אלמנטים בסיסיים של כדור וכדור. כדור וכדור, נפח כדור, שטח כדור, נוסחאות

כדור (כדור)

משטח כדורי. כדור (כדור). חלקי כדור: מעגלים.

משפט ארכימדס. חלקי הכדור: מקטע כדורי,

שכבה כדורית, חגורה כדורית, מגזר כדורי.

משטח כדורי - זה מוקד נקודות(הָהֵן. רבמספר כל הנקודות)בחלל, במרחק שווה מנקודה אחת O , אשר נקרא מרכז המשטח הכדורי (איור 90). רַדִיוּס AOi קוֹטֶרא.ב מוגדרים באותו אופן כמו במעגל.

כדור (כדור) - זה גוף התחום על ידי משטח כדורי.פחית קבל את הכדור על ידי סיבוב חצי המעגל (או עיגול ) סביב הקוטר. כל חלקי המטוס של הכדור הם מעגלים (איור.90 ). המעגל הגדול ביותר נמצא בקטע העובר דרך מרכז הכדור ונקרא מעגל גדול. הרדיוס שלו שווה לרדיוס הכדור. כל שני עיגולים גדולים מצטלבים לאורך קוטר הכדור ( AB, איור 91 ).קוטר זה הוא גם הקוטר של עיגולים גדולים מצטלבים. דרך שתי נקודות של משטח כדורי הממוקם בקצוות של אותו קוטר(A ו-B, איור 91 ), אתה יכול לצייר אינספור עיגולים גדולים. לדוגמה, ניתן לצייר מספר אינסופי של מרידיאנים דרך הקטבים של כדור הארץ.

נפח הכדור קטן פי אחד וחצי מנפח הגליל המוקף סביבו. (איור 92 ), א פני הכדור קטנים פי אחד וחצי מהשטח הכולל של אותו גליל ( משפט ארכימדס):

כאן ס כַּדוּר ו V כַּדוּר - פני השטח ונפח הכדור, בהתאמה;

ס cyl ו V cyl - המשטח הכולל והנפח של הגליל המוקף.

חלקים מהכדור. חלק מכדור (כדור) ), מנותק ממנו על ידי מטוס כלשהו ( ABC, איור 93), שקוראים לו כַּדוּר(כַּדוּרִי ) מִגזָר. מעגל ABC שקוראים לו בָּסִיסקטע כדור. קטע קו MN מאונך נמשך מהמרכז N מעגל ABC עד שהוא מצטלב עם משטח כדורי, נקרא גוֹבַהקטע כדור. נְקוּדָה M שקוראים לו חלק עליוןקטע כדור.

חלק מכדור התחום בין שני מישורים מקבילים ABC ו-DEF חוצים משטח כדורי (איור 93), שקוראים לו שכבה כדורית; המשטח המעוקל של שכבה כדורית נקרא חגורת כדור(אֵזוֹר). מעגלים ABC ו-DEF – עילהחגורת כדור. מֶרְחָקנ.ק. בין הבסיסים של החגורה הכדורית - שלה גוֹבַה. החלק של הכדור התחום על ידי המשטח המעוקל של קטע כדורי ( AMCB, איור 93) ומשטח חרוטי OABC , שבסיסו הוא בסיס הקטע (א ב ג ), והקודקוד הוא מרכז הכדור O , שקוראים לו מגזר כדורי.

כדור וכדור הם קודם כל דמויות גיאומטריות, ואם כדור הוא גוף גיאומטרי, אז כדור הוא פני השטח של כדור. נתונים אלה היו מעניינים לפני אלפי שנים לפני הספירה.

בהמשך, כאשר התגלה שכדור הארץ הוא כדור והשמים הם כדור שמימי, פותח כיוון מרתק חדש בגיאומטריה - גיאומטריה על כדור או גיאומטריה כדורית. כדי לדבר על גודל ונפח של כדור, תחילה עליך להגדיר אותו.

כַּדוּר

כדור ברדיוס R עם מרכז בנקודה O בגיאומטריה הוא גוף שנוצר מכל הנקודות במרחב שיש להן תכונה משותפת. נקודות אלו ממוקמות במרחק שאינו עולה על רדיוס הכדור, כלומר ממלאות את כל החלל פחות מרדיוס הכדור לכל הכיוונים ממרכזו. אם ניקח בחשבון רק את הנקודות שנמצאות במרחק שווה ממרכז הכדור, נשקול את פני השטח שלו או את מעטפת הכדור.

