Bilangan nyata dan bilangan imajiner. Apa itu bilangan kompleks? Contoh

Saat mempelajari sifat-sifat persamaan kuadrat, batasan ditetapkan - untuk diskriminan yang kurang dari nol, tidak ada solusi. Segera dinyatakan bahwa kita sedang membicarakan himpunan bilangan real. Pikiran ingin tahu seorang ahli matematika akan tertarik dengan rahasia apa yang terkandung dalam klausa tentang nilai riil?

Seiring berjalannya waktu, para ahli matematika memperkenalkan konsep bilangan kompleks, di mana nilai kondisional dari akar kedua dikurangi satu diambil sebagai satu.

Latar belakang sejarah

Teori matematika berkembang secara berurutan, dari yang sederhana hingga yang kompleks. Mari kita cari tahu bagaimana konsep yang disebut “bilangan kompleks” muncul dan mengapa hal itu diperlukan.

Sejak dahulu kala, dasar matematika adalah berhitung biasa. Para peneliti hanya mengetahui serangkaian nilai alami. Penjumlahan dan pengurangan itu sederhana. Ketika hubungan ekonomi menjadi lebih kompleks, perkalian mulai digunakan daripada menjumlahkan nilai yang identik. Operasi kebalikan dari perkalian muncul - pembagian.

Konsep bilangan asli membatasi penggunaan operasi aritmatika. Tidak mungkin menyelesaikan semua soal pembagian pada himpunan nilai bilangan bulat. pertama-tama mengarah pada konsep nilai-nilai rasional, dan kemudian pada nilai-nilai irasional. Jika secara rasional dimungkinkan untuk menunjukkan letak pasti suatu titik pada suatu garis, maka secara irasional tidak mungkin menunjukkan titik tersebut. Anda hanya dapat menunjukkan perkiraan interval lokasi. Gabungan bilangan rasional dan irasional membentuk himpunan nyata, yang dapat direpresentasikan sebagai garis tertentu dengan skala tertentu. Setiap langkah di sepanjang garis adalah bilangan asli, dan di antara keduanya terdapat nilai rasional dan irasional.

Era matematika teoretis dimulai. Perkembangan ilmu astronomi, mekanika, dan fisika membutuhkan penyelesaian persamaan yang semakin kompleks. Dalam bentuk umum, akar-akar persamaan kuadrat ditemukan. Saat memecahkan polinomial kubik yang lebih kompleks, para ilmuwan menemui kontradiksi. Konsep akar pangkat tiga negatif masuk akal, tetapi untuk akar kuadrat hal ini menimbulkan ketidakpastian. Selain itu, persamaan kuadrat hanyalah kasus khusus dari persamaan kubik.

Pada tahun 1545, G. Cardano dari Italia mengusulkan untuk memperkenalkan konsep bilangan imajiner.

Angka ini menjadi akar kedua dari minus satu. Istilah bilangan kompleks akhirnya terbentuk tiga ratus tahun kemudian, dalam karya matematikawan terkenal Gauss. Dia mengusulkan untuk secara formal memperluas semua hukum aljabar ke bilangan imajiner. Garis sebenarnya telah meluas menjadi sebuah bidang. Dunia menjadi lebih besar.

Konsep Dasar

Mari kita mengingat kembali sejumlah fungsi yang memiliki batasan pada himpunan nyata:

• y = arcsin(x), didefinisikan dalam rentang nilai antara kesatuan negatif dan positif.
• y = ln(x), masuk akal untuk argumen positif.
• akar kuadrat y = √x, dihitung hanya untuk x ≥ 0.

Dengan menyatakan i = √(-1), kita memperkenalkan konsep seperti bilangan imajiner, ini akan memungkinkan kita menghilangkan semua batasan dari domain definisi fungsi di atas. Ekspresi seperti y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) memiliki makna dalam ruang bilangan kompleks tertentu.

