Teorema nilai rata-rata. Jika f(x) kontinu pada interval tersebut, maka terdapat suatu titik sedemikian rupa 
. Dokter. Suatu fungsi kontinu pada suatu interval mengambil nilai m terkecil dan M terbesar pada segmen ini. Kemudian 
. Nomor 
disimpulkan antara nilai minimum dan maksimum fungsi pada segmen tersebut. Salah satu sifat suatu fungsi yang kontinu pada suatu interval adalah bahwa fungsi tersebut mengambil nilai berapa pun yang terletak di antara m dan M. Jadi, ada suatu titik di mana 
. Sifat ini mempunyai interpretasi geometri yang sederhana: jika kontinu pada ruas tersebut , maka terdapat suatu titik sehingga luas trapesium lengkung ABCD sama dengan luas persegi panjang dengan alas dan tinggi f(c) (disorot pada gambar).
7. Integral dengan batas atas variabel. Kontinuitas dan diferensiasinya.
Mari kita perhatikan fungsi f (x) yang merupakan integral Riemann pada interval . Karena dapat diintegrasikan pada , maka ia juga dapat diintegrasikan pada ∀x ∈ . Kemudian untuk setiap x ∈ ekspresi tersebut masuk akal, dan untuk setiap x sama dengan bilangan tertentu.
Jadi, setiap x ∈ dikaitkan dengan bilangan tertentu,
itu. fungsinya diberikan:
(3.1)
Definisi:
Fungsi F(x) yang didefinisikan dalam (3.1), serta ekspresi itu sendiri, disebut
integral dengan batas atas variabel. Ini didefinisikan di seluruh segmen
keterintegrasian fungsi f(x).
Kondisi: f(t) kontinu pada , dan fungsi F(x) diberikan oleh rumus (3.1).
Pernyataan: Fungsi F(x) terdiferensialkan pada , dan F (x) = f (x).
(Di titik a terdiferensiasi kanan, dan di titik b terdiferensiasi kiri.)
Bukti:
Karena untuk suatu fungsi satu variabel F(x) diferensiasinya ekuivalen dengan adanya turunan di semua titik (di titik a di kanan, dan di titik b di kiri), kita cari turunan dari F(x) . Mari kita pertimbangkan perbedaannya
Dengan demikian,
dalam hal ini, titik ξ terletak pada segmen tersebut (atau jika ∆x< 0).
Sekarang ingat bahwa turunan fungsi F(x) pada titik tertentu x ∈ sama dengan limit rasio selisih: . Dari persamaan yang kita peroleh:
,
Sekarang mengarahkan ∆x → 0, di sisi kiri persamaan ini kita memperoleh F’(x), dan di sisi kanan
Mari kita ingat kembali definisi kontinuitas fungsi f (t) di titik x:
Misalkan x1 dalam definisi ini sama dengan ξ. Sejak ξ ∈ (ξ ∈ ), dan
∆x → 0, lalu |x − ξ| → 0, dan menurut definisi kontinuitas, f (ξ) → f (x). Dari sini kita memiliki:
F'(x) = f (x).
Konsekuensi:
Kondisi : f(x) kontinu pada .
Pernyataan: Setiap antiturunan dari fungsi f(x) mempunyai bentuk
dimana C ∈ R adalah suatu konstanta.
Bukti. Menurut Teorema 3.1 fungsinya adalah antiturunan untuk f(x). Misalkan G(x) adalah antiturunan lain dari f(x). Maka G’(x) = f(x) dan untuk fungsi F(x) − G(x) kita mempunyai: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Jadi, turunan dari fungsi F (x)−G (X)
sama dengan nol, oleh karena itu, fungsi ini konstan: F(x) − G(x) = const.
8. Rumus Newton-Leibniz untuk integral tertentu.
Dalil:
Kondisi: f(t) kontinu pada , dan F(x) merupakan antiturunannya.
