רצף המספרים הוא אריתמטי וגיאומטרי. התקדמות אריתמטית וגאומטרית

אם לכל מספר טבעי נ להתאים למספר אמיתי א n , אז אומרים שזה ניתן רצף מספרים :

א 1 , א 2 , א 3 , . . . , א n , . . . .

אז, רצף המספרים הוא פונקציה של הארגומנט הטבעי.

מספר א 1 שקוראים לו החבר הראשון ברצף , מספר א 2 — מונח שני של הרצף , מספר א 3 — שְׁלִישִׁי וכולי. מספר א n שקוראים לו איבר n ברצף , ומספר טבעי נ — המספר שלו .

משני חברים סמוכים א n ו א n +1 איבר רצף א n +1 שקוראים לו לאחר מכן (לִקרַאת א n ), א א n — קודם (לִקרַאת א n +1 ).

כדי להגדיר רצף, עליך לציין שיטה המאפשרת לך למצוא איבר ברצף עם כל מספר.

לעתים קרובות הרצף מצוין באמצעות נוסחאות מונח n , כלומר נוסחה המאפשרת לקבוע איבר ברצף לפי מספרו.

לדוגמה,

ניתן לתת רצף של מספרים אי-זוגיים חיוביים על ידי הנוסחה

א n= 2n- 1,

והרצף של מתחלפים 1 ו -1 - נוסחה

בנ = (-1)נ +1 . ◄

ניתן לקבוע את הרצף נוסחה חוזרת, כלומר, נוסחה המבטאת כל איבר ברצף, החל בכמה, דרך האיברים הקודמים (אחד או יותר).

לדוגמה,

אם א 1 = 1 , א א n +1 = א n + 5

א 1 = 1,

א 2 = א 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

א 3 = א 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

א 4 = א 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

א 5 = א 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

אם א 1= 1, א 2 = 1, א n +2 = א n + א n +1 , אז שבעת האיברים הראשונים של הרצף המספרי נקבעים באופן הבא:

א 1 = 1,

א 2 = 1,

א 3 = א 1 + א 2 = 1 + 1 = 2,

א 4 = א 2 + א 3 = 1 + 2 = 3,

א 5 = א 3 + א 4 = 2 + 3 = 5,

א 6 = א 4 + א 5 = 3 + 5 = 8,

א 7 = א 5 + א 6 = 5 + 8 = 13. ◄

רצפים יכולים להיות סופי ו אינסופי .

הרצף נקרא סופי , אם יש לו מספר סופי של איברים. הרצף נקרא אינסופי , אם יש בו אינסוף חברים.

לדוגמה,

רצף של מספרים טבעיים דו ספרתיים:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

סופי.

רצף של מספרים ראשוניים:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

אינסופי. ◄

הרצף נקרא גָדֵל , אם כל אחד מאבריו, החל מהשני, גדול מהקודם.

הרצף נקרא פּוֹחֵת , אם כל אחד מהחברים שלו, החל מהשני, קטן מהקודם.

לדוגמה,

2, 4, 6, 8, . . . , 2נ, . . . - רצף הולך וגובר;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /נ, . . . - רצף יורד. ◄

רצף שהאלמנטים שלו אינם יורדים ככל שהמספר גדל, או להיפך, אינם גדלים, נקרא רצף מונוטוני .

רצפים מונוטוניים, בפרט, הם רצפים הולכים וגדלים ורצפים פוחתים.

התקדמות אריתמטית

התקדמות אריתמטית הוא רצף שבו כל איבר, החל מהשני, שווה לקודם, אליו מתווסף אותו מספר.

א 1 , א 2 , א 3 , . . . , א n, . . .

הוא התקדמות אריתמטית אם עבור מספר טבעי כלשהו נ מתקיים התנאי:

א n +1 = א n + ד,

איפה ד - מספר מסוים.

לפיכך, ההבדל בין האיברים הבאים והקודמים של התקדמות אריתמטית נתונה תמיד קבוע:

א 2 - א 1 = א 3 - א 2 = . . . = א n +1 - א n = ד.

מספר ד שקוראים לו הבדל בהתקדמות אריתמטית.

כדי להגדיר התקדמות אריתמטית, מספיק לציין את האיבר הראשון וההבדל שלה.

לדוגמה,

אם א 1 = 3, ד = 4 , אז נמצא את חמשת האיברים הראשונים של הרצף באופן הבא:

א 1 =3,

א 2 = א 1 + ד = 3 + 4 = 7,

א 3 = א 2 + ד= 7 + 4 = 11,

א 4 = א 3 + ד= 11 + 4 = 15,

א 5 = א 4 + ד= 15 + 4 = 19. ◄

להתקדמות אריתמטית עם המונח הראשון א 1 ואת ההבדל ד שֶׁלָה נ

א n = א 1 + (נ- 1)ד.

לדוגמה,

מצא את האיבר השלושים של ההתקדמות האריתמטית

1, 4, 7, 10, . . .

א 1 =1, ד = 3,

30 = א 1 + (30 - 1)ד = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = א 1 + (נ- 2)ד,

א n= א 1 + (נ- 1)ד,

א n +1 = א 1 + נד,

אז ברור

כל איבר בהתקדמות אריתמטית, החל מהשנייה, שווה לממוצע האריתמטי של האיברים הקודמים והבאים.

המספרים a, b ו-c הם איברים עוקבים של התקדמות אריתמטית כלשהי אם ורק אם אחד מהם שווה לממוצע האריתמטי של השניים האחרים.

לדוגמה,

א n = 2נ- 7 , הוא התקדמות אריתמטית.

בואו נשתמש בהצהרה לעיל. יש לנו:

א n = 2נ- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2נ- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2נ- 5.

לָכֵן,

◄

ציין זאת נ המונח ה-th של התקדמות אריתמטית ניתן למצוא לא רק דרך א 1 , אבל גם כל הקודם א ק

א n = א ק + (נ- ק)ד.

לדוגמה,

ל א 5 ניתן לרשום

א 5 = א 1 + 4ד,

א 5 = א 2 + 3ד,

א 5 = א 3 + 2ד,

א 5 = א 4 + ד. ◄

א n = א נ-ק + kd,

א n = a n+k - kd,

אז ברור

כל איבר בהתקדמות אריתמטית, החל מהשנייה, שווה למחצית הסכום של האיברים ברווח שווה של ההתקדמות האריתמטית הזו.

