Sifat-sifat garis bagi yang tegak lurus suatu ruas. Titik potong garis bagi dan titik potong garis bagi tegak lurus suatu segitiga

Ada yang disebut empat titik luar biasa dalam sebuah segitiga: titik potong median. Titik potong garis bagi, titik potong ketinggian, dan titik potong garis bagi tegak lurus. Mari kita lihat masing-masingnya.

Titik potong median segitiga

Teorema 1

Di perpotongan median segitiga: Median suatu segitiga berpotongan di satu titik dan dibagi dengan titik potong tersebut dengan perbandingan $2:1$ dimulai dari titik sudut.

Bukti.

Misalkan segitiga $ABC$, dengan $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ adalah mediannya. Karena median membagi sisinya menjadi dua. Mari kita perhatikan garis tengah $A_1B_1$ (Gbr. 1).

Gambar 1. Median suatu segitiga

Berdasarkan Teorema 1, $AB||A_1B_1$ dan $AB=2A_1B_1$, maka $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Artinya segitiga $ABM$ dan $A_1B_1M$ sebangun menurut kriteria keserupaan segitiga yang pertama. Kemudian

Demikian pula terbukti

Teorema tersebut telah terbukti.

Titik potong garis bagi segitiga

Teorema 2

Di perpotongan garis-garis bagi suatu segitiga: Garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Bukti.

Perhatikan segitiga $ABC$, dengan $AM,\BP,\CK$ adalah garis baginya. Misalkan titik $O$ adalah titik potong garis bagi $AM\ dan\BP$. Mari kita menggambar garis tegak lurus dari titik ini ke sisi-sisi segitiga (Gbr. 2).

Gambar 2. Garis bagi segitiga

Teorema 3

Setiap titik garis bagi suatu sudut yang belum berkembang mempunyai jarak yang sama dari sisi-sisinya.

Berdasarkan Teorema 3, kita mendapatkan: $OX=OZ,\ OX=OY$. Oleh karena itu, $OY=OZ$. Artinya, titik $O$ berjarak sama dari sisi-sisi sudut $ACB$ dan oleh karena itu, terletak pada garis bagi $CK$.

Teorema tersebut telah terbukti.

Titik potong garis-bagi tegak lurus suatu segitiga

Teorema 4

Garis bagi yang tegak lurus sisi-sisi segitiga berpotongan di satu titik.

Bukti.

Misalkan sebuah segitiga $ABC$ diberikan, $n,\ m,\ p$ garis bagi yang tegak lurus. Misalkan titik $O$ adalah titik potong garis-garis tegak lurus $n\ dan\ m$ (Gbr. 3).

Gambar 3. Garis bagi suatu segitiga tegak lurus

Untuk membuktikannya diperlukan teorema berikut.

Teorema 5

Setiap titik garis bagi yang tegak lurus terhadap suatu ruas mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujung ruas tersebut.

Berdasarkan Teorema 3, kita mendapatkan: $OB=OC,\ OB=OA$. Oleh karena itu, $OA=OC$. Artinya, titik $O$ berjarak sama dari ujung ruas $AC$ dan oleh karena itu terletak pada garis bagi tegak lurus $p$.

Teorema tersebut telah terbukti.

Titik potong ketinggian segitiga

Teorema 6

Ketinggian suatu segitiga atau perpanjangannya berpotongan di satu titik.

Bukti.

Misalkan segitiga $ABC$, dengan $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ adalah tingginya. Mari kita tarik garis lurus melalui setiap titik sudut segitiga yang sejajar dengan sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut. Kita mendapatkan segitiga baru $A_2B_2C_2$ (Gbr. 4).

Gambar 4. Ketinggian segitiga

Karena $AC_2BC$ dan $B_2ABC$ merupakan jajar genjang yang mempunyai sisi yang sama, maka $AC_2=AB_2$, yaitu titik $A$ adalah titik tengah sisi $C_2B_2$. Demikian pula, kita menemukan bahwa titik $B$ adalah titik tengah sisi $C_2A_2$, dan titik $C$ adalah titik tengah sisi $A_2B_2$. Dari konstruksi kita mendapatkan $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Oleh karena itu, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ adalah garis bagi tegak lurus segitiga $A_2B_2C_2$. Kemudian, berdasarkan Teorema 4, kita mendapatkan bahwa ketinggian $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ berpotongan di satu titik.

