Rumus volume prisma segitiga siku-siku. Volume prisma segitiga umum

Volume prisma. Pemecahan masalah

Geometri adalah cara paling ampuh untuk mempertajam kemampuan mental kita dan memungkinkan kita berpikir dan bernalar dengan benar.

G.Galileo

Tujuan pelajaran:

• mengajarkan pemecahan masalah penghitungan volume prisma, merangkum dan mensistematisasikan informasi yang dimiliki siswa tentang prisma dan unsur-unsurnya, mengembangkan kemampuan memecahkan masalah yang semakin kompleks;
• mengembangkan pemikiran logis, kemampuan bekerja mandiri, keterampilan saling mengontrol dan mengendalikan diri, kemampuan berbicara dan mendengarkan;
• mengembangkan kebiasaan terus-menerus bekerja dalam beberapa kegiatan yang bermanfaat, menumbuhkan daya tanggap, kerja keras, dan ketelitian.

Jenis pelajaran: pelajaran tentang penerapan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan.

Perlengkapan: kartu kendali, proyektor media, presentasi “Pelajaran. Volume Prisma”, komputer.

Kemajuan pelajaran

• Tulang rusuk lateral prisma (Gbr. 2).
• Permukaan lateral prisma (Gambar 2, Gambar 5).
• Ketinggian prisma (Gbr. 3, Gbr. 4).
• Prisma lurus (Gambar 2,3,4).
• Prisma miring (Gambar 5).
• Prisma beraturan (Gbr. 2, Gbr. 3).
• Bagian diagonal prisma (Gambar 2).
• Diagonal prisma (Gambar 2).
• Bagian prisma tegak lurus (Gbr. 3, Gbr. 4).
• Luas permukaan lateral prisma.
• Total luas permukaan prisma.
• Volume prisma.

1. PEMERIKSAAN PEKERJAAN RUMAH (8 menit)

Tukar buku catatan, cek solusinya pada slide dan tandai (tandai 10 jika soal sudah disusun)

Buatlah masalah berdasarkan gambar dan selesaikan. Siswa mempertahankan masalah yang disusunnya di papan tulis. Gambar 6 dan Gambar 7.





Bab 2,§3
Masalah.2. Panjang semua rusuk prisma segitiga beraturan adalah sama satu sama lain. Hitung volume prisma jika luas permukaannya cm 2 (Gbr. 8)



Bab 2,§3
Soal 5. Alas prisma lurus ABCA 1B 1C1 adalah segitiga siku-siku ABC (sudut ABC=90°), AB=4cm. Hitunglah volume prisma jika jari-jari lingkaran yang dibatasi segitiga ABC adalah 2,5 cm dan tinggi prisma adalah 10 cm. (Gambar 9).



Bab2,§3
Soal 29. Panjang sisi alas prisma segi empat beraturan adalah 3 cm. Diagonal prisma membentuk sudut 30° dengan bidang sisinya. Hitung volume prisma (Gambar 10).



2. Kolaborasi antara guru dan kelas (2-3 menit).

Tujuan: merangkum hasil pemanasan teori (siswa saling menilai), mempelajari cara memecahkan masalah pada topik tersebut.

3. MENIT FISIK (3 menit)
4. PEMECAHAN MASALAH (10 menit)

Pada tahap ini, guru mengatur pekerjaan frontal tentang metode pengulangan untuk menyelesaikan masalah planimetri dan rumus planimetri.

Kelas dibagi menjadi dua kelompok, beberapa memecahkan masalah, yang lain bekerja di depan komputer. Kemudian mereka berubah.

Siswa diminta menyelesaikan semua no 8 (lisan), no 9 (lisan). Kemudian mereka dibagi menjadi beberapa kelompok dan melanjutkan penyelesaian soal no.14, no.30, no.32.



Bab 2, §3, halaman 66-67
Soal 8. Semua rusuk prisma segitiga beraturan sama besar satu sama lain. Hitunglah volume prisma jika luas penampang bidang yang melalui tepi alas bawah dan titik tengah sisi alas atas sama dengan cm (Gbr. 11).



