Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi. Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi - definisi, ilustrasi

Biarkan fungsinya kamu =F(X) kontinu pada interval [ a, b]. Seperti diketahui, fungsi tersebut mencapai nilai maksimum dan minimumnya pada segmen ini. Fungsi tersebut dapat mengambil nilai-nilai ini baik di titik dalam segmen [ a, b], atau pada batas segmen.

Mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada ruas [ a, b] diperlukan:

1) temukan titik kritis fungsi tersebut pada interval ( a, b);

2) menghitung nilai fungsi pada titik kritis yang ditemukan;

3) menghitung nilai fungsi pada ujung-ujung ruas, yaitu kapan X=A dan x = B;

4) dari semua nilai fungsi yang dihitung, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

pada segmen tersebut.

Menemukan poin-poin penting:

Titik-titik ini terletak di dalam segmen; kamu(1) = ‒ 3; kamu(2) = ‒ 4; kamu(0) = ‒ 8; kamu(3) = 1;

pada intinya X= 3 dan pada intinya X= 0.

Mempelajari fungsi konveksitas dan titik belok.

Fungsi kamu = F (X) ditelepon cembung di antaranya (A, B) , jika grafiknya terletak di bawah garis singgung yang ditarik pada titik mana pun dalam interval ini, dan disebut cembung ke bawah (cekung), jika grafiknya terletak di atas garis singgung.

Titik dimana konveksitas digantikan oleh cekungan atau sebaliknya disebut titik belok.

Algoritma pemeriksaan konveksitas dan titik belok:

1. Carilah titik-titik kritis jenis kedua, yaitu titik-titik yang turunan keduanya sama dengan nol atau tidak ada.

2. Gambarkan titik-titik kritis pada garis bilangan, bagi menjadi beberapa interval. Temukan tanda turunan kedua pada setiap interval; jika , maka fungsinya cembung ke atas, jika , maka fungsinya cembung ke bawah.

3. Jika ketika melewati suatu titik kritis jenis kedua tandanya berubah dan pada titik tersebut turunan keduanya sama dengan nol, maka titik tersebut adalah absis titik belok. Temukan ordinatnya.

Asimtot grafik suatu fungsi. Studi tentang fungsi asimtot.

Definisi. Asimtot grafik suatu fungsi disebut lurus, yang mempunyai sifat bahwa jarak dari titik mana pun pada grafik ke garis ini cenderung nol karena titik pada grafik bergerak tanpa batas dari titik asal.

Ada tiga jenis asimtot: vertikal, horizontal dan miring.

Definisi. Garis lurus disebut asimtot vertikal grafik fungsi kamu = f(x), jika setidaknya salah satu batas satu sisi fungsi pada titik ini sama dengan tak terhingga, yaitu

dimana adalah titik diskontinuitas fungsi tersebut, artinya tidak termasuk dalam domain definisi.

Contoh.

D ( kamu) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – titik istirahat.

Definisi. Lurus kamu =A ditelepon asimtot horizontal grafik fungsi kamu = f(x) di, jika

Contoh.

Definisi. Lurus kamu =kx+B (k≠ 0) dipanggil asimtot miring grafik fungsi kamu = f(x) di, di mana

Skema umum untuk mempelajari fungsi dan membuat grafik.

Algoritma Penelitian Fungsikamu = f(x) :

1. Temukan domain dari fungsi tersebut D (kamu).

2. Temukan (jika mungkin) titik potong grafik dengan sumbu koordinat (jika X= 0 dan pada kamu = 0).

3. Periksa kegenapan dan keanehan fungsi tersebut ( kamu (‒ X) = kamu (X) ‒ keseimbangan; kamu(‒ X) = ‒ kamu (X) ‒ aneh).

4. Temukan asimtot grafik fungsi tersebut.

5. Temukan interval monotonisitas fungsi tersebut.

6. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut.

7. Tentukan interval kecembungan (concavity) dan titik belok grafik fungsi.

8. Berdasarkan penelitian yang dilakukan, buatlah grafik fungsi tersebut.

Contoh. Jelajahi fungsi dan buat grafiknya.