Handout (Lampiran No. 1)

Masalah yang melibatkan konstruksi dengan kompas dan penggaris tanpa pembagian paling sering diselesaikan menurut skema tertentu:

SAYA. Analisis: Gambarkan gambar yang diinginkan secara skematis dan buat hubungan antara data tugas dan elemen yang diperlukan.

II. Konstruksi: Sesuai rencana, pembangunan dilakukan dengan menggunakan kompas dan penggaris.

AKU AKU AKU. Bukti: Buktikan bahwa gambar yang dibangun memenuhi kondisi masalah.

IV. Belajar: Melakukan studi untuk melihat apakah suatu permasalahan mempunyai solusi untuk setiap data tertentu dan, jika ya, berapa banyak solusi yang ada (tidak dilakukan pada semua permasalahan).

Berikut beberapa contoh tugas konstruksi dasar yang akan kami pertimbangkan:

1. Sisihkan satu ruas yang sama dengan ruas tertentu (dipelajari sebelumnya).

2. Konstruksi garis bagi yang tegak lurus suatu ruas:

• membangun bagian tengah segmen tertentu;
• buatlah sebuah garis yang melalui suatu titik tertentu dan tegak lurus terhadap suatu garis tertentu (titik tersebut mungkin terletak atau tidak terletak pada suatu garis tertentu).

3. Konstruksi garis bagi sudut.

4. Membangun sudut yang sama dengan sudut tertentu.

Garis bagi yang tegak lurus suatu ruas garis.

Definisi: Garis bagi yang tegak lurus suatu ruas adalah garis yang melalui titik tengah ruas tersebut dan tegak lurus terhadap ruas tersebut.

Tugas: “Buatlah garis bagi yang tegak lurus terhadap ruas tersebut.” Presentasi

O - AB tengah

Deskripsi konstruksi ( geser nomor 4):

Balok a; A – awal balok

Keliling (A; r =m)

Lingkaran a = B; AB = m

Lingkaran 1 (A; r 1 > m/2)

Lingkaran 2 (B; r 1)

Lingkaran 1 Lingkaran 2 =

M N; MN AB =0, (MN = L)

dimana MN AB, O – bagian tengah AB

AKU AKU AKU. Bukti(slide nomor 5, 6)

1. Pertimbangkan AMN dan BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, maka AM = BN, AN = BM MN – sisi persekutuan

(Gambar 3)

Jadi AMN = BNM (di 3 sisi),

Karena itu

1= 2 (menurut definisi sama)

3= 4 (menurut definisi sama)

2. MAN dan NBM sama kaki (menurut definisi) ->

1 = 4 dan 3 = 2 (menurut sifat sama kaki)

3. Dari titik 1 dan 2 -> 1 = 3 maka MO adalah garis bagi AMB sama kaki

4. Dengan demikian kita telah membuktikan bahwa MN adalah garis bagi yang tegak lurus ruas AB

IV. Belajar

Masalah ini mempunyai solusi yang unik, karena setiap segmen hanya memiliki satu titik tengah, dan melalui suatu titik tertentu seseorang dapat menggambar satu garis lurus yang tegak lurus terhadap titik tersebut.

Definisi: Himpunan titik geometri (GMT) adalah himpunan titik-titik yang mempunyai sifat tertentu. (Lampiran No.2)

GMT yang Anda tahu:

1. Garis bagi yang tegak lurus suatu ruas adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari ujung-ujung ruas tersebut.
2. Garis bagi suatu sudut - sekumpulan titik yang berjarak sama dari sisi-sisi sudut

Jadi, mari kita buktikan teoremanya:

Teorema: “Setiap titik pada garis-bagi yang tegak lurus terhadap suatu ruas mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujung ruas tersebut.”

(Gambar 4)

Diberikan: AB; MO – garis bagi tegak lurus

Buktikan: AM = VM

Pekerjaan Rumah: “Buktikan teorema kebalikan dari teorema ini”

Dalil: “Setiap titik yang berjarak sama dari ujung suatu ruas terletak pada garis bagi yang tegak lurus ruas tersebut.”

