Transposisi matriks

Transposisi matriks disebut mengganti baris-baris suatu matriks dengan kolom-kolomnya dengan tetap mempertahankan urutannya (atau, yang sama, mengganti kolom-kolom suatu matriks dengan baris-barisnya).

Biarkan matriks asli diberikan A:

Kemudian, menurut definisi, matriks yang ditransposisikan A" memiliki bentuk:

Bentuk notasi singkat untuk operasi transposisi suatu matriks: Matriks yang ditransposisi sering dilambangkan

Contoh 3. Biarkan matriks diberikan A dan B:

Maka matriks-matriks yang ditransposisikan mempunyai bentuk:

Sangat mudah untuk melihat dua pola operasi transposisi matriks.

1. Matriks yang ditransposisi dua kali sama dengan matriks aslinya:

2. Saat mentransposisi matriks persegi, elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama tidak berubah posisinya, yaitu. Diagonal utama matriks persegi tidak berubah jika ditransposisikan.

Perkalian matriks

Perkalian matriks adalah operasi khusus yang menjadi dasar aljabar matriks. Baris dan kolom matriks dapat dianggap sebagai vektor baris dan kolom dengan dimensi yang sesuai; dengan kata lain, matriks apa pun dapat diartikan sebagai kumpulan vektor baris atau vektor kolom.

Misalkan diberikan dua matriks: A- ukuran T X N Dan DI DALAM- ukuran hal x k. Kami akan mempertimbangkan matriksnya A sebagai sebuah totalitas T vektor baris A) ukuran N masing-masing, dan matriks DI DALAM - sebagai sebuah totalitas Ke vektor kolom b Jt berisi masing-masing N koordinat masing-masing:

Vektor baris matriks A dan vektor kolom matriks DI DALAM ditunjukkan dalam notasi matriks ini (2.7). Panjang baris matriks A sama dengan tinggi kolom matriks DI DALAM, dan oleh karena itu produk skalar dari vektor-vektor ini masuk akal.

Definisi 3. Hasil kali matriks A Dan DI DALAM disebut matriks C yang elemen-elemennya Su sama dengan hasil kali skalar vektor baris A ( matriks A menjadi vektor kolom bj matriks DI DALAM:

Produk matriks A Dan DI DALAM- matriks C - memiliki ukuran T X Ke, karena panjang l vektor baris dan vektor kolom hilang ketika menjumlahkan produk koordinat vektor-vektor ini dalam produk skalarnya, seperti yang ditunjukkan pada rumus (2.8). Jadi, untuk menghitung elemen-elemen baris pertama matriks C, perlu diperoleh hasil kali skalar baris pertama matriks tersebut secara berurutan. A ke semua kolom matriks DI DALAM baris kedua matriks C diperoleh sebagai hasil kali skalar vektor baris kedua matriks tersebut A ke semua vektor kolom matriks DI DALAM, dan seterusnya. Untuk memudahkan mengingat ukuran hasil kali matriks, Anda perlu membagi hasil kali ukuran matriks faktor: - , maka angka-angka yang tersisa dalam kaitannya memberikan ukuran hasil kali Ke

dsnia, t.s. ukuran matriks C sama dengan T X Ke.

Operasi perkalian matriks memiliki ciri khas: hasil kali matriks A Dan DI DALAM masuk akal jika jumlah kolom masuk A sama dengan jumlah baris di dalamnya DI DALAM. Lalu jika A dan B - matriks persegi panjang, lalu hasil kali DI DALAM Dan A tidak masuk akal lagi, karena hasil kali skalar yang membentuk elemen-elemen matriks yang bersesuaian harus melibatkan vektor-vektor dengan jumlah koordinat yang sama.

Jika matriks A Dan DI DALAM persegi, berukuran l x l, masuk akal sebagai hasil kali matriks AB, dan hasil kali matriks VA, Selain itu, ukuran matriks ini sama dengan faktor aslinya. Dalam hal ini, dalam kasus umum perkalian matriks, aturan permutasi (komutatifitas) tidak diperhatikan, yaitu. AB*BA.

Mari kita lihat contoh perkalian matriks.

Karena jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks DI DALAM, produk matriks AB masuk akal. Dengan menggunakan rumus (2.8), kita memperoleh matriks berukuran 3x2 pada hasil kali:

Bekerja VA tidak masuk akal, karena jumlah kolom matriks DI DALAM tidak sesuai dengan jumlah baris matriks A.

Di sini kita menemukan produk matriks AB Dan VA:

Terlihat dari hasil, matriks perkalian bergantung pada urutan matriks pada perkalian. Dalam kedua kasus tersebut, hasil kali matriks memiliki ukuran yang sama dengan faktor aslinya: 2x2.

Dalam hal ini matriks DI DALAM adalah vektor kolom, mis. matriks dengan tiga baris dan satu kolom. Secara umum, vektor adalah kasus khusus dari matriks: vektor baris yang panjangnya N adalah matriks dengan satu baris dan N kolom, dan vektor kolom tinggi N- matriks dengan N baris dan satu kolom. Ukuran matriks-matriks tersebut masing-masing adalah 2 x 3 dan 3 x I, sehingga hasil kali matriks-matriks tersebut dapat ditentukan. Kita punya

Produk tersebut menghasilkan matriks berukuran 2 x 1 atau vektor kolom dengan tinggi 2.

Dengan mengalikan matriks secara berurutan kita mendapatkan:

Sifat-sifat hasil kali matriks. Membiarkan A, B dan C adalah matriks dengan ukuran yang sesuai (sehingga hasil kali matriks dapat ditentukan), dan a adalah bilangan real. Maka sifat-sifat hasil kali matriks berikut ini berlaku:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2)C A + B)C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) sebuah (AB) = (aA)B = A(aB).

Konsep matriks identitas E diperkenalkan dalam klausa 2.1.1. Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam aljabar matriks ia berperan sebagai satuan, yaitu. Kita dapat mencatat dua properti lagi yang terkait dengan perkalian dengan matriks ini di kiri dan kanan:

• 5 )AE=SEBUAH;
• 6) EA = A.

Dengan kata lain, hasil kali matriks mana pun dengan matriks identitas, jika masuk akal, tidak mengubah matriks aslinya.

Saat bekerja dengan matriks, terkadang Anda perlu mengubah urutannya, yaitu dengan kata sederhana, membaliknya. Tentu saja, Anda bisa memasukkan data secara manual, namun Excel menawarkan beberapa cara untuk melakukannya dengan lebih mudah dan cepat. Mari kita lihat secara detail.

Transposisi matriks adalah proses pertukaran kolom dan baris. Excel memiliki dua opsi untuk melakukan transposisi: menggunakan fungsi TRANSSP dan menggunakan alat khusus sisipan. Mari kita lihat masing-masing opsi ini secara lebih rinci.

Metode 1: Operator TRANSPOSE

Fungsi TRANSSP termasuk dalam kategori operator "Tautan dan Array". Keunikannya adalah, seperti fungsi lain yang bekerja dengan array, hasil keluarannya bukanlah isi sel, melainkan keseluruhan array data. Sintaks fungsinya cukup sederhana dan terlihat seperti ini:

TRANSP(array)

Artinya, satu-satunya argumen dari operator ini adalah referensi ke array, dalam kasus kita matriks, yang harus dikonversi.

Mari kita lihat bagaimana fungsi ini dapat diterapkan menggunakan contoh matriks nyata.

1. Kami memilih sel kosong pada lembar, yang kami rencanakan untuk dijadikan sel kiri paling atas dari matriks yang diubah. Selanjutnya, klik ikon tersebut "Masukkan Fungsi", yang terletak di dekat bilah rumus.



2. Peluncuran sedang berlangsung Penyihir Fungsi. Buka kategori di dalamnya "Tautan dan Array" atau "Daftar alfabet lengkap". Setelah menemukan namanya "transmisi", pilih dan klik tombolnya "OKE".



3. Jendela argumen fungsi terbuka TRANSSP. Satu-satunya argumen operator ini sesuai dengan bidangnya "Susunan". Anda harus memasukkan koordinat matriks yang perlu dibalik. Untuk melakukan ini, letakkan kursor di bidang dan, sambil menahan tombol kiri mouse, pilih seluruh rentang matriks pada lembar. Setelah alamat area ditampilkan di jendela argumen, klik tombol "OKE".



4. Namun, seperti yang bisa kita lihat, di sel yang dimaksudkan untuk menampilkan hasilnya, nilai yang salah ditampilkan dalam bentuk kesalahan "#NILAI!". Hal ini disebabkan cara kerja operator array. Untuk memperbaiki kesalahan ini, pilih rentang sel yang jumlah barisnya harus sama dengan jumlah kolom matriks asli, dan jumlah kolomnya harus sama dengan jumlah baris. Korespondensi seperti itu sangat penting agar hasilnya dapat ditampilkan dengan benar. Dalam hal ini, sel yang berisi ekspresi "#NILAI!" harus menjadi sel kiri atas dari array yang dipilih dan dari sel inilah prosedur pemilihan harus dimulai dengan menahan tombol kiri mouse. Setelah Anda menentukan pilihan, letakkan kursor di bilah rumus tepat setelah ekspresi operator TRANSSP, yang seharusnya muncul di dalamnya. Setelah ini, untuk melakukan perhitungan, Anda perlu menekan tombol Memasuki, seperti biasa dalam rumus konvensional, dan putar kombinasinya Ctrl+Shift+Enter.



5. Setelah tindakan ini, matriks ditampilkan sesuai kebutuhan, yaitu dalam bentuk yang diubah urutannya. Tapi ada masalah lain. Faktanya sekarang matriks baru adalah array yang dihubungkan dengan rumus yang tidak dapat diubah. Saat Anda mencoba melakukan perubahan apa pun pada konten matriks, kesalahan akan muncul. Beberapa pengguna cukup puas dengan keadaan ini, karena mereka tidak bermaksud membuat perubahan pada array, namun yang lain memerlukan matriks yang dapat mereka gunakan sepenuhnya.

   Untuk mengatasi masalah ini, kami memilih seluruh rentang yang dialihkan. Pindah ke tab "Rumah" klik pada ikon tersebut "Menyalin", yang terletak di pita di grup "Papan Klip". Alih-alih tindakan yang ditentukan, setelah memilih, Anda dapat mengatur pintasan keyboard standar untuk menyalin Ctrl+C.



6. Kemudian, tanpa menghapus pilihan dari rentang yang dialihkan, klik kanan padanya. Di menu konteks di grup "Masukkan Opsi" klik pada ikon tersebut "Nilai", yang terlihat seperti piktogram yang menggambarkan angka.

   

   Berikut ini, rumus array TRANSSP akan dihapus, dan hanya satu nilai yang tersisa di sel, yang dapat dikerjakan dengan cara yang sama seperti matriks aslinya.

Metode 2: Transpos Matriks Menggunakan Tempel Spesial

Selain itu, matriks dapat diubah urutannya menggunakan satu item menu konteks yang disebut "Masukkan Spesial".

Setelah langkah-langkah ini, hanya matriks yang diubah yang akan tersisa di lembar.

Dengan dua metode yang sama yang dibahas di atas, Anda tidak hanya dapat mengubah urutan matriks, tetapi juga tabel lengkap ke dalam Excel. Prosedurnya hampir sama.

Jadi, kami menemukan bahwa di Excel matriks dapat diubah urutannya, yaitu dibalik dengan menukar kolom dan baris, dengan dua cara. Opsi pertama melibatkan penggunaan fungsi TRANSSP, dan yang kedua adalah Tempel Alat Khusus. Secara umum, hasil akhir yang diperoleh dengan menggunakan kedua metode ini tidak berbeda. Kedua metode ini berfungsi di hampir semua situasi. Jadi ketika memilih opsi konversi, preferensi pribadi pengguna tertentu diutamakan. Artinya, metode mana yang lebih nyaman bagi Anda pribadi, gunakan metode itu.

Transposisi matriks melalui kalkulator online ini tidak akan memakan banyak waktu, tetapi akan memberikan hasil dengan cepat dan membantu Anda lebih memahami proses itu sendiri.

Terkadang dalam perhitungan aljabar ada kebutuhan untuk menukar baris dan kolom suatu matriks. Operasi ini disebut transposisi matriks. Baris-baris yang berurutan menjadi kolom, dan matriks itu sendiri menjadi ditransposisikan. Ada aturan tertentu dalam perhitungan ini, dan untuk memahaminya serta membiasakan diri Anda secara visual dengan prosesnya, gunakan kalkulator online ini. Ini akan membuat tugas Anda lebih mudah dan membantu Anda lebih memahami teori transposisi matriks. Keuntungan signifikan dari kalkulator ini adalah demonstrasi solusi yang diperluas dan terperinci. Dengan demikian, penggunaannya mendorong pemahaman perhitungan aljabar yang lebih mendalam dan terinformasi. Selain itu, dengan bantuannya Anda selalu dapat memeriksa seberapa berhasil Anda menyelesaikan tugas dengan mentransposisi matriks secara manual.

Kalkulator ini sangat mudah digunakan. Untuk mencari matriks yang ditransposisikan secara online, tentukan ukuran matriks dengan mengklik ikon “+” atau “-” hingga Anda mendapatkan jumlah kolom dan baris yang diinginkan. Selanjutnya, masukkan nomor yang diperlukan ke dalam kolom. Di bawah ini adalah tombol "Hitung" - mengkliknya akan menampilkan solusi siap pakai dengan penjelasan rinci tentang algoritme.