בנוסף, עבור כל התקדמות אריתמטית מתקיים השוויון הבא:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

לדוגמה,

בהתקדמות אריתמטית

1) א 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (א 9 + א 11 )/2;

2) 28 = 10 = א 3 + 7ד= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, כי

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ א n,

ראשון נ איברים של התקדמות אריתמטית שווה למכפלה של מחצית מסכום האיברים הקיצוניים ומספר האיברים:

מכאן, במיוחד, יוצא שאם צריך לסכם את התנאים

א ק, א ק +1 , . . . , א n,

אז הנוסחה הקודמת שומרת על המבנה שלה:

לדוגמה,

בהתקדמות אריתמטית 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ס 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ס 10 - ס 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

אם ניתנת התקדמות אריתמטית, אז הכמויות א 1 , א n, ד, נוס נ מחוברים בשתי נוסחאות:

לכן, אם הערכים של שלוש מהכמויות הללו ניתנים, אז הערכים המקבילים של שתי הכמויות האחרות נקבעים מהנוסחאות הללו, משולבות למערכת של שתי משוואות עם שני לא ידועים.

התקדמות אריתמטית היא רצף מונוטוני. שבו:

• אם ד > 0 , אז זה הולך וגדל;
• אם ד < 0 , אז זה הולך ופוחת;
• אם ד = 0 , אז הרצף יהיה נייח.

התקדמות גיאומטרית

התקדמות גיאומטרית הוא רצף שבו כל איבר, החל מהשני, שווה לקודם כפול באותו מספר.

ב 1 , ב 2 , ב 3 , . . . , ב נ, . . .

הוא התקדמות גיאומטרית אם עבור מספר טבעי כלשהו נ מתקיים התנאי:

ב נ +1 = ב נ · ש,

איפה ש ≠ 0 - מספר מסוים.

לפיכך, היחס בין האיבר העוקב של התקדמות גיאומטרית נתונה לקודם הוא מספר קבוע:

ב 2 / ב 1 = ב 3 / ב 2 = . . . = ב נ +1 / ב נ = ש.

מספר ש שקוראים לו מכנה של התקדמות גיאומטרית.

כדי להגדיר התקדמות גיאומטרית, מספיק לציין את המונח והמכנה הראשון שלו.

לדוגמה,

אם ב 1 = 1, ש = -3 , אז נמצא את חמשת האיברים הראשונים של הרצף באופן הבא:

ב 1 = 1,

ב 2 = ב 1 · ש = 1 · (-3) = -3,

ב 3 = ב 2 · ש= -3 · (-3) = 9,

ב 4 = ב 3 · ש= 9 · (-3) = -27,

ב 5 = ב 4 · ש= -27 · (-3) = 81. ◄

ב 1 ומכנה ש שֶׁלָה נ ניתן למצוא את המונח ה-th באמצעות הנוסחה:

ב נ = ב 1 · qn -1 .

לדוגמה,

מצא את האיבר השביעי של ההתקדמות הגיאומטרית 1, 2, 4, . . .

ב 1 = 1, ש = 2,

ב 7 = ב 1 · ש 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = ב 1 · qn -2 ,

ב נ = ב 1 · qn -1 ,

ב נ +1 = ב 1 · qn,

אז ברור

ב נ 2 = ב נ -1 · ב נ +1 ,

כל איבר בהתקדמות הגיאומטרית, החל מהשני, שווה לממוצע הגיאומטרי (פרופורציונלי) של האיברים הקודמים והבאים.

מכיוון שגם ההיפך נכון, האמירה הבאה מתקיימת:

המספרים a, b ו-c הם איברים עוקבים של התקדמות גיאומטרית כלשהי אם ורק אם הריבוע של אחד מהם שווה למכפלת השניים האחרים, כלומר, אחד המספרים הוא הממוצע הגיאומטרי של השניים האחרים.

לדוגמה,

הבה נוכיח שהרצף שניתן על ידי הנוסחה ב נ= -3 · 2 נ , הוא התקדמות גיאומטרית. בואו נשתמש בהצהרה לעיל. יש לנו:

ב נ= -3 · 2 נ,

ב נ -1 = -3 · 2 נ -1 ,

ב נ +1 = -3 · 2 נ +1 .

לָכֵן,

ב נ 2 = (-3 2 נ) 2 = (-3 2 נ -1 ) · (-3 · 2 נ +1 ) = ב נ -1 · ב נ +1 ,

מה שמוכיח את האמירה הרצויה. ◄

ציין זאת נ את האיבר ה-th של התקדמות גיאומטרית ניתן למצוא לא רק דרך ב 1 , אבל גם כל חבר קודם ב ק , שעבורו מספיק להשתמש בנוסחה

ב נ = ב ק · qn - ק.

לדוגמה,

ל ב 5 ניתן לרשום

ב 5 = ב 1 · ש 4 ,

ב 5 = ב 2 · ש 3,

ב 5 = ב 3 · ש 2,

ב 5 = ב 4 · ש. ◄

ב נ = ב ק · qn - ק,

ב נ = ב נ - ק · q k,

אז ברור

ב נ 2 = ב נ - ק· ב נ + ק

הריבוע של כל איבר של התקדמות גיאומטרית, החל מהשני, שווה למכפלת האיברים של התקדמות זו במרחק שווה ממנו.

בנוסף, עבור כל התקדמות גיאומטרית השוויון נכון:

ב מ· ב נ= ב ק· ב ל,

M+ נ= ק+ ל.

לדוגמה,

בהתקדמות גיאומטרית

1) ב 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ב 5 · ב 7 ;

2) 1024 = ב 11 = ב 6 · ש 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ב 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ב 4 · ב 8 ;

4) ב 2 · ב 7 = ב 4 · ב 5 , כי

ב 2 · ב 7 = 2 · 64 = 128,

ב 4 · ב 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ב 1 + ב 2 + ב 3 + . . . + ב נ

ראשון נ איברים של התקדמות גיאומטרית עם מכנה ש ≠ 0 מחושב לפי הנוסחה:

ומתי ש = 1 - לפי הנוסחה

S n= הערה: 1

שימו לב שאם אתם צריכים לסכם את התנאים

ב ק, ב ק +1 , . . . , ב נ,

אז נעשה שימוש בנוסחה:

לדוגמה,

בהתקדמות גיאומטרית 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ס 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ס 10 - ס 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

אם ניתנת התקדמות גיאומטרית, אז הכמויות ב 1 , ב נ, ש, נו S n מחוברים בשתי נוסחאות:

לכן, אם ניתנים הערכים של כל שלוש מהכמויות הללו, אז הערכים התואמים של שתי הכמויות האחרות נקבעים מהנוסחאות הללו, משולבות למערכת של שתי משוואות עם שני לא ידועים.

