Fungsi pangkat dan grafiknya. Fungsi dasar dasar: properti dan grafiknya

Fungsi dasar dasar, sifat-sifat bawaannya, dan grafik yang bersesuaian adalah salah satu dasar pengetahuan matematika, yang sama pentingnya dengan tabel perkalian. Fungsi dasar merupakan landasan, penopang kajian segala permasalahan teoritis.

Artikel di bawah ini memberikan materi utama tentang topik fungsi dasar dasar. Kami akan memperkenalkan istilah-istilah, memberikan definisinya; Mari kita pelajari setiap jenis fungsi dasar secara mendetail dan menganalisis propertinya.

Jenis fungsi dasar dasar berikut ini dibedakan:

Definisi 1

fungsi konstan (konstan);
akar ke-n;
fungsi daya;
fungsi eksponensial;
fungsi logaritma;
fungsi trigonometri;
fungsi trigonometri persaudaraan.

Fungsi konstanta didefinisikan dengan rumus: y = C (C adalah bilangan real tertentu) dan juga memiliki nama: konstanta. Fungsi ini menentukan korespondensi nilai riil apa pun dari variabel bebas x dengan nilai yang sama dari variabel y - nilai C.

Grafik konstanta adalah garis lurus yang sejajar sumbu absis dan melalui suatu titik yang koordinatnya (0,C). Untuk lebih jelasnya, kami menyajikan grafik fungsi konstanta y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (masing-masing ditunjukkan dalam warna hitam, merah dan biru pada gambar).

Definisi 2

Fungsi dasar ini ditentukan dengan rumus y = x n (n adalah bilangan asli lebih besar dari satu).

Mari kita pertimbangkan dua variasi fungsinya.

akar ke-n, n – bilangan genap

Untuk kejelasan, kami menunjukkan gambar yang menunjukkan grafik fungsi-fungsi tersebut: y = x, y = x 4 dan kamu = x8. Fitur-fitur ini diberi kode warna: masing-masing hitam, merah dan biru.

Grafik fungsi derajat genap memiliki tampilan yang serupa untuk nilai eksponen lainnya.

Definisi 3

Sifat-sifat fungsi akar ke-n, n adalah bilangan genap

domain definisi – himpunan semua bilangan real non-negatif [ 0 , + ∞) ;
ketika x = 0, fungsi y = x n mempunyai nilai sama dengan nol;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak genap maupun ganjil);
rentang: [ 0 , + ∞) ;
fungsi ini y = x n dengan eksponen akar genap meningkat di seluruh domain definisi;
fungsinya mempunyai konveksitas dengan arah ke atas di seluruh domain definisi;
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;
grafik fungsi genap n melalui titik (0; 0) dan (1; 1).

akar ke-n, n – bilangan ganjil

Fungsi seperti itu didefinisikan pada seluruh himpunan bilangan real. Untuk lebih jelasnya, perhatikan grafik fungsinya kamu = x 3 , kamu = x 5 dan x 9 . Dalam gambar, mereka ditunjukkan dengan warna: hitam, merah dan biru masing-masing adalah warna kurva.

Nilai ganjil lainnya dari eksponen akar fungsi y = x n akan menghasilkan grafik bertipe serupa.

Definisi 4

Sifat-sifat fungsi akar ke-n, n adalah bilangan ganjil

domain definisi – himpunan semua bilangan real;
fungsi ini ganjil;
rentang nilai – himpunan semua bilangan real;
fungsi y = x n untuk eksponen akar ganjil bertambah di seluruh domain definisi;
fungsi mempunyai kecekungan pada interval (- ∞ ; 0 ] dan kecembungan pada interval [ 0 , + ∞);
titik belok mempunyai koordinat (0; 0);
tidak ada asimtot;
Grafik fungsi ganjil n melalui titik (- 1 ; - 1), (0 ; 0) dan (1 ; 1).

Fungsi daya

Definisi 5

Fungsi pangkat ditentukan dengan rumus y = x a.

Kemunculan grafik dan sifat-sifat fungsi bergantung pada nilai eksponen.

bila suatu fungsi pangkat mempunyai eksponen bilangan bulat a, maka jenis grafik fungsi pangkat tersebut dan sifat-sifatnya bergantung pada apakah eksponennya genap atau ganjil, serta tanda apa yang dimiliki eksponen tersebut. Mari kita pertimbangkan semua kasus khusus ini secara lebih rinci di bawah;
eksponennya bisa pecahan atau irasional - bergantung pada ini, jenis grafik dan properti fungsinya juga bervariasi. Kami akan menganalisis kasus khusus dengan menetapkan beberapa kondisi: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
fungsi pangkat dapat memiliki eksponen nol; kami juga akan menganalisis kasus ini secara lebih rinci di bawah.

Mari kita menganalisis fungsi daya y = x a, jika a bilangan positif ganjil, misalnya a = 1, 3, 5...

Untuk lebih jelasnya, kami menunjukkan grafik fungsi pangkat berikut: y = x (warna grafis hitam), y = x 3 (warna grafik biru), y = x 5 (warna grafik merah), y = x 7 (warna grafis hijau). Ketika a = 1, kita mendapatkan fungsi linier y = x.

Definisi 6

Sifat-sifat fungsi pangkat jika eksponennya ganjil positif

fungsinya meningkat untuk x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
fungsinya memiliki kecembungan untuk x ∈ (- ∞ ; 0 ] dan kecekungan untuk x ∈ [ 0 ; + ∞) (tidak termasuk fungsi linier);
titik belok mempunyai koordinat (0 ; 0) (tidak termasuk fungsi linier);
tidak ada asimtot;
titik lewatnya fungsi: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Mari kita menganalisis fungsi daya y = x a, jika a bilangan genap positif, misalnya a = 2, 4, 6...

Untuk kejelasan, kami menunjukkan grafik fungsi daya tersebut: y = x 2 (warna grafis hitam), y = x 4 (warna grafik biru), y = x 8 (warna merah pada grafik). Jika a = 2 diperoleh fungsi kuadrat yang grafiknya berbentuk parabola kuadrat.

Definisi 7

Sifat-sifat fungsi pangkat ketika eksponennya positif genap:

domain definisi: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
menurun untuk x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
fungsinya memiliki kecekungan untuk x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;
titik lewatnya fungsi: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Gambar di bawah menunjukkan contoh grafik fungsi pangkat y = x a jika a adalah bilangan ganjil negatif: y = x - 9 (warna grafis hitam); y = x - 5 (warna grafik biru); y = x - 3 (warna grafik merah); y = x - 1 (warna grafis hijau). Jika a = - 1 diperoleh proporsionalitas terbalik yang grafiknya hiperbola.

Definisi 8

Sifat-sifat fungsi pangkat jika eksponennya ganjil negatif:

Bila x = 0, diperoleh diskontinuitas jenis kedua, karena lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ untuk a = - 1, - 3, - 5, …. Jadi, garis lurus x = 0 merupakan asimtot vertikal;

rentang: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
fungsinya ganjil karena y (- x) = - y (x);
fungsinya menurun untuk x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
fungsinya memiliki kecembungan untuk x ∈ (- ∞ ; 0) dan kecekungan untuk x ∈ (0 ; + ∞) ;
tidak ada titik belok;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (xa - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, bila a = - 1, - 3, - 5, . . . .

titik lewatnya fungsi: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Gambar di bawah menunjukkan contoh grafik fungsi pangkat y = x a jika a bilangan genap negatif: y = x - 8 (warna grafis hitam); y = x - 4 (warna grafik biru); y = x - 2 (warna grafik merah).

Definisi 9

Sifat-sifat fungsi pangkat ketika eksponennya genap negatif:

domain definisi: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Jika x = 0, diperoleh diskontinuitas jenis kedua, karena lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ untuk a = - 2, - 4, - 6, …. Jadi, garis lurus x = 0 merupakan asimtot vertikal;

fungsinya genap karena y(-x) = y(x);
fungsinya meningkat untuk x ∈ (- ∞ ; 0) dan menurun untuk x ∈ 0; + ∞ ;
fungsinya memiliki kecekungan di x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
tidak ada titik belok;
asimtot mendatar – garis lurus y = 0, karena:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (xa - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 bila a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

titik lewatnya fungsi: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Sejak awal, perhatikan aspek berikut: jika a adalah pecahan positif dengan penyebut ganjil, beberapa penulis menggunakan interval - ∞ sebagai domain definisi fungsi pangkat ini; + ∞ , yang menyatakan bahwa eksponen a adalah pecahan tak tersederhanakan. Saat ini, penulis banyak publikasi pendidikan tentang aljabar dan prinsip analisis TIDAK MENDEFINISIKAN fungsi pangkat, dimana eksponennya adalah pecahan berpenyebut ganjil untuk nilai argumen negatif. Selanjutnya kita akan berpegang pada posisi ini: kita akan mengambil himpunan [ 0 ; + ∞) . Rekomendasi untuk siswa: cari tahu pandangan guru tentang hal ini untuk menghindari perbedaan pendapat.

Jadi, mari kita lihat fungsi dayanya y = x a , jika eksponennya adalah bilangan rasional atau irasional, asalkan 0< a < 1 .

Mari kita ilustrasikan fungsi pangkat dengan grafik y = x a bila a = 11 12 (warna grafis hitam); a = 5 7 (warna grafik merah); a = 1 3 (warna grafik biru); a = 2 5 (warna hijau pada grafik).

Nilai lain dari eksponen a (asalkan 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definisi 10

Properti fungsi daya pada 0< a < 1:

rentang: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
fungsinya meningkat untuk x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
fungsinya cembung untuk x ∈ (0 ; + ∞);
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;

Mari kita menganalisis fungsi daya y = x a, jika eksponennya adalah bilangan rasional atau irasional bukan bilangan bulat, asalkan a > 1.

Mari kita ilustrasikan dengan grafik fungsi pangkat y = x a pada kondisi tertentu dengan menggunakan fungsi berikut sebagai contoh: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (grafik hitam, merah, biru, hijau, masing-masing).

Nilai eksponen a lainnya, asalkan a > 1, akan memberikan grafik serupa.

Definisi 11

Sifat-sifat fungsi pangkat untuk a > 1:

domain definisi: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
rentang: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
fungsinya meningkat untuk x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
fungsinya memiliki kecekungan untuk x ∈ (0 ; + ∞) (bila 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;
titik kelulusan fungsi: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Harap dicatat! Jika a adalah pecahan negatif dengan penyebut ganjil, dalam karya beberapa penulis ada pendapat bahwa domain definisi dalam hal ini adalah interval - ; 0 ∪ (0 ; + ∞) dengan syarat eksponen a adalah pecahan tak tersederhanakan. Saat ini penulis materi edukasi aljabar dan prinsip analisis TIDAK MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen berupa pecahan berpenyebut ganjil untuk nilai argumen negatif. Selanjutnya, kita menganut pandangan ini: kita mengambil himpunan (0 ; + ∞) sebagai domain definisi fungsi pangkat dengan eksponen negatif pecahan. Rekomendasi untuk siswa: Perjelas visi guru Anda saat ini untuk menghindari perbedaan pendapat.

Mari lanjutkan topik dan menganalisis fungsi daya y = x a dengan ketentuan: - 1< a < 0 .

Mari kita sajikan gambar grafik fungsi berikut: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (warna hitam, merah, biru, hijau garisnya masing-masing).

Definisi 12

Sifat-sifat fungsi daya pada - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ bila - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rentang: y ∈ 0 ; + ∞ ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
tidak ada titik belok;

Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsi pangkat y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (masing-masing warna kurva hitam, merah, biru, hijau).

Definisi 13

Sifat-sifat fungsi pangkat untuk a< - 1:

domain definisi: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ bila a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rentang: y ∈ (0 ; + ∞) ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
fungsinya menurun untuk x ∈ 0; + ∞ ;
fungsinya memiliki kecekungan untuk x ∈ 0; + ∞ ;
tidak ada titik belok;
asimtot horizontal – garis lurus y = 0;
titik lewatnya fungsi: (1; 1) .

Ketika a = 0 dan x ≠ 0, kita memperoleh fungsi y = x 0 = 1, yang mendefinisikan garis dari mana titik (0; 1) dikecualikan (disepakati bahwa ekspresi 0 0 tidak akan diberi arti apa pun ).

Fungsi eksponensial memiliki bentuk y = a x, dimana a > 0 dan a ≠ 1, dan grafik fungsi ini terlihat berbeda berdasarkan nilai basis a. Mari kita pertimbangkan kasus-kasus khusus.