1) D (kamu) =

X= 4 – titik istirahat.

2) Kapan X = 0,

(0; ‒ 5) – titik potong dengan Oh.

Pada kamu = 0,

3) kamu(‒ X)= suatu fungsi yang berbentuk umum (tidak genap maupun ganjil).

4) Kami memeriksa asimtotnya.

a) vertikal

b) horisontal

c) temukan asimtot miring di mana

‒persamaan asimtot miring

5) Dalam persamaan ini tidak perlu mencari interval monotonisitas suatu fungsi.

6)

Titik kritis ini membagi seluruh domain definisi fungsi ke dalam interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Lebih mudah untuk menyajikan hasil yang diperoleh dalam bentuk tabel berikut.

Biarkan fungsi $z=f(x,y)$ terdefinisi dan kontinu di beberapa domain tertutup berbatas $D$. Biarkan fungsi tertentu di wilayah ini memiliki turunan parsial berhingga orde pertama (kecuali, mungkin, untuk sejumlah titik berhingga). Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi dua variabel pada suatu daerah tertutup tertentu, diperlukan tiga langkah algoritma sederhana.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=f(x,y)$ dalam domain tertutup $D$.

1. Temukan titik kritis dari fungsi $z=f(x,y)$ milik domain $D$. Hitung nilai fungsi pada titik kritis.
2. Selidiki perilaku fungsi $z=f(x,y)$ pada batas wilayah $D$, temukan titik-titik dari kemungkinan nilai maksimum dan minimum. Hitung nilai fungsi pada titik-titik yang diperoleh.
3. Dari nilai fungsi yang diperoleh pada dua paragraf sebelumnya, pilih yang terbesar dan terkecil.

Apa saja poin kritisnya? tampilkan\sembunyikan

Di bawah poin kritis menyiratkan titik-titik di mana kedua turunan parsial orde pertama sama dengan nol (yaitu $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ dan $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) atau setidaknya satu turunan parsial tidak ada.

Seringkali titik-titik di mana turunan parsial orde pertama sama dengan nol disebut titik stasioner. Jadi, titik stasioner adalah bagian dari titik kritis.

Contoh No.1

Carilah nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=x^2+2xy-y^2-4x$ pada daerah tertutup yang dibatasi oleh garis $x=3$, $y=0$ dan $y=x +1$.

Kita akan mengikuti cara di atas, tetapi pertama-tama kita akan menggambar suatu luas tertentu, yang akan kita tandai dengan huruf $D$. Kita diberikan persamaan tiga garis lurus yang membatasi luas tersebut. Garis lurus $x=3$ melalui titik $(3;0)$ sejajar sumbu ordinat (sumbu Oy). Garis lurus $y=0$ merupakan persamaan sumbu absis (sumbu Sapi). Nah, untuk membuat garis $y=x+1$, kita akan mencari dua titik yang melaluinya kita akan menggambar garis tersebut. Anda tentu saja dapat mengganti beberapa nilai arbitrer alih-alih $x$. Misalnya, mengganti $x=10$, kita mendapatkan: $y=x+1=10+1=11$. Kita telah menemukan titik $(10;11)$ terletak pada garis $y=x+1$. Namun, lebih baik mencari titik di mana garis $y=x+1$ memotong garis $x=3$ dan $y=0$. Mengapa ini lebih baik? Karena kita akan membunuh beberapa burung dengan satu batu: kita akan mendapatkan dua titik untuk membuat garis $y=x+1$ dan sekaligus mencari tahu di titik mana garis ini memotong garis lain yang membatasi luas tertentu. Garis $y=x+1$ memotong garis $x=3$ di titik $(3;4)$, dan garis $y=0$ berpotongan di titik $(-1;0)$. Agar tidak mengacaukan kemajuan solusi dengan penjelasan tambahan, saya akan mengajukan pertanyaan untuk mendapatkan dua poin ini dalam sebuah catatan.

