1. Tugas.
Pada nilai parameter apa A persamaan ( A - 1)X 2 + 2X + A- Apakah 1 = 0 mempunyai tepat satu akar?
1. Solusi.
Pada A= 1 persamaannya adalah 2 X= 0 dan jelas memiliki satu root X= 0. Jika A No.1, maka persamaan ini kuadrat dan mempunyai akar tunggal untuk nilai parameter yang diskriminan trinomial kuadratnya sama dengan nol. Menyamakan diskriminan dengan nol, kita memperoleh persamaan untuk parameternya A
4A 2 - 8A= 0, dari mana A= 0 atau A = 2.
1. Jawaban: persamaan tersebut mempunyai akar tunggal di A HAI (0; 1; 2).
2. Tugas.
Temukan semua nilai parameter A, yang persamaannya mempunyai dua akar yang berbeda X 2 +4kapak+8A+3 = 0.
2. Solusi.
Persamaan X 2 +4kapak+8A+3 = 0 mempunyai dua akar yang berbeda jika dan hanya jika D =
16A 2 -4(8A+3) > 0. Kita peroleh (setelah dikurangi dengan faktor persekutuan 4) 4 A 2 -8A-3 > 0, dari mana
2. Jawaban:
| A HAI (-Ґ ; 1 – | Cs 7 2 |
) DAN (1 + | Cs 7 2 |
; Ґ ). |
3. Tugas.
Diketahui bahwa
F 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Gambarkan fungsinya F 1 (X) pada A = 1.
b) Berapa nilainya A grafik fungsi F 1 (X) Dan F 2 (X) memiliki satu kesamaan?
3. Solusi.
3.a. Mari bertransformasi F 1 (X) sebagai berikut
Grafik fungsi ini di A= 1 ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.
3.b. Mari kita segera perhatikan grafik fungsi kamu =
kx+B Dan kamu = kapak 2 +bx+C
(A No.0) berpotongan di satu titik jika dan hanya jika persamaan kuadrat kx+B =
kapak 2 +bx+C mempunyai satu akar. Menggunakan Tampilan F 1 dari 3.a, mari kita samakan diskriminan persamaan tersebut A = 6X-X 2 -6 menjadi nol. Dari persamaan 36-24-4 A= 0 kita dapatkan A= 3. Lakukan hal yang sama dengan persamaan 2 X-A = 6X-X 2 -6 kita akan menemukannya A= 2. Mudah untuk memverifikasi bahwa nilai parameter ini memenuhi kondisi masalah. Menjawab: A= 2 atau A = 3.
4. Tugas.
Temukan semua nilai A, yang merupakan himpunan solusi pertidaksamaan X 2 -2kapak-3A i 0 berisi segmen.
4. Solusi.
Koordinat pertama titik parabola F(X) =
X 2 -2kapak-3A sama dengan X 0 =
A. Dari sifat-sifat fungsi kuadrat, kondisinya F(X) i 0 pada segmen tersebut setara dengan himpunan tiga sistem
memiliki tepat dua solusi?
5. Solusi.
Mari kita tulis ulang persamaan ini dalam bentuk X 2 + (2A-2)X - 3A+7 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat; persamaan ini mempunyai tepat dua solusi jika diskriminannya lebih besar dari nol. Menghitung diskriminan, kita menemukan bahwa syarat adanya tepat dua akar adalah terpenuhinya pertidaksamaan A 2 +A-6 > 0. Menyelesaikan pertidaksamaan, kita temukan A < -3 или A> 2. Pertidaksamaan pertama jelas tidak memiliki solusi pada bilangan asli, dan solusi alami terkecil dari pertidaksamaan kedua adalah bilangan 3.
5. Jawaban: 3.
6. Masalah (10 tombol)
Temukan semua nilai A, yang grafik fungsinya atau, setelah transformasi nyata, A-2 = |
2-A| . Persamaan terakhir setara dengan pertidaksamaan A saya 2.
6. Jawaban: A O \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6].$
Kami menggabungkan jawaban dan mendapatkan set yang diperlukan: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Menjawab.$a\in(-\infty;-3)\cup$.
Untuk nilai parameter $a$ berapakah pertidaksamaan $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ tidak mempunyai solusi?
Larutan
- Jika $a = 0$, maka pertidaksamaan ini berubah menjadi pertidaksamaan $5 \leqslant 0$ , yang tidak memiliki solusi. Oleh karena itu, nilai $a = 0$ memenuhi kondisi masalah.
- Jika $a > 0$, maka grafik trinomial kuadrat di sisi kiri pertidaksamaan tersebut adalah parabola yang cabangnya mengarah ke atas. Mari kita hitung $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. Pertidaksamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian jika parabola terletak di atas sumbu x, yaitu jika trinomial kuadrat tidak mempunyai akar ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Jika $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Menjawab.$a \in \left$ terletak di antara akar, jadi harus ada dua akar (artinya $a\ne 0$). Jika cabang-cabang parabola $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ mengarah ke atas, maka $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ dan $y(1) > 0$.
