kiri(x_i-M\kiri(X\kanan)\kanan))^2)=((1)\over (6))\cdot (\kiri(1-3.5\kanan))^2+((1)\over (6))\cdot (\kiri(2-3.5\kanan))^2+ \titik +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\kira-kira 2,92.$$

Contoh 7 . Diketahui varians variabel acak $X$ sama dengan $D\left(X\right)=2$. Temukan varians dari variabel acak $4X+1$.

Dengan menggunakan properti di atas, kita menemukan $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kiri(X\kanan)=16\cdot 2=32$.

Contoh 8 . Diketahui varians variabel acak $X$ sama dengan $D\left(X\right)=3$. Temukan varians dari variabel acak $3-2X$.

Dengan menggunakan properti di atas, kita menemukan $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ kiri(X\kanan)=4\cdot 3=12$.

4. Fungsi distribusi variabel acak diskrit.

Cara merepresentasikan variabel acak diskrit dalam bentuk deret distribusi bukanlah satu-satunya, dan yang terpenting, metode ini tidak universal, karena variabel acak kontinu tidak dapat ditentukan dengan menggunakan deret distribusi. Ada cara lain untuk merepresentasikan variabel acak - fungsi distribusi.

Fungsi distribusi variabel acak $X$ disebut fungsi $F\left(x\right)$, yang menentukan probabilitas bahwa variabel acak $X$ akan mengambil nilai kurang dari nilai tetap $x$, yaitu $F\ kiri(x\kanan )=P\kiri(X< x\right)$

Sifat-sifat fungsi distribusi:

1. $0\le F\kiri(x\kanan)\le 1$.
2. Peluang variabel acak $X$ mengambil nilai dari interval $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ sama dengan selisih antara nilai fungsi distribusi di ujung interval ini interval: $P\kiri(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - tidak berkurang.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \kanan)=1\ )$.

Contoh 9 . Mari kita cari fungsi distribusi $F\left(x\right)$ untuk hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ dari contoh $2$.

hukum distribusi variabel acak diskrit
. Biasanya, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ sesuai dengan nilai-nilai ini ditunjukkan.
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
. Biasanya, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ sesuai dengan nilai-nilai ini ditunjukkan.
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
. Biasanya, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ sesuai dengan nilai-nilai ini ditunjukkan.
X_i & x_1 & x_2 & \titik & x_n \\

Jika $x\le 1$, maka, tentu saja, $F\left(x\right)=0$ (termasuk untuk $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Jika $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Jika $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Jika $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Jika $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Jika $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Jika $x > 6$, maka $F\kiri(x\kanan)=P\kiri(X=1\kanan)+P\kiri(X=2\kanan)+P\kiri(X=3\kanan) +P\kiri(X=4\kanan)+P\kiri(X=5\kanan)+P\kiri(X=6\kanan)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Jadi $F(x)=\left\(\begin(matriks)
0,\ di\ x\le 1,\\
1/6,di\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ di\ 2< x\le 3,\\
1/2,di\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ pada\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ di\ 4< x\le 5,\\
1,\ untuk\ x > 6.
\end(matriks)\kanan.$

Sebagaimana telah diketahui, hukum distribusi sepenuhnya mencirikan suatu variabel acak. Namun, seringkali hukum distribusinya tidak diketahui dan kita harus membatasi diri pada informasi yang lebih sedikit. Kadang-kadang lebih menguntungkan menggunakan angka yang menggambarkan total variabel acak; nomor seperti itu disebut karakteristik numerik dari variabel acak. Salah satu karakteristik numerik yang penting adalah ekspektasi matematis.

Ekspektasi matematisnya, seperti yang akan ditunjukkan di bawah, kira-kira sama dengan nilai rata-rata variabel acak. Untuk menyelesaikan banyak masalah, cukup mengetahui ekspektasi matematisnya. Misalnya, jika diketahui bahwa ekspektasi matematis dari jumlah poin yang dicetak oleh penembak pertama lebih besar daripada yang kedua, maka rata-rata penembak pertama mencetak lebih banyak poin daripada penembak kedua, dan oleh karena itu, menembak lebih baik. daripada yang kedua. Meskipun ekspektasi matematis memberikan lebih sedikit informasi tentang variabel acak dibandingkan hukum distribusinya, pengetahuan tentang ekspektasi matematis cukup untuk memecahkan masalah seperti di atas dan banyak masalah lainnya.

