Sama besarnya dengan sudut-sudut yang sisi-sisinya saling tegak lurus. Sudut yang sisi-sisinya saling sejajar, sudut-sudut yang sisi-sisinya saling tegak lurus

TEOREMA 1.Persamaan sudut-sudut yang sisi-sisinya saling tegak lurus:Jika dan
keduanya tajam atau keduanya tumpul dan
,
, Itu
. TEOREMA 2. Sifat-sifat garis tengah trapesium:A) garis tengah trapesium sejajar dengan alas trapesium;B) garis tengah sama dengan setengah jumlah alas trapesium;C) garis tengah (dan hanya garis itu) membagi dua ruas mana pun yang berada di antara alas trapesium. Sifat-sifat ini juga berlaku untuk garis tengah suatu segitiga, jika kita menganggap segitiga tersebut sebagai trapesium “degenerasi”, yang salah satu alasnya mempunyai panjang sama dengan nol. TEOREMA 3. Pada titik potong median, garis bagi, tinggi segitiga:A) tiga median suatu segitiga berpotongan di satu titik (disebut pusat gravitasi segitiga) dan dibagi di titik tersebut dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudut;B) tiga garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik;C) tiga ketinggian berpotongan di satu titik (disebut ortosenter segitiga).TEOREMA 4. Sifat median pada segitiga siku-siku:dalam segitiga siku-siku, median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengahnya. Teorema kebalikannya juga benar: jika dalam suatu segitiga salah satu mediannya sama dengan setengah sisi yang ditariknya, maka segitiga tersebut siku-sikuTEOREMA 5. sifat-sifat garis bagi sudut dalam suatu segitiga:Garis bagi sudut dalam suatu segitiga membagi sisi yang ditariknya menjadi bagian-bagian yang sebanding dengan sisi-sisi yang berhadapan:
TEOREMA 6. Hubungan metrik pada segitiga siku-siku:JikaADanB- kaki,C– sisi miring,H- tinggi, Dan - proyeksi kaki pada sisi miring, maka: a)
; B)
; V)
; G)
; D)
TEOREMA 7. Penentuan jenis segitiga berdasarkan sisi-sisinya:MembiarkanA, B, C– sisi-sisi segitiga, dengan c sebagai sisi terbesar; Kemudian:A) jika
, maka segitiga tersebut lancip;B) jika
, maka segitiga tersebut siku-siku;B) jika
, maka segitiga tersebut tumpul.TEOREMA 8. Hubungan metrik dalam jajar genjang:Jumlah kuadrat diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan jumlah kuadrat semua sisinya:
. Saat memecahkan masalah geometri, sering kali Anda harus menetapkan persamaan dua segmen (atau sudut). Mari kita tunjukkan tiga cara utama untuk membuktikan persamaan dua segmen secara geometris: 1) anggaplah ruas-ruas tersebut sebagai sisi-sisi dari dua segitiga dan buktikan bahwa segitiga-segitiga tersebut sama panjang; 2) nyatakan ruas-ruas tersebut sebagai sisi-sisi suatu segitiga dan buktikan bahwa segitiga tersebut sama kaki; 3 ) ganti segmen tersebut A segmen yang setara , dan segmennya B – sama dengan itu dan buktikan persamaan segmen dan . Tugas 1.Dua garis yang saling tegak lurus memotong sisi-sisinyaAB, SM, CD, IKLANpersegiABCDdi poinE, F, K, Lmasing-masing. Buktikan ituE.K. = FL(lihat gambar untuk tugas No. 1).R

Beras. untuk tugas nomor 1

Larutan: 1. Dengan menggunakan jalur pertama di atas untuk persamaan dua segmen, kita menggambar segmen tersebut
Dan
- lalu segmen yang kita minati E.K. Dan FL menjadi sisi-sisi dari dua segitiga siku-siku EPK Dan FML(lihat gambar untuk tugas No. 1) . 2

Beras. untuk tugas nomor 1

Kami memiliki: hal = FM(detail lebih lanjut: hal = IKLAN, IKLAN = AB, AB = FM, Cara,hal = FM), (sebagai sudut yang sisi-sisinya saling tegak lurus, Teorema 1). Artinya (sepanjang kaki dan sudut lancip). Dari persamaan segitiga siku-siku maka sisi miringnya sama, yaitu. segmen E.K. Dan FL. ■ Perhatikan bahwa ketika menyelesaikan soal geometri, sering kali Anda harus membuat konstruksi tambahan, misalnya yang berikut: menggambar garis lurus yang sejajar atau tegak lurus dengan salah satu garis pada gambar (seperti yang kita lakukan pada tugas 1); menggandakan median segitiga untuk melengkapi segitiga menjadi jajar genjang (kita akan melakukannya di Soal 2), menggambar garis bagi bantu. Ada konstruksi tambahan berguna yang berhubungan dengan lingkaran. Tugas 2.Pesta
setaraA, B, C. Hitung median , ditarik ke sisi c. (lihat gambar untuk soal 2).R

Beras. untuk masalah no.2

Solusi: Gandakan median dengan menyelesaikan
ke jajar genjang ACVR, dan terapkan Teorema 8 pada jajar genjang ini. Kita memperoleh: , yaitu.
, di mana kami menemukan:
Tugas 3.Buktikan bahwa pada suatu segitiga jumlah mediannya lebih besar dari ¾ kelilingnya, tetapi lebih kecil dari kelilingnya.R
larutan: 1. Mari kita pertimbangkan
(lihat gambar untuk soal 3) Kita mempunyai:
;
. Karena AM + MS > AC, Itu
(1) hal

Beras. untuk masalah no.3

Dengan melakukan penalaran serupa untuk segitiga AMB dan BMC, kita memperoleh:
(2)
(3) Menjumlahkan pertidaksamaan (1), (2), (3), kita peroleh:
, T
.e. kita buktikan bahwa jumlah mediannya lebih besar dari ¾ kelilingnya. 2. Mari gandakan median BD, selesaikan segitiga menjadi jajar genjang (lihat gambar untuk soal 3). Lalu dari
kita mendapatkan: BK < SM + CK, itu.
(4) Juga:
(5)

Beras. untuk masalah no.3

(6) Menjumlahkan pertidaksamaan (4), (5), (6), kita peroleh: , yaitu. jumlah mediannya lebih kecil dari kelilingnya. ■ Tugas 4.Buktikan bahwa pada segitiga siku-siku tidak sama kaki, garis bagi suatu sudut siku-siku membagi dua sudut antara median dan tinggi yang ditarik dari titik sudut yang sama.R
larutan: Misalkan ACB adalah segitiga siku-siku,

, CH – tinggi, CD – garis bagi, SM – median. Mari kita perkenalkan notasi berikut: (lihat gambar untuk soal 4) . 1.

sebagai sudut yang sisi-sisinya saling tegak lurus (). 2

Beras. untuk masalah no.4

Karena
(lihat Teorema 4), lalu SM = MV, lalu dari
kami menyimpulkan itu
Jadi, 3. Karena dan (bagaimanapun CD adalah garis bagi), maka hal tersebut perlu dibuktikan. ■ Tugas 5.Dalam jajaran genjang dengan sisiA DanBgaris bagi sudut dalam digambar (lihat gambar untuk soal 5). Tentukan panjang diagonal-diagonal segi empat yang terbentuk pada perpotongan garis-bagi.Larutan: 1 . AE – garis bagi
, BP – garis bagi
(lihat gambar). karena dalam jajaran genjang
itu. maka Artinya pada segitiga ABC jumlah sudut A dan B sama dengan 90 0, maka sudut K sama dengan 90 0, yaitu garis bagi AE dan BP saling tegak lurus. A
Saling tegak lurus garis bagi AE dan DQ, BP dan CF, CF dan DQ dibuktikan secara logis. KELUARAN: KLMN adalah segi empat yang siku-sikunya, yaitu. persegi panjang. Suatu persegi panjang mempunyai diagonal-diagonal yang sama besar, sehingga cukup mencari panjang salah satunya, misalnya KM. 2