Pertama, mari kita lihat situasi ketika basis fungsi eksponensial mempunyai nilai dari nol hingga satu (0< a < 1) . Contoh yang baik adalah grafik fungsi a = 1 2 (warna biru pada kurva) dan a = 5 6 (warna merah pada kurva).

Grafik fungsi eksponensial akan memiliki tampilan serupa untuk nilai basis lainnya pada kondisi 0< a < 1 .

Definisi 14

Sifat-sifat fungsi eksponensial jika basisnya kurang dari satu:

rentang: y ∈ (0 ; + ∞) ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
fungsi eksponensial yang basisnya kurang dari satu menurun di seluruh domain definisi;
tidak ada titik belok;
asimtot horizontal – garis lurus y = 0 dengan variabel x cenderung + ∞;

Sekarang perhatikan kasus ketika basis fungsi eksponensial lebih besar dari satu (a > 1).

Mari kita ilustrasikan kasus khusus ini dengan grafik fungsi eksponensial y = 3 2 x (warna kurva biru) dan y = e x (grafik warna merah).

Nilai basis lainnya, satuan yang lebih besar, akan memberikan tampilan yang mirip dengan grafik fungsi eksponensial.

Definisi 15

Sifat-sifat fungsi eksponensial jika basisnya lebih besar dari satu:

domain definisi – seluruh himpunan bilangan real;
rentang: y ∈ (0 ; + ∞) ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
fungsi eksponensial yang basisnya lebih besar dari satu meningkat seiring x ∈ - ∞; + ∞ ;
fungsi tersebut memiliki kecekungan di x ∈ - ∞; + ∞ ;
tidak ada titik belok;
asimtot horizontal – garis lurus y = 0 dengan variabel x cenderung - ∞;
titik lewatnya fungsi: (0; 1) .

Fungsi logaritma berbentuk y = log a (x), dimana a > 0, a ≠ 1.

Fungsi seperti itu didefinisikan hanya untuk nilai argumen positif: untuk x ∈ 0; + ∞ .

Grafik fungsi logaritma mempunyai tampilan yang berbeda-beda, berdasarkan nilai basis a.

Mari kita pertimbangkan dulu situasi ketika 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Nilai dasar lainnya, bukan satuan yang lebih besar, akan memberikan jenis grafik yang serupa.

Definisi 16

Sifat-sifat fungsi logaritma jika basisnya kurang dari satu:

domain definisi: x ∈ 0 ; + ∞ . Karena x cenderung nol dari kanan, nilai fungsinya cenderung +∞;
rentang: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
logaritmik
fungsinya memiliki kecekungan untuk x ∈ 0; + ∞ ;
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;

Sekarang mari kita lihat kasus khusus ketika basis fungsi logaritma lebih besar dari satu: a > 1 . Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsi logaritma y = log 3 2 x dan y = ln x (masing-masing warna grafiknya biru dan merah).

Nilai basis lainnya yang lebih besar dari satu akan memberikan jenis grafik yang serupa.

Definisi 17

Sifat-sifat fungsi logaritma jika basisnya lebih besar dari satu:

domain definisi: x ∈ 0 ; + ∞ . Karena x cenderung nol dari kanan, nilai fungsinya cenderung - ∞ ;
rentang: y ∈ - ∞ ; + ∞ (seluruh himpunan bilangan real);
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
fungsi logaritma meningkat untuk x ∈ 0; + ∞ ;
fungsinya cembung untuk x ∈ 0; + ∞ ;
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;
titik lewatnya fungsi: (1; 0) .

Fungsi trigonometri adalah sinus, kosinus, tangen, dan kotangen. Mari kita lihat properti masing-masing dan grafik yang sesuai.

Secara umum, semua fungsi trigonometri dicirikan oleh sifat periodisitas, yaitu. ketika nilai fungsi diulang untuk nilai argumen yang berbeda, berbeda satu sama lain dengan periode f (x + T) = f (x) (T adalah periode). Dengan demikian, item “periode positif terkecil” ditambahkan ke daftar sifat-sifat fungsi trigonometri. Selain itu, kami akan menunjukkan nilai argumen di mana fungsi terkait menjadi nol.

Fungsi sinus: y = sin(x)

Grafik fungsi ini disebut gelombang sinus.

Definisi 18

Sifat-sifat fungsi sinus:

domain definisi: seluruh himpunan bilangan real x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
fungsi tersebut hilang jika x = π · k, dimana k ∈ Z (Z adalah himpunan bilangan bulat);
fungsinya meningkat untuk x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z dan menurun untuk x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
fungsi sinus mempunyai maxima lokal di titik π 2 + 2 π · k; 1 dan minimum lokal di titik - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
fungsi sinus cekung ketika x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z dan cembung ketika x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
tidak ada asimtot.

Fungsi kosinus: kamu = cos(x)

Grafik fungsi ini disebut gelombang kosinus.

Definisi 19

Sifat-sifat fungsi kosinus:

domain definisi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
periode positif terkecil: T = 2 π;
rentang nilai: y ∈ - 1 ; 1 ;
fungsi ini genap, karena y (- x) = y (x);
fungsinya meningkat untuk x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z dan menurun untuk x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
fungsi kosinus mempunyai maxima lokal di titik 2 π · k ; 1, k ∈ Z dan minimum lokal di titik π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
fungsi kosinus cekung ketika x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z dan cembung ketika x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
titik belok mempunyai koordinat π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
tidak ada asimtot.

Fungsi singgung: kamu = tg (x)

Grafik fungsi ini disebut garis singgung.

Definisi 20

Sifat-sifat fungsi tangen:

domain definisi: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, dimana k ∈ Z (Z adalah himpunan bilangan bulat);
Perilaku fungsi tangen pada batas domain definisi lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Jadi, garis lurus x = π 2 + π · k k ∈ Z adalah asimtot vertikal;
fungsi tersebut hilang jika x = π · k untuk k ∈ Z (Z adalah himpunan bilangan bulat);
rentang: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
fungsi ini ganjil, karena y (- x) = - y (x) ;
fungsinya meningkat sebagai - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
fungsi tangennya cekung untuk x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z dan cembung untuk x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
titik belok mempunyai koordinat π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Fungsi kotangen: kamu = ctg (x)

Grafik fungsi ini disebut kotangentoid. .

Definisi 21

Sifat-sifat fungsi kotangen:

domain definisi: x ∈ (π · k ; π + π · k) , di mana k ∈ Z (Z adalah himpunan bilangan bulat);

Perilaku fungsi kotangen pada batas domain definisi lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Jadi, garis lurus x = π · k k ∈ Z adalah asimtot vertikal;

periode positif terkecil: T = π;
fungsi tersebut hilang jika x = π 2 + π · k untuk k ∈ Z (Z adalah himpunan bilangan bulat);
rentang: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
fungsi ini ganjil, karena y (- x) = - y (x) ;
fungsinya menurun untuk x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
fungsi kotangennya cekung untuk x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z dan cembung untuk x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
titik belok mempunyai koordinat π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
Tidak ada asimtot miring atau horizontal.

Fungsi trigonometri terbalik adalah arcsinus, arccosine, arctangent dan arccotangent. Seringkali, karena adanya awalan “arc” pada namanya, fungsi trigonometri invers disebut fungsi arc .

Fungsi busur sinus: y = a r c sin (x)

Definisi 22

Sifat-sifat fungsi arcsinus:

fungsi ini ganjil, karena y (- x) = - y (x) ;
fungsi arcsinus memiliki kecekungan untuk x ∈ 0; 1 dan konveksitas untuk x ∈ - 1 ; 0 ;
titik belok mempunyai koordinat (0; 0), yang juga merupakan nol dari fungsi;
tidak ada asimtot.

Fungsi arc cosinus: y = a r c cos (x)

Definisi 23

Sifat-sifat fungsi arc cosinus:

domain definisi: x ∈ - 1 ; 1 ;
rentang: y ∈ 0 ; π;
fungsi ini berbentuk umum (tidak genap maupun ganjil);
fungsinya menurun di seluruh domain definisi;
fungsi arc cosinus memiliki kecekungan di x ∈ - 1; 0 dan konveksitas untuk x ∈ 0; 1 ;
titik belok mempunyai koordinat 0; π 2;
tidak ada asimtot.

Fungsi tangen busur: y = a r c t g (x)

Definisi 24

Sifat-sifat fungsi tangen busur:

domain definisi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
rentang nilai: y ∈ - π 2 ; π 2;
fungsi ini ganjil, karena y (- x) = - y (x) ;
fungsinya meningkat di seluruh domain definisi;
fungsi arctangent mempunyai kecekungan untuk x ∈ (- ∞ ; 0 ] dan kecembungan untuk x ∈ [ 0 ; + ∞);
titik belok mempunyai koordinat (0; 0), yang juga merupakan nol dari fungsi;
asimtot mendatar adalah garis lurus y = - π 2 sebagai x → - ∞ dan y = π 2 sebagai x → + ∞ (pada gambar, asimtotnya berupa garis berwarna hijau).

Fungsi tangen busur: y = a r c c t g (x)

Definisi 25

Sifat-sifat fungsi kotangen busur:

domain definisi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
rentang: y ∈ (0; π) ;
fungsi ini berbentuk umum;
fungsinya menurun di seluruh domain definisi;
fungsi kotangen busur memiliki kecekungan untuk x ∈ [ 0 ; + ∞) dan konveksitas untuk x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
titik belok mempunyai koordinat 0; π 2;
asimtot horizontal adalah garis lurus y = π di x → - ∞ (garis hijau pada gambar) dan y = 0 di x → + ∞.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pada domain definisi fungsi pangkat y = x p rumus berikut berlaku:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Sifat-sifat fungsi pangkat dan grafiknya

Fungsi pangkat dengan eksponen sama dengan nol, p = 0

Jika eksponen fungsi pangkat y = x p sama dengan nol, p = 0, maka fungsi pangkat terdefinisi untuk semua x ≠ 0 dan merupakan konstanta yang sama dengan satu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami, p = n = 1, 3, 5, ...

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen ganjil natural n = 1, 3, 5, ... .

Indikator ini juga dapat ditulis dalam bentuk: n = 2k + 1, dimana k = 0, 1, 2, 3, ... adalah bilangan bulat non-negatif. Di bawah ini adalah sifat-sifat dan grafik fungsi-fungsi tersebut.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Cakupan: -∞ < y < ∞
Berbagai arti: Keseimbangan:
ganjil, y(-x) = - y(x) Nada datar:
meningkat secara monoton Ekstrem:
TIDAK
Cembung:< x < 0 выпукла вверх
di -∞< x < ∞ выпукла вниз
pada 0 Titik belok:
Titik belok:
x = 0, kamu = 0
;
Batasan:
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pada x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 1, fungsinya adalah kebalikannya: x = y

untuk n ≠ 1, fungsi inversnya adalah akar derajat n:

Fungsi pangkat dengan eksponen genap alami, p = n = 2, 4, 6, ...

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen genap natural n = 2, 4, 6, ... .

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Cakupan: Indikator ini juga dapat ditulis dalam bentuk: n = 2k, dimana k = 1, 2, 3, ... - natural. Properti dan grafik fungsi tersebut diberikan di bawah ini.< ∞
Berbagai arti: Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen genap natural untuk berbagai nilai eksponen n = 2, 4, 6, ....
ganjil, y(-x) = - y(x)
0 ≤ kamu
genap, y(-x) = y(x)
meningkat secara monoton untuk x ≤ 0 menurun secara monoton
TIDAK untuk x ≥ 0 meningkat secara monoton
pada 0 Ekstrem:
minimal, x = 0, y = 0 Titik belok:
x = 0, kamu = 0
;
Batasan:
cembung ke bawah Titik potong dengan sumbu koordinat:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pada x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
pada x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1

untuk n = 2, akar kuadrat:

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif n = -1, -2, -3, ... .

Jika kita meletakkan n = -k, dimana k = 1, 2, 3, ... adalah bilangan asli, maka bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai:

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif untuk berbagai nilai eksponen n = -1, -2, -3, ....

Eksponen ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan pangkat ganjil negatif n = -1, -3, -5, ....
Cakupan: x ≠ 0
Berbagai arti: Keseimbangan:
ganjil, y(-x) = - y(x) kamu ≠ 0
meningkat secara monoton Ekstrem:
TIDAK
menurun secara monoton< 0 : выпукла вверх
di x
pada 0 Ekstrem:
minimal, x = 0, y = 0 Ekstrem:
untuk x > 0: cembung ke bawah
menurun secara monoton< 0, y < 0
Tanda:
x = 0, kamu = 0
; ; ;
Batasan:
pada x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
untuk x > 0, y > 0
ketika n = -1,< -2 ,

di n

Eksponen genap, n = -2, -4, -6, ...

