Kita mulai mempertimbangkan proses sebenarnya menghitung integral ganda dan mengenal makna geometrisnya.
Integral ganda secara numerik sama dengan luas bangun datar (daerah integrasi). Ini adalah bentuk integral ganda yang paling sederhana, ketika fungsi dua variabel sama dengan satu: .
Pertama, mari kita lihat masalahnya secara umum. Sekarang Anda akan terkejut betapa sederhananya segala sesuatunya! Mari kita hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis. Untuk lebih pastinya, kami berasumsi bahwa pada segmen tersebut. Luas gambar ini secara numerik sama dengan:
Mari kita gambarkan luasnya pada gambar: 
Mari kita pilih cara pertama untuk melintasi area tersebut: 
Dengan demikian: 
Dan segera merupakan trik teknis yang penting: integral berulang dapat dihitung secara terpisah. Pertama integral dalam, kemudian integral luar. Saya sangat merekomendasikan metode ini kepada pemula dalam bidang ini.
1) Mari kita hitung integral internal, dan integrasi dilakukan pada variabel “y”: 
Integral tak tentu di sini adalah yang paling sederhana, dan kemudian digunakan rumus dangkal Newton-Leibniz, dengan satu-satunya perbedaan bahwa batas integrasi bukanlah bilangan, tetapi fungsi. Pertama, kita substitusikan batas atas ke “y” (fungsi antiturunan), lalu batas bawah
2) Hasil yang diperoleh pada paragraf pertama harus disubstitusikan ke integral luar: 
Representasi yang lebih ringkas dari keseluruhan solusi terlihat seperti ini:
Rumus yang dihasilkan 
itulah rumus kerja untuk menghitung luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu “biasa”! Lihat pelajaran Menghitung luas menggunakan integral tertentu, itu dia di setiap langkahnya!
Yaitu soal menghitung luas dengan menggunakan integral ganda tidak jauh berbeda dari soal mencari luas dengan menggunakan integral tertentu!
Faktanya, itu sama saja!
Oleh karena itu, tidak ada kesulitan yang muncul! Saya tidak akan melihat banyak contoh, karena Anda sebenarnya telah berulang kali menghadapi tugas ini.
Contoh 9 
Solusi: Mari kita gambarkan luas pada gambar: 
Mari kita pilih urutan penjelajahan area berikut:
Di sini dan selanjutnya saya tidak akan membahas bagaimana cara melintasi kawasan tersebut, karena penjelasan yang sangat detail telah diberikan di paragraf pertama. 
Seperti yang telah saya catat, lebih baik bagi pemula untuk menghitung integral iterasi secara terpisah, dan saya akan tetap menggunakan metode yang sama:
1) Pertama, dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz, kita menangani integral internal: 
2) Hasil yang diperoleh pada langkah pertama disubstitusikan ke integral luar: 
Poin ke 2 sebenarnya mencari luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu.
Menjawab:
Ini adalah tugas yang bodoh dan naif.
Contoh menarik untuk solusi independen:
Contoh 10
Dengan menggunakan integral ganda, hitunglah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , ,
Contoh perkiraan solusi akhir di akhir pelajaran.
Dalam Contoh 9-10, jauh lebih menguntungkan menggunakan metode pertama dalam melintasi area; pembaca yang penasaran dapat mengubah urutan penjelajahan dan menghitung area menggunakan metode kedua. Jika tidak melakukan kesalahan, tentu saja Anda akan mendapatkan nilai luas yang sama.
Namun dalam beberapa kasus, metode kedua untuk melintasi area tersebut lebih efektif, dan di akhir kursus para kutu buku muda, mari kita lihat beberapa contoh lagi tentang topik ini:
Contoh 11
Dengan menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi garis,
Solusi: kita menantikan dua parabola dengan kekhasan yang terletak di sisinya. Tidak perlu tersenyum; hal serupa cukup sering terjadi pada integral berganda.
Apa cara termudah untuk membuat gambar?
Bayangkan sebuah parabola berbentuk dua fungsi:
– cabang atas dan – cabang bawah.
Demikian pula, bayangkan sebuah parabola berbentuk atas dan bawah 
cabang.
Selanjutnya, pembuatan plot grafik secara titik, menghasilkan gambar yang aneh: 
Kami menghitung luas gambar menggunakan integral ganda sesuai dengan rumus:
Apa yang terjadi jika kita memilih metode pertama untuk melintasi area tersebut? Pertama, kawasan ini harus dibagi menjadi dua bagian. Dan kedua, kita akan mengamati gambaran menyedihkan ini: 
. Integral, tentu saja, bukanlah tingkat yang sangat rumit, tapi... ada pepatah matematika kuno: mereka yang dekat dengan akarnya tidak memerlukan tes.
Oleh karena itu, dari kesalahpahaman yang diberikan dalam kondisi tersebut, kami menyatakan fungsi kebalikannya: 
Fungsi invers dalam contoh ini memiliki keuntungan karena menentukan seluruh parabola sekaligus tanpa daun, biji, cabang, dan akar.