להתקדמות גיאומטרית עם המונח הראשון ב 1 ומכנה ש מתרחשים הבאים תכונות של מונוטוניות :

• ההתקדמות גדלה אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

ב 1 > 0 ו ש> 1;

ב 1 < 0 ו 0 < ש< 1;

• ההתקדמות הולכת ופוחתת אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

ב 1 > 0 ו 0 < ש< 1;

ב 1 < 0 ו ש> 1.

אם ש< 0 , אז ההתקדמות הגיאומטרית מתחלפת: לאיברים שלו עם מספרים אי-זוגיים יש סימן זהה לאיבר הראשון שלו, ולאברים עם מספרים זוגיים יש סימן הפוך. ברור שהתקדמות גיאומטרית מתחלפת אינה מונוטונית.

מוצר הראשון נ ניתן לחשב איברים של התקדמות גיאומטרית באמצעות הנוסחה:

P n= ב 1 · ב 2 · ב 3 · . . . · ב נ = (ב 1 · ב נ) נ / 2 .

לדוגמה,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

התקדמות גיאומטרית יורדת באופן אינסופי

התקדמות גיאומטרית יורדת באופן אינסופי נקרא התקדמות גיאומטרית אינסופית שמודול המכנה שלה קטן 1 , זה

|ש| < 1 .

שים לב שהתקדמות גיאומטרית הולכת ופוחתת באופן אינסופי עשויה להיות לא רצף יורד. זה מתאים לאירוע

1 < ש< 0 .

עם מכנה כזה, הרצף מתחלף. לדוגמה,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

סכום התקדמות גיאומטרית הולכת ופוחתת באופן אינסופי שם את המספר שאליו מתקרב סכום הראשונים ללא הגבלה נ חברים בהתקדמות עם עלייה בלתי מוגבלת במספר נ . מספר זה הוא תמיד סופי ומתבטא בנוסחה

לדוגמה,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

קשר בין התקדמות אריתמטית וגיאומטרית

התקדמות אריתמטית וגאומטרית קשורה קשר הדוק. בואו נסתכל על שתי דוגמאות בלבד.

א 1 , א 2 , א 3 , . . . ד , זה

ב א 1 , ב א 2 , ב א 3 , . . . ב ד .

לדוגמה,

1, 3, 5, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל 2 ו

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - התקדמות גיאומטרית עם מכנה 7 2 . ◄

ב 1 , ב 2 , ב 3 , . . . - התקדמות גיאומטרית עם מכנה ש , זה

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל יומן אש .

לדוגמה,

2, 12, 72, . . . - התקדמות גיאומטרית עם מכנה 6 ו

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - התקדמות אריתמטית עם הבדל lg 6 . ◄

וידה y= ו(איקס), איקסעל אודות נ, איפה נ– קבוצה של מספרים טבעיים (או פונקציה של ארגומנט טבעי), מסומנים y=ו(נ) אוֹ y 1 ,y 2 ,…, y n,…. ערכים y 1 ,y 2 ,y 3 ,… נקראים בהתאמה האיברים הראשון, השני, השלישי, ... של הרצף.

לדוגמה, עבור הפונקציה y= נאפשר לכתוב 2:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

שיטות לציון רצפים.ניתן לציין רצפים בדרכים שונות, ביניהן שלושה חשובים במיוחד: אנליטי, תיאורי וחוזר.

1. רצף ניתן בצורה אנליטית אם הנוסחה שלו ניתנת נהחבר:

y n=ו(נ).

דוגמא. y n= 2n – 1 – רצף של מספרים אי-זוגיים: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. תיאורי הדרך לציין רצף מספרי היא להסביר מאילו אלמנטים הרצף בנוי.

דוגמה 1. "כל האיברים של הרצף שווים ל-1." זה אומר שאנחנו מדברים על רצף נייח 1, 1, 1, …, 1, ….

דוגמה 2: "הרצף מורכב מכל המספרים הראשוניים בסדר עולה." לפיכך, הרצף הנתון הוא 2, 3, 5, 7, 11, …. בשיטה זו של ציון הרצף בדוגמה זו, קשה לענות למה, נניח, האלמנט ה-1000 של הרצף שווה.

3. השיטה החוזרת של ציון רצף היא לציין כלל שמאפשר לך לחשב נ-האיבר ברצף אם האיברים הקודמים שלו ידועים. השם שיטה חוזרת מגיע מהמילה הלטינית חוזר ונשנה- חזור. לרוב, במקרים כאלה, מצוינת נוסחה המאפשרת לבטא נהאיבר של הרצף דרך הקודמים, וציין 1-2 איברים ראשוניים של הרצף.

דוגמה 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 אם נ = 2, 3, 4,….

כאן y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

אתה יכול לראות שניתן לציין את הרצף המתקבל בדוגמה זו גם בצורה אנליטית: y n= 4n – 1.

דוגמה 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 אם נ = 3, 4,….

כאן: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

הרצף בדוגמה זו נחקר במיוחד במתמטיקה מכיוון שיש לו מספר תכונות ויישומים מעניינים. הוא נקרא רצף פיבונאצ'י, על שמו של המתמטיקאי האיטלקי מהמאה ה-13. קל מאוד להגדיר את רצף פיבונאצ'י באופן חוזר, אבל קשה מאוד מבחינה אנליטית. נמספר פיבונאצ'י מבוטא באמצעות המספר הסידורי שלו בנוסחה הבאה.

במבט ראשון, הנוסחה עבור נמספר פיבונאצ'י נראה בלתי סביר, מכיוון שהנוסחה שמציינת את רצף המספרים הטבעיים מכילה רק שורשים ריבועיים, אך אתה יכול לבדוק "ידנית" את תקפותה של נוסחה זו עבור המספר הראשונות נ.

מאפיינים של רצפי מספרים.

רצף מספרי הוא מקרה מיוחד של פונקציה מספרית, לכן מספר תכונות של פונקציות נחשבות גם לרצפים.

הַגדָרָה . המשך ( y n} נקרא הגדלה אם כל אחד מהמונחים שלו (חוץ מהראשון) גדול מהקודם:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definition.Sequence ( y n} נקרא ירידה אם כל אחד מהמונחים שלו (חוץ מהראשון) קטן מהקודם:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

רצפים גדלים ויורדים משולבים במונח המקובל - רצפים מונוטוניים.

דוגמה 1. y 1 = 1; y n= נ 2 - רצף הולך וגדל.

