נוסחאות לפתרון משוואות טריגונומטריות פשוטות. כיצד לפתור משוואות טריגונומטריות

משימה מס' 1

ההיגיון פשוט: נעשה כפי שעשינו קודם, בלי קשר לעובדה שכעת לפונקציות טריגונומטריות יש טיעון מורכב יותר!

אם היינו פותרים משוואה בצורה:

אז נרשום את התשובה הבאה:

או (מאז)

אבל עכשיו את תפקידנו ממלא הביטוי הזה:

אז נוכל לכתוב:

המטרה שלנו איתך היא לוודא שהצד השמאלי יעמוד בפשטות, ללא כל "זיהומים"!

בואו ניפטר מהם בהדרגה!

ראשית, הבה נסיר את המכנה ב: כדי לעשות זאת, נכפיל את השוויון שלנו ב:

עכשיו בואו נפטר מזה על ידי חלוקת שני החלקים:

עכשיו בואו נפטר מהשמונה:

ניתן לכתוב את הביטוי המתקבל כ-2 סדרות של פתרונות (באנלוגיה למשוואה ריבועית, שבה נוסיף או נחסר את המבחין)

אנחנו צריכים למצוא את השורש השלילי הגדול ביותר! ברור שצריך לעשות סדר.

בואו נסתכל תחילה על הפרק הראשון:

ברור שאם ניקח, אז כתוצאה מכך נקבל מספרים חיוביים, אבל הם לא מעניינים אותנו.

אז אתה צריך לקחת את זה שלילי. תן להיות.

מתי השורש יהיה צר יותר:

ואנחנו צריכים למצוא את השלילי הכי גדול!! זה אומר שהליכה בכיוון השלילי כבר לא הגיוני כאן. והשורש השלילי הגדול ביותר לסדרה זו יהיה שווה ל.

עכשיו בואו נסתכל על הסדרה השנייה:

ושוב נחליף: , ואז:

לא מעוניין!

אז זה לא הגיוני להגדיל יותר! בואו נפחית את זה! תן אז:

מתאים!

תן להיות. לאחר מכן

ואז - השורש השלילי הגדול ביותר!

תשובה:

משימה מס' 2

אנו פותרים שוב, ללא קשר לטיעון הקוסינוס המורכב:

כעת אנו מביעים שוב משמאל:

תכפיל את שני הצדדים ב

מחלקים את שני הצדדים ב

כל מה שנותר הוא להזיז אותו ימינה, לשנות את הסימן שלו ממינוס לפלוס.

אנחנו שוב מקבלים 2 סדרות של שורשים, אחד עם והשני עם.

אנחנו צריכים למצוא את השורש השלילי הגדול ביותר. בואו נסתכל על הפרק הראשון:

ברור שנקבל את השורש השלילי הראשון ב, הוא יהיה שווה ויהיה השורש השלילי הגדול ביותר בסדרה 1.

לסדרה השנייה

השורש השלילי הראשון יתקבל גם ב- ויהיה שווה ל. מאז, אז הוא השורש השלילי הגדול ביותר של המשוואה.

תשובה: .

משימה מס' 3

אנחנו פותרים, ללא קשר לטיעון המשיק המורכב.

עכשיו, זה לא נראה מסובך, נכון?

כמו קודם, אנו מבטאים בצד שמאל:

ובכן, זה נהדר, יש כאן רק סדרה אחת של שורשים! בוא נמצא שוב את השלילי הגדול ביותר.

ברור שמסתבר אם תוריד אותו. והשורש הזה שווה.

תשובה:

כעת נסה לפתור את הבעיות הבאות בעצמך.

שיעורי בית או 3 משימות לפתרון עצמאי.

1. פתרו את המשוואה.
   
2. פתרו את המשוואה.
   בתשובה ל-pi-shi-th-השורש הקטן-אפשרי.
3. פתרו את המשוואה.
   בתשובה ל-pi-shi-th-השורש הקטן-אפשרי.

מוּכָן? בוא נבדוק. לא אתאר בפירוט את כל אלגוריתם הפתרון נראה לי שהוא כבר קיבל מספיק תשומת לב למעלה.

ובכן, הכל בסדר? הו, הסינוסים המגעילים האלה, תמיד יש איתם איזושהי בעיה!

ובכן, עכשיו אתה יכול לפתור משוואות טריגונומטריות פשוטות!

בדוק את הפתרונות והתשובות:

משימה מס' 1

בואו להביע

השורש החיובי הקטן ביותר מתקבל אם נשים, מאז, אז

תשובה:

משימה מס' 2

השורש החיובי הקטן ביותר מתקבל ב.

זה יהיה שווה.

תשובה: .

משימה מס' 3

כשאנחנו מקבלים, כשיש לנו.

תשובה: .

ידע זה יעזור לך לפתור בעיות רבות שתיתקל בהן בבחינה.

אם אתה מגיש בקשה לדירוג "5", אתה רק צריך להמשיך לקריאת המאמר עבור רמה בינוניתאשר יוקדש לפתרון משוואות טריגונומטריות מורכבות יותר (משימה C1).

רמה ממוצעת

במאמר זה אתאר פתרון משוואות טריגונומטריות מורכבות יותרוכיצד לבחור את השורשים שלהם. כאן אתייחס לנושאים הבאים:

1. משוואות טריגונומטריות לרמת מתחילים (ראה לעיל).

משוואות טריגונומטריות מורכבות יותר הן הבסיס לבעיות מתקדמות. הם דורשים גם לפתור את המשוואה עצמה בצורה כללית וגם למצוא את השורשים של המשוואה הזו השייכים למרווח נתון מסוים.

פתרון משוואות טריגונומטריות מסתכם בשתי משימות משנה:

1. פתרון המשוואה
2. בחירת שורש

יש לציין שהשני לא תמיד נדרש, אבל ברוב הדוגמאות עדיין נדרשת בחירה. אבל אם זה לא נדרש, אז אנחנו יכולים להזדהות איתך - זה אומר שהמשוואה די מורכבת בפני עצמה.

הניסיון שלי בניתוח בעיות C1 מראה שהן בדרך כלל מחולקות לקטגוריות הבאות.

