בתכנית הלימודים בבית הספר, שיעורי הגיאומטריה צריכים לעסוק בסוגים שונים של מרובעים: מעוינים, מקבילים, מלבנים, טרפזים, ריבועים. הצורות הראשונות ללימוד הן מלבן וריבוע.

אז מהו מלבן? ההגדרה לכיתה ב' של בית ספר מקיף תיראה כך: זהו מרובע, שכל ארבע הפינות בו נכונות. קל לדמיין איך נראה מלבן: זוהי דמות עם 4 זוויות ישרות וצלעות מקבילות זו לזו בזוגות.

בקשר עם

איך להבין, לפתור את הבעיה הגאומטרית הבאה, עם איזה סוג של מרובע יש לנו עסק? ישנן שלוש תכונות עיקריות, שבאמצעותו אתה יכול לקבוע במדויק שאנחנו מדברים על מלבן. בואו נקרא להם:

• הדמות היא מרובע עם שלוש זוויות שוות ל-90°;
• המרובע המוצג הוא מקבילית בעלת אלכסונים שווים;
• מקבילית בעלת זווית ישרה אחת לפחות.

מעניין לדעת: מהו קמור, תכונותיו וסימניו.

מכיוון שמלבן הוא מקבילית (כלומר, מרובע עם צלעות נגדיות מקבילות בזוגיות), אז כל תכונותיו ותכונותיו יתגשמו עבורו.

נוסחאות לחישוב אורך הצדדים

במלבןהצלעות הנגדיות שוות ומקבילות זו לזו. הצד הארוך יותר נקרא בדרך כלל אורך (מסומן ב-a), הצד הקצר יותר נקרא רוחב (מסומן ב-b). במלבן בתמונה, האורכים הם הצלעות AB ו-CD, והרוחבים הם AC ו-B.D. הם גם מאונכים לבסיסים (כלומר, הם גבהים).

כדי למצוא את הצדדים, אתה יכול להשתמש בנוסחאות למטה. מאמצים בהם מוסכמות: a - אורך המלבן, b - רוחבו, d - האלכסון (הקטע המחבר את קודקודי שתי זוויות המונחות זו מול זו), S - שטח הדמות, P - ההיקף, α - הזווית בין האלכסון לאורך, β היא זווית חדה שנוצרת משני האלכסונים. דרכים למצוא את אורכי הצדדים:

• שימוש באלכסון ובצד הידוע: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• לפי שטח הדמות ואחת מצלעותיה: a = S / b, b = S / a.
• שימוש בהיקף ובצד הידוע: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• דרך האלכסון והזווית שבינו לבין האורך: a = d sinα, b = d cosα.
• דרך האלכסון והזווית β: a = d sin 0.5 β, b = d cos 0.5 β.

היקף ושטח

ההיקף של מרובע נקראסכום אורכי כל צלעותיו. כדי לחשב את ההיקף, ניתן להשתמש בנוסחאות הבאות:

• דרך שני הצדדים: P = 2 (a + b).
• דרך השטח ואחד הצדדים: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

שטח הוא מרחב התחום על ידי היקף. שלוש דרכים עיקריות לחישוב השטח:

• דרך אורכי שני הצדדים: S = a*b.
• שימוש בהיקף ובכל צד ידוע: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• באלכסון וזווית β: S = 0.5 d² sinβ.

במשימות של קורס מתמטיקה בית ספרי, לרוב נדרשת שליטה טובה ב תכונות האלכסונים של מלבן. אנו מציגים את העיקריים שבהם:

1. האלכסונים שווים זה לזה ומחולקים לשני קטעים שווים בנקודת החיתוך שלהם.
2. האלכסון מוגדר כשורש סכום שתי הצלעות בריבוע (נובע ממשפט פיתגורס).
3. האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים בעלי זווית ישרה.
4. נקודת החיתוך חופפת למרכז המעגל המוקף, והאלכסונים עצמם חופפים לקוטרו.

הנוסחאות הבאות משמשות לחישוב אורך האלכסון:

• באמצעות האורך והרוחב של האיור: d = √ (a ² + b ²).
• שימוש ברדיוס של מעגל המוקף סביב מרובע: d = 2 R.

הגדרה ומאפיינים של ריבוע

ריבוע הוא מקרה מיוחד של מעוין, מקבילית או מלבן. ההבדל שלו מהדמויות האלה הוא שכל הזוויות שלו ישרות, וכל ארבע הצלעות שוות. ריבוע הוא מרובע רגיל.

מרובע נקרא ריבוע במקרים הבאים:

1. אם מדובר במלבן שאורכו a ורוחב b שווים.
2. אם זה מעוין בעל אלכסונים שווים באורך וארבע זוויות ישרות.