Penyataan:
Bukti: Perhatikan beberapa antiturunan F(x) dari fungsi f(x). Menurut Akibat Wajar dari Teorema “Tentang Diferensiabilitas Integral dengan Batas Atas Variabel” (lihat pertanyaan sebelumnya), berbentuk . Dari sini
=>
C=
F(A)
, Dan
Mari kita pindahkan F(a) pada persamaan terakhir ke ruas kiri, tentukan kembali variabel integrasinya sebagai x dan dapatkan rumus Newton–Leibniz:
Dalil. Jika fungsinya f(x) terintegrasi pada interval [ a, b], Di mana A< b , dan untuk semua orang x ∈ ketimpangan tetap terjadi
Dengan menggunakan pertidaksamaan dari teorema tersebut, seseorang dapat memperkirakan integral tertentu, yaitu. menunjukkan batas-batas di mana maknanya terkandung. Pertidaksamaan ini menyatakan perkiraan integral tertentu.
Teorema [Rata-rata Teorema]. Jika fungsinya f(x) terintegrasi pada interval [ a, b] dan untuk semua orang x ∈ kesenjangan terpenuhi m ≤ f(x) ≤ M, Itu
Di mana m ≤ μ ≤ M.
Komentar. Jika fungsinya f(x) kontinu pada interval [ a, b], persamaan dari teorema tersebut berbentuk
Di mana c ∈. Nomor μ=f(c), yang ditentukan oleh rumus ini, disebut nilai rata-rata fungsi f(x) di segmen [ a, b]. Kesetaraan ini memiliki hal-hal berikut makna geometris: luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis kontinu kamu=f(x) (f(x) ≤ 0), sama dengan luas persegi panjang yang alasnya sama dan tingginya sama dengan ordinat suatu titik pada garis ini.
Adanya antiturunan untuk fungsi kontinu
Pertama, kita perkenalkan konsep integral dengan batas atas variabel.
Biarkan fungsinya f(x) terintegrasi pada interval [ a, b]. Lalu berapapun nomornya X dari [ a, b], fungsi f(x) terintegrasi pada interval [ a, b]. Oleh karena itu, pada interval [ a, b] fungsi ditentukan
yang disebut integral dengan batas atas variabel.
Dalil. Jika integralnya kontinu pada interval [ a, b], maka turunan integral tertentu dengan batas atas variabel ada dan sama dengan nilai integral batas tersebut, yaitu
Konsekuensi. Integral pasti dengan batas atas variabel merupakan salah satu antiturunan integral kontinu. Dengan kata lain, untuk setiap fungsi kontinu pada suatu interval terdapat antiturunannya.
Catatan 1. Perhatikan bahwa jika fungsinya f(x) terintegrasi pada interval [ a, b], maka integral dengan batas atas variabel merupakan fungsi dari batas atas yang kontinu pada ruas tersebut. Memang, dari St.2 dan teorema nilai rata-rata yang kita miliki
Catatan 2. Integral dengan batas atas integrasi variabel digunakan dalam definisi banyak fungsi baru, misalnya, 
. Fungsi-fungsi ini bukanlah fungsi dasar; seperti yang telah disebutkan, antiturunan dari integrand yang ditunjukkan tidak dinyatakan melalui fungsi dasar.
Aturan dasar integrasi
Rumus Newton-Leibniz
Karena ada dua fungsi antiturunan f(x) berbeda dengan suatu konstanta, maka menurut teorema sebelumnya dapat dikatakan antiturunan apapun Φ(x) kontinu pada segmen [ a, b] fungsi f(x) sepertinya
Di mana C- beberapa konstan.
Dengan asumsi dalam rumus ini x=sebuah Dan x=b, menggunakan integral pasti St.1, kita temukan
Persamaan ini menyiratkan adanya hubungan
yang disebut Rumus Newton-Leibniz.