Kasus I. Misalkan $a > 0$. Kemudian
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(array) \kanan. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $
Artinya, dalam hal ini ternyata semua $a > 3$ cocok.
Kasus II. Misalkan $a< 0$. Тогда
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Artinya, dalam hal ini ternyata semua $a cocok< -1$.
Menjawab.$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Temukan semua nilai parameter $a$, yang masing-masing memiliki sistem persamaan
$ \begin(kasus) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(kasus) $
memiliki tepat dua solusi.
Larutan
Kurangi yang kedua dari yang pertama: $(x-y)^2 = 1$. Kemudian
$ \kiri[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(array)\kanan. $
Mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua sistem, kita memperoleh dua persamaan kuadrat: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ dan $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Diskriminan masing-masingnya adalah $D = 16a-4$.
Perhatikan bahwa tidak mungkin pasangan akar persamaan kuadrat pertama bertepatan dengan pasangan akar persamaan kuadrat kedua, karena jumlah akar persamaan kuadrat pertama adalah $-1$, dan jumlah akar persamaan kuadrat kedua adalah 1 .
Artinya setiap persamaan harus mempunyai satu akar, maka sistem aslinya akan mempunyai dua penyelesaian. Artinya, $D = 16a - 4 = 0$.
Menjawab.$a=\dfrac(1)(4)$
Temukan semua nilai parameter $a$ yang masing-masing persamaan $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ memiliki dua akar.
Larutan
Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi:
$9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$
Perhatikan fungsi $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
Ketika $x\geqslant 3$ modul pertama diperluas dengan tanda tambah, dan fungsinya mengambil bentuk: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Jelas bahwa dengan perluasan modul apa pun, hasilnya akan menjadi fungsi linier dengan koefisien $k\geqslant 5-3-1=1>0$, yaitu, fungsi ini meningkat tanpa batas selama interval tertentu.
Sekarang mari kita perhatikan interval $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Jadi, kita mendapatkan $x=3$ adalah titik minimum dari fungsi ini. Artinya, agar persamaan awal mempunyai dua penyelesaian, nilai fungsi pada titik minimum harus lebih kecil dari nol. Artinya, pertidaksamaan berikut berlaku: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Panah Kiri-Kanan \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Panah Kanan Kiri\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Menjawab.$a \dalam (-24; 18)$ Untuk nilai parameter $a$ berapa persamaan $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ memiliki akar unik? Mari kita buat penggantinya: $t = 5^x > 0$. Maka persamaan aslinya berbentuk persamaan kuadrat: $t^2-3t+a-1 =0$. Persamaan awal akan mempunyai akar tunggal jika persamaan tersebut mempunyai satu akar positif atau dua akar, salah satunya positif dan yang lainnya negatif. Diskriminan persamaan tersebut adalah: $D = 13-4a$. Persamaan ini akan mempunyai satu akar jika diskriminan yang dihasilkan ternyata sama dengan nol, yaitu untuk $a = \dfrac(13)(4)$. Dalam hal ini, akar $t=\dfrac(3)(2) > 0$, jadi nilai $a$ ini cocok. Jika terdapat dua akar, yang satu positif dan yang lainnya non-positif, maka $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ dan $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ . Artinya, $a\in(-\infty;1]$ Menjawab.$a\in(-\infty;1]\cup\kiri\(\dfrac(13)(4)\kanan\)$ Temukan semua nilai parameter $a$ yang sistemnya $ \begin(kasus)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(kasus) $ memiliki tepat dua solusi. Mari kita ubah sistemnya ke bentuk berikut: $ \begin(kasus) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(kasus)$ Karena parameter $a$ berada di dasar logaritma, batasan berikut diberlakukan padanya: $a>0$, $a \ne 1$. Karena variabel $y$ adalah argumen logaritma, maka $y > 0$. Setelah menggabungkan kedua persamaan sistem, kita beralih ke persamaan: $\log_a y = y^2$. Bergantung pada nilai yang diambil parameter $a$, ada dua kasus yang mungkin terjadi: Menjawab.$a\dalam(0;1)$ Mari kita pertimbangkan kasus ketika $a > 1$. Karena untuk nilai absolut besar $t$ grafik fungsi $f(t) = a^t$ terletak di atas garis lurus $g(t) = t$, maka satu-satunya titik persekutuan hanya dapat berupa titik dari singgungan. Biarkan $t_0$ menjadi titik singgung. Pada titik ini, turunan dari $f(t) = a^t$ sama dengan satu (singgung sudut singgung), selain itu, nilai kedua fungsi tersebut bertepatan, yaitu terjadi sistem: $ \begin(kasus) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(kasus) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(kasus) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(kasus) $ Maka $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $ Pada saat yang sama, fungsi langsung dan eksponensial jelas tidak memiliki titik persekutuan lainnya. Menjawab.$a \dalam (0;1] \cangkir \kiri\(e^(e^(-1))\kanan\)$Larutan
Larutan
