- Terjemahan
Sifat-sifat bilangan prima pertama kali dipelajari oleh ahli matematika Yunani Kuno. Matematikawan dari aliran Pythagoras (500 - 300 SM) terutama tertarik pada sifat mistik dan numerologi bilangan prima. Merekalah yang pertama kali memunculkan ide tentang angka sempurna dan bersahabat.
Bilangan sempurna mempunyai jumlah pembaginya yang sama dengan bilangan itu sendiri. Misalnya pembagi bilangan 6 adalah 1, 2 dan 3. 1 + 2 + 3 = 6. Pembagi bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7 dan 14. Selain itu, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Bilangan disebut bersahabat jika jumlah pembagi suatu bilangan sama dengan bilangan lain, dan sebaliknya - misalnya 220 dan 284. Kita dapat mengatakan bahwa bilangan sempurna bersahabat dengan bilangan itu sendiri.
Pada saat Elemen Euclid pada tahun 300 SM. Beberapa fakta penting tentang bilangan prima telah terbukti. Dalam Buku IX Elemen, Euclid membuktikan bahwa ada bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga. Omong-omong, ini adalah salah satu contoh pertama penggunaan pembuktian dengan kontradiksi. Dia juga membuktikan Teorema Dasar Aritmatika - setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan secara unik sebagai hasil kali bilangan prima.
Ia juga menunjukkan bahwa jika bilangan 2n-1 bilangan prima, maka bilangan 2n-1 * (2n-1) adalah bilangan sempurna. Matematikawan lain, Euler, mampu menunjukkan pada tahun 1747 bahwa semua bilangan sempurna genap dapat ditulis dalam bentuk ini. Sampai hari ini tidak diketahui apakah bilangan ganjil sempurna itu ada.
Pada tahun 200 SM. Eratosthenes Yunani menemukan algoritma untuk menemukan bilangan prima yang disebut Saringan Eratosthenes.
Dan kemudian terjadi terobosan besar dalam sejarah studi bilangan prima, terkait dengan Abad Pertengahan.
Penemuan berikut telah dilakukan pada awal abad ke-17 oleh ahli matematika Fermat. Ia membuktikan dugaan Albert Girard bahwa bilangan prima apa pun berbentuk 4n+1 dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dua kuadrat, dan juga merumuskan teorema bahwa bilangan apa pun dapat ditulis sebagai jumlah empat kuadrat.
Ia mengembangkan metode baru untuk memfaktorkan bilangan besar, dan mendemonstrasikannya pada bilangan 2027651281 = 44021 × 46061. Ia juga membuktikan Teorema Kecil Fermat: jika p adalah bilangan prima, maka untuk sembarang bilangan bulat a maka benar bahwa a p = modulo P.
Pernyataan ini membuktikan setengah dari apa yang dikenal sebagai "dugaan Cina" dan berasal dari tahun 2000 yang lalu: bilangan bulat n adalah bilangan prima jika dan hanya jika 2 n -2 habis dibagi n. Hipotesis bagian kedua ternyata salah - misalnya, 2.341 - 2 habis dibagi 341, meskipun bilangan 341 adalah bilangan komposit: 341 = 31 × 11.
Teorema Kecil Fermat menjadi dasar bagi banyak hasil lain dalam teori bilangan dan metode untuk menguji apakah bilangan merupakan bilangan prima - banyak di antaranya masih digunakan hingga saat ini.
Fermat banyak berkorespondensi dengan orang-orang sezamannya, terutama dengan seorang biarawan bernama Maren Mersenne. Dalam salah satu suratnya, ia berhipotesis bahwa bilangan berbentuk 2 n +1 akan selalu prima jika n adalah pangkat dua. Dia mengujinya untuk n = 1, 2, 4, 8 dan 16, dan yakin bahwa dalam kasus di mana n bukan pangkat dua, bilangan tersebut belum tentu prima. Bilangan-bilangan ini disebut bilangan Fermat, dan 100 tahun kemudian Euler menunjukkan bahwa bilangan berikutnya, 2 32 + 1 = 4294967297, habis dibagi 641, dan karenanya bukan bilangan prima.
Bilangan berbentuk 2 n - 1 juga pernah menjadi bahan penelitian, karena mudah untuk menunjukkan bahwa jika n bilangan komposit, maka bilangan itu sendiri juga bilangan komposit. Angka-angka ini disebut bilangan Mersenne karena ia mempelajarinya secara ekstensif.