Beras. untuk masalah nomor 5

Mari kita pertimbangkan
Dia memiliki AK - baik garis bagi maupun tinggi badan. Artinya, pertama, segitiga ABP sama kaki, yaitu. AB = AP = B, dan kedua, ruas AK sekaligus merupakan median segitiga ABP, yaitu. K – bagian tengah garis bagi BP. Hal serupa dibuktikan dengan M adalah titik tengah garis bagi DQ. 3. Mari kita perhatikan segmen KM. Ini membagi dua segmen BP dan DQ. Tetapi garis tengah jajar genjang (perhatikan bahwa jajar genjang adalah kasus khusus dari jajar genjang; jika kita dapat berbicara tentang garis tengah jajar genjang, maka kita juga dapat berbicara tentang garis tengah jajar genjang, yang memiliki persamaan properti) melewati titik K dan M (lihat teorema 2). Artinya KM merupakan segmen yang berada di garis tengah, dan karenanya
.4. Karena
Dan
, maka KMDP adalah jajar genjang, dan karenanya. Menjawab:
■ Faktanya, dalam proses penyelesaian soal (pada tahap 1 dan 2), kami membuktikan sifat yang cukup penting: garis bagi sudut yang berdekatan dengan sisi trapesium berpotongan tegak lurus pada titik yang terletak di garis tengah trapesium. trapesium. Perlu dicatat bahwa metode utama menyusun persamaan dalam masalah geometri adalah metodeelemen pendukung, yaitu sebagai berikut: unsur yang sama (sisi, sudut, luas, jari-jari, dan lain-lain) dinyatakan melalui besaran yang diketahui dan tidak diketahui dengan dua cara yang berbeda dan persamaan yang dihasilkannya disamakan. Tak jarang, suatu area dipilih sebagai elemen acuanangka. Lalu kita katakan itu untuk membangun persamaan yang kita gunakan metode daerah. Penting untuk mengajari anak-anak sekolah bagaimana memecahkan masalah-masalah dasar, yaitu. itu. Yang disertakan sebagai komponen dalam banyak tugas lainnya. Misalnya saja soal mencari unsur-unsur dasar segitiga: median, tinggi, garis bagi, jari-jari lingkaran bertulisan dan dibatasi, luas. Z masalah 6.Pada segitiga ABC, sisi AB dan BC sama panjang, dan BH adalah tingginya. Sebuah titik diambil pada sisi BCDJadi
(lihat gambar untuk soal 6). Berapa rasio segmen tersebutIKLANmembagi tinggi VN?Larutan: 1. Misalkan BD = A, maka CD = 4 A, AB = 5a.2

Beras. untuk soal nomor 6

Mari kita menggambar sebuah segmen
(lihat gambar soal 6) Karena NK adalah garis tengah segitiga ACD DK = KC = 2 A .3. Perhatikan segitiga VNK. Kita mempunyai: BD = A,DK = 2 A Dan
. Menurut teorema Thales
Tetapi
Artinya
■ Jika soal memerlukan pencarian perbandingan sejumlah besaran, maka, biasanya, soal tersebut terselesaikan menggunakan metode parameter bantu. Artinya pada awal penyelesaian soal kita nyatakan suatu besaran linier yang diketahui, dilambangkan, misalnya dengan huruf A, dan kemudian mengungkapkannya melalui A besaran-besaran yang perbandingannya harus dicari. Ketika relasi yang diperlukan dikompilasi, parameter bantu A menyusut. Ini persisnya bagaimana kami bertindak dalam masalah ini . Saran kami: ketika memecahkan masalah di mana perlu untuk menemukan rasio besaran (khususnya, dalam masalah menentukan sudut - lagipula, sebagai aturan, ketika menghitung sudut kita berbicara tentang menemukan fungsi trigonometrinya, yaitu tentang rasio sisi segitiga siku-siku), siswa harus diajari Tahap pertama penyelesaiannya adalah pengenalan parameter bantu. Metode parameter bantu juga digunakan dalam soal-soal di mana bangun geometri didefinisikan hingga kemiripannya. Tugas 7.Sebuah persegi panjang terdapat pada sebuah segitiga yang panjang sisinya sama dengan 10, 17, dan 21 cm sehingga kedua titik sudutnya berada pada salah satu sisi segitiga tersebut, dan dua titik sudut lainnya berada pada kedua sisi segitiga yang lain. Hitunglah panjang sisi-sisi persegi panjang jika diketahui kelilingnya 22,5 cm.R
keputusan . 1. Pertama-tama, mari kita tentukan jenis segitiganya. Kita mempunyai: 10 2 = 100; 17 2 = 289; 21 2 = 441. Karena 21 2 > 10 2 + 17 2, maka segitiga tersebut siku-siku tumpul (lihat Teorema 7), artinya sebuah persegi panjang dapat dimasukkan ke dalamnya hanya dengan satu cara: dengan menempatkan kedua titik sudutnya pada sudut yang lebih besar. sisi segitiga ABC (lihat gambar. . soal 7), dimana AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm

BAB III.
LANGSUNG PARALEL

§ 40. SUDUT DENGAN SUDUT PARALEL MASING-MASING
DAN SISI TEGAL.

1. Sudut-sudut yang sisi-sisinya sejajar.

Mari kita ambil dua titik C dan O pada bidang dan menggambar dua pasang sinar dari titik-titik tersebut
CA || OM dan SV || ON sehingga sudut ACB dan MON keduanya lancip (Gbr. 211) atau keduanya tumpul (Gbr. 212).

Sudut ACB dan MON masing-masing merupakan sudut yang sisi-sisinya sejajar. Mari kita buktikan bahwa sudut-sudut ini sama besar.

Misalkan CB memotong OM di titik D. / DIA = / MDV, sebagai sudut yang bersesuaian untuk paralel AC dan MO dan garis potong SV.

/ MDV = / MON, sebagai sudut yang bersesuaian untuk CB sejajar dan ON dan garis potong MO, tetapi kemudian / DIA = / Senin.

Karena itu, Sudut-sudut yang sisi-sisinya sejajar adalah sama besar jika kedua-duanya lancip atau keduanya tumpul.

Mari kita buat dua sudut lancip ACB dan MON dengan sisi-sisi sejajar yang bersesuaian (Gbr. 213): CA || MO dan NE || ON, dan lanjutkan melewati titik sudut O dari sisi sudut MON.

Di titik puncak O, terbentuk dua sudut tumpul EOM dan FON (karena sudut MON yang berdekatan dengannya lancip menurut konstruksi).

Masing-masing ditambah sudut MON adalah 2 D, dan sejak itu / Senin = / DIA,
Itu / DIA+ / MOE = 2 D Dan / DIA+ / FO = 2 D.

Karena itu, sudut-sudut yang sisi-sisinya sejajar dijumlahkan 2

2. Sudut-sudut yang sisi-sisinya tegak lurus.

Mari kita buat sudut lancip ABC yang berubah-ubah. Mari kita tarik sinar-sinar yang tegak lurus sisi-sisinya melalui titik sudut sehingga membentuk sudut lancip.

BO_|_ BC dan VC _|_ AB (gambar 214). Kita akan mendapatkan OBK sudut baru.
Sisi-sisi sudut ABC dan OBC saling tegak lurus.

/ ABC = D - / SVK;
/ HVAC = D - / SVK.

Oleh karena itu / ABC = / AC.

Mari kita buat sudut tumpul sembarang AOB dan tarik sinar-sinar yang tegak lurus sisi-sisinya melalui titik sudutnya sehingga membentuk sudut tumpul.
OK_|_OA dan OS_|_OV (Gbr. 215), sudut KOS - tumpul. Oleh karena itu, sisi-sisi sudut AOB dan KOS saling tegak lurus

/ AOB = D + / KOV;
/ CBS = D+ / KOV.

Oleh karena itu / AOB = / KOS.

Sudut-sudut yang sisi-sisinya tegak lurus adalah sama besar jika keduanya lancip atau keduanya tumpul.

Mari kita buat sudut lancip sembarang AOB dan tarik garis tegak lurus melalui titik sudutnya ke sisi-sisinya sehingga membentuk sudut lancip (Gbr. 216).
Kami mendapatkan: / COM = / AOB. Mari kita lanjutkan sisi OK melewati titik sudut O. Sisi-sisi sudut EOM tegak lurus dengan sisi-sisi sudut AOB. Pada saat yang sama / EOM - bodoh, karena berdekatan dengannya / MOK - pedas. / KOM+ / EOM = 2 D(seperti sudut yang berdekatan). Tetapi / KOM, seperti yang telah dibuktikan sebelumnya, adalah sama dengan / AOB. Oleh karena itu, dan / AOB+ / EOM = 2 D.

Sudut-sudut yang sisi-sisinya tegak lurus dijumlahkan 2d jika salah satunya lancip dan yang lain tumpul.

Kami mempertimbangkan sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang saling tegak lurus ketika mereka memiliki titik sudut yang sama. Sifat-sifat yang telah kita peroleh juga akan berlaku jika sudut-sudutnya tidak memiliki titik sudut yang sama.

Mari kita buat sudut lancip AOB dan melalui suatu titik C (Gbr. 217) tarik sinar CE __|_OA dan SK _|_ OB sehingga sudut KCE juga lancip.