ארבע קטגוריות של משימות בעלות מורכבות מוגברת (לשעבר C1)

1. משוואות שמצטמצמות לפירוק לגורמים.
2. משוואות מצטמצמות לצורה.
3. משוואות נפתרות על ידי שינוי משתנה.
4. משוואות הדורשות בחירה נוספת של שורשים בגלל חוסר רציונליות או מכנה.

בפשטות: אם תיתפס אחת מהמשוואות של שלושת הסוגים הראשונים, ואז ראה את עצמך בר מזל. עבורם, ככלל, אתה בנוסף צריך לבחור שורשים השייכים למרווח מסוים.

אם אתה נתקל במשוואה מסוג 4, אז יש לך פחות מזל: אתה צריך להתעסק איתה יותר ובזהירות רבה יותר, אבל לעתים קרובות זה לא דורש בחירה נוספת של שורשים. למרות זאת, אני אנתח סוג זה של משוואות במאמר הבא, ואת זו אקדיש לפתרון משוואות משלושת הסוגים הראשונים.

משוואות שמצטמצמות לפירוק לגורמים

הדבר החשוב ביותר שאתה צריך לזכור כדי לפתור משוואה מסוג זה הוא

כפי שמראה בפועל, ככלל, ידע זה מספיק. בואו נסתכל על כמה דוגמאות:

דוגמה 1. משוואה מופחתת לפירוק באמצעות נוסחאות ההפחתה והזווית הכפולה

• פתרו את המשוואה
• מצא את כל השורשים של המשוואה הזו שנמצאים מעל החתך

הנה, כפי שהבטחתי, נוסחאות ההפחתה פועלות:

ואז המשוואה שלי תיראה כך:

אז המשוואה שלי תלבש את הצורה הבאה:

תלמיד קצר רואי יכול לומר: עכשיו אצמצם את שני הצדדים, אקבל את המשוואה הפשוטה ביותר ונהנה מהחיים! והוא יטעה בגדול!

אז מה לעשות? כן, זה פשוט, הזיזו הכל לצד אחד והוציאו את הגורם המשותף:

ובכן, חיברנו את זה לגורמים, מה! עכשיו בואו נחליט:

למשוואה הראשונה יש שורשים:

והשני:

זה משלים את החלק הראשון של הבעיה. עכשיו אתה צריך לבחור את השורשים:

הפער הוא כזה:

או שאפשר לכתוב את זה גם ככה:

ובכן, בואו ניקח את השורשים:

ראשית, בואו נעבוד עם הפרק הראשון (והוא פשוט יותר, בלשון המעטה!)

מכיוון שהמרווח שלנו הוא שלילי לחלוטין, אין צורך לקחת לא שליליים, הם עדיין יתנו שורשים לא שליליים.

בוא ניקח את זה, אז - זה יותר מדי, זה לא פוגע.

תן לזה להיות, אז - לא פגעתי בזה שוב.

עוד ניסיון - ואז - כן, הצלחתי! השורש הראשון נמצא!

אני יורה שוב: ואז אני מכה שוב!

ובכן, עוד פעם אחת: : - זו כבר טיסה.

אז מהסדרה הראשונה יש 2 שורשים השייכים למרווח: .

אנחנו עובדים עם הסדרה השנייה (אנחנו בונים לכוח על פי הכלל):

תחתית!

שוב מתגעגע!

שוב מתגעגע!

הבנת!

טִיסָה!

לפיכך, למרווח שלי יש את השורשים הבאים:

זה האלגוריתם שבו נשתמש כדי לפתור את כל הדוגמאות האחרות. בואו נתאמן יחד עם עוד דוגמה אחת.

דוגמה 2. משוואה מופחתת לפירוק באמצעות נוסחאות הפחתה

• פתור את המשוואה

פִּתָרוֹן:

שוב נוסחאות ההפחתה הידועים לשמצה:

אל תנסה לקצץ שוב!

למשוואה הראשונה יש שורשים:

והשני:

עכשיו שוב החיפוש אחר שורשים.

אני אתחיל מהפרק השני, אני כבר יודע עליו הכל מהדוגמה הקודמת! הסתכל וודא שהשורשים השייכים למרווח הם כדלקמן:

עכשיו הפרק הראשון וזה פשוט יותר:

אם - מתאים

אם גם זה בסדר

אם זו כבר טיסה.

אז השורשים יהיו כדלקמן:

עבודה עצמאית. 3 משוואות.

ובכן, הטכניקה ברורה לך? האם פתרון משוואות טריגונומטריות כבר לא נראה כל כך קשה? לאחר מכן פתור במהירות את הבעיות הבאות בעצמך, ואז נפתור דוגמאות אחרות:

1. פתור את המשוואה
   מצא את כל השורשים של המשוואה הזו שנמצאים מעל המרווח.
2. פתרו את המשוואה
   ציין את שורשי המשוואה שנמצאים מעל החתך
3. פתרו את המשוואה
   מצא את כל השורשים של המשוואה הזו שנמצאים ביניהם.

משוואה 1.

ושוב נוסחת ההפחתה:

סדרת שורשים ראשונה:

סדרה שנייה של שורשים:

אנו מתחילים לבחור עבור הפער

תשובה: , .

משוואה 2. בדיקת עבודה עצמאית.

קיבוץ די מסובך לגורמים (אני אשתמש בנוסחת הסינוס של הזווית הכפולה):

אז או

זהו פתרון כללי. עכשיו אנחנו צריכים לבחור את השורשים. הצרה היא שאיננו יכולים לדעת את הערך המדויק של זווית שהקוסינוס שלה שווה לרבע. לכן, אני לא יכול פשוט להיפטר מהקוסינוס הקשת - כל כך חבל!

מה שאני יכול לעשות זה להבין שכך, אז, אז.

בואו ניצור טבלה: interval:

ובכן, דרך חיפושים כואבים הגענו למסקנה המאכזבת שלמשוואה שלנו יש שורש אחד על המרווח המצוין: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

משוואה 3: מבחן עבודה עצמאי.

משוואה מפחידה למראה. עם זאת, ניתן לפתור זאת בפשטות על ידי יישום נוסחת הסינוס הזווית הכפולה:

בואו נפחית את זה ב-2:

בואו נקבץ את המונח הראשון עם השני והשלישי עם הרביעי ונוציא את הגורמים המשותפים:

ברור שלמשוואה הראשונה אין שורשים, ועכשיו בואו נבחן את השנייה:

באופן כללי, התכוונתי להתעכב קצת מאוחר יותר על פתרון משוואות כאלה, אבל מכיוון שזה הופיע, אין מה לעשות, אני חייב לפתור את זה...

