כוחות אינרציאליים במערכת מכנית. נוסחת כוח האינרציה

לאחר שקבע שנקודות בודדות במרחב המוחלט הניוטוני אינן מציאות פיזית, עלינו לשאול כעת את השאלה: מה נשאר במסגרת

הרעיון הזה בכלל? נותרו הדברים הבאים: יש לפרש את ההתנגדות של כל הגופים לתאוצה במובן הניוטוני כפעולה של המרחב המוחלט. הקטר שמניע את הרכבת מתגבר על התנגדות האינרציה. קליע שהורס חומה שואב את כוחו ההרסני מאינרציה. פעולת האינרציה מתרחשת בכל פעם שמתרחשות תאוצות, והאחרונות אינן אלא שינויים במהירות במרחב המוחלט (נוכל להשתמש בביטוי האחרון, שכן לשינוי המהירות יש אותו גודל בכל מערכות האינרציה). לפיכך, מערכות קואורדינטות הנעות בעצמן בתאוצה ביחס למערכות אינרציאליות אינן שוות לזו האחרונה או זו לזו. אפשר, כמובן, לקבוע את חוקי המכניקה במערכות כאלה, אבל הן ירכשו יותר צורה מורכבת. אפילו המסלול גוף חופשימסתבר שכבר אינו אחיד ואינו ישר במערכת המואצת (ראה פרק עמ' 59). זה האחרון יכול לבוא לידי ביטוי בצורה של אמירה שבמערכת מואצת, בנוסף לכוחות אמיתיים, ישנם כוחות לכאורה, או אינרציאליים. גוף שאינו מופעל על ידי כוחות ממשיים עדיין נתון לפעולת הכוחות האינרציאליים הללו, ולכן תנועתו היא מקרה כללימתברר כלא אחיד ולא ליניארי. לדוגמה, מכונית שמתחילה לנוע או בולמת מייצגת מערכת מואצת כזו. כולם מכירים את הטלטלה של רכבת שמתחילה או עוצרת; זו לא יותר מפעולת הכוח האינרציאלי עליו אנחנו מדברים.

הבה נבחן תופעה זו בפירוט תוך שימוש בדוגמה של מערכת הנעה בצורה ישרה עם תאוצה אם אנו מודדים את התאוצה של גוף ביחס למערכת נעה כזו, אז ההאצה שלו ביחס למרחב המוחלט תהיה כמובן גדולה יותר לפי לכן, החוק היסודי. של מכניקה במרחב הזה יש את הצורה

אם נכתוב את זה בטופס

אז אנחנו יכולים לומר שבמערכת המואצת מתקיים חוק התנועה בצורה ניוטונית, כלומר

אלא שעכשיו אתה צריך לשים K ככוח, ששווה ל

כאשר K הוא הכוח בפועל, והוא הכוח הנראה, או כוח האינרציה.

אז, כוח זה פועל על גוף חופשי. ניתן להמחיש את פעולתו עם הנימוק הבא: אנו יודעים שכוח הכבידה על כדור הארץ - כוח הכבידה - נקבע על ידי הנוסחה G = mg, שבו תאוצה מתמדת, בגלל כוח הכבידה. כוח האינרציה פועל במקרה זה כמו כוח הכבידה; סימן המינוס פירושו שהכוח האינרציאלי מופנה מנוגד לתאוצה של מערכת הייחוס המשמשת כבסיס. גודל הגלוי תאוצת כבידה y עולה בקנה אחד עם האצה של מסגרת הייחוס לפיכך, התנועה של גוף חופשי במסגרת היא פשוט תנועה מהסוג שאנו מכירים כנפילה או תנועה של גוף נזרק.

הקשר הזה בין כוחות אינרציאליים במערכות מואצות לבין כוח הכבידה עדיין נראה כאן מלאכותי משהו. למעשה, זה נעלם מעיניו במשך מאתיים שנה. עם זאת, כבר בשלב זה עלינו לציין שהוא מהווה את הבסיס לזו של איינשטיין תיאוריה כלליתתוֹרַת הָיַחֲסוּת.

כאשר לומדים את השאלה מהו כוח האינרציה (SI), לעיתים קרובות מתרחשות אי הבנות, המובילות לתגליות פסבדו-מדעיות ולפרדוקסים. בוא נבין את זה הנושא הזה, מגיש בקשה גישה מדעיתומצדיק את כל הנאמר בנוסחאות תומכות.

כוח האינרציה מקיף אותנו בכל מקום. אנשים שמו לב לביטוייו בימי קדם, אך לא יכלו להסביר זאת. זה נחקר ברצינות על ידי גלילאו, ולאחר מכן מפורסם. זה היה בגלל הפרשנות הנרחבת שלו שהתאפשרו השערות שגויות. זה די טבעי, כי המדען הניח הנחה, והידע שנצבר על ידי המדע בתחום זה עדיין לא היה קיים.

ניוטון טען כי התכונה הטבעית של כל העצמים החומריים היא היכולת להיות במצב בקו ישר או במנוחה, בתנאי שהם לא יתבררו ככאלה. השפעה חיצונית.

בואו נתבסס על ידע מודרניבואו "נרחיב" את ההנחה הזו. גלילאו גליליי גם שם לב שכוח האינרציה קשור ישירות לכוח המשיכה (משיכה). ואובייקטים מושכים טבעיים, שהשפעתם ברורה, הם כוכבי לכת וכוכבים (בשל המסה שלהם). ומכיוון שיש להם צורה של כדור, זה מה שציין גלילאו. עם זאת, ניוטון הרגע הזההתעלמו לחלוטין.

כיום ידוע שהיקום כולו חדור בקווי כבידה בעוצמה משתנה. קיומה של קרינת כבידה מאושרת בעקיפין, אם כי לא הוכח מתמטית. כתוצאה מכך, כוח האינרציה מתעורר תמיד בהשתתפות כוח הכבידה. ניוטון גם לא לקח זאת בחשבון בהנחה שלו בדבר "רכוש טבעי".