Sudut AOB ke KSE dibuat oleh sisi-sisi yang saling tegak lurus. Mari kita buktikan bahwa mereka setara satu sama lain. Untuk melakukan ini, melalui titik O (vertex / AOB) kami akan melaksanakan OK"||SK dan OE" || SE. / KSE = / CFU", karena keduanya tersusun dari sisi-sisi yang saling sejajar dan keduanya lancip. Tapi / K"OE" = / AOB menurut terbukti. Karena itu, / AOB = / KSE.

Jika kita memanjangkan sisi CE melampaui titik sudut, kita peroleh / MSK bersebelahan dengan / KSE.
/ MSC+ / KSE = 2 D, Tetapi / KSE = / AOB, Oleh karena itu / AOB+ / MSK = 2 D.

Mengajar planimetri di kursus sekolah.

Lyceum No.000

Lyceum No.000.

“Kalau tugas yang sama dipercayakan

dua orang yang sama-sama tidak mengetahui hal itu

orang dan salah satunya adalah ahli matematika,

maka seorang ahli matematika akan melakukannya dengan lebih baik,”

Perkenalan

Menguasai hampir semua profesi modern memerlukan pengetahuan matematika tertentu. Gagasan tentang peran matematika di dunia modern, pengetahuan matematika telah menjadi komponen penting dari budaya umum. Untuk realisasi diri dalam kehidupan dan kemungkinan aktivitas produktif di dunia informasi, diperlukan latar belakang matematika yang cukup kuat.

Peran dan kedudukan matematika dalam ilmu pengetahuan dan kehidupan masyarakat, nilai pendidikan matematika, humanisasi dan humanisasi pendidikan, pemahaman mata pelajaran matematika, dan struktur kepribadian menentukan tujuan pendidikan matematika. Tiga kelompok tujuan dibedakan, menghubungkannya dengan fungsi pendidikan umum, pendidikan dan praktis.

Ø Pendidikan matematika meliputi penguasaan suatu sistem pengetahuan, kemampuan dan keterampilan matematika yang memberikan gambaran tentang mata pelajaran matematika, bahasa dan simbolismenya, masa perkembangan, pemodelan matematika, teknik matematika khusus, dan metode kognisi ilmiah umum dasar.

Ø Pembentukan pandangan dunia siswa, komponen berpikir logis dan heuristik, pendidikan moralitas, budaya komunikasi, kemandirian, aktivitas, pendidikan kerja keras, tanggung jawab pengambilan keputusan, dan keinginan realisasi diri.

Ø Spesifikasi tujuan komponen individu penting untuk membangun seperangkat tujuan pembelajaran dan kecukupan terhadap isi mata pelajaran materi pendidikan. Transformasi tujuan pendidikan menjadi tindakan akan memungkinkan untuk mendiagnosis dan mengelola proses perolehan pengetahuan, keterampilan, pengembangan dan pendidikan seorang siswa.

Pada tataran proses pendidikan sebenarnya, tujuan pembelajaran dibentuk dengan mempertimbangkan karakteristik siswa dan kemungkinan membedakan pembelajarannya.

Dalam proses aktivitas matematika siswa, persenjataan teknik dan metode berpikir meliputi induksi dan deduksi, generalisasi dan spesifikasi, analisis dan sintesis, klasifikasi dan sistematisasi, abstraksi, dan analogi. Objek inferensi matematis dan aturan konstruksinya mengungkapkan mekanisme konstruksi logis, mengembangkan kemampuan merumuskan, membenarkan dan membuktikan penilaian, sehingga mengembangkan pemikiran logis. Peran utama matematika dalam pembentukan pemikiran algoritmik, pengembangan kemampuan untuk bertindak sesuai dengan algoritma yang diberikan dan membangun yang baru dalam proses pemecahan masalah, dasar kegiatan pendidikan dalam pelajaran matematika. Sisi pemikiran kreatif dan terapan berkembang.

keberatan terhadap pengurangan mata pelajaran matematika sekolah;

· menilai program kursus dipenuhi dengan informasi yang tidak perlu atau terlalu istimewa (misalnya banyak rumus yang harus dihafal);

· percakapan tentang kekurangan jam yang dialokasikan untuk matematika (sebagai alat utama untuk pengembangan pemikiran logis pada anak sekolah, dll.);

persyaratan kursus matematika sekolah dan ujian masuk; kualifikasi guru matematika, karena reformasi pendidikan apa pun, restrukturisasi program apa pun pasti akan berhasil hanya jika guru dipersiapkan sebelumnya dan secara komprehensif.

Saat ini, guru memiliki cukup banyak buku teks untuk setiap paralel di gudang senjata mereka. Ketika memilih sistem tertentu, setiap guru secara alami berangkat dari kriterianya sendiri dan kekhasan lembaga pendidikan. Namun, perlu untuk mempertimbangkan kemungkinan penerapan hubungan yang berurutan antar kursus, serta menganalisis kemungkinan penyelenggaraan pelatihan yang berbeda. Guru, tergantung pada kondisi kerja tertentu dan tingkat persiapan siswa, dapat mengatur proses pendidikan yang lengkap. Siswa mendapat kesempatan nyata, belajar di kelas yang sama dan sesuai program yang sama, untuk memilih jenjang pembelajaran yang sesuai dengan kebutuhan, minat, dan kemampuannya. Minimum wajib matematika menentukan daftar soal yang harus disajikan dalam program dan buku teks matematika, terlepas dari level dan fokusnya. Dengan kata lain, program dan buku teks tertentu yang digunakan di lembaga tertentu mungkin memperluas tingkatan ini, namun tidak mengurangi atau menguranginya.

Pemilihan jenjang pelatihan matematika hendaknya ditentukan oleh kebutuhan siswa, oleh karena itu pada lembaga pendidikan humaniora, hukum dan bidang lainnya disarankan menggunakan program yang mendalam di bidang matematika, karena lulusannya juga melanjutkan ke universitas teknik; selain itu, kelas matematika yang serius diperlukan untuk pembentukan dan pengembangan pemikiran logis.

Hakikat geometri bersifat kontradiktif: “... ia secara langsung mempelajari bangun-bangun geometri ideal yang tidak ada dalam kenyataan, namun kesimpulan-kesimpulannya dapat diterapkan pada hal-hal nyata, pada masalah-masalah praktis.” Tugas setiap guru adalah mendekatkan siswa pada pemahamannya, tanpa mengaburkan geometri itu sendiri dari siswa dengan berbagai survei, tes, tes, dan membiarkan anak memilih sendiri tingkat pengetahuan geometri. Setiap pilihan sesuai dengan tujuan yang dihadapi siswa, terkadang ditentukan secara intuitif, namun bebas. Seringkali ketaatan yang gigih terhadap suatu tujuan dan kegigihan dalam mencapainya sama sekali tidak ada artinya, apalagi jika tujuan guru bukanlah tujuan siswa. Mungkin ada baiknya mencoba mempelajari cara mengatur aktivitas siswa di kelas geometri agar mereka tidak terkendala oleh tujuan kita, pertanyaan kita, sehingga mereka terbuka terhadap segala macam persepsi. Seorang anak pergi ke sekolah dengan banyak pertanyaan, tetapi sekolah sendiri telah menyiapkan beberapa kali lebih banyak pertanyaan untuknya. Dia menjawab pertanyaannya sendiri, dan bahkan marah ketika jawabannya tidak diterima dengan baik.

Salah satu cara kognisi terdiri dari tahapan berikut: pemikiran, rangkaian pemikiran, dan, akhirnya, hasil pencarian yang diinginkan dan dibenarkan secara logis. Saya ingin menerapkan cara kedua yang lebih terbuka melalui serangkaian tugas yang diusulkan untuk setiap topik. Saat menggunakan jalur ini, pikiran tidak memperlambat fantasi, tidak menutup pencarian intuitif, tidak ada pengejaran pikiran, tidak ada lompatan cepat menuju tujuan, tetapi persepsi dan pengamatan yang tenang dan tidak tergesa-gesa berkuasa, kepekaan muncul, tampaknya menjadi asing, namun terkadang keterasingan inilah yang memperkaya pencarian, membawa pada tujuan. Seberapa sering di kelas kita membuat anak-anak terburu-buru, mendesak mereka seperti cambuk dengan kata-kata: “Pikirkan. Memikirkan." Atau mungkin benar seseorang yang mencari secara berlebihan mungkin tidak sempat menemukannya?

Tugas kita adalah mencari jalan menuju pengetahuan geometri. Kami akan memikirkan bagaimana membantu anak-anak menemukan kebenaran bagi diri mereka sendiri, kebenaran geometri. Apa yang harus dibimbing oleh seorang guru, taktik dan strategi apa yang harus dia pilih? Apa yang harus dilakukan seorang guru di kelas? Apakah kita harus membela ilmu, kemampuan, keterampilan, dengan menyatakan bahwa ilmu adalah kekuatan, atau berusaha sekuat tenaga menyelenggarakan proses pendidikan agar ilmu tidak menaungi ilmu, tidak menjauhkan jiwa anak dari ilmu.