משוואות הצורה:

משוואה זו נפתרת על ידי חלוקת שני הצדדים ב:

לפיכך, למשוואה שלנו יש סדרה אחת של שורשים:

אנחנו צריכים למצוא את אלה השייכים למרווח: .

בואו נבנה שוב טבלה, כפי שעשיתי קודם:

תשובה: .

משוואות מצטמצמות לצורה:

ובכן, עכשיו זה הזמן לעבור לחלק השני של המשוואות, במיוחד מכיוון שכבר שפכתי את השעועית על מה מורכב הפתרון למשוואות טריגונומטריות מסוג חדש. אבל כדאי לחזור על כך שהמשוואה היא מהצורה

נפתר על ידי חלוקת שני הצדדים בקוסינוס:

1. פתרו את המשוואה
   ציין את שורשי המשוואה שנמצאים מעל החתך.
2. פתרו את המשוואה
   ציין את שורשי המשוואה הנמצאים ביניהם.

דוגמה 1.

הראשון הוא די פשוט. זז ימינה והחל את נוסחת הקוסינוס הזווית הכפולה:

כֵּן! משוואת הצורה: . אני מחלק את שני החלקים ב

אנחנו עושים בדיקת שורשים:

פער:

תשובה:

דוגמה 2.

הכל גם טריוויאלי למדי: בואו נפתח את הסוגריים מימין:

זהות טריגונומטרית בסיסית:

סינוס של זווית כפולה:

לבסוף אנחנו מקבלים:

הקרנת שורשים: מרווח.

תשובה: .

ובכן, איך אתה אוהב את הטכניקה, זה לא מסובך מדי? אני מקווה שלא. אנחנו יכולים מיד לעשות הסתייגות: בצורתן הטהורה, משוואות שמצטמצמות מיד למשוואה למשיק הן נדירות למדי. בדרך כלל, המעבר הזה (חלוקה לפי קוסינוס) הוא רק חלק מבעיה מורכבת יותר. הנה דוגמה לתרגול:

• פתרו את המשוואה
• מצא את כל השורשים של המשוואה הזו שנמצאים מעל החתך.

בוא נבדוק:

ניתן לפתור את המשוואה מיד, מספיק לחלק את שני הצדדים ב:

בדיקת שורשים:

תשובה: .

כך או אחרת, עדיין לא נתקלנו במשוואות מהסוג שבדקנו זה עתה. עם זאת, מוקדם מדי עבורנו לקרוא לזה יום: עדיין נותרה עוד "שכבה" אחת של משוואות שלא סידרנו. כך:

פתרון משוואות טריגונומטריות על ידי שינוי משתנים

הכל שקוף כאן: אנחנו מסתכלים מקרוב על המשוואה, מפשטים אותה ככל האפשר, עושים החלפה, פותרים אותה, עושים החלפה הפוכה! במילים הכל מאוד קל. בואו נראה בפעולה:

דוגמא.

• פתור את המשוואה: .
• מצא את כל השורשים של המשוואה הזו שנמצאים מעל החתך.

ובכן, כאן ההחלפה עצמה מציעה לנו את עצמה!

ואז המשוואה שלנו תהפוך לזה:

למשוואה הראשונה יש שורשים:

והשני הוא כזה:

עכשיו בואו נמצא את השורשים השייכים למרווח

תשובה: .

בואו נסתכל ביחד על דוגמה קצת יותר מורכבת:

• פתרו את המשוואה
• ציין את השורשים של המשוואה הנתונה, השוכנים מעליהם ביניהם.

כאן התחליף לא נראה מיד, יתר על כן, זה לא מאוד ברור. בואו נחשוב קודם: מה אנחנו יכולים לעשות?

אנחנו יכולים, למשל, לדמיין

באותו הזמן

ואז המשוואה שלי תלבש את הצורה:

ועכשיו תשומת לב, התמקד:

בואו נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב:

פתאום לך ולי יש משוואה ריבועית יחסית! בוא נעשה תחליף ואז נקבל:

למשוואה יש את השורשים הבאים:

סדרה שנייה לא נעימה של שורשים, אבל אי אפשר לעשות כלום! אנו בוחרים שורשים במרווח.

אנחנו צריכים גם לשקול את זה

מאז, אז

תשובה:

כדי לחזק זאת לפני שאתה פותר את הבעיות בעצמך, הנה תרגיל נוסף בשבילך:

• פתרו את המשוואה
• מצא את כל השורשים של המשוואה הזו שנמצאים ביניהם.

כאן אתה צריך לפקוח עיניים: יש לנו עכשיו מכנים שיכולים להיות אפס! לכן, אתה צריך להיות קשוב במיוחד לשורשים!

קודם כל, אני צריך לסדר מחדש את המשוואה כדי שאוכל לבצע החלפה מתאימה. אני לא יכול לחשוב על משהו טוב יותר עכשיו מאשר לשכתב את הטנגנס במונחים של סינוס וקוסינוס:

כעת אעבור מקוסינוס לסינוס באמצעות הזהות הטריגונומטרית הבסיסית:

ולבסוף, אביא הכל למכנה משותף:

עכשיו אני יכול לעבור למשוואה:

אבל ב (כלומר, ב).

עכשיו הכל מוכן להחלפה:

ואז או

עם זאת, שים לב שאם, אז באותו זמן!

מי סובל מזה? הבעיה עם הטנגנס היא שהוא לא מוגדר כאשר הקוסינוס שווה לאפס (מתרחשת חלוקה באפס).

לפיכך, שורשי המשוואה הם:

כעת אנו מנפים את השורשים במרווח:

לפיכך, למשוואה שלנו יש שורש בודד על המרווח, והוא שווה.

אתה מבין: הופעת מכנה (בדיוק כמו המשיק, מובילה לקשיים מסוימים עם השורשים! כאן צריך להיזהר יותר!).

ובכן, אתה ואני כמעט סיימנו לנתח משוואות טריגונומטריות נשאר מעט מאוד - לפתור שתי בעיות בעצמך. הנה הם.