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan pangkat ganjil negatif n = -1, -3, -5, ....
Cakupan: Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen genap negatif n = -2, -4, -6, ....
Berbagai arti: Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen genap natural untuk berbagai nilai eksponen n = 2, 4, 6, ....
ganjil, y(-x) = - y(x)
menurun secara monoton< 0 : монотонно возрастает
kamu > 0
meningkat secara monoton Ekstrem:
TIDAK untuk x ≥ 0 meningkat secara monoton
pada 0 Ekstrem:
minimal, x = 0, y = 0 Ekstrem:
untuk x > 0: cembung ke bawah Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen genap negatif n = -2, -4, -6, ....
x = 0, kamu = 0
; ; ;
Batasan:
pada x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
untuk x > 0: menurun secara monoton
ketika n = -1,< -2 ,

pada n = -2,

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional (fraksional).

Misalkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional (fraksional), dimana n adalah bilangan bulat, m > 1 adalah bilangan asli. Selain itu, n, m tidak memiliki pembagi persekutuan.

Penyebut eksponen pecahannya ganjil

Misalkan penyebut eksponen pecahannya ganjil: m = 3, 5, 7, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p didefinisikan untuk nilai positif dan negatif dari argumen x.< 0

Mari kita perhatikan sifat-sifat fungsi pangkat tersebut ketika eksponen p berada dalam batas tertentu.

Nilai p negatif, p

Misalkan eksponen rasional (dengan penyebut ganjil m = 3, 5, 7, ...) lebih kecil dari nol: .

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen negatif rasional untuk berbagai nilai eksponen, dimana m = 3, 5, 7, ... - ganjil.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan pangkat ganjil negatif n = -1, -3, -5, ....
Cakupan: x ≠ 0
Berbagai arti: Keseimbangan:
ganjil, y(-x) = - y(x) kamu ≠ 0
meningkat secara monoton Ekstrem:
TIDAK
menurun secara monoton< 0 : выпукла вверх
di x
pada 0 Ekstrem:
minimal, x = 0, y = 0 Ekstrem:
untuk x > 0: cembung ke bawah
menurun secara monoton< 0, y < 0
Tanda:
x = 0, kamu = 0
; ; ;
Batasan:
Pembilang ganjil, n = -1, -3, -5, ...
pada x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Kita sajikan sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen negatif rasional, dimana n = -1, -3, -5, ... adalah bilangan bulat negatif ganjil, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan bulat bilangan bulat alami ganjil.

pada x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan pangkat ganjil negatif n = -1, -3, -5, ....
Cakupan: Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen genap negatif n = -2, -4, -6, ....
Berbagai arti: Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen genap natural untuk berbagai nilai eksponen n = 2, 4, 6, ....
ganjil, y(-x) = - y(x)
menurun secara monoton< 0 : монотонно возрастает
kamu > 0
meningkat secara monoton Ekstrem:
TIDAK untuk x ≥ 0 meningkat secara monoton
pada 0 Ekstrem:
minimal, x = 0, y = 0 Ekstrem:
untuk x > 0: cembung ke bawah Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen genap negatif n = -2, -4, -6, ....
x = 0, kamu = 0
; ; ;
Batasan:
Pembilang genap, n = -2, -4, -6, ...
pada x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional negatif, dimana n = -2, -4, -6, ... adalah bilangan bulat negatif genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan bulat ganjil .< p < 1

pada x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Nilai p positif, kurang dari satu, 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Cakupan: -∞ < y < +∞
Berbagai arti: Keseimbangan:
ganjil, y(-x) = - y(x) Nada datar:
meningkat secara monoton Ekstrem:
TIDAK
menurun secara monoton< 0 : выпукла вниз
Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (0
pada 0 Titik belok:
minimal, x = 0, y = 0 Titik belok:
untuk x > 0: cembung ke bawah
menurun secara monoton< 0, y < 0
Tanda:
x = 0, kamu = 0
;
Batasan:
Pembilang ganjil, n = 1, 3, 5, ...
untuk x > 0: cembung ke atas
pada x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

pada x = 0, y(0) = 0

untuk x = 1, y(1) = 1< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Cakupan: Indikator ini juga dapat ditulis dalam bentuk: n = 2k, dimana k = 1, 2, 3, ... - natural. Properti dan grafik fungsi tersebut diberikan di bawah ini.< +∞
Berbagai arti: Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen genap natural untuk berbagai nilai eksponen n = 2, 4, 6, ....
ganjil, y(-x) = - y(x)
menurun secara monoton< 0 : монотонно убывает
untuk x > 0: meningkat secara monoton
meningkat secara monoton minimum pada x = 0, y = 0
TIDAK cembung ke atas untuk x ≠ 0
pada 0 Ekstrem:
minimal, x = 0, y = 0 Titik belok:
untuk x > 0: cembung ke bawah untuk x ≠ 0, y > 0
x = 0, kamu = 0
;
Batasan:
pada x = -1, y(-1) = 1
untuk x > 0: cembung ke atas
pada x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Indeks p lebih besar dari satu, p > 1

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (p > 1) untuk berbagai nilai eksponen, dimana m = 3, 5, 7, ... ganjil.

Pembilang ganjil, n = 5, 7, 9, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional lebih besar dari satu: .

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Cakupan: -∞ < y < ∞
Berbagai arti: Keseimbangan:
ganjil, y(-x) = - y(x) Nada datar:
meningkat secara monoton Ekstrem:
TIDAK
Cembung:< x < 0 выпукла вверх
di -∞< x < ∞ выпукла вниз
pada 0 Titik belok:
minimal, x = 0, y = 0 Titik belok:
x = 0, kamu = 0
;
Batasan:
Pembilang ganjil, n = 1, 3, 5, ...
untuk x > 0: cembung ke atas
pada x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Dimana n = 5, 7, 9, ... - ganjil natural, m = 3, 5, 7 ... - ganjil natural.

Pembilang genap, n = 4, 6, 8, ...

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Cakupan: Indikator ini juga dapat ditulis dalam bentuk: n = 2k, dimana k = 1, 2, 3, ... - natural. Properti dan grafik fungsi tersebut diberikan di bawah ini.< ∞
Berbagai arti: Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen genap natural untuk berbagai nilai eksponen n = 2, 4, 6, ....
ganjil, y(-x) = - y(x)
menurun secara monoton< 0 монотонно убывает
Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional lebih besar dari satu: .
meningkat secara monoton minimum pada x = 0, y = 0
TIDAK untuk x ≥ 0 meningkat secara monoton
pada 0 Ekstrem:
minimal, x = 0, y = 0 Titik belok:
x = 0, kamu = 0
;
Batasan:
pada x = -1, y(-1) = 1
untuk x > 0: cembung ke atas
pada x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Dimana n = 4, 6, 8, ... - genap natural, m = 3, 5, 7 ... - ganjil natural.

untuk x > 0 meningkat secara monoton

Penyebut eksponen pecahannya genap

Misalkan penyebut eksponen pecahannya genap: m = 2, 4, 6, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p tidak ditentukan untuk nilai argumen negatif. Sifat-sifatnya bertepatan dengan sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen irasional (lihat bagian selanjutnya).

Fungsi pangkat dengan eksponen irasional

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen irasional p.< 0

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... Sifat-sifat fungsi tersebut berbeda dari yang dibahas di atas karena tidak ditentukan untuk nilai negatif dari argumen x.
Cakupan: Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen genap negatif n = -2, -4, -6, ....
ganjil, y(-x) = - y(x) kamu ≠ 0
TIDAK untuk x ≥ 0 meningkat secara monoton
pada 0 Ekstrem:
minimal, x = 0, y = 0 Ekstrem:
x = 0, kamu = 0 ;
Untuk nilai argumen yang positif, sifat-sifatnya hanya bergantung pada nilai eksponen p dan tidak bergantung pada apakah p bilangan bulat, rasional, atau irasional. y = x p untuk nilai eksponen p yang berbeda.

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif p

x > 0< p < 1

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... Arti pribadi:
Cakupan: Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1
ganjil, y(-x) = - y(x) Nada datar:
TIDAK Fungsi pangkat dengan eksponen positif p > 0
pada 0 Ekstrem:
minimal, x = 0, y = 0 Titik belok:
x = 0, kamu = 0
Batasan: Indikator kurang dari satu 0
y = x p untuk nilai eksponen p yang berbeda.

x ≥ 0

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, .... Arti pribadi:
Cakupan: Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1
ganjil, y(-x) = - y(x) Nada datar:
TIDAK untuk x ≥ 0 meningkat secara monoton
pada 0 Ekstrem:
minimal, x = 0, y = 0 Titik belok:
x = 0, kamu = 0
Batasan: Indikator kurang dari satu 0
y = x p untuk nilai eksponen p yang berbeda.

kamu ≥ 0
cembung ke atas

Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .

Indikatornya lebih besar dari satu p > 1 Sastra bekas: DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Lihat juga: Pengetahuan fungsi dasar dasar, properti dan grafiknya

tidak kalah pentingnya dengan mengetahui tabel perkalian. Mereka ibarat fondasi, segala sesuatu didasarkan pada mereka, segala sesuatu dibangun dari mereka dan semuanya bergantung pada mereka.
Pada artikel ini kami akan mencantumkan semua fungsi dasar utama, memberikan grafiknya dan memberikannya tanpa kesimpulan atau bukti
interval konveksitas (cembung ke atas) dan kecekungan (cembung ke bawah), titik belok (bila perlu lihat artikel konveksitas suatu fungsi, arah konveksitas, titik belok, kondisi konveksitas dan belok);
asimtot miring dan horizontal;
titik-titik fungsi tunggal;
sifat-sifat khusus beberapa fungsi (misalnya, periode positif terkecil dari fungsi trigonometri).

Jika Anda tertarik atau, Anda dapat membuka bagian teori ini.

Fungsi dasar dasar yaitu: fungsi konstanta (konstanta), akar ke-n, fungsi pangkat, eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi trigonometri invers.

Navigasi halaman.

Fungsi permanen.

Fungsi konstanta didefinisikan pada himpunan semua bilangan real dengan rumus , dimana C adalah suatu bilangan real. Fungsi konstanta mengasosiasikan setiap nilai riil variabel bebas x dengan nilai yang sama dari variabel terikat y - nilai C. Fungsi konstan disebut juga konstanta.

Grafik fungsi konstanta adalah garis lurus yang sejajar sumbu x dan melalui suatu titik dengan koordinat (0,C). Misalnya, mari kita tunjukkan grafik fungsi konstanta y=5, y=-2 dan, yang pada gambar di bawah masing-masing berhubungan dengan garis hitam, merah, dan biru.

Sifat-sifat fungsi konstan.

Domain: seluruh himpunan bilangan real.
Fungsi konstanta genap.
Rentang nilai: himpunan yang terdiri dari bilangan tunggal C.
Fungsi konstanta adalah fungsi yang tidak bertambah dan tidak berkurang (itulah sebabnya ia konstan).
Tidak masuk akal membicarakan kecembungan dan kecekungan suatu konstanta.
Tidak ada asimtot.
Fungsi tersebut melalui titik (0,C) pada bidang koordinat.

Akar derajat ke-n.

Mari kita perhatikan fungsi dasar dasar, yang diberikan oleh rumus , di mana n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu.

Akar derajat ke-n, n adalah bilangan genap.

Mari kita mulai dengan fungsi akar ke-n untuk nilai genap dari eksponen akar n.

Sebagai contoh, berikut adalah gambar grafik fungsi dan , sesuai dengan garis hitam, merah dan biru.

Grafik fungsi akar derajat genap memiliki tampilan serupa untuk nilai eksponen lainnya.

Sifat-sifat fungsi akar ke-n untuk n genap.

Akar derajat ke-n, n adalah bilangan ganjil.

Fungsi akar ke-n dengan eksponen akar ganjil n didefinisikan pada seluruh himpunan bilangan real. Misalnya, berikut adalah grafik fungsi dan , keduanya sesuai dengan kurva hitam, merah, dan biru.

Untuk nilai eksponen akar ganjil lainnya, grafik fungsi akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat fungsi akar ke-n untuk n ganjil.

Fungsi daya.

Fungsi pangkat diberikan oleh rumus dalam bentuk .

Mari kita perhatikan bentuk grafik fungsi pangkat dan sifat-sifat fungsi pangkat tergantung pada nilai eksponennya.