§ 2. Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit

Harapan matematis Variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dan probabilitasnya.

Biarkan variabel acak X hanya dapat mengambil nilai X 1 , X 2 , ..., X N , yang probabilitasnya masing-masing sama R 1 , R 2 , . . ., R N . Kemudian ekspektasi matematisnya M(X) variabel acak X ditentukan oleh kesetaraan

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X N P N .

Jika variabel acak diskrit X mengambil sekumpulan nilai yang mungkin dapat dihitung

M(X)=

Selain itu, ekspektasi matematis ada jika deret di sisi kanan persamaan konvergen mutlak.

Komentar. Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa ekspektasi matematis suatu variabel acak diskrit adalah besaran yang tidak acak (konstan). Kami menyarankan Anda mengingat pernyataan ini, karena akan digunakan berkali-kali di kemudian hari. Nanti akan ditunjukkan bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu juga merupakan nilai konstan.

Contoh 1. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak X, mengetahui hukum distribusinya:

Larutan. Ekspektasi matematis yang diperlukan sama dengan jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitasnya:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Contoh 2. Temukan ekspektasi matematis dari jumlah kemunculan suatu peristiwa A dalam satu percobaan, jika peluang kejadiannya A sama dengan R.

Larutan. Variabel acak X - jumlah kemunculan peristiwa tersebut A dalam satu tes - hanya dapat mengambil dua nilai: X 1 = 1 (peristiwa A terjadi) dengan probabilitas R Dan X 2 = 0 (peristiwa A tidak terjadi) dengan probabilitas Q= 1 -R. Ekspektasi matematis yang diperlukan

M(X)= 1* P+ 0* Q= P

Jadi, ekspektasi matematis banyaknya kemunculan suatu kejadian dalam satu percobaan sama dengan peluang kejadian tersebut. Hasil ini akan digunakan di bawah.

§ 3. Makna probabilistik dari ekspektasi matematis

Biarkan itu diproduksi N tes di mana variabel acak X diterima T 1 nilai kali X 1 , T 2 nilai kali X 2 ,...,M k nilai kali X k , Dan T 1 + T 2 + …+t Ke = hal. Kemudian jumlahkan semua nilai yang diambil X, sama dengan

X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Ke T Ke .

Mari kita cari mean aritmatikanya semua nilai yang diterima oleh variabel acak, yang jumlah yang ditemukan kita bagi dengan jumlah total pengujian:

= (X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Ke T Ke)/P,

= X 1 (M 1 / N) + X 2 (M 2 / N) + ... + X Ke (T Ke /N). (*)

Memperhatikan sikap itu M 1 / N- frekuensi relatif W 1 nilai-nilai X 1 , M 2 / N - frekuensi relatif W 2 nilai-nilai X 2 dst, kita tulis relasinya (*) seperti ini:

=X 1 W 1 + X 2 W 2 + .. . + X Ke W k . (**)

Mari kita asumsikan jumlah tesnya cukup besar. Maka frekuensi relatifnya kira-kira sama dengan peluang terjadinya suatu peristiwa (akan dibuktikan pada Bab IX, § 6):

W 1 P 1 , W 2 P 2 , …, W k P k .

Mengganti frekuensi relatif dengan probabilitas yang sesuai dalam relasi (**), kita peroleh

X 1 P 1 + X 2 R 2 + … + X Ke R Ke .

Sisi kanan dari perkiraan persamaan ini adalah M(X). Jadi,

M(X).

Arti probabilistik dari hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut: ekspektasi matematis kira-kira sama(semakin akurat, semakin banyak jumlah tesnya) mean aritmatika dari nilai observasi variabel acak.

