Referensi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika untuk kelas 5. lembaga pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 7. lembaga pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 8. lembaga pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 9. lembaga pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Ekspresi, konversi ekspresi

Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya

Pada artikel ini kita akan berbicara tentang mengubah ekspresi dengan pangkat. Pertama, kita akan fokus pada transformasi yang dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi pangkat, seperti tanda kurung buka dan membawa suku serupa. Dan kemudian kita akan menganalisis transformasi yang melekat secara khusus dalam ekspresi dengan derajat: bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan sifat-sifat derajat, dll.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi kekuatan?

Istilah “ekspresi pangkat” praktis tidak muncul dalam buku pelajaran matematika sekolah, namun cukup sering muncul dalam kumpulan soal, terutama yang ditujukan untuk persiapan UN dan UN Unified State, misalnya. Setelah menganalisis tugas-tugas di mana perlu untuk melakukan tindakan apa pun dengan ekspresi pangkat, menjadi jelas bahwa ekspresi pangkat dipahami sebagai ekspresi yang mengandung pangkat dalam entrinya. Oleh karena itu, Anda dapat menerima sendiri definisi berikut:

Definisi.

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung kekuatan.

Mari kita memberi contoh ekspresi kekuasaan. Selanjutnya akan kami sajikan menurut bagaimana perkembangan pandangan dari derajat yang berpangkat natural ke pangkat yang berpangkat riil terjadi.

Seperti diketahui, pertama-tama kita mengenal pangkat suatu bilangan dengan eksponen alami; pada tahap ini, ekspresi pangkat paling sederhana pertama dari jenis 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 muncul −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dst.

Beberapa saat kemudian, pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat dipelajari, yang mengarah pada munculnya ekspresi pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif, seperti berikut: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Di sekolah menengah mereka kembali ke gelar. Di sana, derajat dengan eksponen rasional diperkenalkan, yang memerlukan munculnya ekspresi pangkat yang sesuai: , , dll. Akhirnya, derajat dengan eksponen irasional dan ekspresi yang mengandungnya dianggap: , .

Masalahnya tidak terbatas pada ekspresi pangkat yang terdaftar: selanjutnya variabel menembus eksponen, dan, misalnya, muncul ekspresi berikut: 2 x 2 +1 atau . Dan setelah mengenal , ekspresi dengan pangkat dan logaritma mulai muncul, misalnya x 2·lgx −5·x lgx.

Jadi, kita telah membahas pertanyaan tentang apa yang diwakili oleh ekspresi kekuasaan. Selanjutnya kita akan belajar mengubahnya.

Tipe dasar transformasi ekspresi pangkat

Dengan ekspresi pangkat, Anda dapat melakukan transformasi identitas dasar ekspresi apa pun. Misalnya, Anda dapat membuka tanda kurung, mengganti ekspresi numerik dengan nilainya, menambahkan istilah serupa, dll. Secara alami, dalam hal ini, perlu mengikuti prosedur yang diterima dalam melakukan tindakan. Mari kita beri contoh.

Contoh.

Hitung nilai ekspresi pangkat 2 3 ·(4 2 −12) .

Larutan.

Menurut urutan pelaksanaan tindakan, pertama-tama lakukan tindakan dalam tanda kurung. Di sana, pertama, kita mengganti pangkat 4 2 dengan nilainya 16 (jika perlu, lihat), dan kedua, kita menghitung selisihnya 16−12=4. Kita punya 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kita mengganti pangkat 2 3 dengan nilainya 8, setelah itu kita menghitung hasil kali 8·4=32. Ini adalah nilai yang diinginkan.

Jadi, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Menjawab:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi dengan pangkat 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Larutan.

Jelas sekali, ungkapan ini mengandung suku-suku serupa 3·a 4 ·b −7 dan 2·a 4 ·b −7 , dan kita dapat menyajikannya: .

Menjawab:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Contoh.

Ekspresikan ekspresi dengan kekuatan sebagai produk.

Larutan.

