Solusi dengan teorema Gauss. Kejahatan utama seorang guru matematika

Salah satu metode universal dan efektif untuk menyelesaikan sistem aljabar linier adalah metode Gaussian , terdiri dari penghapusan berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui.

Ingatlah bahwa kedua sistem tersebut disebut setara (setara) jika himpunan penyelesaiannya sama. Dengan kata lain, suatu sistem dikatakan ekuivalen jika setiap solusi dari salah satu sistem tersebut merupakan solusi dari sistem lainnya dan sebaliknya. Sistem yang setara diperoleh ketika transformasi dasar persamaan sistem:

mengalikan kedua ruas persamaan dengan angka selain nol;

menambahkan ke suatu persamaan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan lain, dikalikan dengan bilangan selain nol;

menata ulang dua persamaan.

Biarkan sistem persamaan diberikan

Proses penyelesaian sistem ini dengan metode Gaussian terdiri dari dua tahap. Pada tahap pertama (gerakan lurus), sistem, dengan menggunakan transformasi dasar, direduksi menjadi bertahap , atau segitiga bentuk, dan pada tahap kedua (kebalikan) dilakukan penentuan secara berurutan, dimulai dari bilangan variabel terakhir, yang belum diketahui dari sistem bertahap yang dihasilkan.

Mari kita asumsikan koefisien sistem ini
, jika tidak, dalam sistem, baris pertama dapat ditukar dengan baris lainnya sehingga koefisiennya adalah berbeda dari nol.

Mari kita ubah sistem dengan menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui dalam semua persamaan kecuali yang pertama. Caranya, kalikan kedua ruas persamaan pertama dengan dan tambahkan suku demi suku dengan persamaan kedua sistem. Kemudian kalikan kedua ruas persamaan pertama dengan dan menambahkannya ke persamaan ketiga sistem. Melanjutkan proses ini, kami memperoleh sistem yang setara

Di Sini
– nilai koefisien dan suku bebas baru yang diperoleh setelah langkah pertama.

Begitu pula dengan mempertimbangkan unsur utamanya
, kecualikan yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, kecuali persamaan pertama dan kedua. Mari kita lanjutkan proses ini selama mungkin, dan sebagai hasilnya kita akan mendapatkan sistem bertahap

,

Di mana ,
,…,– elemen utama sistem
.

Jika, dalam proses mereduksi sistem ke bentuk bertahap, muncul persamaan, yaitu persamaan bentuk
, mereka dibuang karena dipenuhi oleh kumpulan angka mana pun
.
Jika di

Selama langkah mundur, hal pertama yang tidak diketahui dinyatakan dari persamaan terakhir sistem langkah yang ditransformasikan melalui semua hal yang tidak diketahui lainnya
yang disebut bebas . Kemudian ekspresi variabel dari persamaan terakhir sistem disubstitusikan ke persamaan kedua dari belakang dan variabel dinyatakan dari persamaan tersebut
. Variabel didefinisikan secara berurutan dengan cara yang sama
. Variabel
, yang dinyatakan melalui variabel bebas, disebut dasar (bergantung). Hasilnya adalah solusi umum sistem persamaan linear.

Untuk menemukan solusi pribadi sistem, gratis tidak diketahui
dalam solusi umum, nilai arbitrer ditetapkan dan nilai variabel dihitung
.

Secara teknis lebih mudah untuk melakukan transformasi dasar bukan persamaan sistem itu sendiri, tetapi matriks yang diperluas dari sistem

.

Metode Gauss adalah metode universal yang memungkinkan Anda menyelesaikan tidak hanya sistem persegi, tetapi juga sistem persegi panjang di mana jumlah yang tidak diketahui
tidak sama dengan jumlah persamaan
.

Keuntungan dari metode ini juga adalah bahwa dalam proses penyelesaian kita secara bersamaan memeriksa kompatibilitas sistem, karena, setelah memberikan matriks yang diperluas
untuk bentuk bertahap, mudah untuk menentukan pangkat matriks dan matriks diperluas
dan melamar Teorema Kronecker-Capelli .

Contoh 2.1 Selesaikan sistem menggunakan metode Gauss

Larutan. Jumlah persamaan
dan jumlah yang tidak diketahui
.

Mari kita buat matriks yang diperluas dari sistem dengan menetapkan koefisien di sebelah kanan matriks kolom anggota gratis .

Mari kita sajikan matriksnya ke tampilan segitiga; Untuk melakukan ini, kita akan mendapatkan “0” di bawah elemen yang terletak di diagonal utama menggunakan transformasi dasar.

Untuk mendapatkan "0" di posisi kedua kolom pertama, kalikan baris pertama dengan (-1) dan tambahkan ke baris kedua.

Transformasi ini kita tuliskan sebagai angka (-1) pada baris pertama dan dilambangkan dengan panah dari baris pertama ke baris kedua.

Untuk mendapatkan "0" di posisi ketiga kolom pertama, kalikan baris pertama dengan (-3) dan tambahkan ke baris ketiga; Mari kita tunjukkan tindakan ini menggunakan panah dari baris pertama ke baris ketiga.

.

Pada matriks yang dihasilkan, ditulis kedua dalam rantai matriks, kita mendapatkan “0” pada kolom kedua di posisi ketiga. Untuk melakukan ini, kami mengalikan baris kedua dengan (-4) dan menambahkannya ke baris ketiga. Pada matriks yang dihasilkan, kalikan baris kedua dengan (-1), dan bagi baris ketiga dengan (-8). Semua elemen matriks yang terletak di bawah elemen diagonalnya adalah nol.

Karena , sistemnya bersifat kolaboratif dan terdefinisi.

Sistem persamaan yang bersesuaian dengan matriks terakhir berbentuk segitiga:

Dari persamaan terakhir (ketiga).
. Substitusikan ke persamaan kedua dan dapatkan
.

Mari kita gantikan
Dan
ke dalam persamaan pertama, kita temukan


.

Sejak awal abad 16-18, para matematikawan mulai mempelajari fungsi secara intensif, berkat banyak hal yang telah berubah dalam hidup kita. Teknologi komputer tidak akan ada tanpa pengetahuan ini. Berbagai konsep, teorema, dan teknik penyelesaian telah diciptakan untuk menyelesaikan permasalahan kompleks, persamaan linear, dan fungsi. Salah satu metode dan teknik universal dan rasional untuk menyelesaikan persamaan linear dan sistemnya adalah metode Gauss. Matriks, pangkatnya, determinannya - semuanya dapat dihitung tanpa menggunakan operasi yang rumit.

Apa itu SLU

Dalam matematika, ada konsep SLAE - sistem persamaan aljabar linier. Seperti apa dia? Ini adalah himpunan m persamaan dengan n besaran yang tidak diketahui yang diinginkan, biasanya dilambangkan dengan x, y, z, atau x 1, x 2 ... x n, atau simbol lainnya. Menyelesaikan sistem tertentu menggunakan metode Gaussian berarti menemukan semua hal yang tidak diketahui. Jika suatu sistem mempunyai jumlah persamaan dan persamaan yang tidak diketahui, maka sistem tersebut disebut sistem orde ke-n.

Metode paling populer untuk menyelesaikan SLAE

Di lembaga pendidikan pendidikan menengah, berbagai metode untuk memecahkan sistem tersebut dipelajari. Seringkali ini adalah persamaan sederhana yang terdiri dari dua hal yang tidak diketahui, sehingga metode apa pun yang ada untuk menemukan jawabannya tidak akan memakan banyak waktu. Ini bisa seperti metode substitusi, ketika persamaan lain diturunkan dari satu persamaan dan disubstitusikan ke persamaan aslinya. Atau metode pengurangan dan penjumlahan suku demi suku. Namun metode Gauss dianggap paling mudah dan universal. Itu memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan dengan sejumlah hal yang tidak diketahui. Mengapa teknik khusus ini dianggap rasional? Sederhana saja. Hal yang baik tentang metode matriks adalah tidak perlu menulis ulang simbol yang tidak perlu beberapa kali sebagai simbol yang tidak diketahui; cukup melakukan operasi aritmatika pada koefisien - dan Anda akan mendapatkan hasil yang dapat diandalkan.

Di mana SLAE digunakan dalam praktiknya?

Penyelesaian SLAE adalah titik potong garis pada grafik fungsi. Di era komputer berteknologi tinggi, orang-orang yang terkait erat dengan pengembangan game dan program lain perlu mengetahui cara menyelesaikan sistem tersebut, apa yang diwakilinya, dan cara memeriksa kebenaran hasil yang dihasilkan. Paling sering, pemrogram mengembangkan program kalkulator aljabar linier khusus, yang juga mencakup sistem persamaan linier. Metode Gauss memungkinkan Anda menghitung semua solusi yang ada. Rumus dan teknik sederhana lainnya juga digunakan.