Catatan 1. Mudah untuk memahami bahwa ekspektasi matematis lebih besar dari nilai terkecil dan lebih kecil dari nilai terbesar yang mungkin. Dengan kata lain, pada garis bilangan, nilai yang mungkin terletak di kiri dan kanan ekspektasi matematis. Dalam pengertian ini, ekspektasi matematis mencirikan lokasi distribusi dan oleh karena itu sering disebut pusat distribusi.

Istilah ini dipinjam dari mekanika: jika massa R 1 , P 2 , ..., R N terletak pada titik absis X 1 , X 2 , ..., X N, Dan
lalu absis pusat gravitasi

X C =
.

Mengingat bahwa
= M (X) Dan
kita dapatkan M(X)= x Dengan .

Jadi, ekspektasi matematisnya adalah absis pusat gravitasi suatu sistem titik material, yang absisnya sama dengan nilai kemungkinan variabel acak, dan massanya sama dengan probabilitasnya.

Catatan 2. Asal usul istilah “ekspektasi matematis” dikaitkan dengan periode awal munculnya teori probabilitas (abad XVI - XVII), ketika ruang lingkup penerapannya terbatas pada perjudian. Pemain tertarik pada nilai rata-rata dari kemenangan yang diharapkan, atau, dengan kata lain, ekspektasi matematis untuk menang.

Setiap nilai individu sepenuhnya ditentukan oleh fungsi distribusinya. Selain itu, untuk menyelesaikan masalah praktis, cukup mengetahui beberapa karakteristik numerik, sehingga memungkinkan untuk menyajikan fitur utama variabel acak dalam bentuk singkat.

Jumlah ini terutama mencakup harapan matematis Variabel disebut variabel yang, sebagai hasil dari setiap pengujian, mengambil satu nilai yang sebelumnya tidak diketahui, bergantung pada alasan acak. Variabel acak dilambangkan dengan huruf latin kapital: $X,\ Y,\ Z,\ \titik $ Menurut jenisnya, variabel acak dapat berupa penyebaran .

Ekspektasi— nilai rata-rata variabel acak dalam teori probabilitas. Dilambangkan sebagai .

Dengan cara yang paling sederhana, ekspektasi matematis dari variabel acak X(w), temukan caranya integralLebesgue sehubungan dengan ukuran probabilitas R asli ruang probabilitas

Anda juga dapat menemukan ekspektasi matematis dari suatu nilai sebagai Integral Lebesgue dari X dengan distribusi probabilitas Rx jumlah X:

dimana adalah himpunan semua nilai yang mungkin X.

Ekspektasi matematis fungsi dari variabel acak X ditemukan melalui distribusi Rx. Misalnya, Jika X- variabel acak dengan nilai di dan f(x)- tidak ambigu milik Borelfungsi X , Itu:

Jika F(x)- fungsi distribusi X, maka ekspektasi matematisnya dapat diwakilkan integralLebesgue - Stieltjes (atau Riemann - Stieltjes):

dalam hal ini keterintegrasian X Dalam hal ( * ) sesuai dengan keterbatasan integral

Dalam kasus tertentu, jika X memiliki distribusi diskrit dengan nilai kemungkinan xk, k=1, 2, . , dan probabilitas, lalu

Jika X memiliki distribusi yang benar-benar kontinu dengan kepadatan probabilitas hal(x), Itu

dalam hal ini, adanya ekspektasi matematis setara dengan konvergensi absolut dari deret atau integral yang bersesuaian.

Sifat-sifat ekspektasi matematis dari variabel acak.

• Ekspektasi matematis dari nilai konstan sama dengan nilai ini:

C- konstan;

• M=C.M[X]

• Ekspektasi matematis dari jumlah nilai yang diambil secara acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya:

• Ekspektasi matematis dari produk variabel independen yang diambil secara acak = produk dari ekspektasi matematisnya:

M=M[X]+M[Y]

Jika X Variabel disebut variabel yang, sebagai hasil dari setiap pengujian, mengambil satu nilai yang sebelumnya tidak diketahui, bergantung pada alasan acak. Variabel acak dilambangkan dengan huruf latin kapital: $X,\ Y,\ Z,\ \titik $ Menurut jenisnya, variabel acak dapat berupa Y mandiri.

jika deret tersebut konvergen:

Algoritma untuk menghitung ekspektasi matematis.