(Gambar 5)

Diberikan: AB; MA=MV

Membuktikan: Titik M terletak pada garis bagi yang tegak lurus

Bukti:

Itu. MO adalah garis bagi tegak lurus yang memuat semua titik yang berjarak sama dari ujung-ujung ruas tersebut.

Sifat-sifat garis bagi yang tegak lurus terhadap sisi-sisi suatu segitiga

Mereka berpotongan di satu titik dan titik ini adalah pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga, yang akan kita pelajari di kelas delapan.

Bengkel

Bahan dan peralatan teknis:

Distribusi: 29.574 KB

OS: Windows 9x/2000/XP

Situs web: http://www.ascon.ru

Sekarang mari kita transfer konstruksinya ke lingkungan grafis komputer (slide nomor 7)

Pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh sebelumnya harus diterapkan pada tugas tertentu. Anda akan melihat bahwa konstruksi tidak akan memakan waktu lebih lama daripada konstruksi di buku catatan. Menariknya, antara lain, melihat bagaimana lingkungan komputer menjalankan perintah manusia untuk membuat figur pesawat. Berikut adalah Lampiran No. 3, yang menjelaskan langkah-langkah konstruksi Anda secara rinci. Muat program dan buka gambar baru ( geser nomor 8, 9).

Gambarlah objek geometris yang ditentukan dalam rumusan masalah: sinar A dimulai dari suatu titik A dan segmennya sama M– panjang sewenang-wenang ( geser nomor 10).

Masukkan penunjukan sinar, ruas, awal sinar pada gambar menggunakan tab "Peralatan" teks.

Buatlah sebuah lingkaran dengan jari-jari sama dengan segmennya M berpusat di titik sudut pada suatu titik tertentu A (geser nomor 11).

M dengan pusat di titik sudut diberikan titik A ( geser nomor 12, 13).

Buatlah sebuah lingkaran dengan jari-jari sama dengan segmen lebih besar dari 1/2 M Untuk melakukan ini, pilih item “ di menu konteks RMB Antara 2 poin" (geser nomor 14, 15, 16).

Melalui titik potong lingkaran M dan N menggambar garis lurus ( geser nomor 17,18).

Buku Bekas:

1. Ugrinovich N.D. “Informatika. Kursus dasar” kelas 7. - M.: BINOM – 2008 – 175 hal.
2. Ugrinovich N.D. “Lokakarya tentang ilmu komputer dan teknologi informasi.” tutorial. – M.: BINOM, 2004-2006. -
3. Ugrinovich N.D. “Mengajar mata kuliah “Informatika dan TIK” di sekolah dasar dan menengah atas kelas 8-11 M.: BINOM Laboratory of Knowledge, 2008. - 180 hal.
4. Ugrinovich N.D. Lokakarya komputer dalam CD-ROM. – M.: BINOM, 2004-2006.
5. Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. “Kompas - 3D v 5.11-8.0 Workshop untuk pemula” - M.: SOLON - PRESS, 2006 - 272 hal.
6. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., dkk. “Geometri 7-9. Buku teks untuk sekolah menengah” – M: Pendidikan 2006 – 384 hal.
7. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., dkk “Studi geometri kelas 7-9. Rekomendasi metodologis untuk buku teks” - M: Education 1997 - 255 hal.
8. Afanasyeva T.L., Tapilina L.A. “Rencana pembelajaran berdasarkan buku teks kelas 8 karya Atanasyan L.S.” - Volgograd “Guru” 2010, 166 hal.

Rencanakan penyelesaian masalah yang melibatkan konstruksi dengan kompas dan penggaris.

1. Analisis.
2. Konstruksi.
3. Bukti.
4. Belajar.

Penjelasan

1. Saat melakukan analisis, gambar yang diinginkan digambar secara skematis dan hubungan dibuat antara data tugas dan elemen yang diperlukan.
2. Sesuai rencana, pembangunan dilakukan dengan menggunakan kompas dan penggaris.
3. Mereka membuktikan bahwa angka yang dibangun memenuhi kondisi permasalahan.
4. Mereka melakukan penelitian: apakah permasalahan mempunyai solusi untuk data tertentu, dan jika ya, berapa banyak solusi?