1. פתור את המשוואה
   מצא את כל השורשים של המשוואה הזו שנמצאים מעל החתך.
2. פתרו את המשוואה
   ציין את השורשים של משוואה זו, הממוקמים מעל החתך.

החליט? זה לא מאוד קשה? בוא נבדוק:

1. אנו עובדים לפי נוסחאות ההפחתה:

   תחליף לתוך המשוואה:

   בואו נשכתב הכל דרך קוסינוסים כדי להקל על ביצוע ההחלפה:

   עכשיו קל לבצע החלפה:

   ברור שזה שורש חיצוני, מכיוון שלמשוואה אין פתרונות. לאחר מכן:

   אנחנו מחפשים את השורשים שאנחנו צריכים במרווח

   תשובה: .

2. 
   כאן התחליף נראה מיד:

   ואז או

   	- מתאים!	- מתאים!
   	- מתאים!	- מתאים!
   	- הרבה!	- גם הרבה!

   תשובה:

ובכן, זהו עכשיו! אבל פתרון משוואות טריגונומטריות לא מסתיים שם אנחנו נשארים מאחור במקרים הקשים ביותר: כאשר המשוואות מכילות חוסר רציונליות או סוגים שונים של "מכנים מורכבים". נבחן כיצד לפתור משימות כאלה במאמר לרמה מתקדמת.

שלב מתקדם

בנוסף למשוואות הטריגונומטריות שנדונו בשני המאמרים הקודמים, נשקול מחלקה נוספת של משוואות הדורשות ניתוח זהיר עוד יותר. דוגמאות טריגונומטריות אלה מכילות חוסר רציונליות או מכנה, מה שמקשה על הניתוח שלהן. עם זאת, ייתכן שתתקלו במשוואות אלו בחלק ג' של עבודת הבחינה. עם זאת, לכל ענן יש מעטפת כסף: עבור משוואות כאלה, ככלל, השאלה מי מהשורשים שלו שייך למרווח נתון כבר לא מועלית. בוא לא נסתבך, אלא נלך ישר לדוגמאות טריגונומטריות.

דוגמה 1.

פתרו את המשוואה ומצאו את השורשים השייכים לקטע.

פִּתָרוֹן:

יש לנו מכנה שלא צריך להיות שווה לאפס! ואז פתרון המשוואה הזה זהה לפתרון המערכת

בואו נפתור כל אחת מהמשוואות:

ועכשיו השני:

עכשיו בואו נסתכל על הסדרה:

ברור שהאופציה הזו לא מתאימה לנו, שכן במקרה זה המכנה שלנו מאופס לאפס (ראה נוסחת שורשי המשוואה השנייה)

אם, אז הכל בסדר, והמכנה אינו אפס! אז שורשי המשוואה הם כדלקמן: , .

כעת אנו בוחרים את השורשים השייכים למרווח.

אז השורשים הם כדלקמן:

אתה מבין, אפילו הופעה של הפרעה קטנה בצורת המכנה השפיעה באופן משמעותי על פתרון המשוואה: השלכנו סדרה של שורשים שביטלו את המכנה. הדברים יכולים להסתבך עוד יותר אם אתה נתקל בדוגמאות טריגונומטריות שאינן רציונליות.

דוגמה 2.

פתור את המשוואה:

פִּתָרוֹן:

ובכן, לפחות אתה לא צריך לקחת את השורשים, וזה טוב! תחילה נפתור את המשוואה, ללא קשר לחוסר היגיון:

אז זה הכל? לא, אבוי, זה יהיה קל מדי! עלינו לזכור שרק מספרים לא שליליים יכולים להופיע מתחת לשורש. לאחר מכן:

הפתרון לאי השוויון הזה הוא:

כעת נותר לברר האם חלק משורשי המשוואה הראשונה הגיעו בטעות למקום שבו אי השוויון אינו מתקיים.

כדי לעשות זאת, אתה יכול שוב להשתמש בטבלה:

כך, אחד השורשים שלי "נפל"! מסתבר שאם אתה מניח את זה. לאחר מכן ניתן לכתוב את התשובה כך:

תשובה:

אתה מבין, השורש דורש אפילו יותר תשומת לב! בואו נעשה את זה יותר מסובך: עכשיו יש לי פונקציה טריגונומטרית מתחת לשורש שלי.

דוגמה 3.

כמו קודם: קודם כל נפתור כל אחד בנפרד, ואחר כך נחשוב מה עשינו.

עכשיו המשוואה השנייה:

עכשיו הדבר הקשה ביותר הוא לגלות אם ערכים שליליים מתקבלים מתחת לשורש האריתמטי אם נחליף שם את השורשים מהמשוואה הראשונה:

יש להבין את המספר כרדיאנים. מכיוון שרדיאן הוא בערך מעלות, אז הרדיאנים הם בסדר גודל של מעלות. זו הפינה של הרבע השני. מהו הסימן של הקוסינוס של הרבע השני? מִינוּס. מה לגבי סינוס? ועוד. אז מה אנחנו יכולים לומר על הביטוי:

זה פחות מאפס!

זה אומר שזה לא השורש של המשוואה.

עכשיו הגיע הזמן.

הבה נשווה את המספר הזה לאפס.

קוטנגנט היא פונקציה הפוחתת ברבע אחד (ככל שהארגומנט קטן יותר, הקוטנגנט גדול יותר). רדיאנים הם בערך מעלות. באותו הזמן

מאז, אז, ולכן
,

תשובה: .

האם זה יכול להיות יותר מסובך? אנא! זה יהיה קשה יותר אם השורש הוא עדיין פונקציה טריגונומטרית, והחלק השני של המשוואה הוא שוב פונקציה טריגונומטרית.

ככל שדוגמאות טריגונומטריות יותר טובות יותר, ראה להלן:

דוגמה 4.

השורש אינו מתאים בגלל הקוסינוס המוגבל

עכשיו השני:

יחד עם זאת, בהגדרה של שורש:

עלינו לזכור את מעגל היחידה: כלומר, אותם רבעים שבהם הסינוס קטן מאפס. מה זה הרבעים האלה? שלישי ורביעי. אז נתעניין באותם פתרונות של המשוואה הראשונה שנמצאים ברבע השלישי או הרביעי.

