שיעורי אלגברה מציגים לנו סוגים שונים של ביטויים. ככל שחומר חדש הופך זמין, הביטויים הופכים מורכבים יותר. ככל שמתוודעים לתארים, הם מתווספים בהדרגה לביטוי, ומסבכים אותו. זה קורה גם עם שברים וביטויים אחרים.

כדי שהלימוד יהיה נוח ככל האפשר, זה נעשה באמצעות שמות מסוימים כדי שניתן יהיה להדגיש אותם. מאמר זה ייתן סקירה מלאה של כל הביטויים האלגבריים הבסיסיים של בית הספר.

מונומים ופולינומים

ביטויים מונומיים ופולינומים נלמדים בתכנית הלימודים בבית הספר החל מכיתה ז'. הגדרות מסוג זה ניתנו בספרי לימוד.

הגדרה 1

מונומים– אלו הם מספרים, משתנים, כוחותיהם עם מעריך טבעי, כל מוצר שנעשה בעזרתם.

הגדרה 2

פולינומיםנקרא סכום המונומיאלים.

אם ניקח, למשל, את המספר 5, את המשתנה x, את התואר z 7, אז תוצרים של הצורה 5 xו 7 x 2 7 z 7נחשבים מונומיאלים. כאשר לוקחים את סכום המונומילים של הצורה 5+xאוֹ z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, אז נקבל פולינום.

כדי להבדיל בין מונום לפולינום, שימו לב למעלות ולהגדרות שלהן. הרעיון של מקדם חשוב. כאשר מצמצמים איברים דומים, הם מחולקים באיבר החופשי של הפולינום או המקדם המוביל.

לרוב, פעולות מסוימות מבוצעות על מונומיאלים ופולינומים, ולאחר מכן הביטוי מצטמצם לצורת מונומיאל. מבצע חיבור, חיסור, כפל וחילוק, בהסתמך על אלגוריתם לביצוע פעולות על פולינומים.

כאשר יש משתנה אחד, אפשר לחלק את הפולינום לפולינומים, שמיוצגים כמכפלה. פעולה זו נקראת פירוק פולינום.

שברים רציונליים (אלגבריים).

מושג השברים הרציונליים נלמד בכיתה ח' בתיכון. כמה מחברים קוראים להם שברים אלגבריים.

הגדרה 3

שבר אלגברי רציונלינקרא שבר שבו מופיעים פולינומים או מונומים או מספרים במקום המונה והמכנה.

הבה נבחן את הדוגמה של כתיבת שברים רציונליים מסוג 3 x + 2, 2 · a + 3 · b 4, x 2 + 1 x 2 - 2 ו- 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + 4. על סמך ההגדרה ניתן לומר שכל שבר נחשב לשבר רציונלי.

ניתן להוסיף, לגרוע, להכפיל, לחלק ולהעלות שברים אלגבריים. זה נדון ביתר פירוט בסעיף על פעולות עם שברים אלגבריים. אם יש צורך להמיר שבר, הם מרבים להשתמש בתכונה של צמצום וצמצום למכנה משותף.

ביטויים רציונליים

בקורס בית הספר לומדים את המושג שברים לא רציונליים, שכן יש צורך בעבודה עם ביטויים רציונליים.

הגדרה 4

ביטויים רציונלייםנחשבים לביטויים מספריים ואותיות שבהם משתמשים במספרים ובאותיות רציונליות עם חיבור, חיסור, כפל, חילוק והעלאה לחזקה שלמה.

ייתכן שלביטויים רציונליים אין סימנים השייכים לפונקציה, מה שמוביל לאי-רציונליות. ביטויים רציונליים אינם מכילים שורשים, חזקות עם מעריכים אי-רציונליים שברים, חזקות עם משתנים במעריך, ביטויים לוגריתמיים, פונקציות טריגונומטריות וכו'.

בהתבסס על הכלל שניתן לעיל, ניתן דוגמאות לביטויים רציונליים. מההגדרה לעיל יש לנו שגם ביטוי מספרי של הצורה 1 2 + 3 4 ו-5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0, 3 נחשבים רציונליים. ביטויים המכילים ייעודי אותיות מסווגים גם כרציונליים a 2 + b 2 3 · a - 0, 5 · b, עם משתנים בצורת a · x 2 + b · x + c ו x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

כל הביטויים הרציונליים מחולקים למספרים שלמים ושברים.

ביטויים רציונליים שלמים

ביטויים רציונליים שלמים– אלו ביטויים שאינם מכילים חלוקה לביטויים עם משתנים בעלי דרגה שלילית.

מההגדרה יש לנו שביטוי רציונלי שלם הוא גם ביטוי המכיל אותיות, למשל, a + 1, ביטוי המכיל כמה משתנים, למשל, x 2 · y 3 − z + 3 2 ו- a + b 3.

ביטויים כמו x: (y - 1)ו-2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 לא יכולים להיות מספרים שלמים רציונליים, מכיוון שיש להם חלוקה לביטוי עם משתנים.

ביטויים רציונליים שברים

ביטוי רציונלי שברירהוא ביטוי המכיל חלוקה בביטוי עם משתנים בעלי דרגה שלילית.

מההגדרה עולה שביטויים רציונליים שברים יכולים להיות 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 ו-3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2.

אם ניקח בחשבון ביטויים מסוג זה (2 x − x 2): 4 ו- a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, אז הם לא נחשבים רציונלים שברים, מכיוון שאין להם ביטויים עם משתנים ב המכנה.

ביטויים עם כוחות

ביטויים המכילים חזקה בכל חלק של הסימון נקראים ביטויים בעלי כוחותאוֹ ביטויי כוח.

עבור המושג, אנו נותנים דוגמה לביטוי כזה. הם עשויים שלא להכיל משתנים, לדוגמה, 2 3, 32 - 1 5 + 1, 5 3, 5 5 - 2 5 - 1, 5. ביטויי כוח של הצורה 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 הם גם אופייניים. כדי לפתור אותם, יש צורך לבצע כמה טרנספורמציות.

ביטויים לא רציונליים, ביטויים עם שורשים

השורש המופיע בביטוי נותן לו שם אחר. הם נקראים לא רציונליים.

הגדרה 8

ביטויים לא הגיונייםהם ביטויים שיש להם סימני שורש בכתיבתם.

מההגדרה ברור שמדובר בביטויים בצורה 64, x - 1 4 3 + 3 3, 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2, a + 1 a 1 2 + 2, x y, 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x ו-x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . לכל אחד מהם יש לפחות אייקון שורש אחד. שורשים וכוחות קשורים זה לזה, כך שתוכל לראות ביטויים כגון x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3.

ביטויים טריגונומטריים

ביטוי טריגונומטרי- אלו ביטויים המכילים sin, cos, tg ו-ctg וההפוכים שלהם - arcsin, arccos, arctg ו- arcctg.

דוגמאות לפונקציות טריגונומטריות ברורות: sin π 4 · cos π 6 cos 6 x - 1 ו-2 sin x · t g 2 x + 3, 4 3 · t g π - arcsin - 3 5.

כדי לעבוד עם פונקציות כאלה, יש צורך להשתמש במאפיינים ובנוסחאות הבסיסיות של פונקציות ישירות והפוכות. שינוי המאמר של פונקציות טריגונומטריות יחשוף בעיה זו ביתר פירוט.

ביטויים לוגריתמיים

לאחר היכרות עם לוגריתמים, אתה יכול לדבר על ביטויים לוגריתמיים מורכבים.