לפיכך, המשפט הבא נכון (תכונה אופיינית של התקדמות אריתמטית). רצף מספרים הוא אריתמטי אם ורק אם כל אחד מהאיברים שלו, למעט הראשון (והאחרון במקרה של רצף סופי), שווה לממוצע האריתמטי של האיברים הקודמים והבאים.

דוגמא. באיזה ערך איקסמספרים 3 איקס + 2, 5איקס– 4 ו-11 איקס+ 12 יוצרים התקדמות אריתמטית סופית?

לפי התכונה האופיינית, הביטויים הנתונים חייבים לספק את היחס

5איקס – 4 = ((3איקס + 2) + (11איקס + 12))/2.

פתרון המשוואה הזו נותן איקס= –5,5. בערך הזה איקסנתון ביטויים 3 איקס + 2, 5איקס– 4 ו-11 איקס+ 12 לוקחים, בהתאמה, את הערכים -14.5, –31,5, –48,5. זוהי התקדמות אריתמטית, ההבדל שלה הוא -17.

התקדמות גיאומטרית.

רצף מספרי, שכל איבריו אינם אפס וכל איבר שלו, החל מהאיבר השני, מתקבל מהאיבר הקודם על ידי הכפלה באותו מספר ש, נקרא התקדמות גיאומטרית, והמספר ש- המכנה של התקדמות גיאומטרית.

לפיכך, התקדמות גיאומטרית היא רצף מספרים ( ב נ), מוגדר רקורסיבי על ידי היחסים

ב 1 = ב, ב נ = ב נ –1 ש (נ = 2, 3, 4…).

(בו ש -מספרים נתונים, ב ≠ 0, ש ≠ 0).

דוגמה 1. 2, 6, 18, 54, ... – הגדלת התקדמות גיאומטרית ב = 2, ש = 3.

דוגמה 2. 2, –2, 2, –2, … – התקדמות גיאומטרית ב= 2,ש= –1.

דוגמה 3. 8, 8, 8, 8, … – התקדמות גיאומטרית ב= 8, ש= 1.

התקדמות גיאומטרית היא רצף הולך וגדל אם ב 1 > 0, ש> 1, והקטנת אם ב 1 > 0, 0 q

אחת התכונות הברורות של התקדמות גיאומטרית היא שאם הרצף הוא התקדמות גיאומטרית, אז כך גם רצף הריבועים, כלומר.

ב 1 2 , ב 2 2 , ב 3 2 , …, ב נ 2,... הוא התקדמות גיאומטרית שהאיבר הראשון שלה שווה ל ב 1 2 , והמכנה הוא ש 2 .

נוּסחָה n-לאיבר ה' של ההתקדמות הגיאומטרית יש את הצורה

ב נ= ב 1 qn– 1 .

ניתן לקבל נוסחה לסכום האיברים של התקדמות גיאומטרית סופית.

תן התקדמות גיאומטרית סופית

ב 1 ,ב 2 ,ב 3 , …, ב נ

לתת S n –סכום החברים בה, כלומר.

S n= ב 1 + ב 2 + ב 3 + … +ב נ.

זה מקובל שמס' 1. לקבוע S nנעשה שימוש בטכניקה מלאכותית: כמה טרנספורמציות גיאומטריות של הביטוי מבוצעות S n q.

S n q = (ב 1 + ב 2 + ב 3 + … + ב נ –1 + ב נ)ש = ב 2 + ב 3 + ב 4 + …+ ב נ+ b n q = S n+ b n q– ב 1 .

לכן, S n q= S n +b n q – ב 1 ולכן

זו הנוסחה עם umma n מונחים של התקדמות גיאומטריתלמקרה מתי ש≠ 1.

בְּ ש= 1 אין צורך לגזור את הנוסחה בנפרד, ברור שבמקרה זה S n= א 1 נ.

ההתקדמות נקראת גיאומטרית מכיוון שכל איבר בו, מלבד הראשון, שווה לממוצע הגיאומטרי של האיברים הקודמים והבאים. אכן, מאז

bn=bn- 1 ש;

bn = bn+ 1 /q,

לָכֵן, ב נ 2=bn– 1 bn+ 1 והמשפט הבא נכון (תכונה אופיינית של התקדמות גיאומטרית):

רצף מספרים הוא התקדמות גיאומטרית אם ורק אם הריבוע של כל אחד מהאיברים שלו, למעט הראשון (והאחרון במקרה של רצף סופי), שווה למכפלת האיברים הקודמים והבאים.

מגבלת עקביות.

שיהיה רצף ( ג נ} = {1/נ}. רצף זה נקרא הרמוני, שכן כל אחד מהמונחים שלו, החל מהשני, הוא הממוצע ההרמוני בין האיברים הקודמים והבאים. ממוצע גיאומטרי של מספרים או ביש מספר

אחרת הרצף נקרא דיסברנטי.

על סמך הגדרה זו ניתן, למשל, להוכיח קיומו של גבול A=0עבור הרצף ההרמוני ( ג נ} = {1/נ). תן ε להיות מספר חיובי קטן באופן שרירותי. ההבדל נחשב

האם קיים דבר כזה? נזה לכולם n ≥ נאי שוויון 1 מתקיים /N ? אם ניקח את זה כמו נכל מספר טבעי גדול מ 1/ε ואז לכולם n ≥ Nאי שוויון 1 מתקיים /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

הוכחת קיומו של גבול עבור רצף מסוים יכול לפעמים להיות קשה מאוד. הרצפים הנפוצים ביותר נלמדים היטב והם רשומים בספרי עיון. ישנם משפטים חשובים המאפשרים להסיק שלרצף נתון יש גבול (ואפילו לחשב אותו), בהתבסס על רצפים שנלמדו כבר.

משפט 1. אם לרצף יש גבול, אז הוא מוגבל.

משפט 2. אם רצף מונוטוני ותוחם, אז יש לו גבול.

משפט 3. אם הרצף ( א n} יש גבול א, ואז הרצפים ( פחית}, {א n+ ג) ו-(| א n|} יש גבולות cA, א +ג, |א| בהתאם (כאן ג- מספר שרירותי).

משפט 4. אם הרצפים ( א n} וגם ( ב נ) יש גבולות שווים ל או ב מחבת + qbn) יש גבול pA+ qB.

משפט 5. אם הרצפים ( א n) ו ( ב נ)יש גבולות שווים ל או בבהתאם, אז הרצף ( א נ ב נ) יש גבול א.ב.

משפט 6. אם הרצפים ( א n} וגם ( ב נ) יש גבולות שווים ל או בבהתאם, ובנוסף, b n ≠ 0 ו ב≠ 0, ואז הרצף ( a n / b n) יש גבול א/ב.