Contoh soal konstruksi dasar

1. Sisihkan segmen yang sama dengan segmen yang diberikan.
2. Buatlah garis bagi yang tegak lurus terhadap segmen tersebut.
3. Buatlah titik tengah segmen tersebut.
4. Buatlah sebuah garis yang melalui suatu titik tertentu, tegak lurus terhadap suatu garis tertentu (Titik tersebut mungkin terletak atau tidak terletak pada suatu garis tertentu).
5. Buatlah garis bagi sudut tersebut.
6. Buatlah sudut yang sama dengan sudut yang diberikan.

Tempat kedudukan titik-titik geometri (GLP) adalah himpunan titik-titik yang mempunyai sifat tertentu.

Contoh GMT:

1. Garis bagi yang tegak lurus suatu ruas adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari ujung-ujung ruas tersebut.
2. Lingkaran adalah sekumpulan titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu - pusat lingkaran.
3. Garis bagi suatu sudut adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi sudut.

Setiap titik pada garis bagi suatu segmen mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujung segmen tersebut.

Pada pelajaran sebelumnya, kita telah mempelajari sifat-sifat garis bagi suatu sudut, baik yang tertutup segitiga maupun bebas. Sebuah segitiga mencakup tiga sudut dan untuk masing-masing sudut tersebut sifat-sifat garis bagi yang dipertimbangkan dipertahankan.

Dalil:

Garis bagi AA 1, BB 1, СС 1 dari segitiga berpotongan di satu titik O (Gbr. 1).

Beras. 1. Ilustrasi teorema

Bukti:

Mari kita perhatikan dulu dua garis bagi BB 1 dan CC 1. Mereka berpotongan, titik potong O ada. Untuk membuktikannya, mari kita asumsikan kebalikannya: misalkan garis-bagi yang diberikan tidak berpotongan, dalam hal ini garis-garis tersebut sejajar. Maka garis lurus BC adalah garis potong dan jumlah sudutnya adalah , hal ini bertentangan dengan fakta bahwa pada seluruh segitiga jumlah sudutnya adalah .

Jadi, titik O pada perpotongan dua garis bagi ada. Mari kita pertimbangkan propertinya:

Titik O terletak pada garis bagi sudut, artinya berjarak sama terhadap sisi BA dan BC. Jika OK tegak lurus BC, OL tegak lurus BA, maka panjang tegak lurus tersebut sama dengan - . Selain itu, titik O terletak pada garis bagi sudut dan berjarak sama dari sisinya CB dan CA, garis tegak lurus OM dan OK adalah sama.

Kami memperoleh persamaan berikut:

, yaitu ketiga garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik O ke sisi-sisi segitiga adalah sama besar.

Kami tertarik pada persamaan garis tegak lurus OL dan OM. Persamaan ini menyatakan bahwa titik O berjarak sama terhadap sisi-sisi sudut, sehingga terletak pada garis bagi AA 1.

Jadi, kita telah membuktikan bahwa ketiga garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Selain itu, segitiga terdiri dari tiga ruas, yang berarti kita harus mempertimbangkan sifat-sifat masing-masing ruas.

Segmen AB diberikan. Setiap segmen mempunyai titik tengah, dan garis tegak lurus dapat ditarik melaluinya - mari kita nyatakan sebagai p. Jadi, p adalah garis bagi yang tegak lurus.

Beras. 2. Ilustrasi teorema

Setiap titik yang terletak pada garis bagi yang tegak lurus mempunyai jarak yang sama dari ujung-ujung ruas tersebut.

Buktikan itu (Gbr. 2).

Bukti:

Perhatikan segitiga dan . Bentuknya persegi panjang dan sama besar, karena keduanya mempunyai kaki yang sama OM, dan kaki AO dan OB sama syaratnya, jadi kita mempunyai dua segitiga siku-siku, yang kedua kakinya sama besar. Oleh karena itu, sisi miring segitiga juga sama, yaitu hal yang perlu dibuktikan.

Teorema kebalikannya benar.