Bentuk aljabarnya dapat ditulis sebagai z = x + i×y pada himpunan nilai real x dan y, dan i 2 = -1.

Konsep baru ini menghilangkan semua batasan penggunaan fungsi aljabar dan tampilannya menyerupai grafik garis lurus pada koordinat nilai nyata dan imajiner.

Pesawat yang kompleks

Bentuk geometris bilangan kompleks memungkinkan untuk memvisualisasikan banyak propertinya. Sepanjang sumbu Re(z) kita tandai nilai riil x, sepanjang sumbu Im(z) - nilai imajiner y, maka titik z pada bidang akan menampilkan nilai kompleks yang diperlukan.

Definisi:

• Re(z) - sumbu nyata.
• Im(z) - berarti sumbu imajiner.
• z adalah titik kondisional dari bilangan kompleks.
• Nilai numerik panjang vektor dari titik nol sampai z disebut modul.
• Sumbu nyata dan sumbu imajiner membagi bidang menjadi empat bagian. Dengan nilai koordinat positif - seperempat I. Ketika argumen sumbu nyata kurang dari 0, dan sumbu imajiner lebih besar dari 0 - kuartal kedua. Ketika koordinatnya negatif - kuartal III. Yang terakhir, triwulan IV banyak mengandung nilai riil positif dan nilai imajiner negatif.

Jadi, pada bidang dengan nilai koordinat x dan y, Anda selalu dapat menggambarkan secara visual sebuah titik dari bilangan kompleks. Simbol i diperkenalkan untuk memisahkan bagian nyata dari bagian imajiner.

Properti

1. Dengan nilai argumen imajiner nol, kita cukup memperoleh bilangan (z = x), yang terletak pada sumbu real dan termasuk dalam himpunan real.
2. Kasus khusus ketika nilai argumen riil menjadi nol, ekspresi z = i×y sesuai dengan lokasi titik pada sumbu imajiner.
3. Bentuk umum z = x + i×y adalah untuk nilai argumen yang bukan nol. Menunjukkan lokasi titik yang mencirikan bilangan kompleks di salah satu kuarter.

Notasi trigonometri

Mari kita mengingat sistem koordinat kutub dan definisi sin dan cos. Tentunya, dengan menggunakan fungsi-fungsi ini Anda dapat mendeskripsikan lokasi titik mana pun di bidang. Untuk melakukan ini, cukup mengetahui panjang sinar kutub dan sudut kemiringan terhadap sumbu nyata.

Definisi. Notasi berbentuk ∣z ∣ dikalikan dengan jumlah fungsi trigonometri cos(ϴ) dan bagian imajiner i ×sin(ϴ) disebut bilangan kompleks trigonometri. Di sini kita menggunakan notasi sudut kemiringan terhadap sumbu nyata

ϴ = arg(z), dan r = ∣z∣, panjang balok.

Dari pengertian dan sifat-sifat fungsi trigonometri, berikut rumus Moivre yang sangat penting:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Dengan menggunakan rumus ini, akan lebih mudah untuk menyelesaikan banyak sistem persamaan yang mengandung fungsi trigonometri. Apalagi ketika muncul masalah eksponensial.

Modul dan fase

Untuk melengkapi deskripsi himpunan kompleks, kami mengajukan dua definisi penting.

Mengetahui teorema Pythagoras, mudah untuk menghitung panjang sinar dalam sistem koordinat kutub.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), notasi seperti itu dalam ruang kompleks disebut “modulus” dan mencirikan jarak dari 0 ke suatu titik pada bidang.

Sudut kemiringan sinar kompleks terhadap garis nyata ϴ biasa disebut fase.

