Eksperimen acak. ruang probabilitas p-adic

BAB 1 TEORI PROBABILITAS

Eksperimen probabilitas. Pokok bahasan dan tugas teori probabilitas.

Hasil percobaan apa pun sampai taraf tertentu bergantung pada himpunan kondisi S di mana percobaan itu dilakukan. Kondisi-kondisi ini ada secara objektif atau diciptakan secara artifisial (yaitu, suatu eksperimen direncanakan).

Menurut tingkat ketergantungan hasil percobaan pada kondisi pelaksanaannya, semua percobaan dapat dibagi menjadi dua kelas: deterministik dan probabilistik.

Hai Eksperimen deterministik- Ini adalah eksperimen yang hasilnya dapat diprediksi sebelumnya berdasarkan hukum ilmu pengetahuan alam berdasarkan sekumpulan kondisi tertentu S.

Contoh eksperimen deterministik adalah penentuan percepatan yang diterima benda bermassa m di bawah pengaruh gaya F, yaitu nilai yang diinginkan ditentukan secara unik oleh sekumpulan kondisi eksperimen (yaitu massa benda m dan gaya F).

Deterministik, misalnya, adalah semua proses yang didasarkan pada penggunaan hukum mekanika klasik, yang menyatakan bahwa pergerakan suatu benda ditentukan secara unik oleh kondisi awal dan gaya yang bekerja pada benda tersebut.

Hai Eksperimen probabilistik (stokastik atau acak) - eksperimen yang dapat diulang beberapa kali dalam kondisi stabil yang sama, tetapi, tidak seperti eksperimen deterministik, hasil eksperimen probabilistik bersifat ambigu dan acak. Itu. Tidak mungkin meramalkan terlebih dahulu hasil eksperimen probabilistik berdasarkan himpunan kondisi S. Namun, jika suatu eksperimen probabilistik diulangi berkali-kali dalam kondisi yang sama, maka totalitas hasil eksperimen tersebut mengikuti pola tertentu. Teori probabilitas adalah studi tentang pola-pola ini (atau lebih tepatnya, model matematikanya). Mari kita berikan beberapa contoh eksperimen probabilistik, yang selanjutnya kita sebut saja eksperimen.

Contoh 1

Misalkan percobaannya terdiri dari pelemparan sebuah uang logam simetris satu kali. Eksperimen ini dapat berakhir dengan salah satu hasil yang saling eksklusif: lambang atau kisi-kisi (ekor) rontok. Jika diketahui secara pasti kelajuan awal gerak translasi dan rotasi serta posisi awal uang logam pada saat pelemparan, maka hasil percobaan tersebut dapat diprediksi berdasarkan hukum mekanika klasik. Itu. itu akan menjadi deterministik. Namun, data awal percobaan tidak dapat diperbaiki dan terus berubah. Oleh karena itu, mereka mengatakan bahwa hasil percobaan tersebut ambigu, acak. Namun, jika kita melempar koin simetris yang sama berulang kali sepanjang lintasan yang cukup panjang, yaitu. jika memungkinkan, jika kita menjaga kondisi percobaan tertentu tetap stabil, maka jumlah total hasilnya tunduk pada pola tertentu: frekuensi relatif jatuhnya lambang, frekuensi lemparan (n adalah jumlah lemparan, m 1 adalah jumlah lambang yang rontok, m 2 adalah ekor).

Contoh 2

Misalkan kita sedang mengisi kartu lotre olahraga. Sebelum pengundian kemenangan, tidak mungkin untuk memprediksi berapa angka yang akan ditebak dengan benar. Namun, pengalaman mengadakan undian lotre olahraga menunjukkan bahwa persentase rata-rata pemain yang menebak angka m (1≤m≤6) berfluktuasi di sekitar nilai konstan tertentu. “Pola” ini (persentase rata-rata menebak dengan benar sejumlah angka tertentu) digunakan untuk menghitung dana kemenangan.

Eksperimen probabilistik memiliki ciri-ciri umum berikut: hasil yang tidak dapat diprediksi; adanya pola kuantitatif tertentu yang diulang berkali-kali dalam kondisi yang sama; banyak kemungkinan hasil.

Hai Pokok bahasan teori probabilitas adalah analisis kuantitatif dan kualitatif model matematika eksperimen probabilistik, yang disebut pemrosesan data eksperimen statis.

Hai Teori probabilitas- ilmu yang berhubungan dengan analisis model matematika untuk pengambilan keputusan dalam kondisi ketidakpastian.

Acara dan operasi pada mereka.

Frekuensi relatif dan propertinya

Konsep utama teori probabilitas, yang tidak didefinisikan melalui konsep lain, adalah ruang hasil dasar Ω. Biasanya, satu-satunya hasil eksperimen yang mungkin tidak dapat diurai diambil sebagai ruang hasil dasar.

Contoh

1. Misalkan sebuah koin simetris dilempar. Kemudian (lambang dan ekor).

2. Dadu .

3. Dua buah uang logam dilempar.

4. Dua buah dadu dilempar. Banyaknya hasil dasar adalah 36.

5. Sebuah titik dilempar secara acak pada sumbu bilangan w.

6. Dua poin dilemparkan.

kamu

Definisi. Peristiwa adalah himpunan bagian A yang berubah-ubah dari ruang hasil dasar Ω. Hasil dasar yang membentuk kejadian A disebut baik acara A.

Suatu peristiwa A dikatakan terjadi jika, sebagai hasil percobaan, terjadi hasil dasar w A, yaitu. peristiwa yang menguntungkan A.

Mari kita lihat contoh 2. , – suatu peristiwa yang terdiri dari jumlah poin ganjil; – sebuah acara yang terdiri dari jumlah poin genap yang digulirkan.

o Seluruh ruang hasil elementer Ω, jika dianggap suatu kejadian, disebut dapat diandalkan peristiwa, karena terjadi dalam eksperimen apa pun (selalu).

o Himpunan kosong (yaitu himpunan yang tidak memuat satu hasil dasar pun) disebut mustahil suatu peristiwa karena tidak pernah terjadi.

Semua kejadian lain, kecuali Ω dan , disebut acak.

Operasi pada acara

0.1 Jumlah kejadian A dan B disebut gabungan himpunan A B.

– suatu peristiwa yang terjadi jika dan hanya jika paling sedikit salah satu peristiwa A atau B terjadi.

0.2 Pekerjaan kejadian A dan B disebut perpotongan himpunan A dan B, yaitu. A B. Ditunjuk sebagai AB.

AB adalah peristiwa bila A dan B terjadi secara bersamaan.

