10 טריקים לפתרון משוואה ריבועית. עבודת מחקר "10 דרכים לפתור משוואות ריבועיות"

שקופית 1

שקופית 2

שקופית 3

שקופית 4

שקופית 5

שקופית 6

שקופית 7

שקופית 8

שקופית 9

שקופית 10

שקופית 11

שקופית 12

שקופית 13

שקופית 14

שקופית 15

שקופית 16

שקופית 17

בקורס בית הספר למתמטיקה נלמדות נוסחאות השורשים של משוואות ריבועיות, בעזרתן ניתן לפתור כל משוואות ריבועיות. עם זאת, ישנן דרכים אחרות לפתור משוואות ריבועיות המאפשרות לפתור משוואות רבות בצורה מהירה ורציונלית. ישנן עשר דרכים לפתור משוואות ריבועיות. בעבודתי ניתחתי כל אחד מהם בפירוט.

1. שיטה : פקטוריזציה של הצד השמאלי של המשוואה.

בואו נפתור את המשוואה

x 2 + 10x - 24 = 0.

בואו נחלק את הצד השמאלי לגורמים:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

לכן, ניתן לשכתב את המשוואה כך:

(x + 12)(x - 2) = 0

מכיוון שהמוצר הוא אפס, אז לפחות אחד מהגורמים שלו הוא אפס. לכן, הצד השמאלי של המשוואה נעלם בשעה x = 2, כמו גם ב x = - 12. זה אומר שהמספר 2 ו - 12 הם שורשי המשוואה x 2 + 10x - 24 = 0.

2. שיטה : שיטת בחירת ריבוע מלאה.

בואו נפתור את המשוואה x 2 + 6x - 7 = 0.

בוא נבחר ריבוע שלם בצד שמאל.

לשם כך, נכתוב את הביטוי x 2 + 6x בצורה הבאה:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

בביטוי המתקבל, האיבר הראשון הוא הריבוע של המספר x, והשני הוא המכפלה הכפולה של x ב-3. לכן, כדי לקבל את הריבוע המלא, צריך להוסיף 3 2, שכן

x 2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

כעת אנו הופכים את הצד השמאלי של המשוואה

x 2 + 6x - 7 = 0,

מוסיפים לו ומפחיתים 3 2. יש לנו:

x 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

לפיכך, ניתן לכתוב משוואה זו באופן הבא:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

לָכֵן, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, או x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. שיטה :פתרון משוואות ריבועיות לפי נוסחה.

הכפל את שני הצדדים של המשוואה

אה 2+בx + c = 0, a ≠ 0

ב-4a וברצף יש לנו:

4a 2 x 2 + 4aבx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2axב + ב 2 ) - ב 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

דוגמאות.

א)בואו נפתור את המשוואה: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,ב= 7, c = 3,ד = ב 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

ד > 0, שני שורשים שונים;

כך, במקרה של מפלה חיובית, דהיינו. בְּ-

ב 2 - 4 ac >0 , המשוואה אה 2+בx + c = 0יש שני שורשים שונים.

ב)בואו נפתור את המשוואה: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,ב= - 4, c = 1,ד = ב 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

ד = 0, שורש אחד;

לכן, אם המבחין הוא אפס, כלומר. ב 2 - 4 ac = 0 , ואז המשוואה

אה 2+בx + c = 0בעל שורש בודד

V)בואו נפתור את המשוואה: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,ב= 3, c = 4,ד = ב 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , ד < 0.

למשוואה הזו אין שורשים.

לכן, אם המפלה היא שלילית, כלומר. ב 2 - 4 ac < 0 ,

המשוואה אה 2+בx + c = 0אין שורשים.

נוסחה (1) של שורשי המשוואה הריבועית אה 2+בx + c = 0מאפשר לך למצוא את השורשים כל משוואה ריבועית (אם קיימת), כולל מופחתת ולא שלמה. נוסחה (1) מבוטאת באופן מילולי באופן הבא: השורשים של משוואה ריבועית שווים לשבר שהמונה שלו שווה למקדם השני, בסימן הנגדי, בתוספת מינוס השורש הריבועי של הריבוע של מקדם זה בלי להכפיל את המכפלה של המקדם הראשון באיבר החופשי, והמכנה הוא פי שניים מהמקדם הראשון.

4. שיטה: פתרון משוואות באמצעות משפט וייטה.

כידוע, למשוואה הריבועית הנתונה יש את הצורה

x 2+פיקסלים + ג = 0. (1)

שורשיו מספקים את משפט וייטה, אשר, מתי a =1יש את הצורה

איקס 1 + איקס 2 = - ע

מכאן נוכל להסיק את המסקנות הבאות (ניתן לחזות את סימני השורשים מהמקדמים p ו-q).

א) אם מונח הסיכום ששל המשוואה המוקטנת (1) היא חיובית ( ש > 0 ), אז למשוואה יש שני שורשים מאותו סימן וזו הקנאה של המקדם השני ע. אם ר< 0 , אז שני השורשים הם שליליים אם ר< 0 , אז שני השורשים חיוביים.

לדוגמה,

איקס 2 – 3 איקס + 2 = 0; איקס 1 = 2 ו איקס 2 = 1, כי ש = 2 > 0 ו ע = - 3 < 0;

איקס 2 + 8 איקס + 7 = 0; איקס 1 = - 7 ו איקס 2 = - 1, כי ש = 7 > 0 ו ע= 8 > 0.

ב) אם חבר חינם ששל המשוואה המוקטנת (1) היא שלילית ( ש < 0 ), אז למשוואה יש שני שורשים של סימן שונה, והשורש הגדול יותר בערך המוחלט יהיה חיובי אם ע < 0 , או שלילי אם ע > 0 .

לדוגמה,

איקס 2 + 4 איקס – 5 = 0; איקס 1 = - 5 ו איקס 2 = 1, כי ש= - 5 < 0 ו ע = 4 > 0;

איקס 2 – 8 איקס – 9 = 0; איקס 1 = 9 ו איקס 2 = - 1, כי ש = - 9 < 0 ו ע = - 8 < 0.

5. שיטה: פתרון משוואות בשיטת "העברה".

שקול את המשוואה הריבועית

אה 2+בx + c = 0,איפה a ≠ 0.

מכפילים את שני חלקיו ב-a, נקבל את המשוואה

a 2 x 2 + aבx + ac = 0.

לתת אה = י, איפה x = y/a; ואז נגיע למשוואה

y 2+על ידי+ ac = 0,

שווה ערך לזה. השורשים שלו 1ו בְּ-ניתן למצוא את 2 באמצעות משפט Vieta.

סוף סוף אנחנו מקבלים

x 1 \u003d y 1 / aו x 1 \u003d y 2 / a.

בשיטה זו, המקדם אמוכפל במונח החופשי, כאילו "נזרק" אליו, לכן הוא נקרא שיטת העברה. שיטה זו משמשת כאשר ניתן למצוא בקלות את שורשי המשוואה באמצעות משפט Vieta, והכי חשוב, כאשר המבחין הוא ריבוע מדויק.

דוגמא.

בואו נפתור את המשוואה 2x 2 - 11x + 15 = 0.

פִּתָרוֹן.בואו "נעביר" את מקדם 2 למונח החופשי, כתוצאה מכך נקבל את המשוואה

y 2 - 11y + 30 = 0.

לפי משפט וייטה

y 2 = 6איקס 2 = 6/2 איקס 2 = 3.

תשובה: 2.5; 3.

6. שיטה: מאפיינים של המקדמים של משוואה ריבועית.

א. תן את המשוואה הריבועית

אה 2+בx + c = 0,איפה a ≠ 0.

1) אם, a+ב+ c \u003d 0 (כלומר, סכום המקדמים הוא אפס), ואז x 1 \u003d 1,

x 2 \u003d s/a.

הוכחה.נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב- ≠ 0, נקבל את המשוואה הריבועית המוקטנת

איקס 2 + ב/ א איקס + ג/ א = 0.

איקס 1 + איקס 2 = - ב/ א,

איקס 1 איקס 2 = 1 ג/ א.

לפי תנאי א -ב+ c = 0,איפה ב= a + c.לכן,

x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a),

הָהֵן. x 1 = -1ו x 2 =ג/ א, מה שהיינו צריכים להוכיח.

דוגמאות.

1) פתרו את המשוואה 345x 2 - 137x - 208 = 0.

פִּתָרוֹן.כי +ב+ c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),זֶה

x 1 = 1, x 2 =ג/ א = -208/345.

תשובה 1; -208/345.

2) פתרו את המשוואה 132x 2 - 247x + 115 = 0.

פִּתָרוֹן.כי +ב+ c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0),זֶה

x 1 = 1, x 2 =ג/ א = 115/132.

תשובה 1; 115/132.

ב. אם המקדם השני ב = 2 קהוא מספר זוגי, ואז נוסחת השורשים

דוגמא.

בואו נפתור את המשוואה 3x2 - 14x + 16 = 0.

פִּתָרוֹן. יש לנו: a = 3,ב= - 14, c = 16,ק = - 7 ;

ד = ק 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, ד > 0, שני שורשים שונים;

בית ספר תיכון כפרי קופייבסקאיה

10 דרכים לפתור משוואות ריבועיות

ראש: פטריקיבה גלינה אנטולייבנה,

מורה למתמטיקה

s.Kopyevo, 2007

1. היסטוריה של התפתחות משוואות ריבועיות

1.1 משוואות ריבועיות בבבל העתיקה

1.2 כיצד דיופנטוס הרכיב ופתר משוואות ריבועיות

1.3 משוואות ריבועיות בהודו

1.4 משוואות ריבועיות באל-ח'ואריזמי

1.5 משוואות ריבועיות באירופה מאות XIII - XVII

1.6 על משפט וייטה

2. שיטות לפתרון משוואות ריבועיות

סיכום

סִפְרוּת

1. היסטוריה של התפתחות משוואות ריבועיות

1.1 משוואות ריבועיות בבבל העתיקה

הצורך לפתור משוואות לא רק מהמדרגה הראשונה, אלא גם מהדרגה השנייה בימי קדם נגרם מהצורך לפתור בעיות הקשורות במציאת שטחי אדמה ועבודות עפר בעלות אופי צבאי, כמו גם התפתחות האסטרונומיה וה המתמטיקה עצמה. משוואות ריבועיות הצליחו לפתור בערך 2000 לפני הספירה. ה. בבל.

בהחלת סימון אלגברי מודרני, אנו יכולים לומר שבטקסטים שלהם בכתב היתדות יש, בנוסף לאלה שאינם שלמים, משוואות ריבועיות שלמות, למשל:

איקס2 + איקס= ¾; איקס2 - איקס= 14,5

הכלל לפתרון משוואות אלו, המובא בטקסטים הבבליים, תואם בעיקרו את הכלל המודרני, אך לא ידוע כיצד הגיעו הבבלים לכלל זה. כמעט כל הטקסטים בכתב היתדות שנמצאו עד כה נותנים רק בעיות עם פתרונות הנאמרים בצורה של מתכונים, ללא אינדיקציה כיצד הם נמצאו.