Menurut metode kedua, penjelajahan area adalah sebagai berikut: 
Di sini dan selanjutnya saya tidak akan membahas bagaimana cara melintasi kawasan tersebut, karena penjelasan yang sangat detail telah diberikan di paragraf pertama. 
Seperti yang mereka katakan, rasakan perbedaannya.
1) Kita berurusan dengan integral internal:
Kami mengganti hasilnya ke integral luar:
Integrasi pada variabel “y” tidak akan membingungkan; jika ada huruf “zy”, akan lebih bagus untuk mengintegrasikannya. Meskipun siapa pun yang telah membaca paragraf kedua pelajaran Cara menghitung volume benda rotasi tidak lagi mengalami kecanggungan sedikit pun dengan integrasi menggunakan metode “Y”.
Perhatikan juga langkah pertama: integrannya genap, dan interval integrasinya simetris terhadap nol. Oleh karena itu, segmennya bisa dibelah dua, dan hasilnya bisa digandakan. Teknik ini dikomentari secara rinci dalam pelajaran Metode efektif menghitung integral tertentu.
Apa yang harus ditambahkan... Semua!
Menjawab:
Untuk menguji teknik integrasi Anda, Anda dapat mencoba menghitung . Jawabannya harus persis sama.
Contoh 12
Dengan menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi garis 
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mencoba menggunakan metode pertama melintasi area tersebut, gambar tersebut tidak lagi harus dibagi menjadi dua, tetapi menjadi tiga bagian! Dan karenanya, kita mendapatkan tiga pasang integral berulang. Ini juga terjadi.
Kelas master telah berakhir, dan saatnya beralih ke tingkat grandmaster - Bagaimana cara menghitung integral ganda? Contoh solusi. Saya akan mencoba untuk tidak terlalu gila di artikel kedua =)
Saya berharap Anda sukses!
Solusi dan jawaban:
Contoh 2:Larutan:
Mari kita gambarkan area tersebut pada gambar:
Mari kita pilih urutan penjelajahan area berikut:
Dengan demikian: 
Mari beralih ke fungsi invers:
Dengan demikian: 
Menjawab:
Contoh 4:Larutan:
Mari beralih ke fungsi langsung:
Mari kita membuat gambarnya:
Mari kita ubah urutan melintasi area tersebut:
Menjawab:
Penerapan integral untuk penyelesaian masalah terapan
Perhitungan luas
Integral tentu suatu fungsi non-negatif kontinu f(x) secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu O x dan garis lurus x = a dan x = b. Sesuai dengan itu, rumus luasnya ditulis sebagai berikut:
Mari kita lihat beberapa contoh penghitungan luas bangun datar.
Tugas No. 1. Hitung luas yang dibatasi oleh garis y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Larutan. Mari kita buat sebuah bangun datar yang luasnya harus kita hitung.
y = x 2 + 1 adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dan parabola tersebut digeser ke atas relatif terhadap sumbu O y sebanyak satu satuan (Gambar 1).
Gambar 1. Grafik fungsi y = x 2 + 1
Tugas No. 2. Hitung luas yang dibatasi oleh garis y = x 2 – 1, y = 0 dalam rentang 0 sampai 1.
 |
Larutan. Grafik fungsi ini berupa parabola cabang-cabang yang mengarah ke atas, dan parabola tersebut digeser relatif terhadap sumbu O y ke bawah sebanyak satu satuan (Gambar 2).
Gambar 2. Grafik fungsi y = x 2 – 1
Tugas No. 3. Membuat gambar dan menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis
y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4.
Larutan. Garis pertama adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke bawah, karena koefisien x 2 negatif, dan garis kedua adalah garis lurus yang memotong kedua sumbu koordinat.
Untuk membuat parabola, kita mencari koordinat titik puncaknya: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – absis titik sudut; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 adalah ordinatnya, N(1;9) adalah titik puncaknya.
Sekarang mari kita cari titik potong parabola dan garis lurus dengan menyelesaikan sistem persamaan:
Menyamakan ruas kanan persamaan yang ruas kirinya sama.
Kita peroleh 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 atau x 2 – 12 = 0, maka 
.
Jadi titik-titik tersebut merupakan titik potong parabola dan garis lurus (Gambar 1).
Gambar 3 Grafik fungsi y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4
Mari kita buat garis lurus y = 2x – 4. Garis tersebut melalui titik (0;-4), (2;0) pada sumbu koordinat.
Untuk membuat parabola juga dapat menggunakan titik potongnya dengan sumbu 0x yaitu akar-akar persamaan 8 + 2x – x 2 = 0 atau x 2 – 2x – 8 = 0. Dengan menggunakan teorema Vieta, caranya mudah mencari akar-akarnya: x 1 = 2, x 2 = 4.
Gambar 3 menunjukkan suatu bangun (segmen parabola M 1 N M 2) yang dibatasi oleh garis-garis tersebut.
Bagian kedua dari soal adalah mencari luas bangun tersebut. Luasnya dapat dicari dengan menggunakan integral tertentu sesuai rumus 
.