Namun tidak semua bilangan berbentuk 2 n - 1, dimana n adalah bilangan prima, adalah bilangan prima. Misalnya 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ini pertama kali ditemukan pada tahun 1536.
Selama bertahun-tahun, bilangan-bilangan semacam ini memberi para matematikawan bilangan prima terbesar yang diketahui. Bahwa M 19 dibuktikan oleh Cataldi pada tahun 1588, dan selama 200 tahun merupakan bilangan prima terbesar yang diketahui, hingga Euler membuktikan bahwa M 31 juga merupakan bilangan prima. Rekor ini bertahan selama seratus tahun berikutnya, dan kemudian Lucas menunjukkan bahwa M 127 adalah bilangan prima (dan ini sudah merupakan bilangan 39 digit), dan setelah itu penelitian dilanjutkan dengan munculnya komputer.
Pada tahun 1952 terbukti keutamaan bilangan M 521, M 607, M 1279, M 2203 dan M 2281.
Pada tahun 2005, 42 bilangan prima Mersenne telah ditemukan. Yang terbesar, M 25964951, terdiri dari 7816230 digit.
Karya Euler berdampak besar pada teori bilangan, termasuk bilangan prima. Dia memperluas Teorema Kecil Fermat dan memperkenalkan fungsi φ. Memfaktorkan bilangan Fermat ke-5 2 32 +1, menemukan 60 pasang bilangan sahabat, dan merumuskan (tetapi tidak dapat membuktikan) hukum timbal balik kuadrat.
Dialah orang pertama yang memperkenalkan metode analisis matematis dan mengembangkan teori bilangan analitis. Ia membuktikan bahwa deret harmonik tidak hanya ∑ (1/n), tetapi juga deret yang bentuknya
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Hasil penjumlahan kebalikan bilangan prima juga berbeda. Jumlah n suku deret harmonik bertambah kira-kira sebesar log(n), dan deret kedua menyimpang lebih lambat sebesar log[ log(n) ]. Artinya, misalnya, jumlah kebalikan dari semua bilangan prima yang ditemukan sampai saat ini hanya akan menghasilkan 4, meskipun deretnya masih divergen.
Pada pandangan pertama, nampaknya bilangan prima terdistribusi secara acak di antara bilangan bulat. Misalnya, di antara 100 bilangan tepat sebelum 10.000.000 terdapat 9 bilangan prima, dan di antara 100 bilangan tepat setelah nilai ini hanya ada 2. Namun pada segmen yang besar, bilangan prima tersebar cukup merata. Legendre dan Gauss menangani masalah distribusinya. Gauss pernah berkata kepada temannya bahwa dalam waktu luang 15 menit apa pun dia selalu menghitung jumlah bilangan prima pada 1000 bilangan berikutnya. Pada akhir hidupnya, ia telah menghitung semua bilangan prima hingga 3 juta. Legendre dan Gauss sama-sama menghitung bahwa untuk n besar kepadatan prima adalah 1/log(n). Legendre memperkirakan jumlah bilangan prima dalam rentang dari 1 sampai n sebagai
π(n) = n/(log(n) - 1,08366)
Dan Gauss seperti integral logaritma
π(n) = ∫ 1/log(t)dt
Dengan interval integrasi dari 2 hingga n.
Pernyataan tentang massa jenis prima 1/log(n) dikenal sebagai Teorema Distribusi Prima. Mereka mencoba membuktikannya sepanjang abad ke-19, dan kemajuan dicapai oleh Chebyshev dan Riemann. Mereka menghubungkannya dengan hipotesis Riemann, hipotesis yang masih belum terbukti tentang distribusi angka nol pada fungsi Riemann zeta. Kepadatan bilangan prima dibuktikan secara bersamaan oleh Hadamard dan Vallée-Poussin pada tahun 1896.
Masih banyak pertanyaan yang belum terpecahkan dalam teori bilangan prima, beberapa di antaranya sudah berusia ratusan tahun:
- Hipotesis prima kembar adalah tentang pasangan bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga dan berbeda satu sama lain sebesar 2
- Dugaan Goldbach: bilangan genap apa pun, dimulai dengan 4, dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan prima
- Apakah ada bilangan prima yang bentuknya n 2 + 1 tak terhingga?