נכון יותר לצאת מהגדרה אחרת - הכוח המצוין הוא שערכו הוא מכפלת המסה (מ') של הגוף הנע והתאוצה שלו (א). הווקטור מכוון נגד התאוצה, כלומר:

כאשר F, a הם הערכים של וקטורי הכוח והתאוצה המתקבלת; m - מסה של גוף נע (או מתמטי

פיזיקה ומכניקה מציעות שני שמות לאפקט כזה: קוריוליס וכוח אינרציאלי העברה (PTI). שני המונחים שווים. ההבדל הוא שהאפשרות הראשונה מקובלת בדרך כלל ומשמשת בקורס מכונאות. במילים אחרות, השוויון נכון:

F kor = F per = m*(-a kor) = m*(-a per),

כאשר F הוא כוח קוריוליס; F per - כוח אינרציה נייד; a kor ו- per הם וקטורי התאוצה המתאימים.

PSI כולל שלושה מרכיבים: אינרציה, SI תרגום וסיבובי. אם בדרך כלל אין קשיים עם הראשון, אז השניים האחרים דורשים הבהרה. כוח ההתמרה של האינרציה נקבע על ידי האצה של כל המערכת כולה ביחס לכל מערכת אינרציאלית במהלך תנועה מסוג טרנסלציוני. בהתאם לכך, המרכיב השלישי נוצר עקב התאוצה המופיעה במהלך סיבוב הגוף. יחד עם זאת, שלושת הכוחות הללו יכולים להתקיים באופן עצמאי, לא להיות חלק מה-PSI. כולם מיוצגים על ידי אותו דבר נוסחה בסיסית F = m*a, וההבדלים הם רק בסוג התאוצה, אשר, בתורו, תלוי בסוג התנועה. לפיכך, הם מקרה מיוחד של אינרציה. כל אחד מהם משתתף בחישוב התיאורטי תאוצה מוחלטתגוף חומרי (נקודה) במסגרת ייחוס קבועה (בלתי נראה להתבוננות ממסגרת לא אינרציאלית).

PSI נחוץ בעת לימוד הנושא תנועה יחסית, מכיוון שכדי ליצור נוסחאות לתנועה של גוף במערכת לא אינרציאלית יש צורך לקחת בחשבון לא רק אחרים כוחות ידועים, אלא גם אותה (F kor או F per).

מערכת ייחוס לא אינרציאלית היא מערכת הנעה בקצב מואץ ביחס לאינרציה.

חוקי ניוטון תקפים רק במסגרות ייחוס אינרציאליות. לכן, כל הנושאים שנחשבו עד כה קשורים למערכות אינרציאליות. עם זאת, בפועל אנו נאלצים להתמודד פעמים רבות עם מערכות ייחוס לא אינרציאליות. הבה נגלה כיצד צריך לכתוב את החוק הבסיסי של הדינמיקה במערכות כאלה. הבה נבחן תחילה את התנועה של נקודה חומרית במסגרת ייחוס אינרציאלית:

בואו נציג לא אחרת מלבדה מערכת אינרציאליתלהתייחס ולהסכים להתקשר לנייד הראשון ולנייד השני:

בהתבסס על משפט חיבור התאוצה:

מכאן נכתוב מחדש:

אנו רואים שבמסגרת ייחוס לא אינרציאלית התאוצה של נקודה נקבעת לא רק על ידי הכוח ומסה M, אלא גם על פי אופי התנועה של מסגרת ההתייחסות הנעה עצמה.

– כוחות פיקטיביים (הם אינם נגרמים מאינטראקציה של גופים, אלא קשורים לתנועה מואצת של מערכת לא אינרציאלית ביחס לאינרציה) או כוחות אינרציאליים.

במערכות ייחוס אינרציאליות, הסיבה היחידה לתנועה המואצת של נקודה חומרית היא הכוחות הפועלים ממנה גופים חומריים. במערכות לא אינרציאליות, הסיבה לתנועה מואצת היא גם כוחות אינרציאליים שאינם קשורים לאינטראקציה כלשהי.

יש להדגיש שלכוחות אינרציאליים יש השפעה ממשית על נקודה הממוקמת במערכת קואורדינטות נעה, שכן הם נכללים במשוואת התנועה. דוגמה: תנועת אדם בכרכרה, כאשר הכרכרה נעה במהירות קבועה.

,

.

עכשיו תן למכונית להאט:

.

לפיכך, הכנסת כוחות אינרציאליים מובילה לניסוח נוח של חוקי היסוד של המכניקה בתנועה יחסית ונותנת להם בהירות מסוימת.

הבה נבחן שני מקרים מיוחדים.

תן לנקודה חומרית לבצע תנועה ישרה אחידה ביחס למערכת קואורדינטות נעה, ואז לוקחים בחשבון
אנחנו מקבלים:

.

לכן, כוחות אמיתייםמאוזנים על ידי כוחות האינרציה.

תן לנקודת החומר להיות במנוחה ביחס למערכת הקואורדינטות הנעה:

לאחר מכן
,

כפי שכבר צוין, חוקי ניוטון מתקיימים רק במסגרות ייחוס אינרציאליות. מסגרות ייחוס הנעות ביחס למסגרת אינרציאלית עם תאוצה נקראות נלא אינרציאלי.במערכות לא אינרציאליות, חוקי ניוטון, באופן כללי, אינם תקפים עוד. עם זאת, ניתן להחיל עליהם גם את חוקי הדינמיקה, אם בנוסף לכוחות הנגרמים מהשפעת גופים זה על זה, נכניס בחשבון כוחות מסוג מיוחד - מה שנקרא כוחות אינרציה.

אם ניקח בחשבון את כוחות האינרציה, אז החוק השני של ניוטון יהיה תקף עבור כל מערכת ייחוס: מכפלת המסה של הגוף והתאוצה במסגרת הייחוס הנבדקת שווה לסכום כל הכוחות הפועלים על א. גוף נתון (כולל כוחות אינרציאליים). כוחות אינרציה יחד עם זאת, הם חייבים להיות כאלה, יחד עם הכוחות , שנגרמו מהשפעת גופים זה על זה, הם העניקו תאוצה לגוף , שיש לו במסגרות ייחוס לא אינרציאליות, כלומר.