הגדרה 10

ביטויים שיש להם לוגריתמים נקראים לוגריתמי.

דוגמה לפונקציות כאלה תהיה log 3 9 + ln e, log 2 (4 a b), log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

אתה יכול למצוא ביטויים שבהם יש חזקות ולוגריתמים. זה מובן, שכן מהגדרת הלוגריתם נובע שמדובר במעריך. אז נקבל ביטויים של הצורה x l g x - 10, log 3 3 x 2 + 2 x - 3, log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2.

כדי להעמיק את לימוד החומר, עליך להתייחס לחומר על המרת ביטויים לוגריתמיים.

שברים

ישנם ביטויים מסוג מיוחד, הנקראים שברים. מכיוון שיש להם מונה ומכנה, הם יכולים להכיל לא רק ערכים מספריים, אלא גם ביטויים מכל סוג. בואו נסתכל על ההגדרה של שבר.

הגדרה 11

שברירהוא ביטוי שיש לו מונה ומכנה, שבהם יש גם כינויים או ביטויים מספריים וגם אלפביתיים.

דוגמאות לשברים שיש להם מספרים במונה ובמכנה נראות כך: 1 4, 2, 2 - 6 2 7, π 2, - e π, (− 15) (− 2) . המונה והמכנה יכולים להכיל גם ביטויים מספריים וגם אלפביתיים של הצורה (a + 1) 3, (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5, cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α, 2 + ln 5 ln x.

למרות שביטויים כמו 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 אינם שברים, יש להם שבר בסימון שלהם.

ביטוי כללי

כיתות בכירות מתחשבות בבעיות בעלות קושי מוגבר, המכילות את כל המשימות המשולבות של קבוצה ג' לבחינת המדינה המאוחדת. ביטויים אלו מורכבים במיוחד ומכילים שילובים שונים של שורשים, לוגריתמים, חזקות ופונקציות טריגונומטריות. אלו הן משימות כמו x 2 - 1 · sin x + π 3 או sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 .

המראה שלהם מצביע על כך שניתן לסווג אותם בכל אחד מהסוגים לעיל. לרוב הם אינם מסווגים כאחד, מכיוון שיש להם פתרון משולב ספציפי. הם נחשבים כביטויים כלליים, ולא נעשה שימוש במפרטים או ביטויים נוספים עבור התיאור.

כאשר פותרים ביטוי אלגברי כזה, תמיד יש צורך לשים לב לסימון שלו, לנוכחותם של שברים, חזקות או ביטויים נוספים. זה הכרחי כדי לקבוע במדויק איך לפתור את זה. אם אינכם בטוחים בשמו, אז מומלץ לקרוא לו ביטוי מסוג כללי ולפתור אותו לפי האלגוריתם שנכתב למעלה.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

ביטויים מספריים ואלגבריים. המרת ביטויים.

מהו ביטוי במתמטיקה? למה אנחנו צריכים המרות ביטוי?

השאלה, כמו שאומרים, מעניינת... העובדה היא שהמושגים האלה הם הבסיס לכל המתמטיקה. כל המתמטיקה מורכבת מביטויים ומהטרנספורמציות שלהם. לא מאוד ברור? הרשה לי להסביר.

נניח שיש לך דוגמה רעה לפניך. גדול מאוד ומאוד מורכב. נניח שאתה טוב במתמטיקה ולא מפחד מכלום! אתה יכול לתת תשובה מיד?

אתה תהיה חייב ל לְהַחלִיטהדוגמה הזו. באופן עקבי, צעד אחר צעד, הדוגמה הזו לפשט. על פי כללים מסוימים, כמובן. הָהֵן. לַעֲשׂוֹת המרת ביטוי. ככל שתבצע את התמורות הללו בצורה מוצלחת יותר, כך אתה חזק יותר במתמטיקה. אם אתה לא יודע לעשות את השינויים הנכונים, לא תוכל לעשות אותם במתמטיקה. שום דבר...

כדי להימנע מעתיד כל כך לא נוח (או הווה...), זה לא מזיק להבין את הנושא הזה.)

ראשית, בואו נגלה מהו ביטוי במתמטיקה. מה קרה ביטוי מספריומה זה ביטוי אלגברי.

מהו ביטוי במתמטיקה?

ביטוי במתמטיקה- זה מושג רחב מאוד. כמעט כל מה שאנו עוסקים בו במתמטיקה הוא אוסף של ביטויים מתמטיים. כל דוגמאות, נוסחאות, שברים, משוואות, וכן הלאה - הכל מורכב ביטויים מתמטיים.

3+2 הוא ביטוי מתמטי. ס 2 - ד 2- זה גם ביטוי מתמטי. גם שבר בריא ואפילו מספר אחד הם כולם ביטויים מתמטיים. לדוגמה, המשוואה היא:

5x + 2 = 12

מורכב משני ביטויים מתמטיים המחוברים בסימן שוויון. ביטוי אחד משמאל, השני מימין.

באופן כללי, המונח " ביטוי מתמטי"משמש, לרוב, כדי להימנע מלהגות. ישאלו אותך מה זה שבר רגיל, למשל? ואיך לענות?!

תשובה ראשונה: "זהו... מממממ... דבר כזה... שבו... האם אני יכול לכתוב שבר טוב יותר? איזה מהם אתה רוצה?"

התשובה השנייה: "שבריר רגיל הוא (בשמחה ובשמחה!) ביטוי מתמטי , המורכב ממונה ומכנה!"

האפשרות השנייה תהיה איכשהו מרשימה יותר, נכון?)

זו מטרת הביטוי " ביטוי מתמטי "טוב מאוד. גם נכון וגם מוצק. אבל לשימוש מעשי אתה צריך להבין טוב סוגים ספציפיים של ביטויים במתמטיקה .

הסוג הספציפי הוא עניין אחר. זֶה זה עניין אחר לגמרי!לכל סוג של ביטוי מתמטי יש שליקבוצה של כללים וטכניקות שיש להשתמש בהן בעת ​​קבלת החלטה. לעבודה עם שברים - סט אחד. לעבודה עם ביטויים טריגונומטריים - השני. לעבודה עם לוגריתמים - השלישי. וכולי. איפשהו הכללים הללו חופפים, איפשהו הם שונים מאוד. אבל אל תפחד מהמילים המפחידות האלה. נשלוט בלוגריתמים, טריגונומטריה ודברים מסתוריים אחרים בסעיפים המתאימים.

כאן נשלוט (או - נחזור, תלוי מי...) בשני סוגים עיקריים של ביטויים מתמטיים. ביטויים מספריים וביטויים אלגבריים.

ביטויים מספריים.

מה קרה ביטוי מספרי? זהו מושג מאוד פשוט. השם עצמו מרמז שמדובר בביטוי עם מספרים. ככה זה. ביטוי מתמטי המורכב ממספרים, סוגריים וסמלים אריתמטיים נקרא ביטוי מספרי.

7-3 הוא ביטוי מספרי.

(8+3.2) 5.4 הוא גם ביטוי מספרי.

והמפלצת הזו:

גם ביטוי מספרי, כן...

מספר רגיל, שבר, כל דוגמה לחישוב ללא X ואותיות אחרות - כל אלה הם ביטויים מספריים.

שלט ראשי מִספָּרִיביטויים - בו ללא אותיות. אף אחד. רק מספרים וסמלים מתמטיים (במידת הצורך). זה פשוט, נכון?