Bagaimana poin $(3;4)$ dan $(-1;0)$ diperoleh? tampilkan\sembunyikan

Mari kita mulai dari titik potong garis $y=x+1$ dan $x=3$. Koordinat titik yang diinginkan termasuk dalam garis lurus pertama dan kedua, oleh karena itu, untuk mencari koordinat yang tidak diketahui, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \begin(rata) & y=x+1;\\ & x=3. \end(rata) \kanan. $$

Solusi untuk sistem seperti ini sangatlah mudah: dengan mensubstitusikan $x=3$ ke dalam persamaan pertama kita akan mendapatkan: $y=3+1=4$. Titik $(3;4)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $x=3$.

Sekarang mari kita cari titik potong garis $y=x+1$ dan $y=0$. Mari kita kembali menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \kiri \( \begin(rata) & y=x+1;\\ & y=0. \end(rata) \kanan. $$

Mengganti $y=0$ ke persamaan pertama, kita mendapatkan: $0=x+1$, $x=-1$. Titik $(-1;0)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $y=0$ (sumbu absis).

Semuanya siap untuk membuat gambar yang akan terlihat seperti ini:

Pertanyaan tentang catatan itu tampak jelas, karena semuanya terlihat di gambar. Namun perlu diingat bahwa gambar tidak bisa dijadikan bukti. Gambar ini hanya untuk tujuan ilustrasi.

Area kami ditentukan menggunakan persamaan garis yang membatasinya. Jelas sekali, garis-garis ini mendefinisikan sebuah segitiga, bukan? Atau tidak sepenuhnya jelas? Atau mungkin kita diberi luas berbeda, dibatasi oleh garis yang sama:

Tentu saja kondisinya mengatakan area tersebut tertutup sehingga gambar yang ditampilkan tidak tepat. Namun untuk menghindari ambiguitas seperti itu, lebih baik mendefinisikan wilayah berdasarkan kesenjangan. Apakah kita tertarik pada bagian bidang yang terletak di bawah garis lurus $y=x+1$? Oke, jadi $y ≤ x+1$. Haruskah area kita terletak di atas garis $y=0$? Bagus, itu berarti $y ≥ 0$. Omong-omong, dua pertidaksamaan terakhir dapat dengan mudah digabungkan menjadi satu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(rata) \kanan. $$

Ketimpangan ini mendefinisikan wilayah $D$, dan mendefinisikannya secara jelas, tanpa menimbulkan ambiguitas. Namun bagaimana hal ini membantu kita menjawab pertanyaan yang disebutkan di awal catatan ini? Ini juga akan membantu :) Kita perlu memeriksa apakah titik $M_1(1;1)$ termasuk dalam wilayah $D$. Mari kita substitusikan $x=1$ dan $y=1$ ke dalam sistem ketidaksetaraan yang mendefinisikan wilayah ini. Jika kedua pertidaksamaan tersebut terpenuhi, maka titik tersebut terletak di dalam daerah tersebut. Jika paling sedikit salah satu pertidaksamaan tersebut tidak terpenuhi, maka titik tersebut bukan milik daerah. Jadi:

$$ \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(rata) \kanan. \;\; \kiri \( \begin(rata) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(rata) \kanan $$.

Kedua ketidaksetaraan itu valid. Titik $M_1(1;1)$ milik wilayah $D$.

Sekarang saatnya mempelajari perilaku fungsi pada batas wilayah, yaitu. ayo pergi ke. Mari kita mulai dengan garis lurus $y=0$.

Garis lurus $y=0$ (sumbu x) membatasi daerah $D$ dengan syarat $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita substitusikan $y=0$ ke dalam fungsi yang diberikan $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Kami menyatakan fungsi dari satu variabel $x$ yang diperoleh sebagai hasil substitusi sebagai $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sekarang untuk fungsi $f_1(x)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita cari turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2.$$

Nilai $x=2$ termasuk dalam segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, jadi kita juga akan menambahkan $M_2(2;0)$ ke daftar poin. Selain itu, mari kita hitung nilai fungsi $z$ di ujung segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, yaitu. di titik $M_3(-1;0)$ dan $M_4(3;0)$. Omong-omong, jika titik $M_2$ tidak termasuk dalam segmen yang dipertimbangkan, tentu saja, nilai fungsi $z$ di dalamnya tidak perlu dihitung.