Dari definisi tersebut jelas bahwa bagian nyata dan bagian imajiner dijelaskan menggunakan fungsi siklik. Yaitu:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × dosa(ϴ);

Sebaliknya fasa mempunyai hubungan dengan nilai aljabar melalui rumus:

ϴ = arctan(x / y) + µ, koreksi µ diperkenalkan untuk memperhitungkan periodisitas fungsi geometri.

rumus Euler

Matematikawan sering menggunakan bentuk eksponensial. Bilangan bidang kompleks dituliskan sebagai ekspresi

z = r × e i × ϴ, yang mengikuti rumus Euler.

Notasi ini telah tersebar luas untuk perhitungan praktis besaran fisis. Bentuk representasi dalam bentuk bilangan kompleks eksponensial sangat cocok untuk perhitungan teknik, dimana ada kebutuhan untuk menghitung rangkaian dengan arus sinusoidal dan perlu diketahui nilai integral fungsi dengan periode tertentu. Perhitungan itu sendiri berfungsi sebagai alat dalam merancang berbagai mesin dan mekanisme.

Mendefinisikan Operasi

Seperti yang telah disebutkan, semua hukum aljabar yang bekerja dengan fungsi matematika dasar berlaku untuk bilangan kompleks.

Operasi penjumlahan

Saat menjumlahkan nilai kompleks, bagian nyata dan imajinernya juga bertambah.

z = z 1 + z 2, dimana z 1 dan z 2 adalah bilangan kompleks berbentuk umum. Mengubah ekspresi, setelah membuka tanda kurung dan menyederhanakan notasi, kita mendapatkan argumen nyata x = (x 1 + x 2), argumen imajiner y = (y 1 + y 2).

Pada grafik terlihat seperti penjumlahan dua vektor, menurut aturan jajar genjang yang terkenal.

Operasi pengurangan

Ini dianggap sebagai kasus penjumlahan khusus, ketika satu bilangan positif, bilangan lainnya negatif, yaitu terletak pada seperempat cermin. Notasi aljabar terlihat seperti perbedaan antara bagian nyata dan bagian imajiner.

z = z 1 - z 2 , atau, dengan mempertimbangkan nilai argumen, mirip dengan operasi penjumlahan, kita memperoleh nilai riil x = (x 1 - x 2) dan nilai imajiner y = (kamu 1 - kamu 2).

Perkalian pada bidang kompleks

Dengan menggunakan aturan untuk mengerjakan polinomial, kita akan memperoleh rumus untuk menyelesaikan bilangan kompleks.

Mengikuti aturan aljabar umum z=z 1 ×z 2, kami mendeskripsikan setiap argumen dan menyajikan argumen serupa. Bagian real dan imajiner dapat dituliskan sebagai berikut:

• x = x 1 × x 2 - kamu 1 × kamu 2,
• kamu = x 1 × kamu 2 + x 2 × kamu 1.

Akan terlihat lebih indah jika kita menggunakan bilangan kompleks eksponensial.

Ekspresinya terlihat seperti ini: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Divisi

Ketika menganggap operasi pembagian sebagai kebalikan dari operasi perkalian, dalam notasi eksponensial kita memperoleh ekspresi sederhana. Membagi nilai z 1 dengan z 2 adalah hasil pembagian modulnya dan beda fasa. Secara formal, jika menggunakan bentuk eksponensial bilangan kompleks, tampilannya seperti ini:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

Dalam bentuk notasi aljabar, operasi pembagian bilangan pada bidang kompleks ditulis sedikit lebih rumit:

Dengan mendeskripsikan argumen dan melakukan transformasi polinomial, mudah untuk mendapatkan nilai x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 , masing-masing y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , namun , dalam ruang yang dijelaskan, ungkapan ini masuk akal jika z 2 ≠ 0.

Mengekstrak akarnya

Semua hal di atas dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi aljabar yang lebih kompleks - menaikkan pangkat apa pun dan kebalikannya - mengekstraksi akar.

Dengan menggunakan konsep umum pangkat n, kita memperoleh definisi:

z n = (r × e saya ϴ) n .

Menggunakan properti umum, kami menulis ulang dalam bentuk:

z n = r n × e saya ϴ n .