אנה צ'וגאינובה

יש אנשים שמתייחסים בזהירות למילה "התקדמות", כמונח מורכב מאוד מענפי המתמטיקה הגבוהה. בינתיים, ההתקדמות האריתמטית הפשוטה ביותר היא העבודה של מונה המוניות (היכן שהם עדיין קיימים). והבנת המהות (ובמתמטיקה אין דבר חשוב יותר מ"להשיג את המהות") של רצף אריתמטי זה לא כל כך קשה, לאחר שניתח כמה מושגים יסודיים.

רצף מספרים מתמטי

רצף מספרי נקרא בדרך כלל סדרה של מספרים, שלכל אחד מהם יש מספר משלו.

a 1 הוא האיבר הראשון ברצף;

ו-2 הוא האיבר השני של הרצף;

ו-7 הוא האיבר השביעי ברצף;

ו-n הוא האיבר ה-n של הרצף;

עם זאת, שום קבוצה שרירותית של מספרים ומספרים לא מעניינת אותנו. נמקד את תשומת הלב שלנו ברצף מספרי שבו ערכו של האיבר ה-n קשור למספר הסידורי שלו על ידי קשר שניתן לנסח בצורה מתמטית ברורה. במילים אחרות: הערך המספרי של המספר ה-n הוא פונקציה כלשהי של n.

a הוא הערך של איבר ברצף מספרי;

n הוא המספר הסידורי שלו;

f(n) היא פונקציה, כאשר המספר הסידורי ברצף המספרי n הוא הארגומנט.

הַגדָרָה

התקדמות אריתמטית נקראת בדרך כלל רצף מספרי שבו כל איבר עוקב גדול (פחות) מהקודם באותו מספר. הנוסחה לאיבר ה-n של רצף אריתמטי היא כדלקמן:

a n - הערך של האיבר הנוכחי של ההתקדמות האריתמטית;

a n+1 - נוסחה של המספר הבא;

d - הפרש (מספר מסוים).

קל לקבוע שאם ההפרש חיובי (d>0), אז כל איבר עוקב בסדרה הנבדקת יהיה גדול מהקודם והתקדמות אריתמטית כזו תגדל.

בגרף למטה קל לראות מדוע רצף המספרים נקרא "הגדלה".

במקרים בהם ההפרש שלילי (ד<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

ערך חבר שצוין

לפעמים יש צורך לקבוע את הערך של כל איבר שרירותי a n של התקדמות אריתמטית. ניתן לעשות זאת על ידי חישוב רציף של הערכים של כל איברי ההתקדמות האריתמטית, החל מהראשון לרצוי. עם זאת, דרך זו לא תמיד מקובלת אם, למשל, יש צורך למצוא את הערך של המונח חמשת האלפים או השמונה מיליון. חישובים מסורתיים ייקח הרבה זמן. עם זאת, ניתן ללמוד התקדמות אריתמטית ספציפית באמצעות נוסחאות מסוימות. יש גם נוסחה לאיבר ה-n: ניתן לקבוע את הערך של כל איבר של התקדמות אריתמטית כסכום האיבר הראשון של ההתקדמות עם הפרש ההתקדמות, כפול מספר האיבר הרצוי, מופחת ב- אחד.

הנוסחה היא אוניברסלית להגדלה והפחתה של התקדמות.

דוגמה לחישוב ערכו של מונח נתון

הבה נפתור את הבעיה הבאה של מציאת הערך של האיבר ה-n של התקדמות אריתמטית.

תנאי: יש התקדמות אריתמטית עם פרמטרים:

האיבר הראשון של הרצף הוא 3;

ההבדל בסדרת המספרים הוא 1.2.

משימה: עליך למצוא את הערך של 214 מונחים

פתרון: כדי לקבוע את הערך של מונח נתון, אנו משתמשים בנוסחה:

a(n) = a1 + d(n-1)

החלפת הנתונים מהצהרת הבעיה בביטוי, יש לנו:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

תשובה: האיבר ה-214 של הרצף שווה ל-258.6.

היתרונות של שיטת חישוב זו ברורים - הפתרון כולו לוקח לא יותר מ-2 שורות.

סכום של מספר נתון של איברים

לעתים קרובות מאוד, בסדרה אריתמטית נתונה, יש צורך לקבוע את סכום הערכים של חלק מהקטעים שלה. לשם כך, גם אין צורך לחשב את הערכים של כל מונח ואז לחבר אותם. שיטה זו ישימה אם מספר המונחים שצריך למצוא את הסכום שלהם קטן. במקרים אחרים, נוח יותר להשתמש בנוסחה הבאה.

סכום האיברים של התקדמות אריתמטית מ-1 ל-n שווה לסכום האיברים הראשון וה-n', מוכפל במספר האיבר n ומחלקים בשתיים. אם בנוסחה הערך של האיבר ה-n מוחלף בביטוי מהפסקה הקודמת של המאמר, נקבל:

דוגמא חישוב

לדוגמה, בואו נפתור בעיה עם התנאים הבאים:

האיבר הראשון של הרצף הוא אפס;

ההבדל הוא 0.5.

הבעיה מחייבת קביעת סכום המונחים של הסדרה מ-56 עד 101.

פִּתָרוֹן. בואו נשתמש בנוסחה לקביעת כמות ההתקדמות:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ראשית, אנו קובעים את סכום הערכים של 101 מונחים של ההתקדמות על ידי החלפת התנאים הנתונים של הבעיה שלנו בנוסחה:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

ברור שכדי לגלות את סכום התנאים של ההתקדמות מה-56 ל-101, יש צורך להחסיר את S 55 מ-S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

לפיכך, סכום ההתקדמות האריתמטית עבור דוגמה זו הוא:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

דוגמה ליישום מעשי של התקדמות אריתמטית

בסוף המאמר נחזור לדוגמא של רצף אריתמטי המובא בפסקה הראשונה - מונית (מונית רכב). הבה נשקול את הדוגמה הזו.

עלייה למונית (הכוללת 3 ק"מ נסיעה) עולה 50 רובל. כל קילומטר עוקב משולם בשיעור של 22 רובל/ק"מ. מרחק הנסיעה הוא 30 ק"מ. חשב את עלות הטיול.

1. נזרוק את 3 הק"מ הראשונים, שמחירם כלול בעלות הנחיתה.

30 - 3 = 27 ק"מ.

2. חישוב נוסף אינו אלא ניתוח סדרת מספרים אריתמטית.

מספר חבר - מספר הקילומטרים שנסעו (מינוס שלושת הראשונים).

הערך של החבר הוא הסכום.