הסדרה הראשונה נותנת שורשים השוכבים בהצטלבות של הרבע השלישי והרביעי. הסדרה השנייה - הפוכה לה - מולידה שורשים השוכנים על גבול הרבע הראשון והשני. לכן, הסדרה הזו לא מתאימה לנו.

תשובה: ,

ושוב דוגמאות טריגונומטריות עם "חוסר רציונליות קשה". לא רק שיש לנו שוב את הפונקציה הטריגונומטרית מתחת לשורש, אלא שעכשיו היא גם במכנה!

דוגמה 5.

ובכן, אי אפשר לעשות כלום - אנחנו עושים כמו קודם.

כעת אנו עובדים עם המכנה:

אני לא רוצה לפתור את אי השוויון הטריגונומטרי, אז אני אעשה משהו חכם: אקח ואחליף את סדרת השורשים שלי באי השוויון:

אם - שווה, אז יש לנו:

מכיוון שכל זוויות התצוגה נמצאות ברבע הרביעי. ושוב השאלה הקדושה: מהו סימן הסינוס ברבע הרביעי? שלילי. ואז אי השוויון

אם -מוזר, אז:

באיזה רבע נמצאת הזווית? זו הפינה של הרבע השני. ואז כל הפינות הן שוב הפינות של הרבע השני. הסינוס שם חיובי. בדיוק מה שאתה צריך! אז הסדרה:

מתאים!

אנו עוסקים בסדרת השורשים השנייה באותו אופן:

אנו מחליפים לאי השוויון שלנו:

אם - אפילו, אז

פינות רבע ראשון. הסינוס שם חיובי, מה שאומר שהסדרה מתאימה. עכשיו אם - מוזר, אז:

מתאים גם!

ובכן, עכשיו אנחנו רושמים את התשובה!

תשובה:

ובכן, זה היה אולי המקרה עתיר העבודה ביותר. עכשיו אני מציע לך בעיות לפתור בעצמך.

הַדְרָכָה

1. פתרו ומצאו את כל שורשי המשוואה השייכים לקטע.

פתרונות:

1. 
   המשוואה הראשונה:
   אוֹ
   ODZ של השורש:

   משוואה שנייה:

   בחירת שורשים השייכים למרווח

   תשובה:

אוֹ
אוֹ
אבל

בואו נשקול: . אם - אפילו, אז
- לא מתאים!
אם - מוזר, : - מתאים!
זה אומר שלמשוואה שלנו יש את סדרת השורשים הבאה:
אוֹ
בחירת שורשים במרווח:

	- לא מתאים	- מתאים
	- מתאים	- הרבה
	- מתאים	הרבה

תשובה: , .

אוֹ
מאז, אז המשיק אינו מוגדר. אנו זורקים מיד את סדרת השורשים הזו!

חלק שני:

יחד עם זאת, לפי DZ נדרש כי

אנו בודקים את השורשים שנמצאו במשוואה הראשונה:

אם השלט:

רבע זוויות ראשון שבהן המשיק חיובי. לא מתאים!
אם השלט:

פינת הרבע הרביעי. שם המשיק הוא שלילי. מתאים. אנחנו רושמים את התשובה:

תשובה: , .

בדקנו יחד דוגמאות טריגונומטריות מורכבות במאמר זה, אבל כדאי לפתור את המשוואות בעצמך.

תקציר ונוסחאות בסיסיות

משוואה טריגונומטרית היא משוואה שבה הלא נודע נמצא אך ורק בסימן הפונקציה הטריגונומטרית.

ישנן שתי דרכים לפתור משוואות טריגונומטריות:

הדרך הראשונה היא שימוש בנוסחאות.

הדרך השנייה היא דרך המעגל הטריגונומטרי.

מאפשר למדוד זוויות, למצוא את הסינוסים, הקוסינוסים שלהן וכו'.

פתרון משוואה טריגונומטרית מורכב משני שלבים: טרנספורמציה של משוואותכדי לקבל את זה הכי פשוטסוג (ראה למעלה) ו פִּתָרוֹןהמתקבל הפשוט ביותר משוואה טריגונומטרית.יש שבע שיטות בסיסיות לפתרון משוואות טריגונומטריות.

1. שיטה אלגברית.

(שיטת החלפה והחלפה משתנה).

2. פקטוריזציה.

דוגמה 1. פתרו את המשוואה:חטא איקס+cos איקס = 1 .

פתרון בוא נעביר את כל האיברים של המשוואה שמאלה:

חטא איקס+cos איקס – 1 = 0 ,

הבה נהפוך את הביטוי לגורמים

צד שמאל של המשוואה:

דוגמה 2. פתרו את המשוואה:חַסַת עָלִים 2 איקס+ חטא איקסחַסַת עָלִים איקס = 1.

פתרון: cos 2 איקס+ חטא איקסחַסַת עָלִים איקס– חטא 2 איקס- בגלל 2 איקס = 0 ,

חטא איקסחַסַת עָלִים איקס– חטא 2 איקס = 0 ,

חטא איקס· (כמו כן איקס– חטא איקס ) = 0 ,

דוגמה 3. פתרו את המשוואה:כי 2 איקס- Cos 8 איקס+ עלות 6 איקס = 1.

פתרון: cos 2 איקס+ עלות 6 איקס= 1 + cos 8 איקס,

2 cos 4 איקסכי 2 איקס= 2cos² 4 איקס ,

מחיר 4 איקס · (עלות 2 איקס- בגלל 4 איקס) = 0 ,

מחיר 4 איקס · 2 חטא 3 איקסחטא איקס = 0 ,

1). כי 4 איקס= 0, 2). חטא 3 איקס= 0, 3). חטא איקס = 0 ,

4. מעבר לחצי זווית.

בואו נסתכל על שיטה זו באמצעות דוגמה:

דוגמא פתור משוואה: 3חטא איקס– 5 cos איקס = 7.

פתרון: 6 חטא ( איקס/ 2) cos ( איקס/ 2) – 5 cos² ( איקס/ 2) + 5 sin² ( איקס/ 2) =

7 sin² ( איקס/ 2) + 7 cos² ( איקס/ 2) ,

2 sin² ( איקס/ 2) – 6 חטא ( איקס/ 2) cos ( איקס/ 2) + 12 cos² ( איקס/ 2) = 0 ,

tan²( איקס/ 2) – 3 שזופים ( איקס/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. הכנסת זווית עזר.