- Apakah selalu mungkin untuk menemukan bilangan prima antara n 2 dan (n + 1) 2? (fakta bahwa selalu ada bilangan prima antara n dan 2n dibuktikan oleh Chebyshev)
- Apakah jumlah bilangan prima Fermat tidak terhingga? Apakah ada bilangan prima Fermat setelah 4?
- apakah ada barisan aritmatika dari bilangan prima berurutan untuk panjang tertentu? misalnya untuk panjang 4: 251, 257, 263, 269. Panjang maksimum yang ditemukan adalah 26.
- Apakah ada himpunan tiga bilangan prima berurutan yang jumlahnya tak terhingga dalam barisan aritmatika?
- n 2 - n + 41 adalah bilangan prima untuk 0 ≤ n ≤ 40. Adakah bilangan prima seperti itu yang jumlahnya tak terhingga? Pertanyaan yang sama untuk rumus n 2 - 79 n + 1601. Bilangan-bilangan ini merupakan bilangan prima untuk 0 ≤ n ≤ 79.
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n# + 1 yang tak terhingga? (n# adalah hasil perkalian semua bilangan prima yang kurang dari n)
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n# -1 yang tak terhingga?
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n yang tak terhingga? + 1?
- Apakah ada bilangan prima berbentuk n yang tak terhingga? – 1?
- jika p bilangan prima, apakah 2 p -1 selalu tidak mengandung kuadrat prima di antara faktor-faktornya?
- apakah barisan Fibonacci mengandung bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga?
Bilangan prima kembar terbesar adalah 2003663613 × 2 195000 ± 1. Bilangan prima tersebut terdiri dari 58711 digit dan ditemukan pada tahun 2007.
Bilangan prima faktorial terbesar (tipe n!±1) adalah 147855! - 1. Terdiri dari 142891 digit dan ditemukan pada tahun 2002.
Bilangan prima primordial terbesar (bilangan berbentuk n# ± 1) adalah 1098133# + 1.
Bilangan prima adalah salah satu fenomena matematika paling menarik yang telah menarik perhatian para ilmuwan dan masyarakat umum selama lebih dari dua milenium. Terlepas dari kenyataan bahwa kita sekarang hidup di zaman komputer dan program informasi paling modern, banyak teka-teki bilangan prima yang belum terpecahkan bahkan ada beberapa yang belum diketahui oleh para ilmuwan;
Bilangan prima, sebagaimana diketahui dari pelajaran aritmatika dasar, adalah bilangan yang habis dibagi tanpa sisa hanya oleh satu dan bilangan itu sendiri. Ngomong-ngomong, jika suatu bilangan asli habis dibagi, selain bilangan yang disebutkan di atas, dengan bilangan lain, maka bilangan tersebut disebut bilangan komposit. Salah satu teorema paling terkenal menyatakan bahwa bilangan komposit apa pun dapat direpresentasikan sebagai produk unik dari bilangan prima.
Beberapa fakta menarik. Pertama, satuannya unik dalam arti tidak termasuk bilangan prima atau komposit. Pada saat yang sama, dalam komunitas ilmiah, masih lazim untuk mengklasifikasikannya secara khusus sebagai kelompok pertama, karena secara formal memenuhi persyaratannya sepenuhnya.
Kedua, satu-satunya bilangan genap yang dimasukkan ke dalam kelompok “bilangan prima” tentu saja adalah dua. Bilangan genap lainnya tidak bisa sampai di sini, karena menurut definisi, selain bilangan itu sendiri dan satu, bilangan itu juga habis dibagi dua.
Bilangan prima, yang daftarnya, seperti disebutkan di atas, dapat dimulai dengan satu, mewakili suatu deret tak terhingga, sama tak terhingganya dengan deret bilangan asli. Berdasarkan teorema dasar aritmatika, kita dapat sampai pada kesimpulan bahwa bilangan prima tidak pernah terputus dan tidak pernah berakhir, karena jika tidak, rangkaian bilangan asli pasti akan terputus.
Bilangan prima tidak muncul secara acak dalam deret natural, seperti yang terlihat pada pandangan pertama. Setelah menganalisisnya dengan cermat, Anda dapat segera melihat beberapa fitur, yang paling menarik terkait dengan apa yang disebut angka “kembar”. Disebut demikian karena dengan cara yang tidak dapat dipahami mereka berakhir bersebelahan, hanya dipisahkan oleh pembatas genap (lima dan tujuh, tujuh belas dan sembilan belas).
Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda akan melihat bahwa jumlah angka-angka ini selalu merupakan kelipatan tiga. Apalagi bila yang kiri dibagi tiga, sisanya selalu tetap dua, dan yang kanan selalu tetap satu. Selain itu, sebaran bilangan-bilangan tersebut pada deret natural dapat diprediksi jika kita membayangkan seluruh deret ini dalam bentuk sinusoidal osilasi, yang titik-titik utamanya terbentuk ketika bilangan-bilangan tersebut dibagi tiga dan dua.
Bilangan prima tidak hanya menjadi objek perhatian para ahli matematika di seluruh dunia, tetapi telah lama berhasil digunakan dalam kompilasi berbagai rangkaian bilangan, yang antara lain menjadi dasar kriptografi. Harus diakui bahwa sejumlah besar misteri yang terkait dengan unsur-unsur menakjubkan ini masih menunggu untuk dipecahkan; banyak pertanyaan yang tidak hanya memiliki makna filosofis, tetapi juga praktis.
Bilangan prima adalah bilangan asli (bilangan bulat positif) yang habis dibagi tanpa sisa hanya oleh dua bilangan asli: oleh dan oleh dirinya sendiri. Dengan kata lain, bilangan prima mempunyai tepat dua pembagi alami: dan bilangan itu sendiri.
Menurut definisinya, himpunan semua pembagi suatu bilangan prima adalah dua unsur, yaitu. mewakili satu set.
Himpunan semua bilangan prima dilambangkan dengan simbol. Jadi, berdasarkan definisi himpunan bilangan prima, kita dapat menulis: .
Urutan bilangan prima terlihat seperti ini:
Teorema Dasar Aritmatika
Teorema Dasar Aritmatika menyatakan bahwa setiap bilangan asli yang lebih besar dari satu dapat direpresentasikan sebagai hasil kali bilangan prima, dan dengan cara yang unik, hingga orde faktornya. Jadi, bilangan prima adalah "bahan penyusun" dasar dari himpunan bilangan asli.
Ekspansi bilangan asli title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} resmi:
di mana bilangan prima, dan . Misalnya, perluasan kanonik bilangan asli terlihat seperti ini: .
Menyatakan bilangan asli sebagai hasil kali bilangan prima disebut juga faktorisasi suatu bilangan.
Sifat-sifat Bilangan Prima
Saringan Eratosthenes
Salah satu algoritma yang paling terkenal untuk mencari dan mengenali bilangan prima adalah saringan Eratosthenes. Jadi algoritma ini dinamai ahli matematika Yunani Eratosthenes dari Cyrene, yang dianggap sebagai penulis algoritma tersebut.
Untuk mencari semua bilangan prima yang kurang dari suatu bilangan tertentu, ikuti metode Eratosthenes, ikuti langkah-langkah berikut:
Langkah 1. Tuliskan semua bilangan asli dari dua sampai , mis. .
Langkah 2. Tetapkan nilai pada variabel, yaitu nilai yang sama dengan bilangan prima terkecil.
Langkah 3. Coret dalam daftar semua bilangan dari sampai yang merupakan kelipatan , yaitu bilangan: .
Langkah 4. Temukan bilangan pertama yang tidak disilangkan dalam daftar yang lebih besar dari , dan tetapkan nilai bilangan ini ke variabel.
Langkah 5. Ulangi langkah 3 dan 4 hingga nomor tercapai.
Proses penerapan algoritma akan terlihat seperti ini:
Semua bilangan tak bersilangan yang tersisa dalam daftar pada akhir proses penerapan algoritma akan menjadi himpunan bilangan prima dari sampai .
Dugaan Goldbach
Sampul buku “Paman Petros dan Hipotesis Goldbach”
Terlepas dari kenyataan bahwa bilangan prima telah dipelajari oleh ahli matematika sejak lama, banyak masalah terkait yang masih belum terpecahkan hingga saat ini. Salah satu masalah paling terkenal yang belum terpecahkan adalah hipotesis Goldbach, yang dirumuskan sebagai berikut:
- Benarkah setiap bilangan genap yang lebih besar dari dua dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan prima (hipotesis biner Goldbach)?
- Benarkah setiap bilangan ganjil yang lebih besar dari 5 dapat dinyatakan sebagai jumlah tiga bilangan prima (hipotesis ternary Goldbach)?
Harus dikatakan bahwa hipotesis terner Goldbach adalah kasus khusus dari hipotesis biner Goldbach, atau seperti yang dikatakan ahli matematika, hipotesis terner Goldbach lebih lemah daripada hipotesis biner Goldbach.
