dan x = b adalah persamaan eksponensial paling sederhana. Di dalamnya A lebih besar dari nol dan A tidak sama dengan satu.
Memecahkan persamaan eksponensial
Dari sifat-sifat fungsi eksponensial kita mengetahui bahwa rentang nilainya terbatas pada bilangan real positif. Maka jika b = 0, persamaan tersebut tidak mempunyai solusi. Situasi yang sama terjadi pada persamaan dimana b
Sekarang mari kita asumsikan bahwa b>0. Jika dalam fungsi eksponensial basisnya A lebih besar dari satu, maka fungsinya akan meningkat di seluruh domain definisi. Jika dalam fungsi eksponensial untuk basis A kondisi berikut terpenuhi 0 Berdasarkan hal ini dan menerapkan teorema akar, kita menemukan bahwa persamaan ax = b mempunyai satu akar tunggal, untuk b>0 dan positif A tidak sama dengan satu. Untuk menemukannya, Anda perlu menyatakan b sebagai b = a c. Perhatikan contoh berikut: selesaikan persamaan 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Bayangkan 25 sebagai 5 2, kita peroleh: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Atau yang setara: x 2 - 2*x - 1 = 2. Kami menyelesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan menggunakan salah satu metode yang diketahui. Kita mendapatkan dua akar x = 3 dan x = -1. Jawaban: 3;-1. Mari kita selesaikan persamaan 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Mari kita lakukan penggantian: t=2 x dan dapatkan persamaan kuadrat berikut: t 2 - 5*t + 4 = 0. Sekarang kita selesaikan persamaan 2 x = 1 dan 2 x = 4. Jawaban: 0;2. Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial paling sederhana juga didasarkan pada sifat-sifat fungsi naik dan turun. Jika dalam fungsi eksponensial basis a lebih besar dari satu, maka fungsi tersebut akan meningkat di seluruh domain definisi. Jika dalam fungsi eksponensial untuk basis A kondisi berikut ini terpenuhi 0 Perhatikan sebuah contoh: selesaikan pertidaksamaan (0,5) (7 - 3*x)< 4. Perhatikan bahwa 4 = (0,5) 2 . Maka pertidaksamaannya berbentuk (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Kita peroleh: 7 - 3*x>-2. Oleh karena itu: x<3. Jawaban: x<3. Jika basis pertidaksamaan lebih besar dari satu, maka saat menghilangkan basis tersebut, tanda pertidaksamaan tidak perlu diubah. Bahan tambahan Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 11 Definisi. Persamaan bentuk: $a^(f(x))=a^(g(x))$, dimana $a>0$, $a≠1$ disebut persamaan eksponensial. Mengingat teorema yang kita pelajari pada topik "Fungsi Eksponensial", kita dapat memperkenalkan teorema baru: B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$. C) Persamaan aslinya ekuivalen dengan persamaan: $x^2-6x=-3x+18$. Contoh. Contoh. Mari kita ingat cara menyelesaikan persamaan eksponensial: Contoh. Dalil. Jika $a>1$, maka pertidaksamaan eksponensial $a^(f(x))>a^(g(x))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $f(x)>g(x)$. Contoh. B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Dalam persamaan kita, basisnya adalah ketika derajat kurang dari 1, maka pada saat mengganti suatu pertidaksamaan dengan pertidaksamaan yang ekuivalen, tandanya perlu diubah. C) Ketimpangan kita setara dengan ketimpangan:
Maka jelaslah bahwa Dengan akan menjadi solusi persamaan a x = a c .
Kami menyelesaikan persamaan ini menggunakan salah satu metode yang diketahui. Kita mendapatkan akar-akarnya t1 = 1 t2 = 4Memecahkan pertidaksamaan eksponensial
Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial"
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.
Manual interaktif untuk kelas 9–11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10–11 "Logaritma"Definisi Persamaan Eksponensial
Teman-teman, kita mempelajari fungsi eksponensial, mempelajari sifat-sifatnya dan membuat grafik, menganalisis contoh persamaan yang menemukan fungsi eksponensial. Hari ini kita akan mempelajari persamaan dan pertidaksamaan eksponensial.