0.3 Berdasarkan perbedaan kejadian A dan B disebut selisih himpunan A\B.

A\B adalah peristiwa yang terjadi<=>ketika A terjadi dan B tidak terjadi.

o Peristiwa A dan B disebut tidak kompatibel, Jika . Jika A dan B tidak cocok, maka kita nyatakan .

o Peristiwa A dikatakan menimbulkan peristiwa B jika A merupakan himpunan bagian dari B, yaitu. (ketika A terjadi, B terjadi).

o Acara tersebut disebut di depan ke acara A.

Contoh 2. . terjadi ketika A tidak terjadi.

o Dikatakan bahwa kejadian Н 1 , Н 2 ,…, Н n membentuk kelompok yang lengkap, jika Н 1 +Н 2 +…+Н n =Ω (yaitu Н 1 , Н 2 , Н n tidak kompatibel, yaitu Н i Н j = jika i≠j).

Misalnya A dan membentuk kelompok lengkap: .

Mari kita asumsikan bahwa beberapa percobaan acak dilakukan, yang hasilnya dijelaskan oleh spasi Ω. Mari kita lakukan N percobaan. Misalkan A adalah suatu kejadian (), N(A) adalah banyaknya percobaan dimana kejadian A terjadi.

Kemudian nomor tersebut dipanggil frekuensi relatif kejadian A.

Aksioma teori probabilitas

Misalkan Ω adalah ruang hasil dasar. Misalkan F adalah suatu kelas himpunan bagian dari Ω.

o Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari Ω yang termasuk dalam kelas F. Setiap kejadian dikaitkan dengan bilangan real P(A), yang disebut probabilitas A , sehingga aksioma terpenuhi:

Aksioma 1.

Aksioma 2.,itu. peluang suatu kejadian tertentu adalah 1.

Aksioma 3.(tambahan yang dapat dihitung) Jika Dan , lalu (untuk acara yang tidak kompatibel).

Elemen kombinatorik

Lemma 1. Dari m unsur a 1 ,…,am golongan pertama dan n unsur b 1 ,…,b n golongan kedua, dapat dibuat secara tepat m∙n pasangan terurut berbentuk (ai , b j ), yang mengandung satu unsur dari masing-masing kelompok.

Bukti:

Totalnya kita punya m∙n pasangan.

Contoh. Ada 4 jenis kartu di dek (hati, sekop, tongkat, berlian), masing-masing jenis memiliki 9 kartu. Jumlahnya n=4∙9=36.

Lemma 2. Dari n 1 unsur golongan pertama a 1, a 2,…, dan n 1,

n 2 unsur golongan kedua b 1, b 2,…, b n 2,

n 3 unsur golongan ke-k x 1 , x 2 ,…, x nk

dimungkinkan untuk menyusun secara tepat n 1 ∙ n 2 ∙…∙n k kombinasi terurut berbeda dalam bentuk mengandung satu elemen dari setiap grup.

1. Untuk k=2, pernyataan tersebut benar (Lema 1).

2. Misalkan Lemma 2 berlaku untuk k. Mari kita buktikan untuk k+1 kelompok unsur . Pertimbangkan kombinasinya Bagaimana Dan . Asumsi ini memungkinkan untuk menghitung jumlah kombinasi k elemen, n 1 n 2 n k . Menurut Lemma 1, banyaknya kombinasi unsur k+1 adalah n 1 n 2 … n k +1.

Contoh. Saat melempar dua dadu N=6∙6=36. Saat melempar tiga dadu N=6∙6∙6=216.

Probabilitas geometris

Misalkan ada ruas tertentu pada garis bilangan dan sebuah titik dilempar secara acak pada ruas tersebut. Temukan peluang bahwa titik ini akan jatuh pada .

-probabilitas geometris pada garis lurus.

Misalkan sebuah bangun datar g merupakan bagian dari bangun datar G. Sebuah titik dilemparkan secara acak ke atas bangun G. Peluang suatu titik jatuh ke dalam gambar g ditentukan oleh persamaan:

-probabilitas geometrik pada bidang tersebut.

Misalkan ada bangun v di ruang yang merupakan bagian dari bangun V. Sebuah titik dilemparkan secara acak ke bangun V. Peluang suatu titik masuk ke angka v ditentukan oleh persamaan:

-probabilitas geometris dalam ruang.

Kerugian dari definisi klasik tentang probabilitas adalah bahwa ia tidak berlaku untuk percobaan dengan jumlah hasil yang tidak terbatas. Untuk menghilangkan kelemahan ini, mereka memperkenalkan probabilitas geometris.

Sifat Probabilitas

Properti 1. Peluang suatu kejadian yang mustahil adalah 0, yaitu. . .

Properti 2. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan adalah 1, yaitu. , .

Properti 3. Untuk acara apa pun . , Karena , maka dan karena itu .

Properti 4. Jika kejadian A dan B tidak sesuai, maka peluang jumlah tersebut sama dengan jumlah peluang:

Variabel acak

Hai Variabel acak X adalah fungsi X(w) yang memetakan ruang hasil dasar Ω dalam himpunan bilangan real R.

Contoh. Biarkan sebuah koin dilempar dua kali. Kemudian .

Mari kita perhatikan variabel acak X—jumlah kemunculan lambang pada ruang hasil dasar Ω. Himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel acak adalah: 2,1,0.

Himpunan nilai suatu variabel acak dilambangkan dengan x. Salah satu ciri penting dari suatu variabel acak adalah fungsi distribusi dari variabel acak tersebut.

Hai Fungsi distribusi variabel acak X disebut fungsi F(x) dari variabel nyata x, yang menentukan peluang bahwa variabel acak X, sebagai hasil percobaan, akan mengambil nilai yang lebih kecil dari bilangan tetap tertentu x.

Jika kita menganggap X sebagai titik acak pada sumbu x, maka F(x) dari sudut pandang geometri adalah peluang bahwa titik acak X hasil percobaan akan jatuh ke kiri titik x.

Alur peristiwa yang paling sederhana.

Mari kita perhatikan peristiwa yang terjadi secara acak.

Hai Alur peristiwa Panggil urutan peristiwa yang terjadi pada waktu acak.

Contoh alurnya adalah: kedatangan panggilan ke sentral telepon, ke stasiun bantuan medis darurat, kedatangan pesawat di bandara, kedatangan pelanggan di perusahaan layanan konsumen, rangkaian kegagalan elemen, dan banyak lainnya.

Di antara sifat-sifat yang dimiliki aliran, kami menyoroti sifat-sifat stasioneritas, tidak adanya konsekuensi, dan kewajaran.

o Alur peristiwa disebut tidak bergerak, jika peluang terjadinya k kejadian selama periode waktu yang berdurasi t hanya bergantung pada k dan t.