Dugaan Goldbach menjadi dikenal luas di luar komunitas matematika pada tahun 2000 berkat aksi pemasaran promosional yang dilakukan oleh perusahaan penerbitan Bloomsbury USA (AS) dan Faber and Faber (UK). Penerbit-penerbit ini, setelah menerbitkan buku “Paman Petros dan Dugaan Goldbach,” berjanji akan memberikan hadiah sebesar 1 juta dolar AS kepada siapa pun yang membuktikan hipotesis Goldbach dalam waktu 2 tahun sejak tanggal penerbitan buku tersebut. Terkadang hadiah dari penerbit yang disebutkan di atas dikacaukan dengan hadiah untuk memecahkan Masalah Hadiah Milenium. Jangan salah, hipotesis Goldbach tidak diklasifikasikan oleh Clay Institute sebagai “tantangan milenium”, meskipun hal ini berkaitan erat dengan Hipotesis Riemann- salah satu “tantangan milenium”.
Buku “Bilangan prima. Jalan panjang menuju ketidakterbatasan"
Sampul buku “Dunia Matematika. Bilangan prima. Jalan panjang menuju ketidakterbatasan"
Selain itu, saya merekomendasikan membaca buku sains populer yang menarik, yang penjelasannya berbunyi: “Pencarian bilangan prima adalah salah satu masalah paling paradoks dalam matematika. Para ilmuwan telah mencoba memecahkannya selama beberapa milenium, namun seiring dengan berkembangnya versi dan hipotesis baru, misteri ini masih belum terpecahkan. Kemunculan bilangan prima tidak tunduk pada sistem apa pun: bilangan tersebut muncul secara spontan dalam rangkaian bilangan asli, mengabaikan semua upaya ahli matematika untuk mengidentifikasi pola dalam barisannya. Buku ini akan memungkinkan pembaca menelusuri evolusi konsep ilmiah dari zaman kuno hingga saat ini dan memperkenalkan teori paling menarik dalam pencarian bilangan prima.”
Selain itu, saya akan mengutip bagian awal bab kedua buku ini: “Bilangan prima adalah salah satu topik penting yang membawa kita kembali ke asal mula matematika, dan kemudian, di sepanjang jalur yang semakin kompleks, membawa kita ke garis depan. ilmu pengetahuan modern. Oleh karena itu, akan sangat berguna untuk menelusuri sejarah teori bilangan prima yang menarik dan kompleks: bagaimana tepatnya teori itu berkembang, bagaimana tepatnya fakta dan kebenaran yang sekarang diterima secara umum dikumpulkan. Dalam bab ini kita akan melihat bagaimana generasi matematikawan mempelajari bilangan asli dengan cermat untuk mencari aturan yang memprediksi munculnya bilangan prima - aturan yang menjadi semakin sulit dipahami seiring dengan kemajuan pencarian. Kita juga akan melihat secara rinci konteks sejarah: kondisi di mana para ahli matematika bekerja dan sejauh mana pekerjaan mereka melibatkan praktik mistik dan semi-religius, yang sangat berbeda dari metode ilmiah yang digunakan di zaman kita. Namun demikian, perlahan dan dengan susah payah, landasan dipersiapkan untuk pandangan baru yang menginspirasi Fermat dan Euler pada abad ke-17 dan ke-18.”
Semua bilangan asli lainnya disebut komposit. Bilangan asli 1 bukanlah bilangan prima dan bukan bilangan komposit.
Contoh
Latihan. Di antara bilangan asli di bawah ini, manakah yang merupakan bilangan prima:
Menjawab.
Memfaktorkan suatu bilangan
Representasi bilangan asli sebagai hasil kali bilangan asli disebut faktorisasi. Jika dalam faktorisasi suatu bilangan asli semua faktornya adalah bilangan prima, maka faktorisasi tersebut disebut faktorisasi prima.
Dalil
(Teorema Dasar Aritmatika)
Setiap bilangan asli selain 1 dapat difaktorkan menjadi faktor prima, dan dengan cara yang unik (jika kita mengidentifikasi faktorisasi dan , di mana dan merupakan bilangan prima).
Dengan menggabungkan faktor prima yang identik dalam penguraian suatu bilangan, kita memperoleh apa yang disebut penguraian kanonik suatu bilangan:
dimana , adalah berbagai bilangan prima, dan merupakan bilangan asli.
