Seleksi dan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan eksponensial. Memecahkan sistem persamaan eksponensial

Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial adalah persamaan yang bilangan eksponennya memuat hal yang tidak diketahui.

Penyelesaian persamaan eksponensial sering kali dilakukan dengan menyelesaikan persamaan a x = a b, dengan a > 0, a ≠ 1, x tidak diketahui. Persamaan ini mempunyai akar tunggal x = b, karena teorema berikut ini benar:

Dalil. Jika a > 0, a ≠ 1 dan a x 1 = a x 2, maka x 1 = x 2.

Mari kita buktikan pernyataan yang dipertimbangkan.

Mari kita asumsikan bahwa persamaan x 1 = x 2 tidak berlaku, yaitu. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, maka fungsi eksponensial y = a x bertambah dan oleh karena itu pertidaksamaan a x 1 harus dipenuhi< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >sebuah x 2. Dalam kedua kasus tersebut kami menerima kontradiksi dengan kondisi a x 1 = a x 2.

Mari kita pertimbangkan beberapa masalah.

Selesaikan persamaan 4 ∙ 2 x = 1.

Larutan.

Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, sehingga diperoleh x + 2 = 0, yaitu x = -2.

Menjawab. x = -2.

Selesaikan persamaan 2 3x ∙ 3 x = 576.

Larutan.

Karena 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, persamaannya dapat ditulis sebagai 8 x ∙ 3 x = 24 2 atau 24 x = 24 2.

Dari sini kita mendapatkan x = 2.

Menjawab. x = 2.

Selesaikan persamaan 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Larutan.

Dengan mengambil faktor persekutuan 3 x - 2 dari tanda kurung di sisi kiri, kita mendapatkan 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

dimana 3 x - 2 = 1, mis. x – 2 = 0, x = 2.

Menjawab. x = 2.

Selesaikan persamaan 3 x = 7 x.

Larutan.

Karena 7 x ≠ 0, persamaannya dapat ditulis sebagai 3 x /7 x = 1, sehingga (3/7) x = 1, x = 0.

Menjawab. x = 0.

Selesaikan persamaan 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Larutan.

Dengan mengganti 3 x = a, persamaan ini direduksi menjadi persamaan kuadrat a 2 – 4a – 45 = 0.

Memecahkan persamaan ini, kita menemukan akar-akarnya: a 1 = 9, dan 2 = -5, maka 3 x = 9, 3 x = -5.

Persamaan 3 x = 9 mempunyai akar 2, dan persamaan 3 x = -5 tidak mempunyai akar, karena fungsi eksponensial tidak dapat bernilai negatif.

Menjawab. x = 2.

Menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial sering kali dilakukan dengan menyelesaikan pertidaksamaan a x > a b atau a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Mari kita lihat beberapa masalah.

Selesaikan pertidaksamaan 3 x< 81.

Larutan.

Mari kita tuliskan pertidaksamaan dalam bentuk 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, maka fungsi y = 3 x meningkat.

Oleh karena itu, untuk x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Jadi, pada x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Menjawab. X< 4.

Selesaikan pertidaksamaan 16 x +4 x – 2 > 0.

Larutan.

Misalkan 4 x = t, maka diperoleh pertidaksamaan kuadrat t2 + t – 2 > 0.

Ketimpangan ini berlaku untuk t< -2 и при t > 1.

Karena t = 4 x, kita mendapatkan dua pertidaksamaan 4 x< -2, 4 х > 1.

Pertidaksamaan pertama tidak mempunyai penyelesaian, karena 4 x > 0 untuk semua x € R.

Pertidaksamaan kedua kita tuliskan dalam bentuk 4 x > 4 0, maka x > 0.

Menjawab. x > 0.

Selesaikan persamaan (1/3) x = x – 2/3 secara grafis.

Larutan.

1) Mari kita buat grafik fungsi y = (1/3) x dan y = x – 2/3.

2) Berdasarkan gambar kita, kita dapat menyimpulkan bahwa grafik fungsi-fungsi yang dipertimbangkan berpotongan di titik dengan absis x ≈ 1. Pengecekan membuktikan bahwa

x = 1 adalah akar persamaan ini:

(1/3) 1 = 1/3 dan 1 – 2/3 = 1/3.

Dengan kata lain, kita telah menemukan salah satu akar persamaannya.

3) Mari kita cari akar yang lain atau buktikan bahwa tidak ada akar yang lain. Fungsi (1/3) x menurun, dan fungsi y = x – 2/3 meningkat. Oleh karena itu, untuk x > 1, nilai fungsi pertama kurang dari 1/3, dan fungsi kedua – lebih dari 1/3; di x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 dan x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Menjawab. x = 1.