Mungkin kebijaksanaan seorang guru terletak pada mengetahui rahasia penemuan, rahasia kognisi dan, khususnya, rahasia geometri, pada kemampuan menciptakan suasana di kelas yang memfasilitasi penguasaan metode persepsi dan kognisi tersebut. Logika guru dan logika siswa, harus ada hubungan apa dalam pembelajaran? Apa lagi? Mungkin ketika guru tidak menawarkan serangkaian pertanyaan yang dipikirkan dengan matang, tetapi serangkaian tugas, yang mencerminkan siswa, pikirannya melakukan semua pekerjaan yang diperlukan untuk saat sebelum penemuan. Maka logika guru berada dalam hubungan yang diperlukan dengan logika siswa. Atau mungkin dasar pencariannya adalah memilih intuisi, membebaskannya, merangsangnya, mengandalkannya? Atau sesuatu yang lain?

Mungkin, di antara semua buku pelajaran dan di antara semua pelajaran, buku teks untuk kelas 7 adalah yang paling penting dan pelajaran pertama adalah yang paling bertanggung jawab, karena memperkenalkan kursus yang sistematis dalam pembelajaran. Dari pembelajaran pertama, dari membaca halaman pertama buku teks, tergantung apakah proses pembelajaran akan berhasil dan apakah siswa akan mampu mengembangkan minat yang berkelanjutan terhadap mata pelajaran tersebut. Tidak ada siswa yang dilarang mempelajari mata kuliah geometri pada tingkat mana pun. Kendalanya mungkin bukan pada kerumitan materi, bukan pada kesulitan penyajiannya, melainkan pada kurangnya minat membaca halaman selanjutnya dari buku teks tersebut. Namun, setelah mempelajari teori bahkan pada tingkat (visual) pertama, siswa dapat memecahkan masalah apa pun pada topik ini, karena ia akan memiliki pengetahuan yang cukup untuk menyelesaikannya.

Mari kita beralih ke mengkarakterisasi tingkat penguasaan materi pendidikan dan memberi tahu guru bagaimana dia dapat menemukan materi yang terkait dengan masing-masing materi tersebut.

Jenjang pertama adalah pendidikan umum, kemanusiaan. Ini mencakup konten yang harus dikuasai setiap siswa. Dalam geometri, kajian materi tersebut terjadi pada tingkat visual, itulah sebabnya kami menyebutnya visual tingkat pertama. Meliputi definisi konsep, disertai dengan banyak ilustrasi, rumusan teorema, penjelasan maknanya dalam gambar, dan deduksi logis sederhana.

Pada tingkat kedua, materi tingkat pertama diperluas, masalah terapan diselesaikan, ditunjukkan bagaimana pengetahuan geometri diterapkan pada pengetahuan dunia. Kami menyebut level ini sebagai level penerapan. Pada tingkat ini, siswa diharapkan menguasai pembuktian sebagian besar teorema.

Terakhir, tingkat ketiga merupakan pendalaman materi tingkat pertama secara signifikan, pembenaran logis yang cukup lengkap diberikan. Tingkat lanjutan ini mencakup pembuktian teorema dan masalah teoretis yang paling sulit. Tingkat ketiga juga bermasalah.

Kami telah mengidentifikasi tingkat asimilasi pertama - visual - praktis, di mana anak sekolah, seperti fisikawan, memperoleh informasi melalui pengalaman. Siswa harus membayangkan suatu benda, mendeskripsikannya, dan memecahkan masalah sederhana mengenai benda tersebut. Dan tidak masalah jika pada saat yang sama dia tidak dapat mengucapkan definisi tersebut secara akurat. Pada tingkat ini, pengetahuan visual dan operasional tentang subjek sangat penting, yang berisi representasi visual dan kemampuan untuk mengoperasikannya dengan benar.

Dalam mempelajari geometri, perlu mengajak siswa untuk secara mandiri merumuskan definisi suatu konsep tertentu. Hal ini dilakukan bukan agar anak kemudian menghafalnya, tetapi dengan ikut serta dalam proses ini mereka akan mendalami lebih dalam makna konsep, mempelajari struktur definisi itu sendiri dan beberapa rumusan teorema. Ini akan berkontribusi pada asimilasi lebih dalam materi pendidikan yang relevan. Penemuan anak-anak merupakan insentif yang besar untuk belajar.

Secara umum diterima bahwa kursus geometri harus mengajarkan pemikiran logis. Namun, banyak siswa seringkali tidak terlalu mengasimilasi logika rumusan dan pembuktian melainkan menghafalnya secara formal. Salah satu cara pertama untuk mengatasi bahaya ini adalah dengan mengurangi jumlah rumusan dan bukti yang harus diketahui siswa (belajar, ingat). Jika kita ingin mengajar berpikir logis, maka kita perlu mengajarkan hal ini, dan bukan menghafal mekanis dari penalaran yang sudah jadi. Oleh karena itu, rumusan hendaknya dianggap lebih sebagai latihan pengembangan pemikiran logis, dan bukan sebagai postulat yang harus dihafal. Berguna bagi siswa untuk menganalisis, dan tidak menghafal begitu saja, sebanyak mungkin bukti dan memecahkan sebanyak mungkin masalah pembuktian: akan jauh lebih menyenangkan dan berguna bagi siswa jika dia memikirkannya sendiri, menarik setidaknya sebuah kesimpulan kecil sendiri, daripada menghafal alasan orang lain (tentu saja tidak termasuk alasan yang sangat instruktif, jenaka dan elegan).

Logika geometri tidak hanya terletak pada formulasi individu, tetapi pada keseluruhan sistemnya secara keseluruhan. Arti setiap definisi, setiap teorema, dan pembuktian pada akhirnya hanya ditentukan oleh sistem ini. Yang menjadikan geometri sebagai teori holistik, dan bukan kumpulan definisi dan pernyataan individual. Oleh karena itu, kami menyarankan agar rekan-rekan kami mencoba untuk tidak meminta siswa mengevaluasi satu bukti teorema untuk waktu tertentu, tetapi untuk membawa survei ini ke akhir topik yang agak luas sebagai tes teoretis, seperti yang kami lakukan di Lyceum. . Anak-anak harus terbiasa dengan konsep dan istilah “teorema”, “diberikan”, “membuktikan”, “membuktikan”, dan memahami maknanya. Tentu saja teorema tersebut harus dibuktikan. Mungkin perlu menganalisis bukti-bukti mereka lebih dari satu kali di kelas: berpasangan secara frontal, pada gambar yang berbeda. Dapat diterima bahwa, dari sudut pandang kami, sebelum membuktikan teorema, segera setelah menganalisis rumusannya, mulailah memecahkan masalah. Dan ketika siswa sudah terbiasa dengan rumusan tersebut dan memahami maknanya, mereka dapat mulai menganalisis pembuktiannya. Pada saat ini, siswa sampai batas tertentu sudah mengembangkan selera untuk mencari kebenaran. Hormati dia.

Tentu saja, jika pengajaran sepenuhnya dibatasi hanya pada pengetahuan geometri itu sendiri, maka pengembangan keterampilan berpikir logis dan unsur-unsur pandangan dunia ilmiah akan dilakukan dalam kerangka ilmu tersebut saja. Oleh karena itu, guru harus terus-menerus menarik perhatian siswa pada hubungan antara geometri dan ilmu-ilmu serta praktik lainnya dan menunjukkan pentingnya persyaratan bukti dan keakuratan dalam menetapkan kebenaran secara universal (dan bukan hanya untuk geometri saja). Hal ini sangat penting terutama bagi siswa yang kurang memiliki motivasi untuk mempelajari geometri sebagai suatu ilmu, berbeda dengan anak yang termotivasi dan tertarik yang tidak perlu didorong dan dirangsang sekali lagi untuk memecahkan masalah yang kompleks dan tidak baku, untuk mempertimbangkan berbagai solusi. pilihan. Latihan juga menunjukkan bahwa siswa senang mendengarkan cerita guru tentang sejarah mata pelajaran. Pada pelajaran pertama, siswa yang lebih kuat dan berminat dapat diminta untuk secara sederhana memecahkan masalah-masalah yang indah, menarik, dan tidak biasa bentuk dan cara penyelesaiannya. Masalah yang memungkinkan siswa menemukan sesuatu yang baru. Bagi siswa yang tidak termotivasi, proses itu penting, mereka ingin membuat dan menggambar bentuk geometris dengan tangan mereka sendiri, dan hal ini perlu memenuhi harapan mereka terutama pada pelajaran pertama, menawarkan untuk menggambar ornamen yang mencakup berbagai bentuk geometris, dan kemudian awal emosional dari pelajaran ini akan terjamin. Pelajaran pertama itu penting; itu, seperti garpu tala, menentukan nada untuk keseluruhan pekerjaan.