Mari kita mulai dengan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat a. Dalam hal ini, jenis grafik fungsi pangkat dan sifat-sifat fungsi bergantung pada kegenapan atau keganjilan eksponen, serta tandanya. Oleh karena itu, pertama-tama kita akan membahas fungsi pangkat untuk nilai eksponen a positif ganjil, kemudian untuk eksponen positif genap, kemudian untuk eksponen negatif ganjil, dan terakhir, untuk a negatif genap.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen pecahan dan irasional (serta jenis grafik fungsi pangkat tersebut) bergantung pada nilai eksponen a. Kita akan mempertimbangkannya, pertama, untuk a dari nol sampai satu, kedua, untuk a lebih besar dari satu, ketiga, untuk a dari minus satu ke nol, keempat, untuk a kurang dari minus satu.

Di akhir bagian ini, untuk kelengkapannya, kami akan menjelaskan fungsi pangkat dengan eksponen nol.

Fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil.

Mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen ganjil positif, yaitu dengan a = 1,3,5,....

Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsi pangkat – garis hitam, – garis biru, – garis merah, – garis hijau. Untuk a=1 kita punya fungsi linier kamu=x.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen ganjil positif.

Fungsi pangkat dengan eksponen positif genap.

Mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen positif genap, yaitu untuk a = 2,4,6,....

Sebagai contoh, kami memberikan grafik fungsi pangkat – garis hitam, – garis biru, – garis merah. Untuk a=2 kita mempunyai fungsi kuadrat, yang grafiknya adalah parabola kuadrat.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen positif genap.

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif ganjil.

Perhatikan grafik fungsi pangkat untuk nilai eksponen ganjil negatif, yaitu untuk a = -1, -3, -5,....

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi pangkat sebagai contoh - garis hitam, - garis biru, - garis merah, - garis hijau. Untuk a=-1 kita punya proporsionalitas terbalik, yang grafiknya hiperbola.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen negatif ganjil.

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif genap.

Mari kita lanjutkan ke fungsi pangkat di a=-2,-4,-6,….

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi pangkat – garis hitam, – garis biru, – garis merah.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen genap negatif.

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional yang nilainya lebih besar dari nol dan kurang dari satu.

Memperhatikan! Jika a adalah pecahan positif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis menganggap domain definisi fungsi pangkat adalah intervalnya. Ditetapkan bahwa eksponen a adalah pecahan tak tersederhanakan. Sekarang penulis banyak buku teks aljabar dan prinsip analisis JANGAN MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen berupa pecahan berpenyebut ganjil untuk nilai argumen negatif. Kami akan menganut pandangan ini dengan tepat, yaitu, kami akan menganggap himpunan sebagai domain definisi fungsi pangkat dengan eksponen positif pecahan. Kami menyarankan agar siswa mencari tahu pendapat guru Anda tentang poin halus ini untuk menghindari perbedaan pendapat.

Mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional a, dan .

Mari kita sajikan grafik fungsi pangkat untuk a=11/12 (garis hitam), a=5/7 (garis merah), (garis biru), a=2/5 (garis hijau).

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional bukan bilangan bulat lebih besar dari satu.

Mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional bukan bilangan bulat a, dan .

Mari kita sajikan grafik fungsi pangkat yang diberikan oleh rumus (masing-masing garis hitam, merah, biru dan hijau).

Untuk nilai eksponen a lainnya, grafik fungsinya akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat fungsi daya pada .

Fungsi pangkat dengan eksponen riil lebih besar dari minus satu dan kurang dari nol.

Memperhatikan! Jika a adalah pecahan negatif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis menganggap domain definisi fungsi pangkat adalah intervalnya . Ditetapkan bahwa eksponen a adalah pecahan tak tersederhanakan. Sekarang penulis banyak buku teks aljabar dan prinsip analisis JANGAN MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen berupa pecahan berpenyebut ganjil untuk nilai argumen negatif. Kami akan menganut pandangan ini dengan tepat, yaitu, kami akan menganggap domain definisi fungsi pangkat dengan eksponen negatif pecahan sebagai himpunan. Kami menyarankan agar siswa mencari tahu pendapat guru Anda tentang poin halus ini untuk menghindari perbedaan pendapat.

Mari beralih ke fungsi pangkat, kgod.

Untuk mengetahui dengan baik bentuk grafik fungsi pangkat, kami berikan contoh grafik fungsi (masing-masing kurva hitam, merah, biru dan hijau).

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen a, .

Fungsi pangkat dengan eksponen real bukan bilangan bulat yang kurang dari minus satu.

Mari kita berikan contoh grafik fungsi pangkat untuk , masing-masing digambarkan dengan garis hitam, merah, biru dan hijau.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen negatif bukan bilangan bulat kurang dari minus satu.

Ketika a = 0, kita mempunyai fungsi - ini adalah garis lurus dimana titik (0;1) dikecualikan (disepakati untuk tidak mementingkan ekspresi 0 0).

Fungsi eksponensial.

Salah satu fungsi dasar utama adalah fungsi eksponensial.

Grafik fungsi eksponensial, dimana dan mengambil bentuk yang berbeda-beda tergantung pada nilai basis a. Mari kita cari tahu.

Pertama, pertimbangkan kasus ketika basis fungsi eksponensial mengambil nilai dari nol hingga satu, yaitu, .

Sebagai contoh, kami menyajikan grafik fungsi eksponensial untuk a = 1/2 – garis biru, a = 5/6 – garis merah. Grafik fungsi eksponensial memiliki tampilan yang serupa untuk nilai basis lainnya dari interval.

Sifat-sifat fungsi eksponensial yang basisnya kurang dari satu.

Mari kita beralih ke kasus ketika basis fungsi eksponensial lebih besar dari satu, yaitu .

Sebagai ilustrasi, kami menyajikan grafik fungsi eksponensial - garis biru dan - garis merah. Untuk nilai basis lain yang lebih besar dari satu, grafik fungsi eksponensial akan memiliki tampilan serupa.

Sifat-sifat fungsi eksponensial dengan basis lebih besar dari satu.

Fungsi logaritma.

Fungsi dasar dasar berikutnya adalah fungsi logaritma, dimana , . Fungsi logaritma didefinisikan hanya untuk nilai positif dari argumen, yaitu untuk .

Grafik fungsi logaritma mempunyai bentuk yang berbeda-beda tergantung pada nilai basis a.

Mari kita mulai dengan kasus ketika .

Sebagai contoh, kami menyajikan grafik fungsi logaritma untuk a = 1/2 – garis biru, a = 5/6 – garis merah. Untuk nilai basis lainnya yang tidak melebihi satu, grafik fungsi logaritma akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat fungsi logaritma yang basisnya kurang dari satu.

Mari kita beralih ke kasus ketika basis fungsi logaritma lebih besar dari satu ().

Mari kita tunjukkan grafik fungsi logaritma - garis biru, - garis merah. Untuk nilai basis lain yang lebih besar dari satu, grafik fungsi logaritma akan memiliki tampilan serupa.

Sifat-sifat fungsi logaritma dengan basis lebih besar dari satu.

Fungsi trigonometri, sifat-sifatnya dan grafiknya.

Semua fungsi trigonometri (sinus, kosinus, tangen, dan kotangen) termasuk dalam fungsi dasar dasar. Sekarang kita akan melihat grafiknya dan membuat daftar propertinya.

Fungsi trigonometri mempunyai konsep frekuensi(pengulangan nilai fungsi untuk nilai argumen yang berbeda, berbeda satu sama lain berdasarkan periode , di mana T adalah periode), oleh karena itu, sebuah item telah ditambahkan ke daftar properti fungsi trigonometri "periode positif terkecil". Selain itu, untuk setiap fungsi trigonometri, kami akan menunjukkan nilai argumen di mana fungsi terkait hilang.

Sekarang mari kita bahas semua fungsi trigonometri secara berurutan.

Fungsi sinus y = sin(x) .

Mari kita menggambar grafik fungsi sinus, yang disebut “gelombang sinus”.

Sifat-sifat fungsi sinus y = sinx.

Fungsi kosinus y = cos(x) .

Grafik fungsi kosinus (disebut "kosinus") terlihat seperti ini:

Sifat-sifat fungsi kosinus y = cosx.

Fungsi tangen y = tan(x) .

Grafik fungsi tangen (disebut "tangentsoid") terlihat seperti ini:

Sifat-sifat fungsi tangen y = tanx.

Fungsi kotangen y = ctg(x) .

Mari kita menggambar grafik fungsi kotangen (disebut “kotangentoid”):

Sifat-sifat fungsi kotangen y = ctgx.

Fungsi trigonometri terbalik, sifat dan grafiknya.

Fungsi trigonometri terbalik (busur sinus, busur kosinus, busur tangen, dan kotangen busur) adalah fungsi dasar dasar. Seringkali, karena awalan "busur", fungsi trigonometri invers disebut fungsi busur. Sekarang kita akan melihat grafiknya dan membuat daftar propertinya.

Fungsi busur y = arcsin(x) .

Mari kita gambarkan fungsi arcsinusnya:

Sifat-sifat fungsi kotangen busur y = arcctg(x) .

Referensi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan awal mula analisis: Buku Ajar. untuk kelas 10-11. lembaga pendidikan umum.
Vygodsky M.Ya. Buku Pegangan Matematika Dasar.
Novoselov S.I. Aljabar dan fungsi dasar.
Tumanov S.I. Aljabar dasar. Sebuah manual untuk pendidikan mandiri.

Apakah Anda familiar dengan fungsinya kamu=x, kamu=x 2 , kamu=x 3 , kamu=1/x dll. Semua fungsi ini adalah kasus khusus dari fungsi pangkat, yaitu fungsi kamu=x P, di mana p adalah bilangan real tertentu. Sifat-sifat dan grafik suatu fungsi pangkat sangat bergantung pada sifat-sifat suatu pangkat dengan eksponen nyata, dan khususnya pada nilai-nilai yang X Dan P gelar masuk akal X P. Mari kita lanjutkan ke pertimbangan serupa dari berbagai kasus tergantung pada eksponennya P.

Indikator p=2n-bilangan asli genap.

Dalam hal ini, fungsi kekuasaan kamu=x 2n, Di mana N- bilangan asli, memiliki yang berikut ini

properti:

domain definisi - semua bilangan real, yaitu himpunan R;

kumpulan nilai - angka non-negatif, mis. y lebih besar dari atau sama dengan 0;

fungsi kamu=x 2n bahkan karena X 2n =(-x) 2n

fungsinya menurun pada interval tersebut X<0 dan meningkat pada interval tersebut x>0.

Grafik suatu fungsi kamu=x 2n mempunyai bentuk yang sama, misalnya grafik suatu fungsi kamu=x 4 .

2. Indikator p=2n-1- bilangan asli ganjil Dalam hal ini, fungsi pangkat kamu=x 2n-1, dimana bilangan asli, mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

domain definisi - himpunan R;

kumpulan nilai - kumpulan R;

fungsi kamu=x 2n-1 aneh karena (- X) 2n-1 =X 2n-1 ;

fungsinya meningkat pada seluruh sumbu real.

Grafik suatu fungsi kamu=x2n-1 mempunyai bentuk yang sama, misalnya grafik suatu fungsi kamu=x3.

3.Indikator p=-2n, Di mana N- bilangan asli.

Dalam hal ini, fungsi kekuasaan kamu=x -2n =1/x 2n memiliki sifat-sifat berikut:

kumpulan nilai - bilangan positif y>0;

fungsi y =1/x 2n bahkan karena 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

fungsinya meningkat pada interval x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Grafik fungsi y =1/x 2n mempunyai bentuk yang sama, misalnya grafik fungsi y =1/x 2 .

4.Indikator p=-(2n-1), Di mana N- bilangan asli. Dalam hal ini, fungsi kekuasaan kamu=x -(2n-1) memiliki sifat-sifat berikut:

domain definisi - himpunan R, kecuali x=0;

kumpulan nilai - himpunan R, kecuali y=0;

fungsi kamu=x -(2n-1) aneh karena (- X) -(2n-1) =-X -(2n-1) ;

fungsinya menurun pada interval X<0 Dan x>0.

Grafik suatu fungsi kamu=x -(2n-1) mempunyai bentuk yang sama, misalnya grafik suatu fungsi kamu=1/x 3 .

Fungsi trigonometri terbalik, sifat dan grafiknya.