Anda dapat mengatasi tugas tersebut dengan menyatakan angka 9 sebagai pangkat 3 2 dan kemudian menggunakan rumus perkalian yang disingkat - selisih kuadrat:

Menjawab:

Ada juga sejumlah transformasi identik yang melekat secara khusus pada ekspresi kekuasaan. Kami akan menganalisisnya lebih lanjut.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Ada pangkat yang basis dan/atau eksponennya bukan sekadar angka atau variabel, melainkan beberapa ekspresi. Sebagai contoh, kami memberikan entri (2+0.3·7) 5−3.7 dan (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Saat bekerja dengan ekspresi seperti itu, Anda dapat mengganti ekspresi dasar derajat dan ekspresi eksponen dengan ekspresi identik yang sama dalam ODZ variabelnya. Dengan kata lain, menurut aturan yang kita ketahui, kita dapat mengubah basis derajat dan eksponen secara terpisah. Jelas bahwa sebagai hasil transformasi ini akan diperoleh ekspresi yang identik dengan ekspresi aslinya.

Transformasi seperti itu memungkinkan kita menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan atau mencapai tujuan lain yang kita perlukan. Misalnya, dalam ekspresi pangkat yang disebutkan di atas (2+0.3 7) 5−3.7, Anda dapat melakukan operasi dengan bilangan dalam basis dan eksponen, yang memungkinkan Anda berpindah ke pangkat 4.1 1.3. Dan setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa ke pangkat dasar (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) kita memperoleh ekspresi pangkat dalam bentuk yang lebih sederhana a 2·(x+1 ) .

Menggunakan Properti Derajat

Salah satu alat utama untuk mentransformasikan ekspresi dengan kekuatan adalah kesetaraan yang mencerminkan . Mari kita mengingat kembali yang utama. Untuk sembarang bilangan positif a dan b serta bilangan real sembarang r dan s, sifat-sifat pangkat berikut ini benar:

• a r ·as =ar+s ;
• sebuah r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:br ;
• (a r) s =a r·s .

Perhatikan bahwa untuk eksponen natural, bilangan bulat, dan positif, batasan pada bilangan a dan b mungkin tidak terlalu ketat. Misalnya, untuk bilangan asli m dan n persamaan am ·a n =am+n berlaku tidak hanya untuk a positif, tetapi juga untuk a negatif, dan untuk a=0.

Di sekolah, ketika mentransformasikan ekspresi pangkat, fokus utamanya adalah pada kemampuan memilih properti yang sesuai dan menerapkannya dengan benar. Dalam hal ini, basis derajat biasanya positif, yang memungkinkan properti derajat digunakan tanpa batasan. Hal yang sama berlaku untuk transformasi ekspresi yang mengandung variabel dalam basis pangkat - kisaran nilai variabel yang diizinkan biasanya sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif, yang memungkinkan Anda untuk secara bebas menggunakan properti pangkat . Secara umum, Anda perlu terus-menerus bertanya pada diri sendiri apakah mungkin menggunakan properti derajat apa pun dalam kasus ini, karena penggunaan properti yang tidak akurat dapat menyebabkan penyempitan nilai pendidikan dan masalah lainnya. Poin-poin ini dibahas secara rinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ekspresi menggunakan properti derajat. Di sini kita akan membatasi diri untuk mempertimbangkan beberapa contoh sederhana.

Contoh.

Nyatakan ekspresi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 sebagai pangkat dengan basis a.

Larutan.

Pertama, kita transformasikan faktor kedua (a 2) −3 menggunakan sifat menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Ekspresi pangkat asli akan berbentuk a 2.5 ·a −6:a −5.5. Jelasnya, tetap menggunakan sifat-sifat perkalian dan pembagian pangkat dengan basis yang sama, yang kita miliki
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Menjawab:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Sifat-sifat pangkat saat mentransformasikan ekspresi pangkat digunakan baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.

Contoh.

Temukan nilai ekspresi pangkat.

Larutan.

Persamaan (a·b) r =a r ·b r, diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan kita berpindah dari ekspresi asli ke hasil kali bentuk dan seterusnya. Dan ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan: .

Ekspresi aslinya dapat diubah dengan cara lain:

Menjawab:

.

Contoh.

Diketahui persamaan pangkat a 1.5 −a 0.5 −6, masukkan variabel baru t=a 0.5.

