Persamaan pesawat. Bagaimana cara menulis persamaan bidang?
Susunan pesawat yang saling menguntungkan. Tugas

Geometri spasial tidak lebih rumit daripada geometri “datar”, dan penerbangan kita di luar angkasa dimulai dengan artikel ini. Untuk menguasai suatu topik, Anda perlu memiliki pemahaman yang baik vektor, selain itu, disarankan untuk memahami geometri bidang - akan ada banyak persamaan, banyak analogi, sehingga informasi akan dicerna lebih baik. Dalam rangkaian pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan sebuah artikel Persamaan garis lurus pada bidang datar. Namun kini Batman telah meninggalkan TV layar datar dan meluncur dari Kosmodrom Baikonur.

Mari kita mulai dengan gambar dan simbol. Secara skematis, bidang tersebut dapat digambar dalam bentuk jajar genjang, sehingga menimbulkan kesan ruang:

Bidangnya tidak terbatas, namun kita mempunyai kesempatan untuk menggambarkannya hanya sebagian saja. Dalam praktiknya, selain jajar genjang, juga digambar oval atau bahkan awan. Untuk alasan teknis, akan lebih mudah bagi saya untuk menggambarkan pesawat dengan cara dan posisi yang persis seperti ini. Bidang nyata, yang akan kita pertimbangkan dalam contoh praktis, dapat ditempatkan dengan cara apa pun - secara mental ambil gambar di tangan Anda dan putar di ruang angkasa, berikan bidang kemiringan apa pun, sudut apa pun.

Sebutan: pesawat biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani kecil, rupanya agar tidak membingungkan mereka garis lurus pada suatu bidang atau dengan garis lurus dalam ruang. Saya sudah terbiasa menggunakan surat itu. Pada gambarnya ada huruf “sigma”, dan bukan lubang sama sekali. Meski begitu, pesawat berlubang tersebut tentu cukup lucu.

Dalam beberapa kasus, lebih mudah menggunakan huruf Yunani yang sama dengan subskrip yang lebih rendah untuk menunjuk bidang, misalnya, .

Jelaslah bahwa bidang tersebut secara unik ditentukan oleh tiga titik berbeda yang tidak terletak pada garis yang sama. Oleh karena itu, sebutan tiga huruf untuk bidang cukup populer - berdasarkan titik miliknya, misalnya, dll. Seringkali surat diapit tanda kurung: , agar tidak membingungkan bidang dengan bangun datar lainnya.

Untuk pembaca berpengalaman saya akan memberikan menu akses cepat:

• Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan satu titik dan dua vektor?
• Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

dan kami tidak akan merana dalam penantian yang lama:

Persamaan bidang umum

Persamaan umum bidang berbentuk , dimana koefisien-koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Sejumlah perhitungan teoretis dan masalah praktis berlaku baik untuk basis ortonormal biasa maupun untuk basis ruang affine (jika minyak adalah minyak, kembali ke pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor). Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa semua peristiwa terjadi dalam basis ortonormal dan sistem koordinat persegi panjang Cartesian.

Sekarang mari kita latih sedikit imajinasi spasial kita. Tidak apa-apa kalau punyamu jelek, sekarang kita kembangkan sedikit. Bahkan bermain dengan gugup membutuhkan pelatihan.

Dalam kasus yang paling umum, ketika angka-angkanya tidak sama dengan nol, bidang tersebut memotong ketiga sumbu koordinat. Misalnya seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahwa bidang itu terus bergerak ke segala arah tanpa batas waktu, dan kita hanya mempunyai kesempatan untuk menggambarkan sebagian saja.

Mari kita perhatikan persamaan bidang yang paling sederhana:

Bagaimana memahami persamaan ini? Coba pikirkan: “Z” SELALU sama dengan nol, untuk setiap nilai “X” dan “Y”. Ini adalah persamaan bidang koordinat "asli". Memang secara formal persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut: , dari sini Anda dapat melihat dengan jelas bahwa kita tidak peduli berapa nilai “x” dan “y”, yang penting “z” sama dengan nol.

Juga:
– persamaan bidang koordinat;
– persamaan bidang koordinat.

Mari kita sedikit memperumit masalahnya, pertimbangkan sebuah bidang (di sini dan selanjutnya di paragraf kita berasumsi bahwa koefisien numerik tidak sama dengan nol). Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk: . Bagaimana cara memahaminya? “X” adalah SELALU, untuk setiap nilai “y” dan “z”, sama dengan angka tertentu. Bidang ini sejajar dengan bidang koordinat. Misalnya, sebuah bidang sejajar dengan bidang dan melalui suatu titik.

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

Mari tambahkan anggota: . Persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut: , yaitu “zet” bisa apa saja. Apa maksudnya? “X” dan “Y” dihubungkan oleh relasi, yang menggambar garis lurus tertentu pada bidang (Anda akan mengetahuinya persamaan garis pada bidang?). Karena “z” bisa berupa apa saja, garis lurus ini “direplikasi” pada ketinggian berapa pun. Jadi, persamaan tersebut mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu koordinat

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat.

Jika suku bebasnya nol, maka bidang-bidang tersebut akan langsung melalui sumbu-sumbu yang bersesuaian. Misalnya, “proporsionalitas langsung” klasik: . Gambarlah garis lurus pada bidang dan kalikan secara mental ke atas dan ke bawah (karena “Z” adalah apa saja). Kesimpulan: bidang yang ditentukan oleh persamaan melewati sumbu koordinat.

Kami menyelesaikan ulasannya: persamaan bidang melewati titik asal. Nah, di sini cukup jelas bahwa poin tersebut memenuhi persamaan ini.

Dan terakhir, kasus yang ditunjukkan pada gambar: – bidang bersahabat dengan semua sumbu koordinat, sedangkan bidang tersebut selalu “memotong” sebuah segitiga, yang dapat ditempatkan di salah satu dari delapan oktan.

Ketimpangan linier dalam ruang

Untuk memahami informasi Anda perlu belajar dengan baik pertidaksamaan linear pada bidang tersebut, karena banyak hal akan serupa. Paragraf tersebut akan bersifat gambaran singkat dengan beberapa contoh, karena materi tersebut cukup jarang dalam praktek.

Jika persamaan mendefinisikan bidang, maka pertidaksamaannya
bertanya setengah spasi. Jika pertidaksamaannya tidak tegas (dua pertidaksamaan terakhir dalam daftar), maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut, selain setengah ruang, juga mencakup bidang itu sendiri.

Contoh 5

Temukan vektor normal satuan bidang tersebut .

Larutan: Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Mari kita nyatakan vektor ini dengan . Jelas sekali bahwa vektor-vektornya segaris:

Pertama, kita hilangkan vektor normal dari persamaan bidang: .

Bagaimana cara mencari vektor satuan? Untuk mencari vektor satuan, Anda perlu setiap membagi koordinat vektor dengan panjang vektor.

Mari kita tulis ulang vektor normal ke dalam bentuk dan temukan panjangnya:

Menurut hal di atas:

Menjawab:

Verifikasi: apa yang diperlukan untuk diverifikasi.

Pembaca yang mempelajari paragraf terakhir pelajaran dengan cermat mungkin memperhatikan hal itu koordinat vektor satuan sama persis dengan cosinus arah vektor tersebut:

Mari kita istirahat dari tugas yang ada: ketika Anda diberi vektor bukan nol yang berubah-ubah, dan sesuai dengan kondisi tersebut diperlukan untuk mencari cosinus arahnya (lihat soal terakhir pelajaran Produk titik dari vektor), maka Anda sebenarnya menemukan vektor satuan yang kolinear dengan vektor ini. Sebenarnya dua tugas dalam satu botol.

Kebutuhan untuk mencari vektor normal satuan muncul dalam beberapa masalah analisis matematis.

Kita telah menemukan cara untuk mendapatkan vektor normal, sekarang mari kita jawab pertanyaan sebaliknya:

Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

Konstruksi kaku dari vektor normal dan suatu titik ini diketahui dengan baik oleh papan dart. Silakan rentangkan tangan Anda ke depan dan secara mental pilih titik sembarang di ruang angkasa, misalnya, kucing kecil di bufet. Jelasnya, melalui titik ini Anda dapat menggambar satu bidang yang tegak lurus dengan tangan Anda.

Persamaan bidang yang melalui suatu titik yang tegak lurus terhadap vektor dinyatakan dengan rumus:

Untuk memperoleh persamaan umum suatu bidang, mari kita analisis bidang yang melalui suatu titik tertentu.