Kami telah memperoleh rumus sederhana untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat.

Dari definisi derajat kita memperoleh akibat wajar yang sangat penting. Pangkat genap dari satuan imajiner selalu sama dengan 1. Pangkat ganjil apa pun dari satuan imajiner selalu sama dengan -1.

Sekarang mari kita pelajari fungsi inversnya - mengekstrak akarnya.

Untuk mempermudah notasi, kita ambil n = 2. Akar kuadrat w dari nilai kompleks z pada bidang kompleks C biasanya dianggap sebagai ekspresi z = ±, berlaku untuk argumen real apa pun yang lebih besar dari atau sama dengan nol. Untuk w ≤ 0 tidak ada penyelesaian.

Mari kita lihat persamaan kuadrat paling sederhana z 2 = 1. Dengan menggunakan rumus bilangan kompleks, kita menulis ulang r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Dari catatan jelas bahwa r 2 = 1 dan ϴ = 0, oleh karena itu, kita mempunyai solusi unik yang sama dengan 1. Namun hal ini bertentangan dengan konsep bahwa z = -1, juga sesuai dengan definisi akar kuadrat.

Mari kita cari tahu apa yang tidak kita perhitungkan. Jika kita mengingat notasi trigonometri, kita akan mengembalikan pernyataan - dengan perubahan periodik pada fase ϴ, bilangan kompleks tidak berubah. Mari kita nyatakan nilai periode dengan simbol p, maka yang berlaku adalah sebagai berikut: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), dimana 2ϴ = 0 + p, atau ϴ = p / 2. Oleh karena itu, e i 0 = 1 dan e i p /2 = -1 . Kami memperoleh solusi kedua, yang sesuai dengan pemahaman umum tentang akar kuadrat.

Jadi, untuk mencari akar sembarang dari bilangan kompleks, kita akan mengikuti prosedurnya.

• Mari kita tuliskan bentuk eksponensial w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k adalah bilangan bulat sembarang.
• Kita juga dapat menyatakan bilangan yang diperlukan menggunakan bentuk Euler z = r × e i ϴ .
• Mari kita gunakan definisi umum fungsi ekstraksi akar r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Dari sifat umum persamaan modul dan argumen, kita tulis r n = ∣w∣ dan nϴ = arg (w) + p×k.
• Notasi akhir akar bilangan kompleks dijelaskan dengan rumus z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• Komentar. Nilai ∣w∣, menurut definisi, adalah bilangan real positif, yang berarti akar pangkat apa pun masuk akal.

Lapangan dan sobat

Sebagai kesimpulan, kami memberikan dua definisi penting yang tidak terlalu penting untuk memecahkan masalah terapan dengan bilangan kompleks, namun penting untuk pengembangan lebih lanjut teori matematika.

Ekspresi penjumlahan dan perkalian dikatakan membentuk medan jika memenuhi aksioma untuk setiap elemen bidang kompleks z:

1. Mengubah tempat suku-suku kompleks tidak mengubah jumlah kompleksnya.
2. Pernyataan itu benar - dalam ekspresi kompleks, jumlah dua bilangan apa pun dapat diganti dengan nilainya.
3. Terdapat nilai netral 0 dimana z + 0 = 0 + z = z benar.
4. Untuk setiap z ada kebalikannya - z, penambahannya menghasilkan nol.
5. Ketika faktor kompleks diubah, hasil kali kompleks tidak berubah.
6. Perkalian dua bilangan apa pun dapat diganti dengan nilainya.
7. Ada nilai netral 1, perkaliannya tidak mengubah bilangan kompleks.
8. Untuk setiap z ≠ 0, terdapat nilai invers z -1, yang dikalikan dengan hasil 1.
9. Mengalikan jumlah dua bilangan dengan sepertiga sama dengan mengalikan masing-masing bilangan dengan bilangan ini dan menjumlahkan hasilnya.
10. 0 ≠ 1.

Bilangan z 1 = x + i×y dan z 2 = x - i×y disebut konjugat.

Dalil. Untuk berpasangan, pernyataan berikut ini benar:

• Konjugasi suatu jumlah sama dengan jumlah elemen konjugasinya.
• Konjugat suatu hasil kali sama dengan hasil kali konjugat.
• sama dengan angka itu sendiri.

Dalam aljabar umum, sifat-sifat seperti itu biasa disebut automorfisme medan.

Contoh

Dengan mengikuti aturan dan rumus yang diberikan untuk bilangan kompleks, Anda dapat dengan mudah mengoperasikannya.

Mari kita lihat contoh paling sederhana.

Tugas 1. Dengan menggunakan persamaan 3y +5 x i= 15 - 7i, tentukan x dan y.

Larutan. Mari kita ingat kembali definisi persamaan kompleks, maka 3y = 15, 5x = -7. Oleh karena itu x = -7/5, y = 5.

Tugas 2. Hitung nilai 2+i 28 dan 1+i 135.

Larutan. Jelasnya, 28 adalah bilangan genap, dari akibat wajar dari definisi bilangan kompleks hingga pangkat kita mempunyai i 28 = 1, yang berarti persamaannya adalah 2 + i 28 = 3. Nilai kedua, i 135 = -1, maka 1 + saya 135 = 0.

Tugas 3. Hitung hasil kali nilai 2+5i dan 4+3i.

Larutan. Dari sifat umum perkalian bilangan kompleks diperoleh (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Nilai barunya adalah -7 + 26i.

Tugas 4. Hitung akar-akar persamaan z 3 = -i.

Larutan. Mungkin ada beberapa opsi untuk menemukan bilangan kompleks. Mari kita pertimbangkan salah satu kemungkinannya. Berdasarkan definisi, ∣ - i∣ = 1, fase untuk -i adalah -p / 4. Persamaan awal dapat ditulis ulang menjadi r 3 *ei 3ϴ = e - p/4+ pk, dari mana z = e - p / 12 + pk /3 , untuk bilangan bulat apa pun k.

Himpunan penyelesaiannya berbentuk (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Mengapa bilangan kompleks diperlukan?

Sejarah mengetahui banyak contoh ketika para ilmuwan, ketika mengerjakan suatu teori, bahkan tidak memikirkan penerapan praktis dari hasil mereka. Matematika, pertama-tama, adalah permainan pikiran, ketaatan yang ketat terhadap hubungan sebab-akibat. Hampir semua konstruksi matematika direduksi menjadi penyelesaian persamaan integral dan diferensial, dan persamaan tersebut, pada gilirannya, dengan beberapa perkiraan, diselesaikan dengan mencari akar-akar polinomial. Di sini kita pertama kali menjumpai paradoks bilangan imajiner.

Ilmuwan alam yang ilmiah, memecahkan masalah yang sepenuhnya praktis, menggunakan solusi berbagai persamaan, menemukan paradoks matematika. Penafsiran paradoks ini menghasilkan penemuan yang sangat mengejutkan. Sifat ganda gelombang elektromagnetik adalah salah satu contohnya. Bilangan kompleks memainkan peran yang menentukan dalam memahami sifat-sifatnya.

Hal ini, pada gilirannya, telah diterapkan secara praktis di bidang optik, elektronik radio, energi, dan banyak bidang teknologi lainnya. Contoh lain, fenomena fisik yang jauh lebih sulit dipahami. Antimateri diprediksi ada di ujung pena. Dan hanya beberapa tahun kemudian upaya untuk mensintesisnya secara fisik dimulai.

Kita tidak boleh berpikir bahwa situasi seperti itu hanya ada dalam fisika. Penemuan yang tidak kalah menarik terjadi di alam yang hidup, selama sintesis makromolekul, dan selama studi kecerdasan buatan. Dan semua ini berkat perluasan kesadaran kita, menjauh dari penjumlahan dan pengurangan sederhana besaran-besaran alami.