Larutan.

Derajat a 1,5 dapat direpresentasikan sebagai a 0,5 3 dan kemudian, berdasarkan sifat derajat ke derajat (ar) s =ar s, diterapkan dari kanan ke kiri, ubah menjadi bentuk (a 0,5) 3. Dengan demikian, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Sekarang mudah untuk memperkenalkan variabel baru t=a 0.5, kita mendapatkan t 3 −t−6.

Menjawab:

t 3 −t−6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung pangkat

Ekspresi pangkat dapat memuat atau mewakili pecahan yang mempunyai pangkat. Transformasi dasar pecahan apa pun yang melekat pada pecahan apa pun dapat diterapkan sepenuhnya pada pecahan tersebut. Artinya, pecahan yang mengandung pangkat dapat direduksi, direduksi menjadi penyebut baru, dikerjakan secara terpisah dengan pembilangnya dan terpisah dengan penyebutnya, dan seterusnya. Untuk mengilustrasikan kata-kata ini, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi kekuatan .

Larutan.

Ekspresi kekuatan ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pembilang dan penyebutnya. Di pembilangnya kami membuka tanda kurung dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan menggunakan sifat-sifat pangkat, dan di penyebut kami menyajikan suku-suku serupa:

Dan mari kita ubah juga tanda penyebutnya dengan memberi tanda minus di depan pecahan: .

Menjawab:

.

Pengurangan pecahan yang mengandung pangkat menjadi penyebut baru dilakukan dengan cara yang sama seperti mereduksi pecahan rasional menjadi penyebut baru. Dalam hal ini, faktor tambahan juga ditemukan dan pembilang serta penyebut pecahan dikalikan dengannya. Saat melakukan tindakan ini, perlu diingat bahwa pengurangan ke penyebut baru dapat menyebabkan penyempitan VA. Untuk mencegah hal ini terjadi, faktor tambahan harus tidak menjadi nol untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi aslinya.

Contoh.

Kurangi pecahan menjadi penyebut baru: a) menjadi penyebut a, b) ke penyebutnya.

Larutan.

a) Dalam hal ini, cukup mudah untuk mengetahui pengganda tambahan mana yang membantu mencapai hasil yang diinginkan. Ini adalah pengali dari a 0,3, karena a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Perhatikan bahwa dalam kisaran nilai yang diizinkan dari variabel a (ini adalah himpunan semua bilangan real positif), pangkat a 0,3 tidak hilang, oleh karena itu, kita berhak mengalikan pembilang dan penyebut suatu bilangan tertentu. pecahan dengan faktor tambahan ini:

b) Melihat lebih dekat penyebutnya, Anda akan menemukannya

dan mengalikan ekspresi ini dengan akan menghasilkan jumlah kubus dan , yaitu . Dan ini adalah penyebut baru yang perlu kita kurangi pecahan aslinya.

Inilah cara kami menemukan faktor tambahan. Dalam rentang nilai yang diperbolehkan dari variabel x dan y, ekspresi tersebut tidak hilang, oleh karena itu, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan itu:

Menjawab:

A) , B) .

Juga bukan hal baru dalam mereduksi pecahan yang mengandung pangkat: pembilang dan penyebutnya direpresentasikan sebagai sejumlah faktor, dan faktor pembilang dan penyebutnya sama.

Contoh.

Kurangi pecahan: a) , B) .

Larutan.

a) Pertama, pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi dengan angka 30 dan 45, yaitu sama dengan 15. Jelas juga dimungkinkan untuk melakukan pengurangan sebesar x 0,5 +1 dan sebesar . Inilah yang kami punya:

b) Dalam hal ini, faktor pembilang dan penyebutnya tidak langsung terlihat sama. Untuk mendapatkannya, Anda harus melakukan transformasi awal. Dalam hal ini, mereka terdiri dari memfaktorkan penyebutnya menggunakan rumus selisih kuadrat:

Menjawab:

A)

B) .

Mengonversi pecahan menjadi penyebut baru dan mereduksi pecahan terutama digunakan untuk mengerjakan sesuatu dengan pecahan. Tindakan dilakukan menurut aturan yang diketahui. Saat menjumlahkan (mengurangi) pecahan, pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu pembilangnya dijumlahkan (dikurangi), tetapi penyebutnya tetap sama. Hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya merupakan hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya. Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan kebalikannya.