Sifat-sifat variabel acak diskrit: semua nilainya dapat dinomori ulang dengan bilangan asli; tetapkan setiap nilai probabilitas bukan nol.

1. Kalikan pasangannya satu per satu: x saya pada pi saya.

2. Tambahkan produk dari setiap pasangan x aku pi aku.

Misalnya, Untuk N = 4 :

Fungsi distribusi variabel acak diskrit bertahap, ia meningkat secara tiba-tiba pada titik-titik yang probabilitasnya bertanda positif.

Contoh: Temukan ekspektasi matematis menggunakan rumus.

Ekspektasi dan varians adalah karakteristik numerik yang paling umum digunakan dari variabel acak. Mereka mencirikan ciri-ciri distribusi yang paling penting: posisi dan tingkat penyebarannya. Dalam banyak masalah praktis, karakteristik variabel acak yang lengkap dan lengkap - hukum distribusi - tidak dapat diperoleh sama sekali, atau tidak diperlukan sama sekali. Dalam kasus ini, seseorang dibatasi pada deskripsi perkiraan variabel acak menggunakan karakteristik numerik.

Nilai yang diharapkan sering kali disebut hanya sebagai nilai rata-rata dari suatu variabel acak. Dispersi suatu variabel acak merupakan ciri dari dispersi, yaitu penyebaran suatu variabel acak di sekitar ekspektasi matematisnya.

Ekspektasi variabel acak diskrit

Mari kita mendekati konsep ekspektasi matematis, pertama berdasarkan interpretasi mekanis dari distribusi variabel acak diskrit. Biarkan satuan massa didistribusikan di antara titik-titik sumbu x X1 , X 2 , ..., X N, dan setiap titik material memiliki massa yang sesuai P1 , P 2 , ..., P N. Diperlukan untuk memilih satu titik pada sumbu absis, yang mencirikan posisi seluruh sistem titik material, dengan mempertimbangkan massanya. Adalah wajar untuk menganggap pusat massa sistem titik-titik material sebagai titik tersebut. Ini adalah rata-rata tertimbang dari variabel acak X, yang absisnya setiap titik XSaya masuk dengan “bobot” yang sama dengan probabilitas yang sesuai. Nilai rata-rata dari variabel acak diperoleh dengan cara ini X disebut ekspektasi matematisnya.

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dan probabilitas dari nilai-nilai ini:

Contoh 1. Lotere win-win telah diselenggarakan. Ada 1000 kemenangan, 400 di antaranya adalah 10 rubel. 300 - 20 rubel masing-masing. 200 - 100 rubel masing-masing. dan masing-masing 100 - 200 rubel. Berapa rata-rata kemenangan seseorang yang membeli satu tiket?

Larutan. Kita akan menemukan kemenangan rata-rata jika kita membagi jumlah total kemenangan, yaitu 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubel, dengan 1000 (jumlah total kemenangan). Maka kita mendapatkan 50.000/1000 = 50 rubel. Namun ekspresi untuk menghitung rata-rata kemenangan dapat disajikan dalam bentuk berikut:

Sebaliknya, dalam kondisi ini, jumlah kemenangan adalah variabel acak, yang dapat bernilai 10, 20, 100, dan 200 rubel. dengan probabilitas masing-masing sama dengan 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Oleh karena itu, kemenangan rata-rata yang diharapkan sama dengan jumlah produk dari ukuran kemenangan dan kemungkinan menerimanya.

Contoh 2. Penerbit memutuskan untuk menerbitkan buku baru. Dia berencana untuk menjual buku itu seharga 280 rubel, di mana dia sendiri akan menerima 200, 50 - ke toko buku dan 30 - penulisnya. Tabel tersebut memberikan informasi tentang biaya penerbitan buku dan kemungkinan penjualan sejumlah eksemplar buku tersebut.