§1. Bilangan kompleks

1°. Definisi. Notasi aljabar.

Definisi 1. Bilangan kompleks pasangan terurut bilangan real disebut Dan , jika bagi mereka konsep persamaan, operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan, memenuhi aksioma berikut:

1) Dua angka
Dan
sama jika dan hanya jika
,
, yaitu.

2) Jumlah bilangan kompleks
Dan

dan setara
, yaitu.

3) Hasil kali bilangan kompleks
Dan
adalah angka yang dilambangkan dengan
dan setara, yaitu

Himpunan bilangan kompleks dilambangkan C.

Rumus (2), (3) untuk bilangan berbentuk
mengambil formulir

maka dari itu operasi penjumlahan dan perkalian untuk bilangan-bilangan berbentuk
bertepatan dengan penjumlahan dan perkalian bilangan real bentuk bilangan kompleks
diidentifikasi dengan bilangan real .

Bilangan kompleks
ditelepon satuan imajiner dan ditunjuk , yaitu.
Kemudian dari (3)

Dari (2), (3)  yang artinya

Ekspresi (4) disebut notasi aljabar bilangan kompleks.

Dalam notasi aljabar, operasi penjumlahan dan perkalian berbentuk:

Bilangan kompleks dilambangkan dengan
,– bagian nyata, – bagian imajiner, adalah bilangan imajiner murni. Penamaan:
,
.

Definisi 2. Bilangan kompleks
ditelepon mengkonjugasikan dengan bilangan kompleks
.

Sifat konjugasi kompleks.

1)

2)
.

3) Jika
, Itu
.

4)
.

5)
– bilangan real.

Pembuktiannya dilakukan dengan perhitungan langsung.

Definisi 3. Nomor
ditelepon modul bilangan kompleks
dan ditunjuk
.

Jelas sekali
, Dan


. Rumusnya juga jelas:
Dan
.

2°. Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian.

1) Komutatifitas:
,
.

2) Asosiatif :,
.

3) Distribusi: .

Pembuktian 1) – 3) dilakukan dengan perhitungan langsung berdasarkan persamaan sifat bilangan real.

4)
,
.

5) , C ! , memenuhi persamaan
. Ini

6) ,C, 0, ! :
. Ini ditemukan dengan mengalikan persamaan dengan



.

Contoh. Mari kita bayangkan sebuah bilangan kompleks
dalam bentuk aljabar. Caranya, kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan bilangan konjugasi penyebutnya. Kami memiliki:

3°. Interpretasi geometris bilangan kompleks. Bentuk penulisan bilangan kompleks trigonometri dan eksponensial.

Biarkan sistem koordinat persegi panjang ditentukan pada bidang. Kemudian
C Anda dapat mencocokkan suatu titik pada bidang dengan koordinatnya
.(lihat Gambar 1). Tentu saja, korespondensi seperti itu bersifat satu-ke-satu. Dalam hal ini, bilangan real terletak pada sumbu absis, dan bilangan imajiner murni terletak pada sumbu ordinat. Oleh karena itu, sumbu absis disebut sumbu nyata, dan sumbu ordinat − sumbu imajiner. Bidang tempat letak bilangan kompleks disebut bidang kompleks.

Perhatikan itu Dan
simetris terhadap titik asal, dan Dan simetris tentang Sapi.

Setiap bilangan kompleks (yaitu, setiap titik pada bidang) dapat diasosiasikan dengan sebuah vektor yang berawal di titik O dan berakhir di titik tersebut.
. Korespondensi antara vektor dan bilangan kompleks adalah korespondensi satu-satu. Oleh karena itu, vektor berhubungan dengan bilangan kompleks , dilambangkan dengan huruf yang sama

D garis vektor
sesuai dengan bilangan kompleks
, sama
, Dan
,
.