Contoh.

Ikuti langkah-langkahnya .

Larutan.

Pertama, kita kurangi pecahan dalam tanda kurung. Untuk melakukan ini, kami membawanya ke penyebut yang sama, yaitu , setelah itu kita kurangi pembilangnya:

Sekarang kita mengalikan pecahannya:

Jelasnya, kita bisa menguranginya dengan pangkat x 1/2, setelah itu kita punya .

Anda juga dapat menyederhanakan persamaan pangkat pada penyebut dengan menggunakan rumus selisih kuadrat: .

Menjawab:

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Kekuatan .

Larutan.

Jelasnya, pecahan ini dapat dikurangi dengan (x 2,7 +1) 2, sehingga menghasilkan pecahan . Jelas bahwa ada hal lain yang perlu dilakukan dengan kekuatan X. Untuk melakukan ini, kami mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi produk. Ini memberi kita kesempatan untuk memanfaatkan sifat membagi kekuasaan dengan alasan yang sama: . Dan di akhir proses, kita berpindah dari hasil kali terakhir ke pecahan.

Menjawab:

.

Dan mari kita tambahkan juga bahwa adalah mungkin, dan dalam banyak kasus diinginkan, untuk memindahkan faktor-faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang, dengan mengubah tanda eksponen. Transformasi seperti itu sering kali menyederhanakan tindakan lebih lanjut. Misalnya, ekspresi pangkat dapat diganti dengan .

Mengonversi ekspresi dengan akar dan pangkat

Seringkali, dalam ekspresi yang memerlukan beberapa transformasi, akar dengan eksponen pecahan juga terdapat bersama dengan pangkat. Untuk mengubah ekspresi seperti itu ke bentuk yang diinginkan, dalam banyak kasus cukup dengan hanya menuju ke akar atau hanya ke pangkat. Tapi karena lebih nyaman bekerja dengan kekuatan, mereka biasanya berpindah dari akar ke kekuatan. Namun, disarankan untuk melakukan transisi seperti itu ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda mengganti akar dengan pangkat tanpa perlu merujuk ke modul atau membagi ODZ menjadi beberapa interval (kami membahas ini secara rinci di artikel transisi dari akar ke pangkat dan kembali Setelah mengenal derajat dengan eksponen rasional, derajat dengan eksponen irasional diperkenalkan, yang memungkinkan kita berbicara tentang derajat dengan eksponen nyata yang berubah-ubah belajar. fungsi eksponensial, yang secara analitis diberikan oleh suatu pangkat, yang basisnya adalah bilangan, dan eksponennya adalah variabel. Jadi kita dihadapkan pada ekspresi pangkat yang berisi angka-angka dalam basis pangkat, dan dalam eksponen - ekspresi dengan variabel, dan tentu saja ada kebutuhan untuk melakukan transformasi ekspresi tersebut.

Harus dikatakan bahwa transformasi ekspresi dari tipe yang ditunjukkan biasanya harus dilakukan ketika menyelesaikan persamaan eksponensial Dan ketidaksetaraan eksponensial, dan konversi ini cukup sederhana. Dalam sebagian besar kasus, mereka didasarkan pada sifat-sifat derajat dan sebagian besar ditujukan untuk memperkenalkan variabel baru di masa depan. Persamaan ini akan memungkinkan kita untuk mendemonstrasikannya 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pertama, pangkat, yang eksponennya merupakan jumlah dari variabel tertentu (atau ekspresi dengan variabel) dan angka, diganti dengan hasil kali. Hal ini berlaku untuk suku pertama dan suku terakhir dari ekspresi di sisi kiri:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Selanjutnya, kedua ruas persamaan dibagi dengan ekspresi 7 2 x, yang hanya mengambil nilai positif pada ODZ variabel x untuk persamaan aslinya (ini adalah teknik standar untuk menyelesaikan persamaan jenis ini, kami tidak membicarakannya sekarang, jadi fokuslah pada transformasi ekspresi selanjutnya dengan kekuatan ):

Sekarang kita bisa menghilangkan pecahan dengan pangkat yang memberi .