Jadi, sifat stasioneritas dicirikan oleh fakta bahwa peluang terjadinya k peristiwa pada selang waktu apa pun hanya bergantung pada bilangan k dan durasi t interval dan tidak bergantung pada awal penghitungannya; dalam hal ini, interval waktu yang berbeda dianggap terputus-putus. Misalnya, peluang terjadinya k kejadian pada selang waktu (1, 7), (10, 16), (T, T+6) dengan durasi yang sama t=6 satuan waktu adalah sama satu sama lain.

o Alur peristiwa disebut biasa, jika tidak lebih dari satu peristiwa dapat terjadi dalam jangka waktu yang sangat kecil.

Dengan demikian, sifat kewajaran dicirikan oleh fakta bahwa terjadinya dua peristiwa atau lebih dalam waktu singkat secara praktis tidak mungkin terjadi. Dengan kata lain, peluang terjadinya lebih dari satu peristiwa pada waktu yang sama praktis nol.

o Alur peristiwa dikatakan mempunyai sifat tidak ada konsekuensi, jika terdapat saling independensi terjadinya sejumlah peristiwa tertentu dalam selang waktu yang tidak tumpang tindih. Dengan demikian, sifat tidak ada konsekuensi dicirikan oleh fakta bahwa probabilitas terjadinya k peristiwa pada interval waktu apa pun tidak bergantung pada apakah peristiwa muncul atau tidak pada titik waktu sebelum awal periode yang dipertimbangkan. Dengan kata lain, probabilitas bersyarat terjadinya k peristiwa selama periode waktu tertentu, dihitung berdasarkan asumsi sewenang-wenang tentang apa yang terjadi sebelum awal periode tersebut (yaitu, berapa banyak peristiwa yang muncul, dalam urutan apa), adalah sama pada kemungkinan tanpa syarat. Akibatnya, sejarah arus tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya peristiwa dalam waktu dekat.

o Alur peristiwa disebut paling sederhana atau Poisson, jika stasioner, biasa saja, tanpa konsekuensi.

Hai Intensitas aliran λ adalah jumlah rata-rata kejadian yang terjadi per satuan waktu.

Jika diketahui konstanta intensitas aliran, maka peluang terjadinya k kejadian aliran paling sederhana selama selang waktu berdurasi t ditentukan dengan rumus:

, . rumus Poisson.

Rumus ini mencerminkan semua sifat aliran paling sederhana, sehingga dapat dianggap sebagai model matematika aliran paling sederhana.

Contoh. Rata-rata jumlah panggilan yang diterima PBX per menit adalah dua. Tentukan peluang bahwa dalam 5 menit Anda akan menerima: a) dua panggilan; b) kurang dari dua panggilan; c) setidaknya dua panggilan. Alur panggilan diasumsikan sederhana.

Dengan syarat λ=2, t=5, k=2. Menurut rumus Poisson

A) - peristiwa ini praktis tidak mungkin terjadi.

B) - peristiwa tersebut praktis tidak mungkin, karena kejadian “tidak ada panggilan diterima” dan “satu panggilan diterima” tidak kompatibel.

B) - peristiwa ini hampir pasti.

Sifat dispersi.

Properti 1. Varians dari nilai konstanta C adalah 0,DC=0.

Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya:

Properti 3. Varians dari jumlah dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians dari variabel-variabel berikut:

Konsekuensi. Varians jumlah beberapa variabel acak independen sama dengan jumlah varians variabel-variabel tersebut.

Teorema 2. Varians banyaknya kemunculan kejadian A dalam n percobaan bebas, yang masing-masing peluang p terjadinya kejadian tersebut adalah konstan, sama dengan hasil kali banyaknya percobaan dengan peluang terjadinya dan non- terjadinya peristiwa dalam satu kali percobaan: .

Variabel acak X adalah banyaknya kemunculan kejadian A dalam n percobaan bebas. , dimana X i adalah banyaknya kemunculan kejadian pada percobaan ke-i, saling bebas, karena hasil setiap percobaan tidak bergantung pada hasil percobaan lainnya.

Karena MX 1 = hal. , Itu . Jelasnya, varians dari variabel acak yang tersisa juga sama dengan pq, dari mana .

Contoh. 10 percobaan independen dilakukan, yang masing-masing percobaan mempunyai peluang terjadinya suatu peristiwa adalah 0,6. Temukan varians dari variabel acak X - jumlah kemunculan peristiwa dalam uji coba ini.

n=10; p=0,6; q = 0,4.

Hai Momen awal orde terhadap variabel acak X disebut ekspektasi matematis dari variabel acak X k:

. Secara khusus, , .

Dengan menggunakan titik-titik ini, rumus untuk menghitung varians dapat ditulis seperti ini: .

Selain momen variabel acak X, disarankan untuk mempertimbangkan momen deviasi X-XM.

Hai Momen sentral pesanan k variabel acak X disebut ekspektasi matematis dari nilai (X-MX) k.

Secara khusus

Karena itu, .

Berdasarkan definisi momen sentral dan menggunakan sifat-sifat ekspektasi matematis, kita dapat memperoleh rumus:

Momen orde tinggi jarang digunakan.

Komentar. Momen yang didefinisikan di atas disebut teoretis. Berbeda dengan momen teoritis, disebut momen yang dihitung dari data observasi empiris.

Sistem variabel acak.

o Vektor, dimana variabel -acak disebut n- vektor acak dimensi.

Jadi, vektor acak memetakan ruang hasil dasar Ω→IR n ke ruang nyata berdimensi n IR n.

o Fungsi

Ditelepon fungsi distribusi vektor acak atau fungsi distribusi bersama variabel acak.

Properti 4.

o Vektor acak disebut terpisah, jika semua komponennya merupakan variabel acak diskrit.

o Vektor acak ditelepon kontinu, jika terdapat fungsi non-negatif, disebut densitas distribusi variabel acak sedemikian rupa sehingga fungsi distribusi tersebut .

Sifat korelasi.

Properti 1. Nilai absolut dari koefisien korelasi tidak melebihi kesatuan, yaitu. .

Properti 2. Agar variabel acak X dan Y perlu dan cukup dihubungkan dengan hubungan linier. Itu. dengan probabilitas 1.

Properti 3. Jika variabel acak bersifat independen, maka variabel tersebut tidak berkorelasi, mis. r=0.

Misalkan X dan Y saling bebas, maka berdasarkan sifat ekspektasi matematis

o Dua variabel acak X dan Y dipanggil berkorelasi, jika koefisien korelasinya berbeda dari nol.

Hai Variabel acak X dan Y disebut tidak berkorelasi jika koefisien korelasinya 0.

