Contoh. k, o, n apakah mereka berdiri bersebelahan?
Contoh. Berapa banyak permutasi huruf-huruf pada kata “kerucut” yang didalamnya terdapat huruf-huruf tersebut k, o, n apakah mereka berdiri bersebelahan?
Larutan.
Diberikan 5 huruf, tiga diantaranya harus bersebelahan.
Tiga huruf k, o, n dapat berdiri di samping salah satu dari = 3! = 6 cara.
Untuk setiap metode “menempelkan” huruf k, o, n kita peroleh = 3! = 6 cara
Penataan ulang huruf, "perekatan" kita.
Jumlah total permutasi yang berbeda dari huruf-huruf dari kata "kerucut", di mana huruf-hurufnya
k, o, n berdiri bersebelahan sama dengan 6 · 6 = 36 permutasi - anagram.
Menjawab: 36 anagram.
Contoh.
Contoh. Hitung berapa banyak gambar huruf A, B, C, D, D, E, F, Z, I, K terdapat huruf yang mempunyai: 1) sumbu simetri vertikal; 2) sumbu simetri horizontal.
Larutan.
1) Huruf dengan sumbu simetri vertikal: A, D, F – 3 huruf (tidak memperhitungkan penebalan beberapa elemen huruf A, D di sebelah kanan).
2) Huruf dengan sumbu simetri mendatar: V, E, ZH, Z, K – 5 huruf.
Menjawab: 1) 3 huruf, 2) 5 huruf.
Contoh.
Contoh. Penghuni planet XO memiliki tiga huruf dalam alfabetnya: A, O, X. Kata-kata dalam bahasa tersebut terdiri dari tidak lebih dari tiga huruf (satu huruf dalam satu kata dapat diulang). Berapa jumlah kata terbanyak yang ada dalam kosa kata penghuni planet ini?
Larutan. Kata-kata dapat berupa satu huruf, dua huruf atau tiga huruf.
Kata satu huruf: A, O, X – 3 kata.
Kata dua huruf: AO, AH, AA, OO, OA, OX, XX, HA, XO – 9 kata (3·3=9, pilihan dua huruf dengan pengulangan).
Kata tiga huruf: 3·9=27 kata (pilihan tiga dari tiga dengan pengulangan, pilihan huruf pertama - tiga cara; tambahkan masing-masing dari 9 kemungkinan kata dua huruf ke setiap huruf pertama).
Jadi, dalam kamus penghuni planet XO maksimal ada 3 + 9 + +27 = 39 kata.
Menjawab: 39 kata.
Contoh No.1.
Contoh No.1. Semua tiket ujian sastra ditulis pada kartu dengan angka dua digit. Petya secara acak memilih satu kartu. Jelaskan peristiwa-peristiwa berikut ini sebagai peristiwa yang pasti, tidak mungkin, atau acak:
Peristiwa A - ada bilangan prima pada kartu yang dipilih;
Peristiwa B – ada nomor komposit pada kartu;
Peristiwa C – ada angka pada kartu yang bukan bilangan prima maupun komposit;
Peristiwa D – ada angka genap atau ganjil pada kartu.
Larutan.
Peristiwa A dan B bersifat acak karena mungkin terjadi atau tidak.
Peristiwa C tidak mungkin: ingat definisi bilangan prima dan bilangan komposit.
Peristiwa D pasti karena bilangan dua angka mana pun adalah bilangan genap atau ganjil.
Anda membuka buku ke halaman mana pun dan membaca kata benda pertama yang Anda temukan. Ternyata: a) ejaan kata yang dipilih mengandung huruf vokal; b) ejaan kata yang dipilih mengandung huruf “o”; c) tidak ada vokal dalam ejaan kata yang dipilih; d) terdapat tanda lembut pada ejaan kata yang dipilih.
Larutan.
a) Peristiwa tersebut dapat dipercaya, karena dalam bahasa Rusia tidak ada kata benda yang hanya terdiri dari konsonan.
b) Peristiwa itu acak.
c) Suatu kejadian yang mustahil (lihat poin a)).
d) Peristiwa itu acak.
Contoh.
Contoh. Jelaskan jumlah kejadian-kejadian yang tidak kompatibel berikut ini.
“Ratu melahirkan di malam hari, baik laki-laki (peristiwa A), atau perempuan (peristiwa B)…”
Larutan.
Ratu melahirkan seorang putra atau putri (A B).
Menjawab: 4 kejadian kompleks, yang merupakan jumlah dari dua kejadian yang tidak kompatibel.
Contoh. o, t, k, r.
Contoh. Surat ditulis pada empat kartu o, t, k, r. Kartu-kartu itu dibalik dan dikocok. Kemudian mereka membuka kartu-kartu tersebut secara acak, satu demi satu, dan menaruhnya secara berurutan. Berapa peluang terucapnya kata "tahi lalat"?
Larutan. Hasil adalah semua kemungkinan permutasi dari empat elemen ( o, t, k, r); banyaknya hasil adalah n = = 4! = 24.
Acara A – “setelah membuka kartu, akan diperoleh kata “tahi lalat””; = 1 (hanya satu pilihan untuk susunan huruf - “tahi lalat”; = .
Menjawab:
Contoh HAI, pada yang kedua T, pada yang ketiga Dengan, pada hari keempat P.
Contoh. Kami mengambil empat kartu. Mereka menulis surat pada surat pertama HAI, pada yang kedua T, pada yang ketiga Dengan, pada hari keempat P. Kartu-kartu itu dibalik dan dikocok. Kemudian mereka membuka kartu satu demi satu secara acak dan meletakkannya di sebelahnya. Berapa peluang yang terambil kata "berhenti" atau kata "post"?
Larutan. Hasil – semua kemungkinan permutasi dari 4 huruf; jumlah total hasil
n = = 4! = 24.
Peristiwa A – “terdengar kata “berhenti” atau “posting”; jumlah hasil yang menguntungkan = 1 (“berhenti”) + 1 (“post”) = 2 (sesuai dengan aturan jumlah hasil yang saling eksklusif).
Kemungkinan = .
Menjawab: 1/12.
Contoh No.1. Kami mengukur panjang kata (jumlah huruf) dalam kutipan di bawah ini dari puisi A.S. Pushkin “The Bronze Horseman”. Penting untuk membuat histogram distribusi multiplisitas dan frekuensi, memilih interval 1-3, 4-6, 7-9 untuk opsi pengambilan sampel.
