Pengetahuan tentang konstruksi geometris dasar memungkinkan menggambar dengan benar dan cepat, memilih teknik yang paling rasional untuk setiap kasus.

2.1. Membagi suatu segmen menjadi bagian-bagian yang sama

Anda dapat membagi segmen menjadi dua menggunakan kompas dengan membuat median tegak lurus (Gbr. 18, a). Untuk melakukan ini, ambil jari-jari yang berukuran lebih dari setengah panjang segmen dan gambar busur lingkaran dari ujungnya di kedua sisi hingga keduanya berpotongan. Kita menggambar median tegak lurus melalui titik potong busur.

Untuk membagi menjadi sejumlah bagian yang sama kita menggunakan teorema Fa

perancah: jika ruas-ruas yang sama besar diletakkan pada salah satu sisi sudut dan ditarik garis lurus sejajar melalui ujung-ujungnya, maka ruas-ruas yang sama besar juga akan diletakkan pada sisi sudut yang lain (Gbr. 18, b). Di bawah pro-

gambarlah sinar bantu AC pada sudut sembarang terhadap segmen AB, di mana kita plot segmen dengan panjang sembarang sebanyak jumlah bagian yang perlu dibagi segmen tersebut. Kita menghubungkan ujung ruas terakhir ke titik B dan menggambar garis lurus sejajar BC melalui ujung ruas yang tersisa.

2.2. Membagi lingkaran menjadi sejumlah bagian yang sama

Kemampuan membagi lingkaran menjadi bagian-bagian yang sama diperlukan untuk membuat poligon beraturan. Mari kita bahas dulu teknik-teknik tertentu untuk membagi lingkaran.

Pembagian menjadi tiga bagian (Gbr. 19)

Kita letakkan kaki kompas pada salah satu ujung diameter lingkaran yang saling tegak lurus. Dengan menggunakan solusi kompas yang sama dengan jari-jari lingkaran, kami membuat takik di kedua sisi ujung diameter ini. Kami mendapatkan dua simpul dari segitiga beraturan. Titik sudut ketiga adalah ujung diameter yang berlawanan.

Pembagian menjadi empat bagian (Gbr. 20)

Dua diameter yang saling tegak lurus membagi lingkaran menjadi empat bagian yang sama besar. Jika ditarik garis lurus melalui pusat lingkaran dengan sudut 45ᵒ terhadap sumbunya, maka lingkaran tersebut juga akan membagi lingkaran menjadi empat bagian yang sama besar. Sisi-sisi persegi yang tertulis akan sejajar dengan sumbu lingkaran. Kedua persegi ini membagi lingkaran menjadi delapan bagian yang sama besar.

Dibagi menjadi lima bagian (Gbr. 21)

● 1 ). Dengan menggunakan bukaan kompas yang sama dengan jari-jarinya, kita membuat takik pada lingkaran. Kami mendapatkan poin 2.

● Dari titik 2 kita turunkan garis tegak lurus dengan diameter ujung pembuatan takik. Kami mendapatkan poin 3.

● Kami menempatkan kaki kompas pada titik tersebut 3. Ambil jari-jari yang sama dengan jarak dari titik 3 ke ujung diameter vertikal (titik 4), dan buatlah busur hingga berpotongan dengan diameter horizontal. Kami mendapatkan poin 5.

● Hubungkan titik 4 dan 5. Akord 4–5 akan menjadi 1/5 lingkaran.

● Kami mengukur panjang tali busur dengan kompas 4–5 dan mulai meletakkannya dari salah satu ujung diameter (tergantung pada bagaimana pentagon harus diorientasikan relatif terhadap sumbu). Diameter dari ujung mana kita mulai meletakkan segmen akan menjadi sumbu simetri gambar tersebut.

Disarankan untuk meletakkan potongan di kedua sisi sekaligus. Segmen yang tersisa harus tegak lurus terhadap sumbu simetri. Jika panjangnya tidak sama dengan panjang ruas-ruas yang tersisa, berarti konstruksinya dilakukan secara tidak akurat atau tali busur 4–5 diukur secara tidak akurat. Anda harus melakukan penyesuaian pada panjang segmen dan mengulangi pembagian lingkaran lagi.

Pembagian menjadi enam bagian (Gbr. 22)

Dengan menggunakan bukaan kompas yang sama dengan jari-jari lingkaran, kami membuat takik dari kedua ujung dengan diameter yang sama di kedua arah. Kami mendapatkan empat simpul dari segi enam beraturan. Dua simpul lainnya adalah ujung diameter tempat serif dibuat.

Pembagian menjadi tujuh bagian (Gbr. 23)

● Kami menempatkan kaki kompas di salah satu ujung diameter (titik 1). Dengan menggunakan solusi kompas yang sama dengan jari-jari lingkaran, kita membuat takik di atasnya. Kami mendapatkan poin 2.

● Dari titik 2 kita turunkan garis tegak lurus dengan diameter ujung pembuatan takik. Kami mendapatkan poin 3. Ruas 2–3 adalah 1/7 lingkaran.

● Kami mengukur panjang segmen dengan jangka sorong 2 -3 dan sisihkan secara berurutan dari kedua ujung diameter di kedua sisi sekaligus. Segmen terakhir harus tegak lurus dengan diameter ujung segmen yang mulai diletakkan. Diameter ini akan menjadi simetri segi tujuh yang tertulis.

Pembagian menjadi sepuluh bagian (Gbr. 24)

● Bagilah lingkaran menjadi 5 bagian, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 21. Kami mendapatkan segi lima biasa.

● Dari setiap titik segi lima kita menurunkan garis tegak lurus ke sisi yang berlawanan. Semuanya akan melewati pusat lingkaran dan membagi sisi serta busur yang membentuknya menjadi dua. Kami mendapatkan 5 simpul lagi.