Jadi kami membuktikan teorema berikut:
Dalil. Integral pasti suatu fungsi kontinu sama dengan selisih antara nilai antiturunannya pada batas atas dan batas bawah integrasi.
Rumus Newton-Leibniz dapat ditulis ulang menjadi
Mengubah suatu variabel dalam integral tertentu
Dalil. Jika
- fungsi f(x) kontinu pada interval [ a, b];
- segmen [ a, b] adalah himpunan nilai fungsi φ(t), ditentukan pada segmen α ≤ t ≤ β dan mempunyai turunan kontinu di atasnya;
- φ(α)=sebuah, φ(β)=b
maka rumusnya benar
Rumus integrasi per bagian
Dalil. Jika fungsinya kamu=kamu(x), v=v(x) memiliki turunan kontinu pada interval [ a, b], maka rumus tersebut valid
Nilai aplikasi teorema nilai rata-rata
terletak pada kemungkinan memperoleh perkiraan kualitatif atas nilai suatu integral tertentu tanpa menghitungnya. Mari kita rumuskan
: jika suatu fungsi kontinu pada suatu interval, maka di dalam interval tersebut terdapat titik sedemikian rupa 
.
Rumus ini cukup cocok untuk memperkirakan secara kasar integral suatu fungsi yang kompleks atau rumit. Satu-satunya poin yang membuat rumusnya perkiraan , adalah suatu keharusan pilihan mandiri titik Jika kita mengambil jalur paling sederhana - di tengah interval integrasi (seperti yang disarankan dalam sejumlah buku teks), maka kesalahannya bisa sangat signifikan. Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat kami merekomendasikan lakukan perhitungan dengan urutan sebagai berikut:
Buatlah grafik suatu fungsi pada interval ;
Gambarkan batas atas persegi panjang sehingga bagian grafik fungsi yang terpotong adalah kira-kira sama luasnya (ini persis seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas - dua segitiga lengkung hampir identik);
Tentukan dari gambar;
Gunakan teorema nilai rata-rata.
Sebagai contoh, mari kita hitung integral sederhana:
Nilai yang tepat;
Untuk pertengahan interval 
kami juga memperoleh nilai perkiraan, yaitu. hasil yang jelas tidak akurat;
Dengan membuat grafik dengan sisi atas persegi panjang digambar sesuai dengan rekomendasi, kita memperoleh , maka nilai perkiraannya . Hasil cukup memuaskan, errornya 0,75%.
Rumus trapesium
Keakuratan penghitungan menggunakan teorema nilai rata-rata bergantung secara signifikan, seperti yang telah ditunjukkan, pada tujuan visual sesuai dengan jadwal poin. Memang, dengan memilih, dalam contoh yang sama, titik atau , Anda dapat memperoleh nilai integral lainnya, dan kesalahannya dapat meningkat. Faktor subyektif, skala grafik dan kualitas gambar sangat mempengaruhi hasil. Ini tidak dapat diterima dalam perhitungan kritis, sehingga teorema nilai rata-rata hanya berlaku untuk cepat kualitas perkiraan integral.
Pada bagian ini kita akan membahas salah satu metode integrasi perkiraan yang paling populer - rumus trapesium . Ide utama pembuatan rumus ini didasarkan pada kenyataan bahwa kurva kira-kira dapat digantikan oleh garis putus-putus, seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Mari kita asumsikan, untuk kepastian (dan sesuai dengan gambar), bahwa interval integrasi habis dibagi setara (ini opsional, tetapi sangat nyaman) suku cadang. Panjang masing-masing bagian ini dihitung dengan rumus dan disebut melangkah . Absis titik partisi, jika diberikan, ditentukan oleh rumus, dimana . Dengan menggunakan absis yang diketahui, mudah untuk menghitung ordinat. Dengan demikian,
Ini adalah rumus trapesium untuk kasus ini. Perhatikan bahwa suku pertama dalam tanda kurung adalah setengah jumlah ordinat awal dan akhir, yang kemudian ditambahkan semua ordinat perantara. Untuk sejumlah partisi interval integrasi rumus umum trapesium memiliki bentuk: rumus kuadratur: persegi panjang, Simpson, Gaussian, dll. Mereka didasarkan pada gagasan yang sama untuk merepresentasikan trapesium lengkung dengan luas dasar berbagai bentuk, oleh karena itu, setelah menguasai rumus trapesium, memahami rumus serupa tidak akan sulit. Banyak rumus yang tidak sesederhana rumus trapesium, namun memungkinkan Anda memperoleh hasil dengan akurasi tinggi dengan jumlah partisi yang sedikit.
