Bilangan prima satu digit terbesar. Teori tentang sifat-sifat bilangan prima

Definisi 1. Bilangan prima− adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1.

Dengan kata lain, suatu bilangan dikatakan prima jika hanya mempunyai dua faktor alam yang berbeda.

Definisi 2. Setiap bilangan asli yang mempunyai pembagi lain selain bilangan itu sendiri dan bilangan satu disebut sebuah bilangan komposit.

Dengan kata lain, bilangan asli yang bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Dari Definisi 1 dapat disimpulkan bahwa suatu bilangan komposit mempunyai lebih dari dua faktor alam. Bilangan 1 bukan bilangan prima dan bukan bilangan komposit karena hanya memiliki satu pembagi 1 dan, sebagai tambahan, banyak teorema mengenai bilangan prima tidak berlaku untuk kesatuan.

Dari Definisi 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah bilangan prima atau bilangan komposit.

Di bawah ini adalah program untuk menampilkan bilangan prima hingga 5000. Isi sel, klik tombol "Buat" dan tunggu beberapa detik.

Tabel bilangan prima

Penyataan 1. Jika P- bilangan prima dan A bilangan bulat apa pun, lalu salah satunya A dibagi dengan P, atau P Dan A bilangan koprima.

Benar-benar. Jika P Suatu bilangan prima hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1 jika A tidak habis dibagi P, maka pembagi persekutuan terbesar A Dan P sama dengan 1. Lalu P Dan A bilangan koprima.

Penyataan 2. Jika hasil kali beberapa bilangan adalah bilangan A 1 , A 2 , A 3, ... habis dibagi bilangan prima P, maka setidaknya salah satu angkanya A 1 , A 2 , A 3, ... habis dibagi P.

Benar-benar. Jika tidak ada satupun bilangan yang habis dibagi P, lalu angkanya A 1 , A 2 , A 3, ... akan menjadi bilangan koprima terhadap P. Tapi dari Akibat wajar 3 () berikut ini produk mereka A 1 , A 2 , A 3, ... juga relatif prima terhadap P, yang bertentangan dengan ketentuan pernyataan. Oleh karena itu, paling sedikit salah satu bilangan tersebut habis dibagi P.

Dalil 1. Bilangan komposit apa pun selalu dapat direpresentasikan, dan dengan cara yang unik, sebagai hasil kali sejumlah bilangan prima yang berhingga.

Bukti. Membiarkan k bilangan komposit, dan biarkan A 1 adalah salah satu pembaginya yang berbeda dari 1 dan dirinya sendiri. Jika A 1 adalah komposit, kemudian memiliki tambahan 1 dan A 1 dan pembagi lainnya A 2. Jika A 2 adalah bilangan komposit, maka ia mempunyai tambahan 1 dan A 2 dan pembagi lainnya A 3. Bernalar dengan cara ini dan memperhitungkan angka-angka itu A 1 , A 2 , A 3 , ... berkurang dan deret ini berisi sejumlah suku berhingga, kita akan mencapai suatu bilangan prima P 1. Kemudian k dapat direpresentasikan dalam bentuk

Misalkan ada dua penguraian suatu bilangan k:

Karena k=p 1 P 2 P 3... habis dibagi bilangan prima Q 1, maka paling sedikit salah satu faktornya, misalnya P 1 habis dibagi Q 1. Tetapi P 1 adalah bilangan prima dan hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Karena itu P 1 =Q 1 (karena Q 1 ≠1)

Kemudian dari (2) kita dapat mengecualikan P 1 dan Q 1:

Jadi, kita yakin bahwa setiap bilangan prima yang muncul sebagai faktor pada pemuaian pertama satu kali atau lebih juga muncul pada pemuaian kedua paling sedikit sebanyak kali, dan sebaliknya, bilangan prima apa pun yang muncul sebagai faktor pada pemuaian kedua satu kali atau lebih juga muncul dalam perluasan pertama setidaknya dalam jumlah yang sama. Oleh karena itu, bilangan prima apa pun muncul sebagai faktor dalam kedua pemuaian dengan jumlah yang sama dan, dengan demikian, kedua pemuaian tersebut adalah sama.■

Perluasan bilangan komposit k dapat ditulis dalam bentuk berikut

Di mana P 1 , P 2, ... berbagai bilangan prima, α, β, γ ... bilangan bulat positif.