Pembagian menjadi dua belas bagian (Gbr. 25)

Dengan menggunakan bukaan kompas yang sama dengan jari-jari lingkaran, kami membuat takik dari ujung kedua diameter di kedua sisinya.

Ada juga teknik umum untuk membagi lingkaran menjadi beberapa bagian. Mari kita pertimbangkan menggunakan contoh pembuatan segi enam beraturan (Gbr. 27).

● Kita menggambar dua diameter yang saling tegak lurus (horizontal dan vertikal).

● Kita membagi diameter yang kita inginkan untuk membuat sumbu simetri bangun tersebut menjadi beberapa bagian sesuai dengan jumlah lingkaran yang perlu dibagi. Pada Gambar. 27 diameter AB dibagi menjadi 9 bagian. Kami memberi nomor pada titik pembagian yang dihasilkan.

● Kami menempatkan kaki kompas pada titik tersebut Dan dengan jari-jari sama dengan diameter lingkaran, buatlah sebuah busur hingga berpotongan dengan kelanjutan diameter vertikal. Kami mendapatkan poin C.

● Titik C kita hubungkan melalui titik yang membagi diameter dan meneruskannya hingga berpotongan dengan busur lingkaran yang berlawanan di titik I, II, III, IV. Jika salah satu titik sudut segi enam adalah titik A, maka tariklah sinar-sinar melalui semua pembagian diameter yang genap (Gbr. 27, a). Jika titik B menjadi salah satu simpul, maka sinar-sinar tersebut harus ditarik melalui semua pembagian diameter ganjil (Gbr. 27, b).

● Kami menampilkan titik-titik yang dibangun secara simetris terhadap diameter horizontal. Kami mendapatkan sisa simpul dari gambar tersebut.

2.2.1. Tugas No.4. Membagi lingkaran

Tujuan: mempelajari teknik membagi lingkaran menjadi bagian-bagian yang sama.

Pada format A3, pada baris pertama, gambarlah poligon beraturan (tiga, empat, lima, enam, tujuh, dan sembilan gon), berbentuk lingkaran dengan diameter 60 mm. Lingkaran sebagai garis bantu harus tipis. Buat garis besar poligon dengan garis tebal.

SEGITIGA.

§ 28. KONSTRUKSI DENGAN KOMPAS DAN PENGUASA.

Sampai saat ini, dalam menyelesaikan soal konstruksi, kami menggunakan kompas, penggaris, gambar segitiga, dan busur derajat.

Sekarang mari kita selesaikan sejumlah masalah konstruksi hanya dengan menggunakan dua alat - kompas dan penggaris.

Tugas 1. Bagilah segmen ini menjadi dua.

Diberikan segmen AB, Anda perlu membaginya menjadi dua.

Larutan. Dengan radius lebih dari setengah segmen AB, kita gambarkan busur berpotongan dari titik A dan B, sebagai dari pusat (Gbr. 161). Melalui titik potong busur tersebut kita tarik garis lurus CD, yang akan memotong ruas AB di suatu titik K dan membaginya menjadi dua dengan titik ini: AK = KV.

Mari kita buktikan. Mari kita hubungkan titik A dan B dengan titik C dan D. /\ CAD = /\ SVD, karena konstruksi AC = CB, AD = BD, CD adalah sisi persekutuan.

Dari persamaan segitiga-segitiga ini dapat disimpulkan bahwa / ACK = / VSK, yaitu SK adalah garis bagi sudut di titik sudut segitiga sama kaki ASV. Dan garis bagi sudut di titik sudut segitiga sama kaki juga merupakan mediannya, yaitu garis lurus CD membagi ruas AB menjadi dua.

Tugas 2. Gambarlah garis tegak lurus terhadap suatu garis AB melalui titik O yang terletak pada garis tersebut.

Diberikan garis AB dan titik O yang terletak pada garis tersebut. Kita perlu menggambar garis tegak lurus terhadap garis AB yang melalui titik O.

Larutan. Mari kita gambarkan dua segmen yang sama besar OM dan ON pada garis AB dari titik O
(gambar 162). Dari titik M dan N, seperti dari pusat, kita akan menggambarkan dua busur dengan jari-jari yang sama, lebih besar dari OM. Titik potongnya K kita hubungkan dengan titik O. KO adalah median segitiga sama kaki MKN, maka KO_|_A B (§ 18).

Tugas 3. Gambarlah garis tegak lurus terhadap garis AB tertentu melalui titik C yang terletak di luar garis tersebut.

Diberikan garis AB dan titik C di luar garis tersebut, maka diperlukan garis tegak lurus terhadap garis AB yang melalui titik C.

Larutan. Dari titik C, seperti dari pusat, kita gambarkan busur dengan dius sedemikian rupa sehingga memotong garis lurus AB, misalnya di titik M dan N (Gbr. 163). Dari titik M dan N, seperti dari pusat, kita akan menggambarkan busur dengan jari-jari yang sama, lebih besar dari setengah MN. Kita hubungkan titik potongnya E dengan titik C dan dengan titik M dan N. Segitiga CME dan CNE sama panjang pada ketiga sisinya. Cara, / 1 = / 2 dan CE adalah garis bagi sudut C pada segitiga sama kaki MCN, sehingga tegak lurus terhadap garis lurus AB (§ 18).

Kontur semua gambar dibentuk oleh berbagai garis. Garis utama berupa garis lurus, lingkaran, dan rangkaian kurva. Saat menggambar kontur gambar, konstruksi geometris dan konjugasi digunakan.

Saat mempelajari disiplin “Geometri Deskriptif dan Grafik Teknik”, siswa harus mempelajari aturan dan urutan dalam melakukan konstruksi dan koneksi geometris.

Dalam hal ini, cara terbaik untuk memperoleh keterampilan konstruksi adalah melalui tugas menggambar kontur bagian-bagian yang kompleks.

Sebelum memulai tugas tes, Anda perlu mempelajari teknik melakukan konstruksi geometris dan koneksi sesuai dengan manual metodologi.