(1)

כי
(היא האצה של הגוף במסגרת האינרציאלית), אם כן

כוחות אינרציאליים נגרמים על ידי תנועה מואצת של מערכת הייחוס ביחס למערכת הנמדדת, לכן, במקרה הכללי, יש לקחת בחשבון את המקרים הבאים של ביטוי של כוחות אלה:

1) כוחות אינרציאליים במהלך תנועת תרגום מואצת של מערכת הייחוס;

2) כוחות אינרציאליים הפועלים על גוף במצב מנוחה במסגרת ייחוס מסתובבת;

3) כוחות אינרציאליים הפועלים על גוף הנע במסגרת ייחוס מסתובבת.

בואו נשקול את המקרים האלה.

1. כוחות אינרציאליים במהלך תנועת תרגום מואצת של מערכת הייחוס.תן כדור מסה ט. בזמן שהעגלה במנוחה או נעה בצורה אחידה ובקו ישר, החוט המחזיק את הכדור תופס עמדה אנכית וכוח הכובד
מאוזן על ידי כוח התגובה של החוט .

אם העגלה מועברת לתנועה קדימה עם האצה , ואז החוט יתחיל לסטות מהגב האנכי לזווית כזו α עד הכוח שנוצר
לא יספק תאוצת כדור שווה ל . אז הכוח שנוצר מכוון לעבר האצה של העגלה ולתנועה יציבה של הכדור (הכדור נע כעת עם העגלה בהאצה ) שווה ל
, איפה
,T. כלומר, ככל שהתאוצה של העגלה גדולה יותר, זווית הסטייה של החוט מהאנך גדולה יותר.

ביחס למסגרת הייחוס הקשורה לעגלה המאיץ, הכדור נמצא במנוחה, מה שאפשר אם הכוח , שהוא לא יותר מכוח האינרציה, שכן לא פועלים כוחות אחרים על הכדור. לכן,

(2)

הביטוי של כוחות אינרציאליים במהלך תנועה תרגום נצפה בתופעות יומיומיות. לדוגמה, כאשר רכבת תופסת מהירות, נוסע שיושב לכיוון הרכבת נלחץ אל גב המושב בהשפעת האינרציה. להיפך, כאשר הרכבת בולמת, הכוח האינרציאלי מופנה לכיוון הצד הנגדי, והנוסע מתרחק מגב המושב. כוחות אלו בולטים במיוחד כאשר הרכבת בולמת לפתע. כוחות אינרציאליים מתבטאים בעומסי יתר המתרחשים במהלך שיגור ובלימה של חלליות.

2. כוחות אינרציאליים הפועלים על גוף במצב מנוחה במסגרת ייחוס מסתובבת.תן לדיסק להסתובב בצורה אחידה במהירות זוויתית ω (ω =const) מסביב ציר אנכי, העובר במרכזו. על הדיסק, במרחקים שונים מציר הסיבוב, מותקנות מטוטלות (כדורים בעלי מסה של M). כאשר המטוטלות מסתובבות יחד עם הדיסק, הכדורים סוטים מהאנך בזווית מסוימת.

במסגרת ייחוס אינרציאלית, הקשורה, למשל, לחדר בו מותקן הדיסק, הכדור מסתובב באופן אחיד במעגל של רדיוס ר(מרחק ממרכז הכדור המסתובב לציר הסיבוב). כתוצאה מכך, הוא מופעל על ידי כוח שהמודלוס שלו שווה לו ו=mω 2 רוהכוח מופנה בניצב לציר הסיבוב של הדיסק. זהו כוח הכבידה הנובע מכך
ומתח חוט :
. כאשר תנועת הכדור מבוססת, אז
, איפה
,T. כלומר זוויות הסטייה של חוטי המטוטלת יהיו גדולות יותר, ככל שיהיו גדולים יותר מרחק ארוך יותר ר ממרכז הכדור לציר הסיבוב של הדיסק וככל שמהירות הסיבוב הזוויתית גדולה יותר ω .

ביחס למסגרת הייחוס הקשורה לדיסק המסתובב, הכדור נמצא במנוחה, מה שאפשר אם הכוח מאוזן בכוח שווה ומנוגד המכוון אליו , שהוא לא יותר מכוח האינרציה, שכן לא פועלים כוחות אחרים על הכדור. כּוֹחַ , שקוראים לו כוח אינרציה צנטריפוגלי, מכוון אופקית מציר הסיבוב של הדיסק והמודול שלו שווה ל

ו ts =mω 2 ר (3)

לדוגמה, נוסעים בכלי רכב נעים בעת פנייה, טייסים בעת ביצוע תמרונים אווירובטיים נתונים לפעולה של כוחות אינרציה צנטריפוגליים; כוחות אינרציה צנטריפוגליים משמשים בכל המנגנונים הצנטריפוגליים: משאבות, מפרידים וכו', שם הם מגיעים לערכים עצומים. בעת תכנון חלקי מכונות מסתובבים במהירות (רוטורים, מדחפי מטוסים וכו'), ננקטים אמצעים מיוחדים כדי לאזן את כוחות האינרציה הצנטריפוגליים.

מנוסחה (3) עולה שכוח האינרציה הצנטריפוגלי הפועל על גופים במסגרות ייחוס מסתובבות בכיוון הרדיוס מציר הסיבוב תלוי ב מהירות זוויתיתרוֹטַציָה ω מערכות ייחוס ורדיוס ר, אך אינו תלוי במהירות הגופים ביחס למסגרות ייחוס מסתובבות. כתוצאה מכך, כוח האינרציה הצנטריפוגלי פועל במסגרות ייחוס מסתובבות על כל הגופים הממוקמים במרחק סופי מציר הסיבוב, ללא קשר אם הם נמצאים במנוחה במסגרת זו (כפי שהנחנו עד כה) או נעים ביחס אליה. עם קצת מהירות.