Misalkan ada tiga sumbu koordinat yang sudah kita ketahui di luar angkasa - Sapi, Oi Dan Ons. Pegang lembaran kertas tersebut agar tetap rata. Bidang itu akan menjadi lembaran itu sendiri dan kelanjutannya ke segala arah.

Membiarkan P pesawat sewenang-wenang di luar angkasa. Setiap vektor yang tegak lurus terhadapnya disebut vektor biasa ke pesawat ini. Secara alami, kita berbicara tentang vektor bukan nol.

Jika ada titik di pesawat yang diketahui P dan suatu vektor normal terhadapnya, maka dengan kedua kondisi ini bidang dalam ruang terdefinisi sempurna(melalui suatu titik tertentu Anda dapat menggambar satu bidang yang tegak lurus terhadap vektor tertentu). Persamaan umum bidang tersebut adalah:

Jadi, syarat-syarat yang menentukan persamaan bidang tersebut adalah. Untuk mendapatkan dirimu sendiri persamaan bidang, memiliki formulir di atas, naik pesawat P sewenang-wenang titik M dengan koordinat variabel X, kamu, z. Titik ini hanya menjadi milik pesawat jika vektor tegak lurus terhadap vektor(Gbr. 1). Untuk itu, menurut syarat tegak lurus vektor, hasil kali skalar vektor-vektor tersebut perlu dan cukup sama dengan nol, yaitu

Vektor ditentukan oleh kondisi. Kami menemukan koordinat vektor menggunakan rumus :

.

Sekarang, menggunakan rumus perkalian skalar vektor , kita nyatakan hasil kali skalar dalam bentuk koordinat:

Sejak saat itu M(x; kamu; z) dipilih secara sembarang pada bidang, maka persamaan terakhir dipenuhi oleh koordinat titik mana pun yang terletak pada bidang tersebut P. Untuk satu hal N, tidak berbaring di pesawat tertentu, mis. kesetaraan (1) dilanggar.

Contoh 1. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik dan tegak lurus terhadap vektor.

Larutan. Mari kita gunakan rumus (1) dan lihat lagi:

Dalam rumus ini angka-angkanya A , B Dan C koordinat vektor, dan angka X0 , kamu0 Dan z0 - koordinat titik.

Perhitungannya sangat sederhana: kita substitusikan angka-angka ini ke dalam rumus dan dapatkan

Kita kalikan semua yang perlu dikalikan dan tambahkan angka saja (yang tidak ada hurufnya). Hasil:

.

Persamaan bidang yang diperlukan dalam contoh ini ternyata dinyatakan dengan persamaan umum derajat pertama terhadap koordinat variabel x, kamu, z titik sembarang pesawat.

Jadi, persamaan bentuknya

ditelepon persamaan bidang umum .

Contoh 2. Bangunlah dalam sistem koordinat Kartesius persegi panjang sebuah bidang yang diberikan oleh persamaan .

Larutan. Untuk membangun sebuah bidang, perlu dan cukup mengetahui tiga titik mana saja yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, misalnya titik potong bidang tersebut dengan sumbu koordinat.

Bagaimana cara menemukan titik-titik tersebut? Untuk mencari titik potong dengan sumbu Ons, Anda perlu mengganti X dan Y dengan angka nol pada persamaan yang diberikan dalam rumusan masalah: X = kamu= 0 . Oleh karena itu kita mendapatkan z= 6. Jadi, bidang tertentu memotong sumbunya Ons pada intinya A(0; 0; 6) .

Dengan cara yang sama kita mencari titik potong bidang dengan sumbunya Oi. Pada X = z= 0 kita dapatkan kamu= −3, itulah intinya B(0; −3; 0) .

Dan terakhir, kita temukan titik potong bidang kita dengan sumbunya Sapi. Pada kamu = z= 0 kita dapatkan X= 2, yaitu satu poin C(2; 0; 0) . Berdasarkan tiga poin yang diperoleh dalam solusi kami A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) dan C(2; 0; 0) buatlah bidang yang diberikan.

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus khusus dari persamaan bidang umum. Ini adalah kasus ketika koefisien tertentu dari persamaan (2) menjadi nol.

1. Kapan D= 0 persamaan mendefinisikan bidang yang melalui titik asal, karena koordinat titiknya 0 (0; 0; 0) memenuhi persamaan ini.

2. Kapan SEBUAH= 0 persamaan mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu Sapi, karena vektor normal bidang ini tegak lurus terhadap sumbu Sapi(proyeksinya ke sumbu Sapi sama dengan nol). Demikian pula kapan B= 0 pesawat sejajar dengan sumbu Oi, dan kapan C= 0 pesawat sejajar dengan sumbu Ons.

3. Kapan SEBUAH=D= Persamaan 0 mendefinisikan bidang yang melalui sumbu Sapi, karena sejajar dengan sumbu Sapi (SEBUAH=D= 0). Demikian pula, pesawat melewati porosnya Oi, dan bidang melalui sumbu Ons.

4. Kapan SEBUAH=B= Persamaan 0 mendefinisikan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat xOy, karena sejajar dengan sumbu Sapi (A= 0) dan Oi (B= 0). Begitu pula dengan bidang yang sejajar dengan bidang tersebut kamu Oz, dan pesawat adalah pesawat xOz.

5. Kapan SEBUAH=B=D= 0 persamaan (atau z = 0) mendefinisikan bidang koordinat xOy, karena sejajar dengan bidang xOy (SEBUAH=B= 0) dan melewati titik asal ( D= 0). Demikian pula, Persamaan. kamu= 0 di ruang angkasa mendefinisikan bidang koordinat xOz, dan persamaannya x = 0 - bidang koordinat kamu Oz.

Contoh 3. Buatlah persamaan bidang tersebut P, melewati sumbu Oi dan titik.

Larutan. Jadi pesawat melewati porosnya Oi. Oleh karena itu, dalam persamaannya kamu= 0 dan persamaan ini berbentuk . Untuk menentukan koefisien A Dan C mari kita manfaatkan fakta bahwa titik tersebut milik pesawat P .

Oleh karena itu, diantara koordinatnya ada yang dapat disubstitusikan ke dalam persamaan bidang yang telah kita turunkan (). Mari kita lihat kembali koordinat titiknya:

M0 (2; −4; 3) .

Diantaranya X = 2 , z= 3 . Kami menggantinya ke dalam persamaan umum dan mendapatkan persamaan untuk kasus khusus kami:

2A + 3C = 0 .

Tinggalkan 2 A di sisi kiri persamaan, pindahkan 3 C ke sisi kanan dan kita dapatkan

A = −1,5C .

Mengganti nilai yang ditemukan A ke dalam persamaan, kita dapatkan

atau .

Ini adalah persamaan yang diperlukan dalam kondisi contoh.

Selesaikan sendiri soal persamaan bidang, lalu lihat solusinya

Contoh 4. Definisikan sebuah bidang (atau bidang-bidang, jika lebih dari satu) terhadap sumbu koordinat atau bidang koordinat jika bidang-bidang tersebut diberikan oleh persamaan.

Solusi untuk masalah umum yang terjadi selama pengujian terdapat dalam buku teks “Masalah pada bidang: paralelisme, tegak lurus, perpotongan tiga bidang pada satu titik.”

Persamaan bidang yang melalui tiga titik

Sebagaimana telah disebutkan, syarat perlu dan cukup untuk membuat sebuah bidang, selain satu titik dan vektor normal, juga terdapat tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama.

Misalkan tiga titik berbeda , dan , tidak terletak pada garis yang sama, diberikan. Karena ketiga titik tersebut tidak terletak pada garis yang sama, maka vektor-vektornya tidak segaris, sehingga setiap titik pada bidang tersebut terletak pada bidang yang sama dengan titik-titik tersebut, dan jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut , dan koplanar, yaitu saat itu dan hanya kapan produk campuran dari vektor-vektor ini sama dengan nol.

Dengan menggunakan ekspresi hasil kali campuran dalam koordinat, kita memperoleh persamaan bidang

(3)

Setelah determinannya terungkap, persamaan ini menjadi persamaan bentuk (2), yaitu. persamaan umum bidang.

Contoh 5. Tuliskan persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis lurus yang sama:

dan tentukan kasus khusus dari persamaan umum suatu garis, jika ada.