למרות רמת ההתפתחות הגבוהה של האלגברה בבבל, אין בכתבי היתדות מושג של מספר שלילי ושיטות כלליות לפתרון משוואות ריבועיות.

1.2 כיצד דיופנטוס הרכיב ופתר משוואות ריבועיות.

האריתמטיקה של דיופנטוס אינה מכילה הסבר שיטתי של אלגברה, אך היא מכילה סדרה שיטתית של בעיות, מלוות בהסברים ונפתרות על ידי ניסוח משוואות בדרגות שונות.

בעת הידור משוואות, דיופאנטוס בוחר במיומנות אלמונים כדי לפשט את הפתרון.

הנה, למשל, אחת המשימות שלו.

משימה 11."מצא שני מספרים בידיעה שהסכום שלהם הוא 20 והמוצר שלהם הוא 96"

דיופנטוס טוען כדלקמן: מתנאי הבעיה נובע שהמספרים הרצויים אינם שווים, שכן אילו היו שווים, אז המכפלה שלהם לא הייתה 96, אלא 100. לפיכך, אחד מהם יהיה יותר ממחציתם. סכום, כלומר. 10+x, השני קטן יותר, כלומר. שנות ה-10. ההבדל ביניהם 2x.

מכאן המשוואה:

(10 + x)(10 - x) = 96

שנות ה-100 2 = 96

איקס 2 - 4 = 0 (1)

מכאן x = 2. אחד המספרים הרצויים הוא 12 , אחר 8 . פִּתָרוֹן x = -2שכן דיופנטוס אינו קיים, שכן המתמטיקה היוונית ידעה רק מספרים חיוביים.

אם נפתור בעיה זו על ידי בחירה באחד מהמספרים הרצויים בתור הלא נודע, אז נגיע לפתרון המשוואה

y(20 - y) = 96,

בְּ-2 - 20 שנים + 96 = 0. (2)

ברור שדיופאנטוס מפשט את הפתרון על ידי בחירת חצי ההפרש של המספרים הרצויים כבלתי ידוע; הוא מצליח לצמצם את הבעיה לפתרון משוואה ריבועית לא שלמה (1).

1.3 משוואות ריבועיות בהודו

בעיות למשוואות ריבועיות נמצאות כבר במסכת האסטרונומית "אריאבהאטם", שחיברה בשנת 499 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום ההודי אריאבהאטה. מדען הודי אחר, ברהמגופטה (המאה השביעית), תיאר את הכלל הכללי לפתרון משוואות ריבועיות המצטמצמות לצורה קנונית אחת:

אה2 + בx = c, a > 0. (1)

במשוואה (1), המקדמים, למעט א, יכול להיות גם שלילי. שלטונו של ברהמגופטה עולה בקנה אחד עם שלטונו.

בהודו העתיקה, תחרויות ציבוריות בפתרון בעיות קשות היו נפוצות. באחד הספרים ההודיים הישנים, נאמר על תחרויות כאלה: "כפי שהשמש תעלה על הכוכבים בזוהר שלה, כך אדם מלומד יעלה על תהילתו של אחר בפגישות פומביות, יציע ויפתור בעיות אלגבריות". משימות היו לרוב לבושות בצורה פואטית.

הנה אחת הבעיות של המתמטיקאי ההודי המפורסם של המאה ה- XII. בהסקרה.

משימה 13.

"להקה עליזה של קופים ושנים עשר בגפנים...

אחרי שאכלתי כוח, היה כיף. הם התחילו לקפוץ, תלויים...

חלק שמיני מהם בריבוע כמה קופים היו שם,

נהנים באחו. אתה אומר לי, בלהקה הזו?

הפתרון של בהסקרה מצביע על כך שהוא ידע על הדו-ערכיות של השורשים של משוואות ריבועיות (איור 3).

המשוואה התואמת לבעיה 13 היא:

(איקס/8) 2 + 12 = איקס

בהסקרה כותב במסווה של:

איקס2 - 64x = -768

וכדי להשלים את הצד השמאלי של המשוואה הזו לריבוע, הוא מוסיף לשני הצדדים 32 2 , מקבל אז:

איקס2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x - 32 = ± 16,

איקס1 = 16, x2 = 48.

1.4 משוואות ריבועיות באל-חורזמי

החיבור האלגברי של אל-חורזמי נותן סיווג של משוואות ליניאריות וריבועיות. המחבר מפרט 6 סוגי משוואות, המבטא אותם באופן הבא:

1) "ריבועים שווים לשורשים", כלומר. אה2 + עם =באיקס.

2) "ריבועים שווים למספר", כלומר. אה2 = ש.

3) "השורשים שווים למספר", כלומר. אה = ש.

4) "ריבועים ומספרים שווים לשורשים", כלומר. אה2 + עם =באיקס.

5) "ריבועים ושורשים שווים למספר", כלומר. אה2 + bx= ש.

6) "שורשים ומספרים שווים לריבועים", כלומר.bx+ c = גרזן2 .

עבור אל-ח'ואריזמי, שנמנע משימוש במספרים שליליים, המונחים של כל אחת מהמשוואות הללו הם חיבורים, לא חיסורים. במקרה זה, משוואות שאין להן פתרונות חיוביים כמובן לא נלקחות בחשבון. המחבר מתאר את השיטות לפתרון משוואות אלו, תוך שימוש בשיטות אל-ג'בר ואל-מוקבלה. ההחלטות שלו, כמובן, אינן תואמות לחלוטין להחלטות שלנו. שלא לדבר על העובדה שהיא רטורית גרידא, יש לציין, למשל, שכאשר פותרים משוואה ריבועית לא שלמה מהסוג הראשון

אל-חורזמי, כמו כל המתמטיקאים לפני המאה ה-17, לא לוקח בחשבון את פתרון האפס, כנראה בגלל שזה לא משנה בבעיות מעשיות ספציפיות. בעת פתרון משוואות ריבועיות שלמות, אל-חורזמי קובע את הכללים לפתרון, ולאחר מכן הוכחות גיאומטריות, תוך שימוש בדוגמאות מספריות מסוימות.

משימה 14."הריבוע והמספר 21 שווים ל-10 שורשים. מצא את השורש" (בהנחה שהשורש של המשוואה x2 + 21 = 10x).

הפתרון של המחבר הולך בערך כך: מחלקים את מספר השורשים לשניים, מקבלים 5, מכפילים 5 בעצמו, מחסירים 21 מהמכפלה, נשאר 4. קח את השורש של 4, אתה מקבל 2. תחסר 2 מ-5, אתה קבל 3, זה יהיה השורש הרצוי. או להוסיף 2 ל-5, מה שייתן 7, זה גם שורש.

מסכת אל-חורזמי הוא הספר הראשון שהגיע אלינו, בו נאמר באופן שיטתי סיווג המשוואות הריבועיות וניתנות נוסחאות לפתרון שלהן.

1.5 משוואות ריבועיות באירופהXIII- XVIIמאות שנים

נוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות על פי המודל של אל-חורזמי באירופה פורסמו לראשונה ב"ספר האבקסיס", שנכתב ב-1202 על ידי המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו פיבונאצ'י. עבודה עשירה זו, המשקפת את השפעת המתמטיקה, הן ארצות האסלאם והן יוון העתיקה, נבדלת בשלמות ובבהירות של המצגת. המחבר פיתח באופן עצמאי כמה דוגמאות אלגבריות חדשות לפתרון בעיות והיה הראשון באירופה שניגש להכנסת מספרים שליליים. ספרו תרם להפצת הידע האלגברי לא רק באיטליה, אלא גם בגרמניה, צרפת ומדינות אחרות באירופה. בעיות רבות מתוך ספר האבקסיס עברו כמעט לכל ספרי הלימוד האירופיים של המאות ה-16-17. ובחלקו XVIII.

PAGE_BREAK--

הכלל הכללי לפתרון משוואות ריבועיות מופחת לצורה קנונית אחת:

איקס2 + bx= עם,

לכל השילובים האפשריים של סימני המקדמים ב, עםנוסחה באירופה רק בשנת 1544 על ידי מ' שטיפל.

ל-Vieta יש גזירה כללית של הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית, אך Vieta זיהה רק שורשים חיוביים. המתמטיקאים האיטלקיים טרטליה, קרדנו, בומבלי היו בין הראשונים במאה ה-16. קח בחשבון, בנוסף שורשים חיוביים ושליליים. רק במאה ה- XVII. הודות לעבודתם של ז'ירארד, דקארט, ניוטון ומדענים אחרים, הדרך לפתור משוואות ריבועיות מקבלת מראה מודרני.

1.6 על משפט וייטה

המשפט המבטא את הקשר בין המקדמים של משוואה ריבועית לשורשיה, הנושא את שמו של וייטה, נוסח על ידו לראשונה בשנת 1591 כך: "אם ב+ דכפול א- א2 , שווים BD, זה אשווים INושווה ד».

כדי להבין את וייטה, צריך לזכור את זה א, כמו כל תנועה, נועדה עבורו את הלא נודע (שלנו איקס), התנועות IN,ד- מקדמים עבור הלא נודע. בשפת האלגברה המודרנית, פירושו של וייטה לעיל הוא: אם

(א +ב)x - x2 = אב,

איקס2 - (+ב)x + aב= 0,

איקס1 = a, x2 = ב.

בהבעת הקשר בין השורשים והמקדמים של המשוואות על ידי נוסחאות כלליות שנכתבו באמצעות סמלים, ויאט קבע אחידות בשיטות פתרון המשוואות. עם זאת, הסמליות של וייטה עדיין רחוקה מצורתה המודרנית. הוא לא זיהה מספרים שליליים, ולכן, בעת פתרון משוואות, הוא שקל רק מקרים שבהם כל השורשים חיוביים.

2. שיטות לפתרון משוואות ריבועיות

משוואות ריבועיות הן הבסיס שעליו נשען המבנה המלכותי של האלגברה. משוואות ריבועיות נמצאות בשימוש נרחב בפתרון משוואות ואי-שוויון טריגונומטריות, אקספוננציאליות, לוגריתמיות, אי-רציונליות וטרנסצנדנטליות. כולנו יודעים לפתור משוואות ריבועיות מבית הספר (כיתה ח') ועד סיום הלימודים.

בקורס בית הספר למתמטיקה נלמדות נוסחאות השורשים של משוואות ריבועיות, בעזרתן ניתן לפתור כל משוואות ריבועיות. עם זאת, ישנן דרכים אחרות לפתור משוואות ריבועיות המאפשרות לפתור משוואות רבות בצורה מהירה ורציונלית. ישנן עשר דרכים לפתור משוואות ריבועיות. בעבודתי ניתחתי כל אחד מהם בפירוט.