1. Pembagian ruas dan sudut

1.1. Membagi segmen menjadi dua

Bagilah segmen AB yang diberikan menjadi dua.

Dari ujung ruas AB, serta dari pusatnya, kita menggambar busur lingkaran dengan jari-jari R, yang ukurannya harus sedikit lebih besar dari setengah ruas AB (Gbr. 1). Busur-busur ini akan berpotongan di titik M dan N, carilah titik C di mana garis lurus AB dan MN berpotongan. Titik C akan membagi ruas AB menjadi dua bagian yang sama besar.

Catatan. Semua konstruksi yang diperlukan harus dan hanya dapat dilakukan dengan bantuan kompas dan penggaris (tanpa pembagian).

1.2. Membagi suatu segmen menjadi n bagian yang sama

Bagilah segmen tertentu menjadi n bagian yang sama.

Dari ujung ruas - titik A, kita akan menggambar sinar bantu dengan sudut sembarang α (Gbr. 2 a) Pada sinar ini kita akan meletakkan 4 segmen yang sama panjang sembarang (Gbr. 2b). Ujung ruas terakhir, keempat (titik 4) dihubungkan ke titik B. Selanjutnya, dari semua titik sebelumnya 1...3, kita tarik ruas-ruas tersebut sejajar dengan ruas B4 hingga berpotongan dengan ruas AB di titik 1", 2 ", 3". Titik yang diperoleh membagi segmen menjadi empat segmen yang sama

1.3. Membagi sudut menjadi dua

Bagilah sudut BAC yang diberikan menjadi dua.

Dari titik sudut A, kita menggambar busur dengan jari-jari sembarang sampai berpotongan dengan sisi-sisi sudut di titik B dan C (Gbr. 3 a). Kemudian dari titik B dan C kita tarik dua buah busur yang jari-jarinya lebih dari setengah jarak BC sampai berpotongan di titik D (Gbr. 3 b). Dengan menghubungkan titik A dan D dengan sebuah garis lurus, kita memperoleh garis bagi sudut yang membagi sudut tersebut menjadi dua (Gbr. 3 c)

a) b) c)

2. Membagi lingkaran menjadi bagian-bagian yang sama dan membuat poligon beraturan

2.1. Membagi lingkaran menjadi tiga bagian yang sama besar

Dari ujung diameter, misalnya titik A (Gbr. 4), gambarlah busur dengan jari-jari R sama dengan jari-jari lingkaran tertentu. Diperoleh pembagian pertama dan kedua - titik 1 dan 2. Pembagian ketiga, titik 3, terletak di ujung berlawanan dengan diameter yang sama. Dengan menghubungkan titik 1,2,3 dengan tali busur, diperoleh segitiga bertulisan beraturan.

2.2. Membagi lingkaran menjadi enam bagian yang sama besar

Dari ujung dengan diameter berapa pun, misalnya AB (Gbr. 5), digambarkan busur berjari-jari R. Titik A, 1,3,B,4,2 membagi lingkaran menjadi enam bagian yang sama besar. Dengan menghubungkannya dengan akord, diperoleh segi enam bertulisan beraturan.

Catatan. Busur bantu tidak boleh digambar seluruhnya; cukup membuat takik pada lingkaran.

2.3. Membagi sebuah lingkaran menjadi lima bagian yang sama besar

Digambar dua diameter AB dan CD yang saling tegak lurus (Gbr. 6). Jari-jari OS di titik O 1 terbagi dua.
Dari titik O1, dari pusat, buatlah busur berjari-jari O1A hingga berpotongan dengan diameter CD di titik E.
Ruas AE sama dengan sisi segi lima beraturan, dan ruas OE sama dengan sisi segi lima beraturan.
Dengan mengambil titik A sebagai pusat, busur berjari-jari R1 = AE menandai titik 1 dan 4 pada lingkaran. Dari titik 1 dan 4, seperti dari pusat, busur berjari-jari sama R1 menandai titik 3 dan 2. Titik A, 1, 2, 3, 4 bagilah lingkaran menjadi lima bagian yang sama besar.

2.4. Membagi sebuah lingkaran menjadi tujuh bagian yang sama besar

Dari ujung diameter, misalnya titik A, gambarlah busur dengan jari-jari R sama dengan jari-jari lingkaran (Gbr. 7). Tali busur CD sama dengan sisi segitiga beraturan. Setengah dari akord CD, dengan perkiraan yang memadai, sama dengan sisi segi tujuh bertulisan beraturan, yaitu. membagi lingkaran menjadi tujuh bagian yang sama besar.

Beras. 7

Literatur

Bogolyubov S.K. Grafik teknik: Buku teks untuk lembaga pendidikan khusus menengah. – edisi ke-3, putaran. Dan tambahan - M.: Teknik Mesin, 2006. – hal.392: sakit.
Kuprikov M.Yu. Grafik teknik: buku teks untuk lembaga pendidikan menengah - M.: Bustard, 2010 - 495 hal.: sakit.
Fedorenko V.A., Shoshin A.I. Buku Pegangan Gambar Teknik Mesin L.: Teknik Mesin. 1976.336 hal.

Penuh arti; agar segitiga-segitiga itu sama besar pada kedua sisinya dan besar sudut di antara keduanya, kita dapat menggunakan kompas dan penggaris untuk membagi ruas ini menjadi dua bagian yang sama besar.

Misalnya, jika Anda perlu membagi segmen menjadi dua A B(Gbr. 69), lalu letakkan ujung kompas pada titik-titik tersebut A dan B dan Mereka menggambarkan di sekelilingnya, seolah-olah di dekat pusat, dua busur berpotongan dengan radius yang sama (Gbr. 70). Titik persimpangan mereka DENGAN Dan D dihubungkan oleh sebuah garis lurus, yang mana AB menjadi dua: JSC= OB.