המאפיינים של ריבוע כוללים את כל המאפיינים שנדונו קודם לכן הקשורים למלבן, כמו גם את הדברים הבאים:

1. אלכסונים מאונכים זה לזה (נכס של מעוין).
2. נקודת החיתוך עולה בקנה אחד עם מרכז המעגל הכתוב.
3. שני האלכסונים מחלקים את המרובע לארבעה משולשים ישרי זווית ודו שוקיים זהים.

להלן כמה נוסחאות בשימוש תכוף עבור חישוב ההיקף, השטח והאלמנטים של ריבוע:

• אלכסון d = a √2.
• היקף P = 4 א.
• שטח S = a².
• רדיוס המעגל המוקף הוא חצי מהאלכסון: R = 0.5 a √2.
• הרדיוס של עיגול חרוט מוגדר כמחצית מאורך הצלע: r = a / 2.

שאלות ומשימות לדוגמא

בואו ננתח כמה מהשאלות שאתם עלולים להיתקל בהן בלימודי מתמטיקה בבית הספר, ונפתור כמה בעיות פשוטות.

משימה 1. כיצד ישתנה שטחו של מלבן אם אורך צלעותיו יוכפל?

פִּתָרוֹן : הבה נסמן את שטח הדמות המקורית כ-S0, ואת שטח המרובע באורך משולש של הצלעות - S1. לפי הנוסחה שנחשבה קודם לכן, נקבל: S0 = ab. כעת נגדיל את האורך והרוחב פי 3 ונכתוב: S1= 3 a 3 b = 9 ab. בהשוואה בין S0 ל-S1, ברור שהשטח השני גדול פי 9 מהראשון.

שאלה 1. האם מרובע בעל זוויות ישרות הוא ריבוע?

פִּתָרוֹן : מההגדרה עולה שדמות בעלת זוויות ישרות היא ריבוע רק אם אורכי כל צלעותיה שווים. אחרת, הדמות היא מלבן.

משימה 2. האלכסונים של מלבן יוצרים זווית של 60 מעלות. רוחב המלבן הוא 8. חשב מהו האלכסון.

פִּתָרוֹן:נזכיר שהאלכסונים חצויים על ידי נקודת החיתוך. לפיכך, אנו עוסקים במשולש שווה שוקיים עם זווית בקודקוד השווה ל-60°. מכיוון שהמשולש שווה שוקיים, גם הזוויות בבסיס יהיו זהות. על ידי חישובים פשוטים, אנו מקבלים שכל אחד מהם שווה ל-60 מעלות. מכאן נובע שהמשולש הוא שווה צלעות. הרוחב שאנו מכירים הוא בסיס המשולש, כך שחצי מהאלכסון הוא גם 8, ואורך האלכסון כולו פי שניים ושווה ל-16.

שאלה 2. האם למלבן כל הצלעות שוות או לא?

פִּתָרוֹן : די לזכור שכל הצלעות חייבות להיות שוות עבור ריבוע, שהוא מקרה מיוחד של מלבן. בכל שאר המקרים, תנאי מספיק הוא נוכחות של לפחות 3 זוויות ישרות. שוויון הצדדים אינו מאפיין חובה.

משימה 3. שטח הריבוע ידוע ושווה ל-289. מצא את הרדיוסים של המעגלים הכתובים והמוקפים.

פִּתָרוֹן : על פי הנוסחאות של הריבוע, נבצע את החישובים הבאים:

• בואו נקבע למה שווים האלמנטים העיקריים של הריבוע: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• בוא נחשב מה שווה רדיוס המעגל המתואר סביב המרובע: R = 0.5 d = 8.5√2.
• בואו נמצא את רדיוס המעגל הכתוב: r = a / 2 = 17 / 2 = 8.5.

הַגדָרָה.מקבילית היא מרובע שצלעותיו הנגדיות מקבילות בזוגיות.

תכונה.במקבילית, הצלעות הנגדיות שוות וזוויות הפוכות שוות.

תכונה.האלכסונים של מקבילית חצויים על ידי נקודת החיתוך.

סימן 1 של מקבילית.אם שתי צלעות של מרובע שוות ומקבילות, אז המרובע הוא מקבילית.

סימן 2 של מקבילית.אם הצלעות הנגדיות של מרובע שוות בזוגות, הרי שהמרובע הוא מקבילית.

סימן 3 של מקבילית.אם במרובע האלכסונים מצטלבים ונקודת החיתוך חצויה, אז מרובע זה הוא מקבילית.

הַגדָרָה.טרפז הוא מרובע שבו שתי צלעות מקבילות ושתי צלעות אחרות אינן מקבילות. צדדים מקבילים נקראים עילה.

הטרפז נקרא שווה שוקיים (שוניים)אם הצדדים שלו שוות. בטרפז שווה שוקיים, הזוויות בבסיסים שוות.