Saya ingin menekankan satu hal: sekarang, ketika tidak ada ujian wajib geometri, mungkin mengejar ilmu tidak seharusnya menjauhkan seorang anak dari ilmu pengetahuan yang indah dan sangat berguna seperti geometri? Mungkin bekerja dengan tenang sekali dalam hidup Anda. Agar pedang tanda dan penilaian Damocles tidak menimpa Anda. Sehingga dalam pembelajaran guru dan siswa memiliki kesamaan pengetahuan dan potensi. Untuk memiliki GEOMETRI.

Soal matematika dasar apa yang dianggap paling sulit? Mungkin sebagian besar pembaca akan menjawab: geometris. Mengapa? Ya, karena dalam aljabar, trigonometri, dan permulaan analisis matematis, seluruh rangkaian algoritma untuk menyelesaikan masalah standar telah dikembangkan. Jika ada algoritma, maka ada program tindakan, dan oleh karena itu kesulitan, jika terjadi, sering kali bersifat teknis daripada mendasar.

Masalah geometri adalah masalah yang berbeda. Biasanya, tidak ada algoritma untuk menyelesaikannya, dan memilih teorema yang paling cocok untuk kasus tertentu dari daftar teorema yang ekstensif tidaklah mudah. Oleh karena itu, resep utamanya lebih bersifat filosofis daripada didaktik: jika Anda ingin belajar memecahkan masalah geometri, selesaikanlah! Namun, ada beberapa prinsip umum yang berguna untuk diketahui ketika menyelesaikan masalah geometri. Kami ingin membicarakan ketentuan umum ini.

Saat memecahkan masalah geometri, tiga metode utama biasanya digunakan: geometris- ketika pernyataan yang diperlukan diturunkan dengan menggunakan penalaran logis dari sejumlah teorema terkenal; aljabarsurgawi- bila besaran geometri yang diinginkan dihitung berdasarkan berbagai ketergantungan antara unsur-unsur bangun geometri secara langsung atau menggunakan persamaan; digabungkan- ketika pada tahap tertentu penyelesaiannya dilakukan dengan metode geometri, dan pada tahap lain - dengan metode aljabar.

Apapun jalur solusi yang dipilih, keberhasilan penggunaannya tentu saja bergantung pada pengetahuan teorema dan kemampuan menerapkannya. Tanpa mempertimbangkan semua teorema planimetri di sini, mari kita perhatikan teorema yang, di satu sisi, secara aktif digunakan dalam memecahkan masalah, tetapi, di sisi lain, seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, tidak selalu “pada tingkat pertama memori. ” di kalangan siswa. Anda perlu menyukai teorema-teorema ini, menjadikannya asisten Anda, sehingga siswa Anda akan mengutamakannya.

Mari kita nyatakan teorema ini dan tunjukkan cara kerjanya menggunakan masalah tertentu.

Saat memecahkan masalah, sebagai suatu peraturan, tahapan penalaran individual dicatat. Hal ini dilakukan untuk kemudahan, agar lebih mudah mengikuti perkembangan penalaran. Dan saya juga ingin mencatat: tugas-tugas tersebut akan memiliki tingkat kesulitan yang berbeda-beda, tetapi tugas-tugas tersebut paling berguna bagi guru dari sudut pandang metodologis.

SEGITIGA DAN KUADRAGON.

Dalam menyelesaikan soal segitiga dan segi empat, mari kita perhatikan teorema berikut:

TEOREMA 1. Persamaan sudut-sudut yang sisi-sisinya saling tegak lurus:

Jika keduanya lancip atau keduanya tumpul dan , maka .

TEOREMA 2. Sifat-sifat garis tengah trapesium:

A) garis tengah trapesium sejajar dengan alas trapesium;

B) garis tengah sama dengan setengah jumlah alas trapesium;

C) garis tengah (dan hanya garis itu) membagi dua ruas mana pun yang berada di antara alas trapesium.

Sifat-sifat ini juga berlaku untuk garis tengah suatu segitiga, jika kita menganggap segitiga tersebut sebagai trapesium “degenerasi”, yang salah satu alasnya mempunyai panjang sama dengan nol.

TEOREMA 3. Pada titik potong median, garis bagi, tinggi segitiga:

A) tiga median suatu segitiga berpotongan di satu titik (disebut pusat gravitasi segitiga) dan dibagi di titik tersebut dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudut;

B) tiga garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik;

C) tiga ketinggian berpotongan di satu titik (disebut ortosenter segitiga).

TEOREMA 4. Sifat median pada segitiga siku-siku:

dalam segitiga siku-siku, median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengahnya.

Teorema kebalikannya juga benar: jika dalam suatu segitiga salah satu mediannya sama dengan setengah sisi yang ditariknya, maka segitiga tersebut siku-siku

TEOREMA 5. sifat-sifat garis bagi sudut dalam suatu segitiga:

Garis bagi sudut dalam suatu segitiga membagi sisi yang ditariknya menjadi bagian-bagian yang sebanding dengan sisi-sisi yang berhadapan:

TEOREMA 6. Hubungan metrik pada segitiga siku-siku:

Jikasebuah danb – kaki,c – sisi miring,h adalah tinggi, dan merupakan proyeksi kaki pada sisi miring, maka: a) ; B) ; V) ; G) ; D)

TEOREMA 7. Penentuan jenis segitiga berdasarkan sisi-sisinya:

MembiarkanA,B,c adalah sisi-sisi segitiga, dengan c adalah sisi terbesar; Kemudian:

A) jika , maka segitiga tersebut lancip;

B) jika , maka segitiga tersebut siku-siku;

C) jika , maka segitiga tersebut tumpul.

TEOREMA 8. Hubungan metrik dalam jajar genjang:

Jumlah kuadrat diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan jumlah kuadrat semua sisinya:

Saat memecahkan masalah geometri, sering kali Anda harus menetapkan persamaan dua segmen (atau sudut). Mari kita tunjukkan tiga cara utama untuk membuktikan persamaan dua segmen secara geometris:

1) anggaplah ruas-ruas tersebut sebagai sisi-sisi dari dua segitiga dan buktikan bahwa segitiga-segitiga tersebut sama panjang;

2) nyatakan ruas-ruas tersebut sebagai sisi-sisi suatu segitiga dan buktikan bahwa segitiga tersebut sama kaki;

3) ganti segmen tersebut A segmen yang sama https://pandia.ru/text/78/456/images/image008_12.gif" width="17" height="19 src=">dan buktikan persamaan segmen dan .

Tugas 1.Dua garis yang saling tegak lurus memotong sisi-sisinyaAB,SMCD,persegi IKLANABCD di titik-titikE,F,K,L sesuai. Buktikan ituEK =FL (lihat gambar untuk tugas No. 1).

Larutan: 1. Dengan menggunakan jalur pertama di atas untuk persamaan dua segmen, kita menggambar segmen tersebut dan - kemudian segmen yang kita minati E.K. Dan FL menjadi sisi-sisi dari dua segitiga siku-siku EPK Dan FML(lihat gambar untuk tugas No. 1) .

2 . Kami memiliki: PK =FM(detail lebih lanjut: PK =IKLAN.IKLAN=AB,AB =FM artinyaPK =FM),(sebagai sudut yang sisi-sisinya saling tegak lurus, Teorema 1). Artinya (sepanjang kaki dan sudut lancip). Dari persamaan segitiga siku-siku mengikuti persamaan sisi miringnya, yaitu segmen E.K. Dan FL. ■

Perhatikan bahwa ketika menyelesaikan soal geometri, sering kali Anda harus membuat konstruksi tambahan, misalnya berikut ini: menggambar garis lurus yang sejajar atau tegak lurus dengan salah satu garis pada gambar (seperti yang kita lakukan pada tugas 1); menggandakan median segitiga untuk melengkapi segitiga menjadi jajar genjang (kita akan melakukannya di Soal 2), menggambar garis bagi bantu. Ada konstruksi tambahan berguna yang berhubungan dengan lingkaran.

Tugas 2.Sisi-sisinya samaA,B,C. Hitung median yang ditarik ke sisi c (lihat gambar untuk soal 2).

Larutan: Mari kita gandakan mediannya, naikkan ke jajar genjang ACVR, dan terapkan Teorema 8 ke jajar genjang ini. Kita peroleh: , yaitu. , di mana kami menemukan:

Tugas 3.Buktikan bahwa pada suatu segitiga jumlah mediannya lebih besar dari ¾ kelilingnya, tetapi lebih kecil dari kelilingnya.