המונח הראשון בבעיה זו יהיה שווה ל-1 = 50 רובל.

הפרש התקדמות d = 22 r.

המספר שאנו מעוניינים בו הוא הערך של האיבר (27+1) של ההתקדמות האריתמטית - קריאת המטרים בסוף הקילומטר ה-27 היא 27.999... = 28 ק"מ.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

חישובי נתוני לוח שנה לתקופה ארוכה באופן שרירותי מבוססים על נוסחאות המתארות רצפים מספריים מסוימים. באסטרונומיה, אורך המסלול תלוי גיאומטרית במרחק של הגוף השמימי לכוכב. בנוסף, סדרות מספרים שונות משמשות בהצלחה בסטטיסטיקה ובתחומים יישומיים אחרים במתמטיקה.

סוג אחר של רצף מספרים הוא גיאומטרי

התקדמות גיאומטרית מאופיינת בשיעורי שינוי גדולים יותר בהשוואה להתקדמות אריתמטית. לא במקרה בפוליטיקה, בסוציולוגיה וברפואה, כדי להראות את מהירות ההתפשטות הגבוהה של תופעה מסוימת, למשל, מחלה בזמן מגיפה, אומרים שהתהליך מתפתח בהתקדמות גיאומטרית.

האיבר ה-N של סדרת המספרים הגיאומטרית שונה מהקודם בכך שהוא מוכפל במספר קבוע כלשהו - המכנה, למשל, האיבר הראשון הוא 1, המכנה שווה בהתאמה ל-2, ואז:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - הערך של המונח הנוכחי של ההתקדמות הגיאומטרית;

b n+1 - נוסחת האיבר הבא של ההתקדמות הגיאומטרית;

q הוא המכנה של ההתקדמות הגיאומטרית (מספר קבוע).

אם הגרף של התקדמות אריתמטית הוא קו ישר, אז התקדמות גיאומטרית מצייר תמונה מעט שונה:

כמו במקרה של אריתמטיקה, להתקדמות גיאומטרית יש נוסחה לערך של איבר שרירותי. כל איבר n של התקדמות גיאומטרית שווה למכפלת האיבר הראשון ולמכנה ההתקדמות בחזקת n מופחת באחד:

דוגמא. יש לנו התקדמות גיאומטרית כשהאיבר הראשון שווה ל-3 והמכנה של ההתקדמות שווה ל-1.5. בוא נמצא את האיבר החמישי של ההתקדמות

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

סכום של מספר נתון של איברים מחושב גם באמצעות נוסחה מיוחדת. הסכום של n האיברים הראשונים של התקדמות גיאומטרית שווה להפרש בין מכפלת האיבר ה-n של ההתקדמות והמכנה שלו לבין האיבר הראשון של ההתקדמות, חלקי המכנה המופחת באחד:

אם b n יוחלף באמצעות הנוסחה שנדונה לעיל, הערך של סכום ה-n האיברים הראשונים של סדרת המספרים הנידונה יקבל את הצורה:

דוגמא. ההתקדמות הגיאומטרית מתחילה באיבר הראשון השווה ל-1. המכנה מוגדר ל-3. בוא נמצא את סכום שמונת האיברים הראשונים.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

רצפים מספריים

התקדמות אריתמטית וגאומטרית

אם לכל מספר טבעי נמספר תואם איקסנ, אז אומרים שזה ניתן רצף מספרים איקס 1, איקס 2, …, איקסנ, ….

סימון רצף מספרים {איקס נ } .

במקביל, המספרים איקס 1, איקס 2, …, איקסנ, ... נקראים חברי הרצף .

שיטות בסיסיות לציון רצפי מספרים

1. אחת הדרכים הנוחות ביותר היא לקבוע רצף הנוסחה של המונח הנפוץ שלה : איקסנ = ו(נ), נ Î נ.

לדוגמה, איקסנ = נ 2 + 2נ+ 3 Þ איקס 1 = 6, איקס 2 = 11, איקס 3 = 18, איקס 4 = 27, …

2. העברה ישירה מספר סופי של חברים ראשונים.

לדוגמה, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. קשר הישנות , כלומר, נוסחה המבטאת את האיבר n דרך האיבר אחד או יותר הקודמים.

לדוגמה, ליד פיבונאצ'ינקרא רצף של מספרים

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, אשר נקבע באופן חוזר:

איקס 1 = 1, איקס 2 = 1, איקסנ+1 = xn + xn–1 (נ = 2, 3, 4, …).

פעולות אריתמטיות על רצפים

1. הסכום (הפרש) רצפים ( אנ) ו ( bn cn } = { an ± bn}.

2. העבודהרצפים ( אנ) ו ( bn) נקרא הרצף ( cn } = { an× bn}.

3. פְּרָטִירצפים ( אנ) ו ( bn }, bn¹ 0, נקרא הרצף ( cn } = { an×/ bn}.

מאפיינים של רצפי מספרים

1. רצף ( איקסנ) נקרא מוגבל למעלה M נאי השוויון נכון איקסנ £ M.

2. רצף ( איקסנ) נקרא מוגבל למטה, אם קיים מספר ממשי כזה M, אשר לכל ערכי הטבע נאי השוויון נכון איקסנ ³ M.

3. רצף ( איקסנ) נקרא גָדֵל נאי השוויון נכון איקסנ < איקסנ+1.

4. רצף ( איקסנ) נקרא פּוֹחֵת, אם לכל ערכי הטבע נאי השוויון נכון איקסנ > איקסנ+1.

5. רצף ( איקסנ) נקרא לא מתגבר, אם לכל ערכי הטבע נאי השוויון נכון איקסנ ³ איקסנ+1.

6. רצף ( איקסנ) נקרא לא יורד, אם לכל ערכי הטבע נאי השוויון נכון איקסנ £ איקסנ+1.

רצפים גדלים, יורדים, לא גדלים, לא יורדים נקראים חַדגוֹנִירצפים, עם עלייה וירידה - מונוטוני למהדרין.

טכניקות בסיסיות המשמשות בעת בחינת רצף עבור מונוטוניות

1. שימוש בהגדרה.

א) עבור הרצף הנחקר ( איקסנ) ההבדל נעשה

איקסנ – איקסנ+1, ואז אנו מגלים אם ההבדל הזה שומר על סימן קבוע עבור כל אחד מהם נ Î נ, ואם כן, איזה מהם בדיוק. בהתאם לכך, מסקנה לגבי המונוטוניות (אי-מונוטוניות) של הרצף.

ב) עבור רצפים של סימן קבוע ( איקסנ) אפשר ליצור קשר איקסנ+1/איקסנולהשוות את זה עם אחד.