Fungsi trigonometri terbalik, sifat dan grafiknya.Fungsi trigonometri terbalik (fungsi melingkar, fungsi busur) - fungsi matematika yang merupakan kebalikan dari fungsi trigonometri.

fungsi arcsin

Grafik suatu fungsi .

arcsinus angka M nilai sudut ini disebut X, untuk itu

Fungsi tersebut kontinu dan dibatasi sepanjang garis bilangannya. Fungsi meningkat secara ketat.

[[[[Sunting]Properti fungsi arcsin

[[[[Sunting]Mendapatkan fungsi arcsin

Mengingat fungsinya secara keseluruhan domain definisi dia sedikit monoton, dan, oleh karena itu, korespondensi terbalik bukan sebuah fungsi. Oleh karena itu, kami akan mempertimbangkan segmen yang meningkat secara ketat dan mengambil semua nilai rentang nilai- . Karena untuk suatu fungsi pada suatu interval, setiap nilai argumen bersesuaian dengan satu nilai fungsi tersebut, maka pada interval ini terdapat fungsi terbalik

yang grafiknya simetris terhadap grafik suatu fungsi pada suatu ruas relatif terhadap garis lurus

Pembelajaran fungsi pangkat dimulai di kelas 7, dengan kasus-kasus khusus, dan berlanjut sepanjang kursus aljabar. Sampai kelas 11, pengetahuan tentang fungsi kekuasaan digeneralisasikan, diperluas dan disistematisasikan.

Analisis literatur pendidikan harus dilakukan untuk kelas 9 untuk membangun isi manual didaktik berdasarkan analisis literatur pendidikan tersebut.

Buku teks: “Aljabar. kelas 9.” Mordkovich A.G., Semenov P.V. (Mnemosyne, 2009)

Buku teks membahas fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat. Materi teori tentang topik “Fungsi pangkat” dimuat dalam bab “Fungsi numerik” dalam paragraf tersendiri, yang membahas baik fungsi itu sendiri maupun sifat-sifat serta grafiknya.

Penyajian materi dapat diakses oleh anak sekolah, banyak contoh dengan penyelesaian yang detail dan menyeluruh terdapat pada bagian pertama (di buku teks), dan latihan kerja mandiri ditempatkan di bagian ke-2 (dalam buku soal).

Struktur bahan pelajaran:

BAB 3. Fungsi Numerik

§12. Fungsi, properti dan grafiknya.

§13. Fungsi, properti dan grafiknya.

§14. Fungsi, properti dan grafiknya.

Selanjutnya, fungsi pangkat didefinisikan sebagai fungsi dengan eksponen natural (pertama diberikan kasus khusus dari fungsi pangkat, kemudian rumus umumnya diungkapkan). Fungsi pangkat dengan eksponen genap dan grafiknya dipertimbangkan, yang kemudian sifat-sifatnya terungkap (rentang nilai dan domain definisi fungsi, genap dan ganjil, monotonisitas, kontinuitas, nilai fungsi terbesar dan terkecil, konveksitas ). Selanjutnya, kita membahas fungsi pangkat dengan eksponen ganjil, serta grafik dan propertinya.

Dalam § 13 fungsi pangkat dengan eksponen negatif didefinisikan: pertama fungsi genap, kemudian fungsi ganjil. Mirip dengan fungsi pangkat dengan eksponen natural, kasus khusus diberikan:

Setelah rumus umum terungkap, grafik dan properti juga dipertimbangkan

Dalam § 14 fungsinya diperkenalkan

sifat dan grafiknya, sebagai kasus khusus dari fungsi pangkat dengan eksponen rasional n =

Transformasi grafik (simetri) bermuara pada kenyataan bahwa grafik fungsi genap adalah simetris terhadap sumbu ordinat, dan grafik fungsi ganjil terhadap titik asal. Oleh karena itu, untuk fungsi stepa, suatu fungsi tertentu dianggap pada sinar tertentu, grafiknya dibuat dan, dengan menggunakan simetri, grafik dibuat pada seluruh garis bilangan. Selanjutnya grafik dibaca, yaitu grafik mencantumkan sifat-sifat fungsi sesuai skema:

1) ruang lingkup definisi;

2) genap, ganjil;

3) monoton;

4) pembatasan dari bawah, dari atas;

5) nilai fungsi terkecil dan terbesar;

6) kontinuitas;

7) rentang nilai;

8) konveksitas.

a) menuju ke sistem koordinat bantu yang bertitik asal pada titik dimana diperoleh nilai pada x = 0 dan y = 0.

b) “mengikat” fungsi tersebut ke sistem koordinat baru.

Contoh 3. Buat grafik suatu fungsi

Larutan. Mari kita beralih ke sistem koordinat bantu dengan titik asal di titik (-1;-2) (garis putus-putus pada Gambar 117) dan “menghubungkan” fungsi tersebut ke sistem koordinat baru. Kami mendapatkan grafik yang diperlukan (Gbr. 117)

Dalam buku soal “Aljabar. kelas 9.” diedit oleh Mordkovich A.G. dan Semenov P.V. sistem latihan yang bervariasi disajikan. Serangkaian latihan dibagi menjadi dua blok: yang pertama berisi tugas-tugas dari dua tingkat dasar: lisan (semi-lisan) dan tugas-tugas dengan tingkat kesulitan sedang; blok kedua berisi tugas-tugas dengan tingkat di atas rata-rata atau tingkat kesulitan yang meningkat. Jawaban disediakan untuk sebagian besar soal tingkat kedua dan ketiga. Buku soal berisi sejumlah besar tugas berbeda untuk membuat grafik berbagai jenis fungsi pangkat dan menentukan sifat-sifat suatu fungsi dari grafiknya. Misalnya:

No.12.10. Grafik fungsinya:

No.12.15. Selesaikan persamaan secara grafis

No.12.19. Plot dan baca grafik fungsinya

Plot dan baca grafik fungsinya

Buku teks: “Aljabar. kelas 9.” Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. (Pencerahan, 2006)

Buku teks ini juga ditujukan untuk kelas pendidikan umum, di mana materi tambahan dan tugas-tugas rumit tidak perlu dipertimbangkan. Jika jamnya cukup, jika kelas menunjukkan minat terhadap matematika, maka karena penambahan di akhir bab buku teks, serta poin dan tugas individu bertanda bintang, yang bersifat opsional di kelas pendidikan umum reguler, adalah dimungkinkan untuk memperluas dan memperdalam isi materi yang dipelajari sejauh yang disediakan oleh program untuk kelas dengan kajian matematika yang mendalam. Artinya, buku teks dapat digunakan baik di kelas reguler maupun di kelas yang mempelajari matematika secara mendalam.

Struktur bahan pelajaran:

BAB II. Kekuatan angka

§4. Gelar akar

4.1 Properti fungsi

4.2 Grafik suatu fungsi

4.3 Konsep akar derajat

4.4 Akar pangkat genap dan ganjil

4.5 Akar aritmatika

4.6 Sifat-sifat akar derajat

4.7 *Akar bilangan asli

4.8 *Fungsi

Mempelajari topik diawali dengan sifat-sifat fungsi (menggunakan contoh n = 2 dan n = 3) dan grafiknya. Selanjutnya, akar n, akar aritmatika, dan properti dari n akar dieksplorasi, serta penerapannya pada transformasi ekspresi. Di kelas dengan studi matematika yang mendalam, topik-topik berikut juga dipertimbangkan: "Fungsi", "Eksponen dengan eksponen rasional dan sifat-sifatnya".

Dikatakan bahwa fungsi memiliki sejumlah sifat yang identik (domain definisi, nol fungsi, paritas, keanehan, kontinuitas, interval monotonisitas). Oleh karena itu, disarankan untuk mempertimbangkan fungsi dalam kasus umum, di mana suatu bilangan asli, . Definisi grafik suatu fungsi diperkenalkan melalui definisi parabola. Artinya, sesuai dengan fakta yang diketahui bahwa grafik suatu fungsi adalah parabola, maka grafik ini disebut parabola derajat kedua, grafik suatu fungsi disebut parabola derajat 1 atau disingkat, sebuah parabola. Properti fungsi hanya dipertimbangkan untuk properti non-negatif dengan beberapa bukti.

Kajian pembuatan grafik suatu fungsi diawali dengan menggambarkan grafik fungsi pada satu bidang koordinat hanya untuk nilai non-negatif.

Pembelajaran suatu fungsi didasarkan pada pengetahuan yang diperoleh sebelumnya tentang akar aritmatika suatu derajat. Grafik suatu fungsi diplot dalam sistem koordinat Cartesian. Pertama kita perhatikan fungsi pangkat dan konstruksi grafiknya pada sistem koordinat O. Dengan demikian, terbukti bahwa grafik fungsi tersebut merupakan bagian dari parabola pangkat.

1) Jika x = 0, maka y = 0.

2) Jika, maka.

3) Fungsinya meningkat.

4) Jika, maka.

5) Fungsinya kontinu.

Sistem latihan pada topik “Fungsi Kekuatan” bervariasi. Ini berisi tugas-tugas pelatihan, baik lisan maupun tulisan. Misalnya:

No.316. Fungsi yang diberikan

Jelajahi fungsi ini dan buat grafiknya.

No 318. Grafik fungsinya

Nomor 321. Dalam satu sistem koordinat, buatlah grafik fungsi

441. Buatlah grafik fungsi untuk:

442. Buatlah grafik fungsi untuk:

Buku teks: “Aljabar. kelas 9." Yu.N.Makarchev, N.G. Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova (Pencerahan, 2009)

Buku teks ini ditujukan untuk sekolah menengah.

Struktur bahan pelajaran:

BAB IV. Kekuatan dengan eksponen rasional

§9. Fungsi daya

21. Fungsi genap dan ganjil

22. Fungsi

§10. akar ke-n

23. Penentuan akar ke-n

24. Sifat-sifat akar aritmatika derajat ke-n

§11. Kekuatan dengan eksponen rasional dan sifat-sifatnya

25. Penentuan derajat dengan eksponen pecahan

26. Sifat-sifat dengan eksponen rasional

27. Mengonversi ekspresi yang mengandung pangkat dengan eksponen pecahan

Kajian fungsi pangkat diawali dengan pengenalan konsep fungsi genap dan fungsi ganjil dengan menggunakan contoh perbandingan nilai suatu fungsi dengan dua nilai argumen yang berlawanan. Selanjutnya diberikan definisi fungsi genap dan ganjil dengan konstruksi grafik yang bersesuaian.

Dikatakan bahwa fungsi pangkat untuk = 1, 2 dan 3 (yaitu fungsi), sifat-sifat dan grafiknya telah dipelajari sebelumnya. Selanjutnya, sifat-sifat fungsi pangkat dan ciri-ciri grafiknya untuk sembarang bilangan asli diklarifikasi. Perhatikan fungsi jika eksponen n bilangan genap, maka n bilangan ganjil. Properti dianalisis menggunakan contoh, sesuai skema:

1. Ruang lingkup definisi;

2. Rentang makna;

3. Fungsi nol;

4. Paritas;

5. Paritas ganjil;

6. Fungsi yang monoton.

Paragraf berikutnya dari bab ini dikhususkan untuk akar ke-n, di mana definisi diperkenalkan dan properti dibahas.

Definisi tersebut diulangi: akar kuadrat suatu bilangan adalah bilangan yang kuadratnya sama dengan a. Akar pangkat n apa pun didefinisikan dengan cara yang sama: akar ke-n dari suatu bilangan a adalah bilangan yang pangkat ke-nnya sama dengan a. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen ganjil n dan grafiknya, yang menunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan a terdapat nilai unik x, yang pangkat ke-nnya sama dengan a. Kemudian dianggap fungsi pangkat dengan eksponen genap n, dan jika ada dua nilai x yang berlawanan, karena ada satu bilangan tersebut (angka 0), karena untuk tidak ada bilangan tersebut.

Di akhir bab ini, kita membahas derajat dengan eksponen rasional dan sifat-sifatnya.

Sistem latihannya bervariasi. Misalnya:

Nomor 503. Buat sketsa grafik fungsinya

Nomor 508. Selesaikan persamaan secara grafis

Nomor 513. Dengan menggunakan grafik fungsi, selesaikan persamaannya

Nomor 580. Grafik Fungsinya

Nomor 644. Gambarkan fungsi f, ketahuilah bahwa fungsi tersebut ganjil dan nilainya pada dapat dicari dengan menggunakan rumus

Nomor 643. Grafik Fungsinya

Nomor 663. Buat grafik fungsinya. Dengan menggunakan grafik, bandingkan nilai akar-akarnya

Nomor 669. Grafik Fungsinya

Buku teks: “Aljabar. kelas 9." S.A. Alimov, Yu.M.Kolyagin, Yu.V.Sidorov dan lainnya (Pencerahan, 2009)

Saat mempelajari topik ini, perhatian khusus diberikan pada sifat-sifat fungsi dan tampilan sifat-sifat ini pada grafik. Pada saat yang sama, keterampilan awal dikembangkan untuk melakukan transformasi sederhana dari grafik fungsi.