Temukan keuntungan yang diharapkan penerbit.

Larutan. Variabel acak “keuntungan” sama dengan selisih antara pendapatan dari penjualan dan harga pokok biaya. Misalnya, jika 500 eksemplar sebuah buku terjual, maka pendapatan dari penjualan tersebut adalah 200 * 500 = 100.000, dan biaya penerbitannya adalah 225.000 rubel. Dengan demikian, penerbit menghadapi kerugian sebesar 125.000 rubel. Tabel berikut merangkum nilai yang diharapkan dari variabel acak - keuntungan:

Jadi, kita memperoleh ekspektasi matematis dari keuntungan penerbit:

.

Contoh 3. Kemungkinan mengenai dengan satu tembakan P= 0,2. Tentukan konsumsi proyektil yang memberikan ekspektasi matematis dari jumlah pukulan sebesar 5.

Larutan. Dari rumus ekspektasi matematis yang sama yang telah kita gunakan selama ini, kita nyatakan X- konsumsi cangkang:

.

Contoh 4. Tentukan ekspektasi matematis dari variabel acak X jumlah pukulan dengan tiga tembakan, jika peluang mengenai pukulan dengan setiap tembakan P = 0,4 .

Petunjuk: cari peluang nilai variabel acak dengan rumus Bernoulli .

Sifat ekspektasi matematis

Mari kita perhatikan sifat-sifat ekspektasi matematis.

Properti 1. Ekspektasi matematis dari nilai konstanta sama dengan konstanta ini:

Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda ekspektasi matematis:

Properti 3. Ekspektasi matematis dari jumlah (selisih) variabel acak sama dengan jumlah (selisih) ekspektasi matematisnya:

Properti 4. Ekspektasi matematis suatu produk variabel acak sama dengan produk ekspektasi matematisnya:

Properti 5. Jika semua nilai variabel acak X berkurang (meningkat) dengan jumlah yang sama DENGAN, maka ekspektasi matematisnya akan berkurang (meningkat) dengan jumlah yang sama:

Ketika Anda tidak dapat membatasi diri hanya pada ekspektasi matematis

Dalam kebanyakan kasus, ekspektasi matematis saja tidak cukup untuk mengkarakterisasi variabel acak.

Biarkan variabel acak X Variabel disebut variabel yang, sebagai hasil dari setiap pengujian, mengambil satu nilai yang sebelumnya tidak diketahui, bergantung pada alasan acak. Variabel acak dilambangkan dengan huruf latin kapital: $X,\ Y,\ Z,\ \titik $ Menurut jenisnya, variabel acak dapat berupa Y diberikan oleh hukum distribusi berikut:

Ekspektasi matematis dari besaran-besaran ini adalah sama - sama dengan nol:

Namun pola distribusinya berbeda. Variabel acak X hanya dapat mengambil nilai yang sedikit berbeda dari ekspektasi matematis, dan variabel acak Y dapat mengambil nilai yang menyimpang secara signifikan dari ekspektasi matematis. Contoh serupa: upah rata-rata tidak memungkinkan untuk menilai proporsi pekerja berupah tinggi dan rendah. Dengan kata lain, seseorang tidak dapat menilai dari ekspektasi matematis penyimpangan apa yang mungkin terjadi, setidaknya secara rata-rata. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari varians dari variabel acak.

Varians dari variabel acak diskrit

Perbedaan variabel acak diskrit X disebut ekspektasi matematis dari kuadrat deviasinya dari ekspektasi matematis:

Simpangan baku suatu variabel acak X nilai aritmatika dari akar kuadrat variansnya disebut:

.

Contoh 5. Hitung varians dan deviasi standar variabel acak X Variabel disebut variabel yang, sebagai hasil dari setiap pengujian, mengambil satu nilai yang sebelumnya tidak diketahui, bergantung pada alasan acak. Variabel acak dilambangkan dengan huruf latin kapital: $X,\ Y,\ Z,\ \titik $ Menurut jenisnya, variabel acak dapat berupa Y, hukum distribusinya diberikan pada tabel di atas.