Bab 2, §3, halaman 66-67
Bab 2,§3, halaman 66-67 Soal 9. Alas prisma lurus berbentuk persegi, dan rusuk-rusuknya dua kali panjang sisi alasnya. Hitung volume prisma jika jari-jari lingkaran yang dibatasi di dekat bagian prisma oleh bidang yang melalui sisi alas dan titik tengah sisi yang berhadapan adalah cm (Gbr. 12)



Bab 2, §3, halaman 66-67
Masalah 14 Alas prisma lurus adalah belah ketupat yang salah satu diagonalnya sama dengan sisinya.



Bab 2, §3, halaman 66-67
Hitung keliling penampang dengan bidang yang melalui diagonal utama alas bawah, jika volume prisma sama dan semua sisi sisinya berbentuk persegi (Gbr. 13). Soal 30



ABCA 1 B 1 C 1 adalah prisma segitiga beraturan yang semua rusuknya sama besar, titik tengah rusuk BB 1. Hitung jari-jari lingkaran pada bagian prisma pada bidang AOS jika volume prisma sama dengan (Gbr. 14).

5. Soal 32

.Pada prisma segi empat beraturan, jumlah luas alasnya sama dengan luas permukaan lateral. Hitung volume prisma jika diameter lingkaran yang dibatasi dekat penampang prisma oleh bidang yang melalui dua titik sudut alas bawah dan titik sudut alas atas yang berhadapan adalah 6 cm (Gbr. 15).

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

Saat memecahkan masalah, siswa membandingkan jawaban mereka dengan yang ditunjukkan oleh guru. Ini adalah contoh solusi untuk suatu masalah dengan komentar rinci... Pekerjaan individu seorang guru dengan siswa yang “kuat” (10 menit).

Siswa mengerjakan ujian secara mandiri di depan komputer

2) Volume prisma segitiga beraturan dihitung dengan rumus V = 0,25a 2 jam - dengan a adalah sisi alasnya, h adalah tinggi prisma.

3) Volume prisma lurus sama dengan setengah hasil kali luas alas dan tinggi.

4) Volume prisma segi empat beraturan dihitung dengan rumus V = a 2 h-dengan a adalah sisi alasnya, h adalah tinggi prisma.

5) Volume prisma segi enam beraturan dihitung dengan rumus V = 1,5a 2 jam, dimana a adalah sisi alasnya, h adalah tinggi prisma.

3. Sisi alas prisma segitiga beraturan adalah .

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

Sebuah bidang ditarik melalui sisi alas bawah dan titik sudut yang berhadapan dengan alas atas, yang membentuk sudut 45° terhadap alas. Temukan volume prisma.

4. Alas sebuah prisma tegak adalah belah ketupat yang panjang sisinya 13 dan salah satu diagonalnya 24.

Hitunglah volume prisma jika diagonal sisi sisinya adalah 14.

Dalam kurikulum sekolah untuk mata kuliah stereometri, pembelajaran tentang bangun ruang tiga dimensi biasanya dimulai dengan benda geometris sederhana - polihedron prisma. Peran alasnya dilakukan oleh 2 poligon sama besar yang terletak pada bidang sejajar. Kasus khusus adalah prisma segi empat beraturan. Alasnya berupa 2 segi empat beraturan yang identik, yang sisi-sisinya tegak lurus, berbentuk jajar genjang (atau persegi panjang, jika prisma tidak miring).

Seperti apa bentuk prisma?

Prisma segi empat beraturan adalah segi enam, alasnya adalah 2 persegi, dan sisi-sisinya diwakili oleh persegi panjang. Nama lain dari bangun geometri ini adalah parallelepiped lurus. Gambar yang menunjukkan prisma segi empat ditunjukkan di bawah ini. Anda juga bisa melihat di gambar

elemen terpenting yang membentuk benda geometris

. Ini termasuk:

Untuk mencari unsur prismatik tertentu, digunakan berbagai relasi dan rumus. Beberapa diantaranya diketahui dari mata kuliah planimetri (misalnya untuk mencari luas alas prisma cukup mengingat rumus luas persegi).

Luas permukaan dan volume

Untuk menentukan volume prisma menggunakan rumus, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya:

V = Sbas h

Karena alas prisma tetrahedral beraturan berbentuk persegi dengan sisi A, Anda dapat menulis rumusnya dalam bentuk yang lebih detail:

V = a²·jam

Jika kita berbicara tentang kubus - prisma beraturan dengan panjang, lebar dan tinggi yang sama, maka volumenya dihitung sebagai berikut:

Untuk memahami cara mencari luas permukaan lateral prisma, Anda perlu membayangkan perkembangannya.