Kriteria kompatibilitas SLAU

Sistem seperti ini hanya dapat dipecahkan jika sistem tersebut kompatibel. Untuk lebih jelasnya, mari kita nyatakan SLAE dalam bentuk Ax=b. Ia memiliki solusi jika rang(A) sama dengan rang(A,b). Dalam hal ini, (A,b) adalah matriks bentuk diperluas yang dapat diperoleh dari matriks A dengan menulis ulang matriks tersebut dengan suku bebas. Ternyata menyelesaikan persamaan linear dengan metode Gaussian cukup mudah.

Mungkin beberapa simbol tidak sepenuhnya jelas, jadi semuanya perlu dipertimbangkan dengan sebuah contoh. Katakanlah ada sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Ini hanya terdiri dari dua persamaan, di mana ada 2 persamaan yang tidak diketahui. Sistem akan mempunyai solusi hanya jika rank matriksnya sama dengan rank matriks yang diperluas. Apa itu peringkat? Ini adalah jumlah jalur independen dari sistem. Dalam kasus kita, pangkat matriksnya adalah 2. Matriks A akan terdiri dari koefisien-koefisien yang terletak di dekat yang tidak diketahui, dan koefisien-koefisien yang terletak di belakang tanda “=” juga masuk ke dalam matriks yang diperluas.

Mengapa SLAE dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks?

Berdasarkan kriteria kesesuaian menurut teorema Kronecker-Capelli yang telah terbukti, sistem persamaan aljabar linier dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Dengan menggunakan metode kaskade Gaussian, Anda dapat menyelesaikan matriks dan mendapatkan satu jawaban yang dapat diandalkan untuk keseluruhan sistem. Jika pangkat suatu matriks biasa sama dengan pangkat matriks yang diperluas, tetapi lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut mempunyai jumlah jawaban yang tak terhingga.

Transformasi matriks

Sebelum melanjutkan ke penyelesaian matriks, Anda perlu mengetahui tindakan apa yang dapat dilakukan pada elemennya. Ada beberapa transformasi dasar:

• Dengan menulis ulang sistem dalam bentuk matriks dan menyelesaikannya, Anda dapat mengalikan semua elemen deret tersebut dengan koefisien yang sama.
• Untuk mengubah matriks menjadi bentuk kanonik, Anda dapat menukar dua baris paralel. Bentuk kanonik menyiratkan bahwa semua elemen matriks yang terletak di sepanjang diagonal utama menjadi satu, dan sisanya menjadi nol.
• Elemen-elemen yang bersesuaian pada baris-baris sejajar suatu matriks dapat dijumlahkan satu sama lain.

Metode Jordan-Gauss

Inti dari penyelesaian sistem persamaan linier homogen dan tidak homogen menggunakan metode Gaussian adalah menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara bertahap. Katakanlah kita memiliki sistem dua persamaan yang didalamnya terdapat dua hal yang tidak diketahui. Untuk menemukannya, Anda perlu memeriksa kompatibilitas sistem. Persamaan ini diselesaikan dengan sangat sederhana dengan metode Gauss. Koefisien-koefisien yang terletak di dekat setiap hal yang tidak diketahui perlu dituliskan dalam bentuk matriks. Untuk menyelesaikan sistem ini, Anda perlu menuliskan matriks yang diperluas. Jika salah satu persamaan mengandung lebih sedikit hal yang tidak diketahui, maka “0” harus menggantikan elemen yang hilang. Semua metode transformasi yang diketahui diterapkan pada matriks: perkalian, pembagian dengan bilangan, penjumlahan elemen-elemen deret yang bersesuaian satu sama lain, dan lain-lain. Ternyata di setiap baris perlu menyisakan satu variabel dengan nilai “1”, sisanya harus dikurangi menjadi nol. Untuk pemahaman yang lebih tepat, perlu diperhatikan metode Gauss beserta contohnya.

Contoh sederhana penyelesaian sistem 2x2

Untuk memulainya, mari kita ambil sistem persamaan aljabar sederhana, yang di dalamnya akan ada 2 hal yang tidak diketahui.

Mari kita tulis ulang menjadi matriks yang diperluas.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini, hanya diperlukan dua operasi. Kita perlu membawa matriks ke bentuk kanonik sehingga ada matriks di sepanjang diagonal utama. Jadi, dengan mentransfer dari bentuk matriks kembali ke sistem, kita mendapatkan persamaan: 1x+0y=b1 dan 0x+1y=b2, di mana b1 dan b2 adalah jawaban yang dihasilkan dalam proses penyelesaian.

1. Tindakan pertama saat menyelesaikan matriks yang diperluas adalah sebagai berikut: baris pertama harus dikalikan dengan -7 dan menambahkan elemen yang bersesuaian ke baris kedua untuk menghilangkan satu yang tidak diketahui pada persamaan kedua.
2. Karena penyelesaian persamaan menggunakan metode Gauss melibatkan reduksi matriks ke bentuk kanonik, maka perlu dilakukan operasi yang sama dengan persamaan pertama dan menghilangkan variabel kedua. Untuk melakukan ini, kita kurangi baris kedua dari baris pertama dan dapatkan jawaban yang diperlukan - solusi SLAE. Atau, seperti terlihat pada gambar, kita mengalikan baris kedua dengan faktor -1 dan menambahkan elemen baris kedua ke baris pertama. Itu hal yang sama.

Seperti yang bisa kita lihat, sistem kita diselesaikan dengan metode Jordan-Gauss. Kami menulis ulang dalam bentuk yang diperlukan: x=-5, y=7.

Contoh solusi SLAE 3x3

Anggaplah kita mempunyai sistem persamaan linear yang lebih kompleks. Metode Gaussian memungkinkan untuk menghitung jawaban bahkan untuk sistem yang tampaknya paling membingungkan. Oleh karena itu, untuk mempelajari metodologi penghitungan lebih dalam, Anda dapat beralih ke contoh yang lebih kompleks dengan tiga hal yang tidak diketahui.

Seperti pada contoh sebelumnya, kita menulis ulang sistem dalam bentuk matriks yang diperluas dan mulai membawanya ke bentuk kanoniknya.

Untuk mengatasi sistem ini, Anda perlu melakukan lebih banyak tindakan daripada contoh sebelumnya.

1. Pertama, Anda perlu membuat kolom pertama menjadi satu elemen satuan dan sisanya nol. Caranya, kalikan persamaan pertama dengan -1 dan tambahkan persamaan kedua ke dalamnya. Penting untuk diingat bahwa kita menulis ulang baris pertama dalam bentuk aslinya, dan baris kedua dalam bentuk modifikasi.
2. Selanjutnya, kita menghapus hal yang tidak diketahui pertama ini dari persamaan ketiga. Untuk melakukannya, kalikan elemen baris pertama dengan -2 dan tambahkan ke baris ketiga. Sekarang baris pertama dan kedua ditulis ulang dalam bentuk aslinya, dan baris ketiga - dengan perubahan. Seperti yang Anda lihat dari hasilnya, kami mendapatkan angka pertama di awal diagonal utama matriks dan angka nol yang tersisa. Beberapa langkah lagi, dan sistem persamaan dengan metode Gaussian akan diselesaikan dengan andal.
3. Sekarang Anda perlu melakukan operasi pada elemen baris lainnya. Tindakan ketiga dan keempat bisa digabungkan menjadi satu. Kita perlu membagi garis kedua dan ketiga dengan -1 untuk menghilangkan garis minus pada diagonalnya. Kami telah membawa baris ketiga ke formulir yang diperlukan.
4. Selanjutnya kita membawa baris kedua ke bentuk kanonik. Untuk melakukan ini, kita mengalikan elemen baris ketiga dengan -3 dan menambahkannya ke baris kedua matriks. Dari hasilnya terlihat jelas bahwa baris kedua juga direduksi menjadi bentuk yang kita perlukan. Tetap melakukan beberapa operasi lagi dan menghapus koefisien yang tidak diketahui dari baris pertama.
5. Untuk membuat 0 dari elemen kedua suatu baris, Anda perlu mengalikan baris ketiga dengan -3 dan menambahkannya ke baris pertama.
6. Langkah menentukan berikutnya adalah menambahkan elemen yang diperlukan dari baris kedua ke baris pertama. Dengan cara ini kita mendapatkan bentuk kanonik dari matriks tersebut, dan karenanya, jawabannya.

Seperti yang Anda lihat, menyelesaikan persamaan menggunakan metode Gauss cukup sederhana.

Contoh penyelesaian sistem persamaan 4x4

Beberapa sistem persamaan yang lebih kompleks dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Gaussian menggunakan program komputer. Anda perlu memasukkan koefisien untuk hal yang tidak diketahui ke dalam sel kosong yang ada, dan program itu sendiri akan menghitung langkah demi langkah hasil yang diperlukan, menjelaskan secara rinci setiap tindakan.