“...Dia sangat mengerikan di tengah kegelapan! 6, 2, 1, 9, 4
Sungguh pemikiran yang luar biasa! 5, 4, 2, 4
Betapa kekuatan yang tersembunyi di dalam dirinya, Dan betapa api yang ada di dalam kuda ini! 5, 4, 1, 3, 7
Kemana kamu berkuda, kuda bangga, 1, 1, 3, 4, 5, 5
Dan di mana kamu akan meletakkan kukumu?..." 1, 3, 8, 2, 6
Di sebelah kanan teks, alih-alih kata-kata, panjangnya ditulis baris demi baris. Setelah perhitungan kita membuat tabel.
Contoh.
Contoh. Saat memeriksa 70 karya dalam bahasa Rusia, jumlah kesalahan ejaan yang dilakukan siswa dicatat. Rangkaian data yang dihasilkan disajikan dalam bentuk tabel frekuensi:
Berapa perbedaan terbesar dalam jumlah kesalahan yang dibuat? Berapa jumlah kesalahan yang biasa terjadi pada kelompok siswa ini? Tunjukkan karakteristik statistik apa yang digunakan untuk menjawab pertanyaan yang diajukan.
Larutan.
Perbedaan terbesar dalam jumlah kesalahan: 6 – 0 = 6.
Jumlah kesalahan umum: 3 (terjadi 26 kali dari 70).
Skala dan mode digunakan.
Menjawab: 6; 3.
Penelitian statistik tabel frekuensi bahasa.
Penelitian statistik pada sejumlah besar teks sastra, mereka menunjukkan bahwa frekuensi kemunculan huruf tertentu (atau spasi antar kata) cenderung pada konstanta tertentu seiring dengan bertambahnya volume teks. Tabel yang berisi huruf-huruf dari bahasa tertentu dan konstanta yang sesuai disebut tabel frekuensi bahasa.
Setiap penulis memiliki tabel frekuensi penggunaan huruf, kata, ekspresi sastra tertentu, dll. Dengan menggunakan tabel frekuensi ini, Anda dapat menentukan penulisnya seakurat menggunakan sidik jari.
Misalnya, hingga saat ini perdebatan tentang penulis “Quiet Don” terus berlanjut. Cukup banyak orang yang percaya bahwa pada usia 23 tahun, M.A. Sholokhov tidak mungkin bisa menulis buku yang begitu dalam dan hebat. Berbagai argumen dan calon penulis berbeda telah dikemukakan. Perdebatan ini semakin memanas pada saat M.A. Sholokhov dianugerahi Hadiah Nobel Sastra (1965). Analisis statistik novel dan perbandingannya dengan teks, yang pengarangnya tidak diragukan lagi oleh M.A. Sholokhov, tetap menegaskan hipotesis M.A. Sholokhov sebagai penulis sebenarnya “The Quiet Don.”
Contoh No.1.
Contoh No.1. Sampel terdiri dari semua huruf yang termasuk dalam kuplet
“...Pohon ini adalah pinus,
Dan nasib pinus itu jelas..."
Tuliskan serangkaian data sampel.
Temukan ukuran sampel.
Tentukan multiplisitas dan frekuensi opsi “o”.
Berapa persentase frekuensi tertinggi dari pilihan sampel?
Larutan
1). Contoh seri data (opsi nilai):
a, b, c, d, f, i, n, o, p, s, t, y, b, s, e, i.
2). Ukuran sampel adalah jumlah huruf dalam kuplet: n = 30.
3). Banyaknya pilihan “o” adalah 4, frekuensi pilihannya sama.
4). Opsi “c” memiliki persentase frekuensi tertinggi: multiplisitasnya adalah 6, frekuensi
, persentase frekuensi 20%.
Menjawab: 1). 16 huruf; 2). 30; 3). 4 dan 0,133; 4). 20%.
Contoh No. 1 (lanjutan). Sampel terdiri dari semua huruf yang termasuk dalam kuplet
Contoh No. 1 (lanjutan). Sampel terdiri dari semua huruf yang termasuk dalam kuplet
“...Pohon ini adalah pinus,
Dan nasib pinus itu jelas..."
Alfabet dibagi secara berurutan menjadi tiga bagian yang identik: No. 1 dari “a” hingga “th”, No. 2 dari “k” hingga “u”, No. 3 dari “f” hingga “z”.
1).Temukan multiplisitas dan (persentase) frekuensi bagian No.3.
2).Buatlah tabel distribusi frekuensi bagian.
3).Tunjukkan area dengan frekuensi tertinggi.
4).Buatlah histogram frekuensi dengan distribusi yang dipilih menjadi beberapa bagian.
Larutan. Pertama-tama, kami mencatat bahwa jika alfabet Rusia memiliki 33 huruf, maka tiga bagian yang identik adalah bagian yang terdiri dari 11 huruf. Jumlah huruf dalam satu kuplet: n = 30.
Tabel distribusi frekuensi dan multiplisitas:
Contoh.
Contoh. 60 siswa kelas sembilan diuji kecepatan membaca (jumlah kata per menit membaca). Data yang diperoleh dikelompokkan menjadi lima bidang: No. 1- (91;100); Nomor 2 (101;110); Nomor 3 (111;120); Nomor 4 (121;130); Nomor 5 (131;140). Hasilnya adalah histogram multiplisitas (lihat gambar). Perkiraan perkiraan: jangkauan, modus, rata-rata aritmatika sampel, jelaskan mengapa jawabannya hanya perkiraan.
Rentang A = 140-91 = 49
Rentang A = 140-91 = 49
Mode.
Nilai rata-rata.
Nilai yang diperoleh hanya perkiraan karena alih-alih nilai sebenarnya, perhitungannya menggunakan nilai bersyarat - batas dan titik tengah interval parsial, yaitu nilai yang tidak diamati secara eksperimental, tetapi diterima oleh kami untuk kenyamanan. dalam menyajikan data.
Menjawab: 49; 125,5; 117,17.
A.G. Mordkovich, P.V. Acara. Kemungkinan. Pemrosesan data statistik: Tambahan. Paragraf untuk mata kuliah aljabar kelas 7 – 9. pendidikan umum institusi / A.G. Mordkovich, P.V. edisi ke-4. – M.: Mnemosyne, 2006.-112 hal.
Makarychev Yu.N. Aljabar: elemen statistik dan kombinatorik dan teori probabilitas: buku teks. Manual untuk siswa kelas 7-9. pendidikan umum institusi / Yu.N. Makarychev, N.G. diedit oleh S. A. Telyakovsky. – M.: Pendidikan, 2004.-78 hal.
M.V.Tkacheva, N.E. Elemen Statistika dan Probabilitas: Buku teks untuk pendidikan umum kelas 7-9. institusi. – M.: Pendidikan, 2004.-112 hal.
Pilihan 1
No.1. Dalam berapa cara lima buku yang berbeda dapat diletakkan dalam satu rak?