Dengan menggunakan rumus trapesium (atau rumus serupa), dimungkinkan untuk menghitung, dengan akurasi yang diperlukan dalam praktik, baik integral yang “tidak dapat dieksekusi” maupun integral dari fungsi yang kompleks atau rumit.
Dengan integral tertentu dari fungsi kontinu F(X) di segmen terakhir [ A, B] (dimana ) adalah kenaikan beberapa antiturunannya pada segmen ini. (Secara umum, pemahaman akan lebih mudah jika Anda mengulangi topik integral tak tentu) Dalam hal ini, notasi digunakan
Seperti terlihat pada grafik di bawah ini (kenaikan fungsi antiturunan ditunjukkan dengan ), integral tertentu dapat berupa bilangan positif atau negatif(Dihitung sebagai selisih antara nilai antiturunan di batas atas dan nilainya di batas bawah, yaitu sebagai F(B) - F(A)).
Angka A Dan B masing-masing disebut batas bawah dan atas integrasi, dan segmen [ A, B] – segmen integrasi.
Jadi, jika F(X) – beberapa fungsi antiturunan untuk F(X), maka menurut definisi,
(38)
Kesetaraan (38) disebut Rumus Newton-Leibniz . Perbedaan F(B) – F(A) ditulis secara singkat sebagai berikut:
Oleh karena itu, rumus Newton-Leibniz akan kita tulis seperti ini:
(39)
Mari kita buktikan bahwa integral tertentu tidak bergantung pada antiturunan integran mana yang diambil saat menghitungnya. Membiarkan F(X) dan F( X) adalah antiturunan arbitrer dari integrand. Karena ini adalah antiturunan dari fungsi yang sama, maka keduanya berbeda dengan suku konstan: Ф( X) = F(X) + C. Itu sebabnya
Ini menetapkan bahwa pada segmen [ A, B] kenaikan semua antiturunan fungsi F(X) cocok.
Jadi, untuk menghitung integral tertentu, perlu dicari antiturunan dari integral tersebut, yaitu. Pertama, Anda perlu mencari integral tak tentu. Konstan DENGAN dikecualikan dari perhitungan selanjutnya. Kemudian diterapkan rumus Newton-Leibniz: nilai batas atas disubstitusikan ke fungsi antiturunan B , selanjutnya - nilai batas bawah A dan selisihnya dihitung F(b) - F(a) . Bilangan yang dihasilkan akan menjadi integral tertentu..
Pada A = B menurut definisi diterima
Contoh 1.
Larutan. Pertama, mari kita cari integral tak tentu:
Menerapkan rumus Newton-Leibniz pada antiturunan
(pada DENGAN= 0), kita peroleh
Namun dalam menghitung integral tertentu, sebaiknya antiturunannya tidak dicari secara terpisah, melainkan segera dituliskan integralnya dalam bentuk (39).
Contoh 2. Hitung integral tertentu
Larutan. Menggunakan rumus
Sifat-sifat integral tertentu
Teorema 2.Nilai integral tertentu tidak bergantung pada penunjukan variabel integrasinya, yaitu.