Petunjuk langkah demi langkah untuk menyelesaikan contoh tersebut dijelaskan di bawah.

Pada langkah pertama, koefisien dan angka bebas untuk hal yang tidak diketahui dimasukkan ke dalam sel kosong. Jadi, kita mendapatkan matriks diperluas yang sama yang kita tulis secara manual.

Dan semua operasi aritmatika yang diperlukan dilakukan untuk membawa matriks yang diperluas ke bentuk kanoniknya. Perlu dipahami bahwa jawaban suatu sistem persamaan tidak selalu berupa bilangan bulat. Terkadang solusinya mungkin berasal dari bilangan pecahan.

Memeriksa kebenaran solusi

Metode Jordan-Gauss menyediakan pengecekan kebenaran hasil. Untuk mengetahui apakah koefisien dihitung dengan benar, Anda hanya perlu mensubstitusikan hasilnya ke dalam sistem persamaan aslinya. Ruas kiri persamaan harus sama dengan ruas kanan di belakang tanda sama dengan. Jika jawabannya tidak cocok, maka Anda perlu menghitung ulang sistem atau mencoba menerapkan metode lain untuk menyelesaikan SLAE yang Anda ketahui, seperti substitusi atau pengurangan dan penjumlahan suku demi suku. Bagaimanapun, matematika adalah ilmu yang memiliki banyak sekali metode penyelesaian yang berbeda. Namun ingat: hasilnya harus selalu sama, apa pun metode solusi yang Anda gunakan.

Metode Gauss: kesalahan paling umum saat menyelesaikan SLAE

Saat menyelesaikan sistem persamaan linier, kesalahan yang paling sering terjadi adalah kesalahan transfer koefisien ke dalam bentuk matriks. Ada sistem di mana beberapa hal yang tidak diketahui hilang dari salah satu persamaannya, kemudian, saat mentransfer data ke matriks yang diperluas, hal tersebut bisa hilang. Akibatnya, ketika menyelesaikan sistem ini, hasilnya mungkin tidak sesuai dengan yang sebenarnya.

Kesalahan besar lainnya mungkin salah menuliskan hasil akhirnya. Perlu dipahami dengan jelas bahwa koefisien pertama akan sesuai dengan hal pertama yang tidak diketahui dari sistem, yang kedua - dengan yang kedua, dan seterusnya.

Metode Gauss menjelaskan secara rinci penyelesaian persamaan linear. Berkat itu, mudah untuk melakukan operasi yang diperlukan dan menemukan hasil yang tepat. Selain itu, ini adalah alat universal untuk menemukan jawaban yang dapat diandalkan terhadap persamaan kompleksitas apa pun. Mungkin itu sebabnya sering digunakan saat menyelesaikan SLAE.

Dalam artikel ini, metode tersebut dianggap sebagai metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SLAE). Metode ini bersifat analitis, yaitu memungkinkan Anda untuk menulis algoritma solusi dalam bentuk umum, dan kemudian mengganti nilai dari contoh spesifik di sana. Berbeda dengan metode matriks atau rumus Cramer, saat menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss, Anda juga dapat mengerjakan persamaan yang memiliki jumlah solusi tak terhingga. Atau mereka tidak memilikinya sama sekali.

Apa yang dimaksud dengan penyelesaian dengan metode Gaussian?

Pertama, kita perlu menuliskan sistem persamaan kita. Tampilannya seperti ini. Ambil sistemnya:

Koefisien ditulis dalam bentuk tabel, dan suku bebasnya ditulis pada kolom tersendiri di sebelah kanan. Kolom dengan anggota bebas dipisahkan untuk memudahkan. Matriks yang memuat kolom ini disebut diperluas.

Selanjutnya, matriks utama dengan koefisien harus direduksi menjadi bentuk segitiga atas. Inilah inti penyelesaian sistem dengan metode Gaussian. Sederhananya, setelah manipulasi tertentu, matriks akan terlihat sedemikian rupa sehingga bagian kiri bawahnya hanya berisi angka nol:

Kemudian, jika Anda menulis matriks baru lagi sebagai sistem persamaan, Anda akan melihat bahwa baris terakhir sudah berisi nilai salah satu akar, yang kemudian disubstitusikan ke persamaan di atas, ditemukan akar lain, dan seterusnya.

Berikut adalah penjelasan solusi metode Gaussian secara paling umum. Apa yang terjadi jika tiba-tiba sistem tidak mempunyai solusi? Atau apakah jumlah mereka sangat banyak? Untuk menjawab pertanyaan ini dan banyak pertanyaan lainnya, perlu dipertimbangkan secara terpisah semua elemen yang digunakan dalam menyelesaikan metode Gaussian.

Matriks, sifat-sifatnya

Tidak ada makna tersembunyi dalam matriks tersebut. Ini hanyalah cara mudah untuk merekam data untuk operasi selanjutnya dengannya. Bahkan anak sekolah pun tidak perlu takut pada mereka.

Matriksnya selalu berbentuk persegi panjang, karena lebih nyaman. Bahkan dalam metode Gauss, di mana semuanya bermuara pada pembuatan matriks berbentuk segitiga, sebuah persegi panjang muncul di entri, hanya dengan nol di tempat yang tidak ada angkanya. Angka nol mungkin tidak tertulis, tetapi tersirat.

Matriks memiliki ukuran. “Lebar” adalah jumlah baris (m), “panjang” adalah jumlah kolom (n). Maka ukuran matriks A (biasanya huruf latin kapital digunakan untuk menyatakannya) akan dinotasikan sebagai A m×n. Jika m=n, maka matriks tersebut berbentuk persegi, dan m=n adalah ordenya. Oleh karena itu, setiap elemen matriks A dapat dilambangkan dengan nomor baris dan kolomnya: a xy ; x - nomor baris, perubahan, y - nomor kolom, perubahan.

B bukanlah poin utama keputusan. Pada prinsipnya, semua operasi dapat dilakukan secara langsung dengan persamaan itu sendiri, tetapi notasinya akan jauh lebih rumit, dan akan lebih mudah untuk menjadi bingung.

Penentu

Matriks juga mempunyai determinan. Ini adalah karakteristik yang sangat penting. Tidak perlu mencari tahu maknanya sekarang; Anda cukup menunjukkan cara menghitungnya, lalu mengetahui properti matriks apa yang ditentukannya. Cara termudah untuk mencari determinan adalah melalui diagonal. Diagonal imajiner digambar dalam matriks; elemen-elemen yang terletak pada masing-masingnya dikalikan, dan kemudian produk yang dihasilkan ditambahkan: diagonal dengan kemiringan ke kanan - dengan tanda plus, dengan kemiringan ke kiri - dengan tanda minus.

Penting untuk diperhatikan bahwa determinan hanya dapat dihitung untuk matriks persegi. Untuk matriks persegi panjang, Anda dapat melakukan hal berikut: pilih yang terkecil dari jumlah baris dan jumlah kolom (biarkan k), lalu tandai secara acak k kolom dan k baris dalam matriks. Elemen-elemen pada perpotongan kolom dan baris yang dipilih akan membentuk matriks persegi baru. Jika determinan matriks tersebut adalah bilangan bukan nol, maka disebut basis minor matriks persegi panjang asal.

Sebelum Anda mulai menyelesaikan suatu sistem persamaan dengan metode Gaussian, tidak ada salahnya untuk menghitung determinannya. Jika ternyata nol, maka kita dapat langsung mengatakan bahwa matriks tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga atau tidak ada solusi sama sekali. Dalam kasus yang menyedihkan ini, Anda perlu melangkah lebih jauh dan mencari tahu tentang peringkat matriks.

Klasifikasi sistem

Ada yang namanya pangkat suatu matriks. Ini adalah orde maksimum dari determinan bukan nolnya (jika kita mengingat tentang basis minor, kita dapat mengatakan bahwa pangkat suatu matriks adalah orde dari basis minor).

Berdasarkan situasi peringkatnya, SLAE dapat dibagi menjadi:

• Persendian. kamu Dalam sistem gabungan, pangkat matriks utama (hanya terdiri dari koefisien) bertepatan dengan pangkat matriks yang diperluas (dengan kolom suku bebas). Sistem seperti itu mempunyai solusi, tetapi belum tentu satu, oleh karena itu sistem gabungan juga dibagi menjadi:
• - yakin- memiliki solusi tunggal. Dalam sistem tertentu, pangkat matriks dan jumlah yang tidak diketahui (atau jumlah kolom, yang merupakan hal yang sama) adalah sama;
• - belum diartikan - dengan jumlah solusi yang tidak terbatas. Pangkat matriks dalam sistem seperti itu lebih kecil dari jumlah matriks yang tidak diketahui.
• Tidak kompatibel. kamu Dalam sistem seperti itu, barisan matriks utama dan matriks yang diperluas tidak berhimpitan. Sistem yang tidak kompatibel tidak memiliki solusi.