1. שיטה : פקטוריזציה של הצד השמאלי של המשוואה.

בואו נפתור את המשוואה

איקס2 + 10x - 24 = 0.

בואו נחלק את הצד השמאלי לגורמים:

איקס2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

לכן, ניתן לשכתב את המשוואה כך:

(x + 12)(x - 2) = 0

מכיוון שהמוצר הוא אפס, אז לפחות אחד מהגורמים שלו הוא אפס. לכן, הצד השמאלי של המשוואה נעלם בשעה x = 2, כמו גם ב x = - 12. זה אומר שהמספר 2 ו - 12 הם שורשי המשוואה איקס2 + 10x - 24 = 0.

2. שיטה : שיטת בחירת ריבוע מלאה.

בואו נפתור את המשוואה איקס2 + 6x - 7 = 0.

בוא נבחר ריבוע שלם בצד שמאל.

לשם כך, נכתוב את הביטוי x2 + 6x בצורה הבאה:

איקס2 + 6x = x2 + 2 x 3.

בביטוי המתקבל, האיבר הראשון הוא הריבוע של המספר x, והשני הוא המכפלה הכפולה של x ב-3. לכן, כדי לקבל את הריבוע המלא, צריך להוסיף 32, שכן

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2 .

כעת אנו הופכים את הצד השמאלי של המשוואה

איקס2 + 6x - 7 = 0,

מוסיפים לו ומחסירים 32. יש לנו:

איקס2 + 6x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 3 2 - 7 = (x + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.

לפיכך, ניתן לכתוב משוואה זו באופן הבא:

(x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16.

לָכֵן, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, או x + 3 = -4, x2 = -7.

3. שיטה :פתרון משוואות ריבועיות לפי נוסחה.

הכפל את שני הצדדים של המשוואה

אה2 + בx + c = 0, a ≠ 0

ב-4a וברצף יש לנו:

4א2 איקס2 + 4אבx + 4ac = 0,

((2 אה)2 + 2axב+ ב2 ) - ב2 + 4 ac= 0,

(2ax+b)2 = ב2 - 4ac,

2ax + b = ± √ ב2 - 4ac,

2ax = - b ± √ ב2 - 4ac,

דוגמאות.

א)בואו נפתור את המשוואה: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,ב= 7, c = 3,ד= ב2 - 4 ac= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

ד> 0, שני שורשים שונים;

כך, במקרה של מפלה חיובית, דהיינו. בְּ-

ב2 - 4 ac>0 , המשוואה אה2 + בx + c = 0יש שני שורשים שונים.

ב)בואו נפתור את המשוואה: 4x2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,ב= - 4, c = 1,ד= ב2 - 4 ac= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

ד= 0, שורש אחד;

לכן, אם המבחין הוא אפס, כלומר. ב2 - 4 ac= 0 , ואז המשוואה

אה2 + בx + c = 0בעל שורש בודד

V)בואו נפתור את המשוואה: 2x2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,ב= 3, c = 4,ד= ב2 - 4 ac= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, ד< 0.

הֶמְשֵׁך
--PAGE_BREAK--

למשוואה הזו אין שורשים.

לכן, אם המפלה היא שלילית, כלומר. ב2 - 4 ac< 0 ,

המשוואה אה2 + בx + c = 0אין שורשים.

נוסחה (1) של שורשי המשוואה הריבועית אה2 + בx + c = 0מאפשר לך למצוא את השורשים כל משוואה ריבועית (אם קיימת), כולל מופחתת ולא שלמה. נוסחה (1) מבוטאת באופן מילולי באופן הבא: השורשים של משוואה ריבועית שווים לשבר שהמונה שלו שווה למקדם השני, בסימן הנגדי, בתוספת מינוס השורש הריבועי של הריבוע של מקדם זה בלי להכפיל את המכפלה של המקדם הראשון באיבר החופשי, והמכנה הוא פי שניים מהמקדם הראשון.

4. שיטה: פתרון משוואות באמצעות משפט וייטה.

כידוע, למשוואה הריבועית הנתונה יש את הצורה

איקס2 + פיקסלים+ ג= 0. (1)

שורשיו מספקים את משפט וייטה, אשר, מתי a =1יש את הצורה

/>איקס1 איקס2 = ש,

איקס1 + איקס2 = - ע

מכאן נוכל להסיק את המסקנות הבאות (ניתן לחזות את סימני השורשים מהמקדמים p ו-q).

א) אם מונח הסיכום ששל המשוואה המוקטנת (1) היא חיובית ( ש> 0 ), אז למשוואה יש שני שורשים מאותו סימן וזו הקנאה של המקדם השני ע. אם ר< 0 , אז שני השורשים הם שליליים אם ר< 0 , אז שני השורשים חיוביים.

לדוגמה,

איקס2 – 3 איקס+ 2 = 0; איקס1 = 2 ו איקס2 = 1, כי ש= 2 > 0 ו ע= - 3 < 0;

איקס2 + 8 איקס+ 7 = 0; איקס1 = - 7 ו איקס2 = - 1, כי ש= 7 > 0 ו ע= 8 > 0.

ב) אם חבר חינם ששל המשוואה המוקטנת (1) היא שלילית ( ש< 0 ), אז למשוואה יש שני שורשים של סימן שונה, והשורש הגדול יותר בערך המוחלט יהיה חיובי אם ע< 0 , או שלילי אם ע> 0 .

לדוגמה,

איקס2 + 4 איקס– 5 = 0; איקס1 = - 5 ו איקס2 = 1, כי ש= - 5 < 0 ו ע= 4 > 0;

איקס2 – 8 איקס– 9 = 0; איקס1 = 9 ו איקס2 = - 1, כי ש= - 9 < 0 ו ע= - 8 < 0.

5. שיטה: פתרון משוואות בשיטת "העברה".

שקול את המשוואה הריבועית

אה2 + בx + c = 0,איפה a ≠ 0.

מכפילים את שני חלקיו ב-a, נקבל את המשוואה

א2 איקס2 + אבx + ac = 0.

לתת אה = י, איפה x = y/a; ואז נגיע למשוואה

בְּ-2 + על ידי+ ac = 0,

שווה ערך לזה. השורשים שלו בְּ-1 ו בְּ-ניתן למצוא את 2 באמצעות משפט Vieta.

סוף סוף אנחנו מקבלים

איקס1 = y1 /או איקס1 = y2 /א.

בשיטה זו, המקדם אמוכפל במונח החופשי, כאילו "נזרק" אליו, לכן הוא נקרא שיטת העברה. שיטה זו משמשת כאשר ניתן למצוא בקלות את שורשי המשוואה באמצעות משפט Vieta, והכי חשוב, כאשר המבחין הוא ריבוע מדויק.

דוגמא.

בואו נפתור את המשוואה 2x2 – 11x + 15 = 0.

פִּתָרוֹן.בואו "נעביר" את מקדם 2 למונח החופשי, כתוצאה מכך נקבל את המשוואה

בְּ-2 – 11y + 30 = 0.

לפי משפט וייטה

/>/>/>/>/>בְּ-1 = 5 x1 = 5/2 איקס1 = 2,5

בְּ-2 = 6 איקס2 = 6/2 איקס2 = 3.

תשובה: 2.5; 3.

6. שיטה: מאפיינים של המקדמים של משוואה ריבועית.

א. תן את המשוואה הריבועית

אה2 + בx + c = 0,איפה a ≠ 0.

1) אם, a+ב+ c = 0 (כלומר סכום המקדמים הוא אפס), ואז x1 = 1,

איקס2 = s/a.

הוכחה.נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב- ≠ 0, נקבל את המשוואה הריבועית המוקטנת

איקס2 + ב/ א איקס+ ג/ א= 0.

/>לפי משפט וייטה

איקס1 + איקס2 = - ב/ א,

איקס1 איקס2 = 1 ג/ א.

לפי תנאי א -ב+ c = 0,איפה ב= a + c.לכן,

/>איקס1 + x2 = - א+ b / a \u003d -1 - c / a,

איקס1 איקס2 = - 1 (-c/a),

הָהֵן. איקס1 = -1 ו איקס2 = ג/ א, מה שהיינו צריכים להוכיח.

דוגמאות.

בואו נפתור את המשוואה 345x2 - 137x - 208 = 0.

פִּתָרוֹן.כי +ב+ c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),זֶה

איקס1 = 1, x2 = ג/ א= -208/345.

תשובה 1; -208/345.

2) פתרו את המשוואה 132x2 – 247x + 115 = 0.

פִּתָרוֹן.כי +ב+ c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0),זֶה

איקס1 = 1, x2 = ג/ א= 115/132.

תשובה 1; 115/132.

ב. אם המקדם השני ב= 2 קהוא מספר זוגי, ואז נוסחת השורשים

הֶמְשֵׁך
--PAGE_BREAK--

דוגמא.

בואו נפתור את המשוואה 3x2 - 14x + 16 = 0.

פִּתָרוֹן. יש לנו: a = 3,ב= - 14, c = 16,ק= - 7 ;

ד= ק2 – ac= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, ד> 0, שני שורשים שונים;

תשובה: 2; 8/3

IN. משוואה מופחתת

איקס2 +px+ש= 0

עולה בקנה אחד עם המשוואה הכללית, שבה a = 1, ב= pו c =ש. לכן, עבור המשוואה הריבועית המופחתת, הנוסחה של השורשים

לוקח את הצורה:

פורמולה (3) נוחה במיוחד לשימוש כאשר ר- מספר זוגי.

דוגמא.בואו נפתור את המשוואה איקס2 – 14x – 15 = 0.

פִּתָרוֹן.יש לנו: איקס1,2 =7±

תשובה: x1 = 15; איקס2 = -1.

7. שיטה: פתרון גרפי של משוואה ריבועית.

אם במשוואה

איקס2 + פיקסלים+ ש= 0

להעביר את האיבר השני והשלישי לצד ימין, אנחנו מקבלים

איקס2 = - פיקסלים- ש.

בואו נבנה גרפי תלות y \u003d x2 ו- y \u003d - px - q.

הגרף של התלות הראשונה הוא פרבולה העוברת דרך המקור. גרף של התלות השנייה -

קו ישר (איור 1). המקרים הבאים אפשריים:

קו ישר ופרבולה יכולים להצטלב בשתי נקודות, האבססיס של נקודות החיתוך הם השורשים של משוואה ריבועית;

הקו והפרבולה יכולים לגעת (רק נקודה משותפת אחת), כלומר. למשוואה יש פתרון אחד;

לקו הישר ולפרבולה אין נקודות משותפות, כלומר. למשוואה ריבועית אין שורשים.

דוגמאות.

1) בואו נפתור את המשוואה בצורה גרפית איקס2 - 3x - 4 = 0(איור 2).