3. כוחות אינרציאליים הפועלים על גוף הנע במסגרת ייחוס מסתובבת.תן לכדור להיות מסה טנע במהירות קבועה לאורך רדיוס של דיסק מסתובב אחיד (). אם הדיסק לא מסתובב, אז הכדור, המכוון לאורך הרדיוס, נע לאורך קו ישר רדיאלי ופוגע בנקודה א,אם הדיסק מסובב בכיוון המצוין על ידי החץ, אז הכדור מתגלגל לאורך העקומה OB, והמהירות שלו יחסית לדיסק משנה את הכיוון שלו. זה אפשרי רק אם הכדור מופעל על ידי כוח מאונך למהירות .

ד על מנת לאלץ את הכדור להתגלגל לאורך דיסק מסתובב לאורך הרדיוס, אנו משתמשים במוט הקבוע בקשיחות לאורך רדיוס הדיסקה, עליו הכדור נע ללא חיכוך באופן שווה וישר במהירות .

כאשר הכדור מוסט, המוט פועל עליו בכוח מסוים . יחסית לדיסק (מסגרת התייחסות מסתובבת), הכדור נע בצורה אחידה ומיושרת, דבר שניתן להסביר בכך שהכוח מאוזן על ידי כוח האינרציה המופעל על הכדור , בניצב למהירות . הכוח הזה נקרא כוח אינרציאלי של קוריוליס.

ניתן להראות שכוח קוריוליס

(4)

וֶקטוֹר בניצב לוקטורי המהירות גוף ומהירות סיבוב זוויתית מערכת התייחסות בהתאם לכלל הבורג הנכון.

עם כוח קוריוליס פועל רק על גופים הנעים ביחס למסגרת ייחוס מסתובבת, למשל, ביחס לכדור הארץ. לכן, פעולת הכוחות הללו מסבירה מספר תופעות שנצפו על פני כדור הארץ. לכן, אם גוף נע צפונה בחצי הכדור הצפוני, אזי כוח הקוריוליס הפועל עליו, כדלקמן מביטוי (4), יופנה ימינה ביחס לכיוון התנועה, כלומר הגוף יסטה מעט לכיוון התנועה. מזרח. אם גוף זז דרומה, אז כוח הקוריוליס פועל גם ימינה כאשר מסתכלים לכיוון התנועה, כלומר הגוף יסטה מערבה. לכן, בחצי הכדור הצפוני יש שחיקה חזקה יותר של הגדות הימניות של נהרות; מסילות ימין פסי רכבתבתנועה נשחק מהר יותר מהשמאליים וכו'. באופן דומה, ניתן להראות שבחצי הכדור הדרומי כוח הקוריוליס הפועל על גופים נעים יופנה שמאלה ביחס לכיוון התנועה.

הודות לכוח הקוריוליס, גופים הנופלים על פני כדור הארץ מוסטים מזרחה (בקו רוחב של 60° סטייה זו צריכה להיות 1 ס"מ בעת נפילה מגובה של 100 מ'). התנהגותה של מטוטלת פוקו, שבזמנו הייתה אחת ההוכחות לסיבוב כדור הארץ, קשורה לכוח הקוריוליס. אם כוח זה לא היה קיים, אז מישור התנודה של מטוטלת המתנדנדת ליד פני כדור הארץ היה נשאר ללא שינוי (ביחס לכדור הארץ). פעולת כוחות קוריוליס מובילה לסיבוב של מישור התנודה סביב הכיוון האנכי.

,

כאשר כוחות האינרציה ניתנים על ידי נוסחאות (2) - (4).

בואו שוב נשים לב לעובדה ש נגרמים כוחות אינרציאליים לא על ידי אינטראקציה של גופים, אלא תנועה מואצת של מערכת הייחוס . לכן, הם אינם מצייתים לחוק השלישי של ניוטון, שכן אם כוח של אינרציה פועל על גוף כלשהו, ​​אז אין כוח מנוגד המופעל על אותו גוף. שני העקרונות הבסיסיים של המכניקה, לפיהם תאוצה נגרמת תמיד מכוח, וכוח נגרם תמיד מאינטראקציה בין גופים, אינם מסופקים בו זמנית במערכות ייחוס הנעות עם תאוצה.

עבור כל אחד מהגופים הממוקמים במסגרת ייחוס לא אינרציאלית, כוחות האינרציה הם חיצוניים; לכן, אין כאן מערכות סגורות. המשמעות היא שבמערכות ייחוס לא אינרציאליות לא מתקיימים חוקי שימור התנע, האנרגיה והתנע הזוויתי. לפיכך, כוחות אינרציאליים פועלים רק במערכות לא אינרציאליות. במסגרות ייחוס אינרציאליות כוחות כאלה אינם קיימים.

נשאלת השאלה לגבי "המציאות" או "הפיקטיביות" של כוחות אינרציאליים. במכניקה הניוטונית, לפיה כוח הוא תוצאה של אינטראקציה בין גופים, ניתן לראות כוחות אינרציאליים כ"פיקטיביים", "נעלמים" במערכות ייחוס אינרציאליות. עם זאת, פרשנות אחרת אפשרית. מכיוון שאינטראקציות של גופים מתבצעות באמצעות שדות כוח, כוחות אינרציאליים נחשבים כהשפעות שגופים נתונים להן משדות כוח אמיתיים, ואז הם יכולים להיחשב "אמיתיים". לא משנה אם כוחות אינרציאליים נחשבים "פיקטיביים" או "אמיתיים", ניתן להסביר רבות מהתופעות שהוזכרו לעיל במונחים של כוחות אינרציאליים.

הכוחות האינרציאליים הפועלים על גופים במסגרת ייחוס לא אינרציאלית הם פרופורציונליים למסה שלהם, ובשאר דברים שווים, מקנים תאוצות זהות לגופים אלה. לכן, ב"שדה הכוחות האינרציאליים" הגופים הללו נעים בדיוק באותו אופן, אם רק התנאים ההתחלתיים זהים. אותה תכונה מוחזקת על ידי גופים בהשפעת כוחות שדה כבידה.

בתנאים מסוימים, לא ניתן להבחין בין כוחות האינרציה לבין כוחות הכבידה. לדוגמה, תנועת גופים במעלית מואצת אחידה מתרחשת בדיוק באותו אופן כמו במעלית נייחת התלויה בשדה כבידה אחיד. שום ניסוי שמתבצע בתוך מעלית לא יכול להפריד בין שדה כבידה אחיד שדה אחידכוחות אינרציה.

האנלוגיה בין כוחות כבידה לכוחות אינרציאליים עומדת בבסיס עקרון השקילות של כוחות כבידה וכוחות אינרציאליים (עקרון השקילות של איינשטיין): הכל. תופעות פיזיקליותבשדה הכבידה מתרחשים בדיוק באותו אופן כמו בשדה המקביל של כוחות אינרציאליים, אם החוזקות של שני השדות בנקודות המתאימות בחלל חופפות, ותנאים ראשוניים אחרים עבור הגופים הנבדקים זהים. עקרון זה הוא הבסיס של תורת היחסות הכללית.

כוחות האינרציה והחוק הבסיסי של המכניקה

ברניקוב וסילי רוסלנוביץ',

מהנדס.

הַקדָמָה

כוחות פנימיים בחלק מהמקרים הם הגורם להופעה כוחות חיצוניים, מחובר למערכת , , , . כוחות אינרציאליים הם תמיד חיצוניים ביחס לכל מערכת נעה של גופים חומריים, , , . כוחות האינרציה פועלים באותו אופן כמו כוחות האינטראקציה, הם אמיתיים למדי, הם יכולים לעשות עבודה, להקנות תאוצה, , , . עם מספר רב של תנאים מוקדמים תיאורטיים במכניקה לגבי האפשרות להשתמש בכוחות אינרציאליים ככאלה תרגום בעת יצירת מבנים, הם לא הובילו לתוצאה חיובית. ניתן לציין רק כמה תכנונים ידועים עם יעילות נמוכה בשימוש בכוחות אינרציאליים: האינרטסואיד של טולצ'ין, הנעתו הנוזלית של פרולוב, ההנעה של תורנסון. ההתפתחות האיטית של מדחפים אינרציאליים מוסברת על ידי היעדר יסודות הצדקה תיאורטיתהשפעה נצפית. מבוסס על המושגים הקלאסיים הרגילים מכניקה פיזיתבעבודה זו נוצר בסיס תיאורטי לשימוש בכוחות אינרציאליים ככאלה תרגום.

§1. החוק היסודי של המכניקה והשלכותיו.

הבה נבחן את חוקי הטרנספורמציה של כוחות ותאוצות לתוך מערכות שונותספירה לאחור. הבה נבחר מערכת ייחוס אינרציאלית נייחת באופן שרירותי ונסכים לשקול את התנועה ביחס אליה כמוחלטת. במערכת ייחוס כזו, משוואת התנועה הבסיסית היא נקודה חומריתהיא משוואה המבטאת את החוק השני של ניוטון.

M w abs = ו, (1.1)

איפה ו- כוח האינטראקציה בין גופים.

גוף במנוחה במסגרת ייחוס נעה נלקח על ידי זה בתנועתו ביחס למסגרת ייחוס נייחת. תנועה זו נקראת ניידת. התנועה של גוף ביחס למערכת ייחוס נקראת יחסי. התנועה המוחלטת של הגוף מורכבת מתנועותיו היחסיות והניידות. במערכות ייחוס לא אינרציאליות (מערכות ייחוס הנעות עם תאוצה), חוק טרנספורמציה התאוצה עבור תנועה קדימהיש את הטופס הבא

w abs = w rel +wנתיב (1.2)

אם ניקח בחשבון (1.1) עבור כוחות, אנו כותבים את משוואת התנועה היחסית עבור נקודה חומרית במסגרת ייחוס הנעה בתאוצה מתרגלת

mw rel = F - mwנתיב, (1.3)

איפה mw per הוא כוח תרגום של אינרציה הנוצר לא בשל האינטראקציה של גופים, אלא בשל התנועה המואצת של מערכת הייחוס. תנועת גופים בהשפעת כוחות אינרציאליים דומה לתנועה בשדות כוח חיצוניים [2, עמ' 359]. ניתן לשנות את התנע של מרכז המסה של המערכת [3, עמ' 198] על ידי שינוי הדחף הסיבובי הפנימי או הדחף הפנימי. כוחות האינרציה הם תמיד חיצוניים [2, עמ' 359] ביחס לכל מערכת נעה של גופים חומריים.

הבה נניח כעת שמערכת ההתייחסות נעה באופן שרירותי לחלוטין ביחס למערכת הייחוס הנייחת. ניתן לחלק את התנועה הזו לשניים: תנועה קדימה במהירות vהו, מהירות שווהתנועה של המקור, ותנועה סיבובית סביב הציר המיידי העובר דרך מוצא זה. הבה נסמן את המהירות הזוויתית של סיבוב זה w, והמרחק מהמקור של מערכת הייחוס הנעה לנקודה הנעה בה דרך ר. בנוסף, לנקודה נעה יש מהירות ביחס למסגרת הייחוס הנעה v rel. ואז עבור תאוצה מוחלטת [2, עמ' 362] היחס ידוע

w abs = w rel - 2[ v rel w] + (ד v o /dt) - w 2 ר ^ + [ (ד עם dt) ר] ,. (1.4)

איפה ר ^ - רכיב וקטור רדיוס ר, בניצב לציר הסיבוב המיידי. בואו נקבע מחדש תאוצה יחסיתלצד שמאל, והמוחלט ל צד ימיןומכפילים הכל במסה של הגוף, נקבל את המשוואה הבסיסית של כוחות התנועה היחסית [2, עמ' 364] של נקודה חומרית במסגרת ייחוס הנעה באופן שרירותי

mw rel = mwשרירי בטן + 2 מ'[ v rel w] - מ(ד v o /dt) + mw 2 ר ^ – מ[ (ד עם dt) ר] . (1.5)

או בהתאם

mw rel = ו + ו k + ו n + ו ts + ו f, (1.6)

איפה: ו- כוח של אינטראקציה בין גופים; ו k - כוח אינרציאלי של קוריוליס; ו n - כוח תרגום של אינרציה; ו c - כוח צנטריפוגלי של אינרציה; ו f – כוח שלב של אינרציה.