Metode Gauss bagus karena selama penyelesaiannya memungkinkan seseorang memperoleh bukti yang jelas tentang ketidakkonsistenan sistem (tanpa menghitung determinan matriks besar), atau solusi dalam bentuk umum untuk sistem dengan jumlah solusi tak terhingga.

Transformasi dasar

Sebelum melanjutkan langsung ke penyelesaian sistem, Anda dapat membuatnya tidak terlalu rumit dan lebih nyaman untuk perhitungan. Hal ini dicapai melalui transformasi dasar - sehingga implementasinya tidak mengubah jawaban akhir dengan cara apa pun. Perlu dicatat bahwa beberapa transformasi dasar di atas hanya berlaku untuk matriks yang bersumber dari SLAE. Berikut adalah daftar transformasi tersebut:

1. Menata ulang garis. Jelasnya, jika Anda mengubah urutan persamaan dalam catatan sistem, hal ini tidak akan mempengaruhi penyelesaian dengan cara apa pun. Oleh karena itu, dalam matriks sistem ini juga dimungkinkan untuk menukar baris, tentu saja tidak melupakan kolom suku bebas.
2. Mengalikan semua elemen string dengan koefisien tertentu. Sangat berguna! Ini dapat digunakan untuk mengurangi angka besar dalam matriks atau menghilangkan angka nol. Banyak keputusan, seperti biasa, tidak akan berubah, namun pengoperasian selanjutnya akan menjadi lebih nyaman. Yang utama adalah koefisiennya tidak sama dengan nol.
3. Menghapus baris dengan faktor proporsional. Ini sebagian mengikuti paragraf sebelumnya. Jika dua baris atau lebih dalam suatu matriks mempunyai koefisien proporsional, maka ketika salah satu baris dikalikan/dibagi dengan koefisien proporsionalitas, diperoleh dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang benar-benar identik, dan baris tambahannya dapat dihilangkan, sehingga menyisakan hanya satu.
4. Menghapus garis nol. Jika, selama transformasi, diperoleh suatu baris yang semua elemennya, termasuk anggota bebasnya, adalah nol, maka baris tersebut dapat disebut nol dan dikeluarkan dari matriks.
5. Menjumlahkan elemen-elemen dari satu baris dengan elemen-elemen lainnya (di kolom yang sesuai), dikalikan dengan koefisien tertentu. Transformasi yang paling tidak terlihat dan paling penting dari semuanya. Ada baiknya membahasnya lebih detail.

Menambahkan string dikalikan dengan faktor

Untuk memudahkan pemahaman, ada baiknya menguraikan proses ini langkah demi langkah. Dua baris diambil dari matriks:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Katakanlah Anda perlu menambahkan yang pertama ke yang kedua, dikalikan dengan koefisien "-2".

sebuah" 21 = sebuah 21 + -2×sebuah 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Kemudian baris kedua dalam matriks diganti dengan yang baru, dan baris pertama tetap tidak berubah.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Perlu dicatat bahwa koefisien perkalian dapat dipilih sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil penjumlahan dua baris, salah satu elemen baris baru sama dengan nol. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk memperoleh persamaan dalam suatu sistem di mana terdapat satu persamaan yang kurang diketahui. Dan jika Anda mendapatkan dua persamaan seperti itu, maka operasi dapat dilakukan lagi dan mendapatkan persamaan yang berisi dua persamaan yang lebih sedikit. Dan jika setiap kali Anda mengubah satu koefisien menjadi nol untuk semua baris yang berada di bawah koefisien awal, maka Anda dapat, seperti tangga, turun ke bagian paling bawah matriks dan mendapatkan persamaan dengan satu koefisien yang tidak diketahui. Ini disebut penyelesaian sistem menggunakan metode Gaussian.

Umumnya

Biarlah ada sistem. Ia mempunyai m persamaan dan n akar yang tidak diketahui. Anda dapat menulisnya sebagai berikut:

Matriks utama disusun dari koefisien sistem. Kolom suku bebas ditambahkan ke matriks yang diperluas dan, untuk memudahkan, dipisahkan oleh sebuah garis.

• baris pertama matriks dikalikan dengan koefisien k = (-a 21 /a 11);
• baris pertama yang diubah dan baris kedua matriks ditambahkan;
• sebagai ganti baris kedua, hasil penjumlahan dari paragraf sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
• sekarang koefisien pertama pada baris kedua yang baru adalah a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Sekarang rangkaian transformasi yang sama dilakukan, hanya baris pertama dan ketiga yang terlibat. Oleh karena itu, pada setiap langkah algoritma, elemen a 21 digantikan oleh 31. Kemudian semuanya diulangi untuk 41, ... a m1. Hasilnya adalah matriks yang elemen pertama pada barisnya adalah nol. Sekarang Anda harus melupakan baris nomor satu dan melakukan algoritma yang sama, mulai dari baris kedua:

• koefisien k = (-a 32 /a 22);
• baris kedua yang diubah ditambahkan ke baris "saat ini";
• hasil penjumlahan tersebut disubstitusikan pada baris ketiga, keempat, dan seterusnya, sedangkan baris pertama dan kedua tidak berubah;
• pada baris-baris matriks, dua elemen pertama sudah sama dengan nol.

Algoritma harus diulang sampai koefisien k = (-am,m-1 /a mm) muncul. Artinya terakhir kali algoritma dieksekusi hanya untuk persamaan yang lebih rendah. Sekarang matriksnya tampak seperti segitiga, atau berbentuk berundak. Intinya ada persamaan a mn × x n = b m. Koefisien dan suku bebasnya diketahui, dan akarnya dinyatakan melaluinya: x n = b m /a mn. Akar yang dihasilkan disubstitusikan ke baris paling atas untuk mencari x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))±a m-1,n-1. Dan seterusnya dengan analogi: di setiap baris berikutnya ada root baru, dan, setelah mencapai "puncak" sistem, Anda dapat menemukan banyak solusi. Itu akan menjadi satu-satunya.

Ketika tidak ada solusi

Jika dalam salah satu baris matriks semua elemen kecuali suku bebas sama dengan nol, maka persamaan yang bersesuaian dengan baris tersebut terlihat seperti 0 = b. Tidak ada solusi. Dan karena persamaan seperti itu termasuk dalam sistem, maka himpunan solusi seluruh sistem adalah kosong, yaitu merosot.

Ketika terdapat solusi yang jumlahnya tak terhingga

Mungkin saja dalam matriks segitiga tertentu tidak ada baris dengan satu elemen koefisien persamaan dan satu suku bebas. Hanya ada garis yang jika ditulis ulang akan terlihat seperti persamaan dengan dua variabel atau lebih. Artinya sistem mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga. Dalam hal ini jawabannya dapat diberikan dalam bentuk solusi umum. Bagaimana cara melakukan ini?

Semua variabel dalam matriks dibagi menjadi dasar dan bebas. Yang dasar adalah yang berdiri “di tepi” baris-baris dalam matriks langkah. Sisanya gratis. Dalam solusi umum, variabel dasar dituliskan melalui variabel bebas.

Untuk memudahkan, matriks terlebih dahulu ditulis ulang menjadi sistem persamaan. Kemudian pada variabel terakhir, yang hanya tersisa satu variabel dasar, variabel tersebut tetap berada di satu sisi, dan sisanya dipindahkan ke sisi lainnya. Hal ini dilakukan untuk setiap persamaan dengan satu variabel dasar. Kemudian, dalam persamaan lainnya, jika memungkinkan, ekspresi yang diperoleh diganti dengan variabel dasar. Jika hasilnya lagi-lagi merupakan ekspresi yang hanya berisi satu variabel dasar, maka hasilnya akan dinyatakan lagi dari sana, dan seterusnya, hingga setiap variabel dasar ditulis sebagai ekspresi dengan variabel bebas. Ini adalah solusi umum SLAE.

Anda juga dapat menemukan solusi dasar sistem - berikan nilai apa pun pada variabel bebas, lalu untuk kasus khusus ini hitung nilai variabel dasar. Ada banyak sekali solusi khusus yang dapat diberikan.

Solusi dengan contoh spesifik

Berikut adalah sistem persamaan.

Untuk kenyamanan, lebih baik segera membuat matriksnya

Diketahui bahwa jika diselesaikan dengan metode Gaussian, persamaan yang bersesuaian dengan baris pertama akan tetap tidak berubah pada akhir transformasi. Oleh karena itu, akan lebih menguntungkan jika elemen kiri atas matriks adalah yang terkecil - maka elemen pertama dari baris yang tersisa setelah operasi akan menjadi nol. Artinya, dalam matriks yang dikompilasi, akan lebih menguntungkan jika baris kedua ditempatkan di tempat baris pertama.

baris kedua: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

baris ketiga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Sekarang, agar tidak bingung, Anda perlu menuliskan matriks dengan hasil antara transformasinya.