Contoh
Latihan. Temukan perluasan angka kanonik:
Larutan. Untuk mencari penguraian kanonik suatu bilangan, pertama-tama Anda harus memfaktorkannya menjadi faktor prima, lalu menggabungkan faktor-faktor yang sama dan menulis hasil kali bilangan tersebut sebagai pangkat dengan eksponen alami:
Menjawab.
Latar belakang sejarah
Bagaimana cara menentukan bilangan prima dan mana yang bukan? Metode paling umum untuk menemukan semua bilangan prima dalam rentang bilangan apa pun diusulkan pada abad ke-3. SM e. Eratosthenes (metode ini disebut “saringan Eratosthenes”). Misalkan kita perlu menentukan bilangan mana yang prima. Mari kita tuliskan secara berurutan dan coret setiap bilangan kedua dari bilangan setelah bilangan 2 - semuanya bilangan komposit, karena merupakan kelipatan dari bilangan 2. Bilangan pertama yang tidak dicoret - 3 - adalah bilangan prima. Mari kita coret setiap angka ketiga dari angka setelah angka 3; bilangan tak bersilangan berikutnya - 5 - juga akan menjadi bilangan prima. Dengan menggunakan prinsip yang sama, kita akan mencoret setiap angka kelima dari angka yang mengikuti angka 5 dan, secara umum, setiap angka ke- dari angka yang mengikuti angka tersebut. Semua bilangan tersisa yang belum disilangkan akan menjadi bilangan prima.
Seiring bertambahnya bilangan prima, secara bertahap bilangan tersebut menjadi semakin berkurang. Namun, orang-orang zaman dahulu sudah menyadari fakta bahwa jumlahnya tak terhingga banyaknya. Buktinya diberikan dalam Elemen Euclid.
Artikel ini membahas tentang konsep bilangan prima dan bilangan komposit. Definisi angka-angka tersebut diberikan dengan contoh. Kami menyajikan bukti bahwa jumlah bilangan prima tidak terbatas dan kami akan mencatatnya dalam tabel bilangan prima menggunakan metode Eratosthenes. Pembuktian akan diberikan untuk menentukan apakah suatu bilangan prima atau komposit.
Yandex.RTB RA-339285-1
Bilangan Prima dan Komposit – Pengertian dan Contohnya
Bilangan prima dan bilangan komposit diklasifikasikan sebagai bilangan bulat positif. Mereka harus lebih besar dari satu. Pembagi juga dibagi menjadi sederhana dan komposit. Untuk memahami konsep bilangan komposit, Anda harus mempelajari terlebih dahulu konsep pembagi dan kelipatannya.
Definisi 1
Bilangan prima adalah bilangan bulat yang lebih besar dari satu dan mempunyai dua pembagi positif, yaitu bilangan itu sendiri dan 1.
Definisi 2
Bilangan komposit adalah bilangan bulat yang lebih besar dari satu dan mempunyai paling sedikit tiga pembagi positif.
Satu bukanlah bilangan prima atau bilangan komposit. Bilangan ini hanya mempunyai satu pembagi positif, sehingga berbeda dengan bilangan positif lainnya. Semua bilangan bulat positif disebut bilangan asli, yaitu digunakan dalam penghitungan.
Definisi 3
Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai dua pembagi positif.
Definisi 4
Nomor komposit adalah bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua pembagi positif.
Bilangan apa pun yang lebih besar dari 1 adalah bilangan prima atau komposit. Dari sifat habis dibagi kita mengetahui bahwa 1 dan bilangan a akan selalu menjadi pembagi bagi sembarang bilangan a, yaitu habis dibagi oleh dirinya sendiri dan oleh 1. Mari kita berikan definisi bilangan bulat.
Definisi 5
Bilangan asli yang bukan bilangan prima disebut bilangan komposit.
Bilangan prima: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Mereka hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1. Bilangan komposit: 6, 63, 121, 6697. Artinya, bilangan 6 dapat diuraikan menjadi 2 dan 3, dan 63 menjadi 1, 3, 7, 9, 21, 63, dan 121 menjadi 11, 11, sehingga pembaginya adalah 1, 11, 121. Angka 6697 diurai menjadi 37 dan 181. Perhatikan bahwa konsep bilangan prima dan bilangan koprima merupakan konsep yang berbeda.