Struktur bahan pelajaran:

BAB III. Fungsi daya

§12. Domain Fungsi

§13. Fungsi bertambah dan berkurang

§14. Fungsi genap dan ganjil

§15. Fungsi

§16. Pertidaksamaan dan persamaan yang mengandung derajat

Tujuan utama bab ini tidak hanya untuk mengenalkan siswa pada fungsi pangkat, tetapi juga untuk memperluas informasi yang diketahui tentang sifat-sifat fungsi secara keseluruhan (domain definisi, monotonisitas, fungsi genap dan ganjil), untuk mengembangkan kemampuan untuk mempelajari fungsi menggunakan grafik yang diberikan,

Ketika mempelajari materi bab ini, pemahaman fungsional siswa diperdalam dan diperluas secara signifikan.

Dalam §12 dirumuskan definisi fungsi, argumen dan domain definisi suatu fungsi. Definisi grafik suatu fungsi dan metode pembuatannya, termasuk penggunaan transformasi dasar, diingat kembali.

Di §13 kami memperkenalkan konsep fungsi pangkat. Contoh-contoh tersebut mengungkapkan ruang lingkup definisi; definisi fungsi naik dan turun diingat kembali, dan definisi fungsi pangkat naik dan turun diberikan.

Gagasan tentang fungsi genap dan ganjil diberikan kepada siswa pada tataran visual. Buku teks membahas dua masalah di mana Anda perlu membuat grafik fungsi dan. Sifat-sifat fungsi ini dipelajari dan, berdasarkan simetri, konsep kegenapan atau keanehan suatu fungsi diberikan.

Pada §15, siswa memperoleh pemahaman tentang suatu fungsi untuk berbagai nilai k, belajar membuat grafik suatu fungsi dan membacanya (yaitu menentukan sifat-sifat suatu fungsi dari grafiknya). Dengan menggunakan fungsi tersebut, konsep proporsionalitas terbalik yang hanya disebutkan pada mata pelajaran aljabar kelas 8 diperjelas.

Saat mempelajari suatu fungsi untuk k > 0, fungsi tersebut pertama-tama disajikan sebagai kasus khusus dari fungsi pangkat: dengan mempertimbangkan perubahan parameter k.

Bagian ini membahas empat masalah yang memerlukan pembuatan grafik fungsi. Dalam Soal 1, untuk membuat grafik suatu fungsi, semua sifat fungsi yang dipelajari pada paragraf sebelumnya digunakan. Dalam tugas 2, saat membuat grafik fungsi, digunakan peregangan grafik fungsi yang sudah diketahui sepanjang sumbu absis sebanyak 2 kali. Dan berdasarkan kedua masalah tersebut, sifat-sifat fungsi dan dirumuskan.

Pada tugas 4 diharuskan membuat grafik suatu fungsi (berdasarkan tugas 1-2), yaitu grafik fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggeser grafik fungsi sepanjang sumbu Ox ke kanan sebanyak satu dan sepanjang sumbu Oy turun sebanyak 2 satuan.

Sistem latihan menyajikan berbagai jenis tugas: tugas wajib dan tambahan dengan kompleksitas yang meningkat.

Di antara tugas-tugas membangun grafik fungsi daya, latihan berikut dapat dibedakan:

164. Buatlah grafik dan tentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi

166. Gambarlah sketsa grafik fungsi pada

171. Buatlah grafik dan tentukan interval fungsi naik dan turun

No 174. Buat sketsa grafik fungsinya

Nomor 179. Cari tahu sifat-sifat fungsi dan buat grafiknya

No 180. Grafik fungsinya

No 191. Grafik fungsinya

No 218. Cari tahu apakah suatu fungsi genap atau ganjil

Siswa yang mempelajari materi menguasai konsep-konsep seperti domain definisi, fungsi genap dan ganjil, fungsi naik dan turun pada suatu interval.

Siswa menjumpai konsep fungsi naik dan turun pada mata pelajaran aljabar kelas 8, namun hanya ketika mempelajari topik tersebut definisi dari konsep tersebut baru terbentuk, sehingga dimungkinkan untuk membuktikan secara analitis kenaikan atau penurunan fungsi tertentu pada suatu interval. (namun, melakukan pembuktian seperti itu bukanlah salah satu keterampilan yang diperlukan). Siswa belajar mencari interval pertambahan suatu fungsi dengan menggunakan grafik fungsi yang bersangkutan.

Saat mempelajari topik, contoh fungsi pangkat dengan eksponen pecahan tidak dipertimbangkan, karena konsep pangkat dengan eksponen rasional tidak diperkenalkan dalam mata kuliah ini.

Ketika mempelajari setiap fungsi tertentu (termasuk fungsi), siswa akan dapat menggambar sketsa grafik fungsi yang dimaksud dan membuat daftar sifat-sifatnya berdasarkan grafik tersebut.

Buku teks: “Aljabar. Studi mendalam. kelas 9.” Mordkovich A.G. (Mnemosyne, 2006)

Kami mengambil buku teks ini untuk tahun 2006, karena buku teks ini, tidak seperti edisi-edisi selanjutnya, memuat topik derajat dengan eksponen rasional. Secara umum, saat ini topik ini dipelajari di sekolah menengah, namun dalam manual multimedia kami memasukkannya sebagai materi propaedeutik.

Buku ini ditujukan untuk pembelajaran matematika secara mendalam di kelas 9 SMA. Buku teks ini ditulis berdasarkan buku teks kelas 9 untuk lembaga pendidikan umum (A.G. Mordkovich. Aljabar-9). Ini mengimplementasikan program yang sama, tetapi perbedaannya adalah studi yang lebih mendalam tentang isu-isu yang relevan dari kursus: contoh-contoh sederhana digantikan oleh contoh-contoh yang lebih kompleks dan menarik.

Struktur bahan pelajaran:

BAB 4. Fungsi tenaga. Kekuatan dan akar

§17. Pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif

§18. Fungsi, properti dan grafiknya

§19. Konsep akar ke-n suatu bilangan real

§20. Fungsi, properti dan grafiknya

§21. Sifat-sifat akar ke-n

§22. Mengonversi Ekspresi yang Mengandung Radikal

§23. Generalisasi konsep eksponen

§24. Fungsi, properti dan grafiknya

Dalam § 18 kita berbicara tentang fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat, yaitu fungsi, dll. Bagian ini dibagi menjadi beberapa paragraf:

Penulis ingat bahwa kasus paling sederhana dari fungsi semacam itu dipertimbangkan di kelas 7 - itu adalah sebuah fungsi. Paragraf ini dimulai dengan pertimbangan fungsi. Sebuah grafik dibuat dan properti dari fungsi ini dicantumkan dalam urutan tertentu: 1) domain definisi; 2) genap, ganjil; 3) monoton; 4) pembatasan dari bawah, dari atas; 5) nilai fungsi terkecil dan terbesar; 6) kontinuitas; 7) rentang nilai; 8) konveksitas.

Properti telah dibaca dari grafik; sekarang diusulkan untuk membuktikan keberadaan sejumlah properti ini secara analitis.

Penulis menyimpulkan bahwa grafik suatu fungsi pangkat sama dengan grafik suatu fungsi, hanya saja cabang-cabangnya mengarah tajam ke atas dan lebih menekan ke arah sumbu x pada ruas tersebut dan diketahui bahwa kurva tersebut menyentuh sumbu x pada titik tersebut. (0;0).

Di akhir paragraf terdapat contoh pembuatan grafik konstruksi fungsi: 1) transisi ke sistem koordinat bantu yang berawal di titik (1; -2); 2) memplot kurva.

1) Fungsi

Sifat-sifat dan grafik fungsi pangkat yang eksponen ganjil terlebih dahulu diperiksa dengan menggunakan contoh fungsi yang grafiknya berbentuk parabola kubik.

Penulis menyimpulkan bahwa grafik suatu fungsi pangkat mirip dengan grafik suatu fungsi, hanya saja semakin besar eksponennya, semakin curam ke atas (dan, karenanya, ke bawah) cabang-cabang grafik tersebut diarahkan dan perhatikan bahwa kurva tersebut menyentuh sumbu x di titik (0;0).

Berikut ini adalah contoh penggunaan grafik fungsi pangkat untuk menyelesaikan suatu persamaan. Penyelesaiannya dilakukan dalam 4 tahap: 1) dua fungsi dipertimbangkan: dan; 2) memplot fungsinya; 2) memplot fungsi linier; 4) temukan titik potongnya dan lakukan pengecekan.

2) Fungsi

Kita berbicara tentang fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif (genap). Pertama kita melihat contoh fungsi. Grafik dibuat dan properti fungsi ini dicantumkan. Secara khusus, kami membuktikan properti di mana fungsinya menurun.

multimedia fungsi visual matematika sekolah

3) Fungsi

Dalam hal ini, kami mempertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif (ganjil): dll. Penulis ingat bahwa salah satu fungsi tersebut telah dipelajari di kelas 8 - ini. Sifat-sifat dan grafiknya (hiperbola) diingat, dan ditarik kesimpulan bahwa grafik suatu fungsi mirip dengan hiperbola.

Dalam § 19 konsep akar ke-n dari bilangan real diberikan dan, khususnya, dicatat bahwa dari bilangan non-negatif mana pun seseorang dapat mengekstrak akar derajat berapa pun (kedua, ketiga, keempat, dll.), dan dari bilangan negatif seseorang dapat mengekstrak akar derajat ganjil apa pun.

Dalam § 20 kita berbicara tentang fungsi yang diberikan pada, dan memeriksa grafik dan propertinya menggunakan contoh tertentu (at). Dari gambar yang menunjukkan grafik suatu fungsi dan grafik suatu fungsi, simetri grafik-grafik tersebut ditentukan dan kemudian dikonfirmasi secara analitis.

Bagian ini juga membahas fungsi dalam kasus ganjil untuk nilai apa pun. Sifat-sifat fungsi ini dibahas dan grafiknya dibuat.

· jika bilangan genap, maka grafik fungsinya berbentuk seperti pada Gambar. 1;

· jika merupakan bilangan ganjil, maka grafik fungsinya berbentuk seperti pada Gambar. 2.

Dalam § 24 kami mempertimbangkan fungsi bentuk - bilangan real apa pun (kami membatasi diri pada kasus eksponen rasional).

1. Jika merupakan bilangan asli, maka kita memperoleh suatu fungsi (grafik dan propertinya diketahui)

2. Jika, maka kita mendapatkan fungsinya, yaitu . Dalam kasus genap, grafiknya memiliki bentuk seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 3a, dalam kasus ganjil, grafiknya berbentuk seperti pada Gambar. 3b

beras.

3. Jika kita berbicara tentang suatu fungsi, maka ini adalah fungsi di mana

Situasinya kira-kira sama untuk setiap fungsi pangkat, di mana:

1. - pecahan biasa (pembilangnya lebih besar dari penyebutnya). Grafiknya berupa kurva yang mirip dengan cabang parabola. Semakin tinggi indikatornya, semakin “curam” kurva ini mengarah ke atas. Grafik dibuat dan properti diberikan.

2. - pecahan biasa () (§ 20). Grafik dibuat dan properti diberikan.

Grafik dibuat dan properti diberikan.

Dalam buku soal “Aljabar. Studi mendalam. kelas 9.” Zavich L.I., Ryazanovsky A.R. menyajikan sistem latihan yang bervariasi. Kompleksitas tugas meningkat seiring dengan bertambahnya nomor serinya. Buku soal berisi sejumlah besar latihan berbeda tentang membuat grafik berbagai jenis fungsi pangkat, mempelajari dan menerapkan sifat-sifatnya.

Misalnya:

No.17.05. Buatlah grafik fungsi pada satu gambar

Grafik Fungsi Plot

No.17.35. Grafik Fungsinya

dan dengan menggunakan grafik, tunjukkan interval monotonisitasnya, titik ekstrem, ekstrem, dan jumlah nolnya.