Jelasnya, matriks seperti itu dapat dibuat lebih nyaman untuk dilihat dengan menggunakan operasi tertentu. Misalnya, Anda dapat menghapus semua “minus” dari baris kedua dengan mengalikan setiap elemen dengan “-1”.

Perlu juga dicatat bahwa pada baris ketiga semua elemen adalah kelipatan tiga. Kemudian Anda dapat mempersingkat string dengan angka ini dengan mengalikan setiap elemen dengan "-1/3" (dikurangi - sekaligus menghilangkan nilai negatif).

Terlihat jauh lebih bagus. Sekarang kita perlu meninggalkan baris pertama dan bekerja dengan baris kedua dan ketiga. Tugasnya adalah menambahkan baris kedua ke baris ketiga, dikalikan dengan koefisien sedemikian rupa sehingga elemen a 32 menjadi sama dengan nol.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jika pada beberapa transformasi jawabannya tidak berupa bilangan bulat, disarankan untuk menjaga keakuratan perhitungan untuk meninggalkan itu “sebagaimana adanya”, dalam bentuk pecahan biasa, dan baru setelah itu, ketika jawabannya sudah diterima, putuskan apakah akan dibulatkan dan diubah ke bentuk pencatatan lain)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matriksnya ditulis lagi dengan nilai baru.

Seperti yang Anda lihat, matriks yang dihasilkan sudah berbentuk bertahap. Oleh karena itu, transformasi sistem lebih lanjut menggunakan metode Gaussian tidak diperlukan. Yang dapat Anda lakukan di sini adalah menghilangkan koefisien keseluruhan "-1/7" dari baris ketiga.

Sekarang semuanya indah. Yang perlu dilakukan hanyalah menuliskan kembali matriks tersebut dalam bentuk sistem persamaan dan menghitung akar-akarnya

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritme yang digunakan untuk menemukan akar-akarnya sekarang disebut langkah terbalik dalam metode Gaussian. Persamaan (3) mengandung nilai z:

kamu = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Dan persamaan pertama memungkinkan kita mencari x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Kita berhak menyebut sistem seperti itu gabungan, dan bahkan pasti, yaitu memiliki solusi unik. Jawabannya ditulis dalam bentuk berikut:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Contoh sistem yang tidak pasti

Varian penyelesaian sistem tertentu dengan menggunakan metode Gauss telah dianalisis; sekarang perlu untuk mempertimbangkan kasus jika sistem tersebut tidak pasti, yaitu, banyak solusi yang dapat ditemukan untuk sistem tersebut.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Kemunculan sistem itu sendiri sudah memprihatinkan, karena banyaknya yang tidak diketahui adalah n = 5, dan rank matriks sistem sudah tepat lebih kecil dari bilangan tersebut, karena banyaknya barisnya adalah m = 4, yaitu, orde terbesar dari determinan-kuadrat adalah 4. Artinya, terdapat jumlah solusi yang tak terhingga, dan Anda perlu mencari tampilan umumnya. Metode Gauss untuk persamaan linier memungkinkan Anda melakukan hal ini.

Pertama, seperti biasa, matriks yang diperluas dikompilasi.

Baris kedua: koefisien k = (-a 21 /a 11) = -3. Pada baris ketiga, elemen pertama ada sebelum transformasi, jadi Anda tidak perlu menyentuh apa pun, Anda harus membiarkannya apa adanya. Baris keempat: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Dengan mengalikan elemen-elemen baris pertama dengan masing-masing koefisiennya secara bergantian dan menambahkannya ke baris-baris yang diperlukan, kita memperoleh matriks dengan bentuk berikut:

Seperti yang Anda lihat, baris kedua, ketiga dan keempat terdiri dari elemen-elemen yang sebanding satu sama lain. Yang kedua dan keempat umumnya identik, jadi salah satunya bisa langsung dihilangkan, dan sisanya bisa dikalikan dengan koefisien “-1” dan mendapatkan garis nomor 3. Dan lagi, dari dua garis yang identik, sisakan satu.

Hasilnya adalah matriks seperti ini. Meskipun sistemnya belum ditulis, variabel dasar perlu ditentukan di sini - variabel yang berada pada koefisien a 11 = 1 dan a 22 = 1, dan variabel bebas - sisanya.

Dalam persamaan kedua hanya ada satu variabel dasar - x 2. Artinya dapat dinyatakan dari sana dengan menuliskannya melalui variabel x 3 , x 4 , x 5 , yang bebas.

Kami mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan pertama.

Hasilnya adalah persamaan yang variabel dasarnya hanya x 1 . Mari kita lakukan hal yang sama seperti pada x 2.

Semua variabel dasar, yang ada dua, dinyatakan dalam tiga variabel bebas; sekarang kita dapat menuliskan jawabannya dalam bentuk umum.

Anda juga dapat menentukan salah satu solusi tertentu dari sistem. Untuk kasus seperti itu, angka nol biasanya dipilih sebagai nilai variabel bebas. Maka jawabannya adalah:

16, 23, 0, 0, 0.

Contoh sistem non kooperatif

Menyelesaikan sistem persamaan yang tidak kompatibel menggunakan metode Gaussian adalah yang tercepat. Ini berakhir segera setelah pada salah satu tahap diperoleh persamaan yang tidak memiliki solusi. Artinya, tahap penghitungan akar yang cukup panjang dan melelahkan dihilangkan. Sistem berikut dipertimbangkan:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Seperti biasa, matriks dikompilasi:

Dan itu direduksi menjadi bentuk bertahap:

k 1 = -2k 2 = -4

Setelah transformasi pertama, baris ketiga berisi persamaan bentuk

tanpa solusi. Akibatnya, sistem menjadi tidak konsisten dan jawabannya adalah himpunan kosong.

Keuntungan dan kerugian dari metode ini

Jika Anda memilih metode penyelesaian SLAE di atas kertas dengan pena, maka metode yang dibahas dalam artikel ini terlihat paling menarik. Jauh lebih sulit untuk menjadi bingung dalam transformasi dasar dibandingkan jika Anda harus mencari determinan atau matriks invers yang rumit secara manual. Namun jika Anda menggunakan program untuk bekerja dengan data jenis ini, misalnya spreadsheet, maka ternyata program tersebut sudah berisi algoritma untuk menghitung parameter utama matriks - determinan, minor, invers, dan sebagainya. Dan jika yakin mesin akan menghitung sendiri nilai-nilai tersebut dan tidak melakukan kesalahan, lebih disarankan menggunakan metode matriks atau rumus Cramer, karena penerapannya diawali dan diakhiri dengan perhitungan determinan dan matriks invers. .

Aplikasi

Karena solusi Gaussian adalah sebuah algoritma, dan matriksnya sebenarnya adalah array dua dimensi, maka solusi tersebut dapat digunakan dalam pemrograman. Namun karena artikel tersebut memposisikan dirinya sebagai panduan “untuk orang bodoh”, maka harus dikatakan bahwa tempat termudah untuk menerapkan metode ini adalah spreadsheet, misalnya Excel. Sekali lagi, setiap SLAE yang dimasukkan ke dalam tabel dalam bentuk matriks akan dianggap oleh Excel sebagai array dua dimensi. Dan untuk operasi dengan mereka ada banyak perintah yang bagus: penjumlahan (Anda hanya dapat menjumlahkan matriks dengan ukuran yang sama!), perkalian dengan angka, perkalian matriks (juga dengan batasan tertentu), mencari matriks invers dan transposisi dan, yang paling penting , menghitung determinannya. Jika tugas yang memakan waktu ini diganti dengan satu perintah, maka dimungkinkan untuk menentukan peringkat matriks jauh lebih cepat dan, oleh karena itu, menetapkan kompatibilitas atau ketidakcocokan.

Carl Friedrich Gauss, ahli matematika terhebat, lama ragu-ragu dalam memilih antara filsafat dan matematika. Mungkin pola pikir inilah yang memungkinkan dia membuat “warisan” yang begitu nyata dalam dunia sains. Khususnya, dengan menciptakan "Metode Gauss" ...

Selama hampir 4 tahun, artikel-artikel di situs ini membahas tentang pendidikan sekolah, terutama dari sudut pandang filsafat, prinsip-prinsip (kesalahan) pemahaman yang diperkenalkan ke dalam pikiran anak-anak. Waktunya akan tiba untuk lebih spesifik, contoh dan metode... Saya percaya bahwa ini adalah pendekatan yang familiar, membingungkan dan penting bidang kehidupan memberikan hasil yang lebih baik.