מַלבֵּנִי.

קו האמצע של הטרפז. הקו האמצעי מקביל לבסיסים ושווה לחצי הסכום שלהם.

מַלבֵּן

הַגדָרָה.

תכונה.האלכסונים של מלבן שווים.

שלט מלבן.אם האלכסונים של מקבילית שווים, אז המקבילית היא מלבן.

הַגדָרָה.

תכונה.האלכסונים של מעוין מאונכים זה לזה וחוצים את זוויותיו.

הַגדָרָה.

ריבוע הוא סוג מסוים של מלבן, וגם סוג מסוים של מעוין. לכן, יש לו את כל המאפיינים שלהם.

נכסים:
1. כל פינות הריבוע נכונות

מדרג את כל החוקים

מילות מפתח:
מרובע, קמור, סכום זוויות, שטח של מרובע

מְרוּבָּענקראת דמות, המורכבת מארבע נקודות וארבעה קטעים המחברים ביניהם בסדרה. במקרה זה, שלוש מהנקודות הללו לא צריכות לשכב על קו ישר אחד, והקטעים המחברים ביניהן לא צריכים להצטלב.

• קודקודי המרובע נקראים שָׁכֵן אם הם הקצוות של אחת מהצדדים שלו.
• קודקודים שאינם שכנים , שקוראים לו מול .
• קטעי קו המחברים קודקודים מנוגדים של מרובע נקראים אלכסונים .
• הצלעות של מרובע שמקורן מאותו קודקוד נקראות שָׁכֵן מסיבות.
• צדדים שאין להם סוף משותף נקראים מול מסיבות.
• המרובע נקרא קָמוּר , אם הוא ממוקם בחצי מישור אחד ביחס לקו הישר המכיל כל אחת מהצדדים שלו.

סוגי מרובעים

1. מַקבִּילִית מרובע עם צלעות נגדיות מקבילות
   • מַלבֵּן מקבילית עם כל הזוויות הישרות
   • מְעוּיָן - מקבילית שכל הצלעות שוות
   • כיכר - מלבן שכל הצלעות שוות
2. טרַפֵּז - מרובע שבו שתי צלעות מקבילות ושתי הצלעות האחרות אינן מקבילות
3. דלתואיד מרובע ששני זוגות הצלעות הסמוכות שלו שווים

ארבעים

מְרוּבָּענקראת דמות, המורכבת מארבע נקודות וארבעה קטעים המחברים ביניהם בסדרה. במקרה זה, אין שלוש מהנקודות הללו שוכנות על אותו קו ישר, והקטעים המחברים ביניהן אינם מצטלבים.

מול. מול.

סוגי מרובעים

מַקבִּילִית

מַקבִּילִיתנקרא מרובע שצלעותיו הנגדיות מקבילות בזוגיות.

מאפיינים מקבילים

• צלעות מנוגדות שוות;
• זוויות מנוגדות שוות;
• סכום ריבועי האלכסונים שווה לסכום הריבועים של כל הצלעות:

תכונות מקביליות

טרַפֵּזמרובע נקרא, שבו שתי צלעות מנוגדות הן מקבילות, ושתי האחרות אינן מקבילות.

הצלעות המקבילות של טרפז נקראות שלה עילהוהצדדים הלא מקבילים הצדדים.הקטע המחבר את נקודות האמצע של הצדדים נקרא קו אמצעי.

הטרפז נקרא שְׁוֵה שׁוֹקַיִם(אוֹ שְׁוֵה שׁוֹקַיִם) אם צלעותיו שוות.

טרפז בעל זווית ישרה אחת נקרא מַלבֵּנִי.

מאפייני טרפז

סימנים של טרפז

מַלבֵּן

מַלבֵּןמקבילית נקראת אם כל הזוויות הן ישרות.

מאפייני מלבן

תכונות מלבן

מקבילית היא מלבן אם:

1. אחת הפינות שלו צודקת.
2. האלכסונים שלו שווים.

מְעוּיָןמקבילית נקראת אם כל הצלעות שוות.

מאפייני מעוין

• כל המאפיינים של מקבילית;
• האלכסונים מאונכים;

סימנים של מעוין

כיכרמלבן נקרא שבו כל הצלעות שוות.

נכסים מרובעים

• כל פינות הריבוע נכונות;
• אלכסוני הריבוע שווים, מאונכים זה לזה, נקודת החיתוך מחולקת לשניים ופינות הריבוע מחולקות לשניים.

שלטים מרובעים

נוסחאות בסיסיות

S=d 1 ד 2 חטא

מַקבִּילִית
או ב-צדדים סמוכים; - הזווית ביניהם; ח א -גובה לצד א.