No.2. Berapa banyak bilangan tiga angka yang angkanya berbeda dapat dibuat dari angka 0, 1, 3, 6, 7, 9?
Nomor 3. Di sebuah reuni, 9 mantan teman sekelas bertukar kartu nama. Berapa banyak kartu nama yang digunakan?
Nomor 4. Berapa banyak permutasi huruf-huruf pada kata “gambar” yang huruf “y”, “p”, “a” bersebelahan menurut urutan yang diberikan?
pilihan 2
No.1. Dalam berapa cara enam buku yang berbeda dapat diletakkan dalam satu rak?
No.2. Berapa banyak bilangan tiga angka yang angkanya berbeda dapat dibuat dari angka 0, 3, 4, 5, 8?
Nomor 3. Pada konferensi tersebut, 7 peserta bertukar nomor telepon. Berapa nomor telepon yang ditukar?
Nomor 4. Berapa banyak permutasi huruf-huruf pada kata “puncak” yang huruf “v”, “e”, “r” bersebelahan menurut urutan yang diberikan?
Pekerjaan mandiri. Kombinatorik.
Pilihan 3
No.1. Berapa cara 9 peserta kompetisi dapat tampil sesuai urutan prioritas pada babak perempat final kompetisi?
No.2. Dengan menggunakan angka 0, 3, 7, 8, buatlah semua kemungkinan angka dua angka yang angkanya tidak berulang.
Nomor 3. Di wilayah N, setiap dua desa dihubungkan oleh sebuah jalan raya. Tentukan banyaknya jalan tersebut jika terdapat 10 desa pada daerah tersebut.
Nomor 4. Berapa banyak nomor telepon yang terdiri dari lima angka yang dimulai dengan angka 3 yang semua angkanya berbeda?
Pilihan 4
No.1. Kurir harus mengantarkan pizza ke enam alamat. Berapa banyak rute yang bisa dia pilih?
No.2. Dengan menggunakan bilangan 0, 2, 4, 6, 8, buatlah semua kemungkinan bilangan tiga angka yang bilangan tersebut tidak berulang?
Nomor 3. Ada 9 titik yang ditandai pada bidang tersebut, tidak ada tiga titik yang terletak pada garis lurus yang sama. Berapa banyak garis yang dapat ditarik melalui titik-titik tersebut?
Nomor 4. Berapa banyak nomor telepon yang terdiri dari enam angka yang dimulai dengan 36 yang semua angkanya berbeda?
Penataan ulang. Rumus banyaknya permutasi
Permutasi dari N elemen
Biarkan setnya X terdiri dari N elemen.
Definisi. Penempatan tanpa pengulangan dariN elemen himpunanX Oleh N ditelepon permutasi dari N elemen.
Perhatikan bahwa setiap permutasi mencakup semua elemen himpunanX , dan tepat sekali. Artinya, permutasi berbeda satu sama lain hanya dalam urutan unsur-unsurnya dan dapat diperoleh satu sama lain dengan permutasi unsur-unsur (sesuai dengan namanya).
Jumlah semua permutasi dariN elemen ditunjukkan dengan simbol .
Karena permutasi adalah kasus khusus penempatan tanpa pengulangan kapan , lalu rumus mencari bilangan tersebut kita peroleh dari rumus (2), substitusikan ke dalamnya :
Dengan demikian,
(3)
Contoh. Dalam berapa cara 5 buku dapat diletakkan dalam satu rak?
Larutan. Ada banyak cara untuk meletakkan buku di rak karena terdapat permutasi yang berbeda dari lima elemen: cara.
Komentar. Rumus (1)-(3) tidak perlu dihafal: soal-soal yang melibatkan penerapan rumus tersebut selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan hasil kali. Jika siswa mengalami kesulitan dalam membuat model soal kombinatorial, maka sebaiknya persempit kumpulan rumus dan aturan yang digunakan (agar kecil kemungkinan terjadinya kesalahan). Benar, soal yang menggunakan permutasi dan rumus (3) biasanya diselesaikan tanpa masalah.
Tugas
1. F. Berapa cara mereka dapat mengantri di loket penjualan tiket: 1) 3 orang; 2) 5 orang?
Larutan.
Berbagai pilihan susunan n orang dalam suatu antrian berbeda satu sama lain hanya dalam urutan susunan orangnya, yaitu permutasi n elemen yang berbeda.
Tiga orang dapat mengantri P3 = 3! = 6 cara berbeda.
Jawaban: 1) 6 cara; 2) 120 cara.
2. T. Berapa banyak cara 4 orang dapat duduk di bangku dengan empat tempat duduk?
Larutan.
Banyaknya orang sama dengan jumlah kursi pada bangku cadangan, jadi banyaknya pilihan penempatan sama dengan banyaknya permutasi 4 unsur: P4 = 4! = 24.
Anda dapat beralasan sesuai dengan aturan perkalian: untuk orang pertama Anda dapat memilih salah satu dari 4 tempat, untuk orang kedua - salah satu dari 3 tempat tersisa, untuk orang ketiga - salah satu dari 2 tempat tersisa, yang terakhir akan mengambil 1 tempat tersisa ; ada segalanya = 24 cara berbeda untuk mendudukkan 4 orang di bangku dengan empat tempat duduk.
Jawaban: 24 cara.
3. M. Di Vova's untuk makan siang - hidangan pertama, kedua, ketiga, dan kue. Dia pasti akan memulai dengan kuenya dan memakan sisanya secara acak. Temukan jumlah kemungkinan pilihan makan siang.
M-masalah dari buku teks. manual oleh A.G. Mordkovich
T - ed. S.A.Telyakovsky
F-M.V
Larutan.
Setelah kue, Vova dapat memilih salah satu dari tiga hidangan, lalu dua, dan menyelesaikan sisanya. Jumlah total kemungkinan pilihan makan siang: =6.
Jawaban: 6.
4. F. Berapa banyak frasa berbeda yang benar (dari sudut pandang bahasa Rusia) yang dapat dibuat dengan mengubah urutan kata dalam sebuah kalimat: 1) “Saya pergi jalan-jalan”; 2) “Seekor kucing sedang berjalan di halaman”?
Larutan.
Pada kalimat kedua, preposisi “in” harus selalu muncul sebelum kata benda “yard” yang dirujuknya. Oleh karena itu, dengan menghitung pasangan “di halaman” sebagai satu kata, Anda dapat menemukan banyak permutasi berbeda dari tiga kata kondisional: P3 = 3! = 6. Jadi, dalam kasus ini, kamu dapat membuat 6 kalimat yang benar.
Jawaban: 1) 6; 2) 6.