Larutan. Ekspektasi matematis dari variabel acak X Variabel disebut variabel yang, sebagai hasil dari setiap pengujian, mengambil satu nilai yang sebelumnya tidak diketahui, bergantung pada alasan acak. Variabel acak dilambangkan dengan huruf latin kapital: $X,\ Y,\ Z,\ \titik $ Menurut jenisnya, variabel acak dapat berupa Y, seperti ditemukan di atas, sama dengan nol. Menurut rumus dispersi di E(X)=E(kamu)=0 kita mendapatkan:

Kemudian simpangan baku variabel acak X Variabel disebut variabel yang, sebagai hasil dari setiap pengujian, mengambil satu nilai yang sebelumnya tidak diketahui, bergantung pada alasan acak. Variabel acak dilambangkan dengan huruf latin kapital: $X,\ Y,\ Z,\ \titik $ Menurut jenisnya, variabel acak dapat berupa Y menyusun

.

Jadi, dengan ekspektasi matematis yang sama, varians dari variabel acak X sangat kecil, tetapi variabel acak Y- penting. Hal ini disebabkan oleh perbedaan distribusinya.

Contoh 6. Investor memiliki 4 proyek investasi alternatif. Tabel tersebut merangkum keuntungan yang diharapkan dalam proyek-proyek ini dengan probabilitas yang sesuai.

Temukan ekspektasi matematis, varians, dan deviasi standar untuk setiap alternatif.

Larutan. Mari kita tunjukkan bagaimana nilai-nilai ini dihitung untuk alternatif ke-3:

Tabel tersebut merangkum nilai yang ditemukan untuk semua alternatif.

Semua alternatif memiliki ekspektasi matematis yang sama. Artinya dalam jangka panjang setiap orang mempunyai pendapatan yang sama. Deviasi standar dapat diartikan sebagai ukuran risiko - semakin tinggi, semakin besar risiko investasi. Seorang investor yang tidak menginginkan banyak risiko akan memilih proyek 1 karena mempunyai standar deviasi terkecil (0). Jika investor lebih menyukai risiko dan keuntungan tinggi dalam waktu singkat, maka ia akan memilih proyek dengan standar deviasi terbesar - proyek 4.

Sifat dispersi

Mari kita sajikan sifat-sifat dispersi.

Properti 1. Varians dari nilai konstan adalah nol:

Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya:

.

Properti 3. Varians suatu variabel acak sama dengan ekspektasi matematis dari kuadrat nilai ini, yang kemudian dikurangi kuadrat ekspektasi matematis dari nilai itu sendiri:

,

Di mana .

Properti 4. Varians jumlah (selisih) variabel acak sama dengan jumlah (selisih) variansnya:

Contoh 7. Diketahui variabel acak diskrit X hanya mengambil dua nilai: −3 dan 7. Selain itu, ekspektasi matematisnya diketahui: E(X) = 4 . Temukan varians dari variabel acak diskrit.

Larutan. Mari kita nyatakan dengan P probabilitas suatu variabel acak mengambil suatu nilai X1 = −3 . Maka probabilitas nilainya X2 = 7 akan menjadi 1 - P. Mari kita turunkan persamaan ekspektasi matematis:

E(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,

di mana kita mendapatkan probabilitas: P= 0,3 dan 1 − P = 0,7 .

Hukum distribusi variabel acak:

Kami menghitung varians variabel acak ini menggunakan rumus dari properti 3 dispersi:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Temukan sendiri ekspektasi matematis dari variabel acak, lalu lihat solusinya

Contoh 8. Variabel acak diskrit X hanya mengambil dua nilai. Ia menerima nilai yang lebih besar dari 3 dengan probabilitas 0,4. Selain itu, varians dari variabel acak diketahui D(X) = 6 . Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak.

Contoh 9. Ada 6 bola putih dan 4 bola hitam di dalam guci. 3 bola diambil dari guci. Banyaknya bola putih di antara bola-bola yang diambil merupakan peubah acak diskrit X. Temukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak ini.