אם הגישה הזו עומדת בפני כולם נהוא גדול מאחד, אז עבור רצף חיובי למהדרין מגיעים למסקנה שהוא הולך וגדל, ועבור רצף שלילי בהחלט, בהתאם, הוא פוחת.

אם הגישה הזו עומדת בפני כולם נהוא לא פחות מאחד, אז עבור רצף חיובי למהדרין מגיעים למסקנה שהוא לא יורד, ולרצף שלילי למהדרין, בהתאם, הוא אינו מתגבר.

אם זה היחס במספרים מסוימים נגדול מאחד, ועבור מספרים אחרים נפחות מאחד, זה מצביע על הטבע הלא מונוטוני של הרצף.

2. עבור אל פונקציית הארגומנט האמיתי.

יהיה צורך לבחון רצף מספרים עבור מונוטוניות

אנ = ו(נ), נ Î נ.

הבה נציג את פונקציית הארגומנט האמיתי איקס:

ו(איקס) = א(איקס), איקס³ 1,

ולבחון אותו במונוטוניות.

אם הפונקציה ניתנת להבדלה על המרווח הנדון, אז נמצא את הנגזרת שלה ונבחן את הסימן.

אם הנגזרת חיובית, הפונקציה גדלה.

אם הנגזרת שלילית, אז הפונקציה יורדת.

אם נחזור לערכים הטבעיים של הטיעון, אנו מרחיבים את התוצאות הללו לרצף המקורי.

מספר אשקוראים לו הגבול של הרצף איקסנ, אם לכל מספר חיובי קטן שרירותי e יש מספר טבעי כזה נ, שהוא עבור כל המספרים נ > נאי שוויון מרוצה | xn – א | < e.

חישוב הסכום נ האיברים הראשונים של הרצף

1. הצגת המונח הכללי של הרצף בצורה של הפרש של שני ביטויים או יותר באופן שעם ההחלפה מצטמצמים רוב איברי הביניים והסכום מפושט משמעותית.

2. כדי לבדוק ולהוכיח נוסחאות קיימות למציאת סכומי האיברים הראשונים של הרצפים, ניתן להשתמש בשיטת האינדוקציה המתמטית.

3. ניתן לצמצם בעיות מסוימות עם רצפים לבעיות הכרוכות בהתקדמות אריתמטית או גיאומטרית.

התקדמות אריתמטית וגאומטרית

שיטות בסיסיות לפתרון בעיות התקדמות

1. אחת משיטות הפתרון הנפוצות ביותר בעיות בהתקדמות אריתמטית הוא שכל מונחי ההתקדמות המעורבים בהצהרת הבעיה באים לידי ביטוי באמצעות ההבדל של ההתקדמות ד א דו א 1.

2. נפוצה ונחשבת לשיטת פתרון סטנדרטית בעיות התקדמות גיאומטריות , כאשר כל איברי ההתקדמות הגיאומטרית המופיעים בהצהרת הבעיה באים לידי ביטוי באמצעות מכנה ההתקדמות שוכל אחד מחבריו, לרוב הראשון ב 1. בהתבסס על תנאי הבעיה, מערכת עם לא ידועים מורכבת ונפתרת שו ב 1.

דוגמאות לפתרון בעיות

בעיה 1 .

רצף נתון איקסנ = 4נ(נ 2 + 1) – (6נ 2 + 1). מצא את הסכום Snראשון נחברים ברצף הזה.

פִּתָרוֹן. הבה נהפוך את הביטוי לאיבר הכללי של הרצף:

איקסנ = 4נ(נ 2 + 1) – (6נ 2 + 1) = 4נ 3 + 4נ – 6נ 2 – 1 = נ 4 – נ 4 + 4נ 3 – 6נ 2 + 4נ – 1 =

= נ 4 – (נ 4 – 4נ 3 + 6נ 2 – 4נ+ 1) = נ 4 – (נ – 1)4.

Sn = איקס 1 + איקס 2 + איקס 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (נ 4 – (נ – 1)4) = נ 4.

בעיה 2 .

רצף נתון אנ = 3נ+ 2..gif" width="429" height="45">.

מכאן, א(3נ + 5) +ב(3נ + 2) = 1,

(3א + 3ב)נ + (5א + 2ב) = 1.

נ.

נ 1 | 3א + 3ב = 0,

n0 | 5 א + 2ב = 1.

א = 1/3, IN = –1/3.

לפיכך, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " width="39" height="41 src="> אנ. האם המספר 1980 הוא איבר ברצף הזה? אם כן, קבע את מספרו.

פִּתָרוֹן. בוא נכתוב את הראשונים נחברים ברצף הזה:

א 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

בואו נכפיל את השוויון הזה:

א 1א 2א 3א 4א 5…an-2an-1an = א 1א 2א 3א 4א 5…an-2an-1.

מכאן, an = נ(נ + 1).

ואז, 1980 = נ(נ+ 1) Û נ 2 + נ– 1980 = 0 Û נ = –45 < 0, נ= 44 О נ.

תשובה:כן, נ = 44.

בעיה 4 .

מצא את הסכום ס = א 1 + א 2 + א 3 + … + אנמספרים א 1, א 2, א 3, …,אנ, אשר לכל טבעי נלספק שוויון Sn = א 1 + 2א 2 + 3א 3 + … + נאנ = .

פִּתָרוֹן. ס 1 = א 1 = 2/3.

ל נ > 1, נאן = Sn – Sn–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

מכאן, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

א(נ + 1)(נ + 2) + Bn(נ + 2) + Cn(נ + 1) = 1

(א + ב + ג)נ 2 + (3א + 2ב + ג)נ + 2א = 1,

הבה נשווה את המקדמים בחזקות המתאימות נ.

נ 2 | א + ב + ג= 0,

נ 1 | 3א + 2ב+ ג = 0,

n0 | 2 א = 1.

פתרון המערכת המתקבלת, אנו משיגים א = 1/2, IN= –1, C = 1/2.

אז, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

איפה , , נ > 1,

ס¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

ס¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

ס = א 1 + א 2 + א 3 + … + אנ = א 1 +=

=א 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

בעיה 5 .

מצא את האיבר הגדול ביותר של הרצף .

פִּתָרוֹן. בוא נשים bn = –נ 2 + 8נ – 7 = 9 – (נ – 4)2, .

לפני שנתחיל להחליט בעיות התקדמות אריתמטיות, הבה נבחן מהו רצף מספרים, שכן התקדמות אריתמטית היא מקרה מיוחד של רצף מספרים.