Setiap titik yang berjarak sama dari ujung suatu ruas terletak pada garis bagi yang tegak lurus ruas tersebut.

Diketahui sebuah ruas AB, garis bagi yang tegak lurus p, dan sebuah titik M yang berjarak sama dari ujung-ujung ruas tersebut. Buktikan bahwa titik M terletak pada garis bagi yang tegak lurus terhadap ruas tersebut (Gbr. 3).

Beras. 3. Ilustrasi teorema

Bukti:

Pertimbangkan sebuah segitiga. Bentuknya sama kaki, sesuai kondisinya. Perhatikan median suatu segitiga: titik O adalah titik tengah alas AB, OM adalah mediannya. Berdasarkan sifat segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alasnya adalah tinggi dan garis bagi. Oleh karena itu. Namun garis p juga tegak lurus AB. Kita mengetahui bahwa di titik O dapat ditarik satu garis tegak lurus terhadap ruas AB, yang berarti garis OM dan p berhimpitan, maka titik M termasuk dalam garis lurus p, yang perlu kita buktikan.

Teorema langsung dan teorema kebalikannya dapat digeneralisasikan.

Suatu titik terletak pada garis bagi yang tegak lurus suatu ruas jika dan hanya jika titik tersebut berjarak sama dari ujung-ujung ruas tersebut.

Jadi, mari kita ulangi bahwa ada tiga segmen dalam sebuah segitiga dan sifat garis bagi yang tegak lurus berlaku untuk masing-masing segmen tersebut.

Dalil:

Garis-bagi yang tegak lurus suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Sebuah segitiga diberikan. Tegak lurus terhadap sisi-sisinya: P 1 ke sisi BC, P 2 ke sisi AC, P 3 ke sisi AB.

Buktikan bahwa garis tegak lurus P 1, P 2 dan P 3 berpotongan di titik O (Gbr. 4).

Beras. 4. Ilustrasi teorema

Bukti:

Mari kita perhatikan dua garis bagi yang tegak lurus P 2 dan P 3, keduanya berpotongan, titik potong O ada. Mari kita buktikan fakta ini dengan kontradiksi - misalkan garis tegak lurus P 2 dan P 3 sejajar. Kemudian sudutnya dibalik, yang bertentangan dengan fakta bahwa jumlah ketiga sudut suatu segitiga adalah . Jadi, terdapat titik O pada perpotongan dua dari tiga garis bagi yang tegak lurus. Sifat-sifat titik O: terletak pada garis bagi yang tegak lurus terhadap sisi AB, yang berarti berjarak sama dari ujung-ujung ruas AB: . Ia juga terletak pada garis bagi yang tegak lurus terhadap sisi AC, yang artinya . Kami memperoleh persamaan berikut.

Properti

Tulis ulasan tentang artikel "Sektor tegak lurus"

Catatan

Kutipan yang mencirikan garis-bagi tegak lurus

Garis bagi tegak lurus terhadap suatu ruas garis

Definisi 1. Garis bagi tegak lurus terhadap suatu segmen disebut garis lurus yang tegak lurus segmen ini dan melalui titik tengahnya (Gbr. 1).

Teorema 1. Setiap titik garis bagi yang tegak lurus terhadap suatu segmen terletak pada jarak yang sama dari ujungnya segmen ini.

Bukti . Mari kita perhatikan titik sembarang D yang terletak pada garis bagi tegak lurus ruas AB (Gbr. 2), dan buktikan bahwa segitiga ADC dan BDC adalah sama besar.

Memang benar bahwa segitiga-segitiga ini adalah segitiga siku-siku yang kaki-kaki AC dan BC-nya sama besar, dan kaki-kaki DC bersekutu. Persamaan segitiga ADC dan BDC menyiratkan persamaan ruas AD dan DB. Teorema 1 terbukti.

Teorema 2 (Kebalikan dari Teorema 1). Jika suatu titik berada pada jarak yang sama dari ujung-ujung suatu ruas, maka titik tersebut terletak pada garis-bagi yang tegak lurus ruas tersebut.