Untuk mempermudah penggunaan bilangan prima, Anda perlu menggunakan tabel:
Tabel untuk semua bilangan asli yang ada tidak realistis, karena jumlahnya tak terhingga. Ketika jumlahnya mencapai ukuran 10.000 atau 10.00000000, maka Anda harus mempertimbangkan untuk menggunakan Saringan Eratosthenes.
Mari kita perhatikan teorema yang menjelaskan pernyataan terakhir.
Teorema 1
Pembagi positif terkecil selain 1 dari suatu bilangan asli yang lebih besar dari satu disebut bilangan prima.
Bukti 1
Misalkan a adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, b adalah pembagi bukan satu terkecil dari a. B adalah bilangan prima perlu dibuktikan dengan menggunakan metode kontradiksi.
Misalkan b adalah bilangan komposit. Dari sini kita mengetahui bahwa ada pembagi untuk b, yang berbeda dari 1 dan juga dari b. Pembagi seperti itu dilambangkan sebagai b 1. Hal ini diperlukan kondisi 1< b 1 < b telah selesai.
Dari kondisi tersebut jelas a habis dibagi b, b habis dibagi b 1, artinya konsep habis dibagi dinyatakan sebagai berikut: a = bq dan b = b 1 · q 1 , dari mana a = b 1 · (q 1 · q) , di mana q dan pertanyaan 1 adalah bilangan bulat. Menurut aturan perkalian bilangan bulat, kita mendapatkan hasil kali bilangan bulat adalah bilangan bulat dengan persamaan bentuk a = b 1 · (q 1 · q) . Dapat dilihat bahwa b 1 adalah pembagi bilangan a. Ketimpangan 1< b 1 < b Bukan bersesuaian, karena kita menemukan bahwa b adalah pembagi positif terkecil dan bukan-1 dari a.
Teorema 2
Ada bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga.
Bukti 2
Agaknya kita mengambil sejumlah bilangan asli n yang terbatas dan menyatakannya sebagai p 1, p 2, …, p n. Mari kita pertimbangkan opsi untuk menemukan bilangan prima yang berbeda dari yang ditunjukkan.
Mari kita perhatikan bilangan p yang sama dengan p 1, p 2, ..., p n + 1. Tidak sama dengan masing-masing bilangan yang bersesuaian dengan bilangan prima berbentuk p 1, p 2, ..., p n. Bilangan p adalah bilangan prima. Maka teorema tersebut dianggap terbukti. Jika komposit, maka perlu mengambil notasi p n + 1 dan tunjukkan bahwa pembaginya tidak berimpit dengan salah satu p 1, p 2, ..., p n.
Jika tidak demikian, maka berdasarkan sifat dapat dibagi produk p 1, p 2, ..., p n , kita temukan bahwa itu habis dibagi pn + 1. Perhatikan bahwa ekspresi p n + 1 membagi bilangan p sama dengan jumlah p 1, p 2, ..., p n + 1. Kami memperoleh ekspresi p n + 1 Suku kedua dari jumlah ini, yaitu 1, harus dibagi, tetapi hal ini tidak mungkin.
Dapat dilihat bahwa bilangan prima apa pun dapat ditemukan di antara bilangan prima mana pun. Oleh karena itu, ada banyak bilangan prima yang tak terhingga.
Karena bilangan prima banyak sekali, maka tabelnya dibatasi pada bilangan 100, 1000, 10000, dan seterusnya.
Saat menyusun tabel bilangan prima, Anda harus memperhitungkan bahwa tugas seperti itu memerlukan pemeriksaan bilangan secara berurutan, mulai dari 2 hingga 100. Jika tidak ada pembagi, dicatat dalam tabel; jika komposit, maka tidak dimasukkan ke dalam tabel.
Mari kita lihat langkah demi langkah.
Jika diawali dengan angka 2, maka angka tersebut hanya memiliki 2 pembagi: 2 dan 1, artinya dapat dimasukkan ke dalam tabel. Sama dengan nomor 3. Angka 4 adalah bilangan komposit; harus diuraikan menjadi 2 dan 2. Angka 5 adalah bilangan prima yang artinya dapat dicatat dalam tabel. Lakukan ini sampai angka 100.
Metode ini tidak nyaman dan memakan waktu. Membuat tabel dimungkinkan, tetapi Anda harus menghabiskan banyak waktu. Perlu menggunakan kriteria keterbagian yang akan mempercepat proses pencarian pembagi.