Komentar. Korelasi dua variabel acak menyiratkan ketergantungannya, tetapi ketergantungan tersebut belum menyiratkan korelasi. Dari independensi dua variabel acak maka keduanya tidak berkorelasi, namun dari ketidakkonkorelan tersebut masih belum mungkin disimpulkan bahwa variabel-variabel tersebut independen.

Koefisien korelasi mencirikan kecenderungan variabel acak menuju ketergantungan linier. Semakin besar nilai absolut koefisien korelasi maka semakin besar kecenderungan ketergantungan linier.

Hai Koefisien asimetri variabel acak X adalah bilangan

Tanda koefisien asimetri menunjukkan asimetri sisi kanan atau sisi kiri.

o Kurtosis suatu variabel acak X adalah bilangan .

Mencirikan kehalusan kurva distribusi dalam kaitannya dengan kurva distribusi normal.

Fungsi pembangkitan

o Di bawah bilangan bulat Yang kami maksud dengan variabel acak adalah variabel acak diskrit yang dapat mengambil nilai 0,1,2,...

Jadi, jika suatu variabel acak X adalah bilangan bulat, maka ia mempunyai deret distribusi

Fungsi pembangkitnya disebut fungsi

distribusi x-kuadrat

Misalkan X i adalah variabel acak bebas normal, dan ekspektasi matematis masing-masing variabel tersebut sama dengan nol, dan simpangan baku (atau varians) sama dengan satu. Kemudian jumlah kuadrat besaran-besaran tersebut didistribusikan menurut hukum X 2 dengan k=n derajat kebebasan. Jika besaran X i tersebut dihubungkan dengan satu hubungan linier, misalnya, maka banyaknya derajat kebebasan k=n-1.

Kepadatan distribusi ini , Di mana -fungsi gamma; khususnya, (n+1)=n!

Hal ini menunjukkan bahwa distribusi “x dan kuadrat” ditentukan oleh satu parameter—jumlah derajat kebebasan k. Ketika jumlah derajat kebebasan meningkat, distribusi perlahan-lahan mendekati normal.

Distribusi siswa

Misalkan besaran Z berdistribusi normal, dan M(Z)=0, G 2 =1, mis. Z~N(0,1), dan V adalah besaran yang tidak bergantung pada Z, yang terdistribusi menurut hukum X 2 dengan derajat kebebasan k. Maka besaran tersebut mempunyai distribusi yang disebut distribusi t atau distribusi Student (nama samaran ahli statistik Inggris W. Gosset), dengan derajat kebebasan k. Ketika jumlah derajat kebebasan bertambah, distribusi Student dengan cepat mendekati normal.

Kepadatan distribusi variabel acak t berbentuk , .

Variabel acak t memiliki ekspektasi matematis Mt=0, (k>2).

Distribusi nelayan

Jika U dan V adalah variabel acak bebas yang terdistribusi menurut hukum X 2 dengan derajat kebebasan k 1 dan k 2 , maka nilai tersebut berdistribusi Fisher F dengan derajat kebebasan k 1 dan k 2 . Kepadatan distribusi ini , Di mana

.

Distribusi Fisher F ditentukan oleh dua parameter—jumlah derajat kebebasan.

Fungsi karakteristik

0. 1 Variabel acak , di mana i adalah satuan imajiner, mis. , dan X dan Y adalah variabel acak nyata, disebut bernilai kompleks variabel acak. (saya 2 = –1).

0. 2 Ekspektasi matematis dari variabel acak bernilai kompleks Z disebut . Semua properti ekspektasi matematis tetap valid untuk variabel acak bernilai kompleks.

0. 3 Variabel acak bernilai kompleks Z 1 =X 1 +iY 1 dan Z 2 =X 2 +iY 2 disebut independen jika keduanya independen.

Hukum jumlah besar

Fitur Acak

Hai Fungsi acak adalah fungsi X(t), yang nilainya, untuk setiap nilai argumen t, merupakan variabel acak.

Dengan kata lain, fungsi acak adalah fungsi yang, sebagai hasil percobaan, dapat mengambil satu atau lain bentuk tertentu, meskipun tidak diketahui sebelumnya yang mana.

o Bentuk spesifik yang diambil oleh suatu peubah acak sebagai hasil percobaan disebut implementasi fungsi acak.

Karena dalam praktiknya, argumen t paling sering bersifat sementara, maka fungsi acak disebut sebaliknya proses acak.

Gambar tersebut menunjukkan beberapa implementasi dari proses acak.

Jika kita menetapkan nilai argumen t, maka fungsi acak X(t) akan berubah menjadi variabel acak, yang disebut penampang fungsi acak, sesuai dengan waktu t. Kita asumsikan bahwa distribusi penampang tersebut kontinu. Kemudian X(t) untuk t tertentu ditentukan oleh kepadatan distribusi p(x; t).

Jelasnya, p(x; t) bukanlah karakteristik lengkap dari fungsi acak X(t), karena p(x; t) tidak menyatakan ketergantungan antar bagian X(t) pada waktu t yang berbeda. Penjelasan lebih lengkap diberikan oleh fungsinya - kepadatan distribusi gabungan dari sistem variabel acak , di mana t 1 dan t 2 adalah nilai arbitrer dari argumen t dari fungsi acak. Karakterisasi yang lebih lengkap dari fungsi acak X(t) akan diberikan oleh kepadatan distribusi yang kompatibel dari sistem tiga variabel acak, dll.

o Mereka mengatakan bahwa proses acak memiliki pesanan n, jika sepenuhnya ditentukan oleh kepadatan distribusi yang kompatibel dari n bagian proses yang berubah-ubah, mis. sistem n variabel acak, di mana X(t i) adalah penampang proses yang sesuai dengan momen waktu t i, tetapi tidak ditentukan dengan menentukan distribusi gabungan dari jumlah bagian yang lebih kecil dari n.

o Jika kepadatan distribusi gabungan dari dua penampang sembarang suatu proses sepenuhnya menentukannya, maka proses seperti itu disebut Markovsky.

Misalkan ada fungsi acak X(t). Timbul tugas untuk mendeskripsikannya menggunakan satu atau lebih karakteristik non-acak. Sebagai yang pertama, wajar saja jika mengambil fungsinya -ekspektasi matematis dari proses acak. Yang kedua dianggap sebagai simpangan baku dari proses acak.

Ciri-ciri tersebut adalah beberapa fungsi dari t. Yang pertama adalah lintasan rata-rata untuk semua kemungkinan implementasi. Yang kedua mencirikan kemungkinan penyebaran realisasi fungsi acak di sekitar lintasan rata-rata. Namun karakteristik ini saja tidak cukup. Penting untuk mengetahui ketergantungan besaran X(t 1) dan X(t 2). Ketergantungan ini dapat dicirikan dengan menggunakan fungsi korelasi atau momen korelasi.