ומה אפשר לעשות עם ביטויים מספריים? בדרך כלל ניתן לספור ביטויים מספריים. לשם כך, קורה שאתה צריך לפתוח את הסוגריים, לשנות שלטים, לקצר, להחליף מונחים - כלומר. לַעֲשׂוֹת המרות ביטוי. אבל עוד על כך בהמשך.

כאן נעסוק במקרה מצחיק שכזה כאשר עם ביטוי מספרי אתה לא צריך לעשות כלום.ובכן, כלום! המבצע הנעים הזה - לעשות כלום)- מבוצע כאשר הביטוי לא הגיוני.

מתי אין הגיון בביטוי מספרי?

ברור שאם אנחנו רואים מולנו איזושהי אברקדברה, כמו

אז לא נעשה כלום. כי לא ברור מה לעשות בנידון. סוג של שטויות. אולי תספור את מספר הפלוסים...

אבל יש כלפי חוץ ביטויים הגונים למדי. למשל זה:

(2+3): (16 - 2 8)

עם זאת, גם ביטוי זה לא הגיוני! מהסיבה הפשוטה שבסוגריים השניים - אם סופרים - מקבלים אפס. אבל אתה לא יכול לחלק באפס! זו פעולה אסורה במתמטיקה. לכן, גם עם הביטוי הזה אין צורך לעשות דבר. לכל משימה עם ביטוי כזה, התשובה תמיד תהיה זהה: "לביטוי אין משמעות!"

כדי לתת תשובה כזו, כמובן, הייתי צריך לחשב מה יהיה בסוגריים. ולפעמים יש הרבה דברים בסוגריים... ובכן, אין מה לעשות בקשר לזה.

אין כל כך הרבה פעולות אסורות במתמטיקה. יש רק אחד בנושא הזה. חלוקה באפס. הגבלות נוספות הנובעות בשורשים ובלוגריתמים נדונות בנושאים המקבילים.

אז, רעיון מה זה ביטוי מספרי- קיבלתי. מוּשָׂג הביטוי המספרי אינו הגיוני- הבין. בוא נמשיך הלאה.

ביטויים אלגבריים.

אם מופיעות אותיות בביטוי מספרי, ביטוי זה הופך ל... הביטוי הופך ל... כן! זה הופך להיות ביטוי אלגברי. לדוגמה:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4 מ'/נ'; x 2 +4x-4; (א+ב) 2; ...

ביטויים כאלה נקראים גם ביטויים מילוליים.אוֹ ביטויים עם משתנים.זה כמעט אותו דבר. ביטוי 5a +c, למשל, גם מילולי וגם אלגברי, וביטוי עם משתנים.

מוּשָׂג ביטוי אלגברי -רחב יותר מספרי. זה כוללוכל הביטויים המספריים. הָהֵן. ביטוי מספרי הוא גם ביטוי אלגברי, רק ללא אותיות. כל הרינג הוא דג, אבל לא כל דג הוא הרינג...)

למה אלפביתי- זה ברור. ובכן, מכיוון שיש אותיות... ביטוי ביטוי עם משתניםזה גם לא מאוד תמוה. אם אתה מבין שמספרים מסתתרים מתחת לאותיות. אפשר להסתיר כל מיני מספרים מתחת לאותיות... ו-5, ו-18, ​​וכל דבר אחר. כלומר, מכתב יכול להיות החלףלמספרים שונים. לכן נקראות האותיות משתנים.

בהבעה y+5, לדוגמה, בְּ-- ערך משתנה. או שהם פשוט אומרים " מִשְׁתַנֶה", ללא המילה "גודל". בניגוד לחמש, שזה ערך קבוע. או בפשטות - קָבוּעַ.

טווח ביטוי אלגבריאומר שכדי לעבוד עם הביטוי הזה אתה צריך להשתמש בחוקים ובכללים אַלגֶבּרָה. אם חֶשְׁבּוֹןעובד עם מספרים ספציפיים, אם כן אַלגֶבּרָה- עם כל המספרים בבת אחת. דוגמה פשוטה להבהרה.

בחשבון אנחנו יכולים לכתוב את זה

אבל אם נכתוב שוויון כזה באמצעות ביטויים אלגבריים:

a + b = b + a

נחליט מיד את כלשאלות. ל כל המספריםשבץ. לכל דבר אינסופי. כי מתחת לאותיות או במְרוּמָז את כלמספרים. ולא רק מספרים, אלא אפילו ביטויים מתמטיים אחרים. כך עובדת האלגברה.

מתי ביטוי אלגברי אינו הגיוני?

הכל לגבי הביטוי המספרי ברור. אי אפשר לחלק שם באפס. ובאותיות אפשר לברר במה אנחנו מחלקים?!

ניקח לדוגמא את הביטוי הזה עם משתנים:

2: (א - 5)

האם זה הגיוני? מי יודע? א- כל מספר...

כל, כל... אבל יש משמעות אחת א, שעבורו ביטוי זה בְּדִיוּקלא הגיוני! ומה זה המספר הזה? כן! זה 5! אם המשתנה אלהחליף (אומרים "תחליף") במספר 5, בסוגריים מקבלים אפס. מה שאי אפשר לחלק. אז מסתבר שהביטוי שלנו לא הגיוני, אם a = 5. אבל לערכים אחרים אהאם זה הגיוני? האם אתה יכול להחליף מספרים אחרים?

בְּהֶחלֵט. במקרים כאלה הם פשוט אומרים שהביטוי

2: (א - 5)

הגיוני לכל ערכים א, מלבד a = 5 .

כל סט המספרים ש פחיתהחלפה לביטוי נתון נקראת טווח של ערכים מקובליםהביטוי הזה.

כפי שאתה יכול לראות, אין שום דבר מסובך. בואו נסתכל על הביטוי עם משתנים ונבין: באיזה ערך של המשתנה מתקבלת הפעולה האסורה (חלוקה באפס)?

ואז הקפד להסתכל על שאלת המשימה. מה הם שואלים?

לא הגיוני, המשמעות האסורה שלנו תהיה התשובה.

אם תשאל באיזה ערך של משתנה הביטוי יש את המשמעות(תרגיש את ההבדל!), התשובה תהיה כל שאר המספריםחוץ מהאסור.

למה אנחנו צריכים את משמעות הביטוי? הוא שם, הוא לא... מה ההבדל?! הנקודה היא שהמושג הזה הופך להיות חשוב מאוד בתיכון. חשוב מאוד! זהו הבסיס למושגים מוצקים כמו תחום הערכים המקובלים או תחום הפונקציה. בלי זה, לא תוכל לפתור משוואות רציניות או אי שוויון בכלל. ככה.

המרת ביטויים. שינויי זהות.

התוודענו לביטויים מספריים ואלגבריים. הבנו מה פירוש הביטוי "לביטוי אין משמעות". עכשיו אנחנו צריכים להבין מה זה טרנספורמציה של ביטויים.התשובה פשוטה, עד כדי קלון.) זו כל פעולה עם הבעה. זה הכל. אתה עושה את השינויים האלה מאז כיתה א'.

ניקח את הביטוי המספרי המגניב 3+5. איך אפשר להמיר אותו? כן, פשוט מאוד! לחשב:

חישוב זה יהיה הטרנספורמציה של הביטוי. אתה יכול לכתוב את אותו ביטוי בצורה שונה:

כאן לא ספרנו כלום בכלל. פשוט רשם את הביטוי בצורה אחרת.זה יהיה גם טרנספורמציה של הביטוי. אתה יכול לכתוב את זה כך:

וגם זה טרנספורמציה של ביטוי. אתה יכול לעשות כמה שינויים כאלה שאתה רוצה.