Dengan menggunakan interpretasi vektor, kita dapat melihat bahwa vektor
− jumlah vektor Dan , A
− jumlah vektor Dan
.(lihat Gambar 2). Oleh karena itu, pertidaksamaan berikut ini valid: ,

Seiring dengan panjangnya vektor mari kita perkenalkan sudutnya antar vektor dan sumbu Ox dihitung dari arah positif sumbu Ox: jika penghitungannya berlawanan arah jarum jam maka tanda sudutnya dianggap positif, jika searah jarum jam maka negatif. Sudut ini disebut argumen bilangan kompleks dan ditunjuk
. Sudut tidak ditentukan secara jelas, tetapi dengan presisi
… . Untuk
argumennya tidak didefinisikan.

Rumus (6) mendefinisikan apa yang disebut notasi trigonometri bilangan kompleks.

Dari (5) berikut ini jika
Dan
Itu

Dari (5)
bagaimana Dan bilangan kompleks ditentukan secara unik. Kebalikannya tidak benar: yaitu pada bilangan kompleks modulnya ditemukan secara unik, dan argumennya , berdasarkan (7), − dengan akurat
. Ini juga mengikuti dari (7) argumen itu dapat dicari solusi persamaannya

Namun, tidak semua solusi persamaan ini merupakan solusi (7).

Di antara semua nilai argumen bilangan kompleks, dipilih satu, yang disebut nilai utama argumen dan dilambangkan
. Biasanya nilai utama argumen dipilih dalam interval
, atau dalam interval

Lebih mudah untuk melakukan operasi perkalian dan pembagian dalam bentuk trigonometri.

Teorema 1. Modulus hasil kali bilangan kompleks Dan sama dengan hasil kali modul, dan argumennya adalah jumlah argumennya, mis.

, A .

Juga

,

Bukti. Membiarkan ,. Kemudian dengan perkalian langsung didapat:

Juga

.■

Konsekuensi(rumus Moivre). Untuk
Rumus Moivre valid

P contoh. Mari kita cari letak geometri titik tersebut
. Dari Teorema 1 berikut ini .

Oleh karena itu, untuk membangunnya, Anda harus membangun sebuah titik terlebih dahulu , yang merupakan inversi relatif terhadap lingkaran satuan, lalu temukan titik yang simetris terhadap sumbu Sapi.

Membiarkan
,itu.
Bilangan kompleks
dilambangkan dengan
, yaitu. R Rumus Euler valid

Karena
, Itu
,
. Dari Teorema 1
ada apa dengan fungsinya
Anda dapat bekerja seperti fungsi eksponensial biasa, mis. persamaan adalah sah

,
,
.

Dari (8)
notasi demonstratif bilangan kompleks

, Di mana
,

Contoh. .

4°. Akar pangkat -th dari bilangan kompleks.

Pertimbangkan persamaannya

Membiarkan
, dan solusi persamaan (9) dicari dalam bentuk
. Kemudian (9) mengambil formulir
, dari mana kami menemukannya
,
, yaitu.

,
,
.

Jadi, persamaan (9) mempunyai akar

Mari kita tunjukkan bahwa di antara (10) ada yang tepat akar yang berbeda. Benar-benar,

berbeda, karena argumen mereka berbeda dan kurang berbeda
. Berikutnya,
, Karena
. Juga
.

Jadi, persamaan (9) di
memiliki persisnya akar
, terletak di simpul reguler -segitiga yang tertulis dalam lingkaran berjari-jari dengan pusat di t.O.

Demikian terbukti

Teorema 2. Ekstraksi akar pangkat -th dari bilangan kompleks
Itu selalu mungkin. Semua makna dasar derajat ke- terletak di simpul yang benar -gon tertulis dalam lingkaran dengan pusat nol dan jari-jari
. Pada saat yang sama,

Konsekuensi. Akar -pangkat 1 dinyatakan dengan rumus

.