Misalkan ada dua proses acak, beberapa implementasinya ditunjukkan pada gambar.

Proses acak ini memiliki ekspektasi matematis dan deviasi standar yang kurang lebih sama. Namun, ini adalah proses yang berbeda. Implementasi apa pun untuk fungsi acak X 1 (t) secara perlahan mengubah nilainya dengan perubahan t, yang tidak dapat dikatakan tentang fungsi acak X 2 (t). Untuk proses pertama, ketergantungan antara penampang X 1 (t) dan akan lebih besar dari ketergantungan penampang X 2 (t) dan proses kedua, yaitu. menurun lebih lambat dibandingkan , dengan meningkatnya Δt. Dalam kasus kedua, proses “melupakan” masa lalunya lebih cepat.

Mari kita membahas sifat-sifat fungsi korelasi, yang mengikuti sifat-sifat momen korelasi sepasang variabel acak.

Properti 1. Sifat simetri.

Properti 2. Jika suku non-acak ditambahkan ke fungsi acak X(t), maka fungsi korelasi tidak akan berubah, yaitu. .

§1. Apa yang dipelajari teori probabilitas dan kapan teori itu muncul? Konsep percobaan acak. Ruang hasil dasar. Jenis dan contohnya. Elemen kombinatorik. Konsep suatu acara.

Informasi sejarah:

Secara historis, teori probabilitas muncul sebagai teori perjudian (roulette, dadu, kartu, dll). pada akhir abad ke-17. Awal perkembangannya dikaitkan dengan nama Pascal, Bernoulli, Moivre, Laplace, dan kemudian (awal abad ke-19) Gauss dan Poisson.

Studi pertama tentang teori probabilitas di Rusia dimulai pada pertengahan abad ke-19 dan dikaitkan dengan nama-nama ahli matematika terkemuka seperti N.I. Lobachevsky, M.V. Ostrogradsky, V.Ya. Bunyakovsky (salah satu orang pertama yang menerbitkan buku teks dengan aplikasi di bidang asuransi dan demografi).

Perkembangan lebih lanjut dari teori probabilitas (akhir abad ke-19 dan dua puluhan) terutama dikaitkan dengan nama ilmuwan Rusia Chebyshev, Lyapunov dan Makarov. Sejak tahun 30-an abad ke-20, cabang matematika ini mengalami masa kejayaan, menemukan penerapannya dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Saat ini, ilmuwan Rusia Bernstein, Khinchin dan Kolmogorov memberikan kontribusi yang signifikan terhadap perkembangan teori probabilitas. Kolmogorov, pada usia 30 tahun pada tahun 1933, yang mengusulkan konstruksi aksiomatik teori probabilitas, membangun hubungannya dengan cabang matematika lainnya (teori himpunan, teori ukuran, analisis fungsional).

Teori probabilitas merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari model matematika percobaan acak, yaitu. eksperimen, yang hasilnya tidak dapat ditentukan secara jelas oleh kondisi eksperimen. Diasumsikan bahwa eksperimen itu sendiri dapat diulangi (setidaknya secara prinsip) berapa kali pun dalam kondisi yang tidak berubah, dan hasil eksperimen tersebut stabil secara statistik.

Konsep percobaan acak

Contoh percobaan acak:

1. Melempar koin satu kali.

2. Melempar dadu satu kali.

3. Pemilihan bola secara acak dari guci.

4. Mengukur waktu aktif bola lampu.

5. Mengukur jumlah panggilan yang masuk ke PBX per satuan waktu.

Suatu percobaan dikatakan acak jika hasil dari percobaan pertama tidak dapat diprediksi, tetapi juga lebih jauh lagi. Misalnya, suatu reaksi kimia terjadi, yang hasilnya tidak diketahui. Jika dilakukan satu kali dan diperoleh hasil tertentu, maka dengan percobaan lebih lanjut dalam kondisi yang sama, keacakan tersebut hilang.

Anda dapat memberikan contoh seperti ini sebanyak yang Anda suka. Apa kesamaan eksperimen dengan hasil acak? Ternyata meskipun hasil dari setiap percobaan yang disebutkan di atas tidak mungkin diprediksi, dalam praktiknya telah lama diketahui jenis pola tertentu, yaitu: ketika melakukan pengujian dalam jumlah besar frekuensi yang diamati terjadinya setiap peristiwa acak stabil, itu. berbeda semakin kecil dari suatu bilangan tertentu yang disebut peluang suatu kejadian.

Frekuensi pengamatan kejadian A() adalah perbandingan banyaknya kejadian kejadian A() dengan jumlah percobaan (N):

Misalnya pada pelemparan sebuah uang logam secara adil, pecahannya

pada

(
-jumlah elang, N– jumlah total lemparan)

Sifat stabilitas frekuensi ini memungkinkan, tanpa dapat memprediksi hasil percobaan tunggal, untuk secara akurat memprediksi sifat-sifat fenomena yang terkait dengan pengalaman yang bersangkutan. Oleh karena itu, metode teori probabilitas dalam kehidupan modern telah merambah ke semua bidang aktivitas manusia, tidak hanya dalam ilmu alam, ekonomi, tetapi juga dalam bidang humaniora, seperti sejarah, linguistik, dll. Berdasarkan pendekatan ini penentuan statistik probabilitas.

pada
(frekuensi pengamatan suatu peristiwa cenderung ke probabilitasnya seiring dengan bertambahnya jumlah eksperimen, yaitu dengan n
).

Definisi 1.1: Hasil dasar (atau peristiwa dasar) sebutkan hasil eksperimen yang paling sederhana (yaitu tidak dapat dibagi dalam kerangka pengalaman tertentu). Kita akan menyebut himpunan semua hasil dasar ruang hasil dasar.

Contoh membangun ruang hasil dasar:

Mari kita perhatikan percobaan acak berikut: melempar sebuah dadu satu kali, mengamati jumlah poin yang dijatuhkan di sisi atas. Mari kita buat ruang hasil dasar untuknya:

Berisi semua opsi, tampilan setiap opsi mengecualikan tampilan opsi lainnya, semua opsi tidak dapat dibagi.

Ruang hasil dasar (jenis dan contoh untuk setiap jenis):

Perhatikan diagram berikut

Ruang diskrit– ini adalah ruang di mana hasil individu dapat dibedakan . Dalam diskrit terbatas Anda dapat secara akurat menunjukkan nomornya.