5. Dalam berapa cara huruf K, L, M, H dapat digunakan untuk menyatakan titik sudut suatu segi empat?
Larutan.
Kita asumsikan bahwa titik-titik sudut pada segi empat diberi nomor, masing-masing dengan bilangan konstan. Kemudian permasalahannya adalah menghitung banyaknya cara menyusun 4 huruf pada 4 tempat (simpul), yaitu menghitung banyaknya permutasi berbeda: P4 = 4! =24 cara.
Jawaban: 24 cara.
6. F. Empat orang teman membeli tiket bioskop: untuk kursi 1 dan 2 di baris pertama dan untuk kursi 1 dan 2 di baris kedua. Dengan berapa cara teman-teman dapat merebut 4 kursi di bioskop tersebut?
Larutan.
Empat orang teman dapat mengambil 4 tempat berbeda P4 = 4! = 24 cara berbeda.
Jawaban: 24 cara.
7. T. Kurir harus mengantarkan paket ke 7 institusi yang berbeda. Berapa banyak rute yang bisa dia pilih?
Larutan.
Rute harus dipahami sebagai urutan kurir mengunjungi institusi. Mari kita beri nomor pada institusi dari 1 sampai 7, maka rute akan direpresentasikan sebagai rangkaian 7 angka, yang urutannya dapat berubah. Banyaknya rute sama dengan banyaknya permutasi 7 elemen: P7= 7! = 5.040.
Jawaban: 5.040 rute.
8. T. Berapa banyak ekspresi yang identik sama dengan hasil kali abcde, yang diperoleh dengan menata ulang faktor-faktornya?
Larutan.
Diberikan adalah hasil kali lima faktor berbeda abcde, yang urutannya dapat berubah (bila faktor-faktor tersebut disusun ulang, hasil kali tidak berubah).
Jumlahnya P5 = 5! = 120 cara berbeda untuk menyusun lima pengali; Kami menganggap salah satunya (abcde) sebagai ekspresi asli, 119 ekspresi sisanya sama persis dengan ekspresi ini.
Jawaban: 119 ekspresi.
9. T. Olga ingat nomor telepon temannya diakhiri dengan angka 5, 7, 8, namun dia lupa urutan kemunculan angka-angka tersebut. Tunjukkan jumlah pilihan terbesar yang harus dia lalui untuk menghubungi temannya.
Larutan.
Tiga digit terakhir nomor telepon dapat ditemukan di salah satu P3 =3! =6 kemungkinan pesanan, dan hanya satu yang benar. Olga dapat langsung mengetikkan opsi yang benar, dia dapat mengetikkan opsi ketiga, dan seterusnya. Dia harus mengetikkan opsi terbanyak jika opsi yang benar ternyata adalah opsi terakhir, yaitu keenam.
Jawaban: 6 pilihan.
10. T. Berapa banyak bilangan enam angka (tanpa bilangan berulang) yang dapat dibuat dari bilangan: a) 1,2, 5, 6, 7, 8; b) 0, 2, 5, 6, 7, 8? Larutan.
a) Diberikan 6 angka: 1, 2, 5, 6, 7, 8, dari angka-angka tersebut anda dapat membentuk enam angka yang berbeda hanya dengan menyusun ulang angka-angka tersebut. Banyaknya bilangan enam angka yang berbeda sama dengan P6 = 6! = 720.
b) Diberikan 6 angka: 0, 2, 5, 6, 7, 8, dari angka tersebut Anda perlu membuat berbagai angka enam angka. Bedanya dengan soal sebelumnya adalah nol tidak bisa didahulukan.
Anda dapat langsung menerapkan aturan perkalian: Anda dapat memilih salah satu dari 5 digit (kecuali nol) untuk tempat pertama; di tempat kedua - salah satu dari 5 digit yang tersisa (4 adalah "bukan nol" dan sekarang kita menghitung nol); ke tempat ketiga - salah satu dari 4 digit yang tersisa setelah dua pilihan pertama, dll. Jumlah total pilihan adalah: = 600.
Anda dapat menggunakan metode menghilangkan opsi yang tidak perlu. 6 angka dapat disusun ulang P6 = 6! = 720 cara berbeda. Di antara metode-metode ini akan ada metode yang urutan pertamanya adalah nol, dan hal ini tidak dapat diterima. Mari kita hitung jumlah opsi yang tidak valid ini. Jika pada tempat pertama terdapat angka nol (tetap), maka lima tempat berikutnya dapat berisi angka “bukan nol” 2, 5, 6, 7, 8 dengan urutan berapapun dapat ditempatkan di 5 tempat sama dengan P5 = 5! = 120, yaitu banyaknya permutasi bilangan yang dimulai dari nol adalah 120. Banyaknya bilangan enam angka berbeda yang diperlukan dalam hal ini sama dengan: P6 - P5 = 720 - 120 = 600.
Jawaban: a) 720; b) 600 angka.
11. T. Berapa banyak bilangan empat angka (tanpa bilangan berulang) yang terdiri dari bilangan 3, 5, 7, 9 yang: a) diawali dengan bilangan 3;
b) merupakan kelipatan 15?
Larutan.
a) Dari bilangan 3, 5, 7, 9 kita buat empat angka yang diawali dengan angka 3.
Kami memperbaiki nomor 3 di tempat pertama; lalu pada tiga sisanyaNomor 5, 7 9 dapat ditempatkan dalam urutan apa pun dalam urutan apa pun. Jumlah total pilihan lokasinya sama dengan P 3 = 3!=6. Akan ada begitu banyak angka empat digit yang berbedadiberi angka dan dimulai dengan angka 3.
b) Perhatikan bahwa jumlah angka-angka ini 3 + 5 + 7 + 9 = 24 habis dibagi 3, oleh karena itu, empat angka bilangan apa pun yang terdiri dari angka-angka ini habis dibagi 3. Agar beberapa dari angka-angka ini habis dibagi dengan 15, itu perlu agar diakhiri dengan angka 5.
Kami memperbaiki nomor 5 di tempat terakhir; 3 angka sisanya dapat diletakkan di tiga tempat di depan 5 Рз = 3! = 6 cara berbeda. Akan ada begitu banyak bilangan empat digit berbeda yang terdiri dari bilangan-bilangan ini yang habis dibagi 15.
Jawaban: a) 6 angka; b) 6 angka.
12. T. Tentukan jumlah digit keempat angka bilangan yang dapat dibuat dari bilangan 1, 3, 5, 7 (tanpa mengulanginya).
Larutan.
Setiap bilangan empat angka yang terdiri dari angka-angka 1, 3, 5, 7 (tanpa pengulangan) mempunyai jumlah angka-angkanya sama dengan 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Dari bilangan tersebut dibuat P4 = 4! = 24 bilangan berbeda, yang berbeda hanya urutan angkanya saja. Jumlah digit semua angka ini akan sama dengan
16 = 384.