פִּתָרוֹן.נכתוב את המשוואה בטופס איקס2 = 3x + 4.

בואו נבנה פרבולה y = x2 וישיר y = 3x + 4. ישיר

y = 3x + 4ניתן לבנות משתי נקודות M (0; 4)ו

נ(3; 13) . קו ופרבולה מצטלבים בשתי נקודות

או INעם אבשיסה איקס1 = - 1 ו איקס2 = 4 . תשובה : איקס1 = - 1;

איקס2 = 4.

2) בואו נפתור את המשוואה בצורה גרפית (איור 3) איקס2 - 2x + 1 = 0.

פִּתָרוֹן.נכתוב את המשוואה בטופס איקס2 = 2x - 1.

בואו נבנה פרבולה y = x2 וישיר y = 2x - 1.

ישיר y = 2x - 1לבנות על שתי נקודות M (0; - 1)

ו נ(1/2; 0) . קו ופרבולה מצטלבים בנקודה אעם

אבשיסה x = 1. תשובה: x = 1.

3) בואו נפתור את המשוואה בצורה גרפית איקס2 - 2x + 5 = 0(איור 4).

פִּתָרוֹן.נכתוב את המשוואה בטופס איקס2 = 5x - 5. בואו נבנה פרבולה y = x2 וישיר y = 2x - 5. ישיר y = 2x - 5לבנות על שתי נקודות M(0; - 5) ו-N(2.5; 0). לקו הישר ולפרבולה אין נקודות חיתוך, כלומר. למשוואה הזו אין שורשים.

תשובה.המשוואה איקס2 - 2x + 5 = 0אין שורשים.

8. שיטה: פתרון משוואות ריבועיות עם מצפן ויישור.

הדרך הגרפית לפתור משוואות ריבועיות באמצעות פרבולה אינה נוחה. אם בונים פרבולה נקודה אחר נקודה, אז זה לוקח הרבה זמן, ומידת הדיוק של התוצאות המתקבלות נמוכה.

אני מציע את השיטה הבאה למציאת השורשים של משוואה ריבועית אה2 + בx + c = 0באמצעות מצפן וסרגל (איור 5).

נניח שהמעגל הרצוי חוצה את הציר

אבשיסה בנקודות B(x1 ; 0) ו ד(איקס2 ; 0), איפה איקס1 ו איקס2 - שורשי המשוואה אה2 + בx + c = 0, ועובר דרך הנקודות

A(0; 1)ו C(0;ג/ א) על ציר ה-y. ואז, לפי משפט הססקנט, יש לנו OB OD= OA OC, איפה OC= OB OD/ OA= x1 איקס2 / 1 = ג/ א.

מרכז המעגל נמצא בנקודת החיתוך של הניצבים SFו SK, משוחזר בנקודות האמצע של האקורדים ACו BD, בגלל זה

1) לבנות נקודות (מרכז המעגל) ו א(0; 1) ;

2) צייר עיגול עם רדיוס SA;

3) האבססיס של נקודות החיתוך של מעגל זה עם הציר אההם השורשים של המשוואה הריבועית המקורית.

במקרה זה, שלושה מקרים אפשריים.

1) רדיוס המעגל גדול מהאורדינטה של ​​המרכז (כפי ש> SK, אור> א+ ג/2 א) , המעגל חותך את ציר ה-x בשתי נקודות (איור 6, א) B(x1 ; 0) ו ד(איקס2 ; 0) , איפה איקס1 ו איקס2 - שורשי המשוואה הריבועית אה2 + בx + c = 0.

2) רדיוס המעגל שווה לקוסמינטה של ​​המרכז (כפי ש= SB, אור= א+ ג/2 א) , המעגל נוגע בציר השור (איור 6, ב) בנקודה B(x1 ; 0) , כאשר x1 הוא השורש של המשוואה הריבועית.

הֶמְשֵׁך
--PAGE_BREAK--

3) רדיוס המעגל קטן מהאורדינטה של ​​המרכז, למעגל אין נקודות משותפות עם ציר האבססיס (איור 6, ג), במקרה זה אין למשוואה פתרון.

דוגמא.

בואו נפתור את המשוואה איקס2 - 2x - 3 = 0(איור 7).

פִּתָרוֹן.קבע את הקואורדינטות של נקודת מרכז המעגל לפי הנוסחאות:

נצייר עיגול ברדיוס SA, שבו A (0; 1).

תשובה:איקס1 = - 1; איקס2 = 3.

9. שיטה: פתרון משוואות ריבועיות באמצעות נומוגרמה.

זוהי שיטה ישנה ונשכחת שלא בצדק לפתרון משוואות ריבועיות, המוצבת בעמוד 83 (ראה Bradis V.M. טבלאות מתמטיות בעלות ארבע ערכים. - M., Enlightenment, 1990).

טבלה XXII. נומוגרמה לפתרון משוואות ז2 + pz+ ש= 0 . נומוגרמה זו מאפשרת, מבלי לפתור את המשוואה הריבועית, לקבוע את שורשי המשוואה לפי המקדמים שלה.

הסולם העקמומי של הנומוגרמה בנוי לפי הנוסחאות (איור 11):

בהנחה OS = p,ED= ש, OE = א(הכל בס"מ), מהדמיון של משולשים SANו CDFאנחנו מקבלים את הפרופורציה

ומכאן, לאחר החלפות והפשטות, המשוואה הבאה

ז2 + pz+ ש= 0,

והמכתב זפירושו התווית של כל נקודה בסולם המעוקל.

דוגמאות.

1) בשביל המשוואה ז2 - 9 ז+ 8 = 0 נומוגרמה נותנת שורשים

ז1 = 8,0 ו ז2 = 1,0 (איור 12).

2) אנו פותרים את המשוואה באמצעות הנומוגרמה

2 ז2 - 9 ז+ 2 = 0.

נחלק את המקדמים של המשוואה הזו ב-2, נקבל את המשוואה

ז2 - 4,5 ז+ 1 = 0.

נומוגרמה נותנת שורשים ז1 = 4 ו ז2 = 0,5.

3) בשביל המשוואה

ז2 - 25 ז+ 66 = 0

המקדמים p ו-q אינם בקנה מידה, נבצע את ההחלפה ז= 5 ט, נקבל את המשוואה

ט2 - 5 ט+ 2,64 = 0,

שאנו פותרים באמצעות נומוגרמה ומקבלים ט1 = 0,6 ו ט2 = 4,4, איפה ז1 = 5 ט1 = 3,0 ו ז2 = 5 ט2 = 22,0.

10. שיטה: דרך גיאומטרית לפתרון משוואות ריבועיות.

בימי קדם, כאשר הגיאומטריה הייתה מפותחת יותר מאלגברה, משוואות ריבועיות נפתרו לא אלגברית, אלא גיאומטרית. אתן דוגמה שהתפרסמה מה"אלגברה" של אל-ח'ואריזמי.

דוגמאות.

1) פתרו את המשוואה איקס2 + 10x = 39.

במקור, בעיה זו מנוסחת כך: "השורשים הריבועיים והעשרה שווים ל-39" (איור 15).

פִּתָרוֹן.שקול ריבוע עם הצלע x, מלבנים בנויים על הצדדים שלו כך שהצד השני של כל אחד מהם הוא 2.5, לכן, שטח החוף הוא 2.5x. לאחר מכן משלימים את הדמות המתקבלת לריבוע חדש ABCD, תוך השלמת ארבעה ריבועים שווים בפינות, הצד של כל אחד מהם הוא 2.5, והשטח הוא 6.25.

כיכר סכיכר א ב ג דיכול להיות מיוצג כסכום השטחים: הריבוע המקורי איקס2 , ארבעה מלבנים (4 2.5x = 10x)וארבעה ריבועים מצורפים (6,25 4 = 25) , כלומר ס= איקס2 + 10x + 25.מחליפים

איקס2 + פי 10מספר 39 , אנחנו מבינים את זה ס= 39 + 25 = 64 , מכאן נובע שדופן הריבוע א ב ג ד, כלומר קטע קו AB = 8. לצד הרצוי איקסהריבוע המקורי שאנו מקבלים

2) אבל, למשל, איך היוונים הקדמונים פתרו את המשוואה בְּ-2 + 6 שנים - 16 = 0.

פִּתָרוֹןמוצג באיור. 16, איפה

בְּ-2 + 6y = 16, או y2 + 6y + 9 = 16 + 9.

פִּתָרוֹן.ביטויים בְּ-2 + 6 שנים + 9ו 16 + 9 מייצגים גיאומטרי את אותו ריבוע, ואת המשוואה המקורית בְּ-2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0היא אותה משוואה. מאיפה אנחנו מקבלים את זה y + 3 = ± 5,אוֹ בְּ-1 = 2, y2 = - 8 (איור 16).

3) לפתור משוואה גיאומטרית בְּ-2 - 6 שנים - 16 = 0.

שינוי המשוואה, נקבל

בְּ-2 - 6 שנים = 16.

על איור. 17 מצא את ה"תמונות" של הביטוי בְּ-2 - 6u,הָהֵן. משטח של ריבוע עם הצלע y יש להחסיר פי שניים את שטחו של ריבוע עם הצלע שווה ל 3 . אז, אם הביטוי בְּ-2 - 6 שניםלְהוֹסִיף 9 , אז נקבל את השטח של ריבוע עם צד y - 3. החלפת הביטוי בְּ-2 - 6 שניםהמספר השווה שלו 16,

אנחנו מקבלים: (י - 3)2 = 16 + 9, הָהֵן. y - 3 = ± √25, או y - 3 = ± 5, כאשר בְּ-1 = 8 ו בְּ-2 = - 2.

סיכום

משוואות ריבועיות נמצאות בשימוש נרחב בפתרון משוואות ואי-שוויון טריגונומטריות, אקספוננציאליות, לוגריתמיות, אי-רציונליות וטרנסצנדנטליות.

עם זאת, הערך של משוואות ריבועיות טמון לא רק באלגנטיות ובקיצור של פתרון בעיות, אם כי זה מאוד משמעותי. לא פחות חשובה היא העובדה שכתוצאה מהשימוש במשוואות ריבועיות בפתרון בעיות, לעתים קרובות מתגלים פרטים חדשים, ניתן לבצע הכללות מעניינות ולבצע חידודים, המתבקשים מניתוח הנוסחאות והיחסים שהתקבלו.

ברצוני לציין גם שהנושא המוצג בעבודה זו עדיין מעט נחקר כלל, הם פשוט לא עוסקים בו, ולכן הוא טומן בחובו הרבה נסתר ולא ידוע, מה שמספק הזדמנות מצוינת לעבודה נוספת עליו .