Terakhir, rasio pangkat dengan eksponen yang sama diganti dengan pangkat hubungan, sehingga menghasilkan persamaan , yang setara . Transformasi yang dilakukan memungkinkan kita untuk memasukkan variabel baru, yang mereduksi solusi persamaan eksponensial asli menjadi solusi persamaan kuadrat

Jelas sekali bahwa bilangan berpangkat dapat dijumlahkan seperti besaran lainnya , dengan menjumlahkannya satu demi satu beserta tandanya.

Jadi jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2.
Jumlah a 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kemungkinan pangkat yang sama dari variabel yang sama dapat ditambah atau dikurangi.

Jadi jumlah 2a 2 dan 3a 2 sama dengan 5a 2.

Jelas juga bahwa jika Anda mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat berbagai variabel Dan berbagai derajat variabel yang identik, harus disusun dengan menambahkannya beserta tandanya.

Jadi, jumlah a 2 dan a 3 adalah jumlah dari a 2 + a 3.

Jelaslah bahwa kuadrat a, dan pangkat tiga dari a, tidak sama dengan dua kali kuadrat a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.

Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6.

Pengurangan penjumlahan dilakukan dengan cara yang sama seperti penjumlahan, hanya saja tanda pengurangnya harus diubah.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 jam 2 b 6 - 4 jam 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Mengalikan kekuatan

Bilangan berpangkat dapat dikalikan, seperti besaran lainnya, dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara bilangan tersebut.

Jadi hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah a 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 ⋅ am = am x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang identik.
Ekspresinya akan berbentuk: a 5 b 5 y 3.

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) yang dipangkatkan, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan tersebut dikalikan, maka hasilnya adalah suatu bilangan (variabel) yang pangkatnya sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-suku tersebut.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;

Dan m diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama;

Itu sebabnya, pangkat yang mempunyai basis sama dapat dikalikan dengan menjumlahkan pangkatnya.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 kamu 3 ⋅ b 4 kamu = b 6 kamu 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jawaban: x 4 - kamu 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya adalah negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b dikalikan dengan a - b, maka hasilnya adalah a 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika Anda mengalikan jumlah dan selisih dua bilangan yang dipangkatkan persegi, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka tersebut keempat derajat.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - kamu 2)⋅(a 2 + kamu 2) = a 4 - kamu 4.
(a 4 - kamu 4)⋅(a 4 + kamu 4) = a 8 - kamu 8.

Pembagian derajat

Bilangan berpangkat dapat dibagi seperti bilangan lainnya, dengan mengurangkan pembagiannya, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi, a 3 b 2 dibagi b 2 sama dengan a 3.

Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Penulisan angka 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilangan apa pun dapat dibagi dengan bilangan lain, dan eksponennya akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.

Saat membagi derajat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Artinya, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Dan n+1:a = an+1-1 = an . Artinya, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Atau:
kamu 2m: kamu m = kamu m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Perkalian dan pembagian pangkat harus dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh contoh penyelesaian pecahan yang mengandung bilangan berpangkat

1. Kurangi eksponennya sebesar $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawaban: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Kurangi eksponennya sebesar $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawaban: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 /a 3 dan a -3 /a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah -2 pembilang pertama.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang umum.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangi eksponen 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3 /5a 7 dan 5a 5 /5a 7 atau 2a 3 /5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bagilah 4 /tahun 3 dengan 3 /tahun 2 . Jawaban: a/y.

9. Bagi (h 3 - 1)/d 4 dengan (d n + 1)/h.

Rumus gelar digunakan dalam proses mereduksi dan menyederhanakan ekspresi kompleks, dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan.

Nomor C adalah N-pangkat suatu bilangan A Kapan:

Operasi dengan derajat.

1. Dengan mengalikan derajat dengan basis yang sama, indikatornya dijumlahkan:

sebuah m·a n = am + n .