Kita manusia dirancang sedemikian rupa sehingga tidak peduli seberapa banyak kita membicarakannya berpikir abstrak, Tetapi memahami Selalu terjadi melalui contoh. Jika tidak ada contoh, maka tidak mungkin memahami prinsipnya... Seperti halnya tidak mungkin mencapai puncak gunung kecuali dengan berjalan kaki menyusuri seluruh lereng.

Sama dengan sekolah: untuk saat ini cerita hidup Tidaklah cukup jika kita secara naluriah terus menganggapnya sebagai tempat di mana anak-anak diajar untuk memahami.

Misalnya mengajarkan metode Gaussian...

Metode Gauss di kelas 5 sekolah

Izinkan saya segera membuat reservasi: metode Gauss memiliki penerapan yang lebih luas, misalnya dalam penyelesaian sistem persamaan linear. Apa yang akan kita bicarakan terjadi di kelas 5 SD. Ini dimulai, setelah memahami yang mana, akan lebih mudah untuk memahami “opsi lanjutan”. Pada artikel ini yang kita bicarakan Metode Gauss (metode) untuk mencari jumlah suatu deret

Berikut adalah contoh yang dibawa oleh putra bungsu saya, yang duduk di kelas 5 di gimnasium Moskow, dari sekolah.

Demonstrasi sekolah tentang metode Gauss

Seorang guru matematika dengan menggunakan papan tulis interaktif (metode pengajaran modern) menunjukkan kepada anak-anak presentasi tentang sejarah “penciptaan metode” oleh Gauss kecil.

Guru sekolah mencambuk Karl kecil (metode yang sudah ketinggalan zaman, tidak digunakan di sekolah saat ini) karena dia

daripada menjumlahkan angka dari 1 hingga 100 secara berurutan, carilah jumlahnya memperhatikan bahwa pasangan-pasangan bilangan yang berjarak sama dari tepi suatu barisan aritmatika akan menghasilkan bilangan yang sama. misalnya 100 dan 1, 99 dan 2. Setelah menghitung jumlah pasangan tersebut, Gauss kecil hampir seketika memecahkan masalah yang diajukan oleh gurunya. Untuk itu dia dieksekusi di depan publik yang tercengang. Sehingga orang lain patah semangat untuk berpikir.

Apa yang dilakukan Gauss kecil? dikembangkan pengertian angka? Memperhatikan beberapa fitur deret bilangan dengan langkah konstan (perkembangan aritmatika). DAN itulah tepatnya kemudian menjadikannya seorang ilmuwan hebat, mampu memperhatikan, memiliki perasaan, naluri pemahaman.

Inilah sebabnya mengapa matematika berharga dan berkembang kemampuan untuk melihat umum khususnya - berpikir abstrak. Oleh karena itu, sebagian besar orang tua dan majikan secara naluriah menganggap matematika sebagai disiplin ilmu yang penting ...

“Maka Anda perlu belajar matematika, karena matematika akan mengatur pikiran Anda.
M.V.Lomonosov".

Namun, para pengikut orang-orang yang mencambuk orang-orang jenius di masa depan dengan tongkat mengubah Metode menjadi sesuatu yang sebaliknya. Seperti yang dikatakan atasan saya 35 tahun yang lalu: “Pertanyaannya telah dipelajari.” Atau seperti yang dikatakan putra bungsu saya kemarin tentang metode Gauss: “Mungkin tidak ada gunanya membuat ilmu pengetahuan besar tentang hal ini, ya?”

Konsekuensi dari kreativitas para “ilmuwan” terlihat pada tingkat matematika sekolah saat ini, tingkat pengajarannya dan pemahaman mayoritas tentang “Ratu Ilmu Pengetahuan”.

Namun, mari kita lanjutkan...

Metode penjelasan metode Gauss di kelas 5 sekolah

Seorang guru matematika di gimnasium Moskow, menjelaskan metode Gauss menurut Vilenkin, memperumit tugasnya.

Bagaimana jika selisih (langkah) suatu barisan aritmatika bukan hanya satu, melainkan bilangan lain? Misalnya, 20.

Soal yang beliau berikan kepada siswa kelas lima:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Sebelum mengenal metode gimnasium, mari kita lihat di Internet: bagaimana guru sekolah dan tutor matematika melakukannya?..

Metode Gaussian: penjelasan No.1

Seorang tutor ternama di channel YOUTUBE miliknya memberikan alasan sebagai berikut:

“mari kita tuliskan angka dari 1 sampai 100 sebagai berikut:

pertama rangkaian angka dari 1 sampai 50, dan tepat di bawahnya rangkaian angka lain dari 50 sampai 100, tetapi dalam urutan terbalik"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

“Harap diperhatikan: jumlah setiap pasangan angka dari baris atas dan bawah adalah sama dan sama dengan 101! Mari kita hitung jumlah pasangannya, yaitu 50 dan kalikan jumlah satu pasangan dengan jumlah pasangannya! Voila: The jawabannya sudah siap!"

“Jika kamu tidak mengerti, jangan marah!” guru mengulanginya sebanyak tiga kali selama penjelasan. "Kamu akan mengambil metode ini di kelas 9!"

Metode Gaussian: penjelasan No.2

Tutor lain, yang kurang terkenal (dilihat dari jumlah penayangannya), mengambil pendekatan yang lebih ilmiah, menawarkan algoritma solusi 5 poin yang harus diselesaikan secara berurutan.

Bagi yang belum tahu, 5 adalah salah satu angka Fibonacci yang secara tradisional dianggap ajaib. Misalnya, metode 5 langkah selalu lebih ilmiah daripada metode 6 langkah. ...Dan ini bukan suatu kebetulan, kemungkinan besar, Penulis adalah pendukung tersembunyi teori Fibonacci

Diberikan perkembangan aritmatika: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritma mencari jumlah bilangan suatu deret dengan metode Gauss:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Pada saat yang sama, Anda perlu mengingatnya ditambah satu aturan : kita harus menambahkan satu ke hasil bagi yang dihasilkan: jika tidak, kita akan mendapatkan hasil yang lebih kecil satu dari jumlah pasangan sebenarnya: 42 + 1 = 43.

Ini adalah jumlah barisan aritmatika yang diperlukan dari 4 menjadi 256 dengan selisih 6!

Metode Gauss: penjelasan di kelas 5 di gimnasium Moskow

Berikut cara menyelesaikan soal mencari jumlah suatu deret:

20+40+60+ ... +460+480+500

di kelas 5 gimnasium Moskow, buku teks Vilenkin (menurut putra saya).

Setelah memaparkan presentasi, guru matematika menunjukkan beberapa contoh dengan menggunakan metode Gaussian dan memberikan tugas kepada kelas untuk mencari jumlah bilangan suatu deret dengan kelipatan 20.

Ini memerlukan hal-hal berikut:

Seperti yang Anda lihat, ini adalah teknik yang lebih ringkas dan efektif: angka 3 juga merupakan anggota deret Fibonacci

Komentar saya tentang metode Gauss versi sekolah

Ahli matematika hebat pasti akan memilih filsafat jika dia telah meramalkan “metode”-nya akan diubah oleh para pengikutnya. guru bahasa Jerman, yang mencambuk Karl dengan tongkat. Dia akan melihat simbolisme, spiral dialektis, dan kebodohan abadi para “guru”, mencoba mengukur keselarasan pemikiran matematis yang hidup dengan aljabar kesalahpahaman ....

Ngomong-ngomong: tahukah kamu. bahwa sistem pendidikan kita berakar pada sekolah Jerman abad ke-18 dan ke-19?

Tapi Gauss memilih matematika.

Apa inti dari metodenya?

DI DALAM penyederhanaan. DI DALAM mengamati dan menangkap pola angka sederhana. DI DALAM mengubah aritmatika sekolah kering menjadi kegiatan yang menarik dan mengasyikkan , mengaktifkan di otak keinginan untuk melanjutkan, daripada menghalangi aktivitas mental yang berbiaya tinggi.

Apakah mungkin menghitung jumlah bilangan suatu barisan aritmatika dengan salah satu “modifikasi metode” Gauss yang diberikan? segera? Menurut “algoritma”, Karl kecil dijamin akan terhindar dari pukulan, mengembangkan keengganan terhadap matematika, dan menekan dorongan kreatifnya sejak awal.

Mengapa tutor terus-menerus menasihati siswa kelas lima “untuk tidak takut salah paham” tentang metode ini, meyakinkan mereka bahwa mereka akan menyelesaikan masalah “seperti” sejak kelas 9? Tindakan buta huruf secara psikologis. Itu adalah langkah yang bagus untuk diperhatikan: "Sampai jumpa sudah kelas 5 kamu bisa selesaikan masalah yang akan kamu selesaikan hanya dalam 4 tahun! Kamu orang yang hebat!”