Dalil. Persamaan eksponensial $a^(f(x))=a^(g(x))$, dimana $a>0$, $a≠1$ ekuivalen dengan persamaan $f(x)=g(x) $.Contoh persamaan eksponensial
Contoh.
Selesaikan persamaan:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Larutan.
a) Kita tahu betul bahwa $27=3^3$.
Mari kita tulis ulang persamaan kita: $3^(3x-3)=3^3$.
Dengan menggunakan teorema di atas, kita menemukan bahwa persamaan kita tereduksi menjadi persamaan $3x-3=3$; menyelesaikan persamaan ini, kita mendapatkan $x=2$.
Jawaban: $x=2$.
Kemudian persamaan kita dapat ditulis ulang: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Jawaban: $x=0$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ dan $x_2=-3$.
Jawaban: $x_1=6$ dan $x_2=-3$.
Selesaikan persamaan: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Larutan:
Mari kita lakukan serangkaian tindakan secara berurutan dan bawa kedua ruas persamaan kita ke basis yang sama.
Mari kita lakukan sejumlah operasi di sisi kiri:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Mari beralih ke sisi kanan:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Persamaan aslinya setara dengan persamaan:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Jawaban: $x=0$.
Selesaikan persamaan: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Larutan:
Mari kita tulis ulang persamaan kita: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Mari kita ubah variabelnya, misalkan $a=3^x$.
Pada variabel baru, persamaannya akan berbentuk: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ dan $a_2=3$.
Mari kita lakukan kebalikan dari perubahan variabel: $3^x=-12$ dan $3^x=3$.
Pada pelajaran terakhir kita belajar bahwa ekspresi eksponensial hanya dapat bernilai positif, ingat grafiknya. Artinya persamaan pertama tidak mempunyai solusi, persamaan kedua mempunyai satu solusi: $x=1$.
Jawaban: $x=1$.
1. Metode grafis. Kami mewakili kedua sisi persamaan dalam bentuk fungsi dan membuat grafiknya, menemukan titik potong grafik. (Kami menggunakan metode ini dalam pelajaran terakhir).
2. Prinsip kesetaraan indikator. Prinsipnya didasarkan pada kenyataan bahwa dua ekspresi dengan basis yang sama adalah sama jika dan hanya jika derajat (pangkat) dari basis tersebut sama. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metode penggantian variabel. Metode ini sebaiknya digunakan jika persamaan, ketika mengganti variabel, menyederhanakan bentuknya dan lebih mudah diselesaikan.
Selesaikan sistem persamaan: $\begin (kasus) (27)^y*3^x=1,\\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (kasus)$.
Larutan.
Mari kita pertimbangkan kedua persamaan sistem secara terpisah:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3 tahun)*3^x=3^0$.
$3^(3tahun+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Perhatikan persamaan kedua:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Mari kita gunakan metode perubahan variabel, misalkan $y=2^(x+y)$.
Maka persamaannya akan berbentuk:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ dan $y_2=-3$.
Mari kita beralih ke variabel awal, dari persamaan pertama kita mendapatkan $x+y=2$. Persamaan kedua tidak memiliki solusi. Maka sistem persamaan awal kita ekuivalen dengan sistem: $\begin (kasus) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (kasus)$.
Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama, kita mendapatkan: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (kasus)$.
$\begin (kasus) y=-1, \\ x=3. \end (kasus)$.
Jawaban: $(3;-1)$.Ketimpangan eksponensial
Mari kita beralih ke kesenjangan. Saat menyelesaikan pertidaksamaan, perlu memperhatikan dasar derajatnya. Ada dua kemungkinan skenario yang mungkin terjadi dalam menyelesaikan kesenjangan.
Jika $0
Selesaikan kesenjangan:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Larutan.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Ketimpangan kita setara dengan ketimpangan:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
$2x-4>2$.
$x>3$.
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Mari kita gunakan metode solusi interval:
Jawaban: $(-∞;-5]U)