רצף מספרים הוא קבוצת מספרים, שלכל אלמנט שלה יש מספר סידורי משלו. האלמנטים של קבוצה זו נקראים איברים של הרצף. המספר הסידורי של רכיב רצף מסומן על ידי אינדקס:

האלמנט הראשון של הרצף;

האלמנט החמישי של הרצף;

- האלמנט "ה" של הרצף, כלומר. אלמנט "עומד בתור" במספר n.

יש קשר בין הערך של רכיב רצף למספר הרצף שלו. לכן, נוכל להתייחס לרצף כפונקציה שהארגומנט שלה הוא המספר הסידורי של אלמנט הרצף. במילים אחרות, אנחנו יכולים להגיד את זה הרצף הוא פונקציה של הארגומנט הטבעי:

ניתן להגדיר את הרצף בשלוש דרכים:

1 . ניתן לציין את הרצף באמצעות טבלה.במקרה זה, אנו פשוט מגדירים את הערך של כל איבר ברצף.

לדוגמה, מישהו החליט לקחת ניהול זמן אישי, ולכתחילה, לספור כמה זמן הוא מבלה ב-VKontakte במהלך השבוע. על ידי רישום השעה בטבלה, הוא יקבל רצף המורכב משבעה אלמנטים:

השורה הראשונה בטבלה מציינת את מספר היום בשבוע, השנייה - השעה בדקות. אנו רואים, כלומר, ביום שני מישהו בילה 125 דקות ב-VKontakte, כלומר ביום חמישי - 248 דקות, כלומר, ביום שישי רק 15.

2 . ניתן לציין את הרצף באמצעות נוסחת המונח ה-n.

במקרה זה, התלות של הערך של רכיב רצף במספרו מתבטאת ישירות בצורה של נוסחה.

לדוגמה, אם, אז

כדי למצוא את הערך של רכיב רצף עם מספר נתון, נחליף את מספר האלמנט בנוסחה של האיבר ה-n.

אנחנו עושים את אותו הדבר אם אנחנו צריכים למצוא את הערך של פונקציה אם הערך של הארגומנט ידוע. נחליף את הערך של הארגומנט במשוואת הפונקציה:

אם, למשל, , זה

הרשו לי לציין שוב שברצף, בניגוד לפונקציה מספרית שרירותית, הארגומנט יכול להיות רק מספר טבעי.

3 . ניתן לציין את הרצף באמצעות נוסחה המבטאת את התלות של הערך של מספר איבר הרצף n בערכי האיברים הקודמים. במקרה זה, לא מספיק שנדע רק את המספר של איבר הרצף כדי למצוא את ערכו. עלינו לציין את האיבר הראשון או את האיברים הראשונים של הרצף.

לדוגמה, שקול את הרצף ,

אנחנו יכולים למצוא את הערכים של חברי רצף ברצף, החל מהשלישי:

כלומר, בכל פעם, כדי למצוא את הערך של האיבר ה-n של הרצף, נחזור לשניים הקודמים. שיטה זו של ציון רצף נקראת חוזר ונשנה, מהמילה הלטינית חוזר- חזור.

כעת אנו יכולים להגדיר התקדמות אריתמטית. התקדמות אריתמטית היא מקרה מיוחד פשוט של רצף מספרים.

התקדמות אריתמטית הוא רצף מספרי, שכל איבר שלו, החל מהשני, שווה לקודם שנוסף לאותו מספר.

המספר נקרא הבדל בהתקדמות אריתמטית. ההפרש של התקדמות אריתמטית יכול להיות חיובי, שלילי או שווה לאפס.

אם title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} גָדֵל.

לדוגמה, 2; 5; 8; אחד עשר;...

אם , אז כל איבר של ההתקדמות האריתמטית קטן מהקודם, וההתקדמות כן פּוֹחֵת.

לדוגמה, 2; -1; -4; -7;...

אם , אז כל האיברים של ההתקדמות שווים לאותו מספר, וההתקדמות היא יַצִיב.

לדוגמה, 2;2;2;2;...

התכונה העיקרית של התקדמות אריתמטית:

בואו נסתכל על התמונה.

אנחנו רואים ש

, באותו הזמן

הוספת שני השוויון הללו, נקבל:

.

בואו נחלק את שני הצדדים של השוויון ב-2:

לכן, כל איבר בהתקדמות האריתמטית, החל מהשנייה, שווה לממוצע האריתמטי של שני השכנים:

יתרה מכך, מאז

, באותו הזמן

, זה

, ולכן

כל איבר של התקדמות אריתמטית, החל ב-title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

נוסחת המונח ה-th.

אנו רואים שמונחי ההתקדמות האריתמטית עומדים ביחסים הבאים:

ולבסוף

יש לנו נוסחת האיבר ה-n.

חָשׁוּב!כל איבר בהתקדמות אריתמטית יכול להתבטא באמצעות ו. לדעת את האיבר הראשון ואת ההבדל של התקדמות אריתמטית, אתה יכול למצוא כל אחד מהמונחים שלו.

סכום n איברים של התקדמות אריתמטית.

בהתקדמות אריתמטית שרירותית, סכומי האיברים הנמצאים במרחק שווה מהקיצוניים שווים זה לזה:

שקול התקדמות אריתמטית עם n איברים. תן לסכום n מונחים של התקדמות זו להיות שווה ל.

בואו נסדר את תנאי ההתקדמות תחילה בסדר עולה של מספרים, ולאחר מכן בסדר יורד:

בואו נוסיף בזוגות:

הסכום בכל סוגר הוא , מספר הזוגות הוא n.

אנחנו מקבלים:

כך, ניתן למצוא את הסכום של n איברים של התקדמות אריתמטית באמצעות הנוסחאות:

בואו נשקול פתרון בעיות התקדמות אריתמטיות.

1 . הרצף ניתן על ידי הנוסחה של האיבר ה-n: . הוכח שהרצף הזה הוא התקדמות אריתמטית.

הבה נוכיח שההבדל בין שני איברים סמוכים של הרצף שווה לאותו מספר.

מצאנו שההבדל בין שני איברים סמוכים ברצף אינו תלוי במספרם והוא קבוע. לכן, בהגדרה, רצף זה הוא התקדמות אריתמטית.

2 . בהינתן התקדמות אריתמטית -31; -27;...

א) מצא 31 מונחים של ההתקדמות.

ב) קבע אם המספר 41 נכלל בהתקדמות זו.

א)אנחנו רואים ש ;

בואו נרשום את הנוסחה של המונח ה-n להתקדמות שלנו.

בכללי

במקרה שלנו , בגלל זה