S = אב חטא

S=d 1 ד 2 חטא

טרַפֵּז
או ב- מגרש; ח-המרחק ביניהם; אני-קו אמצעי .

מַלבֵּן

S=d 1 ד 2 חטא

S = חטא 2

S=d 1 ד 2

כיכר
ד- אלכסוני.

www.univer.omsk.su

מאפיינים של מרובעים. סוגי מרובעים. מאפיינים של מרובעים שרירותיים. מאפיינים מקבילים. נכסי מעוין. מאפייני מלבן. נכסים מרובעים. תכונות טרפז. כיתה ז'-ט' בקירוב (בני 13-15)

מאפיינים של מרובעים. סוגי מרובעים. מאפיינים של מרובעים שרירותיים.
מאפיינים מקבילים. נכסי מעוין. מאפייני מלבן. נכסים מרובעים. תכונות טרפז.

סוגי מרובעים:

• מַקבִּילִיתהוא מרובע שצלעותיו הנגדיות מקבילות

• מְעוּיָןהוא מקבילית שכל הצלעות שוות.

• מַלבֵּןהוא מקבילית עם כל הזוויות הישרות.

• כיכרהוא מלבן שכל צלעותיו שוות.

מאפיינים של מרובעים שרירותיים:

מאפיינים מקבילים:

מאפייני מעוין:

מאפייני מלבן:

נכסי ריבוע:

תכונות טרפז:

ייעוץ וטכני
תמיכה באתר: צוות Zavarka

מדרג את כל החוקים

גיאומטריה לא אוקלידית, גיאומטריה דומה לגיאומטריה אוקלידסבכך שהוא מגדיר את תנועת הדמויות, אך שונה מהגיאומטריה האוקלידית בכך שאחת מחמש ההנחות שלה (השנייה או החמישית) מוחלפת בשלילה שלה. ההכחשה של אחת מההנחות האוקלידיות (1825) הייתה אירוע משמעותי בתולדות המחשבה, שכן היא שימשה כצעד ראשון לקראת תורת היחסות.

ההנחה השנייה של אוקלידס קובעת זאת ניתן להאריך כל קטע קו ללא הגבלת זמן. אוקלידס כנראה האמין שהנחה זו מכילה גם את ההצהרה שלקו הישר יש אורך אינסופי. למרות זאת בגיאומטריה "אליפטית" כל קו ישר הוא סופי וכמו מעגל סגור.

ההנחה החמישית קובעת שאם ישר חותך שני ישרים נתונים כך ששתי הזוויות הפנימיות בצד אחד שלו קטנות משתי זוויות ישרות בסך הכל, אזי שני הקווים הללו, אם ימשכו ללא הגבלת זמן, יצטלבו בצד שבו סכום זוויות אלו קטנות מסכום שני קווים ישרים. אבל בגיאומטריה "היפרבולית", יכול להיות שיש קו CB (ראה איור), מאונך בנקודה C לישר נתון r וחותך ישר אחר s בזווית חדה בנקודה B, אך עם זאת, הקווים האינסופיים r ו s לעולם לא יצטלב .

מהנחות המתוקנות הללו עלה כי סכום הזוויות של משולש, השווה ל-180° בגיאומטריה האוקלידית, גדול מ-180° בגיאומטריה אליפטית וקטן מ-180° בגיאומטריה ההיפרבולית.

מְרוּבָּע

מְרוּבָּעהוא מצולע המכיל ארבעה קודקודים וארבע צלעות.

מְרוּבָּע, דמות גיאומטרית - מצולע עם ארבע פינות, כמו גם כל עצם, מכשיר בצורה זו.

שתי צלעות לא סמוכות של מרובע נקראות מול.שני קודקודים שאינם סמוכים נקראים גם מול.

מרובעים קמורים (כמו ABCD) ו
לא קמור (A 1 B 1 C 1 D 1).

סוגי מרובעים

• מַקבִּילִית- מרובע שבו כל הצלעות הנגדיות מקבילות;
• מַלבֵּן- מרובע עם כל הזוויות הישרות;
• מְעוּיָן- מרובע שבו כל הצלעות שוות;
• כיכר- מרובע שבו כל הזוויות ישרות וכל הצלעות שוות;
• טרַפֵּז- מרובע עם שתי צלעות נגדיות מקבילות;
• דלתואידמרובע ששני זוגות הצלעות הסמוכות שלו שווים.

מַקבִּילִית

מקבילית היא מרובע שצלעותיו הנגדיות מקבילות בזוגיות.

מקבילית (מיוונית מקבילה - מקביל וגרם - קו) כלומר שוכבים על קווים מקבילים. מקרים מיוחדים של מקבילית הם מלבן, ריבוע ומעוין.