Sehubungan dengan kondisi ini, kita memperoleh integral: 
2 Perhitungan volume benda rotasi
Volume benda yang diperoleh dari putaran kurva y = f(x) mengelilingi sumbu O x dihitung dengan rumus:
Saat diputar mengelilingi sumbu O y, rumusnya terlihat seperti:
Tugas No.4. Tentukan volume benda yang diperoleh dari putaran trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis lurus x = 0 x = 3 dan kurva y = mengelilingi sumbu O x.
Larutan. Mari kita menggambar (Gambar 4).
Gambar 4. Grafik fungsi y =
Volume yang dibutuhkan adalah 
Tugas No.5. Hitung volume benda yang diperoleh dari putaran trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis lurus y = 0 dan y = 4 mengelilingi sumbu O y.
Larutan. Kami memiliki:
Tinjau pertanyaan
A)
Larutan.
Poin pertama dan terpenting dalam pengambilan keputusan adalah menggambar.
Mari kita membuat gambarnya:
Persamaan kamu=0 mengatur sumbu “x”;
- x=-2 Dan x=1- lurus, sejajar dengan sumbu Oh;
- kamu=x 2 +2 - parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dengan titik sudut di titik (0;2).
Komentar. Untuk membuat parabola, cukup mencari titik potongnya dengan sumbu koordinat, yaitu. menempatkan x=0 carilah perpotongan dengan sumbunya Oh dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang sesuai, temukan perpotongan dengan sumbu Oh .
Titik puncak parabola dapat dicari dengan menggunakan rumus: 
Anda juga dapat membuat garis titik demi titik.
Pada interval [-2;1] grafik fungsi kamu=x 2 +2 terletak di atas sumbu Sapi, Itu sebabnya:
Menjawab: S=9 unit persegi
Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kita menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, akan ada sekitar 9, sepertinya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.
Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu Oh?
b) Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis kamu=-ex , x=1 dan koordinat sumbu.
Larutan.
Mari kita membuat gambar.
Jika trapesium lengkung seluruhnya terletak di bawah sumbu Oh , maka luasnya dapat dicari dengan rumus:
Menjawab: S=(e-1) unit persegi" 1,72 unit persegi
Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:
1) Jika Anda diminta menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.
2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah.
c) Carilah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis y=2x-x 2, y=-x.
Larutan.
Pertama, Anda perlu menyelesaikan gambarnya. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola 
dan lurus 
Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis.
Kami memecahkan persamaan:
Artinya batas bawah integrasi sebuah=0, batas atas integrasi b=3 .
|
Kita buat garis-garis berikut: 1. Parabola - titik sudut di titik (1;1); persimpangan sumbu Oh - poin (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - garis bagi sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada segmen [ a;b] beberapa fungsi berkelanjutan f(x) lebih besar dari atau sama dengan suatu fungsi kontinu g(x), maka luas bangun yang bersesuaian dapat dicari dengan menggunakan rumus: Dan tidak masalah di mana letak gambarnya - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi yang penting adalah grafik mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap grafik lain) dan mana yang DI BAWAH. Pada contoh yang dibahas, terlihat jelas bahwa pada ruas parabola terletak di atas garis lurus, oleh karena itu perlu dilakukan pengurangan dari |
.Anda dapat membuat garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional).
Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.
Di segmen tersebut 
, menurut rumus yang sesuai:
Menjawab: S=4,5 unit persegi
Bagaimana cara menyisipkan rumus matematika pada website?
Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika dengan mudah dimasukkan ke situs dalam bentuk gambar yang dibuat secara otomatis oleh Wolfram Alpha . Selain kesederhanaannya, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah berfungsi sejak lama (dan, menurut saya, akan berfungsi selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.
Jika Anda sering menggunakan rumus matematika di situs Anda, saya sarankan Anda menggunakan MathJax - pustaka JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX, atau ASCIIMathML.
Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs web Anda, yang akan secara otomatis dimuat dari server jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unduh skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan sambungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua - lebih rumit dan memakan waktu - akan mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama karena lebih sederhana, lebih cepat dan tidak memerlukan keahlian teknis. Ikuti contoh saya, dan hanya dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.
Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web utama MathJax atau di halaman dokumentasi:
Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke dalam kode laman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag. Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman. Namun opsi kedua secara otomatis memantau dan memuat MathJax versi terbaru. Jika Anda memasukkan kode pertama, kode tersebut perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda memasukkan kode kedua, halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.
Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode unduhan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal templat (omong-omong, ini sama sekali tidak diperlukan, karena skrip MathJax dimuat secara asinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML, dan Anda siap memasukkan rumus matematika ke halaman web situs Anda.
Setiap fraktal dibangun menurut aturan tertentu, yang diterapkan secara konsisten dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.
Algoritme berulang untuk membuat spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan permukaannya menjadi 27 kubus yang sama besar. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan di sepanjang sisinya dikeluarkan darinya. Hasilnya adalah satu set yang terdiri dari sisa 20 kubus kecil. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kita mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa henti, kita mendapatkan spons Menger.