כלפעולה על ביטוי כלכתיבתו בצורה אחרת נקראת שינוי הביטוי. וזה הכל. הכל מאוד פשוט. אבל יש כאן דבר אחד כלל חשוב מאוד.כל כך חשוב שאפשר לקרוא לזה בבטחה כלל עיקריכל המתמטיקה. הפרת הכלל הזה באופן בלתי נמנעמוביל לטעויות. אנחנו נכנסים לזה?)

נניח ששינינו את הביטוי שלנו באופן אקראי, כך:

הֲמָרָה? בְּהֶחלֵט. כתבנו את הביטוי בצורה אחרת, מה לא בסדר כאן?

זה לא ככה.) הנקודה היא שתמורות "באופן אקראי"לא מתעניינים במתמטיקה כלל.) כל המתמטיקה בנויה על טרנספורמציות שבהן המראה משתנה, אך מהות הביטוי אינה משתנה.שלוש ועוד חמש אפשר לכתוב בכל צורה, אבל זה חייב להיות שמונה.

טרנספורמציות, ביטויים שאינם משנים את המהותנקראים זֵהֶה.

בְּדִיוּק שינויי זהותולאפשר לנו, צעד אחר צעד, להפוך דוגמה מורכבת לביטוי פשוט, תוך שמירה מהות הדוגמה.אם נעשה טעות בשרשרת הטרנספורמציות, נעשה טרנספורמציה לא זהה, אז נחליט אַחֵרדוגמא. עם תשובות אחרות שאינן קשורות לנכונות.)

זהו הכלל העיקרי לפתרון כל משימות: שמירה על זהות התמורות.

נתתי דוגמה עם הביטוי המספרי 3+5 לצורך הבהירות. בביטויים אלגבריים, טרנספורמציות זהות ניתנות על ידי נוסחאות וכללים. נניח שבאלגברה יש נוסחה:

a(b+c) = ab + ac

זה אומר שבכל דוגמה אנחנו יכולים במקום הביטוי a(b+c)אתה מוזמן לכתוב ביטוי ab + ac. ולהיפך. זֶה טרנספורמציה זהה.המתמטיקה נותנת לנו בחירה בין שני הביטויים הללו. ואיזה מהם לכתוב תלוי בדוגמה הספציפית.

דוגמה אחרת. אחת התמורות החשובות וההכרחיות ביותר היא התכונה הבסיסית של שבר. אתה יכול להסתכל בקישור לפרטים נוספים, אבל כאן רק אזכיר לך את הכלל: אם המונה והמכנה של שבר מוכפלים (מחלקים) באותו מספר, או ביטוי שאינו שווה לאפס, השבר לא ישתנה.הנה דוגמה לטרנספורמציות של זהות באמצעות מאפיין זה:

כפי שבטח ניחשתם, ניתן להמשיך את השרשרת הזו ללא הגבלת זמן...) נכס חשוב מאוד. זה מה שמאפשר לך להפוך כל מיני מפלצות לדוגמה ללבנות ורכות.)

יש הרבה נוסחאות שמגדירות טרנספורמציות זהות. אבל החשובים שבהם הם מספר די סביר. אחת התמורות הבסיסיות היא הפירוק לגורמים. הוא משמש בכל המתמטיקה - מהיסודי ועד למתקדמים. בואו נתחיל איתו. בשיעור הבא.)

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.

מאמרים על מדע ומתמטיקה

מהו ביטוי מספרי ואלגברי?

ביטוי מספרי- זהו כל רשומה המורכבת ממספרים וסימנים של פעולות אריתמטיות וכתובה על פי כללים ידועים, וכתוצאה מכך יש לו משמעות מסוימת. לדוגמה, הערכים הבאים הם ביטויים מספריים: 4 + 5; -1.05 × 22.5 - 34. מצד שני, הסימון × 16 - × 0.5 אינו מספרי, שכן למרות שהוא מורכב ממספרים וסימנים של פעולות אריתמטיות, הוא לא נכתב לפי הכללים לחיבור ביטויים מספריים.

אם בביטוי מספרי יש אותיות במקום מספרים (כולם או רק חלקם), אז הביטוי הזה כבר אַלגֶבּרִי.

המשמעות של שימוש באותיות היא בערך כדלקמן. ניתן להחליף את האותיות במספרים שונים, מה שאומר שלביטוי יכולות להיות משמעויות שונות. אלגברה כמדע חוקרת את העקרונות של פישוט ביטויים, חיפוש ושימוש בחוקים, חוקים ונוסחאות שונות. האלגברה חוקרת את הדרכים הרציונליות ביותר לביצוע חישובים, ודווקא לשם כך יש הכללות, כלומר שימוש במשתנים (אותיות) במקום במספרים ספציפיים.

עובדות אלגבריות כוללות את חוקי החיבור והכפל, המושגים של מספרים שליליים, שברים רגילים ועשרוניים וכללי פעולות החשבון איתם, ומאפיינים של שברים רגילים. אלגברה נועדה להבין את כל מגוון העובדות הזה, ללמד אותן להשתמש בהן, ולראות את הישימות של חוקים בביטויים מספריים ואלגבריים ספציפיים.

כאשר ביטוי מספרי מוערך, התוצאה היא ערכו. ניתן לחשב את הערך של ביטוי אלגברי רק אם ערכים מספריים מסוימים מוחלפים באותיות. לדוגמה, לביטוי a ÷ b עם a = 3 ו- b = 5 יש את הערך 3 ÷ 5 או 0.6. עם זאת, ביטוי אלגברי עשוי להיות כזה שעבור חלק מהערכים של המשתנים (אותיות), ייתכן שאין לו משמעות כלל. עבור אותה דוגמה (a ÷ b), הביטוי אינו הגיוני כאשר b = 0, מכיוון שאינך יכול לחלק באפס.

לכן, הם מדברים על ערכים מקובלים ובלתי מקובלים של משתנים עבור ביטוי אלגברי מסוים.

scienceland.info

ביטויים אלגבריים

1. הגדרת המושג
2. ערך ביטוי
3. ביטויי זהות
4. פתרון בעיות
5. מה למדנו?

הגדרת המושג

אילו ביטויים נקראים אלגבריים? זהו סימון מתמטי המורכב ממספרים, אותיות וסמלים אריתמטיים. הנוכחות של אותיות היא ההבדל העיקרי בין ביטויים מספריים לאלגבריים. דוגמאות:

אות בביטויים אלגבריים מציינת מספר. לכן זה נקרא משתנה - בדוגמה הראשונה זו האות a, בשנייה זה b, ובשלישית זה c. הביטוי האלגברי עצמו נקרא גם ביטוי עם משתנה.

ערך ביטוי

המשמעות של ביטוי אלגבריהוא המספר המתקבל כתוצאה מביצוע כל הפעולות האריתמטיות המצוינות בביטוי זה. אבל כדי לקבל את זה, יש להחליף את האותיות במספרים. לכן, בדוגמאות הם תמיד מציינים איזה מספר מתאים לאות. הבה נבחן כיצד למצוא את הערך של הביטוי 8a-14*(5-a) אם a=3.

בוא נחליף את הספרה 3 באות א' נקבל את הערך הבא: 8*3-14*(5-3).

כמו בביטויים מספריים, הפתרון של ביטוי אלגברי מתבצע על פי הכללים לביצוע פעולות אריתמטיות. בואו נפתור הכל לפי הסדר.

לפיכך, הערך של הביטוי 8a-14*(5-a) ב-a=3 שווה ל-4.