Larutan. Menurut rumus (3) kita memiliki:

Persamaan bidang normal. Jarak dari titik ke bidang

Persamaan normal suatu bidang adalah persamaannya, ditulis dalam bentuk

Artikel ini memberikan gambaran tentang cara membuat persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dalam ruang tiga dimensi yang tegak lurus terhadap garis tertentu. Mari kita menganalisis algoritma yang diberikan menggunakan contoh penyelesaian masalah umum.

Menemukan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dalam ruang yang tegak lurus terhadap garis tertentu

Misalkan diberikan ruang tiga dimensi dan sistem koordinat persegi panjang O x y z. Titik M 1 (x 1, y 1, z 1), garis a dan bidang yang melalui titik M 1 tegak lurus garis a juga diberikan. Persamaan bidang α perlu dituliskan.

Sebelum kita mulai menyelesaikan soal ini, mari kita ingat teorema geometri dari silabus kelas 10-11, yang berbunyi:

Definisi 1

Melalui suatu titik tertentu dalam ruang tiga dimensi dilewatkan sebuah bidang tunggal yang tegak lurus terhadap suatu garis lurus tertentu.

Sekarang mari kita lihat bagaimana mencari persamaan bidang tunggal yang melalui titik awal dan tegak lurus terhadap garis tertentu.

Persamaan umum suatu bidang dapat dituliskan jika koordinat suatu titik yang termasuk dalam bidang tersebut diketahui, serta koordinat vektor normal bidang tersebut.

Kondisi soal memberikan kita koordinat x 1, y 1, z 1 dari titik M 1 yang dilalui bidang α. Jika kita menentukan koordinat vektor normal bidang α, maka kita dapat menuliskan persamaan yang diperlukan.

Vektor normal bidang α, karena tidak nol dan terletak pada garis a, tegak lurus terhadap bidang α, akan menjadi vektor arah mana pun dari garis a. Dengan demikian, soal mencari koordinat vektor normal bidang α diubah menjadi soal menentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a.

Penentuan koordinat vektor arah garis lurus a dapat dilakukan dengan berbagai cara: bergantung pada pilihan untuk menentukan garis lurus a pada kondisi awal. Misalnya, jika garis lurus a dalam rumusan masalah diberikan oleh bentuk persamaan kanonik

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 az

atau persamaan parametrik berbentuk:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

maka vektor arah garis lurus tersebut mempunyai koordinat ax, ay dan az. Jika garis lurus a diwakili oleh dua titik M 2 (x 2, y 2, z 2) dan M 3 (x 3, y 3, z 3), maka koordinat vektor arahnya ditentukan sebagai ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Definisi 2

Algoritma untuk mencari persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis tertentu:

Kita tentukan koordinat vektor arah garis lurus a: a → = (ax, ay, az) ;

Kita definisikan koordinat vektor normal bidang α sebagai koordinat vektor pengarah garis lurus a:

n → = (A , B , C) , dimana A = ax , B = ay , C = az;

Kita tuliskan persamaan bidang yang melalui titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan mempunyai vektor normal n → = (A, B, C) dalam bentuk A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Ini akan menjadi persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang melewati suatu titik tertentu dalam ruang dan tegak lurus terhadap garis tertentu.

Persamaan umum bidang yang dihasilkan adalah: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 memungkinkan diperoleh persamaan bidang dalam ruas-ruas atau persamaan normal bidang.

Mari selesaikan beberapa contoh menggunakan algoritma yang diperoleh di atas.

Contoh 1

Diberikan titik M 1 (3, - 4, 5) yang dilalui bidang tersebut, dan bidang tersebut tegak lurus terhadap garis koordinat O z.

Larutan

vektor arah garis koordinat O z adalah vektor koordinat k ⇀ = (0, 0, 1). Oleh karena itu, vektor normal bidang tersebut memiliki koordinat (0, 0, 1). Mari kita tuliskan persamaan sebuah bidang yang melalui suatu titik tertentu M 1 (3, - 4, 5), yang vektor normalnya memiliki koordinat (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Menjawab: z – 5 = 0 .

Mari pertimbangkan cara lain untuk mengatasi masalah ini:

Contoh 2

Sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis O z akan diberikan persamaan bidang umum yang tidak lengkap berbentuk C z + D = 0, C ≠ 0. Mari kita tentukan nilai C dan D: nilai di mana bidang melewati suatu titik tertentu. Mari kita substitusikan koordinat titik ini ke dalam persamaan C z + D = 0, kita peroleh: C · 5 + D = 0. Itu. bilangan C dan D dihubungkan dengan relasi - D C = 5. Mengambil C = 1, kita mendapatkan D = - 5.

Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan C z + D = 0 dan dapatkan persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang tegak lurus garis lurus O z dan melalui titik M 1 (3, - 4, 5).

Ini akan terlihat seperti: z – 5 = 0.

Menjawab: z – 5 = 0 .

Contoh 3

Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik asal dan tegak lurus garis x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Larutan

Berdasarkan kondisi soal, dapat dikatakan bahwa vektor arah suatu garis lurus tertentu dapat dianggap sebagai vektor normal n → suatu bidang tertentu. Jadi: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Mari kita tulis persamaan bidang yang melalui titik O (0, 0, 0) dan mempunyai vektor normal n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Kita telah memperoleh persamaan yang diperlukan untuk sebuah bidang yang melalui titik asal koordinat yang tegak lurus terhadap garis tertentu.

Menjawab:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Contoh 4

Sistem koordinat persegi panjang O x y z diberikan dalam ruang tiga dimensi, di dalamnya terdapat dua titik A (2, - 1, - 2) dan B (3, - 2, 4). Bidang α melalui titik A yang tegak lurus garis A B. Perlu dibuat persamaan bidang α dalam segmen-segmen.

Larutan

Bidang α tegak lurus terhadap garis A B, maka vektor A B → akan menjadi vektor normal bidang α. Koordinat vektor ini didefinisikan sebagai selisih antara koordinat titik B (3, - 2, 4) dan A (2, - 1, - 2) yang bersesuaian:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Persamaan umum bidang tersebut akan ditulis sebagai berikut:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sekarang mari kita buat persamaan bidang yang diperlukan dalam segmen-segmen:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Menjawab:x - 9 + kamu 9 + z - 3 2 = 1

Perlu juga diperhatikan bahwa ada soal yang syaratnya adalah menulis persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu dan tegak lurus terhadap dua bidang tertentu. Secara umum penyelesaian masalah ini adalah dengan membuat persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis tertentu, karena dua bidang yang berpotongan membentuk suatu garis lurus.

Contoh 5

Diberikan sistem koordinat persegi panjang O x y z, di dalamnya terdapat titik M 1 (2, 0, - 5). Persamaan dua bidang 3 x + 2 y + 1 = 0 dan x + 2 z – 1 = 0, yang berpotongan sepanjang garis lurus a, juga diberikan. Perlu dibuat persamaan bidang yang melalui titik M 1 tegak lurus garis lurus a.

Larutan

Mari kita tentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a. Garis tersebut tegak lurus terhadap vektor normal n 1 → (3, 2, 0) pada bidang n → (1, 0, 2) dan vektor normal 3 x + 2 y + 1 = 0 dari x + 2 z - 1 = 0 bidang.

Kemudian, sebagai vektor pengarah α → garis a, kita ambil hasil kali vektor dari vektor n 1 → dan n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Jadi, vektor n → = (4, - 6, - 2) adalah vektor normal bidang yang tegak lurus garis a. Mari kita tuliskan persamaan bidang yang diperlukan:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Menjawab: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Garis lurus yang jumlahnya tak terhingga dapat ditarik melalui suatu titik.

Melalui dua titik yang tidak berhimpitan dapat ditarik sebuah garis lurus.

Dua garis divergen pada suatu bidang berpotongan di satu titik atau berpotongan

paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, ada tiga pilihan posisi relatif dua garis:

• garis berpotongan;

• garis sejajar;

• garis lurus berpotongan.

Lurus garis— kurva aljabar orde pertama: garis lurus dalam sistem koordinat Cartesian

diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama ( persamaan linier).

Persamaan umum garis lurus.

Definisi. Setiap garis lurus pada bidang dapat ditentukan dengan persamaan orde pertama

Kapak + Wu + C = 0,

dan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum

persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B Dan DENGAN Kasus-kasus khusus berikut mungkin terjadi:

. C = 0, SEBUAH ≠0, B ≠ 0- garis lurus melalui titik asal

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Kapak + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh

. B = C = 0, SEBUAH ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu Oh

. SEBUAH = C = 0, B ≠0- garis lurus berimpit dengan sumbu Oh

Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada bentuk yang diberikan

kondisi awal.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang kartesius vektor dengan komponen (A, B)

tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan

Kapak + Wu + C = 0.