• צלעות מנוגדות שוות;
• זוויות מנוגדות שוות;
• האלכסונים של נקודת החיתוך מחולקים לשניים;
• סכום הזוויות הסמוכות לצד אחד הוא 180°;
• סכום ריבועי האלכסונים שווה לסכום הריבועים של כל הצלעות.

מרובע הוא מקבילית אם:

1. שתי הצלעות הנגדיות שלו שוות ומקבילות.
2. הצלעות הנגדיות שוות בזוגות.
3. זוויות נגדיות שוות בזוגות.
4. האלכסונים של נקודת החיתוך מחולקים לשניים.

מַלבֵּן

מלבן הוא מקבילית עם כל הזוויות הישרות.

• צלעות מנוגדות שוות;
• זוויות מנוגדות שוות;
• האלכסונים של נקודת החיתוך מחולקים לשניים;
• סכום הזוויות הסמוכות לצד אחד הוא 180°;
• האלכסונים שווים.

מקבילית היא מלבן אם:

1. אחת הפינות שלו צודקת.
2. האלכסונים שלו שווים.

מעוין הוא מקבילית שבה כל הצלעות שוות.

• צלעות מנוגדות שוות;
• זוויות מנוגדות שוות;
• האלכסונים של נקודת החיתוך מחולקים לשניים;
• סכום הזוויות הסמוכות לצד אחד הוא 180°;
• סכום ריבועי האלכסונים שווה לסכום הריבועים של כל הצלעות;
• האלכסונים מאונכים;
• האלכסונים הם חצויים של הזוויות שלו.

מקבילית היא מעוין אם:

1. שתי הצלעות הסמוכות שלו שוות.
2. האלכסונים שלו מאונכים.
3. אחד האלכסונים הוא חצוי הזווית שלו.

ריבוע הוא מלבן שכל הצלעות בו שוות.

• כל פינות הריבוע נכונות;
• אלכסוני הריבוע שווים, מאונכים זה לזה, נקודת החיתוך מחולקת לשניים ופינות הריבוע מחולקות לשניים.

1. מלבן הוא ריבוע אם יש לו מאפיין כלשהו של מעוין.

טרפז הוא מרובע שבו שתי צלעות מנוגדות הן מקבילות ושתי האחרות אינן מקבילות.

הצלעות המקבילות של טרפז נקראות הבסיסים שלו, והצלעות הלא מקבילות נקראות הצלעות שלו. הקטע המחבר את נקודות האמצע של הצדדים נקרא קו האמצע.

טרפז נקרא שווה שוקיים (או שווה שוקיים) אם צלעותיו שוות.

טרפז בעל זווית ישרה אחת נקרא טרפז ישר זווית.

• קו האמצע שלו מקביל לבסיסים ושווה לחצי הסכום שלהם;
• אם הטרפז שווה שוקיים, אז האלכסונים שלו שווים והזוויות בבסיס שוות;
• אם הטרפז שווה שוקיים, ניתן לתאר מעגל סביבו;
• אם סכום הבסיסים שווה לסכום הצלעות, אז ניתן לרשום בו עיגול.

1. מרובע הוא טרפז אם צלעותיו המקבילות אינן שוות

דלתואידמרובע עם שני זוגות צלעות באורך זהה. שלא כמו מקבילית, שני זוגות של צלעות סמוכות אינן שוות, אלא שני זוגות של צלעות סמוכות. הדלתואיד מעוצב כמו עפיפון.

• הזוויות בין צלעות בעלות אורך לא שווה שוות.
• האלכסונים של הדלתואיד (או שלוחותיהם) מצטלבים בזוויות ישרות.
• ניתן לרשום מעגל בכל דלתאי קמור, מלבד זאת, אם הדלתואיד אינו מעוין, אז יש מעגל נוסף המשיק להרחבות של כל ארבע הצלעות. עבור דלטואיד לא קמור, אפשר לבנות מעגל המשיק לשתי צלעות גדולות יותר והרחבות של שתי צלעות קטנות יותר, ומעגל משיק לשתי צלעות קטנות יותר והרחבות של שתי צלעות גדולות יותר.

• אם הזווית בין הצלעות הלא שוות של הדלתואיד היא קו ישר, אז ניתן לרשום בו עיגול (הדלתואיד המתואר).
• אם זוג צלעות מנוגדות של דלתואיד שווים, אז דלתאי כזה הוא מעוין.
• אם זוג צלעות מנוגדות ושני האלכסונים של הדלתואיד שווים, אז הדלתואיד הוא ריבוע. דלטואיד רשום בעל אלכסונים שווים הוא גם ריבוע.

הופעתה של הגיאומטריה מתוארכת לתקופות קדומות ונבעה מהצרכים המעשיים של הפעילות האנושית (הצורך למדוד אדמה, למדוד נפחים של גופים שונים וכו').