הערך של משתנה נקרא תקף אם הביטוי הגיוני איתו, כלומר אפשר למצוא את הפתרון שלו.

דוגמה למשתנה חוקי עבור הביטוי 5:2a הוא המספר 1. החלפתו בביטוי, נקבל 5:2*1=2.5. המשתנה הלא חוקי לביטוי זה הוא 0. אם נחליף אפס בביטוי, נקבל 5:2*0, כלומר 5:0. אתה לא יכול לחלק באפס, מה שאומר שהביטוי לא הגיוני.

ביטויי זהות

אם שני ביטויים שווים עבור כל ערכים של המשתנים המרכיבים אותם, הם נקראים זֵהֶה.
דוגמה לביטויים זהים :
4(א+ג) ו-4א+4ג.
לא משנה מה הערכים שהאותיות a ו-c לוקחות, הביטויים תמיד יהיו שווים. כל ביטוי יכול להיות מוחלף באחר הזהה לו. תהליך זה נקרא טרנספורמציה של זהות.

דוגמה לשינוי זהות .
4*(5a+14c) – ניתן להחליף ביטוי זה בביטוי זהה על ידי יישום החוק המתמטי של הכפל. כדי להכפיל מספר בסכום של שני מספרים, עליך להכפיל את המספר הזה בכל איבר ולהוסיף את התוצאות.

לפיכך, הביטוי 4*(5a+14c) זהה ל-20a+64c.

המספר המופיע לפני משתנה אות בביטוי אלגברי נקרא מקדם. המקדם והמשתנה הם מכפילים.

פתרון בעיות

ביטויים אלגבריים משמשים לפתרון בעיות ומשוואות.
בואו נשקול את הבעיה. פטיה המציאה מספר. כדי שחברתו לכיתה סשה תנחש זאת, אמרה לו פטיה: תחילה הוספתי 7 למספר, ואז הורדתי ממנו 5 והכפלתי ב-2. כתוצאה מכך קיבלתי את המספר 28. איזה מספר ניחשתי?

כדי לפתור את הבעיה, עליך לציין את המספר הנסתר באות a ולאחר מכן לבצע את כל הפעולות המצוינות איתו.

כעת נפתור את המשוואה שהתקבלה.

פטיה ייחלה למספר 12.

מה למדנו?

ביטוי אלגברי הוא רשומה המורכבת מאותיות, מספרים וסמלים אריתמטיים. לכל ביטוי יש ערך, אשר נמצא על ידי ביצוע כל הפעולות האריתמטיות בביטוי. האות בביטוי אלגברי נקראת משתנה, והמספר שלפניה נקרא מקדם. ביטויים אלגבריים משמשים לפתרון בעיות.

6.4.1. ביטוי אלגברי

אני. ביטויים שבהם ניתן להשתמש במספרים, בסמלים אריתמטיים ובסוגריים יחד עם אותיות נקראים ביטויים אלגבריים.

דוגמאות לביטויים אלגבריים:

2m -n; 3 · (2a + b); 0.24x; 0.3a -ב · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

מכיוון שניתן להחליף אות בביטוי אלגברי במספרים שונים, האות נקראת משתנה, והביטוי האלגברי עצמו נקרא ביטוי עם משתנה.

II. אם בביטוי אלגברי האותיות (המשתנים) מוחלפות בערכים שלהן ומבוצעות הפעולות שצוינו, אז המספר המתקבל נקרא ערך הביטוי האלגברי.

דוגמאות. מצא את משמעות הביטוי:

1) a + 2b -c עם a = -2; b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|ז| ב-x = -8; y = -5; z = 6.

1) a + 2b -c עם a = -2; b = 10; c = -3.5. במקום משתנים, בואו נחליף את הערכים שלהם. אנחנו מקבלים:

2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|ז| ב-x = -8; y = -5; z = 6. החלף את הערכים המצוינים. אנו זוכרים שהמודלוס של מספר שלילי שווה למספר הנגדי שלו, והמודלוס של מספר חיובי שווה למספר הזה עצמו. אנחנו מקבלים:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.ערכי האות (המשתנה) שעבורם הביטוי האלגברי הגיוני נקראים הערכים המותרים של האות (משתנה).

דוגמאות. עבור אילו ערכים של המשתנה אין היגיון בביטוי?

פִּתָרוֹן.אנו יודעים שלא ניתן לחלק באפס, לכן, כל אחד מהביטויים הללו לא יהיה הגיוני בהתחשב בערך האות (המשתנה) שהופכת את המכנה של השבר לאפס!

בדוגמה 1) הערך הזה הוא a = 0. אכן, אם תחליף את 0 במקום a, אז תצטרך לחלק את המספר 6 ב-0, אך לא ניתן לעשות זאת. תשובה: ביטוי 1) אינו הגיוני כאשר a = 0.

בדוגמה 2) המכנה x - 4 = 0 ב-x = 4, לכן, ערך זה x = 4 ואי אפשר לקחת אותו. תשובה: ביטוי 2) אינו הגיוני כאשר x = 4.

בדוגמה 3) המכנה הוא x + 2 = 0 כאשר x = -2. תשובה: ביטוי 3) אינו הגיוני כאשר x = -2.

בדוגמה 4) המכנה הוא 5 -|x| = 0 עבור |x| = 5. ומאז |5| = 5 ו- |-5| = 5, אז אתה לא יכול לקחת x = 5 ו-x = -5. תשובה: ביטוי 4) אינו הגיוני ב-x = -5 וב-x = 5.
IV. שני ביטויים אמורים להיות שווים זהה אם, עבור כל ערכים קבילים של המשתנים, הערכים התואמים של ביטויים אלה שווים.

דוגמה: 5 (a – b) ו-5a – 5b שווים גם הם, שכן השוויון 5 (a – b) = 5a – 5b יהיה נכון עבור כל ערכים של a ו-b. השוויון 5 (א – ב) = 5a – 5ב הוא זהות.

זהות הוא שוויון שתקף לכל הערכים המותרים של המשתנים הכלולים בו. דוגמאות לזהויות שכבר ידועות לך הן, למשל, תכונות החיבור והכפל, והתכונה החלוקה.

החלפת ביטוי אחד בביטוי שווה זהה אחר נקראת טרנספורמציה של זהות או פשוט טרנספורמציה של ביטוי. טרנספורמציות זהות של ביטויים עם משתנים מבוצעות על סמך תכונות הפעולות על מספרים.

א)המר את הביטוי לשווה זהה באמצעות התכונה החלוקתית של הכפל:

1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

פִּתָרוֹן. הבה נזכיר את המאפיין החלוקתי (חוק) הכפל:

(a+b)c=ac+bc(חוק הכפל החלוקתי ביחס לחיבור: על מנת להכפיל את סכום שני מספרים במספר שלישי, ניתן להכפיל כל איבר במספר זה ולהוסיף את התוצאות המתקבלות).
(א-ב) ג=א ג-ב ג(חוק הכפל החלוקתי ביחס לחיסור: על מנת להכפיל את ההפרש של שני מספרים במספר שלישי, ניתן להכפיל את המינואנד ולחסיר במספר זה בנפרד ולהחסיר את השני מהתוצאה הראשונה).

1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.

2) 1.5·(a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

ב)הפוך את הביטוי לשווה זהה, תוך שימוש בתכונות הקומוטטיביות והאסוציאטיביות (חוקי) החיבור:

4) x + 4.5 +2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4 שניות -3 -2.5 -2.3 שניות.