כיוון כוח האינטראקציה בין גופים ועולה בקנה אחד עם כיוון האצה של הגוף. כוח אינרציאלי של קוריוליס ו k מכוון לפי המכפלה הווקטורית של מהירות רדיאלית וזוויתית, כלומר מאונך לשני הוקטורים. כוח תרגום של אינרציה ו n מכוון מול תאוצת הגוף. כוח אינרציה צנטריפוגלי ו q מכוון לאורך הרדיוס ממרכז הסיבוב של הגוף. כוח אינרציה שלב ו f מכוון מול המכפלה הווקטורית של תאוצה זוויתית ורדיוס ממרכז הסיבוב בניצב לוקטורים אלו.

לפיכך, די לדעת את הגודל והכיוון של כוחות האינרציה והאינטראקציה כדי לקבוע את מסלול התנועה של הגוף ביחס לכל מערכת ייחוס.

בנוסף לכוחות האינרציה והאינטראקציה של גופים, ישנם כוחות מסה משתנה, שהם תוצאה של פעולת כוחות אינרציאליים. הבה נבחן את החוק השני של ניוטון בצורה דיפרנציאלית [2, עמ' 77]

ד פ/dt = ∑ ו, (1.7)

איפה: פ- דחף של מערכת הגופים; ∑ ו- סכום הכוחות החיצוניים.

ידוע כי המומנטום של מערכת גופים במקרה הכללי תלוי בזמן ובהתאם לכך שווה ל

פ(t) = m(t) v(t), (1.8)

שבו: m(t) – מסת מערכת הגופים; v(ט) – מהירות מערכת הגופים.

מכיוון שמהירות היא הנגזרת ביחס לזמן של הקואורדינטות של המערכת, אז

v(ט) = ד ר(t)/dt, (1.9)

איפה ר– וקטור רדיוס.

בהמשך נניח את התלות בזמן של וקטור המסה, המהירות והרדיוס. החלפה של (1.9) ו-(1.8) ל-(1.7) נקבל

d(m(d ר/dt))/dt = ∑ ו. (1.10)

נביא את המסה m מתחת לסימן ההפרש [1, עמ' 295], אם כך

ד [ (ד(מ ר)/dt) – ר(dm/dt)]/dt = ∑ ו.

הנגזרת של ההפרש שווה להפרש הנגזרות

d [ (ד(מ ר)/dt) ] dt – ד [ ר(dm/dt) ] /dt =∑ ו.

תנו לנו לבצע בידול מפורט של כל מונח לפי כללי הבידול של המוצרים

m(d 2 ר/dt 2) + (dm/dt)(d ר/dt) + (dm/dt)(ד ר/dt) +

+ ר(ד 2 מ'/דט 2) - ר(ד 2 מ'/דט 2)- (dm/dt)(ד ר/dt) = ∑ ו. (1.11)

בואו נביא חברים דומיםוכתוב משוואה (1.11) בצורה הבאה

m(d 2 ר/dt 2) = ∑ ו- (dm/dt)(ד ר/dt). (1.12)

בצד ימין של המשוואה (1.12) נמצא סכום כל הכוחות החיצוניים. האיבר האחרון נקרא כוח המסה המשתנה, כלומר

ו pm = - (dm/dt)(ד ר/dt). (1.13)

כך, נוסף כוח חיצוני נוסף לכוחות החיצוניים - כוח המסה המשתנה. הביטוי בסוגר הראשון בצד ימין של המשוואה (1.13) הוא קצב השינוי של המסה, והביטוי בסוגר השני הוא קצב ההפרדה (התקשרות) של חלקיקים. לפיכך, כוח זה פועל כאשר המסה (כוח התגובה) [2, עמ' 120] של מערכת גופים משתנה עם ההפרדה (התקשרות) של חלקיקים במהירות המתאימה ביחס למערכת הגופים הזו. משוואה (1.12) היא משוואת משצ'רסקי [2, עמ' 120], סימן המינוס מציין שהמשוואה נגזרה בהנחה של הפעולה כוחות פנימיים(הפרדת חלקיקים). מכיוון שמשוואה (1.12) נגזרה בהנחה שהתנע של מערכת גופים משתנה בהשפעת כוחות פנימיים היוצרים כוחות חיצוניים, המדויק שיטה מתמטיתלפיכך, כאשר נגזרה, הופיעו בביטוי (1.11) שני כוחות נוספים, שאינם משתתפים בשינוי התנע של מערכת הגופים, שכן הם מצטמצמים כאשר מוסיפים מונחים דומים. הבה נשכתב מחדש את המשוואה (1.11), תוך התחשבות במשוואה (1.13), מבלי לבטל מונחים דומים, כדלקמן

m(d 2 ר/dt 2) + ר(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d ר/dt) = ∑ ו + ובערב + ר(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d ר/dt). (1.14)

הבה נסמן את מונח הביטוי הלפני אחרון (1.14) על ידי ומ , והאחרון דרך וד, אז

m(d 2 ר/dt 2) + ר(d 2 m/dt 2) + (dm/dt)(ד ר/dt) = ∑ ו + ובערב + ו m+ וד (1.15)

מאז הכוח ו m אינו משתתף בשינוי המומנטום, אז ניתן לכתוב אותו כמשוואה נפרדת

ו m = ר(d 2 m/dt 2). (1.16)

הבה נבחן את המשמעות הפיזיקלית של המשוואה (1.16), לשם כך נשכתב אותה בצורה הבאה

ר = ו m/(d 2 m/dt 2). (1.17)

היחס בין הכוח לצמיחה המואצת של מסה בנפח מסוים הוא ערך קבוע, או שהחלל שתופסת כמות מסוימת של סוג חומר מאופיין בנפח מינימלי. כּוֹחַ ו m הוא סטטי ומבצע את הפונקציה של לחץ.