Larutan. Variabel acak X dapat mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Probabilitas yang sesuai dapat dihitung dari aturan perkalian probabilitas. Hukum distribusi variabel acak:

Oleh karena itu ekspektasi matematis dari variabel acak ini:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varians dari variabel acak tertentu adalah:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Ekspektasi dan varians dari variabel acak kontinu

Untuk variabel acak kontinu, penafsiran mekanis ekspektasi matematis akan tetap memiliki arti yang sama: pusat massa untuk satuan massa yang terdistribusi secara kontinu pada sumbu x dengan kepadatan F(X). Berbeda dengan variabel acak diskrit, yang argumen fungsinya XSaya berubah secara tiba-tiba; untuk variabel acak kontinu, argumennya terus berubah. Namun ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu juga berhubungan dengan nilai rata-ratanya.

Untuk mencari ekspektasi matematis dan varians suatu variabel acak kontinu, Anda perlu mencari integral tertentu . Jika fungsi kepadatan suatu variabel acak kontinu diberikan, maka variabel tersebut langsung masuk ke dalam integral. Jika fungsi distribusi probabilitas diberikan, maka dengan membedakannya, Anda perlu mencari fungsi kepadatan.

Rata-rata aritmatika dari semua nilai yang mungkin dari suatu variabel acak kontinu disebut nya harapan matematis, dilambangkan dengan atau .

– jumlah anak laki-laki di antara 10 bayi baru lahir.

Jelas sekali bahwa jumlah ini tidak diketahui sebelumnya, dan sepuluh anak yang lahir berikutnya mungkin termasuk:

Atau anak laki-laki - satu dan hanya satu dari opsi yang tercantum.

Dan, agar tetap bugar, sedikit pendidikan jasmani:

– jarak lompat jauh (di beberapa unit).

Bahkan seorang ahli olahraga pun tidak dapat memprediksinya :)

Namun hipotesis Anda?

2) Variabel acak kontinu – menerima Semua nilai numerik dari beberapa interval berhingga atau tak terhingga.

Catatan : singkatan DSV dan NSV populer dalam literatur pendidikan

Pertama, mari kita analisis variabel acak diskrit, lalu - kontinu.

Hukum distribusi variabel acak diskrit

- Ini korespondensi antara nilai yang mungkin dari besaran ini dan probabilitasnya. Paling sering, hukum ditulis dalam sebuah tabel:

Istilah ini cukup sering digunakan baris distribusi, tetapi dalam beberapa situasi kedengarannya ambigu, jadi saya akan tetap berpegang pada "hukum".

Dan sekarang poin yang sangat penting: karena variabel acak Perlu akan menerima salah satu nilai, lalu bentuk acara terkait kelompok penuh dan jumlah peluang terjadinya sama dengan satu:

atau jika ditulis ringkas:

Jadi, misalnya, hukum distribusi probabilitas poin yang dilempar pada sebuah dadu memiliki bentuk sebagai berikut:

Tidak ada komentar.

Anda mungkin mendapat kesan bahwa variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat yang “baik”. Mari kita hilangkan ilusi - mereka bisa berupa apa saja:

Variabel acak diskrit

Beberapa permainan memiliki hukum distribusi kemenangan sebagai berikut:

...Anda mungkin sudah lama memimpikan tugas seperti itu :) Saya akan memberi tahu Anda sebuah rahasia - saya juga. Apalagi setelah saya selesai mengerjakannya teori lapangan.

Larutan: karena variabel acak hanya dapat mengambil satu dari tiga nilai, maka kejadian yang bersesuaian akan terbentuk kelompok penuh, yang berarti jumlah probabilitasnya sama dengan satu:

Mengungkap “partisan”:

– jadi, probabilitas memenangkan unit konvensional adalah 0,4.

Pengendalian: itulah yang perlu kami pastikan.