Jawaban: 384.
13. T. Tujuh anak laki-laki, termasuk Oleg dan Igor, berdiri berjajar. Tentukan banyaknya kemungkinan kombinasi jika:
a) Oleg harus berada di akhir baris;
b) Oleg harus berada di awal baris, dan Igor harus berada di akhir baris;
c) Oleg dan Igor harus berdiri bersebelahan.
Larutan.
a) Hanya ada 7 anak laki-laki di 7 tempat, tetapi satu elemen tetap dan tidak dapat diatur ulang (Oleg berada di ujung baris). Banyaknya kemungkinan kombinasi sama dengan banyaknya permutasi 6 anak laki-laki yang berdiri di depan Oleg: P6=6!=720.
berpasangan sebagai satu elemen, disusun ulang dengan lima elemen lainnya. Banyaknya kombinasi yang mungkin adalah P6 = 6! = 720.
Biarkan Oleg dan Igor sekarang berdiri berdampingan dalam urutan IO. Kemudian kita mendapatkan P6 = 6 lagi! = 720 kombinasi lainnya.
Jumlah total kombinasi Oleg dan Igor yang bersebelahan (dalam urutan apa pun) adalah 720 + 720 = 1.440.
Jawaban: a) 720; b) 120; c) 1.440 kombinasi.
14. M. Sebelas pemain sepak bola berbaris sebelum pertandingan dimulai. Yang pertama adalah kapten, yang kedua adalah penjaga gawang, dan sisanya acak. Ada berapa metode konstruksi?
Larutan.
Setelah kapten dan penjaga gawang, pemain ketiga dapat memilih salah satu dari 9 tempat yang tersisa, yang berikutnya dari 8, dst. Jumlah total metode konstruksi yang menggunakan aturan perkalian adalah:
1 =362.880, atau P 9 = 9! = 362.880.
Jawaban: 362.880.
15. M. Dalam berapa cara titik sudut suatu kubus dapat diberi tanda dengan huruf A, B, C, D, E, F, G, K?
Larutan.
Untuk simpul pertama Anda dapat memilih salah satu dari 8 huruf, untuk simpul kedua - salah satu dari 7 huruf yang tersisa, dst. Banyaknya cara menurut aturan perkalian adalah=40 320, atau P8 = 8!
Jawaban: 40.320.
16. T. Jadwal hari Senin ada enam pelajaran: aljabar, geometri, biologi, sejarah, pendidikan jasmani, kimia. Ada berapa cara kamu dapat membuat jadwal pelajaran hari ini sehingga kedua pelajaran matematika itu bersebelahan?
Larutan.
Total ada 6 pelajaran, dimana dua pelajaran matematika harus bersebelahan.
Kita “merekatkan” dua elemen (aljabar dan geometri) terlebih dahulu dalam urutan AG, kemudian dalam urutan GA. Untuk setiap opsi “perekatan” kita mendapatkan P5 = 5! = 120 pilihan jadwal. Banyaknya cara membuat jadwal adalah 120 (AG) +120 (GA) = 240.
Jawaban: 240 cara.
17. T. Berapa banyak permutasi huruf pada kata “kerucut” yang huruf K, O, N letaknya bersebelahan?
Larutan.
Diberikan 5 huruf, tiga diantaranya harus bersebelahan. Tiga huruf K, O, N dapat berdiri di samping salah satu P3 = 3! = 6 cara. Untuk setiap cara “menempelkan” huruf K, O, N, diperoleh P3 = 3! = 6 cara menata ulang huruf “merekatkan”, U, S. Banyaknya perbedaan permutasi huruf pada kata “kerucut” yang huruf K, O, N bersebelahan adalah 6 6 = 36 permutasi - anagram.
Jawaban: 36 anagram.
18. T. Dalam berapa cara 5 anak laki-laki dan 5 anak perempuan dapat menempati kursi 1 sampai 10 pada baris yang sama di teater? Berapa banyak cara yang dapat mereka lakukan jika anak laki-laki duduk di kursi bernomor ganjil dan anak perempuan duduk di kursi bernomor genap?
Larutan.
Setiap pilihan pengaturan untuk anak laki-laki dapat digabungkan dengan setiap pilihan pengaturan untuk anak perempuan, oleh karena itu, menurut aturan perkalian, jumlah total cara untuk mendudukkan anak-anak dalam kasus ini adalah 120 20= 14400.
Jawaban: 3.628.800 cara; 14.400 cara.
19. T. Lima anak laki-laki dan empat anak perempuan ingin duduk di bangku dengan sembilan tempat duduk sehingga masing-masing anak perempuan duduk di antara dua anak laki-laki. Dalam berapa cara mereka dapat melakukan hal ini?
Larutan.
Sesuai dengan ketentuan tugas, anak laki-laki dan perempuan harus bergantian, yaitu anak perempuan hanya boleh duduk di tempat bernomor genap, dan anak laki-laki hanya boleh duduk di tempat bernomor ganjil. Oleh karena itu, anak perempuan hanya dapat berpindah tempat dengan anak perempuan, dan anak laki-laki hanya dapat berpindah tempat dengan anak laki-laki. Empat orang gadis dapat duduk di empat tempat genap P4 = 4! = 24 cara, dan lima anak laki-laki di lima tempat ganjil P5 = 5! = 120 cara.
Setiap cara penempatan anak perempuan dapat digabungkan dengan setiap cara penempatan anak laki-laki, oleh karena itu menurut aturan perkalian, banyaknya cara adalah sama dengan: P4
20 = 2.880 cara.
Jawaban: 2.880 cara.
20. F. Faktorkan bilangan 30 dan 210 menjadi faktor prima. Dalam berapa cara bilangan tersebut dapat dituliskan sebagai hasil kali faktor sederhana: 1) 30; 2) 210?
Larutan.
Mari kita faktorkan bilangan-bilangan ini menjadi faktor prima:
30 = 2 ; 210 = 2 .
Bilangan 30 dapat ditulis sebagai hasil perkalian faktor-faktor prima
R 3 = 3! = 6 cara berbeda (dengan menata ulang faktor).
Bilangan 210 dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima
penggandaR
4
= 4!
= 24 cara berbeda.
Jawaban: 1) 6 cara; 2) 24 cara.
21. F. Berapa banyak bilangan genap empat angka berbeda yang angka-angkanya tidak berulang yang dapat ditulis dengan menggunakan angka 1, 2, 3, 5?
Larutan.