כּוֹחַ וד גם לא משתתף בשינוי המומנטום של מערכת הגופים, אז בואו נכתוב אותה כמשוואה נפרדת ונבחן את המשמעות הפיזית שלה

ו d = (dm/dt)(ד ר/dt). (1.18)

כּוֹחַ ו d הוא כוח הלחץ שמפעיל חומר בנוזל או מצב גזילמרחב שמסביב. הוא מאופיין במספר, במסה ובמהירות של חלקיקים המספקים לחץ בכיוון מסוים. יש לציין כי כוח הלחץ ו d חופף לכוח המסה המשתנה וראש הממשלה וההבחנה שלהם נעשית רק כדי לקבוע את אופי הפעולה ב תנאים שונים. לפיכך, משוואה (1.15) מתארת ​​לחלוטין את מצב החומר. כלומר, בהתחשב במשוואה (1.15), אנו יכולים להסיק שחומר מאופיין במסה כמדד לאינרציה, בחלל המינימלי שכמות נתונה של חומר יכולה לתפוס מבלי לשנות את תכונותיו, והלחץ שמפעיל החומר ב- מצב נוזלי וגזי על החלל שמסביב.

§2. מאפייני הפעולה של כוחות אינרציאליים ומסה משתנה.

תנועה מואצת תרגום של גוף מתרחשת בהשפעת כוח על פי החוק השני של ניוטון. כלומר, שינוי במהירות של גוף מתרחש בנוכחות תאוצה והכוח שגרם לתאוצה זו.

השימוש בכוח אינרציאלי צנטריפוגלי לתנועה טרנסלציונית אפשרי רק עם עלייה במהירות הליניארית של מקורות הכוחות הללו, שכן עם התנועה המואצת של המערכת, כוחות האינרציה של המקורות בכיוון של הגדלת המהירות של המקורות. המערכת יורדת עד שהם נעלמים לחלוטין. בנוסף, שדה הכוחות האינרציאליים חייב להיות לא אחיד ויש לו ערך מקסימליבחלק של המערכת בכיוון של תנועה תרגום.

שקול את התנועה של גוף (איור 2.1) בעל מסה m במעגל ברדיוס R.

אורז. 2.1.

כח צנטריפוגלי וμ שאיתו הגוף לוחץ על העיגול נקבעת על ידי הנוסחה

ו q = m ω 2 ר. (2.1)

באמצעות היחס הידוע ω = v /R, כאשר v היא המהירות הליניארית של הגוף בניצב לרדיוס R, אנו כותבים נוסחה (2.1) בצורה הבאה

ו c = m v 2 / ר. (2.2)

כוח צנטריפוגלי פועל בכיוון הרדיוס ר. עכשיו בואו נשבור באופן מיידי את המעגל שלאורכו נע הגוף. הניסיון מלמד שהגוף יעוף בצורה משיקית בכיוון של מהירות לינארית v, ולא בכיוון הכוח הצנטריפוגלי. כלומר, בהיעדר תמיכה, הכוח הצנטריפוגלי נעלם באופן מיידי.

תנו לגוף בעל מסה m לנוע לאורך אלמנט של חצי עיגול (איור 2.2) עם רדיוס R, והחצי עיגול נע בתאוצה w П בניצב לקוטר.

אורז. 2.2.

עם תנועה אחידה של הגוף (המהירות הליניארית אינה משתנה בגודלה) וחצי עיגול מואץ, התמיכה בצורת חצי עיגול נעלמת מיידית והכוח הצנטריפוגלי יהיה שווה לאפס. אם גוף זז בתאוצה לינארית חיובית, אז הוא ישיג את חצי העיגול והכוח הצנטריפוגלי יפעל. הבה נמצא את התאוצה הליניארית w של הגוף שבה פועל הכוח הצנטריפוגלי, כלומר לוחץ על חצי העיגול. לשם כך, משך הזמן שהגוף בילה בנתיב משיק עד שהוא נחתך עם קו מקווקו המקביל לקוטר ונמשך דרך נקודה B (איור 2.2) חייב להיות קטן או שווה לזמן השהות של חצי העיגול ב- כיוון בניצב לקוטר. תנו למהירויות ההתחלתיות של הגוף ושל חצי העיגול להיות שווה לאפס והזמן שחלף יהיה זהה, ואז הנתיב S AC אותו עובר הגוף

S AC = w t 2 /2, (2.3)

והנתיב שחוצה אותו חצי עיגול S AB יהיה

S AB = w P t 2 /2. (2.4)

מחלקים את המשוואה (2.3) ב- (2.4) נקבל

S AC / S AB = w / w P.

אז התאוצה של הגוף w, תוך התחשבות ביחס הברור S AC / S AB = 1/ cosΨ

w = w П /cosΨ, (2.5)

כאשר 0 £ Ψ £ π/2.

לפיכך, הקרנת תאוצת הגוף באלמנט מעגל בכיוון נתון (איור 2.2) חייבת תמיד להיות גדולה או שווה לתאוצה של המערכת באותו כיוון כדי לשמור על כוח צנטריפוגלי בפעולה. כלומר, כוח צנטריפוגלי פועל ככוח תרגום כוח מניערק בנוכחות תאוצה חיובית, שינוי גודל המהירות הליניארית של הגוף במערכת

הקשר עבור הרבע השני של חצי המעגל מתקבל באופן דומה (איור 2.3).

אורז. 2.3.

רק הנתיב אותו חוצה הגוף לאורך משיק יתחיל מנקודה על חצי עיגול הנעה בתאוצה עד שהוא נחתך עם קו מקווקו מקביל לקוטר ועובר דרך נקודה A עמדה ראשוניתחצאי עיגולים. הזווית במקרה זה נקבעת על ידי המרווח π/2 ³ Ψ ³ 0.

עבור מערכת שבה גוף נע באופן אחיד או עם האטה במעגל, הכוח הצנטריפוגלי לא יגרום לתנועה מואצת תרגום של המערכת, שכן התאוצה הליניארית של הגוף תהיה אפס או שהגוף יפגר מאחורי התנועה המואצת של המערכת.

אם גוף מסתובב במהירות זוויתית ω ובמקביל מתקרב למרכז המעגל במהירות v, ואז קם כוח קוריוליס

ו k = 2 מ' [ v ω]. (2.6)

אלמנט מסלול טיפוסי מוצג באיור 2.4.