2. Saat membagi derajat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi:

3. Derajat hasil kali 2 faktor atau lebih sama dengan hasil kali derajat faktor-faktor berikut:

(abc…) n = an · b n · c n …

4. Derajat suatu pecahan sama dengan perbandingan derajat pembagi dan pembaginya:

(a/b) n = an /b n .

5. Menaikkan pangkat menjadi pangkat, eksponennya dikalikan:

(saya) n = saya n .

Setiap rumus di atas berlaku untuk arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Misalnya. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Akar hasil kali beberapa faktor sama dengan hasil kali akar-akar faktor berikut:

2. Akar suatu perbandingan sama dengan perbandingan antara pembagian dan pembagi akar-akarnya:

3. Saat menaikkan akar ke suatu pangkat, cukup dengan menaikkan bilangan radikal ke pangkat ini:

4. Jika Anda meningkatkan derajat root N sekali dan pada saat yang sama membangunnya N pangkatnya adalah bilangan radikal, maka nilai akarnya tidak akan berubah:

5. Jika Anda mengurangi derajat rooting N ekstrak root secara bersamaan N-pangkat suatu bilangan radikal, maka nilai akarnya tidak akan berubah:

Gelar dengan eksponen negatif. Pangkat suatu bilangan tertentu dengan eksponen non-positif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi pangkat dari bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut eksponen non-positif:

Rumus sebuah m:an =am - n dapat digunakan tidak hanya untuk M> N, tetapi juga dengan M< N.

Misalnya. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Untuk merumuskan sebuah m:an =am - n menjadi adil ketika m=n, keberadaan nol derajat diperlukan.

Gelar dengan indeks nol. Pangkat bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol dengan eksponen nol sama dengan satu.

Misalnya. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Derajat dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan real A sampai tingkat tertentu M N, Anda perlu mengekstrak root N derajat ke- M pangkat -th dari angka ini A.

Tujuan utama

Untuk membiasakan siswa dengan sifat-sifat derajat dengan eksponen alami dan mengajari mereka cara melakukan operasi dengan derajat.

Topik “Gelar dan Sifatnya” mencakup tiga pertanyaan:

• Penentuan derajat dengan indikator alam.
• Penggandaan dan pembagian kekuasaan.
• Eksponensial produk dan derajat.

Pertanyaan keamanan

1. Merumuskan definisi derajat yang eksponen naturalnya lebih besar dari 1. Berikan contohnya.
2. Merumuskan pengertian derajat dengan pangkat 1. Berikan contohnya.
3. Apa urutan operasi saat menghitung nilai ekspresi yang mengandung pangkat?
4. Merumuskan sifat utama derajat.
5. Berikan sebuah contoh.
6. Merumuskan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama. Berikan sebuah contoh.
7. Merumuskan aturan pembagian kekuasaan dengan basis yang sama. Berikan sebuah contoh.
8. Merumuskan aturan eksponensial suatu produk. Berikan sebuah contoh. Buktikan identitas (ab) n = a n b n .

Merumuskan aturan untuk menaikkan suatu kekuasaan menjadi suatu kekuasaan. Berikan sebuah contoh. Buktikan identitas (am) n = am n .

Definisi derajat. A Kekuatan angka N dengan indikator alami A, lebih besar dari 1, adalah hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan A. Kekuatan angka A.

dengan eksponen 1 adalah bilangan itu sendiri A Gelar dengan basis N dan indikator ditulis seperti ini: dan n A. Bunyinya “ N sampai tingkat tertentu A ”.

”; “pangkat ke-n dari suatu bilangan

Menurut definisi derajat:

. . . . . . . . . . . .

a 4 = a a a a Mencari nilai suatu derajat disebut .

dengan eksponensial

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

1. Contoh eksponensial:

4. Temukan arti dari ungkapan:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

Pilihan 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Sajikan bilangan tersebut sebagai persegi:

1. Contoh eksponensial:

3. Sajikan bilangan-bilangan tersebut dalam bentuk kubus:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Penggandaan kekuatan.

Untuk bilangan apa pun a dan bilangan sembarang m dan n berlaku hal berikut:

a m a n = am + n .