Ekspansi (3) disebut perluasan kanonik angka.

Bilangan prima muncul secara tidak merata dalam rangkaian bilangan asli. Di beberapa bagian baris jumlahnya lebih banyak, di bagian lain - lebih sedikit. Semakin jauh kita menelusuri deret bilangan, semakin jarang bilangan prima tersebut. Timbul pertanyaan, apakah ada bilangan prima terbesar? Matematikawan Yunani kuno Euclid membuktikan bahwa bilangan prima ada tak terhingga banyaknya. Buktinya kami sajikan di bawah ini.

Dalil 2. Jumlah bilangan prima tidak terbatas.

Bukti. Misalkan ada sejumlah bilangan prima yang berhingga, dan biarkan bilangan prima terbesar menjadi P. Mari kita anggap semua angka lebih besar P. Berdasarkan asumsi pernyataan tersebut, bilangan-bilangan tersebut harus bilangan komposit dan harus habis dibagi oleh paling sedikit salah satu bilangan prima. Mari kita pilih bilangan yang merupakan hasil kali semua bilangan prima berikut ditambah 1:

Nomor z lagi P Karena 2p sudah lebih P. P tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima tersebut, karena bila dibagi masing-masing memberikan sisa 1. Jadi kita sampai pada kontradiksi. Oleh karena itu, jumlah bilangan prima tidak terhingga.

Teorema ini merupakan kasus khusus dari teorema yang lebih umum:

Dalil 3. Biarkan perkembangan aritmatika diberikan

Maka bilangan prima apa pun yang termasuk di dalamnya N, harus disertakan dalam M, oleh karena itu di N faktor prima lain yang tidak termasuk dalam M dan, terlebih lagi, faktor-faktor prima ini N disertakan tidak lebih dari pada M.

Hal sebaliknya juga terjadi. Jika setiap faktor prima suatu bilangan N disertakan setidaknya berkali-kali dalam nomor tersebut M, Itu M dibagi dengan N.

Penyataan 3. Membiarkan A 1 ,A 2 ,A 3,...berbagai bilangan prima yang termasuk di dalamnya M Jadi

Di mana Saya=0,1,...α , J=0,1,...,β ,k=0,1,..., γ . Perhatikan itu α saya menerima α nilai +1, β j menerima β nilai +1, γ k menerima γ nilai +1, ... .

Bilangan prima adalah salah satu fenomena matematika paling menarik yang telah menarik perhatian para ilmuwan dan masyarakat umum selama lebih dari dua milenium. Terlepas dari kenyataan bahwa kita sekarang hidup di zaman komputer dan program informasi paling modern, banyak teka-teki bilangan prima yang belum terpecahkan bahkan ada beberapa yang belum diketahui oleh para ilmuwan;

Bilangan prima, seperti yang kita ketahui dari pelajaran aritmatika dasar, adalah bilangan yang habis dibagi tanpa sisa hanya oleh satu dan dirinya sendiri. Ngomong-ngomong, jika suatu bilangan asli habis dibagi, selain bilangan yang disebutkan di atas, dengan bilangan lain, maka bilangan tersebut disebut bilangan komposit. Salah satu teorema paling terkenal menyatakan bahwa bilangan komposit apa pun dapat direpresentasikan sebagai produk unik dari bilangan prima.

Beberapa fakta menarik. Pertama, satuannya unik dalam arti tidak termasuk bilangan prima atau komposit. Pada saat yang sama, dalam komunitas ilmiah, masih lazim untuk mengklasifikasikannya secara khusus ke dalam kelompok pertama, karena secara formal memenuhi persyaratannya.

Kedua, satu-satunya bilangan genap yang dimasukkan ke dalam kelompok “bilangan prima” tentu saja adalah dua. Bilangan genap lainnya tidak bisa sampai di sini, karena menurut definisi, selain bilangan itu sendiri dan satu, bilangan itu juga habis dibagi dua.