Untuk memastikan bahwa segmen JSC Dan OB harus sama, hubungkan titik-titiknya C Dan D dengan tujuan A Dan DI DALAM segmen (Gbr. 71). Anda akan mendapatkan dua segitiga ACD Dan BCD, yang ketiga sisinya masing-masing sama besar: AC= Matahari; IKLAN= BD; CD – umum, yaitu milik kedua segitiga. Ini menyiratkan persamaan lengkap dari segitiga-segitiga ini, dan karenanya persamaan semua sudut. Jadi, sudut-sudutnya sama besar ACD Dan BCD. Sekarang bandingkan segitiganya ASO Dan VSO, kita melihat bahwa mereka memiliki sisi sistem operasi – umum, AC= CB, dan sudut di antara keduanya ASO = jelek. VSO. Segitiga-segitiga itu sama panjang pada kedua sisinya dan sudut di antara keduanya; oleh karena itu sisi-sisinya sama besar JSC Dan OB, yaitu titik TENTANG ada titik tengah AB.

§ 22. Cara membuat segitiga dengan menggunakan satu sisi dan dua sudut

Terakhir, perhatikan masalah yang solusinya mengarah pada konstruksi segitiga menggunakan satu sisi dan dua sudut:

Di seberang sungai (Gbr. 72) terlihat sebuah tonggak sejarah A. Tanpa menyeberangi sungai, diperlukan untuk mengetahui jaraknya dari tonggak sejarah DI DALAM di pantai ini.

Ayo lakukan ini. Mari kita ukur dari titiknya DI DALAM jarak berapa pun dalam garis lurus Matahari dan di ujungnya DI DALAM Dan DENGAN Mari kita ukur sudut 1 dan 2 (Gbr. 73). Jika sekarang kita mengukur jarak pada area yang nyaman DE, setara Matahari, dan bangun sudut di ujungnya A Dan B(Gbr. 74), sama dengan sudut 1 dan 2, maka pada titik potong sisi-sisinya kita peroleh titik sudut ketiga F segi tiga DEF. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa segitiga DEF sama dengan segitiga ABC; memang kalau kita bayangkan itu segitiga DEF ditumpangkan pada ABC jadi sisi itu DE bertepatan dengan sisi yang sama Matahari, lalu ug. A akan bertepatan dengan sudut 1, sudut B - dengan sudut 2, dan samping DF akan pergi ke samping VA, dan samping EF di sisi SA. Karena dua garis hanya dapat berpotongan di satu titik, maka titik sudutnya F harus bertepatan dengan bagian atas A. Jadi jaraknya DF sama dengan jarak yang dibutuhkan VA.

Masalahnya, seperti yang kita lihat, hanya memiliki satu solusi. Secara umum, dengan menggunakan satu sisi dan dua sudut yang berdekatan pada sisi tersebut, hanya satu segitiga yang dapat dibuat; Tidak mungkin ada segitiga lain yang sisinya sama dan dua sudut yang berdekatan di tempat yang sama. Semua segitiga yang mempunyai satu sisi identik dan dua sudut identik berdekatan di tempat yang sama dapat dijadikan kebetulan sempurna melalui superposisi. Artinya, ini adalah tanda yang dengannya persamaan segitiga dapat ditetapkan sepenuhnya.

Bersama dengan tanda-tanda persamaan segitiga yang telah ditetapkan sebelumnya, sekarang kita mengetahui tiga hal berikut:

Segitiga:

di tiga sisi;

di kedua sisi dan di sudut antara keduanya;

di samping dan dua sisi.

Agar singkatnya, selanjutnya kita akan menyatakan ketiga kasus persamaan segitiga tersebut sebagai berikut:

di tiga sisi: SSS;

pada dua sisi dan sudut antara keduanya: SUS;

sepanjang sisi dan dua sudut: USU.

Aplikasi

14. Untuk mengetahui jarak suatu titik A di seberang sungai dari titik tersebut DI DALAM di tepian ini (Gbr. 5), ukur beberapa garis dalam garis lurus matahari, lalu pada titik DI DALAM buatlah sudut yang sama dengan ABC, di sisi lain Matahari, dan pada intinya DENGAN- dengan cara yang sama, sudutnya sama dengan DIA Jarak titik D perpotongan sisi kedua sisi sudut terhadap suatu titik DI DALAM sama dengan jarak yang dibutuhkan AB. Mengapa?

Solusi: Segitiga ABC Dan BDC sama di satu sisi ( Matahari) dan dua sudut (ang. DCB= jelek. DIA; jelek. DBC= jelek. ABC.) Karena itu, AB= ВD, sebagai sisi-sisi yang terletak pada segitiga sama besar terhadap sudut yang sama besar.

§ 23. Jajar genjang

Dari segitiga kita beralih ke segiempat, yaitu bangun datar yang dibatasi oleh 4 sisi. Contoh segi empat adalah persegi - segi empat yang semua sisinya sama besar dan semua sudutnya siku-siku (Gbr. 76). Jenis segi empat lainnya yang juga sering dijumpai adalah persegi panjang:

Ini adalah nama segi empat yang memiliki 4 sudut siku-siku (Gbr. 77 dan 78). Persegi juga merupakan persegi panjang, tetapi sisi-sisinya sama panjang.

Keunikan persegi panjang (dan persegi) adalah kedua pasang sisi yang berhadapan sejajar. Dalam persegi panjang ABCD, misalnya (Gbr. 78), AB paralel DC, A IKLAN paralel Matahari. Hal ini mengikuti fakta bahwa kedua sisi yang berhadapan tegak lurus terhadap garis yang sama, dan kita mengetahui bahwa dua garis tegak lurus terhadap satu garis sejajar satu sama lain (§ 16).