Dalam matematika tingkat tinggi, konsep seperti matriks yang ditransposisikan dipelajari. Perlu dicatat: banyak orang berpikir bahwa ini adalah topik yang agak rumit yang tidak mungkin dikuasai. Namun, hal ini tidak benar. Untuk memahami dengan tepat bagaimana operasi mudah ini dilakukan, Anda hanya perlu sedikit memahami konsep dasar - matriks. Setiap siswa dapat memahami suatu topik jika mereka meluangkan waktu untuk mempelajarinya.

Apa itu matriks?

Matriks cukup umum dalam matematika. Perlu dicatat bahwa mereka juga ditemukan dalam ilmu komputer. Berkat mereka dan dengan bantuan mereka, pemrograman dan pembuatan perangkat lunak menjadi mudah.

Apa itu matriks? Ini adalah tabel tempat elemen ditempatkan. Bentuknya harus persegi panjang. Secara sederhana, matriks adalah tabel bilangan. Itu dilambangkan dengan beberapa huruf kapital Latin. Itu bisa berbentuk persegi panjang atau persegi. Ada juga baris dan kolom terpisah, yang disebut vektor. Matriks tersebut hanya menerima satu baris angka. Untuk memahami ukuran sebuah tabel, Anda perlu memperhatikan jumlah baris dan kolom. Yang pertama dilambangkan dengan huruf m, dan yang kedua dengan n.

Anda pasti harus memahami apa itu diagonal matriks. Ada sisi dan utama. Yang kedua adalah rangkaian angka yang bergerak dari kiri ke kanan dari elemen pertama hingga terakhir. Dalam hal ini, garis sampingnya akan dari kanan ke kiri.

Dengan matriks Anda dapat melakukan hampir semua operasi aritmatika paling sederhana, yaitu menjumlahkan, mengurangi, mengalikan satu sama lain dan secara terpisah dengan angka. Mereka juga dapat dialihkan.

Proses transposisi

Matriks yang ditransposisi adalah matriks yang baris dan kolomnya dipertukarkan. Hal ini dilakukan semudah mungkin. Dilambangkan dengan A dengan superskrip T (AT). Pada prinsipnya, harus dikatakan bahwa dalam matematika tingkat tinggi ini adalah salah satu operasi paling sederhana pada matriks. Ukuran meja dipertahankan. Matriks seperti itu disebut transposisi.

Sifat-sifat matriks yang ditransposisikan

Untuk melakukan proses transposisi dengan benar, perlu dipahami sifat-sifat operasi ini yang ada.

• Harus ada matriks asli untuk setiap tabel yang dialihkan. Penentunya harus sama satu sama lain.
• Jika ada satuan skalar, maka saat melakukan operasi ini dapat dikeluarkan.
• Jika suatu matriks ditransposisi ganda, maka matriks tersebut akan sama dengan matriks aslinya.
• Jika kita membandingkan dua tabel terlipat dengan kolom dan baris yang ditukar dengan jumlah elemen tempat operasi ini dilakukan, maka keduanya akan sama.
• Sifat terakhir adalah jika Anda melakukan transposisi tabel yang dikalikan satu sama lain, maka nilainya harus sama dengan hasil yang diperoleh dengan mengalikan matriks yang ditransposisikan satu sama lain dalam urutan terbalik.

Mengapa mengubah urutan?

Matriks dalam matematika diperlukan untuk menyelesaikan masalah tertentu dengannya. Beberapa di antaranya mengharuskan Anda menghitung tabel invers. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari determinannya. Selanjutnya, elemen-elemen matriks masa depan dihitung, kemudian ditransposisikan. Yang tersisa hanyalah mencari tabel invers langsung. Kita dapat mengatakan bahwa dalam soal seperti itu Anda perlu mencari X, dan ini cukup mudah dilakukan dengan bantuan pengetahuan dasar teori persamaan.

Hasil

Artikel ini membahas apa itu matriks yang ditransposisikan. Topik ini akan berguna bagi para insinyur masa depan yang harus mampu menghitung struktur kompleks dengan benar. Terkadang matriksnya tidak begitu mudah untuk dipecahkan, Anda harus memutar otak. Namun dalam mata kuliah matematika siswa, operasi ini dilakukan semudah mungkin dan tanpa usaha apapun.