Grafik fungsinya:

No.19.01. Buatlah grafik fungsi pada satu gambar

No.19.04. Grafik Fungsi Plot

No.19.22. Plot grafik dan lakukan penelitian fungsi

No.21.01. Buatlah grafik fungsi pada satu gambar, untuk dan, untuk dan daftarkan sifat-sifat fungsi: a) daerah definisi D(y); b) himpunan nilai E(y); c) fungsi nol; d) interval monoton; e) interval konveksitas; f) titik ekstrem; g) ekstrem; h) genap atau ganjil; i) nilai terbesar dan terkecil.

No.21.03. Plot dan jelajahi fungsi-fungsi berikut

No.21.11. Buat grafik fungsi pada satu gambar

pada segmen tersebut

No.21.17. Grafik Fungsi Plot

No.25.01. Buatlah sketsa grafik pasangan fungsi berikut pada gambar yang sama

No.25.05. Buat grafik fungsi dan jelaskan sifat-sifatnya

No.25.06. Buatlah grafik fungsi pada gambar yang berdekatan

Nomor 25.18. Grafik Fungsi Plot

No.25.30. Grafik Fungsi Plot

Analisis literatur pendidikan memungkinkan kita menarik beberapa kesimpulan

Mengingat standar pendidikan umum dasar matematika, kita melihat bahwa siswa harus mempelajari jenis fungsi pangkat berikut:

Kasus khusus (langsung, proporsionalitas terbalik, fungsi kuadrat),

Dengan indikator alami,

Dengan keseluruhan indikator

Dengan eksponen rasional positif,

Dengan indikator rasional,

Dengan indikator yang tidak rasional,

Dengan indikator yang valid.

Peran penting dalam topik ini dimainkan oleh pembentukan gambar grafik fungsi. Siswa juga harus mampu: menentukan sifat-sifat suatu fungsi dari grafiknya; jelaskan sifat-sifat fungsi yang dipelajari, buat grafiknya. Pertimbangan standar ini memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa topik “Fungsi kekuasaan” termasuk dalam pengetahuan, keterampilan dan kemampuan minimum wajib anak sekolah dan, oleh karena itu, perhatian kita terhadapnya sepenuhnya dapat dibenarkan.

Untuk mengembangkan keterampilan yang kuat tentang fungsi daya, perlu mempelajari metodologi topik “Sifat-sifat fungsi daya”, yang akan kita bahas selanjutnya.

2. Landasan metodologi mempelajari topik “Sifat-sifat fungsi pangkat” di sekolah

Fungsi pangkat termasuk dalam kelas fungsi dasar.

Tujuan pembelajarannya tidak hanya untuk mengenalkan siswa pada fungsi pangkat, tetapi juga untuk memperluas informasi yang mereka ketahui tentang sifat-sifat fungsi secara umum.

Saat mempelajari topik “Fungsi pangkat”, mereka terutama menggunakan metode analitis dan grafis dalam mempelajari fungsi. Dalam kasus di mana penelitian analitis sulit dipahami oleh siswa, metode grafis digunakan, tetapi metode grafis tidak dapat berfungsi sebagai bukti.

Siswa melakukan sejumlah besar karya grafis, dan perhatian diberikan tidak hanya pada keakuratan dan ketepatan pelaksanaannya, tetapi juga pada teknik rasional untuk membuat grafik.

Dimungkinkan untuk mengembangkan keterampilan yang kuat dalam membangun dan membaca grafik fungsi daya dan untuk memastikan bahwa setiap siswa dapat melakukan jenis tugas dasar secara mandiri hanya jika siswa menyelesaikan latihan dalam jumlah yang cukup.

Misalnya dalam majalah “Matematika di Sekolah” Lopatina, L.V. menawarkan pelajaran lokakarya berikut:

Lesson-workshop bertujuan agar siswa memperoleh pengetahuan melalui karyanya sendiri. Ini adalah motif utama pedagogi perkembangan. Topik “Fungsi Pangkat” sangat cocok untuk karya kreatif seluruh kelas, karena fungsi pangkat (, dimana bilangan rasional apa pun) sebenarnya adalah himpunan fungsi yang mempunyai sifat berbeda-beda bergantung pada eksponennya.

Diskusi tentang sifat-sifat ini paling baik dilakukan dalam kelompok. Untuk melakukan ini, disarankan untuk membagi kelas menjadi enam kelompok.

Pertama-tama, guru perlu membayangkan urutan pekerjaan di “bengkel”:

Tahap I - induksi - mengacu pada pengalaman sebelumnya;

Tahap III - gap - saat siswa harus menyadari bahwa ada kesenjangan dalam pengetahuannya yang harus mereka isi sendiri;

Tahap IV - refleksi - menentukan tingkat asimilasi.

Mari kita uraikan lebih detail setiap tahapan pelajaran.

Tahap I - induksi. Guru mengingatkan bahwa fungsi, sifat-sifat dan grafiknya telah dipelajari di kelas. Fungsi-fungsi ini secara umum dapat ditentukan dengan rumus: , di mana - adalah suatu bilangan bulat. Fungsi seperti ini disebut fungsi pangkat. Kelas diberi tugas berikut: membuat daftar pertanyaan yang perlu kita jawab sambil mempelajari fitur baru.

Kelas mendiskusikan pertanyaan-pertanyaan ini dalam kelompok, dan kemudian semua pertanyaan dari kelompok dikumpulkan menjadi satu daftar:

· Properti apa yang dimiliki fungsi ini?

· Apa jadwalnya?

· Dalam situasi apa ini digunakan?

Mari kita mulai dengan menjawab pertanyaan terakhir. Mari kita berikan contoh beberapa situasi di mana fungsi pangkat muncul.

Tiga siswa secara bergiliran mendatangi papan tulis dan membuat pesan yang telah disiapkan di rumah.

Siswa pertama membahas fungsi dimana adalah luas penampang diameter kawat. Siswa akan melihat bahwa fungsi pangkat ini sebenarnya adalah fungsi kuadrat, tetapi dengan batasan nilai argumennya.

Siswa kedua berbicara tentang fakta bahwa gaya tarik menarik antara dua benda bermassa dinyatakan dengan rumus. Ini adalah fungsi dari jarak antara benda-benda tersebut. Akan ada siswa di kelas yang memperhatikan bahwa kita telah memplot fungsi jenis ini, meskipun kita belum mempelajarinya secara spesifik.

Siswa ketiga menganalisis jarak cakrawala dari pengamat: . Ini adalah fungsi dari ketinggian pengamat diangkat di atas permukaan laut. Jika anak sendiri tidak memperhatikan hal ini, maka guru harus menekankan bahwa di sini nilainya tidak dapat meningkat tanpa batas waktu. Memang benar, tidak peduli seberapa tinggi pengamat berada, dia tidak dapat melihat lebih dari kemampuan penglihatannya dan konveksitas bola bumi. Contoh ini sangat indikatif, karena memungkinkan kita menilai kelayakan pembatasan nilai fungsi. Di sini kita harus memberlakukan beberapa batasan pada nilai fungsi, meskipun secara teoritis nilainya dapat meningkat tanpa batas.

Tahap II - diskusi topik. Siswa diberi waktu untuk memeriksa sifat-sifat salah satu fungsi pangkat yang mereka pilih. Masalah utama di sini adalah pilihan fungsi. Satu kelompok cenderung menyederhanakan masalah, membatasi diri pada tipe fungsi yang diketahui semua siswa. Kelompok lain membuat pekerjaan mereka terlalu rumit dengan berfokus pada fungsi spesies atau, mungkin, keduanya secara bersamaan, meskipun pendekatan umum terhadap pertanyaan tersebut belum jelas bagi siswa.

Pada akhirnya, ada kelompok yang telah memilih fungsi yang grafiknya telah dipertimbangkan sebelumnya, meskipun penekanan yang diperlukan tidak diberikan pada fungsi tersebut.

Kelompok pertama mengamati fungsi spesies; mencatat domain definisinya: dan nilai nol dari fungsi di. Orang-orang ini secara khusus berfokus pada fakta bahwa fungsi tersebut meningkat di seluruh domain definisi. Kami mengidentifikasi interval di mana fungsinya lebih besar atau kurang dari nol. Para pembicara menekankan bahwa fungsi ini ganjil dan tidak mempunyai nilai terbesar dan terkecil.

Salah satu siswa dari kelompok ini berbicara kepada kelas dan membicarakan hasil penelitian kelompoknya.

Kelompok kedua memilih fitur untuk dipertimbangkan. Orang-orang memperhatikan bahwa sekarang mereka harus mengecualikan angka 0 dari domain definisi fungsi, mis. . Berbeda dengan fungsi sebelumnya, fungsi ini tidak memiliki angka nol. Namun, seperti yang dibahas di atas, fungsi ini positif dan negatif. Ini menurun di seluruh domain definisi.

Perwakilan kelompok ini menekankan perbedaan antara fungsi dan.

Dua siswa lagi berbicara tentang fungsi.

Dalam presentasinya, seluruh presenter harus mendemonstrasikan grafik fungsi yang dibahas.

Pada pembelajaran tahap III, siswa harus merangkum pengetahuannya. Dan mereka harus melakukan ini sendiri, karena terkejut dengan beragamnya fungsi yang dipertimbangkan. “Mengapa mereka diberi satu nama padahal jumlahnya banyak dan berbeda?” - ini adalah pertanyaan yang harus ditanyakan siswa pada diri mereka sendiri. Tugas guru adalah mengarahkan siswa secara diam-diam terhadap masalah ini. Ada saatnya yang disebut gap, ketika anak harus menyadari kekurangan ilmunya, keterbatasan atau ketidaklengkapannya. Memang, salah satu fungsi yang dianggap nol, yang lain tidak. Yang satu bertambah di seluruh domain definisi, yang lain bertambah dan berkurang. Karakterisasi apa yang harus kita berikan pada seluruh fungsi kekuasaan agar dapat mencakup sebanyak mungkin kasus khusus?

Dalam mencari jawaban atas pertanyaan ini, salah satu dari mereka akhirnya menebak bahwa jenis fungsi pangkat dapat dengan mudah dikaitkan dengan kegenapan atau keanehan eksponen.

Sekarang adalah waktu yang tepat untuk menugaskan kembali kelompok tersebut untuk mendiskusikan sifat-sifat fungsi

dimana - ganjil;

dimana -- genap;

dimana -- ganjil;

dimana genap.

Sekali lagi kita perhatikan rencana penelitian fungsi:

Tentukan ruang lingkup definisi.

Tentukan apakah suatu fungsi genap atau ganjil (atau perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak genap atau ganjil).

1. Temukan nol dari fungsi tersebut, jika ada.

2. Tandai interval keteguhan tanda.

3. Temukan interval kenaikan dan penurunan.

4. Tentukan nilai fungsi terbesar atau terkecil.

Pada bagian akhir siswa disajikan grafik fungsi yang dipertimbangkan, = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Grafik tersebut adalah dilakukan oleh perwakilan masing-masing kelompok.

Sekarang, bersama-sama dengan kelas, kita membuat grafik fungsi, dimana bilangan asli dan.

Properti umum dari fungsi-fungsi ini dicatat: keduanya memiliki domain definisi - sebuah interval. Keduanya tidak genap maupun ganjil. Keduanya lebih besar dari nol.

Namun fungsi tersebut juga memiliki perbedaan. Orang-orang menyebutnya secara khusus: fungsi suatu spesies meningkat dalam domain definisinya, dan fungsi suatu spesies menurun dalam domain yang sama. Suatu fungsi berbentuk mempunyai nilai nol di, dan suatu fungsi berbentuk dan tidak mempunyai nol.

Pada tahap IV, siswa harus melakukan refleksi, yaitu. menentukan derajat penguasaan materi. Seluruh kelas menerima tugas berikut sesuai dengan Gambar. 3.

Pada Gambar. 3, a-h secara skematis menggambarkan grafik fungsi yang diberikan oleh rumus

Tentukan rumus mana dari daftar ini yang kira-kira sesuai dengan masing-masing grafik a-z.

Dalam jurnal “Matematika di Sekolah” Petrova, N.P. menawarkan proyek "Mempelajari properti fungsi pangkat menggunakan Excel":

Proyek pendidikan yang dijelaskan dalam artikel dengan topik "Mempelajari sifat-sifat fungsi menggunakan spreadsheet Excel" dilaksanakan oleh guru matematika dan ilmu komputer di kamar bacaan kami di kelas IX dan dirancang untuk lima pelajaran.

Tujuan dari proyek ini adalah untuk membekali siswa dengan kemandirian dan inisiatif ketika mempelajari topik baru dan menerapkan materi yang telah dipelajari sebelumnya dalam praktik.