Perhatikan bahwa dari penyelesaian soal ini, khususnya, pertidaksamaan (1/3) x > x – 2/3 terpenuhi untuk x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumber aslinya.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9–11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10–11 "Logaritma"

Definisi Persamaan Eksponensial

Definisi. Persamaan bentuk: $a^(f(x))=a^(g(x))$, dimana $a>0$, $a≠1$ disebut persamaan eksponensial.

Mengingat teorema yang kita pelajari pada topik "Fungsi Eksponensial", kita dapat memperkenalkan teorema baru:
Dalil. Persamaan eksponensial $a^(f(x))=a^(g(x))$, dimana $a>0$, $a≠1$ ekuivalen dengan persamaan $f(x)=g(x) $.

Contoh persamaan eksponensial

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Kemudian persamaan kita dapat ditulis ulang: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Jawaban: $x=0$.

C) Persamaan aslinya ekuivalen dengan persamaan: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ dan $x_2=-3$.
Jawaban: $x_1=6$ dan $x_2=-3$.

Contoh.
Selesaikan persamaan: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Larutan:
Mari kita lakukan serangkaian tindakan secara berurutan dan bawa kedua ruas persamaan kita ke basis yang sama.
Mari kita lakukan sejumlah operasi di sisi kiri:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Mari beralih ke sisi kanan:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Persamaan aslinya setara dengan persamaan:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Jawaban: $x=0$.

Contoh.
Selesaikan persamaan: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Larutan:
Mari kita tulis ulang persamaan kita: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Mari kita ubah variabelnya, misalkan $a=3^x$.
Pada variabel baru, persamaannya akan berbentuk: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ dan $a_2=3$.
Mari kita lakukan kebalikan dari perubahan variabel: $3^x=-12$ dan $3^x=3$.
Pada pelajaran terakhir kita belajar bahwa ekspresi eksponensial hanya dapat bernilai positif, ingat grafiknya. Artinya persamaan pertama tidak mempunyai solusi, persamaan kedua mempunyai satu solusi: $x=1$.
Jawaban: $x=1$.

Mari kita ingat cara menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Metode grafis. Kami mewakili kedua sisi persamaan dalam bentuk fungsi dan membuat grafiknya, menemukan titik potong grafik. (Kami menggunakan metode ini dalam pelajaran terakhir).
2. Prinsip kesetaraan indikator. Prinsipnya didasarkan pada kenyataan bahwa dua ekspresi dengan basis yang sama adalah sama jika dan hanya jika derajat (pangkat) dari basis tersebut sama. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metode penggantian variabel. Metode ini sebaiknya digunakan jika persamaan, ketika mengganti variabel, menyederhanakan bentuknya dan lebih mudah diselesaikan.

Contoh.
Selesaikan sistem persamaan: $\begin (kasus) (27)^y*3^x=1,\\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (kasus)$.
Larutan.
Mari kita pertimbangkan kedua persamaan sistem secara terpisah:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3 tahun)*3^x=3^0$.
$3^(3tahun+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Perhatikan persamaan kedua:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Mari kita gunakan metode perubahan variabel, misalkan $y=2^(x+y)$.
Maka persamaannya akan berbentuk:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ dan $y_2=-3$.
Mari kita beralih ke variabel awal, dari persamaan pertama kita mendapatkan $x+y=2$. Persamaan kedua tidak memiliki solusi. Maka sistem persamaan awal kita ekuivalen dengan sistem: $\begin (kasus) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (kasus)$.
Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama, kita mendapatkan: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (kasus)$.
$\begin (kasus) y=-1, \\ x=3. \end (kasus)$.
Jawaban: $(3;-1)$.

Ketimpangan eksponensial

Dalil. Jika $a>1$, maka pertidaksamaan eksponensial $a^(f(x))>a^(g(x))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $f(x)>g(x)$.
Jika $0 a^(g(x))$ setara dengan pertidaksamaan $f(x)

Contoh.
Selesaikan kesenjangan:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Larutan.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Ketimpangan kita setara dengan ketimpangan:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Dalam persamaan kita, basisnya adalah ketika derajat kurang dari 1, maka pada saat mengganti suatu pertidaksamaan dengan pertidaksamaan yang ekuivalen, tandanya perlu diubah.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Ketimpangan kita setara dengan ketimpangan:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Mari kita gunakan metode solusi interval:
Jawaban: $(-∞;-5]U \ \

Menjawab: $(-4,6)$.

Contoh 2