Bilangan prima, yang daftarnya, seperti disebutkan di atas, dapat dimulai dengan satu, mewakili suatu deret tak terhingga, sama tak terhingganya dengan deret bilangan asli. Berdasarkan teorema dasar aritmatika, kita dapat sampai pada kesimpulan bahwa bilangan prima tidak pernah terputus dan tidak pernah berakhir, karena jika tidak, rangkaian bilangan asli pasti akan terputus.

Bilangan prima tidak muncul secara acak dalam deret natural, seperti yang terlihat pada pandangan pertama. Setelah menganalisisnya dengan cermat, Anda dapat segera melihat beberapa fitur, yang paling menarik terkait dengan apa yang disebut angka “kembar”. Disebut demikian karena dengan cara yang tidak dapat dipahami mereka berakhir bersebelahan, hanya dipisahkan oleh pembatas genap (lima dan tujuh, tujuh belas dan sembilan belas).

Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda akan melihat bahwa jumlah angka-angka ini selalu merupakan kelipatan tiga. Apalagi bila yang kiri dibagi tiga, sisanya selalu tetap dua, dan yang kanan selalu tetap satu. Selain itu, sebaran bilangan-bilangan tersebut pada deret natural dapat diprediksi jika kita membayangkan seluruh deret ini dalam bentuk sinusoidal osilasi, yang titik-titik utamanya terbentuk ketika bilangan-bilangan tersebut dibagi tiga dan dua.

Bilangan prima tidak hanya menjadi objek perhatian para ahli matematika di seluruh dunia, tetapi telah lama berhasil digunakan dalam kompilasi berbagai rangkaian bilangan, yang antara lain menjadi dasar kriptografi. Harus diakui bahwa sejumlah besar misteri yang terkait dengan unsur-unsur menakjubkan ini masih menunggu untuk dipecahkan; banyak pertanyaan yang tidak hanya memiliki makna filosofis, tetapi juga praktis.

Bilangan-bilangan itu berbeda-beda: natural, rasional, rasional, bilangan bulat dan pecahan, positif dan negatif, kompleks dan prima, ganjil dan genap, nyata, dll. Dari artikel ini Anda bisa mengetahui apa itu bilangan prima.

Angka apa yang disebut “sederhana” dalam bahasa Inggris?

Seringkali, anak sekolah tidak mengetahui bagaimana menjawab salah satu pertanyaan paling sederhana dalam matematika, tentang apa itu bilangan prima. Mereka sering mengacaukan bilangan prima dengan bilangan asli (yaitu bilangan yang digunakan orang saat menghitung benda, sementara di beberapa sumber dimulai dengan nol, dan di sumber lain dimulai dengan satu). Tapi ini adalah dua konsep yang berbeda. Bilangan prima adalah bilangan asli, yaitu bilangan bulat dan bilangan positif yang lebih besar dari satu dan hanya mempunyai 2 pembagi alami. Selain itu, salah satu pembagi ini adalah bilangan tertentu, dan pembagi kedua adalah satu. Misalnya, tiga adalah bilangan prima karena tidak dapat dibagi tanpa sisa oleh bilangan lain selain bilangan itu sendiri dan satu.

Bilangan komposit

Kebalikan dari bilangan prima adalah bilangan komposit. Mereka juga alami, juga lebih besar dari satu, tetapi tidak memiliki dua, tetapi jumlah pembaginya lebih banyak. Jadi, misalnya bilangan 4, 6, 8, 9, dst adalah bilangan asli, bilangan komposit, tetapi bukan bilangan prima. Seperti yang Anda lihat, sebagian besar bilangan genap, tetapi tidak semua. Namun “dua” adalah bilangan genap dan “bilangan pertama” dalam rangkaian bilangan prima.