כאן התפשרתי על השאלה של פתרון משוואות ריבועיות, ומה,

אם יש דרכים אחרות לפתור אותן?! שוב, למצוא דפוסים יפים, כמה עובדות, הבהרות, לעשות הכללות, לגלות כל דבר חדש וחדש. אבל אלו שאלות לעבודות עתידיות.

לסיכום, אנו יכולים להסיק: משוואות ריבועיות ממלאות תפקיד עצום בהתפתחות המתמטיקה. כולנו יודעים לפתור משוואות ריבועיות מבית הספר (כיתה ח') ועד סיום הלימודים. ידע זה יכול להיות שימושי עבורנו לאורך כל החיים.

מכיוון ששיטות אלו לפתרון משוואות ריבועיות קלות לשימוש, הן בהחלט צריכות לעניין תלמידים שאוהבים מתמטיקה. העבודה שלי מאפשרת להסתכל אחרת על הבעיות שהמתמטיקה מציבה בפנינו.

סִפְרוּת:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. ואח' אלגברה, 6-8. ספר ניסיון לתיכון כיתות ו'-ח'. - מ', חינוך, 1981.

2. Bradis V.M. טבלאות מתמטיות בנות ארבע ספרות לתיכון. אד. מקום 57. - מ', חינוך, 1990. ש' 83.

3. Kruzhepov A.K., Rubanov A.T. ספר בעיות על אלגברה ופונקציות יסודיות. ספר לימוד למוסדות חינוך מיוחדים תיכוניים. - מ', בית ספר גבוה, 1969.

4. אוקונב א.ק. פונקציות ריבועיות, משוואות ואי-שוויון. מדריך למורה. - מ., חינוך, 1972.

5. פרסמן א.א. פתרון משוואה ריבועית עם מצפן ויישור. - M., Kvant, מס' 4/72. ס' 34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. אוסף שאלות ומשימות במתמטיקה. אד. - רביעי, הוסף. - מ', בית ספר תיכון, 1973.

7. חודובין א.י. אוסף בעיות באלגברה ובפונקציות יסודיות. מדריך למורה. אד. 2. - מ., חינוך, 1970.

ביאור

1. שיטה: הפקטורון של הצד השמאלי של המשוואה

2. שיטה: שיטת בחירת ריבוע מלא.

4. שיטה: פתרון משוואות באמצעות משפט Vieta.

5. שיטה: פתרון משוואות בשיטת "העברה".

6. שיטה: מאפיינים של המקדמים של משוואה ריבועית

7. שיטה: פתרון גרפי של משוואה ריבועית

8. שיטה: פתרון משוואות ריבועיות עם מצפן וסרגל.

9. שיטה: פתרון משוואות ריבועיות באמצעות נומוגרמה.

סיכום

טוצ'ילקינה יוליה

עבודת מחקר בנושא "10 דרכים לפתור משוואות ריבועיות"

הורד:

תצוגה מקדימה:

מוסד חינוכי תקציבי עירוני

"בית ספר תיכון מס' 59"

10 דרכים לפתור משוואות ריבועיות

(עבודה מופשטת)

הושלם על ידי: תלמיד כיתה ח'א'

MBOU "בית ספר תיכון מס' 59 של ברנאול

טוצ'ילקינה יוליה

מְפַקֵחַ:

זכרובה לודמילה ולדימירובנה,

מורה למתמטיקה, MBOU "בית ספר תיכון מס' 59"

ברנאול

מבוא ……………………………………………………………...2

I. היסטוריה של התפתחות משוואות ריבועיות ……………………………...3

1. משוואות ריבועיות בבבל העתיקה…………………………………………...4

2. כיצד דיופנטוס הרכיב ופתר משוואות ריבועיות…………………5

3. משוואות ריבועיות בהודו………………………………………………………6

4. משוואות ריבועיות של אל-ח'ואריזמי ……………………………………………….7

5. משוואות ריבועיות באירופה במאות ה-13-17……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………..9

6. על משפט וייטה ………………………………………………………………..…….10

……………………….........11

1. פירוק הצד השמאלי של המשוואה לגורמים……………………………… 12
2. שיטת בחירה בריבוע מלא ………………………….………………………………13
3. פתרון משוואות ריבועיות באמצעות נוסחאות …………………..………14
4. פתרון משוואות באמצעות משפט Vieta…………………..........16

5. פתרון המשוואות בשיטת ההעברה "……………………………….18

1. מאפיינים של המקדמים של משוואה ריבועית………………………….....19

7. פתרון גרפי של המשוואה הריבועית…………………………..……….. 21

8. פתרון משוואות ריבועיות עם מצפן וסרגל……….. 24

9. פתרון משוואות ריבועיות באמצעות נומוגרמה………………. 26

10. שיטה גיאומטרית לפתרון משוואות ריבועיות……………….28

III. סיכום …………………………………………………..........................30

ספרות………………………………………………………………………………….….32

לעתים קרובות יותר שימושי עבור תלמיד אלגברה לפתור את אותה בעיה בשלוש דרכים שונות מאשר לפתור שלוש או ארבע בעיות שונות. על ידי פתרון בעיה אחת בשיטות שונות, ניתן לגלות בהשוואה איזו מהן קצרה ויעילה יותר. כך נוצר ניסיון".

וו. סוייר

1. הקדמה

תורת המשוואות בקורס האלגברה בבית הספר תופסת מקום מוביל. יותר זמן מוקדש ללימודם מאשר לכל נושא אחר בקורס המתמטיקה בבית הספר. זאת בשל העובדה שרוב משימות החיים מסתכמות בפתרון סוגים שונים של משוואות.

בספר האלגברה לכיתה ח', אנו מתוודעים למספר סוגים של משוואות ריבועיות, ופותרים את הפתרון שלהן באמצעות נוסחאות. הייתה לי שאלה "האם יש שיטות אחרות לפתרון משוואות ריבועיות? עד כמה מורכבות השיטות הללו והאם ניתן להשתמש בהן בפועל?" לכן, השנה האקדמית, בחרתי נושא מחקר הקשור למשוואות ריבועיות, במהלך העבודה הוא נקרא "10 דרכים לפתרון משוואות ריבועיות".הרלוונטיות של נושא זההוא שבשיעורי אלגברה, גיאומטריה, פיזיקה, אנו נפגשים לעתים קרובות מאוד עם פתרון של משוואות ריבועיות. לכן, כל תלמיד צריך להיות מסוגל לפתור בצורה נכונה ורציונלית משוואות ריבועיות, זה יכול להועיל לי גם בפתרון בעיות מורכבות יותר, כולל בכיתה ט' בעת מעבר בחינות.

מטרת העבודה: ללמוד כיצד לפתור משוואות ריבועיות, ללמוד שיטות שונות לפתרונן.

בהתבסס על מטרה זו, קבעתי את הדברים הבאיםמשימות:

ללמוד את ההיסטוריה של התפתחות משוואות ריבועיות;

שקול שיטות סטנדרטיות ולא סטנדרטיות לפתרון משוואות ריבועיות;

זהה את הדרכים הנוחות ביותר לפתור משוואות ריבועיות;

למד לפתור משוואות ריבועיות בדרכים שונות.

מושא לימוד: משוואות ריבועיות.

נושא לימוד: עם עזרה פתרונות של משוואות ריבועיות.

שיטות מחקר:

תיאורטי: לימוד ספרות בנושא המחקר;

מידע באינטרנט.

ניתוח: מידע שהושג בחקר הספרות;

התוצאות המתקבלות מפתרון משוואות ריבועיות בדרכים שונות.

השוואה בין שיטות לרציונליות השימוש בהן בפתרון משוואות ריבועיות.

ההיסטוריה של התפתחות משוואות ריבועיות.

1. משוואות ריבועיות בבבל העתיקה.

הצורך לפתור משוואות לא רק מהמדרגה הראשונה, אלא גם מהדרגה השנייה בימי קדם נגרם מהצורך לפתור בעיות הקשורות במציאת שטחי האדמה, עבודות עפר בעלות אופי צבאי, כמו גם התפתחות האסטרונומיה וה המתמטיקה עצמה. משוואות ריבועיות הצליחו לפתור בערך 2000 לפני הספירה. ה. בבל.

בהחלת סימון אלגברי מודרני, אנו יכולים לומר שבטקסטים שלהם בכתב היתדות יש, בנוסף לאלה שאינם שלמים, משוואות ריבועיות שלמות, למשל:

X 2 + X \u003d ¾; X 2 - X \u003d 14.5

הכלל לפתרון משוואות אלו, המובא בטקסטים הבבליים, תואם בעיקרו את הכלל המודרני, אך לא ידוע כיצד הגיעו הבבלים לכלל זה. כמעט כל הטקסטים בכתב היתדות שנמצאו עד כה נותנים רק בעיות עם פתרונות הנאמרים בצורה של מתכונים, ללא אינדיקציה כיצד הם נמצאו.

למרות רמת ההתפתחות הגבוהה של האלגברה בבבל, אין בכתבי היתדות מושג של מספר שלילי ושיטות כלליות לפתרון משוואות ריבועיות.

2. משוואות ריבועיות ביוון, או איך דיופנטוס הרכיב ופתר משוואות ריבועיות.

האריתמטיקה של דיופנטוס אינה מכילה הסבר שיטתי של אלגברה, אך היא מכילה סדרה שיטתית של בעיות, מלוות בהסברים ונפתרות על ידי ניסוח משוואות בדרגות שונות.

בעת הידור משוואות, דיופאנטוס בוחר במיומנות אלמונים כדי לפשט את הפתרון.

הנה, למשל, אחת המשימות שלו.

משימה 11. "מצא שני מספרים בידיעה שהסכום שלהם הוא 20 והמוצר שלהם הוא 96"

דיופנטוס טוען כדלקמן: מתנאי הבעיה נובע שהמספרים הרצויים אינם שווים, שכן אילו היו שווים, אז המכפלה שלהם לא הייתה 96, אלא 100. לפיכך, אחד מהם יהיה יותר ממחציתם. סכום, כלומר. 10+x , השני קטן יותר, כלומר.שנות ה-10 . ההבדל ביניהם 2x.

מכאן המשוואה:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

לפיכך x = 2 . אחד המספרים הרצויים הוא 12, אחרים 8. פתרון x = -2 שכן דיופנטוס אינו קיים, שכן המתמטיקה היוונית ידעה רק מספרים חיוביים.

אם נפתור בעיה זו על ידי בחירה באחד מהמספרים הרצויים בתור הלא נודע, אז נגיע לפתרון המשוואה

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ברור שדיופאנטוס מפשט את הפתרון על ידי בחירת חצי ההפרש של המספרים הרצויים כבלתי ידוע; הוא מצליח לצמצם את הבעיה לפתרון משוואה ריבועית לא שלמה (1).

3. משוואות ריבועיות בהודו.