Bukti . Mari kita buktikan Teorema 2 dengan kontradiksi. Untuk tujuan ini, asumsikan bahwa suatu titik E berada pada jarak yang sama dari ujung-ujung ruas, tetapi tidak terletak pada garis-bagi yang tegak lurus ruas tersebut. Mari kita bawa asumsi ini menjadi sebuah kontradiksi. Pertama-tama mari kita perhatikan kasus ketika titik E dan A terletak pada sisi berlawanan dari garis bagi yang tegak lurus (Gbr. 3). Dalam hal ini, segmen EA memotong garis bagi yang tegak lurus di beberapa titik, yang dilambangkan dengan huruf D.

Mari kita buktikan bahwa ruas AE lebih panjang dari pada ruas EB. Benar-benar,

Jadi, jika titik E dan A terletak pada sisi berlawanan dari garis bagi yang tegak lurus, kita mempunyai kontradiksi.

Sekarang perhatikan kasus ketika titik E dan A terletak pada sisi yang sama dari garis bagi yang tegak lurus (Gbr. 4). Mari kita buktikan bahwa ruas EB lebih panjang dari pada ruas AE. Benar-benar,

Kontradiksi yang dihasilkan melengkapi pembuktian Teorema 2

Lingkaran dibatasi pada suatu segitiga

Definisi 2. Lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga, disebut lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga (Gbr. 5). Dalam hal ini disebut segitiga segitiga tertulis dalam lingkaran atau segitiga tertulis.

Sifat-sifat lingkaran yang dibatasi suatu segitiga. Teorema sinus

Angka	Menggambar	Properti
Garis bagi tegak lurus ke sisi-sisi segitiga		berpotongan di satu titik .
Tengah lingkaran yang dibatasi pada segitiga lancip		Pusat menjelaskan tentang bersudut lancip di dalam segi tiga.
Tengah lingkaran yang dibatasi pada segitiga siku-siku		Pusat tersebut menjelaskan tentang persegi panjang tengah sisi miring .
Tengah lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga tumpul		Pusat menjelaskan tentang bersudut tumpul lingkaran segitiga terletak di luar segi tiga.
		,
Persegi segi tiga		S= 2R 2 dosa A dosa B dosa C ,
radius keliling		Untuk segitiga apa pun persamaannya benar:

Garis bagi tegak lurus terhadap sisi-sisi segitiga

Semua garis bagi yang tegak lurus , ditarik ke sisi-sisi segitiga sembarang, berpotongan di satu titik .

Lingkaran dibatasi pada suatu segitiga

Segitiga apa pun dapat dikelilingi oleh lingkaran . Pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar suatu segitiga adalah titik potong semua garis bagi yang tegak lurus terhadap sisi-sisi segitiga tersebut.

Pusat lingkaran terbatas pada segitiga lancip

Pusat menjelaskan tentang bersudut lancip lingkaran segitiga terletak di dalam segi tiga.

Pusat lingkaran yang dibatasi pada segitiga siku-siku

Pusat tersebut menjelaskan tentang persegi panjang lingkaran segitiga adalah tengah sisi miring .

Pusat lingkaran berbatas pada segitiga tumpul

Pusat menjelaskan tentang bersudut tumpul lingkaran segitiga terletak di luar segi tiga.

Untuk segitiga apa pun, persamaan berikut ini benar (teorema sinus): , dimana a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, A, B, C adalah sudut-sudut segitiga, R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Luas segitiga

Untuk segitiga apa pun persamaannya benar: S= 2R 2 dosa A dosa B dosa C , dimana A, B, C adalah sudut-sudut segitiga, S adalah luas segitiga, R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi.

radius keliling

Untuk segitiga apa pun persamaannya benar: dimana a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, S adalah luas segitiga, R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Pembuktian teorema sifat-sifat lingkaran yang dibatasi suatu segitiga

Teorema 3. Semua garis bagi tegak lurus yang ditarik ke sisi-sisi segitiga sembarang berpotongan di satu titik.

Bukti . Mari kita perhatikan dua garis bagi tegak lurus yang ditarik pada sisi AC dan AB dari segitiga ABC, dan tunjukkan titik potongnya dengan huruf O (Gbr. 6).

Karena titik O terletak pada garis bagi yang tegak lurus ruas AC, maka berdasarkan Teorema 1 persamaan tersebut benar.