פִּתָרוֹן.הבה נחיל את חוקי החיבור (מאפיינים):

a+b=b+a(קומוטטיבי: סידור מחדש של המונחים אינו משנה את הסכום).
(a+b)+c=a+(b+c)(קומבינטיבי: על מנת להוסיף מספר שלישי לסכום של שני איברים, ניתן להוסיף את סכום השני והשלישי למספר הראשון).

4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4 שניות -3 -2.5 -2.3 שניות = (5.4 שניות -2.3 שניות) + (-3 -2.5) = 3.1 שניות -5.5.

V)המר את הביטוי לשווה זהה באמצעות המאפיינים הקומוטטיביים והאסוציאטיביים (חוקי הכפל):

7) 4 · איקס · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3א · (-3) · 2 שניות.

פִּתָרוֹן.בואו ניישם את חוקי הכפל (מאפיינים):

a·b=b·a(קומוטטיבי: סידור מחדש של הגורמים לא משנה את המוצר).
(א ב) c=a (ב ג)(קומבינטיבי: כדי להכפיל את המכפלה של שני מספרים במספר שלישי, אפשר להכפיל את המספר הראשון במכפלת השני והשלישי).

7) 4 · איקס · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3א · (-3) · 2c = -18ac.

אם ניתן ביטוי אלגברי בצורה של שבר הניתן לצמצום, אז באמצעות הכלל להקטנת שבר ניתן לפשט אותו, כלומר. להחליף אותו בביטוי פשוט יותר שווה זהה.

דוגמאות. פשט באמצעות הפחתת שברים.

פִּתָרוֹן.לצמצם שבר פירושו לחלק את המונה והמכנה שלו באותו מספר (ביטוי), מלבד אפס. שבר 10) יקטן ב- 3ב; שבר 11) יופחת ב- אושבר 12) יקטן ב 7n. אנחנו מקבלים:

ביטויים אלגבריים משמשים ליצירת נוסחאות.

נוסחה היא ביטוי אלגברי שנכתב כשוויון ומבטא את הקשר בין שני משתנים או יותר.דוגמה: נוסחת נתיב שאתה מכיר s=v t(s - מרחק שעבר, v - מהירות, t - זמן). זכור אילו נוסחאות אחרות אתה מכיר.

www.mathematics-repetition.com

משמעות הכלל של ביטוי אלגברי

ביטויים מספריים ואלגבריים

בבית הספר היסודי למדת לעשות חישובים עם מספרים שלמים ושברים, פתר משוואות, הכיר את הדמויות הגיאומטריות ואת מישור הקואורדינטות. כל זה היווה את התוכן של אחד מקצוע בית הספר "מתמטיקה". למעשה, תחום כה חשוב של מדע כמו מתמטיקה מחולק למספר עצום של דיסציפלינות עצמאיות: אלגברה, גיאומטריה, תורת ההסתברות, ניתוח מתמטי, לוגיקה מתמטית, סטטיסטיקה מתמטית, תורת המשחקים וכו'. לכל דיסציפלינה מושאי מחקר משלה, שיטות משלה להבנת המציאות.

אלגברה, אותה אנו עומדים ללמוד, נותנת לאדם את ההזדמנות לא רק לבצע מגוון חישובים, אבל גם מלמד אותו לעשות את זה כמה שיותר מהר ורציונלי. לאדם השולט בשיטות אלגבריות יש יתרון על פני מי שאינו שולט בשיטות הללו: הוא מחשב מהר יותר, מנווט במצבי חיים בצורה מוצלחת יותר, מקבל החלטות בצורה ברורה יותר וחושב טוב יותר. המשימה שלנו היא לעזור לך לשלוט בשיטות אלגבריות, המשימה שלך היא לא להתנגד ללמידה, להיות מוכן לעקוב אחרינו, להתגבר על קשיים.

למעשה, בבית הספר היסודי כבר נפתח בפניכם צוהר לעולם הקסום של האלגברה, כי האלגברה חוקרת בעיקר ביטויים מספריים ואלגבריים.

נזכיר שביטוי מספרי הוא כל רשומה המורכבת ממספרים וסימנים של פעולות אריתמטיות (המורכבת, כמובן, עם משמעות: למשל, 3 + 57 הוא ביטוי מספרי, בעוד ש-3 + : אינו ביטוי מספרי, אלא קבוצה חסרת משמעות של סמלים). מסיבות מסוימות (נדבר עליהן בהמשך), משמשות לעתים קרובות אותיות (בעיקר מהאלפבית הלטיני) במקום מספרים ספציפיים; אז מתקבל ביטוי אלגברי. ביטויים אלה יכולים להיות מאוד מסורבלים. אלגברה מלמדת אותך לפשט אותם באמצעות כללים, חוקים, מאפיינים, אלגוריתמים, נוסחאות, משפטים שונים.

דוגמה 1. פשט ביטוי מספרי:

פִּתָרוֹן. עכשיו נזכור משהו ביחד, ותראה כמה עובדות אלגבריות אתה כבר יודע. קודם כל, אתה צריך לפתח תוכנית לביצוע החישובים. לשם כך, תצטרך להשתמש במוסכמות המקובלות במתמטיקה לגבי סדר הפעולות. ההליך בדוגמה זו יהיה כדלקמן:

1) מצא את הערך A של הביטוי בסוגריים הראשונים:
A = 2.73 + 4.81 + 3.27 - 2.81;

2) מצא את הערך B של הביטוי בסוגריים השניים:

3) חלקו את A ב-B - אז נדע איזה מספר C כלול במונה (כלומר, מעל לקו האופקי);

4) מצא את הערך D של המכנה (כלומר, הביטוי הכלול מתחת לקו האופקי):
D = 25 - 37 - 0.4;

5) חלקו את C ב-D - זו תהיה התוצאה הרצויה. אז יש תוכנית חישוב (ולקיים תוכנית זה חצי
הצלחה!), בואו נתחיל ליישם את זה.

1) בואו נמצא את A = 2.73 + 4.81 + 3.27 - 2.81. כמובן, אתה יכול לספור ברצף או, כמו שאומרים, "ראש בראש": 2.73 + 4.81, ואז להוסיף למספר הזה
3.27, ואז להפחית 2.81. אבל אדם תרבותי לא יחשב כך. הוא יזכור את חוקי החיבור הקומוטטיביים והאסוציאטיביים (עם זאת, הוא לא צריך לזכור אותם, הם תמיד בראש שלו) ויחשב כך:

(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.

עכשיו בואו ננתח שוב ביחד אילו עובדות מתמטיות היינו צריכים לזכור בתהליך פתרון הדוגמה (ולא רק לזכור, אלא גם להשתמש).

1. סדר פעולות החשבון.

2. חוק חיבור קומוטטיבי: a + b = b + a.

4. חוק צירוף של חיבור:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

5. חוק השילוב של הכפל: abc = (ab)c = a(bc).

6. מושגי שבר נפוצים, נקודה, מספר שלילי.

7. פעולות אריתמטיות עם שברים עשרוניים.

8. פעולות חשבון עם שברים רגילים.

10. כללים לפעולות עם חיובי ושלילי מספרים. אתה יודע את כל זה, אבל כל אלה הן עובדות אלגבריות. לפיכך, כבר הייתה לך חשיפה מסוימת לאלגברה בבית הספר היסודי. הקושי העיקרי, כפי שניתן לראות מדוגמה 1, הוא שיש די הרבה עובדות כאלה, וצריך לא רק להכיר אותן, אלא גם להיות מסוגל להשתמש בהן, כמו שאומרים, "בזמן הנכון ובתוך המקום הנכון." זה מה שנלמד.