Cara menggunakan saringan Eratosthenes dianggap paling nyaman. Mari kita lihat tabel di bawah ini sebagai contoh. Pertama-tama dituliskan angka 2, 3, 4, ..., 50.
Sekarang Anda perlu mencoret semua angka yang merupakan kelipatan 2. Lakukan coretan berurutan. Kami mendapatkan tabel seperti:
Kita lanjutkan dengan mencoret bilangan yang merupakan kelipatan 5. Kami mendapatkan:
Coretlah bilangan-bilangan yang merupakan kelipatan 7, 11. Pada akhirnya tabelnya terlihat seperti itu
Mari kita beralih ke rumusan teorema.
Teorema 3
Pembagi positif dan non-1 terkecil dari bilangan dasar a tidak melebihi a, dengan a adalah akar aritmatika dari bilangan tersebut.
Bukti 3
B perlu dinotasikan sebagai pembagi terkecil dari suatu bilangan komposit a. Ada bilangan bulat q, dimana a = b · q, dan kita mendapatkan b ≤ q. Ketimpangan bentuk tidak bisa diterima b > q, karena syaratnya dilanggar. Kedua ruas pertidaksamaan b ≤ q harus dikalikan dengan sembarang bilangan positif b yang tidak sama dengan 1. Kita peroleh bahwa b · b ≤ b · q, di mana b 2 ≤ a dan b ≤ a.
Dari teorema yang terbukti jelas bahwa mencoret bilangan pada tabel berarti harus memulai dengan bilangan yang sama dengan b 2 dan memenuhi pertidaksamaan b 2 ≤ a. Artinya, jika bilangan yang merupakan kelipatan 2 dicoret, maka prosesnya dimulai dengan 4, dan kelipatan 3 dengan 9, begitu seterusnya hingga 100.
Menyusun tabel seperti itu menggunakan teorema Eratosthenes menunjukkan bahwa ketika semua bilangan komposit dicoret, akan tetap ada bilangan prima yang tidak melebihi n. Pada contoh di mana n = 50, kita mendapatkan n = 50. Dari sini kita mendapatkan bahwa saringan Eratosthenes menyaring semua bilangan komposit yang nilainya tidak lebih besar dari nilai akar 50. Pencarian nomor dilakukan dengan cara mencoret.
Sebelum menyelesaikannya, Anda perlu mencari tahu apakah bilangan tersebut prima atau komposit. Kriteria keterbagian sering digunakan. Mari kita lihat pada contoh di bawah ini.
Contoh 1
Buktikan bahwa bilangan 898989898989898989 merupakan bilangan komposit.
Larutan
Jumlah angka-angka suatu bilangan adalah 9 8 + 9 9 = 9 17. Artinya bilangan 9 · 17 habis dibagi 9, berdasarkan uji habis dibagi 9. Oleh karena itu, ini adalah komposit.
Tanda-tanda seperti itu tidak mampu membuktikan keutamaan suatu bilangan. Jika verifikasi diperlukan, tindakan lain harus diambil. Cara yang paling cocok adalah dengan menyebutkan angka-angka. Selama proses tersebut, bilangan prima dan komposit dapat ditemukan. Artinya, angkanya tidak boleh melebihi nilai a. Artinya, bilangan a harus difaktorkan menjadi faktor prima. jika terpenuhi, maka bilangan a dapat dianggap bilangan prima.
Contoh 2
Tentukan bilangan komposit atau bilangan prima 11723.
Larutan
Sekarang Anda perlu mencari semua pembagi untuk bilangan 11723. Perlu mengevaluasi 11723 .
Dari sini kita melihat bahwa 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , dan 11.723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Untuk perkiraan angka 11723 yang lebih akurat, Anda perlu menulis ekspresi 108 2 = 11 664, dan 109 2 = 11 881 , Itu 108 2 < 11 723 < 109 2 . Oleh karena itu 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Ketika diperluas, kita menemukan bahwa 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 semuanya bilangan prima. Keseluruhan proses ini dapat digambarkan sebagai pembagian dengan sebuah kolom. Artinya, bagi 11723 dengan 19. Angka 19 adalah salah satu faktornya, karena kita mendapatkan pembagian tanpa sisa. Mari kita nyatakan pembagian sebagai kolom:
Oleh karena itu, 11723 merupakan bilangan komposit, karena selain dirinya sendiri dan 1, ia mempunyai pembagi 19.
Menjawab: 11723 adalah bilangan komposit.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter
