שווה לסינוס של זווית חדה של טרפז. זוויות של טרפז שווה שוקיים

לשאלה הפשוטה "איך למצוא את הגובה של טרפז?" ישנן מספר תשובות, הכל בגלל שניתן לתת ערכי התחלה שונים. לכן, הנוסחאות יהיו שונות.

ניתן לשנן את הנוסחאות הללו, אך לא קשה לגזור אותן. אתה רק צריך ליישם משפטים שנלמדו קודם לכן.

סימונים המשמשים בנוסחאות

בכל האמור למטה סימונים מתמטייםקריאות אלו של האותיות נכונות.

בנתוני המקור: כל הצדדים

כדי למצוא את הגובה של טרפז ב מקרה כלליתצטרך להשתמש בנוסחה הבאה:

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2).מספר 1.

לא הקצר ביותר, אבל גם נמצא די נדיר בבעיות. בדרך כלל אתה יכול להשתמש בנתונים אחרים.

נוסחה שתגיד לך איך למצוא את הגובה טרפז שווה שוקייםבאותו מצב, הרבה יותר קצר:

n = √(c 2 - (a - c) 2 /4).מספר 2.

הבעיה נותנת: צדדים רוחביים וזוויות בבסיס התחתון

ההנחה היא שהזווית α צמודה לצד עם הכינוי "c", בהתאמה, הזווית β היא לצד d. אז הנוסחה כיצד למצוא את הגובה של טרפז תהיה בצורה כללית:

n = c * sin α = d * sin β.מספר 3.

אם הדמות היא שווה שוקיים, אז אתה יכול להשתמש באפשרות זו:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α.מספר 4.

ידוע: אלכסונים וזוויות ביניהם

בדרך כלל, נתונים אלה מלווים בכמויות ידועות אחרות. לדוגמה, הבסיסים או הקו האמצעי. אם ניתנות הסיבות, אז כדי לענות על השאלה איך למצוא את גובה הטרפז, הנוסחה הבאה תהיה שימושית:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a+b) או n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a+b).מספר 5.

זה בשביל השקפה כלליתדמויות. אם ניתן שווה שוקיים, הסימון ישתנה כך:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a+b) או n = (d 1 2 * sin δ) / (a+b).מספר 6.

כאשר במשימה אנחנו מדברים על O קו אמצעטרפז, אז הנוסחאות למציאת גובהו הופכות:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m או n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m.מספר 5א.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m או n = (d 1 2 * sin δ) / 2m.מספר 6א.

בין הכמויות הידועות: שטח עם בסיסים או קו אמצע

אלה אולי הקצרים ביותר ו נוסחאות פשוטותאיך למצוא את הגובה של טרפז. עבור נתון שרירותי זה יהיה כך:

n = 2S/(a + b).מספר 7.

זה אותו דבר, אבל עם קו אמצע ידוע:

n = S/m.מספר 7א.

באופן מוזר, עבור טרפז שווה שוקיים הנוסחאות ייראו זהות.

משימות

מס' 1. כדי לקבוע את הזוויות בבסיס התחתון של הטרפז.

מַצָב.בהינתן טרפז שווה שוקיים, צַדשהוא 5 ס"מ הבסיסים שלו הם 6 ו 12 ס"מ אתה צריך למצוא את הסינוס זוית חדה.

פִּתָרוֹן.מטעמי נוחות, עליך להזין סימון. תנו לקודקוד השמאלי התחתון להיות A, כל השאר בכיוון השעון: B, C, D. לפיכך, הבסיס התחתון יסומן AD, העליון - BC.

יש צורך לצייר גבהים מקודקודים B ו-C. הנקודות המציינות את קצוות הגבהים יסומנו H 1 ו- H 2, בהתאמה. מכיוון שכל הזוויות באיור BCH 1 H 2 הן ישרות, זהו מלבן. זה אומר שהקטע H 1 H 2 הוא 6 ס"מ.

כעת עלינו לשקול שני משולשים. הם שווים כי הם מלבניים עם אותם תחתונים ורגליים אנכיות. מכאן נובע שרגליהם הקטנות יותר שוות. לכן, ניתן להגדיר אותם כמנת ההפרש. האחרון מתקבל על ידי הפחתת העליון מהבסיס התחתון. הוא יחולק ב-2. כלומר, יש לחלק 12 - 6 ב-2. AN 1 = N 2 D = 3 (ס"מ).

כעת ממשפט פיתגורס אתה צריך למצוא את גובה הטרפז. יש צורך למצוא את הסינוס של זווית. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (ס"מ).

בעזרת הידע כיצד נמצא הסינוס של זווית חדה במשולש עם זווית ישרה, נוכל לכתוב את הביטוי הבא: sin α = ВН 1 / AB = 0.8.

תשובה.הסינוס הנדרש הוא 0.8.

מס' 2. כדי למצוא את גובהו של טרפז באמצעות משיק ידוע.

מַצָב.עבור טרפז שווה שוקיים, אתה צריך לחשב את הגובה. ידוע שהבסיסים שלו הם 15 ו-28 ס"מ המשיק של הזווית החדה נתון: 11/13.

פִּתָרוֹן.ייעוד הקודקודים זהה לזה ב משימה קודמת. שוב אתה צריך לצייר שני גבהים פינות עליונות. באנלוגיה לפתרון הבעיה הראשונה, עליך למצוא AN 1 = N 2 D, המוגדר כהפרש של 28 ו-15 חלקי שניים. לאחר חישובים מתברר: 6.5 ס"מ.

מכיוון שהמשיק הוא היחס בין שתי רגליים, נוכל לכתוב את השוויון הבא: tan α = AH 1 / VN 1 . יתרה מכך, יחס זה שווה ל-11/13 (לפי התנאי). מכיוון ש-AN 1 ידוע, ניתן לחשב את הגובה: BH 1 = (11 * 6.5) / 13. חישובים פשוטים נותנים תוצאה של 5.5 ס"מ.

תשובה.הגובה הנדרש הוא 5.5 ס"מ.

מספר 3. כדי לחשב את הגובה באמצעות אלכסונים ידועים.

מַצָב.ידוע על הטרפז שהאלכסונים שלו הם 13 ו-3 ס"מ. צריך לברר את גובהו אם סכום הבסיסים הוא 14 ס"מ.

פִּתָרוֹן.תן לייעוד הדמות להיות זהה לקודם. נניח ש-AC הוא האלכסון הקטן יותר. מקודקוד C אתה צריך לצייר את הגובה הרצוי ולציין אותו CH.

עכשיו אתה צריך לעשות בנייה נוספת. מזווית C אתה צריך לצייר קו ישר מקביל אלכסון גדול יותרומצא את נקודת החיתוך שלו עם המשך הצלע AD. זה יהיה D 1. התוצאה היא טרפז חדש, שבתוכו מצויר משולש ASD 1. זה מה שצריך כדי להמשיך ולפתור את הבעיה.

הגובה הרצוי יהיה גם במשולש. לכן, אתה יכול להשתמש בנוסחאות שנלמדו בנושא אחר. גובהו של משולש מוגדר כמכפלה של המספר 2 והשטח חלקי הצלע שאליה הוא נמשך. והצד מתברר כשווה לסכום הבסיסים של הטרפז המקורי. זה נובע מהכלל לפיו בוצעה הבנייה הנוספת.

במשולש הנדון, כל הצלעות ידועות. מטעמי נוחות, אנו מציגים את הסימון x = 3 ס"מ, y = 13 ס"מ, z = 14 ס"מ.

כעת ניתן לחשב את השטח באמצעות משפט הרון. חצי ההיקף יהיה שווה ל-p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (ס"מ). אז הנוסחה של השטח לאחר החלפת הערכים תיראה כך: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (ס"מ 2).

תשובה.הגובה הוא 6√10 / 7 ס"מ.

מס' 4. כדי למצוא את הגובה בצדדים.

מַצָב.בהינתן טרפז, ששלושה צדדים שלו הם 10 ס"מ, והרביעי הוא 24 ס"מ אתה צריך לגלות את גובהו.

פִּתָרוֹן.מכיוון שהדמות היא שווה שוקיים, תזדקק לנוסחה מספר 2. אתה רק צריך להחליף את כל הערכים לתוכה ולספור. זה ייראה כך:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (ס"מ).

תשובה. n = √51 ס"מ.

הוראות

אם ידועים האורכים של שני הבסיסים (b ו-c) ושל אותן צלעות רוחביות (a) בהגדרה, אזי ניתן להשתמש במשולש ישר זווית כדי לחשב את הערך של אחת מהזוויות החדות שלו (γ). לשם כך, הורידו את הגובה מכל פינה הסמוכה לבסיס הקצר. משולש ישר זווית ייווצר על ידי גובה (), צלע (hypotenuse) וקטע של הבסיס הארוך בין הגובה לצלע הקרובה (הרגל השנייה). ניתן למצוא את אורכו של קטע זה על ידי הפחתת האורך של הקטן מאורך הבסיס הגדול יותר וחלוקת התוצאה לשניים: (c-b)/2.

לאחר שקיבלו אורכים של שניים הצדדים הסמוכיםמשולש ישר זווית, המשך לחישוב הזווית ביניהם. היחס בין אורך התחתון (a) לאורך הרגל ((c-b)/2) נותן את ערך הקוסינוס של זווית זו (cos(γ)), ​​ופונקציית הארכוסינוס תעזור להמיר אותו ל- זווית במעלות: γ=arccos(2*a/(c-b)). כך תקבלו את הערך של אחת מהזוויות החדות, ומכיוון שהיא שווה שוקיים, לזווית החדה השנייה יהיה אותו ערך. סכום כל הזוויות חייב להיות 360°, מה שאומר שסכום שתי זוויות יהיה שווה להפרש בין זווית כפולה מהזווית החדה. מכיוון שגם שתי הזוויות הקהות יהיו זהות, כדי למצוא את הערך של כל אחת מהן (α), יש לחלק את ההפרש הזה לשניים: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2* a/(c-b)) . כעת יש לך חישובים של כל הזוויות של טרפז שווה שוקיים בהינתן האורכים הידועים של צלעותיו.

אם אורכי הצדדים של הדמות אינם ידועים, אבל הגובה שלה (h) ניתן, אז אתה צריך להמשיך לפי אותה סכמה. במקרה זה, במשולש ישר זווית המורכב מ- , צלע וקטע קצר של בסיס ארוך, תדעו את האורכים של שתי רגליים. היחס שלהם קובע את הטנגנס של הזווית שאתה צריך, וזה פונקציה טריגונומטריתיש גם אנטיפוד משלו, הממיר את ערך המשיק לערך הזווית - arctangent. הנוסחאות לאקוטיות ו זוויות קהותהתמרה בהתאם: γ=arctg(2*h/(c-b)) ו-α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

כדי לפתור בעיה זו באמצעות שיטות אלגברה וקטורית, עליך להכיר את המושגים הבאים: סכום וקטור גיאומטרי ומכפלת נקודות של וקטורים, וכדאי לזכור גם את תכונת הסכום פינות פנימיותחָצֵר.

אתה תצטרך

• - עיתון;
• - עט;
• - סרגל.

הוראות

וקטור הוא קטע מכוון, כלומר, כמות הנחשבת לצוינה במלואה אם ​​ניתנים אורכו וכיוונו (זווית) לציר נתון. מיקומו של הווקטור כבר אינו מוגבל בשום דבר. שני וקטורים בעלי אורכים ובאותו כיוון נחשבים שווים. לכן, בעת שימוש בקואורדינטות, הוקטורים מיוצגים על ידי וקטורים רדיוס של נקודות הקצה שלו (המקור הוא במקור הקואורדינטות).

בהגדרה: הווקטור המתקבל סכום גיאומטריוקטורים הוא וקטור שמתחיל מההתחלה של הראשון ויש לו את הסוף של השני, בתנאי שהסוף של הראשון משולב עם ההתחלה של השני. ניתן להמשיך זאת הלאה, תוך בניית שרשרת של וקטורים הממוקמים באופן דומה.
צייר את ה-ABCD הנתון עם הווקטורים a, b, c ו-d באיור. 1. ברור שעם סידור זה הווקטור המתקבל הוא d=a+ b+c.

מוצר סקלרי V במקרה הזהנוח יותר בהתבסס על וקטורים a ו-d. מוצר נקודה, מסומן ב-(a, d)= |a||d|cosф1. כאן φ1 היא הזווית בין הוקטורים a ו-d.
מכפלת נקודה של וקטורים, נתון על ידי קואורדינטות, נקבע על ידי הדברים הבאים:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, ואז
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

זוויות של טרפז שווה שוקיים. שלום! מאמר זה יתמקד בפתרון בעיות עם טרפזים. הקבוצה הזאתמטלות הן חלק מהבחינה, הבעיות פשוטות. נחשב את זוויות הטרפז, הבסיס והגובה. פתרון מספר בעיות מסתכם בפתרון, כמו שאומרים: איפה אנחנו בלי משפט פיתגורס?

נעבוד עם טרפז שווה שוקיים. יש לו צלעות וזוויות שוות בבסיסים. יש מאמר על הטרפז בבלוג.

שימו לב לקטנים ו ניואנס חשוב, שלא נתאר בהרחבה בתהליך פתרון המשימות עצמן. תראה, אם נותנים לנו שתי סיבות, אז בסיס גדול יותרגבהים יורדים אליו מחולקים לשלושה מקטעים - אחד שווה ל בסיס קטן יותר(אלה הצלעות הנגדיות של המלבן), שתי האחרות שוות זו לזו (אלה הן הרגליים של משולשים ישרים שווים):

דוגמה פשוטה: נתון שני בסיסים של טרפז שווה שוקיים 25 ו-65. הבסיס הגדול יותר מחולק למקטעים באופן הבא:

*ועוד! לא כלול במשימות ייעודי אותיות. זה נעשה בכוונה כדי לא להעמיס על הפתרון בשכלולים אלגבריים. אני מסכים שזה לא יודע קרוא וכתוב מבחינה מתמטית, אבל המטרה היא להעביר את הנקודה. ואתה תמיד יכול לעשות את הייעודים עבור קודקודים ואלמנטים אחרים בעצמך ולרשום פתרון נכון מתמטית.