Agar suatu bilangan genap harus diakhiri dengan angka genap, yaitu 2. Mari kita perbaiki dua angka terakhir, tiga angka sisanya harus muncul di depannya dalam urutan apa pun. Banyaknya permutasi berbeda dari 3 angka adalah P3 = 3! = 6; oleh karena itu, akan ada juga 6 bilangan genap empat angka yang berbeda (angka 2 ditambahkan pada setiap permutasi tiga angka).
Jawaban: 6 angka.
22. F. Berapa banyak bilangan berbeda yang terdiri dari lima angka ganjil dan tidak ada angka yang sama yang dapat ditulis dengan angka 1,2, 4, 6, 8?
Larutan.
Agar suatu bilangan tersusun ganjil, maka harus diakhiri dengan angka ganjil, yaitu satu. 4 digit sisanya dapat disusun ulang, menempatkan setiap penataan ulang sebelum satuan.
Banyaknya bilangan ganjil lima angka sama dengan banyaknya permutasi: P4 = 4! =24.
23. F. Berapa banyak bilangan enam angka berbeda yang angka-angkanya tidak berulang yang dapat ditulis dengan menggunakan angka 1; 2 3, 4, 5, 6, jika: 1) bilangan harus diawali dengan 56; 2) haruskah angka 5 dan 6 bersebelahan?
Larutan.
Kami memperbaiki dua digit 5 dan 6 di awal angka dan menambahkan berbagai permutasi dari 4 digit yang tersisa; banyaknya bilangan enam angka yang berbeda sama dengan: P4 = 4! = 24.
Banyaknya bilangan enam angka berbeda yang angka 5 dan 6 bersebelahan (urutan apa pun) adalah 120 + 120 = 240 angka. (Opsi 56 dan 65 tidak kompatibel dan tidak dapat direalisasikan secara bersamaan; kami menerapkan aturan penjumlahan kombinatorial.)
Jawaban: 1) tanggal 24; 2) 240 angka.
24. F. Berapa banyak bilangan genap empat angka berbeda yang tidak mempunyai angka yang sama yang dapat dibuat dari bilangan 1,2,3,4?
Larutan.
Bilangan genap harus diakhiri dengan angka genap. Angka 2 kita pasang di urutan terakhir, maka 3 angka sebelumnya dapat disusun ulang P3 = 3! = 6 cara berbeda; kita mendapatkan 6 angka dengan dua di akhir. Kita perbaiki angka 4 di tempat terakhir, kita peroleh P3 = 3! = 6 permutasi berbeda dari tiga angka sebelumnya dan 6 angka berakhiran 4.
Banyaknya bilangan genap empat angka adalah 6 + 6 = 12 bilangan berbeda.
Jawaban: 12 angka.
Komentar. Kami menemukan jumlah total opsi menggunakan aturan penjumlahan kombinatorial (6 opsi untuk angka yang diakhiri dengan dua, 6 opsi untuk angka yang diakhiri dengan empat; metode untuk membuat angka dengan dua dan empat di akhir saling eksklusif, tidak kompatibel, oleh karena itu, jumlah opsi sama dengan jumlah opsi dengan dua di akhir dan jumlah opsi dengan 4 di akhir). Entri 6 + 6 = 12 lebih mencerminkan alasan tindakan kita dibandingkan entri P.
25. F. Dalam berapa cara bilangan 1) 12 dapat dituliskan sebagai hasil kali faktor prima? 2) 24; 3) 120?
Larutan.
Keunikan dari soal ini adalah bahwa dalam pemuaian masing-masing bilangan tersebut terdapat faktor-faktor yang identik dan berulang. Saat membentuk permutasi berbeda dari faktor, kita tidak akan mendapatkan permutasi baru jika kita menukar dua faktor yang identik.
1) Bilangan 12 diuraikan menjadi tiga faktor prima, dua di antaranya identik: 12 = .
Jika semua faktornya berbeda, maka faktor-faktor tersebut dapat disusun ulang menjadi hasil kali P3 = 3! = 6 cara berbeda. Untuk membuat daftar metode ini, kami akan “membedakan” dua angka berpasangan secara kondisional dan menekankan salah satunya: 12 = 2.
Maka 6 varian penguraian menjadi penghuni berikut mungkin terjadi:
Namun nyatanya, menggarisbawahi angka tidak ada artinya dalam matematika, sehingga 6 permutasi yang dihasilkan dalam notasi biasa terlihat seperti:
yaitu, sebenarnya, kita mendapatkan bukan 6, tetapi 3 permutasi berbeda. Jumlah permutasi dikurangi setengahnya karena kita tidak harus memperhitungkan permutasi dua angka berpasangan satu sama lain.
Mari kita nyatakan P x jumlah permutasi yang diperlukan dari tiga elemen, termasuk dua elemen identik; maka hasil yang kita peroleh dapat dituliskan sebagai berikut: Рз = Р X Tetapi 2 adalah banyaknya permutasi berbeda dari dua unsur, yaitu 2 == 2! = P 2, maka P3, = P x P 2, maka P x = 
. (inilah rumus banyaknya permutasi dengan pengulangan).
Seseorang dapat beralasan secara berbeda, hanya berdasarkan pada aturan perkalian kombinatorial.
Untuk membuat hasil kali tiga faktor, pertama-tama pilih tempat untuk faktor 3; ini dapat dilakukan dengan salah satu dari tiga cara. Setelah ini, kita mengisi kedua ruang yang tersisa dengan dua; ini dapat dilakukan dengan 1 cara. Menurut aturan perkalian, banyaknya cara adalah: 3-1 =3., x =20.
Cara kedua. Saat membuat produk dari lima faktor, pertama-tama kita memilih tempat untuk lima (5 cara), kemudian untuk tiga (4 cara), dan mengisi 3 tempat sisanya dengan dua (1 cara); menurut aturan hasil kali 5 4 1 = 20.
Jawaban: 1) 3; 2) 4; 3) 20.
26. F. Dalam berapa cara 6 sel dapat diwarnai sehingga 3 sel berwarna merah, dan 3 sel sisanya dicat (masing-masing memiliki warna tersendiri) putih, hitam atau hijau?
Larutan.
Permutasi 6 elemen, tiga di antaranya identik:
Jika tidak: untuk melukis dengan warna putih, Anda dapat memilih salah satu dari 6 sel, hitam - dari 5, hijau - dari 4; Tiga sel yang tersisa dicat merah. Banyaknya cara: 6 5 4 1 = 120.
Jawaban: 120 cara.
27.T. Seorang pejalan kaki harus berjalan satu blok ke utara dan tiga blok ke barat. Tuliskan semua kemungkinan rute pejalan kaki.= 4.
Jawaban: 4 rute.