שקול משוואה של הצורה:

אחטא איקס + בחַסַת עָלִים איקס = ג ,

איפה א, ב, ג– מקדמים;איקס- לא ידוע.

כעת למקדמי המשוואה יש את התכונות של סינוס וקוסינוס, כלומר: מודולוס (ערך מוחלט) של כל אחד מתוכם לא יותר מ-1, וסכום הריבועים שלהם הוא 1. אז נוכל לסמן אותם בהתאם אֵיך כיון וחטא (כאן - מה שנקרא זווית עזר), וקח את המשוואה שלנו

שיעור ומצגת בנושא: "פתרון משוואות טריגונומטריות פשוטות"

חומרים נוספים
משתמשים יקרים, אל תשכחו להשאיר הערות, ביקורות, משאלות! כל החומרים נבדקו על ידי תוכנת אנטי וירוס.

מדריכים וסימולטורים בחנות המקוונת אינטגרל לכיתה י' מבית 1C
פתרון בעיות בגיאומטריה. משימות אינטראקטיביות לבנייה בחלל
סביבת תוכנה "1C: Mathematical Constructor 6.1"

מה נלמד:
1. מהן משוואות טריגונומטריות?

3. שתי שיטות עיקריות לפתרון משוואות טריגונומטריות.
4. משוואות טריגונומטריות הומוגניות.
5. דוגמאות.

מהן משוואות טריגונומטריות?

חבר'ה, כבר למדנו arcsine, arccosine, arctangent ו- arccotangent. עכשיו בואו נסתכל על משוואות טריגונומטריות באופן כללי.

משוואות טריגונומטריות הן משוואות שבהן משתנה כלול בסימן של פונקציה טריגונומטרית.

הבה נחזור על צורת פתרון המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר:

1)אם |a|≤ 1, אז למשוואה cos(x) = a יש פתרון:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) אם |a|≤ 1, אז למשוואה sin(x) = a יש פתרון:

3) אם |a| > 1, אז למשוואה sin(x) = a ול-cos(x) = a אין פתרונות 4) למשוואה tg(x)=a יש פתרון: x=arctg(a)+ πk

5) למשוואה ctg(x)=a יש פתרון: x=arcctg(a)+ πk

עבור כל הנוסחאות k הוא מספר שלם

למשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר יש את הצורה: T(kx+m)=a, T היא פונקציה טריגונומטרית כלשהי.

פתרו את המשוואות: א) sin(3x)= √3/2

פִּתָרוֹן:

א) נסמן 3x=t, ואז נכתוב מחדש את המשוואה שלנו בצורה:

הפתרון למשוואה זו יהיה: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

מטבלת הערכים נקבל: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

נחזור למשתנה שלנו: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

ואז x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

תשובה: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, כאשר n הוא מספר שלם. (-1)^n – מינוס אחד בחזקת n.

דוגמאות נוספות למשוואות טריגונומטריות.

פִּתָרוֹן:

א) הפעם נעבור ישירות לחישוב שורשי המשוואה מיד:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. ואז x/5= πk => x=5πk

תשובה: x=5πk, כאשר k הוא מספר שלם.

ב) נכתוב את זה בצורה: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. אנו יודעים ש: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

תשובה: x=2π/9 + πk/3, כאשר k הוא מספר שלם.

פתרו את המשוואות: cos(4x)= √2/2. ומצא את כל השורשים על הקטע.

פִּתָרוֹן:

הבה נפתור את המשוואה שלנו בצורה כללית: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

עכשיו בואו נראה אילו שורשים נופלים על הקטע שלנו. ב-k בשעה k=0, x= π/16, אנו נמצאים בקטע הנתון.
עם k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, נפגע שוב.
עבור k=2, x= π/16+ π=17π/16, אבל כאן לא פגענו, מה שאומר שגם עבור k גדול ברור שלא נפגע.

תשובה: x= π/16, x= 9π/16

שתי שיטות פתרון עיקריות.

בואו נפתור את המשוואה:

פִּתָרוֹן:
כדי לפתור את המשוואה שלנו, נשתמש בשיטה של ​​הכנסת משתנה חדש, המציין: t=tg(x).

כתוצאה מההחלפה נקבל: t 2 + 2t -1 = 0

בוא נמצא את השורשים של המשוואה הריבועית: t=-1 ו-t=1/3

ואז tg(x)=-1 ו-tg(x)=1/3, נקבל את המשוואה הטריגונומטרית הפשוטה ביותר, בואו נמצא את השורשים שלה.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

תשובה: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

דוגמה לפתרון משוואה

פתרו משוואות: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

פִּתָרוֹן:

בואו נשתמש בזהות: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

המשוואה שלנו תקבל את הצורה: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

הבה נציג את ההחלפה t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

הפתרון למשוואה הריבועית שלנו הוא השורשים: t=2 ו-t=-1/2

ואז cos(x)=2 ו-cos(x)=-1/2.

כי קוסינוס לא יכול לקחת ערכים גדולים מאחד, אז ל-cos(x)=2 אין שורשים.

עבור cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

תשובה: x= ±2π/3 + 2πk

משוואות טריגונומטריות הומוגניות.

משוואות של הצורה

משוואות טריגונומטריות הומוגניות מהמעלה השנייה.

כדי לפתור משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה, חלקו אותה ב-cos(x): לא ניתן לחלק בקוסינוס אם הוא שווה לאפס, בואו נוודא שזה לא המקרה:
תנו cos(x)=0, ואז asin(x)+0=0 => sin(x)=0, אבל סינוס וקוסינוס אינם שווים לאפס בו זמנית, נקבל סתירה, כך שנוכל לחלק בבטחה באפס.

פתור את המשוואה:
דוגמה: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

פִּתָרוֹן:

הבה נוציא את הגורם המשותף: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

אז אנחנו צריכים לפתור שתי משוואות:

Cos(x)=0 ו-cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 ב-x= π/2 + πk;

שקול את המשוואה cos(x)+sin(x)=0 חלקו את המשוואה שלנו ב-cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

תשובה: x= π/2 + πk ו-x= -π/4+πk

כיצד לפתור משוואות טריגונומטריות הומוגניות מהמעלה השנייה?
חברים, תמיד פעלו לפי הכללים האלה!