Larutan: 1. Pertimbangkan https://pandia.ru/text/78/456/images/image036_6.gif" width="131" height="41">; . Karena AM + MS > AC, Itu

https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt=" Tanda tangan:" align="left" width="148" height="32">Проведя аналогичные рассуждения для треугольников АМВ и ВМС, получим:!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image041_3.gif" width="111" height="41 src="> (3)

Menjumlahkan pertidaksamaan (1), (2), (3), kita memperoleh: ,

yaitu kita telah membuktikan bahwa jumlah median lebih besar dari ¾ kelilingnya.

2. Mari gandakan median BD, selesaikan segitiga menjadi jajar genjang (lihat gambar untuk soal 3)..gif" width="80" height="24 src="> (4)

Demikian pula: https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt=" Keterangan: Gambar untuk tugas No. 3" align="left hspace=12" width="148" height="32"> (6)!}

Menambahkan pertidaksamaan (4), (5), (6), kita mendapatkan: https://pandia.ru/text/78/456/images/image049_2.gif" align="left" width="159" height=" 93"> Larutan: Misalkan DIA adalah segitiga siku-siku, https://pandia.ru/text/78/456/images/image051_2.gif" width="233" height="21"> (lihat gambar untuk soal 4).

1. sebagai sudut yang sisi-sisinya saling tegak lurus (https://pandia.ru/text/78/456/images/image054_2.gif" alt=" Tanda tangan:" align="left" width="148" height="33">!} 2. Karena (lihat Teorema 4), maka SM = MV, dan dari sini kita menyimpulkan bahwa Jadi,

3. Karena dan (bagaimanapun CD adalah garis bagi), maka hal tersebut perlu dibuktikan. ■

Tugas 5. Dalam jajaran genjang dengan sisiA Danb garis bagi sudut dalam digambar (lihat gambar untuk soal 5). Tentukan panjang diagonal-diagonal segi empat yang terbentuk pada perpotongan garis-bagi.

Larutan: 1 ..gif" width="27 height=17" height="17">(lihat gambar). karena dalam jajar genjang yaitu maka Artinya pada segitiga ABC jumlah sudut A dan B sama dengan 900, maka sudut K sama dengan 900, yaitu garis bagi AE dan BP saling tegak lurus.

Demikian pula, saling tegak lurus dari garis-bagi AE dan DQ, BP dan CF, CF dan DQ terbukti.

KELUARAN: KLMN adalah segi empat yang sudut siku-sikunya adalah persegi panjang. Suatu persegi panjang mempunyai diagonal-diagonal yang sama besar, sehingga cukup mencari panjang salah satunya, misalnya KM.

2. Mari kita pertimbangkan Dia memiliki AK - garis bagi dan tingginya. Artinya, pertama, segitiga ABP sama kaki, yaitu AB = AP = B, dan kedua, ruas AK sekaligus merupakan median segitiga ABP, yaitu K adalah titik tengah garis bagi BP.

Hal serupa dibuktikan dengan M adalah titik tengah garis bagi DQ.

3. Mari kita perhatikan segmen KM. Ini membagi dua segmen BP dan DQ. Tetapi garis tengah jajar genjang (perhatikan bahwa jajar genjang adalah kasus khusus dari jajar genjang; jika kita dapat berbicara tentang garis tengah jajar genjang, maka kita juga dapat berbicara tentang garis tengah jajar genjang, yang memiliki persamaan properti) melewati titik K dan M (lihat teorema 2). Artinya KM merupakan segmen yang berada di garis tengah, sehingga .

4. Karena dan , maka KMDP adalah jajar genjang, dan oleh karena itu

Menjawab: ■

Faktanya, dalam proses penyelesaian masalah (pada tahap 1 dan 2), kami membuktikan sifat yang cukup penting: garis-bagi sudut yang berdekatan dengan sisi trapesium berpotongan tegak lurus pada titik yang terletak di garis tengah trapesium. trapesium.

Perlu dicatat bahwa metode utama menyusun persamaan dalam masalah geometri adalah metode elemen pendukung, yaitu sebagai berikut: unsur yang sama (sisi, sudut, luas, jari-jari, dan lain-lain) dinyatakan melalui besaran yang diketahui dan tidak diketahui dengan dua cara yang berbeda dan persamaan yang dihasilkannya disamakan.

Tak jarang, suatu area dipilih sebagai elemen acuan angka. Lalu kita katakan itu untuk membangun persamaan yang kita gunakan metode daerah.

Penting untuk mengajari anak-anak sekolah bagaimana memecahkan masalah-masalah dasar, yaitu masalah-masalah teknis. Yang disertakan sebagai komponen dalam banyak tugas lainnya. Misalnya saja soal mencari unsur-unsur dasar segitiga: median, tinggi, garis bagi, jari-jari lingkaran bertulisan dan dibatasi, luas.

Tugas 6. Pada segitiga ABC, sisi AB dan BC sama panjang, dan BH adalah tingginya. Sebuah titik diambil pada sisi BCD sehingga (lihat gambar untuk soal 6). Berapa rasio segmen tersebutIKLAN membagi tinggi VN?

Larutan: 1. Misalkan BD = A, maka CD = 4 A, AB = 5a.

2. Mari kita menggambar sebuah ruas (lihat gambar untuk soal 6) Karena NK adalah garis tengah segitiga ACD DK = KC = 2 A .

3. Perhatikan segitiga VNK. Kita mempunyai: BD = A,

DC = 2A dan https://pandia.ru/text/78/456/images/image080_2.gif" width="84" height="41"> tapi Artinya ■

Jika soal memerlukan pencarian rasio suatu - atau besaran, maka, sebagai suatu peraturan, masalahnya terpecahkan menggunakan metode parameter bantu. Artinya pada awal penyelesaian soal kita nyatakan suatu besaran linier yang diketahui, dilambangkan, misalnya dengan huruf A, dan kemudian mengungkapkannya melalui A besaran-besaran yang perbandingannya harus dicari. Ketika relasi yang diperlukan dikompilasi, parameter bantu A menyusut. Ini persisnya bagaimana kami bertindak dalam masalah ini . Saran kami: ketika memecahkan masalah di mana perlu untuk menemukan rasio besaran (khususnya, dalam masalah menentukan sudut - lagi pula, sebagai aturan, ketika menghitung sudut kita berbicara tentang menemukan fungsi trigonometrinya, yaitu rasio sisi segitiga siku-siku), siswa harus diajari Tahap pertama penyelesaiannya adalah pengenalan parameter bantu. Metode parameter bantu juga digunakan dalam soal-soal di mana bangun geometri didefinisikan hingga kemiripannya.

Tugas 7. Sebuah persegi panjang terdapat pada sebuah segitiga yang panjang sisinya sama dengan 10, 17, dan 21 cm sehingga kedua titik sudutnya berada pada salah satu sisi segitiga tersebut, dan dua titik sudut lainnya berada pada kedua sisi segitiga yang lain. Hitunglah panjang sisi-sisi persegi panjang jika diketahui kelilingnya 22,5 cm.

Larutan. 1. Pertama-tama, mari kita tentukan jenis segitiganya. Kita mempunyai: 102 = 100; 172 = 289; 212 = 441. Karena 212 > 102 + 172, maka segitiga tersebut tumpul (lihat Teorema 7), yang berarti bahwa sebuah persegi panjang dapat dimasukkan ke dalamnya hanya dengan satu cara: dengan menempatkan kedua titik sudutnya pada sisi yang lebih besar dari segitiga ABC ( lihat gambar pada Soal 7 ), dimana AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm.

2. Tentukan tinggi segitiga ABC. BH = 8 cm.

3. Mari kita taruh ED=X. Kemudian EF = 11,25 –X(karena keliling persegi panjang DEFK sama dengan 22,5 cm), tekanan darah = 8 – x. Segitiga BEF dan ABC sebangun, artinya (pada segitiga sebangun perbandingan tinggi yang bersesuaian sama dengan koefisien kemiripan), yaitu. dari mana kita menemukan x = 6.

Jawab : 6 cm, 5,25 cm ■

Saat menyelesaikan soal, kami menggunakan pernyataan bahwa dalam segitiga sebangun, tidak hanya sisi-sisinya, tetapi juga tinggi-tinggi yang bersesuaian adalah proporsional. Faktor yang lebih umum adalah sebagai berikut, yang bisa dikatakan merupakan teorema kesamaan umum:

Jika dua segitiga sebangun, maka setiap elemen garis (atau jumlah elemen garis) dari satu segitiga berhubungan dengan elemen garis yang bersesuaian (atau jumlah elemen garis yang bersesuaian) dari segitiga lainnya sebagai sisi-sisi yang bersesuaian.