בעיות במשוואות ריבועיות נמצאות במסך האסטרונומי "אריאבהאטם", שחיבר בשנת 499 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום ההודי אריאבהאטה. מדען הודי אחר, ברהמגופטה (המאה השביעית), תיאר את הכלל הכללי לפתרון משוואות ריבועיות המצטמצמות לצורה קנונית אחת: ax 2 + bx = c, a > 0. (1)

במשוואה (1), המקדמים, למעטא , יכול להיות גם שלילי. שלטונו של ברהמגופטה עולה בקנה אחד עם שלטונו. בהודו העתיקה, תחרויות ציבוריות בפתרון בעיות קשות היו נפוצות. באחד הספרים ההודיים הישנים, נאמר על תחרויות כאלה: "כפי שהשמש תעלה על הכוכבים בזוהר שלה, כך אדם מלומד יעלה על תהילתו של אחר בפגישות פומביות, יציע ויפתור בעיות אלגבריות". משימות היו לרוב לבושות בצורה פואטית.

הנה אחת הבעיות של המתמטיקאי ההודי המפורסם של המאה ה- XII. בהסקרה.

מְשִׁימָה.

"להקה עליזה של קופים ושנים עשר בגפנים...

אחרי שאכלתי כוח, היה כיף. הם התחילו לקפוץ, תלויים...

חלק שמיני מהם בריבוע כמה קופים היו שם,

נהנים באחו. אתה אומר לי, בלהקה הזו?

הפתרון של בהסקרה מצביע על כך שהוא ידע על הדו-ערכיות של השורשים של משוואות ריבועיות (איור 1).

המשוואה המתאימה לבעיה היא:

(x/8) 2 + 12 = x

בהסקרה כותב במסווה של: x 2 - 64x = -768

וכן, כדי להשלים את הצד השמאלי של זה

משוואות לריבוע, הוסף לשני הצדדים 32 2, ואז מקבל: x 2 - 64x + 32 2 \u003d -768 + 1024, איור 1

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

4. משוואות ריבועיות באל-חורזמי.

החיבור האלגברי של אל-חורזמי נותן סיווג של משוואות ליניאריות וריבועיות. המחבר מפרט 6 סוגי משוואות, המבטא אותם באופן הבא:

1) "ריבועים שווים לשורשים", כלומר. אה 2 + c = bx.

2) "ריבועים שווים למספר", כלומר. אה 2 = s.

3) "השורשים שווים למספר", כלומר. אה = ש.

4) "ריבועים ומספרים שווים לשורשים", כלומר. אה 2 + c = bx.

5) "ריבועים ושורשים שווים למספר", כלומר. אה 2 + bx = c.

6) "שורשים ומספרים שווים לריבועים", כלומר. bx + c = ax 2 .

עבור אל-ח'ואריזמי, שנמנע משימוש במספרים שליליים, המונחים של כל אחת מהמשוואות הללו הם חיבורים, לא חיסורים. במקרה זה, משוואות שאין להן פתרונות חיוביים כמובן לא נלקחות בחשבון. המחבר מתאר את השיטות לפתרון משוואות אלו, תוך שימוש בשיטות אל-ג'בר ואל-מוקבלה. הפתרון שלו, כמובן, אינו תואם לחלוטין את הפתרון המודרני. שלא לדבר על העובדה שזה רטורי בלבד, יש לציין, למשל, שכאשר פותרים משוואה ריבועית לא שלמה מהסוג הראשון, אל-ח'ואריזמי, כמו כל המתמטיקאים לפני המאה ה-17, לא לוקח בחשבון את האפס. פתרון, כנראה בגלל שבמשימות מעשיות ספציפיות, זה לא משנה. בעת פתרון משוואות ריבועיות שלמות, אל-חורזמי קובע את הכללים לפתרון, ולאחר מכן הוכחות גיאומטריות, תוך שימוש בדוגמאות מספריות מסוימות.

מְשִׁימָה. "הריבוע והמספר 21 שווים ל-10 שורשים. מצא את השורש"

(בהנחה שהשורש של המשוואה x 2 + 21 = 10x).

הפתרון של המחבר הולך בערך כך: מחלקים את מספר השורשים לשניים, מקבלים 5, מכפילים 5 בעצמו, מחסירים 21 מהמכפלה, נשאר 4. קח את השורש של 4, אתה מקבל 2. תחסר 2 מ-5, אתה קבל 3, זה יהיה השורש הרצוי. או להוסיף 2 ל-5, מה שייתן 7, זה גם שורש.

מסכת אל-חורזמי הוא הספר הראשון שהגיע אלינו, בו נאמר באופן שיטתי סיווג המשוואות הריבועיות וניתנות נוסחאות לפתרון שלהן.

5. משוואות ריבועיות באירופה מאות XIII - XVII.

נוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות על פי המודל של אל-חורזמי באירופה פורסמו לראשונה ב"ספר האבקסיס", שנכתב ב-1202 על ידי המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו פיבונאצ'י. עבודה עשירה זו, המשקפת את השפעת המתמטיקה, הן ארצות האסלאם והן יוון העתיקה, נבדלת בשלמות ובבהירות של המצגת. המחבר פיתח באופן עצמאי כמה דוגמאות אלגבריות חדשות לפתרון בעיות והיה הראשון באירופה שניגש להכנסת מספרים שליליים. ספרו תרם להפצת הידע האלגברי לא רק באיטליה, אלא גם בגרמניה, צרפת ומדינות אחרות באירופה. בעיות רבות מתוך ספר האבקסיס עברו כמעט לכל ספרי הלימוד האירופיים של המאות ה-16-17. ובחלקו XVIII.

הכלל הכללי לפתרון משוואות ריבועיות מופחת לצורה קנונית אחת: x 2 + bx \u003d c,

לכל השילובים האפשריים של סימני המקדמיםב, ג נוסחה באירופה רק בשנת 1544 על ידי מ' שטיפל.

ל-Vieta יש גזירה כללית של הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית, אך Vieta זיהה רק שורשים חיוביים. המתמטיקאים האיטלקיים טרטליה, קרדנו, בומבלי היו בין הראשונים במאה ה-16. קח בחשבון, בנוסף שורשים חיוביים ושליליים. רק במאה ה- XVII. הודות לעבודתם של ז'ירארד, דקארט, ניוטון ומדענים אחרים, הדרך לפתור משוואות ריבועיות מקבלת מראה מודרני.

6. על משפט וייטה.

המשפט המבטא את הקשר בין המקדמים של משוואה ריבועית לשורשיה, הנושא את שמו של וייטה, נוסח על ידו לראשונה בשנת 1591 כך: "אם B + D כפול A - A 2 שווה BD, ואז A שווה B ושווה D ".

כדי להבין את וייטה, צריך לזכור את זהא , כמו כל תנועה, נועדה עבורו את הלא נודע (שלנו x ), תנועות ב, ד - מקדמים עבור הלא נודע. בשפת האלגברה המודרנית, פירושו של וייטה לעיל הוא: אם

(a + b) x - x 2 \u003d ab, כלומר.

x 2 - (a + b) x + ab \u003d 0, אם כן

x 1 = a, x 2 = b.

בהבעת הקשר בין השורשים והמקדמים של המשוואות על ידי נוסחאות כלליות שנכתבו באמצעות סמלים, ויאט קבע אחידות בשיטות פתרון המשוואות. עם זאת, הסמליות של וייטה עדיין רחוקה מצורתה המודרנית. הוא לא זיהה מספרים שליליים, ולכן, בעת פתרון משוואות, הוא שקל רק מקרים שבהם כל השורשים חיוביים.

II. דרכים לפתרון משוואות ריבועיות

משוואות ריבועיות הן הבסיס שעליו נשען המבנה המלכותי של האלגברה. משוואות ריבועיות נמצאות בשימוש נרחב בפתרון משוואות ואי-שוויון טריגונומטריות, אקספוננציאליות, לוגריתמיות, אי-רציונליות וטרנסצנדנטליות.בעיות מעשיות רבות נפתרות בעזרתן. לדוגמה, משוואה ריבועית מאפשרת לחשב את מרחק העצירה של מכונית, את כוחה של רקטה להכניס חללית למסלול, את המסלולים של עצמים פיזיקליים שונים - מחלקיקים יסודיים ועד כוכבים.

בבית הספר לומדים את נוסחאות השורשים של משוואות ריבועיות, בעזרתן ניתן לפתור כל משוואות ריבועיות. עם זאת, ישנן דרכים אחרות לפתור משוואות ריבועיות המאפשרות לפתור משוואות ריבועיות במהירות וברציונליות רבה. בספרות המתמטית מצאתי עשר דרכים לפתור משוואות ריבועיות, ובעבודתי ניתחתי כל אחת מהן

הגדרה 1. משוואה ריבועית היא משוואה של הצורה ax 2 + bx + c \u003d 0, כאשר המקדמים a, b, c הם מספרים ממשיים, a ≠ 0.

הגדרה 2. משוואה ריבועית שלמה היא משוואה ריבועית שבה כל שלושת האיברים נמצאים כלומר. המקדמים in ו-c אינם אפס.

משוואה ריבועית לא שלמה היא משוואה שבה לפחות אחד מהמקדמים ב- or, c שווה לאפס.

הגדרה 3. שורש המשוואה הריבועית 2 + inx + c \u003d 0 נקרא כל ערך של המשתנה x, שעבורו הציר הטרינומי הריבועי 2 + ב + c נעלם.

הגדרה 4. פתרון משוואה ריבועית פירושו למצוא את כולה

שורשים או לקבוע שאין שורשים.

1. פקטוריזציה של הצד השמאלי של המשוואה.

בואו נפתור את המשוואה x 2 + 10x - 24 = 0.

בואו נחלק את הצד השמאלי לגורמים:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

לכן, ניתן לשכתב את המשוואה כך:

(x + 12)(x - 2) = 0

מכפלה של גורמים היא אפס אם לפחות אחד מהגורמים שלו הוא אפס.

x + 12= 0 או x - 2=0

x=-12 x=2

תשובה: -12; 2.

1. שיטת בחירת ריבוע מלאה.

בואו נפתור את המשוואה x 2 + 6x - 7 = 0.

בוא נבחר ריבוע שלם בצד שמאל:

x 2 + 6x - 7 \u003d x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16.

אז ניתן לכתוב את המשוואה הזו כך:

(x + 3) 2 - 16 \u003d 0,

(x + 3) 2 = 16.

x + 3=4 או x + 3 = -4

X 1 = 1 x 2 = -7

תשובה 1; -7.

1. פתרון משוואות ריבועיות באמצעות נוסחאות.

הכפל את שני הצדדים של המשוואה ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 ב-4a, ואז

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac \u003d 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

1. כך, במקרה של מפלה חיובית, דהיינו. בְּ- b 2 - 4ac > 0, משוואה ax 2 + bx + c \u003d 0 יש שני שורשים שונים.

2. אם המבחין הוא אפס, כלומר. b 2 - 4ac = 0 , אז למשוואה יש שורש אחד.

3. אם המבחין שלילי, כלומר.ב 2 - 4ac, משוואה ax 2 + bx + c = 0 אין שורשים.

נוסחה (1) של שורשי המשוואה הריבועית ax 2 + bx + c = 0 מאפשר לך למצוא את השורשיםכל משוואה ריבועית (אם קיימת), כולל מופחתת ולא שלמה. נוסחה (1) מבוטאת באופן מילולי באופן הבא:השורשים של משוואה ריבועית שווים לשבר שהמונה שלו שווה למקדם השני, בסימן הנגדי, בתוספת מינוס השורש הריבועי של הריבוע של מקדם זה בלי להכפיל את המכפלה של המקדם הראשון באיבר החופשי, והמכנה הוא פי שניים מהמקדם הראשון.

דוגמאות.

א) בואו נפתור את המשוואה:

4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 7 2 - 4 4 3 \u003d 49 - 48 \u003d 1, D\u003e 0,

תשובה 1; .

ב) בואו נפתור את המשוואה:

4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1,

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-4) 2 - 4 4 1 \u003d 16 - 16 \u003d 0, D \u003d 0, למשוואה יש שורש אחד;

תשובה:

V) בואו נפתור את המשוואה: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D

למשוואה הזו אין שורשים.

תשובה: אין שורשים.

1. פתרון משוואות באמצעות משפט וייטה.

ראוי לשיר בפסוק

על תכונות השורשים, משפט וייטה.

משוואה ריבועית מופחתתנקרא משוואה של הצורה(1) כאשר המקדם המוביל שווה לאחד.

ניתן למצוא את השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה באמצעות הנוסחה הבאה:

אתה יכול לשנן נוסחה זו על ידי שינון החרוז הבא.

P עם סימן היפוך

נחלק את זה ב-2

ומהשורש חותמים בצורה מסודרתנפרד,

ומתחת לשורש זה מאוד שימושי

חצי ריבוע,

מִינוּס - והנה הפתרון למשוואה הקטנה.

למשוואה ריבועיתלצמצם את הצורה המופחתת, אתה צריך לחלק את כל החברים שלה לתוךא, , לאחר מכן

ראוי לשיר בפסוק
על תכונות השורשים, משפט וייטה.
מה עדיף, נניח, הקביעות של זה:
אתה מכפיל את השורשים - והשבר מוכן:
במונה c, במכנה a,
וגם סכום השורשים הוא שבר.
אם כי עם מינוס השבר הזה, איזו בעיה -
במונה b, במכנה א.

אם אנו מייעדים , אז נקבל משוואה של הצורה. והנוסחאות () יקבלו את הצורה

לכן: סכום השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה שווה למקדם השני, בסימן ההפוך, ומכפלת השורשים שווה לאיבר החופשי.

המקדמים p ו-q יכולים לחזות את סימני השורשים.

א) אם האיבר המסכם q של המשוואה לעיל (1) הוא חיובי (q > 0), אז למשוואה יש שני שורשים מאותו סימן וזו הקנאה של המקדם השני:

אם ר , אז שני השורשים חיוביים;

אם p > 0 , אז שני השורשים הם שליליים.

לדוגמה,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2 ו-x 2 = 1, שכן q = 2 > 0 ו-p = - 3

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 ו-x 2 = - 1, שכן q = 7 > 0 ו-p = 8 > 0.

ב) אם האיבר החופשי q של המשוואה לעיל (1) הוא שלילי (q 0 .

לדוגמה,

x 2 - 8x - 9 \u003d 0; x 1 \u003d 9 ו-x 2 \u003d - 1, מאז q \u003d - 9 ו-p = - 8

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 \u003d - 5 ו-x 2 \u003d 1, מאז q \u003d - 5 ו-p = 4 > 0.

1. פתרון משוואות בשיטת "העברה".

שקול את המשוואה הריבועית

מכפילים את שני חלקיו ב-a, נקבל את המשוואה a 2 x 2 + abx + ac = 0.

תן ax \u003d y, משם x \u003d y / a ; ואז נגיע למשוואה y 2 + by + ac = 0,

שווה ערך לזה.

השורשים שלו הם 1 ו-2 אנו מוצאים בעזרת משפט וייטה ולבסוף:

x 1 = y 1 /a ו-x 1 = y 2 /a.

בשיטה זו, המקדםא מוכפל במונח החופשי, כאילו "נזרק" אליו, לכן הוא נקראשיטת העברה. שיטה זו משמשת כאשר ניתן למצוא בקלות את שורשי המשוואה באמצעות משפט Vieta, והכי חשוב, כאשר המבחין הוא ריבוע מדויק.

דוגמא.

בואו נפתור את המשוואה 2x 2 - 11x + 15 = 0.

פִּתָרוֹן. בואו "נעביר" את מקדם 2 למונח החופשי, כתוצאה מכך נקבל את המשוואה

y 2 - 11y + 30 = 0.

לפי משפט וייטה

Y 1 \u003d 5, x 1 \u003d 5/2, x 1 \u003d 2.5

Y 2 = 6; x 2 \u003d 6/2; x 2 = 3.

תשובה: 2.5; 3.

1. מאפיינים של המקדמים של משוואה ריבועית.

1. תינתן משוואה ריבועית ax 2 + bx + c \u003d 0, כאשר a ≠ 0.

1. אם, a + b + c \u003d 0 (כלומר סכום המקדמים הוא אפס),

ואז x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

1. אם a - b + c \u003d 0, אז x 2 \u003d -1, x 2 \u003d -s / a

דוגמאות.

1. א. פתרו את המשוואה 345x 2 - 137x - 208 = 0.

פִּתָרוֹן. כי a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),זֶה

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

תשובה 1; -208/345.

ב. פתרו את המשוואה 132x 2 - 247x + 115 = 0.

פִּתָרוֹן. כי a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0),זֶה

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132.

תשובה 1; 115/132.

2) נפתור את המשוואה פי 2 2 + 3x + 1 \u003d 0. מאז 2 - 3 + 1 \u003d 0, ואז x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d -c / a \u003d -1/2

תשובה: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -1/2.

שיטה זו נוחה ליישום על משוואות ריבועיות בעלות מקדמים גדולים.

2. אם המקדם השני של המשוואה b = 2k הוא מספר זוגי, ואז נוסחת השורשיםניתן לכתוב בטופס

דוגמא.

בואו נפתור את המשוואה 3x 2 - 14x + 16 = 0.

פתרון. יש לנו: a = 3, b = - 14 (k = -7), c = 16,

D 1 \u003d k 2 - ac \u003d (- 7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1, D 1\u003e 0, למשוואה שני שורשים שונים;

תשובה: 2; 8/3

משוואה מופחתת x 2 + px + q \u003d 0 עולה בקנה אחד עם המשוואה הכללית, שבה a = 1, b = p ו-c = q . לכן, עבור המשוואה הריבועית המופחתת, הנוסחה של השורשים מקבלת את הצורה

הנוסחה () נוחה לשימוש כאשר p הוא מספר זוגי.

דוגמא. בואו נפתור את המשוואה x 2 - 14x - 15 = 0.

פִּתָרוֹן. יש לנו a=1, b=-14, (k=-7), c=-15.

x 1.2 \u003d 7 ± =7 ± ,

x 1.2 = 15; x 2 \u003d -1.

תשובה: x 1 = 15; x 2 \u003d -1.

7.פתרון גרפי של משוואה ריבועית.

ו בעזרת ידע של פונקציות ריבועיות וליניאריות והגרפים שלהן, ניתן לפתור את המשוואה הריבועית עם מה שנקראשיטה פונקציונלית-גרפית.יתר על כן, ניתן לפתור כמה משוואות ריבועיות בדרכים שונות, שקול את השיטות הללו באמצעות הדוגמה של משוואה ריבועית אחת.

דוגמא. פתור את המשוואה=0

1 כיוון . בואו נשרטט את הפונקציהבאמצעות האלגוריתם.

1) יש לנו:

מכאן שקודקוד הפרבולה הוא הנקודה (1;-4), וציר הפרבולה הוא הישר x=1

2) קח שתי נקודות על ציר x, סימטריות על ציר הפרבולה, למשל, נקודות באיור 2

X= -1 ו-x=3, ואז f(-1)=f(3)=0.

3) דרך הנקודות (-1; 0), (1; -4), (3; 0) אנו מציירים פרבולה (איור 2).

שורשי המשוואההם האבססיס של נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x; אז שורשי המשוואה

2 כיוונים

בואו נהפוך את המשוואה לצורה.

ו (איור 3).

הם מצטלבים בשתי נקודות A(-1;1) ו-B(3;9). שורשי המשוואה הם האבססיס של נקודות A ו-B, כלומר.

איור 3

3 כיוונים

אנו הופכים את המשוואות לצורה.

הבה נבנה גרפים של פונקציות במערכת קואורדינטות אחתו (איור 4) הם מצטלבים בשתי נקודות A(-1;-2) ו-B (3;6). שורשי המשוואה הם האבססיס של נקודות A ו-B, לפיכך.

איור.4

4 כיוונים

אז בואו נהפוך את המשוואה לצורההָהֵן.

אנו בונים פרבולה במערכת קואורדינטות אחתוישיר . הם מצטלבים בנקודות A(-1;4) ו-B(3;4). שורשי המשוואות הם האבססיס של נקודות A ו-B, לפיכך(איור 5).

איור.5

5 כיוונים

נחלק איבר אחר איבר את שני חלקי המשוואה ב-x, נקבל:

;

.

איור 6

אנו בונים היפרבולה במערכת קואורדינטות אחתוישיר (איור 6). הם מצטלבים בשתי נקודות A(-1;-3) ו-B(3;1). שורשי המשוואות הם האבססיס של נקודות A ו-B, לכן,.

ארבע השיטות הראשונות חלות על כל משוואות הצורה

אה 2 + bx + c = 0, והחמישי - רק לאלו שעבורם c אינו שווה לאפס.

שיטות גרפיות לפתרון משוואות ריבועיות הן יפות, אבל הן אינן נותנות ערובה של 100% לפתרון משוואה ריבועית כלשהי.

8. פתרון משוואות ריבועיות עם מצפן ו

שליטים.

אני מציע את השיטה הבאה למציאת השורשים של משוואה ריבועית ax 2 + bx + c = 0 באמצעות מצפן וסרגל (איור 7).

נניח שהמעגל הרצוי חוצה את הציר

אבשיסה בנקודות B (x 1; 0) ו-D (x 2; 0), כאשר x 1 ו-x 2 - שורשי המשוואה ax 2 + bx + c = 0 , ועובר דרך הנקודות

A(0; 1) ו-C(0; c/a) על ציר ה-y. ואז, לפי משפט הססקנט, יש לנו OB OD \u003d OA OC, משם OC \u003d OB OD / OA \u003d x 1 x 2 / 1 \u003d c / a.

מרכז המעגל נמצא בנקודת החיתוך של הניצבים SF ו-SK , משוחזר בנקודות האמצע של האקורדים AC ו-BD כך

כך:

1) לבנות נקודות (מרכז המעגל) ו A(0; 1);

2) צייר עיגול עם רדיוס SA;

3) האבססיס של נקודות החיתוך של מעגל זה עם הציראה הם השורשים של המשוואה הריבועית המקורית.

במקרה זה, שלושה מקרים אפשריים.

1) רדיוס המעגל גדול מהאורדינטה של ​​המרכז(AS > SK, או R > a + c/2a), המעגל חותך את ציר ה-x בשתי נקודות (איור 8א) B (x 1; 0) ו-D (x 2; 0), כאשר x 1 ו-x 2 - שורשי המשוואה הריבועית ax 2 + bx + c \u003d 0.

2) רדיוס המעגל שווה לקוסמינטה של ​​המרכז(AS = SB, או R = a + c/2a), המעגל נוגע בציר השור (איור 8b) בנקודה B (x 1; 0), כאשר x 1 הוא השורש של המשוואה הריבועית.

3) רדיוס המעגל קטן מהאורדינטה של ​​המרכז

למעגל אין נקודות משותפות עם ציר האבססיס (איור 8c), במקרה זה אין למשוואה פתרון.

איור.8

א ב ג)

דוגמא.

בואו נפתור את המשוואה x 2 - 2x - 3 = 0 (איור 9).

פִּתָרוֹן. קבע את הקואורדינטות של נקודת מרכז המעגל לפי הנוסחאות:

נצייר עיגול ברדיוס SA, שבו A (0; 1).

תשובה: x 1 \u003d - 1; x 2 = 3.

9. פתרון משוואות ריבועיות עם

נומוגרמות.

זוהי שיטה ישנה ונשכחת כיום לפתרון משוואות ריבועיות, המוצבת בעמ' 83 של האוסף: Bradis V.M. טבלאות מתמטיות בנות ארבע ספרות. - מ., חינוך, 1990.

טבלה XXII. נומוגרמה לפתרון משוואותז 2 + pz + q = 0. נומוגרמה זו מאפשרת, מבלי לפתור את המשוואה הריבועית, לפי המקדם שלה

למצוא את שורשי המשוואה.

קנה המידה העקמומי של הנומוגרמה בנוי

לפי הנוסחאות (איור 10):

בהנחהOS = p, ED = q, OE = a(הכל בס"מ), מ

קווי דמיון משולשיםSANוCDFאנחנו מקבלים

פּרוֹפּוֹרצִיָה

ומכאן, לאחר החלפות והפשטות, המשוואה הבאה

ז2 + pz + q = 0,

והמכתבזפירושו התווית של כל נקודה בסולם המעוקל.

דוגמאות.

1) בשביל המשוואהז2 - 9z + 8 = 0נומוגרמה נותנת שורשיםז1 = 8,0 וז2 = 1,0 (איור 11).

תשובה:8,0 ; 1,0.

2) בואו נפתור עםנומוגרמותהמשוואה

2z2 - 9z + 2 = 0.

מחלקים את המקדמים של המשוואה ב-2,

אנחנו מקבלים את המשוואהז2 - 4.5z + 1 = 0.

נומוגרמה נותנת שורשיםז1 = 4 וז2 = 0,5.

תשובה: 4; 0.5.

3) בשביל המשוואהז2 - 25z + 66 = 0המקדמים p ו-q אינם בקנה מידה, נבצע את ההחלפהz=5t, נקבל את המשוואהט2 - 5t + 2.64 = 0,

שאנו פותרים באמצעות נומוגרמה ומקבליםט1 = 0,6 וט2 = 4,4, איפהז1 = 5ט1 = 3,0 וז2 = 5ט2 = 22,0.

תשובה: 3; 22.

10. דרך גיאומטרית לפתרון משוואות ריבועיות.

בימי קדם, כאשר הגיאומטריה הייתה מפותחת יותר מאלגברה, משוואות ריבועיות נפתרו לא אלגברית, אלא גיאומטרית. אתן דוגמה שהתפרסמה מה"אלגברה" של אל-ח'ואריזמי.

דוגמאות.

1) פתרו את המשוואהאיקס2 + 10x = 39.

במקור, בעיה זו מנוסחת כך: "ריבוע ועשרה שורשים שווים ל-39" (איור 12).

פִּתָרוֹן.שקול ריבוע עם הצלע x, מלבנים בנויים על הצדדים שלו כך שהצד השני של כל אחד מהם הוא 2.5, לכן, שטח החוף הוא 2.5x. לאחר מכן משלימים את הדמות המתקבלת לריבוע חדש ABCD, תוך השלמת ארבעה ריבועים שווים בפינות, הצד של כל אחד מהם הוא 2.5, והשטח הוא 6.25.

כיכרסכיכרא ב ג דיכול להיות מיוצג כסכום השטחים: הריבוע המקוריאיקס2 , ארבעה מלבנים(4 2.5x = 10x)וארבעה ריבועים מצורפים(6,25 4 = 25) , כלומרS=איקס2 + 10x + 25.מחליפים

איקס2 + פי 10מספר39 , אנחנו מבינים את זהS = 39 + 25 = 64, מכאן נובע שדופן הריבועא ב ג ד, כלומר קטע קוAB = 8. לצד הרצויאיקסהריבוע המקורי שאנו מקבלים

2) אבל, למשל, איך היוונים הקדמונים פתרו את המשוואהבְּ-2 + 6 שנים - 16 = 0.

פִּתָרוֹןמוצג באיור 13. איפה

בְּ-2 + 6y = 16, או y2 + 6y + 9 = 16 + 9.

פִּתָרוֹן.ביטוייםבְּ-2 + 6 שנים + 9ו16 + 9 מייצג גיאומטרי

אותו ריבוע, והמשוואה המקוריתבְּ-2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0היא אותה משוואה. מאיפה אנחנו מקבלים את זהy + 3 = ± 5,אוֹבְּ-1 = 2, y2 = - 8 (אורז. .

איור.13

3) לפתור משוואה גיאומטריתבְּ-2 - 6 שנים - 16 = 0.

שינוי המשוואה, נקבל

בְּ-2 - 6 שנים = 16.

באיור 14 אנו מוצאים את ה"תמונות" של הביטויבְּ-2 - 6u,הָהֵן. משטח של ריבוע עם הצלע y יש להחסיר פי שניים את שטחו של ריבוע עם הצלע שווה ל3 . אז, אם הביטויבְּ-2 - 6 שניםלְהוֹסִיף9 , אז נקבל את השטח של ריבוע עם צדy - 3. החלפת הביטויבְּ-2 - 6 שניםהמספר השווה שלו 16,

אנחנו מקבלים:(י - 3)2 = 16 + 9, הָהֵן.y - 3 = ± √25, או y - 3 = ± 5, כאשרבְּ-1 = 8 ובְּ-2 = - 2.

איור.14

סיכום

במסגרת עבודת המחקר שלי, אני מאמין שהתמודדתי עם המטרה והמשימות שנקבעו, הצלחתי להכליל ולסדר את החומר הנלמד בנושא הנ"ל.

ישנן דרכים רבות לפתור משוואות ריבועיות. מצאתי 10 דרכים לפתור משוואות ריבועיות. יש לציין כי לא כולם נוחים לפתרון, אך כל אחד מהם ייחודי בדרכו. חלק מהפתרונות עוזרים לחסוך בזמן, וזה חשוב בפתרון משימות במבחנים ובבחינות. בעבודה על הנושא, הנחתי את המשימה לברר אילו שיטות סטנדרטיות ואילו לא סטנדרטיות.

כך,שיטות סטנדרטיות(משמש לעתים קרובות יותר בעת פתרון משוואות ריבועיות):

• פתרון משוואות ריבועיות באמצעות נוסחאות
• משפט וייטה
• פתרון גרפי של משוואות
• פקטורינג צד שמאל
• מבחר ריבועי מלא

שיטות לא סטנדרטיות:

• פתרון על ידי העברת מקדמים
• מאפיינים של המקדמים של משוואה ריבועית
• פתרון משוואות ריבועיות באמצעות מצפן ויישור.
• פתרון באמצעות נומוגרמה
• דרך גיאומטרית

כשפתרתי לעצמי משוואות ריבועיות, הסקתי את המסקנות הבאות: כדי לפתור היטב כל משוואה ריבועית, אתה צריך לדעת:

נוסחה למציאת המפלה;

הנוסחה למציאת השורשים של משוואה ריבועית;

אלגוריתמים לפתרון משוואות מסוג זה.

להיות מסוגל ל:

לפתור משוואות ריבועיות לא שלמות;

לפתור משוואות ריבועיות שלמות;

לפתור את המשוואות הריבועיות הנתונות;

למצוא שגיאות במשוואות שנפתרו ולתקן אותן;

לעשות בדיקה.

אני חושב שהעבודה שלי תעניין את תלמידי כיתה ח' וגם את אלו שרוצים ללמוד איך לפתור משוואות ריבועיות בצורה רציונלית ולהתכונן היטב למבחני הגמר. בשיעורי מתמטיקה סיפרתי לחבריי לכיתה את השיטות לפתרון משוואות ריבועיות מס' 5 ו-6, החבר'ה אהבו אותן. זה יעניין גם מורים למתמטיקה, שכן בעבודתי לא רק שקלתי שיטות לפתרון משוואות ריבועיות, אלא גם את ההיסטוריה של התפתחותן.

לסִפְרוּת

1. Mordkovich, A. G. Algebra.8 class. ספר לימוד למוסדות חינוך / א.ג. מורדקוביץ'.-מ. : Mnemosyne 2011.-260s.
2. מורדקוביץ', א.ג. כיתה אלגברה.8. חוברת משימות למוסדות חינוך / א.ג. מורדקוביץ'.-מ. : Mnemosyne 2011.-270s.
3. גלזר, ג.י. היסטוריה של המתמטיקה בבית הספר / G.I. גלזר.-מ': נאורות, 1982 - שנות ה-340.
4. Gusev, V.A. מָתֵימָטִיקָה. חומרי עזר / V.A. גוסב, א.ג. מורדקוביץ' - מ': הארה, 1988, 372 עמ'.
5. בריידיס, V.M. טבלאות מתמטיות בנות ארבע ספרות לתיכון / V.M., Bradis-M.: Enlightenment, 1990-
6. משפט וייטה – מצב גישה:.http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta / משפט וייטה(משאבי גישה מרחוק (אינטרנט)). 12/10/2013.
7. משוואות ריבועיות - מצב גישה:http://revolution.allbest.ru/pedagogy/00249255_0.html (משאבי גישה מרחוק (אינטרנט)). 10.01.2014.