המידע והמושגים הגיאומטריים הפשוטים ביותר היו ידועים במצרים העתיקה. בתקופה זו נוסחו הצהרות גיאומטריות בצורה של כללים שניתנו ללא הוכחה.

מהמאה ה-7 לפני הספירה ה. למאה ה-1 לספירה ה. הגיאומטריה כמדע התפתחה במהירות ביוון העתיקה. במהלך תקופה זו התרחשה לא רק הצטברות של מידע גיאומטרי שונים, אלא נבנתה גם המתודולוגיה להוכחת הצהרות גיאומטריות, ונעשו הניסיונות הראשונים לגבש את ההוראות הראשוניות (האקסיומות) הבסיסיות של הגיאומטריה, שמתוכם גיאומטרים רבים ושונים. הצהרות נגזרות על ידי חשיבה לוגית גרידא. רמת ההתפתחות של הגיאומטריה ביוון העתיקה באה לידי ביטוי ביצירת "ההתחלות" של אוקלידס.

בספר זה, לראשונה, נעשה ניסיון לתת בנייה שיטתית של פלנימטריה על בסיס מושגים גיאומטריים ואקסיומות (פוסטולטים) בסיסיים לא מוגדרים.

מקום מיוחד בהיסטוריה של המתמטיקה תופסת ההנחה החמישית של אוקלידס (האקסיומה של קווים מקבילים). במשך זמן רב ניסו מתמטיקאים ללא הצלחה לגזור את ההנחה החמישית משאר ההנחות של אוקלידס, ורק באמצע המאה ה-19, הודות למחקריהם של נ.י. לובצ'בסקי, ב' רימן וי' בויאי, התברר כי לא ניתן לגזור את ההנחה החמישית מהשאר, ומערכת האקסיומות, שהוצעה על ידי אוקלידס אינה היחידה האפשרית.

ל"אלמנטים" של אוקלידס הייתה השפעה עצומה על התפתחות המתמטיקה. במשך יותר מאלפיים שנה, ספר זה היה לא רק ספר לימוד בגיאומטריה, אלא גם שימש נקודת מוצא למחקרים מתמטיים רבים, שבעקבותיהם קמו ענפים עצמאיים חדשים במתמטיקה.

הבנייה השיטתית של הגיאומטריה מתבצעת בדרך כלל על פי התוכנית הבאה:

אני.המושגים הגיאומטריים העיקריים מפורטים, אשר מוצגים ללא הגדרות.

II.ניתן ניסוח של אקסיומות הגיאומטריה.

III.על בסיס אקסיומות ומושגים גיאומטריים בסיסיים, מנוסחים מושגים ומשפטים גיאומטריים נוספים.

1. מקור השם גיאומטריה לא אוקלידית?
2. אילו צורות נקראות מרובעים?
3. מאפיינים של מקבילית?
4. סוגי מרובעים?

רשימת מקורות בשימוש

1. א.ג. ציפקין. מדריך למתמטיקה
2. "בחינת המדינה המאוחדת 2006. מתמטיקה. חומרי חינוך והדרכה להכנת תלמידים / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. מזור ק.י. "פתרון הבעיות התחרותיות העיקריות במתמטיקה של האוסף בעריכת מ.י. סקנאווי"

עובדים על השיעור

אתה יכול להעלות שאלה על חינוך מודרני, להביע רעיון או לפתור בעיה דחופה ב פורום חינוךשבו מועצה חינוכית של מחשבה ופעולה טריים נפגשת בינלאומית. לאחר שיצר בלוג,לא רק שתשפר את מעמדך כמורה מוכשרת, אלא גם תתרום תרומה משמעותית לפיתוח בית הספר של העתיד. גילדת מנהיגי החינוךפותחת את הדלת למומחים מהשורה הראשונה ומזמינה אתכם לשתף פעולה בכיוון של יצירת בתי הספר הטובים בעולם.

פופולרי:

• סעיף 282. הסתה לשנאה או לאיבה, וכן השפלת כבוד האדם
• מחשבון ארנונה חברות כיצד לחשב ארנונה חברות השתנה טופס החישוב לתשלומי מקדמה. החל מהדיווח למחצית הראשונה של 2017, חישוב ארנונה של חברות […]
• חוקי האקולוגיה במשך יותר מ-100 שנים של מחקר מקיף של אוכלוסיות וקהילות, הצטברה כמות עצומה של עובדות. ביניהם - מספר רב, המשקף תופעות ותהליכים אקראיים או לא סדירים. אבל לא […]
• אפשרויות הפרשה לפנסיה במערכת ביטוח פנסיוני חובה עד סוף שנת 2015 יכלו אזרחים ילידי 1967 ומטה לבחור: להמשיך ולגבש חיסכון פנסיוני או […]
• צו של משרד החקלאות 549 נרשם במשרד המשפטים של הפדרציה הרוסית ב-5 במרץ 2009 N 13476 משרד החקלאות של הפדרציה הרוסית מיום 16 בדצמבר 2008 N 532 על אישור הסיווג של ה-FREAZATURD יערות ו […]
• הגדלת קצבאות לילדים עם מוגבלות החל מ-1 בינואר 2018 הפרשת פנסיה לאזרחים היא חובה המוטלת על המדינה. כך נאמר בקוד החוקים של המדינה - בחוקה. בקרב הנכים הזקוקים […]
• כלל הסדר הפנימי של JSC RZD JSC "RUSSIAN RAILWAYS" צו מיום 26 ביולי 2012 N 87 על אישור הכללים של תקנת העבודה הפנימית של השירותים האזוריים (המחלקה) של הפיתוח של ארגון הנוסעים והנוסעים […]
• חוק שלושת השלבים של הפוזיטיביזם כתנועה פילוסופית יוצא מהתפיסה שעיקר הידע על העולם, האדם והחברה מתקבל במדעים מיוחדים, שהמדע ה"חיובי" צריך לנטוש את הניסיונות […]

היום נשקול דמות גיאומטרית - מרובע. משמה של דמות זו כבר מתברר שלדמות זו יש ארבע פינות. אבל את שאר המאפיינים והמאפיינים של דמות זו נשקול להלן.

מהו מרובע

מרובע הוא מצולע המורכב מארבע נקודות (קודקודים) וארבעה קטעים (צלעות) המחברים את הנקודות הללו בזוגות. שטחו של מרובע הוא מחצית המכפלה של האלכסונים שלו והזווית ביניהם.

מרובע הוא מצולע בעל ארבעה קודקודים, ששלושה מהם אינם מונחים על אותו קו.

סוגי מרובעים

• מרובע שצלעותיו הנגדיות מקבילות בזוגיות נקרא מקבילית.
• מרובע שבו שתי צלעות מנוגדות מקבילות ושתי האחרות אינן נקרא טרפז.
• מרובע עם כל הזוויות הישרות הוא מלבן.
• מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.
• מרובע שבו כל הצלעות שוות וכל הזוויות ישרות נקרא ריבוע.

המרובע יכול להיות:

מצטלבים את עצמם

לא קמור

קָמוּר

מרובע חוצה עצמיהוא מרובע שבכל אחת מהצלעות שלו יש נקודת חיתוך (בכחול באיור).

מרובע לא קמורהוא מרובע שבו אחת מהזוויות הפנימיות היא יותר מ-180 מעלות (מסומן בכתום באיור).

סכום זוויותכל מרובע שאינו חוצה את עצמו תמיד שווה 360 מעלות.

סוגים מיוחדים של מרובעים

למרובעים יכולים להיות מאפיינים נוספים, ויוצרים סוגים מיוחדים של צורות גיאומטריות:

• מַקבִּילִית
• מַלבֵּן
• כיכר
• טרַפֵּז
• דלתואיד
• קונטרללוגרמה

מרובע ומעגל

מרובע חרוט מסביב למעגל (מעגל חרוט במרובע).

המאפיין העיקרי של המרובע המוקף:

ניתן לתחום מרובע סביב מעגל אם ורק אם סכומי אורכי הצלעות הנגדיות שווים.

מרובע רשום במעגל (עיגול רשום סביב מרובע)

מאפיין עיקרי של מרובע רשום:

ניתן לרשום מרובע במעגל אם ורק אם סכום הזוויות ההפוכות הוא 180 מעלות.

תכונות אורך צד מרובע

מודול הבדל של כל שני צלעות של מרובעאינו חורג מסכום שני הצדדים האחרים שלו.

|א - ב| ≤ c + d

|א - ג| ≤ b + d

|א - ד| ≤ b + c

|ב - ג| ≤ a + d

|ב - ד| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

חָשׁוּב. אי השוויון נכון לכל שילוב של צלעות של מרובע. הדמות מסופקת אך ורק כדי להקל על ההבנה.

בכל מרובע סכום אורכי שלושת צלעותיו אינו קטן מאורך הצלע הרביעית.

חָשׁוּב. בעת פתרון בעיות במסגרת תוכנית הלימודים בבית הספר, אתה יכול להשתמש באי שוויון קפדני (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

הַגדָרָה.מקבילית היא מרובע שצלעותיו הנגדיות מקבילות בזוגיות.

תכונה.במקבילית, הצלעות הנגדיות שוות וזוויות הפוכות שוות.

תכונה.האלכסונים של מקבילית חצויים על ידי נקודת החיתוך.