(40)
Membiarkan F(X) – antiturunan untuk F(X). Untuk F(T) antiturunannya mempunyai fungsi yang sama F(T), yang mana variabel bebasnya hanya diberi sebutan berbeda. Karena itu,
Berdasarkan rumus (39), persamaan terakhir berarti persamaan integral
Teorema 3.Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral tertentu, yaitu.
(41)
Teorema 4.Integral pasti suatu jumlah aljabar sejumlah fungsi berhingga sama dengan jumlah aljabar integral tentu fungsi-fungsi tersebut, yaitu.
(42)
Teorema 5.Jika suatu ruas integrasi dibagi menjadi beberapa bagian, maka integral tertentu pada seluruh ruas tersebut sama dengan jumlah integral tertentu pada bagian-bagiannya., yaitu. Jika
(43)
Teorema 6.Ketika batas-batas integrasi diatur ulang, nilai absolut integral tertentu tidak berubah, tetapi hanya tandanya yang berubah, yaitu.
(44)
Teorema 7(teorema nilai rata-rata). Integral tertentu sama dengan hasil kali panjang segmen integrasi dan nilai integran di suatu titik di dalamnya, yaitu.
(45)
Teorema 8.Jika batas atas integrasi lebih besar dari batas bawah dan integrannya non-negatif (positif), maka integral tentu juga non-negatif (positif), yaitu. Jika
Teorema 9.Jika batas atas integrasi lebih besar dari batas bawah dan fungsi-fungsinya kontinu, maka terjadi pertidaksamaan
dapat diintegrasikan term demi term, yaitu.
(46)
Sifat-sifat integral tertentu memungkinkan untuk menyederhanakan perhitungan langsung integral.
Contoh 5. Hitung integral tertentu
Menggunakan Teorema 4 dan 3, dan ketika mencari antiturunan - integral tabel (7) dan (6), kita peroleh
Integral pasti dengan batas atas variabel
Membiarkan F(X) – kontinu pada segmen [ A, B] fungsi, dan F(X) adalah antiturunannya. Pertimbangkan integral tertentu
(47)
dan melalui T variabel integrasi ditetapkan agar tidak tertukar dengan batas atas. Saat berubah X integral tertentu (47) juga berubah, yaitu. itu adalah fungsi dari batas atas integrasi X, yang kami tunjukkan dengan F(X), yaitu
(48)
Mari kita buktikan fungsinya F(X) merupakan antiturunan untuk F(X) = F(T). Memang membedakan F(X), kita dapatkan
Karena F(X) – antiturunan untuk F(X), A F(A) adalah nilai konstan.
Fungsi F(X) – salah satu antiturunan yang jumlahnya tak terhingga untuk F(X), yaitu yang itu X = A menjadi nol. Pernyataan ini didapat jika pada persamaan (48) kita masukkan X = A dan gunakan Teorema 1 paragraf sebelumnya.
Perhitungan integral tertentu dengan metode integrasi bagian dan metode perubahan variabel
di mana, menurut definisi, F(X) – antiturunan untuk F(X). Jika kita mengubah variabel di integran
kemudian sesuai dengan rumus (16) kita dapat menulis
Dalam ungkapan ini
fungsi antiturunan untuk
Padahal, turunannya menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, sama
Misalkan α dan β adalah nilai variabel T, yang fungsinya
mengambil nilai yang sesuai A Dan B, yaitu.
Namun menurut rumus Newton-Leibniz, perbedaannya F(B) – F(A) Ada
Metode trapesium
Artikel utama:Metode trapesium
Jika fungsi pada setiap segmen parsial didekati dengan garis lurus yang melalui nilai berhingga, maka kita memperoleh metode trapesium.
Luas trapesium pada tiap ruas :
Kesalahan perkiraan pada setiap segmen:
Di mana 
Rumus lengkap trapesium dalam hal membagi seluruh interval integrasi menjadi segmen-segmen yang sama panjang:
Di mana
Kesalahan rumus trapesium:
Di mana 
metode Simpson.