Jadi, mari kita hitung nilai fungsi $z$ di titik $M_2$, $M_3$, $M_4$. Anda tentu saja dapat mengganti koordinat titik-titik ini ke dalam ekspresi awal $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Misalnya, untuk poin $M_2$ kita mendapatkan:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Namun perhitungannya bisa sedikit disederhanakan. Untuk melakukan ini, perlu diingat bahwa pada segmen $M_3M_4$ kita memiliki $z(x,y)=f_1(x)$. Saya akan menuliskannya secara detail:

\mulai(sejajar) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(sejajar)

Tentu saja, catatan rinci seperti itu biasanya tidak diperlukan, dan di masa depan kami akan menuliskan semua perhitungan secara singkat:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sekarang mari kita beralih ke garis lurus $x=3$. Garis lurus ini membatasi daerah $D$ dengan syarat $0 ≤ y ≤ 4$. Mari kita substitusikan $x=3$ ke dalam fungsi yang diberikan $z$. Sebagai hasil dari substitusi ini kita mendapatkan fungsi $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Untuk fungsi $f_2(y)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $0 ≤ y ≤ 4$. Mari kita cari turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Nilai $y=3$ termasuk dalam segmen $0 ≤ y ≤ 4$, jadi kita juga akan menambahkan $M_5(3;3)$ ke titik yang ditemukan sebelumnya. Selain itu, perlu menghitung nilai fungsi $z$ pada titik-titik di ujung segmen $0 ≤ y ≤ 4$, yaitu. di titik $M_4(3;0)$ dan $M_6(3;4)$. Pada titik $M_4(3;0)$ kita telah menghitung nilai $z$. Mari kita hitung nilai fungsi $z$ di titik $M_5$ dan $M_6$. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa pada segmen $M_4M_6$ kita memiliki $z(x,y)=f_2(y)$, oleh karena itu:

\mulai(sejajar) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(sejajar)

Dan terakhir, perhatikan batas terakhir wilayah $D$, yaitu. garis lurus $y=x+1$. Garis lurus ini membatasi daerah $D$ dengan syarat $-1 ≤ x ≤ 3$. Mengganti $y=x+1$ ke dalam fungsi $z$, kita akan mendapatkan:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Sekali lagi kita memiliki fungsi dari satu variabel $x$. Dan sekali lagi kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi ini pada interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Mari kita cari turunan dari fungsi $f_(3)(x)$ dan samakan dengan nol:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1.$$

Nilai $x=1$ termasuk dalam interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Jika $x=1$, maka $y=x+1=2$. Mari tambahkan $M_7(1;2)$ ke daftar poin dan cari tahu berapa nilai fungsi $z$ pada titik ini. Titik di ujung ruas $-1 ≤ x ≤ 3$, mis. poin $M_3(-1;0)$ dan $M_6(3;4)$ telah dipertimbangkan sebelumnya, kami telah menemukan nilai fungsi di dalamnya.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Langkah kedua dari solusi selesai. Kami menerima tujuh nilai:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Mari kita beralih ke. Memilih nilai terbesar dan terkecil dari angka-angka yang diperoleh pada paragraf ketiga, kita akan mendapatkan:

$$z_(menit)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Masalahnya sudah terpecahkan, tinggal menuliskan jawabannya.

Menjawab: $z_(menit)=-4; \; z_(maks)=6$.

Contoh No.2

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=x^2+y^2-12x+16y$ pada daerah $x^2+y^2 ≤ 25$.

Pertama, mari kita membuat gambar. Persamaan $x^2+y^2=25$ (ini adalah garis batas suatu luas tertentu) mendefinisikan sebuah lingkaran dengan pusat di titik asal (yaitu di titik $(0;0)$) dan berjari-jari 5. Pertidaksamaan $x^2 +y^2 ≤ $25 memenuhi semua titik di dalam dan pada lingkaran tersebut.