Untuk menggunakan metode Gaussian, level kelas 3 sudah cukup, padahal anak normal sudah mengetahui cara menjumlahkan, mengalikan dan membagi bilangan 2-3 digit. Permasalahan muncul karena ketidakmampuan guru dewasa yang “out of touch” untuk menjelaskan hal-hal paling sederhana dalam bahasa manusia normal, apalagi matematika... Mereka tidak mampu membuat orang tertarik pada matematika dan sama sekali tidak menyurutkan semangat bahkan mereka yang “” mampu."

Atau, seperti komentar anak saya: “menghasilkan ilmu pengetahuan yang besar.”

Metode Gauss, penjelasan saya

Saya dan istri saya menjelaskan “metode” ini kepada anak kami, bahkan sebelum sekolah...

Kesederhanaan, bukan kerumitan atau permainan tanya jawab

"Lihat, ini angka dari 1 sampai 100. Apa yang kamu lihat?"

Intinya bukanlah apa sebenarnya yang dilihat anak itu. Triknya adalah membuat dia melihat.

"Bagaimana kamu bisa menyatukannya?" Putranya menyadari bahwa pertanyaan seperti itu tidak ditanyakan “begitu saja” dan Anda perlu melihat pertanyaan tersebut “dengan cara yang berbeda, berbeda dari biasanya”

Tidak masalah jika anak tersebut langsung melihat solusinya, kecil kemungkinannya. Penting bagi dia berhenti takut untuk melihat, atau seperti yang saya katakan: “memindahkan tugas”. Ini adalah awal dari perjalanan menuju pemahaman

“Mana yang lebih mudah: menambahkan, misalnya, 5 dan 6 atau 5 dan 95?” Sebuah pertanyaan utama... Namun pelatihan apa pun bertujuan untuk "membimbing" seseorang menuju "jawaban" - dengan cara apa pun yang dapat diterima olehnya.

Pada tahap ini, mungkin sudah muncul tebakan tentang bagaimana cara “menghemat” perhitungan.

Yang kami lakukan hanyalah memberi petunjuk: metode penghitungan “frontal, linier” bukanlah satu-satunya metode yang mungkin dilakukan. Jika seorang anak memahami hal ini, maka kelak dia akan menemukan lebih banyak lagi metode seperti itu, karena itu menarik!!! Dan dia pasti akan terhindar dari “kesalahpahaman” matematika dan tidak akan merasa jijik terhadapnya. Dia mendapat kemenangan!

Jika anak ditemukan bahwa menjumlahkan pasangan angka yang berjumlah seratus adalah hal yang mudah "perkembangan aritmatika dengan selisih 1"- suatu hal yang agak suram dan tidak menarik bagi seorang anak - tiba-tiba menemukan kehidupan untuknya . Keteraturan muncul dari kekacauan, dan ini selalu menimbulkan antusiasme: begitulah cara kita dibuat!

Sebuah pertanyaan yang harus dijawab: mengapa, setelah wawasan yang diterima seorang anak, ia harus kembali didorong ke dalam kerangka algoritma kering, yang juga secara fungsional tidak berguna dalam kasus ini?!

Mengapa memaksakan penulisan ulang yang bodoh? nomor urut di buku catatan: sehingga bahkan orang yang mampu pun tidak memiliki satu kesempatan pun untuk memahaminya? Tentu saja secara statistik, tetapi pendidikan massal diarahkan pada “statistik”...

Kemana perginya angka nol?

Namun, menjumlahkan angka yang berjumlah 100 jauh lebih dapat diterima oleh pikiran daripada angka yang berjumlah 101...

"Metode Sekolah Gauss" memerlukan hal ini: lipat tanpa berpikir panjang pasangan bilangan yang berjarak sama dari pusat barisan, apa pun yang terjadi.

Bagaimana jika Anda melihat?

Meski begitu, angka nol merupakan penemuan terbesar umat manusia yang berusia lebih dari 2.000 tahun. Dan guru matematika terus mengabaikannya.

Jauh lebih mudah untuk mengubah rangkaian angka yang dimulai dengan 1 menjadi rangkaian yang dimulai dengan 0. Jumlahnya tidak akan berubah, bukan? Anda harus berhenti "berpikir dalam buku teks" dan mulai mencari... Dan lihatlah bahwa pasangan dengan jumlah 101 dapat digantikan seluruhnya dengan pasangan dengan jumlah 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Bagaimana cara menghapuskan "aturan plus 1"?

Sejujurnya, saya pertama kali mendengar aturan seperti itu dari tutor YouTube itu...

Apa yang masih harus saya lakukan ketika saya perlu menentukan jumlah anggota suatu rangkaian?

Saya melihat urutannya:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

dan ketika Anda benar-benar lelah, lanjutkan ke baris yang lebih sederhana:

1, 2, 3, 4, 5

dan menurut saya: jika Anda mengurangi satu dari 5, Anda mendapatkan 4, tapi saya sangat jelas Jadi begitu 5 angka! Oleh karena itu, Anda perlu menambahkan satu! Pengertian bilangan yang dikembangkan di sekolah dasar menunjukkan: meskipun ada seluruh anggota rangkaian Google (10 pangkat seratus), polanya akan tetap sama.

Apa sih aturannya?..

Sehingga dalam beberapa tahun, dapat mengisi seluruh ruang antara dahi dan belakang kepala dan berhenti berpikir? Bagaimana cara mendapatkan roti dan mentega? Bagaimanapun, kita sedang bergerak menuju era ekonomi digital!

Lebih lanjut tentang metode sekolah Gauss: “mengapa menjadikan sains dari sini?..”

Bukan tanpa alasan saya memposting tangkapan layar dari buku catatan anak saya...

“Apa yang terjadi di kelas?”

“Yah, aku langsung menghitung, mengangkat tanganku, tapi dia tidak bertanya. Oleh karena itu, ketika yang lain menghitung, aku mulai mengerjakan pekerjaan rumah dalam bahasa Rusia agar tidak membuang waktu. ??), dia memanggilku ke papan tulis.

“Benar, tunjukkan padaku bagaimana kamu menyelesaikannya,” kata guru. Saya menunjukkannya. Dia berkata: “Salah, kamu harus menghitung seperti yang saya tunjukkan!”

“Untungnya dia tidak memberi saya nilai buruk. Dan dia menyuruh saya menulis di buku catatan mereka “jalan penyelesaiannya” dengan cara mereka sendiri.

Kejahatan utama seorang guru matematika

Hampir setelahnya kejadian itu Carl Gauss merasakan rasa hormat yang tinggi terhadap guru matematika sekolahnya. Tapi jika dia tahu caranya pengikut guru itu akan mendistorsi inti dari metode ini... dia akan mengaum dengan marah dan, melalui Organisasi Kekayaan Intelektual Dunia WIPO, melarang penggunaan nama baiknya di buku pelajaran sekolah!..

Dalam apa kesalahan utama pendekatan sekolah? Atau, seperti yang saya katakan, kejahatan guru matematika sekolah terhadap anak-anak?

Algoritma kesalahpahaman

Apa yang dilakukan para ahli metodologi sekolah, yang sebagian besarnya tidak tahu cara berpikir?

Mereka menciptakan metode dan algoritma (lihat). Ini reaksi defensif yang melindungi guru dari kritik (“Semuanya dilakukan sesuai dengan…”) dan anak-anak dari pemahaman. Jadi - dari keinginan untuk mengkritik guru!(Turunan kedua dari “kebijaksanaan” birokrasi, pendekatan ilmiah terhadap masalah). Seseorang yang tidak memahami maknanya akan lebih memilih menyalahkan kesalahpahamannya sendiri, dibandingkan kebodohan sistem sekolah.

Inilah yang terjadi: orang tua menyalahkan anak-anak mereka, dan guru... melakukan hal yang sama terhadap anak-anak yang “tidak mengerti matematika!”

Apakah kamu pintar?

Apa yang dilakukan Karl kecil?

Pendekatan yang sepenuhnya tidak konvensional terhadap tugas yang dirumuskan. Inilah inti dari pendekatan-Nya. Ini hal utama yang harus diajarkan di sekolah adalah berpikir bukan dengan buku teks, tetapi dengan kepala. Tentunya ada juga komponen instrumental yang bisa digunakan... untuk mencari metode penghitungan yang lebih sederhana dan efisien.

Metode Gauss menurut Vilenkin

Di sekolah mereka mengajarkan bahwa metode Gauss adalah

Apa, jika jumlah anggota deret tersebut ganjil, seperti pada soal yang dilimpahkan kepada anak saya?..

"Tangkapannya" adalah dalam kasus ini Anda harus menemukan nomor "ekstra" dalam seri tersebut dan menambahkannya ke jumlah pasangan. Dalam contoh kita, angka ini adalah 260.