מכיוון שניתן לתת לאותיות המרכיבות ביטוי אלגברי ערכים מספריים שונים (כלומר, ניתן לשנות את המשמעויות של האותיות), האותיות הללו נקראות משתנים.

ב) באופן דומה, בעקבות סדר הפעולות, אנו מוצאים בעקביות:

אבל אתה לא יכול לחלק באפס! מה זה אומר במקרה זה (ובמקרים דומים אחרים)? המשמעות היא שכאשר : הביטוי האלגברי הנתון אינו הגיוני.

נעשה שימוש בטרמינולוגיה הבאה: אם, עבור ערכים ספציפיים של אותיות (משתנים), לביטוי אלגברי יש ערך מספרי, אז הערכים שצוינו של המשתנים נקראים קבילים; אם, עבור ערכים ספציפיים של אותיות (משתנים), הביטוי האלגברי אינו הגיוני, אז הערכים המצוינים של המשתנים נקראים לא חוקיים.

אז, בדוגמה 2, הערכים a = 1 ו- b = 2, a = 3.7 ו- b = -1.7 מקובלים, בעוד שהערכים
לא חוקי (ליתר דיוק: שני זוגות הערכים הראשונים תקפים, וזוג הערכים השלישי אינו חוקי).

באופן כללי, בדוגמה 2, ערכים כאלה של המשתנים a, b לא יהיו מקובלים עבורם או a + b = 0, או a - b = 0. לדוגמה, a = 7, b = - 7 או a = 28.3, b = 28 ,3 - זוגות ערכים לא חוקיים; במקרה הראשון, a + b = 0, ובמקרה השני, a - b = 0. בשני המקרים, המכנה של הביטוי שניתן בדוגמה זו הופך לאפס, ונחזור שוב, לא ניתן לחלק באפס . כעת, כנראה, אתה בעצמך תוכל להמציא גם זוגות ערכים חוקיים למשתנים a, b וגם זוגות ערכים לא חוקיים עבור משתנים אלה בדוגמה 2. נסה את זה!

חומרי מתמטיקה מקוונים, בעיות ותשובות לפי כיתה, מערכי שיעור במתמטיקה להורדה

A.V. Pogorelov, גיאומטריה לכיתות ז'-י"א, ספר לימוד למוסדות חינוך

אם יש לך תיקונים או הצעות לשיעור זה, אנא כתוב לנו.

אם תרצו לראות התאמות והצעות נוספות לשיעורים, חפשו כאן - פורום חינוכי.

בשיעורי אלגברה בבית הספר אנו נתקלים בביטויים מסוגים שונים. ככל שאתה לומד חומר חדש, הקלטת ביטויים הופכת מגוונת ומורכבת יותר. למשל, הכרנו כוחות - הופיעו כוחות בביטויים, למדנו שברים - הופיעו ביטויים שברים וכו'.

לנוחות תיאור החומר, ביטויים המורכבים מאלמנטים דומים קיבלו שמות ספציפיים על מנת להבדיל אותם מכל מגוון הביטויים. במאמר זה נכיר אותם, כלומר, ניתן סקירה של הביטויים הבסיסיים הנלמדים בשיעורי אלגברה בבית הספר.

ניווט בדף.

מונומים ופולינומים

נתחיל עם ביטויים שנקראים מונומים ופולינומים. בזמן כתיבת שורות אלה, השיחה על מונומיאלים ופולינומים מתחילה בשיעורי אלגברה בכיתה ז'. ניתנות שם ההגדרות הבאות.

הַגדָרָה.

מונומיםמספרים, משתנים, הכוחות שלהם עם מעריכים טבעיים, כמו גם כל תוצר המורכב מהם נקראים.

הַגדָרָה.

פולינומיםהוא סכום המונומיאלים.

לדוגמה, המספר 5, המשתנה x, החזקה z 7, המוצרים 5 x ו-7 x x 2 7 z 7 כולם מונומיאלים. אם ניקח את סכום המונומיאלים, למשל, 5+x או z 7 +7+7·x·2·7·z 7, אז נקבל פולינום.

עבודה עם מונומים ופולינומים כרוכה לרוב בעשיית דברים איתם. לפיכך, במערך המונומיאלים מוגדרים הכפלת המונומיאלים והעלאת המונומיאל לעוצמה, במובן זה שכתוצאה מביצועם מתקבל מונומיאל.

חיבור, חיסור, כפל ואקספונציה מוגדרים על קבוצת הפולינומים. כיצד נקבעות פעולות אלו ועל פי אילו כללים הן מבוצעות, נדבר במאמר פעולות עם פולינומים.

אם מדברים על פולינומים עם משתנה בודד, אז כשעובדים איתם, לחלוקת פולינום בפולינום יש משמעות מעשית משמעותית, ולעתים קרובות יש לייצג פולינומים כאלה כמכפלה.

שברים רציונליים (אלגבריים).

בכיתה ח' מתחילים ללמוד ביטויים המכילים חלוקה לפי ביטוי עם משתנים. והביטויים הראשונים כאלה הם שברים רציונליים, שכמה מחברים קוראים לו שברים אלגבריים.

הַגדָרָה.

שבר רציונלי (אלגברי).הוא שבר שהמונה והמכנה שלו הם פולינומים, בפרט מונומיאלים ומספרים.

הנה כמה דוגמאות לשברים רציונליים: ו . אגב, כל שבר רגיל הוא שבר רציונלי (אלגברי).

חיבור, חיסור, כפל, חילוק ואקספונציה מוצגים על מגוון שברים אלגבריים. איך זה נעשה מוסבר במאמר פעולות עם שברים אלגבריים.

לעתים קרובות יש צורך לבצע טרנספורמציות של שברים אלגבריים, שהנפוצים שבהם הם צמצום והפחתה למכנה חדש.

ביטויים רציונליים

הַגדָרָה.

ביטויים עם כוחות (ביטויי כוח)הם ביטויים המכילים מעלות בסימון שלהם.

הנה כמה דוגמאות לביטויים בעלי כוחות. הם עשויים שלא להכיל משתנים, למשל, 2 3 , . ביטויי כוח עם משתנים מתקיימים גם: וכולי.

זה לא יזיק להכיר את עצמך איך זה נעשה. המרת ביטויים עם כוחות.

ביטויים לא רציונליים, ביטויים עם שורשים

הַגדָרָה.

ביטויים המכילים לוגריתמים נקראים ביטויים לוגריתמיים.

דוגמאות לביטויים לוגריתמיים הם log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , .

לעתים קרובות מאוד, ביטויים מכילים גם חזקות וגם לוגריתמים, וזה מובן, שכן בהגדרה לוגריתם הוא מעריך. כתוצאה מכך, ביטויים כמו זה נראים טבעיים: .

להמשך הנושא, עיין בחומר המרת ביטויים לוגריתמיים.

שברים

בחלק זה נסתכל על ביטויים מסוג מיוחד - שברים.

השבר מרחיב את המושג. לשברים יש גם מונה ומכנה הממוקמים מעל ומתחת לקו השבר האופקי (משמאל ומימין לקו השבר המלוכסן), בהתאמה. רק, בניגוד לשברים רגילים, המונה והמכנה יכולים להכיל לא רק מספרים טבעיים, אלא גם כל מספר אחר, כמו גם כל ביטוי.

אז בואו נגדיר שבר.

הַגדָרָה.