1. ראה למה שווה מקדם a, אם a=0 אז המשוואה שלנו תקבל את הצורה cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), דוגמה לפתרון שלה בשקופית הקודמת

2. אם a≠0, אז אתה צריך לחלק את שני הצדדים של המשוואה בקוסינוס בריבוע, נקבל:

נשנה את המשתנה t=tg(x) ונקבל את המשוואה:

פתרו דוגמה מס':3

נחלק את שני הצדדים של המשוואה בריבוע הקוסינוס:

אנו משנים את המשתנה t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

בוא נמצא את השורשים של המשוואה הריבועית: t=-3 ו-t=1

לאחר מכן: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

תשובה: x=-arctg(3) + πk ו-x= π/4+ πk

פתרו דוגמה מס':4

פִּתָרוֹן:
בואו נשנה את הביטוי שלנו:

נוכל לפתור משוואות כאלה: x= - π/4 + 2πk ו-x=5π/4 + 2πk

תשובה: x= - π/4 + 2πk ו-x=5π/4 + 2πk

פתרו דוגמה מס':5

פִּתָרוֹן:
בואו נשנה את הביטוי שלנו:

הבה נציג את התחליף tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

הפתרון למשוואה הריבועית שלנו יהיה השורשים: t=-2 ו-t=1/2

ואז נקבל: tg(2x)=-2 ו-tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

תשובה: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ו-x=arctg(1/2)/2+ πk/2

בעיות לפתרון עצמאי.

א) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) פתרו את המשוואות: sin(3x)= √3/2. ומצא את כל השורשים על הקטע [π/2; π].

3) פתרו את המשוואה: מיטת 2 (x) + 2 מיטת תינוק (x) + 1 =0

4) פתרו את המשוואה: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) פתרו את המשוואה: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) פתרו את המשוואה: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

כיצד לפתור משוואות טריגונומטריות:

יש לצמצם כל משוואה טריגונומטרית לאחד מהסוגים הבאים:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

כאשר \(t\) הוא ביטוי עם x, \(a\) הוא מספר. משוואות טריגונומטריות כאלה נקראות הכי פשוט. ניתן לפתור אותם בקלות באמצעות () או נוסחאות מיוחדות:

ראה אינפוגרפיקה על פתרון משוואות טריגונומטריות פשוטות כאן:, ו.

תשובה: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

מה אומר כל סמל בנוסחה לשורשים של משוואות טריגונומטריות, ראה.

תשומת הלב!למשוואות \(\sin⁡x=a\) ו-\(\cos⁡x=a\) אין פתרונות אם \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). מכיוון שסינוס וקוסינוס עבור כל x גדולים או שווים ל-\(-1\) וקטנים או שווים ל-\(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

דוגמא . פתרו את המשוואה \(\cos⁡x=-1,1\).
פִּתָרוֹן: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
תשובה : אין פתרונות.

דוגמא . פתרו את המשוואה הטריגונומטרית \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
פִּתָרוֹן:

הפחתת משוואות טריגונומטריות לפשוטה ביותר היא משימה יצירתית כאן אתה צריך להשתמש בשתיהן ובשיטות מיוחדות לפתרון משוואות:
- שיטה (הפופולרית ביותר בבחינת המדינה המאוחדת).
- שיטה.
- שיטת טיעוני עזר.

הבה נשקול דוגמה לפתרון המשוואה הטריגונומטרית הריבועית

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	בוא נעשה את ההחלפה \(t=\cos⁡x\).
	המשוואה שלנו הפכה אופיינית. אתה יכול לפתור את זה באמצעות .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	אנחנו עושים החלפה הפוכה.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	נפתור את המשוואה הראשונה באמצעות עיגול המספרים. למשוואה השנייה אין פתרונות כי \(\cos⁡x∈[-1;1]\) ואינו יכול להיות שווה לשניים עבור כל x.
	בואו נרשום את כל המספרים השוכבים בנקודות אלה.

דוגמה לפתרון משוואה טריגונומטרית עם חקר ODZ:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	יש שבר ויש קוטנגנט - זה אומר שאנחנו צריכים לרשום אותו. הרשו לי להזכיר לכם שקוטנגנט הוא למעשה שבריר: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) לכן, ה-ODZ עבור ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	הבה נסמן את ה"לא פתרונות" על מעגל המספרים.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	בוא נפטר מהמכנה במשוואה על ידי הכפלתו ב-ctg\(x\). אנחנו יכולים לעשות זאת, מכיוון שכתבנו למעלה ש-ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	הבה ניישם את נוסחת הזווית הכפולה עבור סינוס: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	אם הידיים שלך שולחות יד כדי לחלק בקוסינוס, משוך אותן לאחור! אתה יכול לחלק בביטוי עם משתנה אם הוא בהחלט לא שווה לאפס (לדוגמה, אלה: \(x^2+1.5^x\)). במקום זאת, בוא נוציא את \(\cos⁡x\) מתוך סוגריים.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	בואו "נפצל" את המשוואה לשניים.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	בואו נפתור את המשוואה הראשונה באמצעות עיגול המספרים. נחלק את המשוואה השנייה ב-\(2\) ונעביר את \(\sin⁡x\) לצד ימין.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	השורשים המתקבלים אינם כלולים ב-ODZ. לכן, לא נכתוב אותם בתגובה. המשוואה השנייה אופיינית. בואו נחלק אותו ב-\(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) לא יכול להיות פתרון למשוואה כי במקרה זה \(\cos⁡x=1\) או \(\cos⁡ x=-1\)).
	אנחנו משתמשים שוב במעגל.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	שורשים אלה אינם נכללים על ידי ODZ, אז אתה יכול לכתוב אותם בתשובה.

מעמד: 10

"המשוואות יימשכו לנצח."

א' איינשטיין

מטרות השיעור:

• חינוכית:
  • העמקת ההבנה של שיטות לפתרון משוואות טריגונומטריות;
  • לפתח את המיומנויות להבחין ולבחור נכון של שיטות לפתרון משוואות טריגונומטריות.
• חינוכית:
  • טיפוח עניין קוגניטיבי בתהליך החינוכי;
  • פיתוח היכולת לנתח משימה נתונה;
  • לתרום לשיפור האקלים הפסיכולוגי בכיתה.
• הִתפַּתְחוּתִי:
  • לקדם את פיתוח המיומנות של רכישת ידע עצמאית;
  • לקדם את יכולת התלמידים לטעון את נקודת המבט שלהם;

צִיוּד:פוסטר עם נוסחאות טריגונומטריות בסיסיות, מחשב, מקרן, מסך.