Sifat lain setiap persegi panjang adalah sisi-sisi yang berhadapan sama besar. Anda dapat memverifikasi ini jika Anda menghubungkan titik-titik yang berlawanan dari persegi panjang dengan garis lurus, yaitu menggambar diagonal di dalamnya. Menghubungkan A Dengan DENGAN(Digambar 79) kita mendapatkan dua segitiga ABC Dan ADC. Mudah untuk menunjukkan bahwa segitiga-segitiga ini sama besar: sisi AC – total, ug. 1 = sudut 2, karena ini adalah sudut bersilangan dengan sejajar AB Dan CD untuk alasan yang sama, sudut 3 dan 4 sama besar ABC Dan ACD setara; maka dari itu sisinya AB= samping DC, dan samping IKLAN= samping Matahari.

Segi empat yang, seperti persegi panjang, sisi-sisi yang berhadapan sejajar disebut jajaran genjang. Brengsek. 80 menunjukkan contoh jajaran genjang: AB paralel DC, A IKLAN paralel SM. Sial.80

Persegi panjang merupakan salah satu jajar genjang, yaitu jajar genjang yang semua sudutnya siku-siku. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa setiap jajaran genjang memiliki sifat-sifat berikut:

SUDUT BERLAWANAN TATA BAHASA PARALEL SAMA; SISI BERLAWANAN

P a r l l e l o g r amer av yn s.

Untuk memverifikasi ini, mari kita menggambar jajar genjang ABCD(Gbr. 81) lurus ВD(diagonal) dan bandingkan segitiga ABD Dan VDC. Segitiga-segitiga ini sama besar (kasus USU): BD– sisi umum; jelek. 1 = sudut 2, sudut 3 = sudut 4 (mengapa?). Properti yang tercantum sebelumnya mengikuti dari ini.

Jajargenjang yang empat sisinya sama panjang disebut belah ketupat.

Ulangi pertanyaan

Bentuk apa yang disebut persegi? Persegi panjang? – Apa yang disebut diagonal? – Bangun apa yang disebut jajar genjang? Berlian? – Tunjukkan sifat-sifat sudut dan sisi jajar genjang. – Persegi panjang manakah yang disebut persegi? – Jajargenjang manakah yang disebut persegi panjang? – Apa persamaan dan perbedaan persegi dan belah ketupat.

Untuk memastikan bahwa segmen JSC Dan OB harus sama, hubungkan titik-titiknya C Dan D dengan tujuan A Dan DI DALAM segmen (Gbr. 71). Anda akan mendapatkan dua segitiga ACD Dan BCD, yang ketiga sisinya masing-masing sama besar: AC= Matahari; IKLAN = BD; CD – umum, yaitu milik kedua segitiga. Ini menyiratkan persamaan lengkap dari segitiga-segitiga ini, dan karenanya persamaan semua sudut. Jadi, sudut-sudutnya sama besar ACD Dan BCD. Sekarang bandingkan segitiganya ASO Dan VSO, kita melihat bahwa mereka memiliki sisi sistem operasi – umum, AC = CB, dan sudut di antara keduanya ASO = jelek. VSO. Segitiga-segitiga itu sama panjang pada kedua sisinya dan sudut di antara keduanya; oleh karena itu sisi-sisinya sama besar JSC Dan OB, yaitu titik TENTANG ada titik tengah AB.

Cara membuat segitiga dengan menggunakan satu sisi dan dua sudut

Terakhir, perhatikan masalah yang solusinya mengarah pada konstruksi segitiga menggunakan satu sisi dan dua sudut:

Di seberang sungai (Gbr. 72) terlihat sebuah tonggak sejarah A. Tanpa menyeberangi sungai, diperlukan untuk mengetahui jaraknya dari tonggak sejarah DI DALAM di pantai ini.

Bersama dengan tanda-tanda persamaan segitiga yang telah ditetapkan sebelumnya, sekarang kita mengetahui tiga hal berikut:

Segitiga:

di tiga sisi;

di kedua sisi dan di sudut antara keduanya;

di samping dan dua sisi.

Agar singkatnya, selanjutnya kita akan menyatakan ketiga kasus persamaan segitiga tersebut sebagai berikut:

di tiga sisi: SSS;

pada dua sisi dan sudut antara keduanya: SUS;

sepanjang sisi dan dua sudut: USU.

Aplikasi

Jajar genjang

Ini adalah nama segi empat yang memiliki 4 sudut siku-siku (Gbr. 77 dan 78). Persegi juga merupakan persegi panjang, tetapi sisi-sisinya sama panjang.

Segi empat yang, seperti persegi panjang, sisi-sisi yang berhadapan sejajar disebut jajaran genjang. Brengsek. 80 menunjukkan contoh jajaran genjang: AB paralel DC, A IKLAN paralel SM. Sial.80

Persegi panjang merupakan salah satu jajar genjang, yaitu jajar genjang yang semua sudutnya siku-siku. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa setiap jajaran genjang memiliki sifat-sifat berikut:

SUDUT BERLAWANAN TATA BAHASA PARALEL SAMA; SISI BERLAWANAN

P a r l l e l o g r amer av yn s.

Jajargenjang yang empat sisinya sama panjang disebut belah ketupat.

Ulangi pertanyaan

Aplikasi

15. Sebuah persegi digambar seperti ini: setelah menyisihkan salah satu sisinya, gambarlah garis tegak lurus pada ujungnya, beri panjang yang sama pada sisi tersebut dan hubungkan ujung-ujungnya dengan garis lurus (Gambar 82). Bagaimana kamu dapat yakin bahwa keempat sisi suatu segiempat yang digambar sama dengan ketiga sisi lainnya dan semua sudutnya siku-siku?