Secara khusus, jari-jari lingkaran berbatas atau tertulis, keliling, tinggi yang bersesuaian, median, dan garis bagi dari dua segitiga sebangun dihubungkan sebagai sisi-sisi yang bersesuaian.

Tugas 8.Pada segitiga ABC, sudut A 2 kali lebih besar dari sudut C, sisi BC lebih besar 2 cm dari sisi AB, dan AC = 5 cm.

Larutan. 1. Mari kita menggambar garis bagi AD sudut A..gif" alt=" Tanda tangan:" align="left" width="148" height="33">!} 3. Segitiga ABC dan ABC sebangun, karena sudut B kedua segitiga tersebut sama besar. Dari persamaan segitiga kita simpulkan bahwa yaitu

4. Untuk menemukan X Dan pada diperoleh sistem dua persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui: Di mana

Mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama, kita mendapatkan 5y – 10 = 2y, yaitu y = . Artinya i.e.x=4.

Jawaban : AB = 4 cm; SM = 6 cm

Sangat sering, ketika menyusun hubungan sisi-sisi yang bersesuaian dalam segitiga-segitiga sebangun dalam kasus-kasus non-sepele (kasus-kasus kesamaan yang sepele ada dalam soal 6 dan 7 - segitiga dipotong dari yang terakhir dengan garis lurus yang sejajar dengan salah satu sisinya), mereka yang memecahkan masalah tersebut. Mereka hanya melakukan kesalahan teknis: entah mereka mengacaukan urutan segitiga (yang mana yang pertama dan mana yang kedua), atau mereka tidak berhasil memilih pasangan sisi sebagai sisi yang bersesuaian. Saran kami: jika persamaan segitiga ABC dan DEF sudah pasti, maka sebaiknya lakukan hal berikut: “masukkan” sisi-sisi salah satu segitiga ke dalam pembilangnya, misalnya seperti ini: Mengingat sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga-segitiga sebangun adalah sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut-sudut yang sama besar, carilah pasangan paling sederhana dari sisi-sisi yang bersesuaian; jika ini AB dan DE, BC dan DF, tulis: https://pandia.ru/text/78/456/images/image100_1.gif" align="left" width="121" height="96 src= " >b) sehingga Anda dapat memuat kira-kira.keliling, jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan harus sama dan cukup.

TEOREMA 5. Rasio metrik dalam lingkaran:

https://pandia.ru/text/78/456/images/image103_2.gif" alt=" Tanda tangan: Gambar 2" align="left" width="76" height="29">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image105_2.gif" alt=" Tanda tangan: Gambar 3" align="left" width="76" height="28">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image107_1.gif" width="13 height=19" height="19">, sisi miring - c (lihat gambar). Hitung jari-jarinya r dari lingkaran yang tertulis.

Larutan. 1. Dari pusat O lingkaran bertulisan, tarik jari-jari ke titik singgungnya dengan sisi-sisi segitiga; dengan memperhatikan bahwa keduanya tegak lurus terhadap sisi-sisi yang bersesuaian (lihat Teorema 1, a), dan kemudian dengan menggunakan Teorema 1, b, kita menandai pasangan segmen yang sama panjang: CD= SE, AE= AF,BD =BF(lihat gambar).

2. Karena EODC- persegi (sudut E,D, C - lurus dan UE= CD), lalu OE =OD.= CD = CE= R. Kemudian BD= A -r, AE =B -R Dan , masing-masing, BF=BD = sebuah– R,AF=AE =B-R.

3. Sejak AB= AF+FB, Itu c = (B -r) + (sebuah –R), dari mana .■

Perhatikan bahwa jika soal menyangkut lingkaran yang terdapat dalam segitiga (atau segi empat), maka hampir selalu disarankan untuk menggambar jari-jari pada titik kontak lingkaran dengan sisi-sisinya, dengan mempertimbangkan bahwa jari-jari tersebut akan tegak lurus dengan yang bersesuaian. sisi-sisinya, dan segera tandai pasangan-pasangan segmen yang sama besar pada gambar (untuk dua garis singgung yang ditarik pada lingkaran dari suatu titik tertentu). Inilah yang kami lakukan saat menyelesaikan masalah di atas.

Mari kita perhatikan rumus https://pandia.ru/text/78/456/images/image110_1.gif" width="43" height="44">, dimana S adalah luasnya, R– setengah keliling segitiga.

Mengenai radius R lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga, lalu untuk segitiga siku-siku (sisi miring adalah diameter lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga siku-siku), untuk segitiga tidak siku-siku biasanya menggunakan rumus https://pandia.ru/text/78 /456/images/image114_1.gif" width="59 " height="41 src=">.

Masalah 10. Diberikan suatu bidang berbentuk persegi panjang berbentuk lingkaran.Sebuah lingkaran dengan jari-jari yang sama digambar dengan pusat di ujung busur sektor; lingkaran tersebut membagi sektor tersebut menjadi dua segitiga lengkung. Sebuah lingkaran tertulis di segitiga yang lebih kecil (lihat gambar). Temukan rasio jari-jari lingkaran tertulis dan sektor.

Larutan. 1. Mari kita lakukan konstruksi tambahan yang diperlukan, yang biasanya dilakukan pada singgung dalam atau luar lingkaran atau singgung lingkaran dan garis lurus: O2O3– garis pusat; DI DALAM- titik kontak; O1O3– garis pusat; A– titik kontak; O3C O1C; DENGAN– titik kontak (lihat gambar).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image119_1.gif" width="43" height="41">. Jadi, .

Menjawab: . ■

Mari kita berikan dua tambahan lagi tentang konstruksi tambahan yang berguna: 1) jika dua lingkaran bersentuhan (secara internal atau eksternal), maka perlu ditarik garis pusatnya, yaitu garis lurus yang melalui pusat-pusat lingkaran singgung, dan ambil memperhitungkan bahwa titik kontak terletak pada garis pusat (inilah yang kami lakukan ketika menyelesaikan masalah di atas, yang merupakan kunci keberhasilan); 2) kadang-kadang berguna (sebagai konstruksi tambahan) untuk membuat apa yang disebut gambar "jarak jauh", yaitu, mengambil bagian dari gambar yang sudah ada dan agak rumit secara terpisah untuk studi khusus (misalnya, ketika memecahkan suatu masalah, kami mengambil sebuah fragmen terpisah yang mengandung ∆ O1O2O3– lihat gambar.).

Masalah 11. Jari-jari lingkaranR melewati dua simpul yang berdekatan A danD persegi (lihat gambar). Ruas BM yang bersinggungan dengan lingkaran yang ditarik dari titik sudut ketiga B pada persegi adalah dua kali sisi lingkaran tersebut. Temukan sisi persegi.

Larutan. Mari kita perkenalkan notasinya VA= x, VM = 2x. Mari kita lanjutkan segmennya VA sampai memotong lingkaran di titik tersebut KE. Kemudian VK ∙ VA = VM2(lihat Teorema 5, c), mis. VK∙x= 4x2, di mana kita menemukan: VK= 4x- Cara, AK= Zx. Berikutnya, KAD = = 90° yang artinya KD– diameter lingkaran. Dari segitiga siku-siku ADK kami menemukan: AD2+ AK2= KD2, yaitu x2+9x2= 4R 2, dari mana X= https://pandia.ru/text/78/456/images/image125_0.gif" width="45" height="45 src=">. ■

Orthocenter, yaitu titik potong ketinggian sebuah segitiga, memiliki sejumlah sifat menarik: orthocenter dari segitiga siku-siku lancip bertepatan dengan pusat lingkaran pada segitiga, yang titik-titik sudutnya adalah alasnya. dari ketinggian segitiga tertentu; pada segitiga tidak siku-siku ABC, jarak ortocenter ke titik sudut B adalah dua kali jarak pusat lingkaran keliling segitiga ke sisi AC. Kami menggunakan properti terakhir untuk memperkenalkan konsep garis lurus Euler. Untuk alasan visual, kami akan membatasi diri pada segitiga siku-siku.

Jadi biarkan N– pusat orto, O – pusat penyunat, OD. AC,OD║BH,IKLAN= DC(lihat gambar).

Mari kita menggambar mediannya BD dan segmen DIA. Segitiga VNM Dan MOD serupa, yang artinya https://pandia.ru/text/78/456/images/image128_0.gif" width="56" height="41 src=">.gif" width="17" height="16 src =">C = 90°, maka garis lurus Euler adalah garis lurus yang melalui titik sudut siku-siku C dan titik tengah TENTANG sisi miring AB, yaitu median.

Mari kita lanjutkan pembicaraan tentang penyelesaian masalah planimetri. Mari kita lanjutkan ke penyelesaian masalah yang berkaitan dengan konsep luas bangun datar.