איך אני יכול להשיג את הכדור? אנחנו יכולים לחתוך עיגול מנייר ולהתחיל לסובב אותו סביב הקוטר שלו. כלומר, קוטר המעגל יהיה ציר הסיבוב. הדמות שנוצרה תהיה כדור. לכן, הכדור נקרא גם גוף מהפכה. כי זה יכול להיווצר על ידי סיבוב דמות שטוחה - עיגול.

בוא ניקח איזה מטוס ונחתוך איתו את הכדור שלנו. בדיוק כמו שחתכנו תפוז בסכין. החתיכה שאנו חותכים מהכדור נקראת קטע כדורי.

ביוון העתיקה, הם ידעו לא רק לעבוד עם כדור וכדור כדמויות גיאומטריות, למשל, להשתמש בהם בבנייה, אלא גם לדעת לחשב את שטח הפנים של הכדור ואת נפח הכדור.

כדור הוא שם אחר למשטח של כדור. כדור אינו גוף - הוא פני השטח של גוף מהפכה. עם זאת, מכיוון שגם לכדור הארץ וגם לגופים רבים יש צורה כדורית, למשל טיפת מים, חקר היחסים הגיאומטריים בתוך הכדור הפך לנפוץ.

לדוגמה, אם נחבר שתי נקודות של כדור ביניהן על ידי קו ישר, אז הקו הישר הזה ייקרא אקורד, ואם אקורד זה עובר דרך מרכז הכדור, החופף למרכז הכדור, אז האקורד ייקרא קוטר הכדור.

אם נצייר קו ישר שנוגע בכדור בנקודה אחת בלבד, אזי זה ייקרא משיק. בנוסף, משיק זה לכדור בנקודה זו יהיה מאונך לרדיוס הכדור הנמשך לנקודת המגע.

אם נרחיב את האקורד לקו ישר בכיוון זה או אחר מהכדור, אז האקורד הזה ייקרא סקאנט. או שנוכל לומר זאת אחרת - הסקאנט לכדור מכיל את האקורד שלו.

נפח כדור

הנוסחה לחישוב נפח הכדור היא:

כאשר R הוא רדיוס הכדור.

אם אתה צריך למצוא את הנפח של קטע כדורי, השתמש בנוסחה:

V seg =πh 2 (R-h/3), h הוא גובה המקטע הכדורי.

שטח פנים של כדור או כדור

כדי לחשב את השטח של כדור או את שטח הפנים של כדור (זה אותו דבר):

כאשר R הוא רדיוס הכדור.

ארכימדס אהב מאוד את הכדור והכדור, הוא אפילו ביקש להשאיר ציור על קברו שבו היה רשום כדור בגליל. ארכימדס האמין שנפח הכדור והמשטח שלו שווים לשני שליש מנפחו ומשטח הגליל שבו רשום הכדור".

בפרק 2 נמשיך ב"גיאומטריה מבנית" ונדבר על המבנה והתכונות של הדמויות המרחביות החשובות ביותר - כדור וכדור, צילינדרים וחרוטים, מנסרות ופירמידות רוב החפצים שנוצרו על ידי ידי אדם - מבנים, מכוניות, רהיטים, כלים , וכו' וכו', מורכב מחלקים המעוצבים כמו דמויות אלה.

§ 4. כדור וכדור

אחרי קווים ישרים ומישורים, הכדור והכדור הם הדמויות המרחביות הפשוטות ביותר, אך חשובות מאוד, עשירות בתכונות שונות. ספרים שלמים נכתבו על התכונות הגיאומטריות של כדור ועל פני השטח שלו - כדור. חלק מהמאפיינים הללו היו ידועים לגאומטרים יווניים עתיקים, וחלקם התגלו לאחרונה, בשנים האחרונות. תכונות אלו (יחד עם חוקי מדעי הטבע) מסבירות מדוע, למשל, גרמי שמיים וביצי דגים הם כדוריים בצורתם, מדוע באטיסקאפות וכדורי כדורגל עשויים בצורת כדור, מדוע מיסבים כדוריים כל כך נפוצים בטכנולוגיה, וכו ' אנחנו יכולים להוכיח רק את התכונות הפשוטות ביותר של הכדור. הוכחות למאפיינים אחרים, אם כי חשובים מאוד, דורשות לעתים קרובות שימוש בשיטות לא יסודיות לחלוטין, אם כי הניסוח של תכונות כאלה יכול להיות פשוט מאוד: למשל, בין כל הגופים בעלי שטח פנים נתון, לכדור יש את הנפח הגדול ביותר.