Dari gambar terlihat bahwa permukaan sisinya terdiri dari 4 persegi panjang yang sama besar. Luasnya dihitung sebagai hasil kali keliling alas dan tinggi bangun:

Sisi = Posn h

Mengingat keliling persegi adalah sama dengan P = 4a, rumusnya berbentuk:

Sisi = 4a jam

Untuk kubus:

Sisi = 4a²

Untuk menghitung luas permukaan total prisma, Anda perlu menambahkan 2 luas alas ke luas lateral:

Spenuh = Sisi + 2Sutama

Sehubungan dengan prisma beraturan segi empat, rumusnya terlihat seperti:

Stotal = 4a jam + 2a²

Untuk luas permukaan kubus:

Penuh = 6a²

Mengetahui volume atau luas permukaan, Anda dapat menghitung elemen individual suatu benda geometris.

Menemukan elemen prisma

Seringkali terdapat soal-soal yang menyatakan volume atau mengetahui nilai luas permukaan lateral, sehingga perlu menentukan panjang sisi alas atau tingginya. Dalam kasus seperti itu, rumusnya dapat diturunkan:

• panjang sisi alas: a = Sisi / 4h = √(V / h);
• tinggi atau panjang rusuk samping: h = Sisi / 4a = V / a²;
• daerah dasar: Sbas = V/jam;
• area samping wajah: Samping gr = Sisi / 4.

Untuk menentukan luas suatu penampang diagonal, Anda perlu mengetahui panjang diagonal dan tinggi bangun tersebut. Untuk persegi d = a√2. Dari sini berikut ini:

Sdiag = ah√2

Untuk menghitung diagonal prisma, gunakan rumus:

hadiah d = √(2a² + h²)

Untuk memahami cara menerapkan hubungan yang diberikan, Anda dapat berlatih dan menyelesaikan beberapa tugas sederhana.

Contoh permasalahan yang ada solusinya

Berikut beberapa tugas yang terdapat pada ujian akhir negara bidang matematika.

Tugas 1.

Pasir dituangkan ke dalam kotak berbentuk prisma segi empat biasa. Tinggi tinggi permukaannya adalah 10 cm. Berapakah tinggi permukaan pasir jika dipindahkan ke dalam wadah yang bentuknya sama tetapi alasnya dua kali lebih panjang?

Hal ini harus dijelaskan sebagai berikut. Jumlah pasir pada wadah pertama dan kedua tidak berubah, yaitu volumenya sama. Anda dapat menyatakan panjang alasnya dengan A. Dalam hal ini, untuk kotak pertama volume zatnya adalah:

V₁ = ha² = 10a²

Untuk kotak kedua, panjang alasnya adalah 2a, tetapi ketinggian permukaan pasir tidak diketahui:

V₂ = jam (2a)² = 4ha²

Sejak V₁ = V₂, kita dapat menyamakan ekspresi:

10a² = 4ha²

Setelah mengurangi kedua ruas persamaan dengan a², kita peroleh:

Akibatnya, permukaan pasir akan menjadi baru jam = 10/4 = 2,5 cm.

Tugas 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah prisma tegak. Diketahui BD = AB₁ = 6√2. Temukan total luas permukaan tubuh.

Untuk memudahkan memahami unsur apa saja yang diketahui, Anda dapat menggambar sebuah gambar.

Karena kita berbicara tentang prisma beraturan, kita dapat menyimpulkan bahwa pada alasnya terdapat persegi dengan diagonal 6√2. Diagonal muka samping mempunyai ukuran yang sama, oleh karena itu muka samping juga berbentuk persegi sama dengan alasnya. Ternyata ketiga dimensi - panjang, lebar dan tinggi - adalah sama. Dapat disimpulkan bahwa ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah kubus.

Panjang setiap sisi ditentukan melalui diagonal yang diketahui:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Luas permukaan total dicari dengan menggunakan rumus kubus:

Penuh = 6a² = 6 6² = 216

Tugas 3.

Kamar sedang direnovasi. Diketahui lantainya berbentuk persegi dengan luas 9 m². Ketinggian ruangan adalah 2,5 m. Berapa biaya terendah untuk menempelkan wallpaper pada ruangan jika 1 m² berharga 50 rubel?