שברירהוא ביטוי המורכב ממונה ומכנה המופרדים על ידי קו שבר, המייצגים כמה ביטויים או מספרים מספריים או אלפביתיים.

הגדרה זו מאפשרת לתת דוגמאות לשברים.

נתחיל עם דוגמאות לשברים שהמונה והמכנה שלהם הם מספרים: 1/4, , (−15)/(−2) . המונה והמכנה של שבר יכולים להכיל ביטויים, הן מספריים והן אלפביתיים. הנה דוגמאות לשברים כאלה: (a+1)/3, (a+b+c)/(a 2 +b 2), .

אבל הביטויים 2/5–3/7 אינם שברים, למרות שהם מכילים שברים בסימון שלהם.

ביטויים כלליים

בתיכון, בעיקר בבעיות של קושי מוגבר ובבעיות של קבוצה ג' בבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה, תתקלו בביטויים של צורה מורכבת, המכילה בסימון שלהם בו זמנית שורשים, חזקות, לוגריתמים, פונקציות טריגונומטריות וכו'. לדוגמה, אוֹ . נראה שהם מתאימים לכמה סוגים של ביטויים המפורטים לעיל. אבל הם בדרך כלל אינם מסווגים כאחד מהם. הם נחשבים ביטויים כלליים, וכאשר מתארים הם פשוט אומרים ביטוי, מבלי להוסיף הבהרות נוספות.

לסיום המאמר, אני רוצה לומר שאם ביטוי נתון הוא מסורבל, ואם אתה לא לגמרי בטוח לאיזה סוג הוא שייך, אז עדיף לקרוא לו פשוט ביטוי מאשר לקרוא לו ביטוי שהוא לא .

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• מָתֵימָטִיקָה: ספר לימוד לכיתה ה'. חינוך כללי מוסדות / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - מהדורה 21, נמחקה. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 עמ': ill. ISBN 5-346-00699-0.
• מָתֵימָטִיקָה.כיתה ו': חינוכית. לחינוך כללי מוסדות / [נ. יא וילנקין ואחרים]. - מהדורה 22, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 עמ': ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• אַלגֶבּרָה:ספר לימוד לכיתה ז' חינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 17. - מ.: חינוך, 2008. - 240 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• אַלגֶבּרָה:ספר לימוד לכיתה ח'. חינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ.: חינוך, 2008. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• אַלגֶבּרָה:כיתה ט': חינוכית. לחינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ.: חינוך, 2009. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• אַלגֶבּרָהותחילת הניתוח: פרוק. לכיתות י'-י"א. חינוך כללי מוסדות / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ואחרים; אד. א.נ. קולמוגורוב - מהדורה 14 - מ.: חינוך, 2004. - 384 עמ' - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.מתמטיקה (מדריך למי שנכנס לבתי ספר טכניים): פרוק. קצבה.- מ.; גבוה יותר בית ספר, 1984.-351 עמ', ill.

ביטויים אלגבריים מתחילים ללמוד בכיתה ז'. יש להם מספר מאפיינים והם משמשים בפתרון בעיות. הבה נלמד נושא זה ביתר פירוט ונשקול דוגמה לפתרון הבעיה.

הגדרת המושג

אילו ביטויים נקראים אלגבריים? זהו סימון מתמטי המורכב ממספרים, אותיות וסמלים אריתמטיים. הנוכחות של אותיות היא ההבדל העיקרי בין ביטויים מספריים לאלגבריים. דוגמאות:

• 4a+5;
• 6ב-8;
• 5s:6*(8+5).

אות בביטויים אלגבריים מציינת מספר. לכן זה נקרא משתנה - בדוגמה הראשונה זו האות a, בשנייה זה b, ובשלישית זה c. הביטוי האלגברי עצמו נקרא גם ביטוי עם משתנה.

ערך ביטוי

המשמעות של ביטוי אלגבריהוא המספר המתקבל כתוצאה מביצוע כל הפעולות האריתמטיות המצוינות בביטוי זה. אבל כדי לקבל את זה, יש להחליף את האותיות במספרים. לכן, בדוגמאות הם תמיד מציינים איזה מספר מתאים לאות. הבה נבחן כיצד למצוא את הערך של הביטוי 8a-14*(5-a) אם a=3.

בוא נחליף את הספרה 3 באות א' נקבל את הערך הבא: 8*3-14*(5-3).

כמו בביטויים מספריים, הפתרון של ביטוי אלגברי מתבצע על פי הכללים לביצוע פעולות אריתמטיות. בואו נפתור הכל לפי הסדר.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

לפיכך, הערך של הביטוי 8a-14*(5-a) ב-a=3 שווה ל-4.

הערך של משתנה נקרא תקף אם הביטוי הגיוני איתו, כלומר אפשר למצוא את הפתרון שלו.

דוגמה למשתנה חוקי עבור ביטוי 5:2a הוא המספר 1.

החלפתו בביטוי, נקבל 5:2*1=2.5. המשתנה הלא חוקי לביטוי זה הוא 0. אם נחליף אפס בביטוי, נקבל 5:2*0, כלומר 5:0. אתה לא יכול לחלק באפס, מה שאומר שהביטוי לא הגיוני.

ביטויי זהות

אם שני ביטויים שווים עבור כל ערכים של המשתנים המרכיבים אותם, הם נקראים זֵהֶה.
דוגמה לביטויים זהים :
4(א+ג) ו-4א+4ג.
לא משנה מה הערכים שהאותיות a ו-c לוקחות, הביטויים תמיד יהיו שווים. כל ביטוי יכול להיות מוחלף באחר הזהה לו. תהליך זה נקרא טרנספורמציה של זהות.

דוגמה לשינוי זהות .
4*(5a+14c) – ניתן להחליף ביטוי זה בביטוי זהה על ידי יישום החוק המתמטי של הכפל. כדי להכפיל מספר בסכום של שני מספרים, עליך להכפיל את המספר הזה בכל איבר ולהוסיף את התוצאות.

• 4*5a=20a.
• 4*14 שניות=64 שניות.
• 20a+64s.

לפיכך, הביטוי 4*(5a+14c) זהה ל-20a+64c.

המספר המופיע לפני משתנה אות בביטוי אלגברי נקרא מקדם. המקדם והמשתנה הם מכפילים.

פתרון בעיות

ביטויים אלגבריים משמשים לפתרון בעיות ומשוואות.
בואו נשקול את הבעיה. פטיה המציאה מספר. כדי שחברתו לכיתה סשה תנחש זאת, אמרה לו פטיה: תחילה הוספתי 7 למספר, ואז הורדתי ממנו 5 והכפלתי ב-2. כתוצאה מכך קיבלתי את המספר 28. איזה מספר ניחשתי?

כדי לפתור את הבעיה, עליך לציין את המספר הנסתר באות a ולאחר מכן לבצע את כל הפעולות המצוינות איתו.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

כעת נפתור את המשוואה שהתקבלה.

פטיה ייחלה למספר 12.

מה למדנו?

ביטוי אלגברי הוא רשומה המורכבת מאותיות, מספרים וסמלים אריתמטיים. לכל ביטוי יש ערך, אשר נמצא על ידי ביצוע כל הפעולות האריתמטיות בביטוי. האות בביטוי אלגברי נקראת משתנה, והמספר שלפניה נקרא מקדם. ביטויים אלגבריים משמשים לפתרון בעיות.

מבחן על הנושא

דירוג מאמר

דירוג ממוצע: 4.4. סך הדירוגים שהתקבלו: 529.