4.1. הגדרות של כדור וכדור.

כדור וכדור מוגדרים במרחב בדיוק באותו אופן כמו מעגל ומעגל במישור. כדור הוא דמות המורכבת מכל הנקודות במרחב המרוחקות מנקודה נתונה.

נקודות שונות לאותו מרחק (חיובי).

נקודה זו נקראת מרכז הכדור, והמרחק הוא הרדיוס שלה (איור 4.1).

אז, כדור עם מרכז O ורדיוס R הוא דמות שנוצרה על ידי כל נקודות X של החלל עבורה

כדור הוא דמות שנוצרת מכל הנקודות במרחב הממוקמות במרחק שאינו גדול ממרחק נתון (חיובי) מנקודה נתונה. נקודה זו נקראת מרכז הכדור, והמרחק הזה הוא הרדיוס שלו.

אז, כדור עם מרכז O ורדיוס R הוא דמות שנוצרה על ידי כל נקודות X של החלל עבורה

אותן נקודות X של כדור עם מרכז O ורדיוס R שעבורן הן יוצרות כדור. אומרים שהכדור הזה מקיף כדור נתון או שזה פני השטח שלו.

בערך אותן נקודות X של הכדור שלגביהן אומרים שהן שוכבות בתוך הכדור.

הרדיוס של כדור (וכדור) נקרא לא רק המרחק, אלא גם כל קטע המחבר את המרכז עם נקודה על הכדור.

גֵאוֹמֶטרִיָה

סעיף II. סטריאומטריה

§22. כַּדוּר. כַּדוּר.

1. הגדרה של כדור וכדור. אלמנטים של כדור וכדור.

כדור הוא גוף גיאומטרי שנוצר מסיבוב של מעגל סביב ציר המכיל את קוטרו (איור 500).

מרכז המעגל המסתובב נקרא מרכז הכדור, רדיוס המעגל הוא רדיוס הכדור, וקוטר המעגל הוא קוטר הכדור. באיור 500, נקודה O היא מרכז הכדור, OA ו-OB הם הרדיוסים של הכדור, ו-AB הוא קוטר הכדור.

פני השטח של כדור נקראים כדור.

המרכז, הרדיוס והקוטר של כדור הם גם המרכז, הרדיוס והקוטר של כדור.

כל הנקודות על הכדור נמצאות באותו מרחק, שווה לרדיוס, ממרכז הכדור. נקודות אחרות של הכדור שאינן שייכות לכדור נקראות נקודות פנימיות שכאלה נמצאות בתוך הכדור. הנקודות הפנימיות של הכדור ממוקמות ממרכז הכדור במרחק הקטן מהרדיוס.

כך אנו מגיעים להגדרה נוספת של כדור וכדור.

כדור הוא משטח המורכב מכל הנקודות במרחב הנמצאות במרחק שווה מאותה נקודה. נקודה זו נקראת מרכז הכדור, והמרחק ממרכז הכדור לכל אחת מנקודותיו הוא רדיוס הכדור.

כדור הוא גוף גיאומטרי המורכב מכל הנקודות במרחב הממוקמות במרחק שאינו גדול מנקודה נתונה מנקודה נתונה. נקודה זו נקראת מרכז הכדור, והמרחק הזה נקרא רדיוס הכדור.

דוגמא. רדיוס הכדור הוא 3.5 ס"מ נקודה A ממוקמת בתוך הכדור או מחוצה לו אם היא מרוחקת ממרכז הכדור: 1) ס"מ, 2)ס"מ.

כדור הוא גוף המורכב מכל הנקודות במרחב הממוקמות במרחק שאינו גדול מנקודה נתונה מנקודה נתונה. נקודה זו נקראת מרכז הכדור, והמרחק הזה נקרא רדיוס הכדור. הגבול של כדור נקרא משטח כדורי או כדור. נקודות הכדור הן כולן נקודות של הכדור המורחקות מהמרכז במרחק שווה לרדיוס. כל קטע המחבר את מרכז הכדור לנקודה על פני השטח הכדוריים נקרא גם רדיוס. הקטע העובר במרכז הכדור ומחבר שתי נקודות על פני השטח הכדוריים נקרא קוטר. הקצוות של כל קוטר נקראים נקודות הפוכות בקוטר של הכדור.