Hasil kali dua akar dari 1 adalah akar, 1 adalah akar -kekuatan persatuan, akar
:
.

Mari kita mengingat kembali informasi yang diperlukan tentang bilangan kompleks.

Bilangan kompleks adalah ekspresi dari bentuk A + dua, Di mana A, B adalah bilangan real, dan Saya- yang disebut satuan imajiner, simbol yang kuadratnya sama dengan –1, yaitu Saya 2 = –1. Nomor A ditelepon bagian nyata, dan nomornya B - bagian imajiner bilangan kompleks z = A + dua. Jika B= 0, maka sebaliknya A + 0Saya mereka hanya menulis A. Dapat dilihat bahwa bilangan real merupakan kasus khusus dari bilangan kompleks.

Operasi aritmatika pada bilangan kompleks sama dengan bilangan real: dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, dan dibagi. Penjumlahan dan pengurangan terjadi menurut aturan ( A + dua) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)Saya, dan perkalian mengikuti aturan ( A + dua) · ( C + di) = (ac – bd) + (iklan + SM)Saya(di sini digunakan itu Saya 2 = –1). Nomor = A – dua ditelepon konjugat kompleks Ke z = A + dua. Persamaan z · = A 2 + B Gambar 2 memungkinkan Anda memahami cara membagi satu bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lainnya (yang bukan nol):

(Misalnya, .)

Bilangan kompleks memiliki representasi geometris yang mudah digunakan dan visual: bilangan z = A + dua dapat direpresentasikan dengan vektor dengan koordinat ( A; B) pada bidang Kartesius (atau, yang hampir sama, sebuah titik - ujung vektor dengan koordinat ini). Dalam hal ini, jumlah dua bilangan kompleks digambarkan sebagai jumlah dari vektor-vektor yang bersesuaian (yang dapat dicari dengan menggunakan aturan jajaran genjang). Menurut teorema Pythagoras, panjang vektor dengan koordinat ( A; B) sama dengan . Besaran ini disebut modul bilangan kompleks z = A + dua dan dilambangkan dengan | z|. Sudut yang dibuat vektor ini dengan arah positif sumbu x (dihitung berlawanan arah jarum jam) disebut argumen bilangan kompleks z dan dilambangkan dengan Arg z. Argumennya tidak didefinisikan secara unik, tetapi hanya sampai penjumlahan kelipatan 2 π radian (atau 360°, jika dihitung dalam derajat) - lagipula, jelas bahwa rotasi sebesar sudut di sekitar titik asal tidak akan mengubah vektor. Tetapi jika vektor panjangnya R membentuk sudut φ dengan arah sumbu x positif, maka koordinatnya sama dengan ( R karena φ ; R dosa φ ). Dari sini ternyata notasi trigonometri bilangan kompleks: z = |z| · (karena(Arg z) + Saya dosa (Arg z)). Seringkali lebih mudah untuk menulis bilangan kompleks dalam bentuk ini, karena sangat menyederhanakan perhitungan. Mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri sangat sederhana: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (karena(Arg z 1 + Arg z 2) + Saya dosa (Arg z 1 + Arg z 2)) (saat mengalikan dua bilangan kompleks, modulnya dikalikan dan argumennya ditambahkan). Dari sini ikuti rumus Moivre: z n = |z|N· (karena( N· (Arg z)) + Saya dosa( N· (Arg z))). Dengan menggunakan rumus ini, mudah untuk mempelajari cara mengekstrak akar-akar derajat apa pun dari bilangan kompleks. akar ke-n dari z- ini adalah bilangan kompleks w, Apa tidak = z. Hal ini jelas bahwa , dan , dimana k dapat mengambil nilai apa pun dari himpunan (0, 1, ..., N– 1). Artinya selalu ada yang tepat N akar N derajat suatu bilangan kompleks (pada bidang terletak pada titik-titik beraturan N-gon).