שיעור 1

I. עדכון ידע התייחסות

פתרו את המשוואות בעל פה:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; ל-Z.

II. לימוד חומר חדש

– היום נסתכל על משוואות טריגונומטריות מורכבות יותר. בואו נסתכל על 10 דרכים לפתור אותן. בהמשך יתקיימו שני שיעורים לגיבוש, ולשיעור הבא יתקיים מבחן. בדוכן "לשיעור" מפורסמות משימות דומות לאלו שיהיו במבחן שעליכם לפתור אותן לפני המבחן. (יום לפני המבחן, פרסמו את הפתרונות למשימות אלו על הדוכן).

אז בואו נעבור לשקול דרכים לפתור משוואות טריגונומטריות. חלק מהשיטות הללו כנראה ייראו לך קשות, בעוד שאחרות ייראו קלות, כי... אתה כבר מכיר כמה טכניקות לפתרון משוואות.

ארבעה תלמידים בכיתה קיבלו משימה אישית: להבין ולהראות לכם 4 דרכים לפתור משוואות טריגונומטריות.

(תלמידים דוברים הכינו מראש שקפים. שאר הכיתה רושמים במחברת את השלבים העיקריים לפתרון משוואות).

תלמיד אחד: דרך אחת. פתרון משוואות על ידי פירוק

חטא 4x = 3 cos 2x

כדי לפתור את המשוואה, נשתמש בנוסחת הסינוס הזווית הכפולה sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. המכפלה של גורמים אלו שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס.

2x = + k, k Z או sin 2x = 1.5 – אין פתרונות, כי | חטא| 1
x = + k; ל-Z.
תשובה: x = + k, k Z.

2 סטודנטים. שיטה 2. פתרון משוואות על ידי המרת הסכום או ההפרש של פונקציות טריגונומטריות למכפלה

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

כדי לפתור את המשוואה, אנו משתמשים בנוסחה sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. המשוואה המתקבלת שווה ערך לקבוצה של שתי משוואות:

קבוצת הפתרונות למשוואה השנייה נכללת לחלוטין בקבוצת הפתרונות למשוואה הראשונה. אומר

תשובה:

3 סטודנטים. 3 כיוונים. פתרון משוואות על ידי המרת המכפלה של פונקציות טריגונומטריות לסכום

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

כדי לפתור את המשוואה, נשתמש בנוסחה

תשובה:

4 סטודנטים. 4 כיוונים. פתרון משוואות המצטמצמות למשוואות ריבועיות

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

תן sin x = t, כאשר | t |. נקבל את המשוואה הריבועית 2t 2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

לכן . אינו עומד בתנאי | t |.

אז חטא x = . בגלל זה .

תשובה:

III. איחוד של מה שנלמד מספר הלימוד מאת א.נ. קולמוגורוב

1. מס' 164 (א), 167 (א) (משוואה ריבועית)
2. מס' 168 (א) (פקטוריזציה)
3. מס' 174 (א) (המרת סכום למוצר)
4. (המר את המוצר לסכום)

(בסוף השיעור, הצג את הפתרון למשוואות אלו על המסך לאימות)

№ 164 (א)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
תן sin x = t, | t | 1. לאחר מכן
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . איפה

תשובה: - .

№ 167 (א)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

תן tg x = 1, ואז נקבל את המשוואה 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

תשובה:

№ 168 (א)

תשובה:

№ 174 (א)

פתור את המשוואה:

תשובה:

שיעור 2 (שיעור-הרצאה)

IV. לימוד חומר חדש(הֶמְשֵׁך)

– אז בואו נמשיך ללמוד דרכים לפתור משוואות טריגונומטריות.

5 כיוונים. פתרון משוואות טריגונומטריות הומוגניות

משוואות של הצורה a sin x + b cos x = 0, כאשר a ו-b הם כמה מספרים, נקראים משוואות הומוגניות מהמעלה הראשונה ביחס ל-sin x או cos x.

קחו בחשבון את המשוואה

sin x – cos x = 0. נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-cos x. זה יכול להיעשות אובדן שורש לא יתרחש, כי , אם cos x = 0,זֶה sin x = 0. אבל זה סותר את הזהות הטריגונומטרית הבסיסית חטא 2 x+cos 2 x = 1.

אנחנו מקבלים tan x – 1 = 0.

tan x = 1,

משוואות של הצורה חטא 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 ,איפה א ב ג -מספרים מסוימים נקראים משוואות הומוגניות מהמעלה השנייה ביחס ל-sin x או cos x.

קחו בחשבון את המשוואה

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. בואו נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב- cos x, והשורש לא יאבד, כי כי x = 0 אינו השורש של המשוואה הזו.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

תן tg x = t. D = 9 - 8 = 1.

אז מכאן tg x = 2 או tg x = 1.

כתוצאה מכך, x = arctan 2 + , x =

תשובה: arctg 2 + ,

שקול משוואה נוספת: 3 sin 2 x - 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
בואו נמיר את הצד הימני של המשוואה בצורה 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). ואז נקבל:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (קיבלנו את המשוואה השנייה, שכבר ניתחנו).

תשובה: arctan 2 + k,

6 כיוונים. פתרון משוואות טריגונומטריות ליניאריות

משוואה טריגונומטרית ליניארית היא משוואה של הצורה a sin x + b cos x = c, כאשר a, b, c הם כמה מספרים.

קחו בחשבון את המשוואה sin x + cos x= – 1.
נכתוב מחדש את המשוואה כך:

בהתחשב בכך ומקבלים:

תשובה:

7 כיוונים. מציג טיעון נוסף

ביטוי a cos x + b sin xניתן להמיר:

(כבר השתמשנו בטרנספורמציה הזו בעת פישוט ביטויים טריגונומטריים)

הבה נציג טיעון נוסף - הזווית היא כזו

לאחר מכן

שקול את המשוואה: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

שיעורי בית:מס' 164 -170 (ג, ד).