Bukti: : Aturan

Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basisnya dibiarkan sama, dan eksponen pangkatnya ditambahkan.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = am + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) kamu kamu 6 = kamu 1 kamu 6 = kamu 1 + 6 = kamu 7

c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

1. Hadir sebagai gelar:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) kamu 4 kamu h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Sajikan sebagai derajat dan temukan nilainya dari tabel:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Pembagian derajat.

Untuk bilangan apa pun a0 dan bilangan asli sembarang m dan n, sehingga m>n berlaku:

a m a n = am + n .

am - n a n = a (m - n) + n = am - n + n = am

menurut definisi hasil bagi:

saya: sebuah = am - n .

Bukti:: Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, basisnya dibiarkan sama, dan eksponen pembagi dikurangi dari eksponen pembagi.

Definisi: Pangkat suatu bilangan a, tidak sama dengan nol, dengan eksponen nol sama dengan satu:

Karena an: an = 1 pada a0.

a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) kamu 8: kamu 3 = kamu 8 - 3 = kamu 5

c) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6

d) dari 5:dari 0 = dari 5:1 = dari 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

G)

D)

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

1. Nyatakan hasil bagi sebagai pangkat:

2. Temukan arti dari ungkapan:

Meningkatkan kekuatan suatu produk.

Untuk sembarang a dan b dan bilangan asli sembarang n:

(ab) n = a n b n

Bukti:

Menurut definisi derajat

(ab)n=

Dengan mengelompokkan secara terpisah faktor a dan faktor b, kita peroleh:

=

Properti yang terbukti dari kekuatan suatu produk meluas ke kekuatan produk dari tiga faktor atau lebih.

Misalnya:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Bukti:: Saat menaikkan suatu produk ke pangkat, setiap faktor dipangkatkan dan hasilnya dikalikan.

1. Meningkatkan kekuatan:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 kamu 3 = 8 x 3 kamu 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 tahun) 3 = (-5) 3 tahun 3 = -125 tahun 3

e) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 kamu 2 = 0,04 x 2 kamu 2

e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Temukan nilai ekspresi:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

D)

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

1. Meningkatkan kekuatan:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Temukan nilai ekspresi:

b) (5 7 20) 2

Meningkatkan kekuatan suatu kekuatan.

Untuk bilangan apa pun a dan bilangan asli sembarang m dan n:

(saya) n = saya n

Bukti:

Menurut definisi derajat

(saya) n =

Aturan: Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, basisnya dibiarkan sama, dan eksponennya dikalikan.

1. Meningkatkan kekuatan:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(kamu 5) 2 = kamu 10 (b 3) 3 = b 9

2. Sederhanakan ekspresi:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (kamu 7) 3 = (kamu 8) 3 = kamu 24

A)

B)

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

1. Meningkatkan kekuatan:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (kamu 3) 2 d) (b 4) 4

2. Sederhanakan ekspresi:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (kamu 9) 2

3. Temukan arti dari ungkapan:

Aplikasi

Merumuskan aturan untuk menaikkan suatu kekuasaan menjadi suatu kekuasaan. Berikan sebuah contoh. Buktikan identitas (am) n = am n .

pilihan 2

Pertama Tulis produk sebagai kekuatan:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bс) (bс) (bс)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Sajikan bilangan tersebut sebagai persegi:

1. Contoh eksponensial:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Pilihan 3

1. Tulis produk sebagai kekuatan:

a) 0,5 0,5 0,5

c) dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan dengan

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

2. Sajikan bilangan tersebut dalam bentuk persegi: 100; 0,49; .

2. Sajikan bilangan tersebut sebagai persegi:

1. Contoh eksponensial:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Pilihan 4

1. Tulis produk sebagai kekuatan:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-a) (-a) (-a)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Sajikan bilangan tersebut sebagai persegi:

1. Contoh eksponensial:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

e) 100 - 5 2 4

pilihan 2

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) kamu 5 kamu h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Pilihan 3

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

a) a 3 a 5 f) kamu 2 kamu 4 kamu 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b jam) 5 3 25

d) kamu 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Pilihan 4

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 gram) 3 4 27

c) kamu 6 kamu h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

b) 3 4 3 2 d) 27 243

pilihan 2

1. Nyatakan hasil bagi sebagai pangkat:

2. Temukan arti dari ekspresi tersebut.