Selanjutnya

Untuk menyusun rangkaian bilangan prima, perlu untuk memilih dari semua bilangan asli, dengan mempertimbangkan definisinya, yaitu, Anda harus bertindak dengan kontradiksi. Penting untuk memeriksa setiap bilangan asli positif untuk melihat apakah bilangan tersebut memiliki lebih dari dua pembagi. Mari kita coba membuat deret (deretan) yang terdiri dari bilangan prima. Daftarnya dimulai dengan dua, diikuti dengan tiga, karena hanya habis dibagi dengan dirinya sendiri dan satu. Perhatikan angka empat. Apakah ia mempunyai pembagi selain empat dan satu? Ya, bilangan itu adalah 2. Jadi empat bukanlah bilangan prima. Lima juga bilangan prima (tidak habis dibagi bilangan lain, kecuali 1 dan 5), tetapi enam habis dibagi. Dan secara umum, jika Anda mengikuti semua bilangan genap, Anda akan melihat bahwa kecuali “dua”, tidak ada satupun bilangan prima. Dari sini kita menyimpulkan bahwa bilangan genap, kecuali dua, bukanlah bilangan prima. Penemuan lain: semua bilangan habis dibagi tiga, kecuali tiga itu sendiri, baik genap maupun ganjil, juga bukan bilangan prima (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, dst). Begitu pula dengan bilangan yang habis dibagi lima dan tujuh. Keseluruhan jumlahnya juga tidak sederhana. Mari kita rangkum. Jadi, bilangan satu digit sederhana mencakup semua bilangan ganjil kecuali satu dan sembilan, dan “dua” genap adalah bilangan genap. Puluhan itu sendiri (10, 20,... 40, dst.) tidaklah sederhana. Bilangan prima dua digit, tiga digit, dst. dapat ditentukan berdasarkan prinsip di atas: jika bilangan tersebut tidak memiliki pembagi lain selain dirinya sendiri dan satu.

Teori tentang sifat-sifat bilangan prima

Ada ilmu yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat, termasuk bilangan prima. Ini adalah cabang matematika yang disebut lebih tinggi. Selain sifat-sifat bilangan bulat, ia juga membahas bilangan aljabar dan transendental, serta fungsi berbagai asal usul yang terkait dengan aritmatika bilangan tersebut. Dalam penelitian ini, selain metode dasar dan aljabar, juga digunakan metode analitik dan geometri. Secara khusus, “Teori Bilangan” berkaitan dengan studi tentang bilangan prima.

Bilangan prima adalah “bahan penyusun” bilangan asli

Dalam aritmatika ada teorema yang disebut teorema fundamental. Menurutnya, bilangan asli apa pun, kecuali satu, dapat direpresentasikan sebagai suatu produk yang faktor-faktornya merupakan bilangan prima, dan urutan faktor-faktornya unik, artinya cara representasinya unik. Ini disebut memfaktorkan bilangan asli menjadi faktor prima. Ada nama lain untuk proses ini - faktorisasi bilangan. Berdasarkan hal ini, bilangan prima dapat disebut “bahan bangunan”, “balok” untuk menyusun bilangan asli.

Cari bilangan prima. Tes kesederhanaan

Banyak ilmuwan dari berbagai zaman mencoba menemukan beberapa prinsip (sistem) untuk menemukan daftar bilangan prima. Ilmu pengetahuan mengetahui sistem yang disebut saringan Atkin, saringan Sundartham, dan saringan Eratosthenes. Namun, mereka tidak memberikan hasil yang signifikan, dan tes sederhana digunakan untuk mencari bilangan prima. Matematikawan juga menciptakan algoritma. Biasanya disebut tes primalitas. Misalnya saja tes yang dikembangkan oleh Rabin dan Miller. Ini digunakan oleh kriptografer. Ada juga tes Kayal-Agrawal-Sasquena. Namun, meskipun cukup akurat, perhitungannya sangat sulit, sehingga mengurangi signifikansi praktisnya.

Apakah himpunan bilangan prima mempunyai limit?