Kami akan bertindak sesuai dengan. Mari kita cari turunan parsial dan cari tahu titik kritisnya.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Tidak ada titik di mana turunan parsial yang ditemukan tidak ada. Mari kita cari tahu di titik mana kedua turunan parsial sama dengan nol secara bersamaan, yaitu. mari kita cari titik stasioner.

$$ \kiri \( \begin(rata) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(rata) \kanan. \;\; \kiri \( \begin(rata) & x =6;\\ & y=-8.\end(sejajar) \kanan $$.

Kita telah memperoleh titik stasioner $(6;-8)$. Namun, titik yang ditemukan bukan milik wilayah $D$. Ini mudah untuk ditunjukkan bahkan tanpa harus menggambar. Mari kita periksa apakah pertidaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ berlaku, yang mendefinisikan wilayah kita $D$. Jika $x=6$, $y=-8$, maka $x^2+y^2=36+64=100$, mis. pertidaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ tidak berlaku. Kesimpulan: titik $(6;-8)$ bukan termasuk area $D$.

Jadi, tidak ada titik kritis di dalam wilayah $D$. Mari kita lanjutkan ke... Kita perlu mempelajari perilaku suatu fungsi pada batas suatu daerah tertentu, mis. pada lingkaran $x^2+y^2=25$. Tentu saja kita dapat menyatakan $y$ dalam bentuk $x$, dan kemudian mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam fungsi $z$. Dari persamaan lingkaran kita mendapatkan: $y=\sqrt(25-x^2)$ atau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Mengganti, misalnya, $y=\sqrt(25-x^2)$ ke dalam fungsi yang diberikan, kita akan mendapatkan:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5.$$

Penyelesaian selanjutnya akan sepenuhnya identik dengan mempelajari perilaku fungsi pada batas daerah pada contoh No. 1 sebelumnya. Namun, menurut saya lebih masuk akal untuk digunakan dalam situasi ini Metode Lagrange. Kami hanya akan tertarik pada bagian pertama dari metode ini. Setelah menerapkan bagian pertama metode Lagrange, kita akan memperoleh titik di mana kita akan memeriksa fungsi $z$ untuk nilai minimum dan maksimum.

Kami menyusun fungsi Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Kami menemukan turunan parsial dari fungsi Lagrange dan menyusun sistem persamaan yang sesuai:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \kiri \( \begin (sejajar) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \kiri \( \begin(selaras) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( sejajar)\kanan.$ $

Untuk mengatasi sistem ini, mari kita segera tunjukkan bahwa $\lambda\neq -1$. Mengapa $\lambda\neq -1$? Mari kita coba substitusikan $\lambda=-1$ ke dalam persamaan pertama:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Kontradiksi $0=6$ yang dihasilkan menunjukkan bahwa nilai $\lambda=-1$ tidak dapat diterima. Keluaran: $\lambda\neq -1$. Mari kita nyatakan $x$ dan $y$ dalam bentuk $\lambda$:

\mulai(sejajar) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(sejajar)

Saya yakin di sini menjadi jelas mengapa kami secara khusus menetapkan kondisi $\lambda\neq -1$. Hal ini dilakukan untuk menyesuaikan ekspresi $1+\lambda$ ke dalam penyebut tanpa gangguan. Yaitu, untuk memastikan bahwa penyebutnya $1+\lambda\neq 0$.

Mari kita gantikan ekspresi yang dihasilkan untuk $x$ dan $y$ ke dalam persamaan ketiga sistem, yaitu. dalam $x^2+y^2=25$:

$$ \kiri(\frac(6)(1+\lambda) \kanan)^2+\kiri(\frac(-8)(1+\lambda) \kanan)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Dari persamaan yang dihasilkan maka $1+\lambda=2$ atau $1+\lambda=-2$. Oleh karena itu kita mempunyai dua nilai parameter $\lambda$, yaitu: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Oleh karena itu, kita mendapatkan dua pasang nilai $x$ dan $y$:

\begin(sejajar) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(sejajar)

Jadi, kami memperoleh dua titik dari kemungkinan ekstrem bersyarat, yaitu. $M_1(3;-4)$ dan $M_2(-3;4)$. Mari kita cari nilai fungsi $z$ di titik $M_1$ dan $M_2$:

\mulai(sejajar) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(sejajar)

Kita harus memilih nilai terbesar dan terkecil dari yang kita peroleh pada langkah pertama dan kedua. Namun dalam hal ini pilihannya kecil :) Kami punya:

$$ z_(menit)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Menjawab: $z_(menit)=-75; \; z_(maks)=$125.