בואו נבחן את המשימות:

27439. הבסיסים של טרפז שווה שוקיים הם 51 ו-65. הצלעות הם 25. מצא את הסינוס של הזווית החדה של הטרפז.

כדי למצוא את הזווית, צריך לבנות את הגבהים. בסקיצה נסמן את הנתונים במצב הכמות. הבסיס התחתון הוא 65, עם גבהים הוא מחולק למקטעים 7, 51 ו-7:

במשולש ישר זווית, אנו מכירים את התחתון והרגל, נוכל למצוא את הרגל השנייה (גובה הטרפז) ואז לחשב את הסינוס של הזווית.

על פי משפט פיתגורס, הרגל המצוינת שווה ל:

לכן:

תשובה: 0.96

27440. הבסיסים של טרפז שווה שוקיים הם 43 ו-73. הקוסינוס של זווית חדה של טרפז הוא 5/7. מצא את הצד.

בואו נבנה את הגבהים ונשים לב לנתונים במצב הגודל הבסיס התחתון מחולק למקטעים 15, 43 ו-15:

27441. הבסיס הגדול יותר של טרפז שווה שוקיים הוא 34. הצלע היא 14. הסינוס של זווית חדה הוא (2√10)/7. מצא את הבסיס הקטן יותר.

בואו נבנה גבהים. כדי למצוא בסיס קטן יותר אנחנו צריכים למצוא מה שווה לקטעהיות רגל במשולש ישר זווית (מסומן בכחול):

נוכל לחשב את גובה הטרפז ואז למצוא את הרגל:

בעזרת משפט פיתגורס אנו מחשבים את הרגל:

אז הבסיס הקטן יותר הוא:

27442. הבסיסים של טרפז שווה שוקיים הם 7 ו-51. הטנגנס של זווית חדה הוא 5/11. מצא את גובה הטרפז.

בואו נבנה את הגבהים ונסמן את הנתונים במצב הגודל. הבסיס התחתון מחולק למקטעים:

מה לעשות? אנו מבטאים את הטנגנס של הזווית שאנו מכירים בבסיס במשולש ישר זווית:

27443. הבסיס הקטן יותר של טרפז שווה שוקיים הוא 23. גובה הטרפז הוא 39. הטנגנס של זווית חדה הוא 13/8. מצא בסיס גדול יותר.

אנחנו בונים את הגבהים ומחשבים למה שווה הרגל:

לפיכך הבסיס הגדול יותר יהיה שווה ל:

27444. הבסיסים של טרפז שווה שוקיים הם 17 ו-87. גובה הטרפז הוא 14. מצא את הטנגנס של הזווית החדה.

אנו בונים גבהים ומסמנים ערכים ידועים על הסקיצה. הבסיס התחתון מחולק למקטעים 35, 17, 35:

לפי הגדרת משיק:

77152. הבסיסים של טרפז שווה שוקיים הם 6 ו-12. הסינוס של זווית חדה של טרפז הוא 0.8. מצא את הצד.

בואו נבנה סקיצה, נבנה גבהים ונסמן ערכים ידועים, הבסיס הגדול יותר מחולק לקטעים 3, 6 ו-3:

בוא נבטא את תת התחתון המסומן כ-x דרך הקוסינוס:

מהעיקרית זהות טריגונומטריתבוא נמצא את cosα

לכן:

27818. מה שווה זווית גדולה יותרטרפז שווה שוקיים, אם ידוע שההבדל בין הזוויות ההפוכות הוא 50 0? תן את תשובתך במעלות.

ממהלך הגיאומטריה אנו יודעים שאם יש לנו שני ישרים מקבילים ורוחב, סכום הזוויות הפנימיות החד-צדדיות שווה ל-180 0. במקרה שלנו זה כן

התנאי אומר שההפרש בין זוויות מנוגדות הוא 50 0, כלומר

תכונות של טרפז מלבני

• U טרפז מלבניושתי זוויות חייבות להיות ישרות
• שתי זוויות ישרות טרפז מלבנישייכים בהכרח לקודקודים סמוכים
• שתי זוויות ישרותבטרפז מלבני הם בהכרח צמודים לאותו צד
• אלכסונים של טרפז מלבנייוצרים באחד הצדדים משולש ישר זווית
• אורך צדשל טרפז מאונך לבסיסים שווה לגובהו
• בטרפז מלבני הבסיסים מקבילים, צד אחד מאונך לבסיסים, והצד השני נוטה לבסיסים
• בטרפז מלבני שתי זוויות ישרות, והשתיים האחרות חדות וקהות

מְשִׁימָה