Contoh ruang diskrit hasil dasar

Percobaan:pelemparan koin tunggal

, Di mana

Dapat dimasukkan dalam produksi e.i. opsi koin jatuh pada tepinya, tetapi kami mengecualikannya dari model karena tidak mungkin (setiap model merupakan perkiraan)

Jika koinnya benar, mis. Karena ia mempunyai kepadatan yang sama di semua tempat dan pusat gravitasinya tidak berpindah tempat, maka hasil “lambang” dan “ekor” mempunyai peluang yang sama untuk muncul. Jika pusat gravitasi koin digeser, maka kemungkinan terjadinya kejadian akan berbeda-beda.

Komentar: Jika suatu soal tidak menjelaskan apa pun tentang sebuah koin, maka soal tersebut dianggap benar.

Percobaan:satu pelemparan dua koin.

Catatan: Jika koinnya sama, maka hasil RG dan GR secara visual tidak dapat dibedakan. Anda dapat menandai salah satu koin dengan cat dan koin tersebut akan terlihat berbeda secara visual.

Model dapat dibangun dengan berbagai cara:

atau kita bedakan hasil RG, GR lalu kita dapatkan 4 vars

, Di mana

Dalam hal ini, jika kedua koin benar, semua opsi mempunyai peluang yang sama untuk muncul.

atau kita tidak membedakan pilihan RG dan GR lalu berakhir dengan 3 pilihan.

, Di mana

Dalam hal ini, jika kedua koin tersebut benar, maka opsi RG ​​memiliki peluang lebih besar untuk muncul dibandingkan opsi GG dan RR, karena itu diterapkan dalam dua cara: lambang pada koin pertama dan ekor pada koin kedua dan sebaliknya.

Eksperimen: pemilihan acak dari sekelompok 20 siswa, 5 orang untuk melakukan perjalanan ke konferensi. Hasil percobaan: lima spesifik.

Saat memilih, hanya komposisi yang penting bagi kami, yaitu. tidak peduli siapa yang kita pilih pertama, siapa yang kita pilih kedua, dan seterusnya. Pada saat yang sama

(berapa “lima” dengan komposisi berbeda yang dapat diperoleh dari 20 orang) (faktorial)

(

Jawaban atas pertanyaan ini sekali lagi diberikan oleh ilmu kombinatorik.

Semua opsi 15504 mempunyai peluang yang sama untuk muncul, karena pilihannya acak. Eksperimen: pemilihan acak dari sekelompok siswa yang terdiri dari 20 orang, 5 orang untuk menerima bonus dengan jumlah yang bervariasi. Hasil percobaan

1860480 (: kembar lima yang dipesan tertentu. Saat memilih, tidak hanya komposisi yang penting bagi kami, tetapi juga urutan pemilihannya, karena Besar kecilnya bonus tergantung pada bagaimana orang tersebut dipilih.

berapa banyak pesanan “lima” berbeda yang dapat diperoleh dari 20 orang).

(

Jawaban atas pertanyaan ini sekali lagi diberikan oleh ilmu kombinatorik. 1860480 Semua

pilihan mempunyai peluang yang sama untuk muncul, karena pilihannya acak.

Jelas bahwa akan ada lebih banyak “lima” yang terurut daripada yang tidak berurutan, karena dengan komposisi yang sama dapat terdapat beberapa pilihan pemesanan: dalam hal ini, pada setiap komposisi 5 orang terdapat 120 kemungkinan pilihan pemesanan yang berbeda.

UNSUR KOMBINATORIK

Aturan perkalian umum:Biarkan itu perlu untuk berkomitmenM tindakan independen dan tindakan pertama dapat dilakukan cara, yang kedua -Biarkan itu perlu untuk berkomitmencara, dll. ….
tindakan -th

cara. Kemudian seluruh rangkaian tindakan dapat dilakukan

cara.

Permutasi dariNelemen himpunan terurut dari elemen-elemen ini disebut.

-jumlah permutasi dari n elemen

Penjelasan: Elemen pertama dapat dipilih dengan n cara, elemen kedua dengan n-1 cara, dst. elemen terakhir dilakukan dengan satu cara, dan dikalikan berdasarkan aturan perkalian umum

Penempatan.

Akomodasi dariNOlehBiarkan itu perlu untuk berkomitmen disebut apa saja set yang dipesan dari m elemen dipilih secara acak dari populasi yang mengandung n elemen (m

Jumlah penempatan n elemen per m (jumlah opsi untuk pilihan yang terurut).

Penjelasan: Elemen pertama dapat dipilih dengan n cara, elemen kedua dengan n-1 cara, dst. , dan dikalikan berdasarkan aturan perkalian umum.

Kombinasi.

Kombinasi dariNOlehBiarkan itu perlu untuk berkomitmen disebut apa saja himpunan tidak berurutan dari m elemen dipilih secara acak dari populasi yang mengandung n elemen.

Kombinasi dan penempatan dihubungkan sebagai berikut:

(untuk setiap komposisi m elemen kita memiliki m! himpunan terurut). Dengan demikian,

jumlah kombinasi n elemen m (jumlah opsi untuk pilihan tak berurutan

Contoh ruang hasil dasar yang berkesinambungan

Percobaan: dua orang membuat janji di tempat tertentu antara pukul 12 dan 13, dan masing-masing dari mereka dapat datang dalam waktu tersebut kapan saja. Kami melacak momen kedatangan mereka. Setiap pilihan kedatangan 2 orang adalah sebuah titik dari persegi dengan sisi 60 (karena ada 60 menit dalam satu jam).

(yang pertama bisa tiba jam 12 x menit, yang kedua jam 12 y menit). Semua titik dalam kotak tidak bisa tidak dihitung dan diberi nomor ulang. Ini adalah struktur kontinunya dan, oleh karena itu, dalam eksperimen ini merupakan ruang kontinu dari hasil-hasil elementer.

Acara dan operasi pada mereka:

Definisi 1.2

Setiap sekumpulan hasil dasar disebut peristiwa. DENGAN acara ditandai dengan huruf latin kapital A, B, C atau huruf dengan indeks A 1, A 2, A 3, dst.

Terminologi berikut sering digunakan: mereka mengatakan bahwa peristiwa A telah terjadi (atau telah terjadi) jika salah satu hasil dasar muncul sebagai akibat dari pengalaman tersebut.
.

Contoh peristiwa

Mari kita kembali ke percobaan pelemparan sebuah dadu. Perhatikan peristiwa berikut ini:

A=(menggulirkan jumlah poin genap)

B=(menggulirkan jumlah poin ganjil)

C=(menggulirkan sejumlah titik yang merupakan kelipatan 3)

Kemudian, menurut notasi yang diperkenalkan sebelumnya,

Definisi 1.3

Suatu peristiwa yang terdiri dari semua hasil dasar, yaitu. suatu peristiwa yang pasti terjadi dalam suatu pengalaman tertentu disebut dapat diandalkan. Itu ditunjuk
serta ruang hasil dasar.