Pelajaran dengan topik: "Mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada suatu segmen"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di toko online Integral untuk kelas 10 dari 1C
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas konstruksi interaktif untuk kelas 7-10
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membangun di luar angkasa

Apa yang akan kita pelajari:

Mencari nilai terbesar dan terkecil dari grafik suatu fungsi

Teman-teman, kita telah menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi sebelumnya. Kita melihat grafik suatu fungsi dan menyimpulkan di mana fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya dan di mana ia mencapai nilai terendahnya.
Mari kita ulangi:

Dari grafik fungsi kita terlihat bahwa nilai tertinggi dicapai pada titik x= 1 yaitu sama dengan 2. Nilai terendah dicapai pada titik x= -1 yaitu sama dengan -2. Cara ini cukup mudah untuk mencari nilai terbesar dan terkecil, namun tidak selalu memungkinkan untuk memplot fungsinya.

Mencari nilai terbesar dan terkecil menggunakan turunan

Guys, bagaimana menurut kalian, bagaimana cara mencari nilai terbesar dan terkecil menggunakan turunan?

Jawabannya dapat ditemukan di topik ekstrem suatu fungsi. Di sana Anda dan saya menemukan poin maksimum dan minimum, bukankah istilahnya serupa? Namun, nilai terbesar dan terkecil tidak boleh disamakan dengan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi; ini adalah konsep yang berbeda.

Jadi mari kita perkenalkan aturannya:
a) Jika suatu fungsi kontinu pada suatu interval, maka fungsi tersebut mencapai nilai maksimum dan minimumnya pada interval tersebut.
b) Fungsi tersebut dapat mencapai nilai maksimum dan minimumnya baik di ujung segmen maupun di dalamnya. Mari kita lihat poin ini lebih terinci.

Pada gambar a, fungsi mencapai nilai maksimum dan minimumnya di ujung segmen.
Pada Gambar b, fungsi mencapai nilai maksimum dan minimumnya di dalam segmen. Pada gambar c, titik minimum terletak di dalam ruas, dan titik maksimum berada di ujung ruas, di titik b.
c) Jika nilai maksimum dan minimum dicapai di dalam segmen, maka hanya pada titik stasioner atau kritis.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu y= f(x) pada suatu ruas

• Temukan turunannya f"(x).
• Temukan titik stasioner dan kritis di dalam segmen tersebut.
• Hitung nilai fungsi pada titik stasioner dan titik kritis, serta pada f(a) dan f(b). Pilih nilai terkecil dan terbesar; ini akan menjadi titik nilai fungsi terkecil dan terbesar.

Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada interval terbuka

Guys, bagaimana cara mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada interval terbuka? Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan teorema penting, yang dibuktikan dalam mata pelajaran matematika tingkat tinggi.

Dalil. Misalkan fungsi y= f(x) kontinu pada interval x, dan mempunyai titik stasioner atau titik kritis unik x= x0 di dalam interval ini, maka:
a) jika x= x0 adalah titik maksimum, maka y adalah maksimum. = f(x0).
b) jika x= x0 adalah titik minimum, maka y adalah namanya. = f(x0).