סימן 1 של מקבילית.אם שתי צלעות של מרובע שוות ומקבילות, אז המרובע הוא מקבילית.

סימן 2 של מקבילית.אם הצלעות הנגדיות של מרובע שוות בזוגות, הרי שהמרובע הוא מקבילית.

סימן 3 של מקבילית.אם במרובע האלכסונים מצטלבים ונקודת החיתוך חצויה, אז מרובע זה הוא מקבילית.

הַגדָרָה.טרפז הוא מרובע שבו שתי צלעות מקבילות ושתי צלעות אחרות אינן מקבילות. צדדים מקבילים נקראים עילה.

הטרפז נקרא שווה שוקיים (שוניים)אם הצדדים שלו שוות. בטרפז שווה שוקיים, הזוויות בבסיסים שוות.

טרפז בעל זווית ישרה אחת נקרא מַלבֵּנִי.

הקטע המחבר את נקודות האמצע של הצדדים נקרא קו האמצע של הטרפז. הקו האמצעי מקביל לבסיסים ושווה לחצי הסכום שלהם.

הַגדָרָה.מלבן הוא מקבילית עם כל הזוויות הישרות.

תכונה.האלכסונים של מלבן שווים.

שלט מלבן.אם האלכסונים במקבילית שווים, אז מקבילית זו היא מלבן.

הַגדָרָה.מעוין הוא מקבילית שבה כל הצלעות שוות.

תכונה.האלכסונים של מעוין מאונכים זה לזה וחוצים את זוויותיו.

הַגדָרָה.ריבוע הוא מלבן שכל הצלעות בו שוות.

ריבוע הוא סוג מסוים של מלבן, וגם סוג מסוים של מעוין. לכן, יש לו את כל המאפיינים שלהם.

נכסים:
1. כל פינות הריבוע נכונות

2. אלכסוני הריבוע שווים, מאונכים זה לזה, נקודת החיתוך מחולקת לשניים ופינות הריבוע מחולקות לשניים.

עם ארבע פינות וארבעה צדדים. מרובע נוצר מפוליליין סגור, המורכב מארבע חוליות, ומהחלק הזה של המישור שנמצא בתוך הפוליליין.

ייעודו של מרובע מורכב מהאותיות בקודקודיו, ונותן אותן לפי הסדר. למשל, אומרים או כותבים: מרובע א ב ג ד :

במרובע א ב ג דנקודות א, ב, גו ד- זה קודקודים מרובעים, קטעים א.ב, לִפנֵי הַסְפִירָה, CDו DA - הצדדים.

קודקודים ששייכים לאותו צד נקראים שָׁכֵן, קודקודים שאינם סמוכים נקראים מול:

במרובע א ב ג דפסגות או ב, בו ג, גו ד, דו אהם סמוכים, והקודקודים או ג, בו ד- מול. זוויות השוכנות בקודקודים סמוכים נקראות גם שכנות, ובקודקודים מנוגדים - מנוגדים.

ניתן גם לחלק את צלעותיו של מרובע בזוגות לצלעות סמוכות ומנוגדות: צלעות בעלות קודקוד משותף נקראות שָׁכֵן(אוֹ קָשׁוּר), צדדים שאין להם קודקודים משותפים - מול:

מסיבות א.בו לִפנֵי הַסְפִירָה, לִפנֵי הַסְפִירָהו CD, CDו DA, DAו א.בהם סמוכים, והצדדים א.בו זֶרֶם יָשָׁר, מוֹדָעָהו לִפנֵי הַסְפִירָה- מול.

אם קודקודים מנוגדים מחוברים על ידי קטע, אז קטע כזה ייקרא האלכסון של המרובע. בהתחשב בכך שיש רק שני זוגות של קודקודים מנוגדים במרובע, אז יכולים להיות רק שני אלכסונים:

פלחים ACו BD- אלכסונים.

שקול את הסוגים העיקריים של מרובעים קמורים:

• טרַפֵּז- מרובע שבו זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילים זו לזו, והזוג השני אינו מקביל.
  • טרפז שווה שוקיים- טרפז שצלעותיו שוות.
  • טרפז מלבניטרפז עם אחת מהזוויות הישר.
• מַקבִּילִיתמרובע שבו שני זוגות הצלעות הנגדיות מקבילות זו לזו.
  • מַלבֵּןמקבילית שבה כל הזוויות שוות.
  • מְעוּיָןמקבילית שכל הצלעות שוות.
  • כיכרמקבילית בעלת צלעות וזוויות שוות. גם מלבן וגם מעוין יכולים להיות ריבוע.

מאפיינים פינתיים של מרובעים קמורים

לכל המרובעים הקמורים יש את שתי התכונות הבאות:

1. כל זווית פנימית פחות מ-180°.
2. סכום הזוויות הפנימיות הוא 360°.