Bagaimana cara mendeteksinya? Menyalin semua pasangan angka ke dalam buku catatan!(Inilah sebabnya guru menyuruh anak-anak melakukan pekerjaan bodoh ini dengan mencoba mengajarkan "kreativitas" menggunakan metode Gaussian... Dan inilah mengapa "metode" seperti itu secara praktis tidak dapat diterapkan pada rangkaian data yang besar, DAN inilah alasannya. bukan metode Gaussian.)

Sedikit kreativitas dalam rutinitas sekolah...

Putranya bertindak berbeda.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Tidak sulit, bukan?

Namun dalam praktiknya, hal ini menjadi lebih mudah, sehingga Anda dapat meluangkan waktu 2-3 menit untuk penginderaan jauh dalam bahasa Rusia, sementara sisanya “menghitung”. Selain itu, metode ini mempertahankan jumlah langkah metode: 5, yang tidak memungkinkan pendekatan tersebut dikritik karena tidak ilmiah.

Jelas sekali pendekatan ini lebih sederhana, lebih cepat dan lebih universal, sesuai gaya Metode. Tapi... guru tidak hanya tidak memuji, tapi juga memaksa saya untuk menulis ulang “dengan cara yang benar” (lihat tangkapan layar). Artinya, dia melakukan upaya putus asa untuk membungkam dorongan kreatif dan kemampuan memahami matematika sampai ke akar-akarnya! Rupanya, agar dia nantinya bisa dipekerjakan sebagai tutor... Dia menyerang orang yang salah...

Segala sesuatu yang saya uraikan begitu panjang dan membosankan dapat dijelaskan kepada anak normal dalam waktu maksimal setengah jam. Beserta contohnya.

Dan sedemikian rupa sehingga dia tidak akan pernah melupakannya.

Dan itu akan terjadi langkah menuju pemahaman...bukan hanya ahli matematika.

Akui saja: berapa kali dalam hidup Anda Anda menjumlahkan menggunakan metode Gaussian? Dan saya tidak pernah melakukannya!

Tetapi naluri pemahaman, yang berkembang (atau padam) dalam proses pembelajaran metode matematika di sekolah... Oh!.. Ini benar-benar hal yang tak tergantikan!

Terutama di era digitalisasi universal, yang diam-diam kita masuki di bawah kepemimpinan ketat Partai dan Pemerintah.

Beberapa kata untuk membela guru...

Tidaklah adil dan salah jika menempatkan seluruh tanggung jawab gaya mengajar seperti ini hanya pada guru sekolah. Sistem ini berlaku.

Beberapa guru memahami absurditas dari apa yang terjadi, tetapi apa yang harus dilakukan? Undang-undang tentang Pendidikan, Standar Pendidikan Negara Bagian Federal, metode, rencana pelajaran... Semuanya harus dilakukan “sesuai dan atas dasar” dan semuanya harus didokumentasikan. Minggir - berdiri dalam antrean untuk dipecat. Jangan munafik: gaji guru Moskow sangat bagus... Jika mereka memecat Anda, ke mana harus pergi?..

Oleh karena itu situs ini bukan tentang pendidikan. Dia tentang pendidikan individu, satu-satunya cara yang mungkin untuk keluar dari keramaian generasi Z ...

Misalkan diberikan sistem persamaan aljabar linier yang perlu diselesaikan (temukan nilai xi yang tidak diketahui yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).

Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:

1) Tidak punya solusi (jadilah non-bersama).
2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga.
3) Miliki solusi tunggal.

Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. metode Gauss – alat paling ampuh dan serbaguna untuk menemukan solusi terhadap sistem persamaan linear apa pun, yang dalam setiap kasus akan membawa kita pada jawabannya! Algoritma metodenya sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus tersebut. Jika metode Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang determinan, maka untuk menerapkan metode Gauss hanya diperlukan pengetahuan tentang operasi aritmatika, sehingga dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.

Transformasi matriks tertambah ( ini adalah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, ditambah kolom suku bebas) sistem persamaan aljabar linier dalam metode Gauss:

1) Dengan troki matriks Bisa mengatur kembali di beberapa tempat.

2) jika baris proporsional (sebagai kasus khusus – identik) muncul (atau ada) dalam matriks, maka Anda harus melakukannya menghapus Semua baris ini berasal dari matriks kecuali satu.

3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus.

4) suatu baris matriks dapat berupa kalikan (bagi) ke angka apa pun selain nol.

5) ke deretan matriks yang Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.

Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.

Metode Gauss terdiri dari dua tahap:

1. "Gerakan langsung" - dengan menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah). Misalnya untuk tipe ini:

Untuk melakukannya, lakukan langkah-langkah berikut:

1) Mari kita perhatikan persamaan pertama dari sistem persamaan aljabar linier dan koefisien untuk x 1 sama dengan K. Persamaan kedua, ketiga, dan seterusnya. kita ubah persamaannya sebagai berikut: kita membagi setiap persamaan (koefisien yang tidak diketahui, termasuk suku bebas) dengan koefisien yang tidak diketahui x 1, yang ada di setiap persamaan, dan mengalikannya dengan K. Setelah itu, kita kurangi yang pertama dari yang kedua persamaan (koefisien untuk yang tidak diketahui dan suku bebas). Untuk x 1 pada persamaan kedua kita memperoleh koefisien 0. Dari persamaan transformasi ketiga kita kurangi persamaan pertama sampai semua persamaan kecuali persamaan pertama, untuk x 1 yang tidak diketahui, memiliki koefisien 0.

2) Mari kita lanjutkan ke persamaan berikutnya. Misalkan ini adalah persamaan kedua dan koefisien untuk x 2 sama dengan M. Kita lanjutkan dengan semua persamaan “lebih rendah” seperti yang dijelaskan di atas. Jadi, “di bawah” x 2 yang tidak diketahui akan ada nol di semua persamaan.

3) Lanjutkan ke persamaan berikutnya dan seterusnya hingga tersisa satu persamaan terakhir yang tidak diketahui dan suku bebas yang ditransformasikan.

1. “Pergerakan terbalik” dari metode Gauss adalah memperoleh solusi terhadap sistem persamaan aljabar linier (“pergerakan “bottom-up”).

Dari persamaan "bawah" terakhir kita memperoleh satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan persamaan dasar A * x n = B. Dalam contoh yang diberikan di atas, x 3 = 4. Kita substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan “atas” berikutnya dan selesaikan dengan memperhatikan persamaan berikutnya yang tidak diketahui. Misalnya, x 2 – 4 = 1, yaitu. x 2 = 5. Begitu seterusnya hingga kita menemukan semua yang belum diketahui.

Contoh.

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss, seperti saran beberapa penulis:

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:
Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita harus memilikinya di sana. Masalahnya adalah tidak ada unit sama sekali di kolom pertama, jadi menata ulang baris tidak akan menyelesaikan apa pun. Dalam kasus seperti itu, unit tersebut harus diorganisasikan menggunakan transformasi dasar. Hal ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Ayo lakukan ini: . Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan –1. Artinya, secara mental kita mengalikan baris kedua dengan –1 dan menjumlahkan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya).

Langkah 2 . Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

Langkah 3 . Baris pertama dikalikan –1, prinsipnya untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke posisi kedua, sehingga pada “langkah” kedua kami memiliki unit yang dibutuhkan.

Langkah 4 . Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan 2.

Langkah 5 . Baris ketiga dibagi 3.

Tanda yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang, salah ketik) adalah garis bawah yang “buruk”. Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti (0 0 11 |23) di bawah, dan karenanya, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tingkat probabilitas yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa kesalahan telah terjadi pada saat dasar transformasi.

Mari kita lakukan yang sebaliknya; dalam merancang contoh, sistem itu sendiri sering kali tidak ditulis ulang, namun persamaannya “diambil langsung dari matriks yang diberikan”. Saya ingatkan Anda, langkah sebaliknya bekerja dari bawah ke atas. Dalam contoh ini, hasilnya adalah hadiah:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, maka x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Menjawab:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Mari selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kami mengerti

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bagi persamaan kedua dengan 5, dan persamaan ketiga dengan 3. Kita peroleh:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Mengalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bagilah persamaan ketiga dengan 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan ketiga, kita memperoleh matriks yang diperluas “bertingkat”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Jadi, karena kesalahan terakumulasi selama perhitungan, kita memperoleh x 3 = 0,96 atau sekitar 1.

x 2 = 3 dan x 1 = –1.

Dengan menyelesaikan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungannya dan meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.

Metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ini mudah diprogram dan tidak memperhitungkan ciri-ciri khusus koefisien yang tidak diketahui, karena dalam praktiknya (dalam perhitungan ekonomi dan teknis) kita harus berurusan dengan koefisien non-bilangan bulat.

Saya berharap Anda sukses! Sampai jumpa di kelas! Guru Dmitry Aystrakhanov.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.