Karena lantai dan langit-langit berbentuk bujur sangkar, yaitu segi empat beraturan, dan dindingnya tegak lurus terhadap permukaan horizontal, maka kita dapat menyimpulkan bahwa itu adalah prisma beraturan. Penting untuk menentukan luas permukaan lateralnya.

Panjang ruangan tersebut adalah a = √9 = 3 M.

Area tersebut akan ditutup dengan wallpaper Sisi = 4 3 2,5 = 30 m².

Biaya wallpaper terendah untuk ruangan ini adalah 50·30 = 1500 rubel

Jadi, untuk menyelesaikan soal-soal prisma segi empat, cukup mampu menghitung luas dan keliling persegi dan persegi panjang, serta mengetahui rumus mencari volume dan luas permukaan.

Cara mencari luas kubus

Mari kita gambar alas prisma secara terpisah, yaitu segitiga ABC (Gbr. 307, a), dan bangun menjadi persegi panjang, lalu kita tarik garis lurus KM melalui titik sudut B || AC dan dari titik A dan C kita turunkan garis tegak lurus AF dan CE ke garis ini. Kami mendapatkan ACEF persegi panjang. Menggambar tinggi ВD segitiga ABC, kita melihat bahwa persegi panjang ACEF terbagi menjadi 4 segitiga siku-siku. Selain itu, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD dan \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Artinya luas persegi panjang ACEF adalah dua kali luas segitiga ABC yaitu sama dengan 2S.

Pada prisma dengan alas ABC ini kita akan memasang prisma dengan alas ALL dan BAF serta tinggi H(Gbr. 307, b). Kami memperoleh parallelepiped persegi panjang dengan basis ACEF.

Jika kita membedah bidang sejajar ini dengan bidang yang melalui garis lurus BD dan BB’, kita akan melihat bahwa bidang sejajar tersebut terdiri dari 4 prisma dengan alas BCD, ALL, BAD dan BAF.

Prisma yang alasnya BCD dan BC dapat digabung karena alasnya sama besar (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) dan sisi-sisinya yang tegak lurus bidang yang sama juga sama besar. Artinya volume prisma-prisma tersebut sama. Volume prisma yang mempunyai alas BAD dan BAF juga sama.

Jadi, ternyata volume prisma segitiga dengan alas ABC adalah setengah volume persegi panjang yang sejajar dengan alas ACEF.

Kita tahu bahwa volume suatu persegi panjang sejajar sama dengan hasil kali luas alas dan tingginya, yaitu dalam hal ini sama dengan 2S H. Jadi volume prisma segitiga siku-siku ini sama dengan S H.

Volume prisma segitiga siku-siku sama dengan hasil kali luas alas dan tingginya.

2. Volume prisma poligonal siku-siku.

Dengan menyatakan luas alas prisma segitiga dengan S 1, S 2 dan S 3, dan volume prisma poligonal tertentu dengan V, kita memperoleh:

V = S 1 H+ S 2 H+ S 3 H, atau

V = (S 1 + S 2 + S 3) H.

Dan terakhir: V = S H.

Dengan cara yang sama, rumus volume prisma tegak dengan poligon apa pun di alasnya diturunkan.

Cara, Volume setiap prisma siku-siku sama dengan hasil kali luas alas dan tingginya.

Volume prisma

Dalil. Volume prisma sama dengan hasil kali luas alas dan tinggi.

Pertama kita buktikan teorema ini untuk prisma segitiga, dan kemudian untuk prisma poligonal.

1) Mari kita gambar (Gbr. 95) melalui rusuk AA 1 prisma segitiga ABCA 1 B 1 C 1 sebuah bidang yang sejajar muka BB 1 C 1 C, dan melalui rusuk CC 1 sebuah bidang yang sejajar muka AA 1 B 1 B ; kemudian kita lanjutkan bidang kedua alas prisma tersebut sampai berpotongan dengan bidang yang digambar.