Integrasi f(x) digantikan oleh polinomial interpolasi derajat kedua P(x)– parabola yang melalui tiga titik simpul, misalnya seperti pada gambar ((1) – fungsi, (2) – polinomial).
Mari kita pertimbangkan dua langkah integrasi ( H= konstan = x saya+1 – x saya), yaitu tiga node x 0 , x 1 , x 2, yang melaluinya kita menggambar parabola menggunakan persamaan Newton:
Membiarkan z = x - x 0,
Kemudian
Sekarang, dengan menggunakan hubungan yang diperoleh, kita menghitung integral pada interval ini:
.
Untuk jaring seragam Dan jumlah langkah genap n Rumus Simpson berbentuk:
Di Sini 
, A 
dengan asumsi kontinuitas turunan keempat integran.
[sunting] Peningkatan akurasi
Perkiraan suatu fungsi dengan polinomial tunggal pada seluruh interval integrasi, sebagai suatu peraturan, menyebabkan kesalahan besar dalam memperkirakan nilai integral.
Untuk mengurangi kesalahan, segmen integrasi dibagi menjadi beberapa bagian dan metode numerik digunakan untuk mengevaluasi integral pada masing-masing bagian.
Karena jumlah partisi cenderung tak terhingga, pendugaan integral cenderung ke nilai sebenarnya untuk fungsi analitis untuk metode numerik apa pun.
Metode di atas memungkinkan prosedur sederhana untuk mengurangi separuh langkah, dengan setiap langkah memerlukan nilai fungsi dihitung hanya pada node yang baru ditambahkan. Untuk memperkirakan kesalahan perhitungan digunakan aturan Runge.
Penerapan aturan Runge
sunting]Menilai keakuratan penghitungan integral tertentu
Integral dihitung menggunakan rumus yang dipilih (persegi panjang, trapesium, parabola Simpson) dengan jumlah langkah sama dengan n, dan kemudian dengan jumlah langkah sama dengan 2n. Kesalahan dalam menghitung nilai integral dengan jumlah langkah sama dengan 2n ditentukan dengan rumus Runge:
, untuk rumus persegi panjang dan trapesium, dan untuk rumus Simpson.
Jadi, integral dihitung untuk nilai-nilai berturut-turut dari jumlah langkah, di mana n 0 adalah jumlah langkah awal. Proses perhitungan berakhir ketika kondisi terpenuhi untuk nilai N berikutnya, dimana ε adalah akurasi yang ditentukan.
Fitur perilaku kesalahan.
Tampaknya, mengapa harus menganalisis metode integrasi yang berbeda jika kita dapat mencapai akurasi tinggi hanya dengan mengurangi ukuran langkah integrasi. Namun, perhatikan grafik perilaku error posterior R hasil perhitungan numerik tergantung pada 
dan dari nomor tersebut N partisi interval (yaitu, pada langkah . Pada bagian (1), kesalahan berkurang karena penurunan pada langkah h. Namun pada bagian (2), kesalahan komputasi mulai mendominasi, terakumulasi sebagai akibat dari berbagai operasi aritmatika. Jadi , setiap metode memiliki caranya sendiri sebentar, yang bergantung pada banyak faktor, tetapi terutama pada nilai apriori dari kesalahan metode R.
Rumus klarifikasi Romberg.
Metode Romberg terdiri dari penyempurnaan nilai integral secara berurutan dengan peningkatan beberapa kali jumlah partisi. Rumus trapesium dengan langkah seragam dapat diambil sebagai dasar H.
Mari kita nyatakan integral dengan jumlah partisi N= 1 sebagai 
.
Mengurangi langkah setengahnya, kita dapatkan 
.
Jika kita mengurangi langkah sebanyak 2 n kali secara berturut-turut, kita memperoleh hubungan perulangan untuk menghitung.