Ilmuwan Yunani kuno Euclid menulis dalam bukunya “Elements” bahwa himpunan bilangan prima adalah tak terhingga. Dia mengatakan ini: “Mari kita bayangkan sejenak bahwa bilangan prima mempunyai batas. Lalu mari kita kalikan satu sama lain, dan tambahkan satu ke hasil perkaliannya. Bilangan yang diperoleh dari tindakan sederhana ini tidak dapat dibagi dengan deret bilangan prima mana pun, karena sisanya selalu satu. Artinya masih ada bilangan lain yang belum termasuk dalam daftar bilangan prima. Oleh karena itu, asumsi kami tidak benar, dan himpunan ini tidak memiliki batas. Selain bukti Euclid, ada rumus yang lebih modern yang diberikan oleh ahli matematika Swiss abad kedelapan belas, Leonhard Euler. Menurutnya, jumlah kebalikan dari jumlah n bilangan pertama bertambah tanpa batas seiring bertambahnya bilangan n. Dan berikut rumus teorema sebaran bilangan prima: (n) bertambah n/ln (n).

Berapakah bilangan prima terbesar?

Leonard Euler yang sama mampu menemukan bilangan prima terbesar pada masanya. Ini adalah 2 31 - 1 = 2147483647. Namun, pada tahun 2013, bilangan prima terbesar lainnya yang paling akurat telah dihitung - 2 57885161 - 1. Ini disebut bilangan Mersenne. Ini berisi sekitar 17 juta digit desimal. Seperti yang Anda lihat, jumlah yang ditemukan oleh ilmuwan abad kedelapan belas jauh lebih kecil dari jumlah ini. Hal ini memang seharusnya terjadi, karena Euler melakukan perhitungan ini secara manual, sedangkan orang sezaman kita mungkin dibantu oleh komputer. Apalagi nomor tersebut didapat di Fakultas Matematika salah satu fakultas di Amerika. Nomor yang dinamai ilmuwan ini lulus uji primalitas Luc-Lemaire. Namun ilmu pengetahuan tidak mau berhenti sampai disitu saja. Electronic Frontier Foundation, yang didirikan pada tahun 1990 di Amerika Serikat (EFF), telah menawarkan imbalan berupa uang untuk menemukan bilangan prima yang besar. Dan jika hingga tahun 2013 hadiah tersebut diberikan kepada para ilmuwan yang berhasil menemukannya antara 1 dan 10 juta angka desimal, saat ini angka tersebut telah mencapai 100 juta hingga 1 miliar. Hadiahnya berkisar antara 150 hingga 250 ribu dollar AS.

Nama-nama bilangan prima khusus

Angka-angka yang ditemukan berkat algoritma yang dibuat oleh ilmuwan tertentu dan lulus uji kesederhanaan disebut bilangan istimewa. Berikut beberapa di antaranya:

1. Mersen.

4. Cullen.

6. Pabrik dkk.

Kesederhanaan angka-angka ini, yang dinamai menurut nama para ilmuwan di atas, ditentukan dengan menggunakan tes berikut:

1.Luc-Lemaire.

2. pepina.

3. Risel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge dan lain-lain.

Ilmu pengetahuan modern tidak berhenti di situ, dan mungkin dalam waktu dekat dunia akan mengetahui nama-nama orang yang mampu menerima hadiah $250.000 dengan menemukan bilangan prima terbesar.

Pencacahan pembagi. Menurut definisi, angka N adalah bilangan prima hanya jika bilangan tersebut tidak habis dibagi 2 dan bilangan bulat lain kecuali 1 dan dirinya sendiri. Rumus di atas menghilangkan langkah-langkah yang tidak perlu dan menghemat waktu: misalnya, setelah memeriksa apakah suatu bilangan habis dibagi 3, tidak perlu memeriksa apakah bilangan tersebut habis dibagi 9.

• Fungsi floor(x) membulatkan x ke bilangan bulat terdekat yang lebih kecil atau sama dengan x.

Pelajari tentang aritmatika modular. Operasi "x mod y" (mod adalah singkatan dari kata Latin "modulo", yaitu "modul") berarti "bagi x dengan y dan cari sisanya". Dengan kata lain, dalam aritmatika modular, setelah mencapai nilai tertentu, disebut modul, angkanya “berubah” menjadi nol lagi. Misalnya, sebuah jam menjaga waktu dengan modulus 12: ia menunjukkan jam 10, 11 dan 12 dan kemudian kembali ke 1.

• Banyak kalkulator memiliki kunci mod. Akhir bagian ini menunjukkan cara mengevaluasi fungsi ini secara manual untuk sejumlah besar.