Contoh

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 pada ruas tersebut
a) [-9;-1], b) [-3;3], c) .
Penyelesaian: Carilah turunan: y"= x 2 + 4x + 4.
Turunannya ada di seluruh domain definisi, maka kita perlu mencari titik stasioner.
kamu"= 0, pada x= -2.
Kami akan melakukan perhitungan lebih lanjut untuk segmen yang dibutuhkan.
a) Tentukan nilai fungsi pada ujung-ujung ruas dan pada titik diam.
Lalu namamu. = -122, pada x= -9; kamu maks. = y = -7$\frac(1)(3)$, dengan x= -1.
b) Tentukan nilai fungsi pada ujung-ujung ruas dan pada titik diam. Nilai tertinggi dan terendah dicapai di ujung segmen.
Lalu namamu. = -8, pada x= -3, y maks. = 34, pada x= 3.
c) Titik stasioner tidak jatuh pada ruas kita; mari kita cari nilai di ujung ruas tersebut.
Lalu namamu. = 34, dengan x= 3, y maks. = 436, pada x= 9.

Contoh

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| pada segmen tersebut.
Solusi: Mari perluas modul dan ubah fungsinya:
kamu= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, untuk x ≤ 1.
kamu= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, untuk x ≥ 1.

Maka fungsi kita akan berbentuk:
\begin(persamaan*)f(x)= \begin(kasus) x^2 - 4x + 6,\quad untuk\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad untuk\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Mari kita cari titik kritisnya: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad untuk\quad x ≥ 1 \end(kasus) \end(persamaan*) \begin(persamaan*)f"(x)=0,\quad untuk\quad x= \begin(kasus) 2,\ quad for \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Jadi, kita mempunyai dua titik stasioner dan jangan lupa bahwa fungsi kita terdiri dari dua fungsi yang berbeda X.
Mari kita cari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut; untuk melakukan ini, kita menghitung nilai fungsi pada titik stasioner dan di ujung segmen:
Jawaban: Fungsi tersebut mencapai nilai minimumnya pada titik stasioner x= 1, nama y. = 3. Fungsi tersebut mencapai nilai terbesarnya pada ujung segmen di titik x = 4, y max. = 12.

Contoh

Tentukan nilai terbesar dari fungsi y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ pada sinar: , b) , c) [-4;7].
b) Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| pada segmen [-1;5].
c) Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y= $-2x-\frac(1)(2x)$ pada sinar (0;+∞).

Dari sudut pandang praktis, minat terbesar adalah menggunakan turunan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi. Apa hubungannya ini? Memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, menentukan beban peralatan yang optimal... Dengan kata lain, di banyak bidang kehidupan kita harus memecahkan masalah optimasi beberapa parameter. Dan inilah tugas mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi.

Perlu diperhatikan bahwa nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi biasanya dicari pada interval X tertentu, yang merupakan seluruh domain fungsi atau sebagian dari domain definisi. Interval X sendiri dapat berupa segmen, interval terbuka , interval tak terbatas.

Pada artikel ini kita akan membahas tentang mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang didefinisikan secara eksplisit dari satu variabel y=f(x) .

Navigasi halaman.

Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi - definisi, ilustrasi.

Mari kita lihat secara singkat definisi utama.

Nilai fungsi terbesar itu untuk siapa pun ketimpangan memang benar adanya.

Nilai terkecil dari fungsi tersebut y=f(x) pada interval X disebut nilai seperti itu itu untuk siapa pun ketimpangan memang benar adanya.

Definisi ini intuitif: nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) yang diterima pada interval yang dipertimbangkan pada absis.

Poin stasioner– ini adalah nilai argumen di mana turunan fungsi menjadi nol.

Mengapa kita memerlukan titik stasioner saat mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Fermat. Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi terdiferensiasi mempunyai titik ekstrim (minimum lokal atau maksimum lokal) di suatu titik, maka titik tersebut stasioner. Jadi, suatu fungsi sering kali mengambil nilai terbesar (terkecil) pada interval X di salah satu titik stasioner dari interval ini.

Selain itu, suatu fungsi sering kali dapat mengambil nilai terbesar dan terkecilnya pada titik-titik di mana turunan pertama dari fungsi tersebut tidak ada, dan fungsi itu sendiri terdefinisi.