Selama proyek berlangsung, siswa kelas sembilan harus menunjukkan:

· kemampuan untuk merumuskan tujuan proyek dengan benar;

· kemampuan menganalisis informasi dan menarik kesimpulan;

· kemampuan menginterpretasikan dengan benar hasil yang diperoleh dan menerapkannya dalam kegiatan praktik.

Siswa dihadapkan pada tugas untuk mengkaji perilaku grafik fungsi dengan menggunakan Excel, kemudian berdasarkan data yang diperoleh, mendeskripsikan sifat-sifat fungsi.

Berdasarkan hasil proyek, siswa kelas sembilan harus mempelajari bentuk umum grafik fungsi dan mempelajari cara membuat dan “membaca” grafik tersebut, serta menyelesaikan persamaan grafis dalam bentuk = f(x).

Perhatikan bahwa pekerjaan pada proyek ini dimaksudkan untuk mendorong pengembangan kemampuan anak-anak sekolah untuk membandingkan, mengidentifikasi ciri-ciri umum dan perbedaan dalam grafik fungsi pangkat untuk nilai yang berbeda.

Berikut adalah deskripsi langkah demi langkah proyek tersebut.

Tahap I. Persiapan (tahap pencarian)

Kebangkitan minat siswa terhadap topik proyek terjadi selama percakapan. Siswa diminta untuk menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode yang mereka ketahui

Ternyata kalian bisa menyelesaikan persamaan tersebut dengan dua cara: analitis dan grafis, persamaannya - secara grafis. Mereka kesulitan menyelesaikan persamaan yang tersisa, tetapi jika mereka terbiasa dengan grafik fungsi, mereka akan menyelesaikan masalahnya secara grafis.

Hasil perbincangan tersebut adalah rumusan pertanyaan problematis: seperti apa grafik fungsi itu dan di mana letaknya? Setelah itu, arahan untuk pekerjaan lebih lanjut ditentukan dan tugas dirumuskan:

1. Dengan menggunakan Excel, cari tahu seperti apa grafik suatu fungsi jika n genap dan jelaskan sifat-sifat fungsi tersebut.

2. Dengan menggunakan Excel, cari tahu seperti apa grafik suatu fungsi jika n ganjil dan jelaskan sifat-sifat fungsi tersebut.

3. Dengan menggunakan Excel, cari tahu seperti apa grafik suatu fungsi jika n genap dan jelaskan sifat-sifat fungsi tersebut.

4. Dengan menggunakan Excel, cari tahu seperti apa grafik suatu fungsi jika n ganjil dan jelaskan sifat-sifat fungsi tersebut.

Kemudian kelas dibagi menjadi kelompok kerja. Guru mengajak siswa untuk secara mandiri membagi menjadi empat kelompok (opsional) dan memilih seorang pemimpin di setiap kelompok. Ketika kelompok terbentuk, mereka memilih salah satu bidang pekerjaan dalam proyek (sesuai dengan tugas yang tercantum di atas).

Tahap II. Perencanaan (tahap analitis)

Guru membantu kelompok menyusun rencana kerja untuk memecahkan masalah yang dipilih dan merekomendasikan sumber informasi. Siswa secara mandiri menetapkan peran dalam kelompok. Perkiraan pembagian peran dalam kelompok ditunjukkan pada tabel berikut. Banyaknya siswa dalam suatu kelompok tergantung pada banyaknya siswa dalam kelas tersebut.

Pada tahap yang sama dibahas bentuk penyajian hasil karya. Dalam hal ini, presentasi komputer menggunakan PowerPoint dipilih.

Tahap III. Penelitian (tahap praktik)

Siswa menyelesaikan tugas sesuai dengan rencana kerja yang direncanakan. Guru memantau kegiatan mereka dan, jika perlu, menasihati siswa.

Sebagai contoh, mari kita ambil rencana kerja kelompok No.1.

1. Membuat grafik fungsi menggunakan Excel.

2. Perbandingan grafik, rumusan rekomendasi pembuatan grafik fungsi bilangan genap alami.

3. Menentukan sifat-sifat suatu fungsi dari suatu grafik.

4. Analisis contoh penerapan praktis grafik suatu fungsi.

Berdasarkan penelitian, siswa menyimpulkan bahwa grafik fungsi bentuk genap alami n adalah kurva yang mirip dengan parabola, dan memberikan rekomendasi untuk membuat grafik: perlu diperhatikan bahwa grafik tersebut simetris terhadap sumbu Oy, jadi cukup membuat tabel nilai fungsi untuk nilai positif argumen X.

Selain itu, pada tahap ini, skrip presentasi umum dibuat, yang akan disempurnakan seiring berjalannya proyek. Dalam skrip ini, khususnya, jumlah slide, tujuan masing-masing slide, serta objek utama yang harus ditempatkan pada slide ditentukan.

Tahapan IV dan V. Pertahanan proyek, evaluasi hasil (tahap presentasi dan pengendalian)

Pertahanan proyek (dalam kelompok) terjadi pada pelajaran terakhir yang dijadwalkan.

Sekarang mari kita sajikan jadwal pelajaran untuk mengerjakan proyek ini dan isi setiap pelajaran.

Pelajaran 1 (matematika)

· Pernyataan masalah proyek. Menentukan bidang kerja, merumuskan tujuan proyek.

· Pembagian menjadi kelompok kerja, pemilihan pemimpin dalam kelompok.

· Menyusun rencana kerja untuk menyelesaikan tugas yang diberikan, pembagian peran dalam kelompok, memilih bentuk presentasi hasil.

Pelajaran 2 (ilmu komputer)

· Bicara tentang tujuan spreadsheet Excel.

· Mengulangi konstruksi grafik berbagai fungsi menggunakan Excel.

· Merencanakan grafik fungsi yang dipelajari menggunakan Excel. Analisis informasi yang diterima, penarikan kesimpulan.

Pelajaran 3 (matematika)

· Konstruksi dan “pembacaan” grafik fungsi dan

· Menyelesaikan persamaan bentuk dimana secara grafis.

· Membuat naskah presentasi.

Pelajaran 4 (ilmu komputer)

· Pengulangan tujuan dan prinsip pengoperasian program Power Point.

· Membuat presentasi.

Pelajaran 5 (matematika)

· Perlindungan proyek.

Kami juga menyediakan rencana pelajaran umum untuk mempertahankan proyek.

1. Momen organisasi.

2. Motivasi menerapkan ilmu melalui identifikasi suatu masalah.

Pidato pembukaan guru

Dalam pembelajaran hari ini, objek pembelajaran utama adalah fungsi dan sifat-sifat serta grafiknya. Anda sudah mengetahui cara menyelesaikan persamaan derajat pertama (linier) dan derajat kedua (kuadrat) menggunakan rumus akar. Untuk persamaan derajat 3 juga terdapat rumus khusus untuk akar-akarnya, namun sangat rumit dan jarang digunakan dalam praktek. Untuk persamaan yang derajatnya lebih tinggi dari sepertiga, tidak ada rumus umum untuk akar-akarnya. Permasalahan yang timbul adalah: bagaimana persamaan tersebut dapat diselesaikan? Ternyata, jika tidak secara analitis, maka secara grafis. Dan untuk menggunakan metode grafis dalam menyelesaikan persamaan bentuk dan, Anda harus mampu membuat grafik fungsi dan, di mana.

Empat kelompok mempelajari grafik fungsi-fungsi tersebut. Sekarang masing-masing dari mereka akan memperkenalkan kita pada hasil pekerjaan yang telah dilakukan.

3. Pertunjukan kelompok.

Presentasi (pertahanan) proyek oleh masing-masing kelompok, jawaban atas pertanyaan lawan.

4. Penilaian diri dan penilaian setiap kinerja oleh kelompok lain (dalam skala lima poin).

Kami mencantumkan kriteria evaluasi utama:

· kesesuaian isi dengan topik yang dikemukakan, keakuratan, kelengkapan penyajian;

· tidak ada kesalahan;

· desain (desain): sejauh mana tata letak slide memenuhi persyaratan estetika;

· Apakah teksnya mudah dibaca? apakah gambarnya sesuai dengan isinya, dll.;

· persuasif, argumentasi pidato; literasi bicara, pengetahuan tentang terminologi;

· kelengkapan jawaban pertanyaan.

Interaksi dalam kelompok dinilai secara terpisah: keterampilan komunikasi, rasa hormat dan perhatian terhadap peserta lain, aktivitas.

Jumlah total poin yang diperoleh dan skor penilaian (skor rata-rata aritmatika) dihitung; Berdasarkan mereka, penilaian diberikan untuk partisipasi dalam proyek.

5. Diskusi kontribusi setiap siswa terhadap proyek dan penilaian.

6. Menyimpulkan (refleksi).

7. Kata-kata terakhir guru

Selama kegiatan proyek mengenai topik ini, Anda menjawab pertanyaan tentang apa itu grafik fungsi dan apa itu, dan memberikan rekomendasi untuk konstruksinya. Sekarang Anda dapat menyelesaikan beberapa persamaan dalam bentuk dan grafik. Kami berterima kasih kepada semua siswa atas kerja kreatif dan bermanfaat mereka, yang berkontribusi terhadap pencapaian tujuan proyek.

Mempertimbangkan hal di atas, dalam manual kami, kami mencoba mencerminkan pendekatan sistematis terhadap studi fungsi daya. Untuk meminimalkan kesulitan bekerja dengan komputer, kami mencoba membuat navigasi yang nyaman dan alami serta mempertimbangkan persyaratan perangkat lunak didaktik.

Fungsi pangkat dan grafiknya. Fungsi dasar dasar: properti dan grafiknya

Fungsi daya

Sifat-sifat fungsi pangkat dan grafiknya

Fungsi pangkat dengan eksponen sama dengan nol, p = 0

Fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami, p = n = 1, 3, 5, ...

untuk n ≠ 1, fungsi inversnya adalah akar derajat n:

untuk n = 2, akar kuadrat:

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif untuk berbagai nilai eksponen n = -1, -2, -3, ....

di n

pada n = -2,

Misalkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional (fraksional), dimana n adalah bilangan bulat, m > 1 adalah bilangan asli. Selain itu, n, m tidak memiliki pembagi persekutuan.

Misalkan penyebut eksponen pecahannya ganjil: m = 3, 5, 7, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p didefinisikan untuk nilai positif dan negatif dari argumen x.< 0

Misalkan eksponen rasional (dengan penyebut ganjil m = 3, 5, 7, ...) lebih kecil dari nol: .

Kita sajikan sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen negatif rasional, dimana n = -1, -3, -5, ... adalah bilangan bulat negatif ganjil, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan bulat bilangan bulat alami ganjil.

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional negatif, dimana n = -2, -4, -6, ... adalah bilangan bulat negatif genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan bulat ganjil .< p < 1

Nilai p positif, kurang dari satu, 0

pada x = 0, y(0) = 0

Indeks p lebih besar dari satu, p > 1

Pembilang ganjil, n = 5, 7, 9, ...

Dimana n = 5, 7, 9, ... - ganjil natural, m = 3, 5, 7 ... - ganjil natural.

Dimana n = 4, 6, 8, ... - genap natural, m = 3, 5, 7 ... - ganjil natural.

Penyebut eksponen pecahannya genap

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen irasional p.< 0

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif p

x > 0< p < 1

x ≥ 0

Fungsi permanen.

Akar derajat ke-n.

Akar derajat ke-n, n adalah bilangan genap.

Akar derajat ke-n, n adalah bilangan ganjil.

Fungsi daya.

Fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil.

Fungsi pangkat dengan eksponen positif genap.

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif ganjil.

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif genap.

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional yang nilainya lebih besar dari nol dan kurang dari satu.

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional bukan bilangan bulat lebih besar dari satu.

Fungsi pangkat dengan eksponen riil lebih besar dari minus satu dan kurang dari nol.

Fungsi pangkat dengan eksponen real bukan bilangan bulat yang kurang dari minus satu.

Fungsi eksponensial.

Fungsi logaritma.

Fungsi trigonometri, sifat-sifatnya dan grafiknya.

Fungsi sinus y = sin(x) .

Fungsi kosinus y = cos(x) .

Fungsi tangen y = tan(x) .

Fungsi kotangen y = ctg(x) .

Fungsi trigonometri terbalik, sifat dan grafiknya.

Fungsi busur y = arcsin(x) .

Fungsi trigonometri terbalik, sifat dan grafiknya.

fungsi arcsin

[[[[Sunting]Properti fungsi arcsin

[[[[Sunting]Mendapatkan fungsi arcsin