Menjawab:

Bukan hal yang aneh jika Anda perlu membuat undang-undang distribusi sendiri. Untuk ini mereka menggunakan definisi klasik tentang probabilitas, teorema perkalian/penjumlahan untuk probabilitas kejadian dan chip lainnya tervera:

p_i & p_1 & p_2 & \titik & p_n \\

Kotak itu berisi 50 tiket lotere, 12 di antaranya menang, dan 2 di antaranya memenangkan masing-masing 1000 rubel, dan sisanya - masing-masing 100 rubel. Buatlah hukum untuk distribusi variabel acak - besarnya kemenangan, jika satu tiket diambil secara acak dari kotak.

Larutan: seperti yang Anda perhatikan, nilai variabel acak biasanya ditempatkan di dalamnya dalam urutan menaik. Oleh karena itu, kita mulai dengan kemenangan terkecil, yaitu rubel.

Total ada 50 tiket seperti itu - 12 = 38, dan menurut definisi klasik:
– kemungkinan tiket yang diambil secara acak akan kalah.

Dalam kasus lain, semuanya sederhana. Peluang memenangkan rubel adalah:

Periksa: – dan ini adalah momen yang sangat menyenangkan untuk melakukan tugas seperti itu!

Menjawab: hukum pembagian kemenangan yang diinginkan:

Tugas berikut ini harus Anda selesaikan sendiri:

Contoh 3

Peluang penembak mengenai sasaran adalah . Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak - jumlah pukulan setelah 2 tembakan.

...Aku tahu kamu merindukannya :) Mari kita ingat teorema perkalian dan penjumlahan. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Hukum distribusi secara lengkap mendeskripsikan variabel acak, namun dalam praktiknya akan berguna (dan terkadang lebih berguna) jika mengetahui hanya sebagian saja. karakteristik numerik .

Ekspektasi variabel acak diskrit

Secara sederhana, ini adalah nilai rata-rata yang diharapkan ketika pengujian diulang berkali-kali. Biarkan variabel acak mengambil nilai dengan probabilitas masing-masing. Maka ekspektasi matematis dari variabel acak ini sama dengan jumlah produk semua nilainya dengan probabilitas yang sesuai:

atau runtuh:

Mari kita hitung, misalnya, ekspektasi matematis dari variabel acak - jumlah poin yang dilempar pada dadu:

Sekarang mari kita mengingat permainan hipotetis kita:

Timbul pertanyaan: apakah menguntungkan memainkan game ini? ...siapa yang punya kesan? Jadi Anda tidak bisa mengatakannya “begitu saja”! Tetapi pertanyaan ini dapat dengan mudah dijawab dengan menghitung ekspektasi matematis, pada dasarnya - rata-rata tertimbang berdasarkan kemungkinan menang:

Demikian ekspektasi matematis dari game ini kekalahan.

Jangan percaya kesan Anda - percayalah pada angka-angkanya!

Ya, di sini Anda bisa menang 10 atau bahkan 20-30 kali berturut-turut, tetapi dalam jangka panjang kita akan menghadapi kehancuran yang tak terhindarkan. Dan saya tidak menyarankan Anda memainkan game seperti itu :) Yah, mungkin saja untuk bersenang-senang.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa ekspektasi matematis bukan lagi nilai ACAK.

Tugas kreatif untuk penelitian independen:

Contoh 4

Tuan X memainkan roulette Eropa menggunakan sistem berikut: dia terus-menerus bertaruh 100 rubel pada “merah”. Buatlah hukum distribusi variabel acak - kemenangannya. Hitung ekspektasi matematis dari kemenangan dan bulatkan ke kopeck terdekat. Berapa banyak rata-rata Apakah pemain kalah untuk setiap seratus taruhannya?

Referensi : Roulette Eropa berisi 18 sektor merah, 18 hitam dan 1 hijau (“nol”). Jika “merah” diluncurkan, pemain dibayar dua kali lipat dari taruhannya, jika tidak maka akan masuk ke pendapatan kasino

Ada banyak sistem roulette lain di mana Anda dapat membuat tabel probabilitas Anda sendiri. Namun hal ini terjadi ketika kita tidak memerlukan hukum distribusi dan tabel apa pun, karena sudah dipastikan bahwa ekspektasi matematis pemain akan sama persis. Satu-satunya hal yang berubah dari sistem ke sistem adalah