Kemudian kita mendapatkan BD 1 parallelepiped, yang dibagi oleh bidang diagonal AA 1 C 1 C menjadi dua prisma segitiga (salah satunya adalah ini). Mari kita buktikan bahwa prisma-prisma ini berukuran sama. Untuk melakukan ini, kita menggambar bagian tegak lurus abcd. Penampang tersebut akan menghasilkan jajar genjang yang diagonalnya ac dibagi menjadi dua segitiga sama besar. Prisma ini besarnya sama dengan prisma lurus yang alasnya adalah \(\Delta\) abc, dan tingginya adalah rusuk AA 1. Prisma segitiga lain yang luasnya sama dengan garis lurus yang alasnya adalah \(\Delta\) adc, dan tingginya adalah rusuk AA 1. Tetapi dua prisma lurus yang alasnya sama dan tingginya sama adalah sama (karena jika disisipkan keduanya digabungkan), artinya prisma ABCA 1 B 1 C 1 dan ADCA 1 D 1 C 1 sama besarnya. Oleh karena itu, volume prisma ini adalah setengah volume BD 1 yang sejajar; oleh karena itu, dengan menyatakan tinggi prisma dengan H, kita memperoleh:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Mari kita menggambar bidang diagonal AA 1 C 1 C dan AA 1 D 1 D melalui tepi AA 1 prisma poligonal (Gbr. 96).

Kemudian prisma ini akan dipotong menjadi beberapa prisma segitiga. Jumlah volume prisma-prisma ini merupakan volume yang dibutuhkan. Jika kita menyatakan luas alasnya dengan B 1 , B 2 , B 3, dan tinggi total melalui H, kita peroleh:

volume prisma poligonal = B 1 jam+ B 2H+ B 3 jam =( B 1 + B 2 + B 3) H =

= (luas ABCDE) H.

Konsekuensi. Jika V, B, dan H adalah bilangan-bilangan yang menyatakan volume, luas alas, dan tinggi prisma dalam satuan yang bersesuaian, maka berdasarkan pembuktian kita dapat menulis:

Anak-anak sekolah yang sedang mempersiapkan diri untuk mengikuti Ujian Negara Terpadu matematika pasti harus belajar bagaimana menyelesaikan masalah mencari luas prisma lurus dan beraturan. Praktek bertahun-tahun menegaskan fakta bahwa banyak siswa menganggap tugas-tugas geometri seperti itu cukup sulit.

Pada saat yang sama, siswa sekolah menengah dengan tingkat pelatihan apa pun harus dapat menemukan luas dan volume prisma beraturan dan lurus. Hanya dalam hal ini mereka dapat mengandalkan penerimaan skor kompetitif berdasarkan hasil kelulusan Ujian Negara Bersatu.

Poin-Poin Penting yang Perlu Diingat

• Jika sisi-sisi prisma tegak lurus alasnya, maka disebut garis lurus. Semua sisi sisi gambar ini berbentuk persegi panjang. Ketinggian prisma lurus berimpit dengan tepinya.
• Prisma beraturan adalah prisma yang sisi-sisinya tegak lurus terhadap alas tempat poligon beraturan berada. Sisi-sisi gambar ini berbentuk persegi panjang sama besar. Prisma yang benar selalu lurus.

Mempersiapkan ujian negara terpadu bersama Shkolkovo adalah kunci kesuksesan Anda!

Untuk membuat kelas Anda mudah dan seefektif mungkin, pilih portal matematika kami. Di sini Anda akan menemukan semua materi yang diperlukan yang akan membantu Anda mempersiapkan diri untuk lulus ujian sertifikasi.

Spesialis proyek pendidikan Shkolkovo mengusulkan untuk beralih dari yang sederhana ke yang kompleks: pertama kami memberikan teori, rumus dasar, teorema, dan masalah dasar dengan solusi, dan kemudian secara bertahap beralih ke tugas tingkat ahli.

Informasi dasar disistematisasikan dan disajikan dengan jelas di bagian “Informasi Teoritis”. Jika anda sudah berhasil mengulang materi yang diperlukan, sebaiknya anda berlatih menyelesaikan soal mencari luas dan volume prisma tegak. Bagian “Katalog” menyajikan banyak pilihan latihan dengan berbagai tingkat kesulitan.

Coba hitung luas prisma lurus dan beraturan atau sekarang juga. Analisis tugas apa pun. Jika tidak menimbulkan kesulitan, Anda dapat melanjutkan ke latihan tingkat ahli dengan aman. Dan jika kesulitan tertentu masih muncul, kami menyarankan Anda secara teratur mempersiapkan Ujian Negara Bersatu secara online bersama dengan portal matematika Shkolkovo, dan tugas dengan topik "Prisma Lurus dan Beraturan" akan mudah bagi Anda.