כדור הוא גוף של מהפכה, בדיוק כמו חרוט וגליל. כדור מתקבל על ידי סיבוב חצי עיגול סביב קוטרו כציר.

ניתן למצוא את שטח הפנים של הכדור באמצעות הנוסחאות:

כאשר r הוא רדיוס הכדור, d הוא קוטר הכדור.

נפח הכדור נמצא בנוסחה:

V = 4 / 3 πr 3,

כאשר r הוא רדיוס הכדור.

מִשׁפָּט. כל קטע של כדור ליד מטוס הוא מעגל. מרכז המעגל הזה הוא בסיס האנך הנמשך ממרכז הכדור אל מישור החיתוך.

בהתבסס על משפט זה, אם כדור עם מרכז O ורדיוס R נחתך על ידי המישור α, אז החתך מביא למעגל ברדיוס r עם מרכז K. ניתן למצוא את רדיוס חתך הכדור על ידי המישור לפי הנוסחה

מהנוסחה ברור שמישורים במרחק שווה מהמרכז חוצים את הכדור במעגלים שווים. רדיוס הקטע גדול יותר, ככל שמטוס החיתוך קרוב יותר למרכז הכדור, כלומר, המרחק בסדר קטן יותר. לרדיוס הגדול ביותר יש חתך על ידי מישור העובר במרכז הכדור. רדיוס המעגל הזה שווה לרדיוס הכדור.

המישור העובר במרכז הכדור נקרא המישור המרכזי. החתך של כדור במישור הקוטרלי נקרא עיגול גדול, וחתך הכדור נקרא עיגול גדול, וחתך הכדור נקרא עיגול גדול.

מִשׁפָּט. כל מישור קוטרלי של כדור הוא מישור הסימטריה שלו. מרכז הכדור הוא מרכז הסימטריה שלו.

המישור העובר דרך נקודה A של פני השטח הכדוריים ומאונך לרדיוס המצויר לנקודה A נקרא מישור המשיק. נקודה A נקראת נקודת המשיק.

מִשׁפָּט. למישור המשיק יש רק נקודה משותפת אחת עם הכדור - נקודת המגע.

ישר העובר דרך נקודה A של משטח כדורי המאונך לרדיוס הנמשך לנקודה זו נקרא משיק.

מִשׁפָּט. מספר אינסופי של משיקים עוברים בכל נקודה על פני השטח הכדוריים, וכולם נמצאים במישור המשיק של הכדור.

קטע כדורי הוא החלק של הכדור המנותק ממנו על ידי מטוס. עיגול ABC הוא הבסיס של המקטע הכדורי. הקטע הניצב MN שנמשך ממרכז N של מעגל ABC עד לחיתוך עם פני השטח הכדוריים הוא גובה הקטע הכדורי. נקודה M היא קודקוד הקטע הכדורי.

ניתן לחשב את שטח הפנים של קטע כדורי באמצעות הנוסחה:

ניתן למצוא את הנפח של מקטע כדורי באמצעות הנוסחה:

V = πh 2 (R – 1/3h),

כאשר R הוא רדיוס המעגל הגדול, h הוא גובה המקטע הכדורי.

מגזר כדורי מתקבל מקטע כדורי ומקונוס כדלקמן. אם קטע כדורי קטן יותר מחצי כדור, אז הקטע הכדורי משלים על ידי חרוט, שקודקודו נמצא במרכז הכדור, והבסיס הוא בסיס הקטע. אם הקטע גדול מחצי כדור, אזי החרוט שצוין מוסר ממנו.

מגזר כדורי הוא חלק מכדור התחום על ידי משטח מעוקל של מקטע כדורי (בדמות שלנו, זהו AMCB) ומשטח חרוטי (בדמות שלנו, זהו OABC), שבסיסו הוא הבסיס של קטע (ABC), והקודקוד הוא מרכז הכדור O.

נפח המגזר הכדורי נמצא בנוסחה:

V = 2/3 πR 2 H.

שכבה כדורית היא חלק מכדור הכלוא בין שני מישורים מקבילים (מישורים ABC ו-DEF באיור) החותכים את פני השטח הכדוריים. המשטח המעוקל של השכבה הכדורית נקרא חגורה כדורית (אזור). עיגולים ABC ו-DEF הם הבסיסים של החגורה הכדורית. המרחק NK בין בסיסי החגורה הכדורית הוא גובהה.

באתר, בעת העתקת חומר במלואו או בחלקו, נדרש קישור למקור.