Contoh acara yang dapat diandalkan: Saat melempar dadu, akan muncul tidak lebih dari 6 poin, atau saat melempar dadu, akan muncul minimal satu poin.

Definisi 1.4

Suatu peristiwa yang tidak mengandung satu pun hasil dasar, yaitu. suatu peristiwa yang tidak pernah terjadi dalam suatu pengalaman tertentu disebut mustahil. Itu ditandai dengan simbol  .

Contoh kejadian yang mustahil: Saat melempar dua dadu, jumlah poin yang diperoleh adalah 20.

Operasi pada acara:

frase, setidaknya salah satu peristiwa A atau B terjadi).

Definisi 1.5 Peristiwa A dan B disebut tidak kompatibel, jika perpotongannya merupakan peristiwa yang mustahil, mis. AB=  .

Contoh tugas operasi pada event:

Tiga tembakan dilepaskan ke sasaran. Pertimbangkan kejadiannya

(Pukul dengan tembakan ke-i), i=1..3

Dengan menggunakan operasi teori himpunan, nyatakan kejadian berikut dalam bentuk kejadian A i:

A=(tiga pukulan)=

B=(tiga meleset)=

C=(setidaknya satu pukulan)=

D=(setidaknya satu kali meleset)=

E=(setidaknya dua pukulan)=
+
+
+

F=(tidak lebih dari satu pukulan)=
++
+

G=(mencapai target tidak lebih awal dari tembakan ketiga)=

Ide: selanjutnya akan ada tugas jenis ini: probabilitas kejadian diberikan dan, dengan mengetahui peluang-peluang ini, diperlukan untuk mencari peluang kejadian A, B, C, D, E, F, G

§2. KONSEP PROBABILITAS

Untuk membandingkan peluang terjadinya peristiwa secara kuantitatif, konsep probabilitas diperkenalkan.

Definisi 2.1 Biarkan setiap acara A terkirim sesuai nomor P(A). Fungsi numerik P disebut probabilitas atau ukuran probabilitas, jika memenuhi aksioma berikut:

Aksioma non-negatif

Aksioma normalisasi

Aksioma penjumlahan (diperpanjang) beberapa sedang dipelajari acak peristiwa ...

Yang hasilnya tidak dapat diprediksi secara akurat. Model matematika harus memenuhi persyaratan:

Hasil yang diamati.

- frekuensi relatif implementasi eksperimen.

Deskripsi akurat tentang sifat eksperimen acak memerlukan definisi hasil dasar, kejadian acak dan probabilitasnya, variabel acak, dll.

Yayasan Wikimedia.

Lihat apa itu “Eksperimen acak” di kamus lain:

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Eksperimen (arti). Periksa informasi. Penting untuk memeriksa keakuratan fakta dan keandalan informasi yang disajikan dalam artikel ini. Seharusnya ada penjelasan di halaman pembicaraan... Wikipedia

Kucing Erwin Schrödinger Schrödinger (kucing Schrodinger) adalah pahlawan dari eksperimen pemikiran Erwin Schrödinger yang tampaknya paradoks, yang dengannya ia ingin menunjukkan ketidaklengkapan mekanika kuantum dalam transisi dari sistem subatom ke sistem makroskopis ... Wikipedia

Percobaan- (lat. pengalaman eksperimen, bukti) 1) investigasi, tindakan investigasi independen. Ini terdiri dari mereproduksi situasi dan keadaan lain dari peristiwa tertentu dan melakukan tindakan eksperimental yang diperlukan untuk memverifikasi... ... Ensiklopedia forensik

EKSPERIMEN dalam ilmu sosial- salah satu metode penelitian empiris yang digunakan untuk mempelajari hubungan sebab akibat atau menguji hipotesis. Ini adalah dasar dari apa yang disebut penelitian kausal. Sejarah E. dimulai dengan karya-karya J.S. Pabrik. Mill percaya bahwa... Sosiologi: Ensiklopedia

Himpunan tertentu, berhingga atau tak terhingga. Eksperimen acak apa pun dapat diartikan sebagai pemilihan acak suatu individu dari sistem G. yang tak terbatas. Dalam studi statistik dari sistem statistik yang dicirikan oleh fungsi distribusi probabilitas,... ... Ensiklopedia Geologi

Peristiwa acak adalah bagian dari himpunan hasil percobaan acak; Ketika suatu percobaan acak diulang berkali-kali, frekuensi terjadinya suatu peristiwa berfungsi sebagai perkiraan probabilitasnya. Peristiwa acak yang tidak pernah terwujud di... ... Wikipedia

Fungsi probabilitas ... Wikipedia

Paradoks Einstein Podolsky Rosen (paradoks EPR) adalah upaya untuk menunjukkan ketidaklengkapan mekanika kuantum menggunakan eksperimen pemikiran yang terdiri dari pengukuran parameter suatu objek mikro secara tidak langsung, tanpa mempengaruhi ... ... Wikipedia

GOST 24026-80: Tes penelitian. Perencanaan percobaan. Istilah dan definisi- Terminologi GOST 24026 80: Tes penelitian. Perencanaan percobaan. Istilah dan definisi dokumen asli: 34. Kecukupan model matematika Kecukupan model Kesesuaian model matematika dengan data eksperimen... ...

RDMU 109-77: Pedoman. Metodologi untuk memilih dan mengoptimalkan parameter proses teknologi yang terkontrol- Terminologi RDMU 109 77 : Pedoman. Metodologi untuk memilih dan mengoptimalkan parameter terkontrol dari proses teknologi: 73. Kecukupan model Kesesuaian model dengan data eksperimen pada parameter optimasi yang dipilih dengan... ... Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis

Definisi 1. Eksperimen acak adalah rangkaian tindakan yang digambarkan dengan jelas dan dapat diulangi sebanyak yang diinginkan, namun hasilnya tidak dapat diprediksi dengan pasti. Ketidakmampuan untuk memprediksi secara akurat hasil suatu eksperimen disebabkan oleh banyak faktor di luar kendali kita. Semua hasil percobaan ditunjukkan dengan huruf .

Definisi 2. Peristiwa acak adalah himpunan bagian dari semua kemungkinan hasil percobaan acak.

Contoh(percobaan acak):

1. Lihatlah layar terminal bursa untuk mengetahui kutipan terbaru dari suatu saham yang likuid, misalnya saham RAO UES sebagai hasil percobaan.
2. Lempar dadu dan lihat hasil percobaan - jumlah poin yang dilempar.