Mari kita segera menjawab salah satu pertanyaan paling umum tentang topik ini: “Apakah selalu mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi”? Tidak, tidak selalu. Kadang-kadang batas interval X bertepatan dengan batas domain definisi fungsi, atau interval X tidak terbatas. Dan beberapa fungsi pada jarak tak terhingga dan pada batas domain definisi dapat mempunyai nilai yang sangat besar dan nilai yang sangat kecil. Dalam kasus ini, tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut.

Untuk lebih jelasnya, kami akan memberikan ilustrasi grafis. Lihatlah gambar-gambarnya dan banyak hal akan menjadi lebih jelas.

Di segmen tersebut

Pada gambar pertama, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam segmen [-6;6].

Perhatikan kasus yang digambarkan pada gambar kedua. Mari kita ubah segmennya menjadi. Dalam contoh ini, nilai fungsi terkecil dicapai pada titik stasioner, dan nilai terbesar dicapai pada titik dengan absis yang sesuai dengan batas kanan interval.

Pada Gambar 3, titik batas ruas [-3;2] adalah absis titik-titik yang sesuai dengan nilai fungsi terbesar dan terkecil.

Pada interval terbuka

Pada gambar keempat, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) dan terkecil (min y) pada titik stasioner yang terletak di dalam interval terbuka (-6;6).

Pada interval , tidak dapat diambil kesimpulan mengenai nilai terbesarnya.

Tanpa batas

Pada contoh yang disajikan pada gambar ketujuh, fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (maks y) pada titik stasioner dengan absis x=1, dan nilai terkecil (min y) dicapai pada batas kanan interval. Pada minus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik.

Selama interval tersebut, fungsi tersebut tidak mencapai nilai terkecil maupun terbesar. Ketika x=2 mendekat dari kanan, nilai fungsinya cenderung minus tak terhingga (garis x=2 adalah asimtot vertikal), dan karena absisnya cenderung plus tak terhingga, nilai fungsinya mendekati y=3 secara asimtotik. Ilustrasi grafis dari contoh ini ditunjukkan pada Gambar 8.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi kontinu pada suatu segmen.

Mari kita menulis sebuah algoritma yang memungkinkan kita menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

1. Kami menemukan domain definisi fungsi dan memeriksa apakah fungsi tersebut berisi seluruh segmen.
2. Kami menemukan semua titik di mana turunan pertama tidak ada dan terkandung dalam segmen (biasanya titik-titik tersebut ditemukan dalam fungsi dengan argumen di bawah tanda modulus dan dalam fungsi pangkat dengan eksponen rasional pecahan). Jika tidak ada poin seperti itu, lanjutkan ke poin berikutnya.
3. Kami menentukan semua titik stasioner yang termasuk dalam segmen tersebut. Untuk melakukan ini, kita menyamakannya dengan nol, menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dan memilih akar yang sesuai. Jika tidak ada titik stasioner atau tidak ada satupun yang termasuk dalam segmen tersebut, maka lanjutkan ke titik berikutnya.
4. Kami menghitung nilai fungsi pada titik stasioner yang dipilih (jika ada), pada titik di mana turunan pertamanya tidak ada (jika ada), serta pada x=a dan x=b.
5. Dari nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai fungsi terbesar dan terkecil yang diperlukan.

Mari kita menganalisis algoritma untuk menyelesaikan contoh untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

Contoh.

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

• pada segmen tersebut;
• di segmen [-4;-1] .

Larutan.

Daerah definisi suatu fungsi adalah seluruh himpunan bilangan real, kecuali nol, yaitu. Kedua segmen termasuk dalam domain definisi.

Temukan turunan fungsi terhadap:

Jelasnya, turunan dari fungsi tersebut ada di semua titik pada segmen dan [-4;-1].

Kami menentukan titik stasioner dari persamaan. Satu-satunya akar real adalah x=2. Titik stasioner ini termasuk dalam segmen pertama.

Untuk kasus pertama, kita menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner, yaitu untuk x=1, x=2 dan x=4:

Oleh karena itu, nilai fungsi terbesar dicapai pada x=1, dan nilai terkecil – pada x=2.

Untuk kasus kedua, kami menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen [-4;-1] (karena tidak mengandung satu titik stasioner):