Contoh. Temukan persamaan garis yang melalui suatu titik SEBUAH(1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).

Larutan. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita buat persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Mencari koefisien C

Mari kita substitusikan koordinat titik A ke dalam ekspresi yang dihasilkan. Kita mendapatkan: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Total : persamaan yang dibutuhkan: 3x - y - 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Biarkan dua titik diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) Dan M2 (x 2, kamu 2, z 2), Kemudian persamaan suatu garis,

melewati titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya nol, maka pembilangnya harus sama dengan nol. Pada

bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k ditelepon lereng langsung.

Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Larutan. Menerapkan rumus yang tertulis di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kemiringan.

Jika persamaan umum garis Kapak + Wu + C = 0 menuju ke:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut

persamaan garis lurus dengan kemiringan k.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor arah.

Dengan analogi titik dengan mempertimbangkan persamaan garis lurus yang melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas

garis lurus yang melalui suatu titik dan vektor pengarah suatu garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi kondisi tersebut

Aα 1 + Bα 2 = 0 ditelepon vektor pengarah suatu garis lurus.

Kapak + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Larutan. Kita akan mencari persamaan garis yang diinginkan dalam bentuk: Kapak + Oleh + C = 0. Menurut definisinya,

koefisien harus memenuhi ketentuan berikut:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. SEBUAH = B.

Maka persamaan garis lurusnya berbentuk: Kapak + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

pada x = 1, kamu = 2 kita dapatkan C/A = -3, yaitu. persamaan yang diperlukan:

x + kamu - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam ruas-ruas.

Jika pada persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka dibagi dengan -С diperoleh:

atau di mana

Arti geometri dari koefisien adalah koefisien a merupakan koordinat titik potong

lurus dengan sumbu Oh, A B- koordinat titik potong garis dengan sumbu Oh.

Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x - kamu + 1 = 0. Temukan persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan garis normal.

Jika kedua sisi persamaan Kapak + Wu + C = 0 bagi dengan nomor yang disebut

faktor normalisasi, lalu kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan garis normal.

Tanda ± faktor normalisasi harus dipilih sedemikian rupa μ*C< 0.

R- panjang garis tegak lurus turun dari titik asal ke garis lurus,

A φ - sudut yang dibentuk tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.

Contoh. Persamaan umum garis diberikan 12x - 5 tahun - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan kemiringannya: (bagi dengan 5)

Persamaan suatu garis:

karena φ = 12/13; dosa φ= -5/13; hal = 5.

Perlu diperhatikan bahwa tidak semua garis lurus dapat direpresentasikan dengan persamaan dalam segmen-segmen, misalnya garis lurus,

sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Sudut antara garis lurus pada suatu bidang.

Definisi. Jika dua baris diberikan kamu = k 1 x + b 1 , kamu = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut

akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2. Dua garis tegak lurus

Jika k 1 = -1/ k 2 .

Dalil.

Langsung Kapak + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralel ketika koefisiennya proporsional

A 1 = λA, B 1 = λB. Jika juga С 1 = λС, maka garis-garisnya berhimpitan. Koordinat titik potong dua garis

ditemukan sebagai solusi sistem persamaan garis-garis tersebut.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap suatu garis tertentu.

Definisi. Garis yang melalui suatu titik M 1 (x 1, kamu 1) dan tegak lurus terhadap garis kamu = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak suatu titik ke suatu garis.

Dalil. Jika suatu poin diberikan M(x 0, kamu 0), maka jarak ke garis lurus Kapak + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:

Bukti. Biarkan intinya M 1 (x 1, kamu 1)- alas tegak lurus dijatuhkan dari suatu titik M untuk suatu hal

langsung. Kemudian jarak antar titik M Dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 Dan di 1 dapat dicari solusi sistem persamaannya:

Persamaan kedua sistem ini adalah persamaan garis lurus yang melalui suatu titik M 0 secara tegak lurus

diberi garis lurus. Jika kita mengubah persamaan pertama sistem menjadi bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Kapak 0 + Oleh 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikannya, kita mendapatkan:

Mengganti ekspresi ini ke persamaan (1), kita menemukan:

Teorema tersebut telah terbukti.