28. M. a) Pada pintu empat kantor yang sama perlu digantungkan tanda dengan nama empat wakil direktur. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?
b) Di kelas 9 “A” pada hari Rabu ada 5 pelajaran: aljabar, geometri, pendidikan jasmani, Rusia, Inggris. Berapa banyak pilihan jadwal yang dapat Anda buat untuk hari ini?
c) Dengan berapa cara keempat pencuri dapat berpencar, satu demi satu, ke empat arah?
d) Ajudan harus menyerahkan lima salinan perintah jenderal kepada lima resimen. Dalam berapa cara dia dapat memilih rute pengiriman salinan pesanannya?
Larutan.
a) Untuk piring pertama, Anda dapat memilih salah satu dari 4 lemari,
Untuk yang kedua - salah satu dari tiga yang tersisa, untuk yang ketiga - salah satu dari dua yang tersisa, untuk yang keempat - satu yang tersisa; sesuai aturan
perkalian, banyaknya cara adalah: 4 3 2 1 = 24, atau P4 = 4! = 24.= 120, atau P5 = 5! = 120.
Jawaban: a) 24; b) 120; c) 24; d) 120.
Literatur
Afanasyev V.V. Teori probabilitas dalam contoh dan masalah, - Yaroslavl: Universitas Pedagogis Negeri Yaroslavl, 1994.
Bavrin I. I. Matematika Tinggi: Buku teks untuk mahasiswa spesialisasi kimia dan matematika universitas pedagogis - edisi ke-2, direvisi. - M.: Pendidikan, 1993.
Bunimovich E.A., Bulychev V.A. Probabilitas dan statistik. Kelas 5-9: Panduan untuk lembaga pendidikan umum, - M.: Bustard, 2005.
Vilenkin N.Ya.dan lainnya. Aljabar dan analisis matematika untuk kelas 10: Buku teks untuk siswa di sekolah dan kelas dengan studi matematika yang mendalam. - M.: Pendidikan, 1992.
Vilenkin N.Ya.dan lainnya. Aljabar dan analisis matematika untuk kelas 11: Buku teks untuk siswa sekolah dan kelas dengan studi matematika mendalam - M.: Prosveshchenie, 1990.
Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah: kelas 9-10. Panduan untuk guru. - M.: Pendidikan 1983.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Matematika 9: Aljabar. Fungsi. Analisis data - M.: Bustard, 2000.
Kolyagin dan lainnya. Aljabar dan awal analisis kelas 11. Matematika di sekolah - 2002 - No. 4 - hlm.43,44,46.
Lyupshkas V.S. Mata kuliah pilihan matematika: teori probabilitas: Buku teks untuk kelas 9-11 - M., 1991.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Elemen statistik dan teori probabilitas: Buku teks untuk siswa kelas 7-9 - M.: Prosveshchenie, 2005.
Mordkovich A.G., Semenov P.V. Aljabar dan permulaan analisis, kelas 10: Buku teks untuk lembaga pendidikan umum (tingkat profil) - M.: Mnemosyna, 2005.
Tkacheva M.V., Fedorova N.E. Elemen Statistika dan Probabilitas: Buku teks untuk siswa kelas 7-9 - M.: Prosveshchenie, 2005.
Dalam kombinatorik, mereka mempelajari pertanyaan tentang berapa banyak kombinasi jenis tertentu yang dapat dibuat dari objek (elemen) tertentu.
Lahirnya kombinatorika sebagai salah satu cabangnya dikaitkan dengan karya B. Pascal dan P. Fermat tentang teori perjudian. Kontribusi besar terhadap pengembangan metode kombinatorial dibuat oleh G.V. Leibniz, J. Bernoulli dan L. Euler.
Filsuf, penulis, matematikawan, dan fisikawan Perancis Blaise Pascal (1623–1662) menunjukkan kemampuan matematikanya yang luar biasa sejak dini. Kisaran minat matematika Pascal sangat beragam. Pascal membuktikan satu hal
dari teorema dasar geometri proyektif (teorema Pascal), merancang mesin penjumlahan (mesin penjumlahan Pascal), memberikan metode penghitungan koefisien binomial (segitiga Pascal), merupakan orang pertama yang secara akurat mendefinisikan dan menerapkan metode induksi matematika untuk pembuktian, membuat langkah signifikan dalam pengembangan analisis yang sangat kecil, memainkan peran penting dalam munculnya teori probabilitas. Dalam hidrostatika, Pascal menetapkan hukum fundamentalnya (hukum Pascal). “Letters to a Province” karya Pascal adalah mahakarya prosa klasik Prancis.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) adalah seorang filsuf, matematikawan, fisikawan dan penemu Jerman, pengacara, sejarawan, dan ahli bahasa. Dalam matematika, bersama I. Newton, ia mengembangkan kalkulus diferensial dan integral. Dia memberikan kontribusi penting pada kombinatorik. Namanya, khususnya, dikaitkan dengan masalah teori bilangan.
Gottfried Wilhelm Leibniz memiliki penampilan yang kurang mengesankan dan oleh karena itu memberikan kesan sebagai orang yang berpenampilan biasa saja. Suatu hari di Paris, dia pergi ke toko buku dengan harapan bisa membeli buku karya filsuf yang dikenalnya. Ketika ada pengunjung yang bertanya tentang buku ini, penjual buku yang memeriksanya dari ujung kepala sampai ujung kaki sambil mengejek berkata: “Mengapa Anda membutuhkannya? Apakah kamu benar-benar mampu membaca buku seperti itu?” Sebelum ilmuwan sempat menjawab, penulis buku itu sendiri memasuki toko dengan kata-kata: “Salam dan hormat kepada Leibniz Agung!” Penjualnya tidak dapat memahami bahwa ini benar-benar Leibniz yang terkenal, yang bukunya banyak diminati oleh para ilmuwan.
Di masa depan, hal-hal berikut ini akan memegang peranan penting
Kata pengantar singkat. Biarkan dalam satu set elemen, dan dalam satu set - elemen. Maka jumlah semua pasangan berbeda yang sama dengan .
Bukti. Memang dengan satu elemen dari suatu himpunan kita dapat membuat pasangan yang berbeda-beda, dan total dalam satu himpunan elemen.
Penempatan, permutasi, kombinasi
Mari kita memiliki satu set tiga elemen. Dengan cara apa kita dapat memilih dua elemen ini? .
Definisi. Susunan himpunan unsur-unsur yang berbeda menurut unsur-unsur adalah kombinasi yang tersusun dari unsur-unsur tertentu oleh > unsur-unsur dan berbeda baik dalam unsur-unsur itu sendiri maupun dalam urutan unsur-unsurnya.