Solusinya, jika formasinya dilakukan sedemikian rupa sehingga ke samping AB di poin A Dan DI DALAM tegak lurus digambar di mana diletakkan: AC = AB Dan DВ= AB, maka tinggal membuktikan bahwa sudutnya DENGAN Dan D lurus dan apa CD sama AB. Untuk melakukan ini, mari kita menggambar (Gbr. 83) sebuah diagonal IKLAN. Ugh. CAD = A.D.B. sesuai (untuk yang paralel yang mana?); AC= DB, dan karena itu segitiga CAD Dan BURUK setara (berdasarkan SUS). Dari sini kami menyimpulkan itu CD = AB dan jelek. C = sudut kanan DI DALAM. Cara membuktikannya adalah sudut keempat CDB apakah itu juga lurus?

16. Bagaimana cara menggambar persegi panjang? Mengapa bangun datar yang digambar dapat disebut persegi panjang? (Tunjukkan bahwa semua sudut pada gambar yang digambar siku-siku).

Penyelesaiannya mirip dengan penyelesaian masalah sebelumnya.

17. Buktikan kedua diagonal persegi panjang itu sama besar.

Penyelesaiannya (Gbr. 84) mengikuti persamaan segitiga ABC Dan ABD(berdasarkan SUS).

18. Buktikan bahwa diagonal-diagonal jajar genjang saling membagi dua.

Solusi: Membandingkan (Gbr. 85) segitiga HAI Dan DCO, kami memastikan bahwa mereka setara (berdasarkan USU). Dari sini JSC= OS, 0V= OD.

19. Panjang garis tegak lurus persekutuan antara dua garis sejajar disebut jarak antara keduanya. Buktikan bahwa jarak antar garis sejajar di semua tempat adalah sama.

Petunjuk: Bentuk manakah yang dibentuk oleh garis sejajar yang mempunyai dua garis tegak lurus di antara keduanya?

IV. PENGUKURAN WILAYAH

Ukuran persegi. Palet

Dalam gambar, seringkali perlu untuk mengukur tidak hanya panjang garis dan sudut di antara keduanya, tetapi juga ukuran area yang dicakupnya - yaitu luasnya. Dalam satuan apa luas diukur? Panjang tertentu (meter, sentimeter) diambil sebagai ukuran panjang, dan sudut tertentu (1°) diambil sebagai ukuran sudut; luas tertentu diambil sebagai ukuran luas, yaitu luas persegi yang panjang sisinya 1 meter, 1 cm, dst. Persegi seperti itu disebut “meter persegi”, “sentimeter persegi”, dan seterusnya. mengukur suatu luas artinya mengetahui berapa banyak satuan ukuran persegi yang terdapat di dalamnya.

Apabila luas yang diukur tidak besar (muat pada selembar kertas), maka dapat diukur sebagai berikut. Kertas transparan dipotong kotak sentimeter dan ditempelkan pada gambar yang diukur. Maka tidak sulit untuk menghitung secara langsung berapa sentimeter persegi yang terdapat dalam batas-batas gambar tersebut. Dalam hal ini, kotak-kotak yang tidak lengkap di dekat perbatasan diambil (dengan mata) menjadi setengah persegi, seperempat persegi, dll., atau secara mental menghubungkannya beberapa sekaligus menjadi seluruh kotak. Kertas transparan yang dibuat grafiknya dengan cara ini disebut palet. Cara ini sering digunakan untuk mengukur luas daerah yang tidak beraturan pada suatu denah.

Namun tidak selalu mungkin atau mudah untuk menerapkan jaringan kotak pada angka yang diukur. Misalnya, tidak mungkin mengukur luas suatu lantai atau sebidang tanah dengan cara seperti itu. Dalam kasus seperti itu, alih-alih mengukur luas secara langsung, mereka menggunakan cara yang tidak menyenangkan, yaitu hanya mengukur panjang beberapa bangun linier dan melakukan tindakan tertentu pada bilangan yang dihasilkan. Nanti kami akan menunjukkan bagaimana hal ini dilakukan.

Ulangi pertanyaan

Ukuran apa yang digunakan untuk menentukan luas bangun? – Apa itu palet dan bagaimana cara menggunakannya?

Luas persegi panjang

Misalkan Anda perlu menentukan luas suatu persegi panjang, misalnya, ABDC(gambar 86). Diukur dengan satuan linier, mis. meter, panjang bagian ini. Misalkan satu meter dibentangkan 5 kali panjangnya. Mari kita bagi luasnya menjadi garis melintang selebar satu meter, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 87. Ternyata garis seperti itu akan ada 5. Selanjutnya kita ukur lebar luasnya dengan satu meter; biar sama dengan 3 meter. Kami akan membagi area tersebut menjadi garis memanjang selebar 1 meter, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 88; tentu saja, akan ada 3 buah. Masing-masing dari lima garis melintang akan dipotong menjadi 3 meter persegi, dan seluruh plot akan dibagi menjadi 5 x 3 = 15 kotak dengan sisi 1 meter: kita mengetahui bahwa plot tersebut berisi 15 meter persegi. meter. Namun kita bisa mendapatkan angka 15 yang sama tanpa memplot luasnya, melainkan hanya dengan mengalikan panjangnya dengan lebarnya. Jadi, untuk mengetahui berapa meter persegi luas suatu persegi panjang, Anda perlu mengukur panjangnya, lebarnya, dan mengalikan kedua angka tersebut.

Dalam kasus yang dipertimbangkan, satuan panjang - meter - ditempatkan di kedua sisi persegi panjang beberapa kali bilangan bulat. Buku teks matematika yang terperinci membuktikan bahwa aturan yang sekarang ditetapkan juga benar jika sisi-sisi persegi panjang tidak memuat bilangan bulat satuan panjang. Dalam semua kasus:

Luas daerah persegi panjang

hasil kali panjang dan lebar,

atau, seperti yang mereka katakan, dalam geometri, – itu

“dasar” pada “tinggi”.

Jika panjang alas suatu persegi panjang ditunjukkan dengan huruf A, dan panjang tingginya adalah huruf B, lalu wilayahnya S sama dengan

S = sebuah? B,

atau hanya S = ab, karena tanda perkalian tidak ditempatkan di antara huruf-hurufnya.