Mari kita mulai, seperti dalam kasus sebelumnya, dengan mengidentifikasi teorema yang “berfungsi”. Ada dua teorema tentang penghitungan luas.

TEOREMA 1. Perbandingan luas bangun-bangun yang sebangun sama dengan kuadrat koefisien kemiripan.

TEOREMA 2. A) Jika dua segitiga sama besaralasnya, maka luasnya berhubungan dengan tingginya.

B) Jika dua segitiga mempunyai tinggi yang sama, maka segitiga tersebut adalahdaerah diperlakukan sebagai basis.

Dan tentu saja masuk akal untuk memberikan rumus dasar untuk menghitung luas bangun datar.

1. Rumus luas segitiga :

a) https://pandia.ru/text/78/456/images/image131_0.gif" width="84" height="41 src=">; c) ;

d) S = RR, Di mana R=; R– jari-jari lingkaran yang dibatasi; R- jari-jari lingkaran tertulis;

e) S = https://pandia.ru/text/78/456/images/image136_0.gif" align="left hspace=12" width="159" height="139"> a) S= AC∙ BDsin;

Teorema tentang sifat-sifat sudut dengan sisi-sisi yang sejajar harus dipertimbangkan untuk kasus-kasus di mana sudut-sudut tertentu keduanya lancip, atau keduanya tumpul, atau salah satunya lancip dan yang lainnya tumpul.

Teorema ini banyak digunakan dalam mempelajari sifat-sifat berbagai bangun dan, khususnya, segi empat.

Indikasi bahwa sisi-sisi sudut yang sejajar dengan sisi-sisinya dapat mempunyai arah yang sama atau berlawanan, yang kadang-kadang ditemukan dalam rumusan teorema, dianggap tidak perlu. Jika kita menggunakan istilah “arah”, maka perlu diperjelas apa yang dimaksud dengan kata ini. Cukup menarik perhatian siswa pada fakta bahwa sudut-sudut yang sisi-sisinya sejajar adalah sama besar jika keduanya lancip atau keduanya tumpul, tetapi jika salah satu sudut tumpul dan yang lainnya lancip, maka jumlahnya berjumlah 2d.

Teorema tentang sudut-sudut yang sisi-sisinya tegak lurus dapat diberikan segera setelah teorema sifat-sifat sudut yang sisi-sisinya sejajar. Siswa diberikan contoh penggunaan sifat-sifat sudut yang masing-masing sisi sejajar dan tegak lurus pada peralatan dan bagian-bagian mesin.

Jumlah sudut segitiga

Saat menurunkan teorema jumlah sudut segitiga, Anda dapat menggunakan alat bantu visual. Segitiga ABC dipotong, sudut-sudutnya diberi nomor, kemudian dipotong dan ditempelkan satu sama lain. Ternyata l+2+3=2d. Gambarlah tinggi CD dari titik sudut C segitiga ABC dan tekuk segitiga tersebut sehingga tingginya terbagi dua, yaitu. titik C jatuh ke titik D - alas ketinggian. Garis belok MN merupakan garis tengah segitiga ABC. Kemudian segitiga sama kaki AMD dan DNB dibengkokkan sepanjang tingginya, dengan titik sudut A dan B berimpit dengan titik D dan l+2+3=2d.

Perlu diingat bahwa penggunaan alat bantu visual dalam mata kuliah geometri sistematis tidak dimaksudkan untuk menggantikan pembuktian logis suatu proposisi dengan verifikasi eksperimentalnya. Alat peraga hendaknya hanya memudahkan pemahaman siswa tentang fakta geometri tertentu, sifat-sifat bangun geometri tertentu, dan kedudukan relatif unsur-unsur individualnya. Dalam menentukan besar sudut suatu segitiga, siswa hendaknya diingatkan akan teorema sudut luar suatu segitiga yang telah dibahas sebelumnya dan menunjukkan bahwa teorema jumlah sudut suatu segitiga memungkinkan, melalui konstruksi dan perhitungan, untuk menetapkan hubungan numerik antara sudut luar dan sudut dalam yang tidak berdekatan.

Akibat teorema jumlah sudut suatu segitiga, terbukti bahwa pada segitiga siku-siku, kaki yang berhadapan dengan sudut 30 derajat sama dengan setengah sisi miring.

Saat materi disajikan, siswa harus diberikan pertanyaan dan tugas sederhana untuk membantu mereka lebih memahami materi baru. Misalnya, Garis manakah yang disebut sejajar?

Pada posisi transversal manakah semua sudut yang dibentuk oleh dua garis sejajar dan garis transversal tersebut sama besar?

Sebuah garis lurus yang ditarik pada sebuah segitiga yang sejajar dengan alasnya memotong sebuah segitiga kecil darinya. Buktikan bahwa segitiga yang terpotong dan segitiga yang diberikan adalah kongruen.

Hitunglah semua sudut yang dibentuk oleh dua garis sejajar dan garis transversal jika diketahui salah satu sudutnya 72 derajat.

Sudut satu sisi dalam masing-masing sama dengan 540 dan 1230. Berapa derajat salah satu garis harus diputar mengelilingi titik potongnya dengan garis transversal agar garis-garis tersebut sejajar?

Buktikan bahwa garis bagi: a) dua sudut yang sama besar tetapi tidak berhadapan yang dibentuk oleh dua garis sejajar dan sebuah garis transversal adalah sejajar, b) dua sudut yang tidak sama besar yang memiliki garis yang sama dan sebuah garis transversal adalah tegak lurus.

Diberikan dua garis sejajar AB dan CD serta garis potong EF yang memotong garis-garis tersebut di titik K dan L. Garis bagi KM dan KN dari sudut AKL dan BKL memotong ruas MN pada garis lurus CD. Hitunglah panjang MN jika diketahui ruas garis potong KL yang berada di antara ruas-ruas yang sejajar adalah a.

Apa jenis segitiga yang: a) jumlah dua sudut mana pun lebih besar dari d, b) jumlah dua sudut sama dengan d, c) jumlah dua sudut lebih kecil dari d? Jawaban: a) siku lancip, b) persegi panjang, c) siku tumpul. Berapa kali jumlah sudut luar suatu segitiga lebih besar dari jumlah sudut dalam segitiga? Jawaban: 2 kali.

Dapatkah semua sudut luar suatu segitiga berbentuk: a) lancip, b) tumpul, c) lurus? Jawaban: a) tidak, b) ya, c) tidak.

Segitiga manakah yang masing-masing sudut luarnya dua kali besar sudut dalam? Jawaban: sama sisi.

Dalam mempelajari teknik garis sejajar, perlu menggunakan literatur sejarah, teori dan metodologi untuk merumuskan konsep garis sejajar secara utuh.

53.Sudut (sudut dalam) suatu segitiga disebut tiga sudut, yang masing-masing dibentuk oleh tiga sinar yang muncul dari titik sudut segitiga dan melewati dua titik sudut lainnya.

54. Teorema Jumlah Sudut Segitiga. Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°.

55. Sudut luar suatu segitiga adalah sudut yang berdekatan dengan salah satu sudut segitiga tersebut.

56. Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut suatu segitiga yang tidak berdekatan.

57. Jika ketiga sudutnya segi tiga pedas, maka segitiga tersebut disebut bersudut lancip.

58. Jika salah satu sudut segi tiga tumpul, maka segitiga tersebut disebut bersudut tumpul.

59. Jika salah satu sudut segi tiga langsung, maka segitiga tersebut disebut persegi panjang.

60. Sisi segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring(Kata Yunani gyipotenusa - "kontraksi"), dan dua sisi membentuk sudut siku-siku - kaki(Kata Latin katetos - "tegak lurus") .

61. Teorema hubungan sisi dan sudut segitiga. Dalam segitiga sudut yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih besar, dan kembali, Sisi yang lebih besar terletak berhadapan dengan sudut yang lebih besar.

62. Dalam segitiga siku-siku Sisi miringnya lebih panjang dari pada kakinya.

Karena Sisi yang lebih besar selalu terletak berhadapan dengan sudut yang lebih besar.

Tanda-tanda segitiga sama kaki.

Jika dalam segitiga dua sudut sama besar, maka itu adalah sama kaki;

Jika dalam segitiga garis bagi adalah median atau tinggi,
maka segitiga ini sama kaki;

Jika dalam segitiga mediannya adalah garis bagi atau tinggi, Itu

segitiga ini sama kaki;

Jika dalam segitiga tinggi adalah median atau garis bagi,

maka segitiga tersebut sama kaki.

64. Teorema. Ketimpangan segitiga. Panjang masing-masing sisi suatu segitiga lebih besar dari selisihnya dan lebih kecil dari jumlah panjang kedua sisi lainnya:

Sifat-sifat sudut pada segitiga siku-siku.

Jumlah dua sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah 90°.

A + B = 90°