Banyaknya seluruh susunan suatu himpunan unsur demi unsur dilambangkan dengan (dari huruf awal kata Perancis “arrangement”, yang artinya susunan), dimana dan .
Dalil. Banyaknya penempatan himpunan elemen demi elemen sama dengan
Bukti. Katakanlah kita memiliki elemen. Biarlah penempatan yang memungkinkan. Kami akan membangun penempatan ini secara berurutan. Pertama, mari kita tentukan elemen penempatan pertama. Dari sekumpulan elemen tertentu, elemen tersebut dapat dipilih dengan berbagai cara. Setelah memilih elemen pertama, masih ada cara untuk memilih elemen kedua, dan seterusnya. Karena setiap pilihan tersebut memberikan penempatan baru, semua pilihan ini dapat dengan bebas digabungkan satu sama lain. Oleh karena itu kami memiliki:
Contoh. Dalam berapa cara sebuah bendera dapat disusun dari tiga garis mendatar dengan warna berbeda jika terdapat bahan dalam lima warna?
Larutan. Jumlah bendera tiga garis yang dibutuhkan:
Definisi. Permutasi suatu himpunan unsur adalah susunan unsur-unsur dalam urutan tertentu.
Jadi, semua permutasi berbeda dari himpunan tiga elemen adalah
Jumlah semua permutasi elemen ditunjukkan (dari huruf awal kata Perancis “permutasi”, yang berarti “permutasi”, “gerakan”). Oleh karena itu, jumlah semua permutasi yang berbeda dihitung dengan rumus
Contoh. Berapa banyak cara agar benteng-benteng tersebut dapat ditempatkan pada papan catur agar tidak saling menyerang?
Larutan. Jumlah benteng yang dibutuhkan
Menurut definisi!
Definisi. Kombinasi berbagai elemen demi elemen adalah kombinasi yang terdiri dari elemen demi elemen tertentu dan berbeda setidaknya dalam satu elemen (dengan kata lain, -elemen himpunan bagian dari kumpulan elemen tertentu).
Seperti yang Anda lihat, dalam kombinasi, tidak seperti penempatan, urutan elemen tidak diperhitungkan. Jumlah semua kombinasi unsur, masing-masing unsur, ditunjukkan (dari huruf awal kata Perancis "kombinasi", yang berarti "kombinasi").
Angka
Semua kombinasi dari himpunan dua adalah .
Sifat-sifat bilangan (\sf C)_n^k
Memang benar, setiap subset -elemen dari himpunan -elemen tertentu berhubungan dengan satu dan hanya satu subset -elemen dari himpunan yang sama.
Memang benar, kita dapat memilih himpunan bagian elemen sebagai berikut: memperbaiki satu elemen; jumlah himpunan bagian -elemen yang mengandung elemen ini sama dengan ; jumlah himpunan bagian -elemen yang tidak mengandung elemen ini sama dengan .
segitiga Pascal
Dalam segitiga ini, bilangan ekstrim pada setiap baris sama dengan 1, dan setiap bilangan non-ekstrim sama dengan jumlah dua bilangan di atasnya pada baris sebelumnya. Jadi, segitiga ini memungkinkan Anda menghitung angka.
Dalil.
Bukti. Mari kita perhatikan himpunan elemen dan selesaikan masalah berikut dengan dua cara: berapa banyak barisan yang dapat dibuat dari elemen-elemen tertentu
set yang masing-masing tidak ada elemen yang muncul dua kali?
1 cara. Kami memilih anggota pertama dari barisan, lalu yang kedua, ketiga, dan seterusnya. anggota
Metode 2. Pertama-tama mari kita pilih elemen dari himpunan tertentu, lalu susun dalam urutan tertentu
Kalikan pembilang dan penyebut pecahan ini dengan:
Contoh. Dalam berapa cara Anda dapat memilih 5 dari 36 angka dalam permainan “Sportloto”?
Diperlukan sejumlah cara
Tugas.
1.
Plat nomor mobil terdiri dari 3 huruf alfabet Rusia (33 huruf) dan 4 angka. Ada berapa nomor plat yang berbeda?
2.
Ada 88 tuts pada piano. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan untuk menghasilkan 6 bunyi secara berurutan?
3.
Berapa banyak bilangan enam angka yang habis dibagi 5?
4.
Dalam berapa cara 7 koin yang berbeda dapat dimasukkan ke dalam tiga kantong?
5.
Berapa banyak bilangan lima angka yang dapat dibuat yang memiliki angka 5 dalam notasi desimalnya paling sedikit satu kali?
6.
Dalam berapa cara 20 orang dapat duduk pada suatu meja bundar, jika kedua cara tersebut dianggap sama, jika mereka dapat diperoleh satu sama lain dengan bergerak melingkar?
7.
Berapa banyak bilangan yang terdiri dari lima angka yang habis dibagi 5 dan angka-angkanya tidak sama?
8.
Pada kertas kotak-kotak dengan sisi sel 1 cm, digambar sebuah lingkaran berjari-jari 100 cm yang tidak melewati bagian atas sel dan tidak menyentuh sisi sel. Berapa banyak sel yang dapat dilintasi lingkaran ini?
9.
Dalam berapa cara bilangan-bilangan dapat disusun berurutan sehingga bilangan-bilangan tersebut berdekatan dan berurutan menaik?
10.
Berapa banyak bilangan lima angka yang dapat dibuat dari angka-angka jika setiap angka hanya dapat digunakan satu kali?
11.
Dari kata ROT, dengan menyusun ulang huruf-hurufnya akan diperoleh kata-kata berikut: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO. Mereka disebut anagram. Berapa banyak anagram yang dapat kamu buat dari kata LOGARITMA?
12.
Mari kita menelepon pemisahan bilangan asli, representasinya sebagai jumlah bilangan asli. Di sini, misalnya, semua partisi suatu nomor:
Partisi dianggap berbeda jika berbeda jumlah atau urutan ketentuannya.
Ada berapa banyak partisi berbeda dari suatu bilangan menjadi suku-suku?
13.
Berapa banyak bilangan tiga angka yang urutan angkanya tidak bertambah?
14.
Berapa banyak bilangan empat angka yang urutan angkanya tidak bertambah?
15.
Berapa cara 17 orang dapat duduk berjajar sehingga mereka duduk bersebelahan?
16.
anak perempuan dan anak laki-laki duduk secara acak di deretan kursi. Berapa banyak cara mereka dapat duduk sehingga tidak ada dua gadis yang duduk bersebelahan?
17.
anak perempuan dan anak laki-laki duduk secara acak di deretan kursi. Berapa banyak cara mereka dapat duduk sehingga semua gadis duduk bersebelahan?