Sangat mudah untuk memahami bahwa untuk menentukan luas persegi, Anda perlu mengalikan panjang sisinya dengan dirinya sendiri, yaitu “menaikkannya dengan persegi”. Dengan kata lain:

Luas persegi sama dengan sisi persegi. Jika panjang sisi suatu persegi A, lalu wilayahnya S sama dengan

S= A? A = A 2.

Dengan mengetahui hal ini, kita dapat menetapkan hubungan antara berbagai satuan persegi. Misalnya, satu meter persegi berisi desimeter persegi 10 X 10, yaitu 100, dan sentimeter persegi 100 X 100, yaitu 10.000 - karena sentimeter linier muat di sisi desimeter persegi 10 kali, dan meter persegi - 100 kali.

Untuk mengukur bidang tanah, ukuran khusus digunakan - hektar, berisi 10.000 meter persegi. Sebidang tanah berbentuk persegi dengan panjang sisi 100 meter mempunyai luas 1 hektar; sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan ukuran alas 200 meter dan tinggi 150 meter, mempunyai luas 200 x 150 yaitu 30.000 meter persegi. m atau 3 hektar. Wilayah yang luas - seperti kabupaten dan distrik - diukur

KILOMETER KOTAK.

Sebutan singkat untuk ukuran persegi adalah:

persegi meter………………………………. persegi. m atau m2

persegi desimeter…………………………. persegi. dm atau dm2

persegi sentimeter………………………… persegi. cm atau cm2

persegi milimeter………………….. persegi. mm atau mm2

hektar……………………………..ha

Ulangi pertanyaan

Bagaimana cara menghitung luas persegi panjang? Persegi? - Berapa luas persegi. cm ke persegi. M? Berapa luas persegi. mm dalam persegi. M? – Berapa hektar? – Berapa hektar dalam satu persegi? km? Apa singkatan dari ukuran persegi?

Aplikasi

20. Diperlukan untuk mengecat interior ruangan seperti yang ditunjukkan pada gambar. 6. Dimensi ditunjukkan dalam meter. Berapa banyak bahan dan tenaga kerja yang diperlukan untuk itu, jika diketahui untuk mengecat satu meter persegi? meter lantai kayu dengan dempul retakan dan cabang di atas yang dicat sebelumnya, untuk dua orang, diperlukan (menurut Peraturan Mendesak):

Malyarov…………………………….. 0,044

Minyak pengering, kilogram……………….… 0,18

Oker muda, kg…………………………… 0;099

Dempul, kg……………………………0,00225

Batu apung, kg…………………………….. 0,0009.

Penyelesaian: Luas lantainya 8? 12 = 96 persegi. M.

Konsumsi bahan dan tenaga kerja adalah sebagai berikut

Malyarov........ 0,044? 96 = 4.2

Mengeringkan minyak......0,18? 96= 17kg

Oker......... 0,099? 96 – 9,9kg

Dempul......0,00225? 96 = 0,22kg

Batu apung.........0,0009? 96 = 0,09kg.

21. Buatlah pernyataan konsumsi tenaga kerja dan bahan untuk wallpapering ruangan sebelumnya. tugas. Untuk menutupi dinding dengan wallpaper sederhana dengan pembatas, diperlukan (sesuai dengan peraturan setempat) per meter persegi. meter:

Pelukis atau tukang pelapis………………… 0,044

Kertas dinding (lebar 44 cm) potongan………………… 0.264

Pinggir jalan (menurut perhitungan)

Gram pati…………………………. 90.

Solusi - sesuai dengan contoh yang ditunjukkan pada soal sebelumnya. Kami hanya mencatat bahwa ketika menghitung jumlah wallpaper yang diperlukan, dalam praktiknya, bukaan dinding tidak dikurangi dari luasnya (karena saat memasang gambar di panel yang berdekatan, sebagian wallpaper hilang).

Luas segitiga

Mari kita simak dulu cara menghitung luas segitiga siku-siku. Misalkan kita perlu menentukan luas segitiga ABC(Gbr. 89), di mana sudutnya DI DALAM- lurus. Mari membawa Anda melewati puncaknya A Dan DENGAN garis lurus yang sejajar dengan sisi yang berhadapan. Kami mendapatkan (Gbr. 90) sebuah persegi panjang ABCD(mengapa gambar ini berbentuk persegi panjang?), yang dibagi dengan diagonal AC menjadi dua segitiga sama kaki (mengapa?). Luas persegi panjang tersebut adalah Ah; luas segitiga kita adalah setengah luas persegi panjang, yaitu sama dengan 1/2 Ah. Jadi, luas setiap segitiga siku-siku sama dengan setengah hasil kali sisi-sisinya yang membentuk sudut siku-siku.

Misalkan sekarang Anda perlu menentukan luas segitiga miring (yaitu, bukan persegi panjang) - misalnya. ABC(gambar 91). Kami menggambar garis tegak lurus melalui salah satu simpulnya ke sisi yang berlawanan; garis tegak lurus tersebut disebut tinggi segitiga tersebut, dan sisi yang ditariknya disebut alas segitiga. Mari kita nyatakan tingginya dengan H, dan segmen yang membagi alasnya adalah P Dan Q. Luas segitiga siku-siku ABD, seperti yang sudah kita ketahui, sama dengan 1/2 ph; persegi VDC = 1/2 qh. Persegi S segi tiga ABC sama dengan jumlah luas berikut: S= 1/2 ph + 1/2 qh = 1/2 H (R+ Q). Tetapi R+ q = sebuah; karena itu S = 1/2 Ah.

Alasan ini tidak dapat langsung diterapkan pada segitiga yang sudut tumpulnya (Gbr. 92), karena tegak lurus CD tidak bertemu dengan alasnya. AB, dan kelanjutannya. Dalam hal ini, kita harus berpikir secara berbeda. Mari kita tunjukkan segmennya IKLAN melalui hal, BD- melalui, Q, jadi dasarnya A segitiga itu sama besar P – Q. Luas segitiga kita ABC sama dengan selisih luas dua segitiga ADC – BDC = 1/2 ph – 1/2 qh = 1/2 H (P – Q) = 1/2 Ah.

Jadi, dalam semua kasus, luas segitiga sama dengan setengah hasil kali salah satu alasnya dan tingginya.

Oleh karena itu, segitiga-segitiga yang alas dan tingginya sama mempunyai luas yang sama, atau, seperti yang mereka katakan,

sama.

Secara umum, bangun-bangun yang mempunyai luas yang sama disebut berukuran sama, meskipun bangun-bangun itu sendiri tidak sama (artinya, bangun-bangun tersebut tidak berhimpitan ketika ditumpangkan).

Ulangi pertanyaan

Ketinggian segitiga disebut? Alas segitiga? – Berapa banyak ketinggian yang dapat ditarik dalam satu segitiga? – Gambarlah sebuah segitiga dengan sudut tumpul dan gambarlah semua tingginya. – Bagaimana cara menghitung luas segitiga? Bagaimana cara mengungkapkan aturan ini dalam rumus? – Angka apa yang disebut sama besarnya?

Aplikasi

22. Kebun sayur berbentuk segitiga dengan alas 13,4 m dan tinggi 37,2 m... Berapa banyak benih (berdasarkan berat) yang diperlukan untuk menanam kubis, jika per persegi. m apakah 0,5 gram biji?

Penyelesaian: Luas kebun sayurnya 13,4? 37,2 = 498 persegi. M.

Kamu membutuhkan 250 gr biji benih.

23. Jajargenjang dibagi diagonal-diagonalnya menjadi 4 bagian berbentuk segitiga. Manakah yang mempunyai luas terluas?

Penyelesaian Keempat segitiga tersebut berukuran sama karena alas dan tingginya sama.

Luas jajar genjang

Aturan untuk menghitung luas jajar genjang dibuat dengan sangat sederhana jika Anda membaginya dengan diagonal menjadi dua segitiga. Misalnya luas jajar genjang ABCD(Gbr. 93) sama dengan dua kali luas masing-masing dua segitiga sama besar yang dibagi dengan diagonalnya AC. Menandai alas segitiga ADC melalui A, dan tinggi yang dilalui H, kita mendapatkan luasnya S genjang

Tegak lurus H disebut “tinggi jajar genjang”, dan sisinya A, yang digambarnya - "dasar jajaran genjang". Oleh karena itu, aturan yang sekarang ditetapkan dapat dirumuskan sebagai berikut:

Luas jajaran genjang sama dengan hasil kali ketinggian baru.

Ulangi pertanyaan

Berapakah alas dan tinggi jajar genjang? Bagaimana cara menghitung luas jajar genjang? – Nyatakan aturan ini dalam rumus. – Berapa kali luas jajar genjang lebih besar dari luas segitiga yang alas dan tingginya sama? – Jika tinggi dan alasnya sama, bangun manakah yang mempunyai luas terbesar: persegi panjang atau jajar genjang?

Aplikasi

24. Sebuah persegi yang panjang sisinya 12,4 cm sama besarnya dengan jajar genjang yang tingginya 8,8 cm.

Penyelesaian. Luas persegi ini, dan juga jajar genjang, adalah 12,42 = 154 meter persegi. cm Alas yang dibutuhkan adalah 154 : 8,8 = 18 cm.

Luas trapesium

Selain jajar genjang, mari kita perhatikan jenis segi empat lainnya - yaitu segi empat yang hanya mempunyai sepasang sisi sejajar (Gbr. 94). Bentuk seperti ini disebut trapesium. Sisi-sisi yang sejajar pada trapesium disebut alasnya, dan sisi-sisi yang tidak sejajar disebut sisi-sisinya.

Omong kosong. 94 Sial. 95

Mari kita tetapkan aturan untuk menghitung luas trapesium. Misalkan kita perlu menghitung luas trapesium ABCD(Gbr. 95), yang panjang alasnya A Dan B. Mari menggambar diagonal AC, yang memotong trapesium menjadi dua segitiga ACD Dan ABC. Kami tahu itu

daerah ACD = 1/2 Ah

daerah ABC = 1/2 bh.

daerah ABCD= 1/2 Ah+ 1/2 bh= 1/2 (A+ B) H.

Sejak jaraknya H antara alas trapesium disebut tingginya, maka aturan menghitung luas trapesium dapat dinyatakan sebagai berikut:

Luas trapesium sama dengan setengah jumlah dikalikan dan di dalam kamu dengan sekitar t di.

Ulangi pertanyaan

Bentuk apa yang disebut trapesium? Berapakah alas trapesium, sisi-sisinya, dan tingginya? – Bagaimana cara menghitung luas trapesium?

Aplikasi

25. Suatu ruas jalan berbentuk trapesium dengan panjang alas 180 m dan 170 m serta tinggi 8,5 m. Berapa banyak balok kayu yang diperlukan untuk memasangnya, jika per m persegi. m ada 48 buah catur?

Penyelesaian. Luas tanah tersebut adalah 8,5 H = (180 + 170)/ 2 = 1490 m2. m.Jumlah catur = 72.000.

26. Kemiringan atap berbentuk trapesium, alasnya 23,6 m dan 19,8 m, dan tingginya 8,2 m. Berapa banyak bahan dan tenaga yang diperlukan untuk menutupnya, jika per meter persegi. saya diperlukan:

Lembaran besi...... 1.23

Paku atap kg.... 0,032

Minyak pengering kg........0.036

Tukang Atap...... 0,45.

Penyelesaian: Apakah luas lerengnya sama dengan 8,2? (23,6 + 19,8)/ 2 = 178 persegi. m. Tetap mengalikan semua angka di tablet dengan 178.