Contoh(kejadian acak):

1. Peristiwa acak A = - lihat, dengan melihat layar monitor saham, kutipan saham RAO UES dalam kisaran ini.
2. Kejadian acak B = (2, 3) - lihat salah satu angka ini dengan melihat dadu yang jatuh.

Penomoran asli buku soal FCSM yang disediakan oleh Exchange School telah dipertahankan. Hal ini tidak boleh dianggap penting; hal ini dipertahankan demi kenyamanan orang yang bersiap untuk mengikuti ujian profesional sekuritas.

1.4.1.11 Dalam teori probabilitas, peristiwa acak dipahami sebagai fakta tertentu, yang dicirikan oleh ciri-ciri berikut:
Saya mengamati sekali
II Dapat diamati berulang kali
III Tidak mungkin untuk mengatakan dengan pasti apakah hal ini akan terjadi lagi atau tidak
IV Tergantung pada kendali kondisi percobaan, dapat dinyatakan dengan penuh kepastian apakah hal itu akan terjadi atau tidak

A) Hanya I dan IV yang benar
*B) Hanya II dan III yang benar
C) Hanya II, III atau IV yang benar
D) Hanya III yang benar

Larutan. Dari definisi 1, 2 terlihat jelas bahwa hanya pernyataan II dan III yang benar, yaitu. jawaban yang benar adalah B.

Definisi 3. Semua hasil percobaan adalah sekumpulan titik tertentu yang bersifat arbitrer, yang disebut acara yang dapat diandalkan , Karena Saat melakukan eksperimen acak, beberapa hasil eksperimen pasti akan terjadi.

Definisi 4. Peristiwa yang mustahil - ini adalah eksperimen yang tidak memiliki hasil, dan oleh karena itu, tidak dapat muncul selama eksperimen.

Untuk tujuan pendidikan, kami menggambarkan peristiwa yang dapat diandalkan dalam sebuah lingkaran.

Definisi 5. Maka kejadian acak A adalah beberapa subdomainnya, dan acara tambahan (atau negatif terhadap A ) ke kejadian A disebut kumpulan “bukan A” - ini semua adalah titik-titik dari yang tidak termasuk dalam A (yaitu A dan “bukan A” tidak berpotongan, tetapi bersama-sama membentuk segalanya).

Definisi 6."Jumlah" atau "penyatuan" atau acara “A atau B” – himpunan yang mencakup semua poin dari kedua himpunan dan hanya poinnya saja

Definisi 7."Bekerja" atau "persimpangan" atau acara “A dan B” - himpunan yang hanya memuat titik-titik yang termasuk dalam himpunan A dan himpunan B. Jika tidak ada titik-titik persekutuan tersebut, yaitu hasil kali kejadian A dan B adalah kejadian mustahil, maka kejadian A dan B disebut tidak kompatibel.

Komentar. Secara khusus jelas bahwa hasil kali kejadian A dan “bukan A” adalah kejadian mustahil, karena himpunan ini, menurut definisi, tidak memiliki titik persekutuan.

1.4.1.15.1 Apa hasil kali dari kejadian acak dan kejadian tambahan pada kejadian ini?

A) Peristiwa yang dapat diandalkan
*B) Peristiwa yang mustahil
B) Acara itu sendiri

Larutan. Dari penjelasan pada Definisi 7 maka jawaban yang benar adalah B.

1.4.1.15.2 Berapa jumlah kejadian acak dan kejadian tambahan pada kejadian ini?

*A) Acara yang dapat diandalkan
B) Suatu peristiwa yang mustahil
B) Acara tambahan

Larutan. Dari Definisi 5 maka jawaban yang benar adalah A.

1.4.1.13.1 Jika kejadian A adalah harga saham perusahaan pada perdagangan besok tidak akan lebih rendah dari 25 rubel, dan kejadian B adalah perubahan relatif harga saham tidak akan melebihi 3% dibandingkan harga saham hari sebelumnya, lalu apa yang akan terjadi? apakah kejadian tersebut sama dengan hasil kali kejadian A dan B?

A) Harga saham perusahaan pada perdagangan besok tidak akan lebih rendah dari 25 rubel. ATAU perubahan relatif harga saham tidak akan melebihi 3% dibandingkan harga saham hari sebelumnya
*B) Harga saham perusahaan pada perdagangan besok tidak akan lebih rendah dari 25 rubel. Dan perubahan relatif harga saham tidak akan melebihi 3% dibandingkan harga saham hari sebelumnya

Larutan. Dari Definisi 7 dapat disimpulkan bahwa mengatakan “hasil kali kejadian A dan B” sama dengan mengatakan “peristiwa A dan B”, yaitu. jawaban yang benar adalah B.

1.4.1.13.2 Jika kejadian A adalah harga saham perusahaan pada perdagangan besok tidak akan lebih rendah dari 25 rubel, dan kejadian B adalah perubahan relatif harga saham tidak akan melebihi 3% dibandingkan harga saham hari sebelumnya, lalu apa yang akan terjadi? apakah kejadian tersebut sama dengan jumlah kejadian A dan B?

*A) Harga saham perusahaan pada perdagangan besok tidak akan lebih rendah dari 25 rubel. ATAU perubahan relatif harga saham tidak akan melebihi 3% dibandingkan harga saham hari sebelumnya
B) Harga saham perusahaan pada perdagangan besok tidak akan lebih rendah dari 25 rubel. Dan perubahan relatif harga saham tidak akan melebihi 3% dibandingkan harga saham hari sebelumnya

Larutan. Dari Definisi 6 dapat disimpulkan bahwa mengatakan “jumlah kejadian A dan B” sama dengan mengatakan “kejadian A atau B”, yaitu. Jawaban yang benar adalah A.

1.4.1.13.3 Peristiwa acak A adalah harga saham perusahaan pada perdagangan besok tidak akan lebih rendah dari 25 rubel. Dari berikut ini, tunjukkan kejadian acak tambahan pada kejadian acak A
I Harga saham perusahaan pada perdagangan besok adalah 26 rubel.
II Harga saham perusahaan pada perdagangan besok tidak akan melebihi 26 rubel.
III Harga saham perusahaan pada perdagangan besok akan melebihi 26 rubel.

A) Hanya saya
B) II saja
B) Hanya I dan III
*D) Tidak ada satu pun di atas

Larutan. Seringkali lebih mudah untuk menulis sendiri jawaban yang benar dan kemudian melihat di bawah huruf mana jawaban yang benar diberikan.

Dalam simbol matematika sekolah, kejadian kita A = (harga saham pada lelang besok tidak akan lebih rendah dari 25 rubel) =

Jelaslah bahwa peristiwa B, C, D ini tidak ada yang bertepatan dengan peristiwa “ tidak a” = }