אורז. 2.4.

כל הנוסחאות (2.3), (2.4), (2.5) והמסקנות לשמירה על הכוח הצנטריפוגלי של המדיום המסתובב בפעולה יהיו נכונות גם לכוח קוריוליס, שכן בתנועה מואצת של המערכת, גוף שנע בתאוצה לינארית חיובית יעמוד בקצב האצה של המערכת ובהתאם לכך ימשיך הלאה מסלול עקום, ולא לאורך קו משיק, כאשר אין כוח קוריוליס. יש לחלק את העקומה לשני חצאים. במחצית הראשונה של העקומה (איור 4), הזווית משתנה מהנקודה ההתחלתית לתחתית במרווח -π/2 £ Ψ £ π/2, ובחצי השני מהנקודה התחתונה למרכז של המעגל π/2 ³ Ψ ³ 0. באופן דומה, עם סיבוב הגוף והסרה בו-זמנית שלו (איור 2.5) מהמרכז, כוח הקוריוליס פועל כטרנסלציוני עם האצה חיובית של המהירות הליניארית של הגוף.

אורז. 2.5.

מרווח הזוויות בחצי הראשון ממרכז המעגל לנקודה התחתונה הוא 0 £ Ψ £ π/2, ובחצי השני מהנקודה התחתונה לנקודה הסופית π/2 ³ Ψ ³ -π/2 .

הבה נבחן את כוח התרגום של האינרציה ו n (איור 2.6), אשר נקבע על ידי הנוסחה

ו n = -m w,(2.7)

איפה w- האצת הגוף.

אורז. 2.6.

בהאצה חיובית של גוף הוא פועל נגד התנועה, ובהאצה שלילית (האטה) הוא פועל בכיוון התנועה של הגוף. כאשר אלמנט של תאוצה או האטה (איור 2.6) פועל על המערכת שאליה האלמנטים מחוברים, תאוצת גוף היסוד בערכו המוחלט חייבת להיות כמובן גדולה יותר ממודול האצה של המערכת הנגרמת מכוח התרגום של אינרציה של הגוף. כלומר, כוח התרגום של האינרציה פועל ככוח מניע בנוכחות האצה חיובית או שלילית.

כוח אינרציה שלב ו f (כוח אינרציאלי הנגרם מסיבוב לא אחיד) נקבע על ידי הנוסחה

וφ = -m [(ד ω /dt) ר]. (2.8)

תן את הרדיוס רמאונך לוקטור המהירות הזוויתית ω , ואז בצורה סקלרית נוסחה (2.8) מקבלת את הצורה

F f = -m (dω/dt)R. (2.9)

בהאצה זוויתית חיובית של הגוף (איור 1.7) הוא פועל נגד התנועה, ובתאוצה זוויתית שלילית (האטה) הוא פועל בכיוון התנועה של הגוף.

אורז. 2.7.

באמצעות היחס הידוע ω = v /R, כאשר v היא המהירות הליניארית של הגוף בניצב לרדיוס R, אנו כותבים נוסחה (2.9) בצורה הבאה

F f = -m (dv/dt). (2.10)

מכיוון ש-dv/dt =w, כאשר w היא התאוצה הליניארית של הגוף, אז המשוואה (2.10) לובשת את הצורה

F f = -m w (2.11)

לפיכך, הנוסחה (2.11) דומה לנוסחה (2.7) עבור כוח האינרציה הטרנסציונלי, רק התאוצה w חייבת להתפרק לרכיבים מקבילים α II ו-α ┴ מאונכים (איור 2.8) ביחס לקוטר של אלמנט חצי עיגול.

אורז. 2.8.

ברור שהמרכיב הניצב של התאוצה w ┴ יוצר מומנט, שכן בחלק העליון של חצי העיגול הוא מכוון שמאלה, ובחלק התחתון ימינה. הרכיב המקביל של התאוצה w II יוצר כוח תרגום של אינרציה F fII, מכיוון שהוא מכוון בחלק העליון והתחתון של חצי המעגל בכיוון אחד, במקביל לכיוון w II.

F fII = -m w II. (2.12)

באמצעות היחס w II = w cosΨ, נקבל

F ФII = -m w cosΨ, (2.13)

כאשר הזווית Ψ היא במרווח -π/2 £ Ψ £ π/2.

לפיכך, מתקבלת נוסחה (2.13) לחישוב האלמנט של כוח אינרציה הפאזה לתנועה תרגום. כלומר, כוח אינרצית הפאזה פועל ככוח מניע בנוכחות תאוצה לינארית חיובית או שלילית.

אז, זוהו ארבעה אלמנטים של כוח אינרציאלי תרגום: צנטריפוגלי, קוריוליס, תרגום, פאזה. מְקַשֵׁר אלמנטים בודדיםבאופן מסוים, ניתן לשלב מערכות של כוח מניע תרגומי של אינרציה.

שקול את הכוח של מסה משתנה, המוגדר על ידי הנוסחה

ו pm = - (dm/dt)(ד ר/dt). (2.14)

מכיוון שמהירות הניתוק (התקשרות) של חלקיקים ביחס למערכת הגופים שווה ל

u=ד ר/dt, (2.15)

אז נכתוב את המשוואה (2.14) כדלקמן

ואחר הצהריים = - u(dm/dt). (2.16)

במשוואה (2.16), כוח המסה המשתנה הוא ערך הכוח שמייצר החלקיק המפריד כאשר מהירותו משתנה מאפס לאפס uאו הערך המופק על ידי החלקיק המצטרף במהלך שינוי במהירות שלו מ uלאפס. לפיכך, הכוח של מסה משתנה פועל ברגע של האצה או האטה של ​​חלקיקים, כלומר, זהו כוח תרגום של אינרציה, אך מחושב לפי פרמטרים אחרים. בהתחשב במה שנכתב לעיל, יש צורך להבהיר את גזירת נוסחת ציולקובסקי. נכתוב מחדש את המשוואה (1.12) בצורה סקלרית ונקבע ∑ ו= 0, אם כן

m(d 2 r/dt 2) = - (dm/dt)(dr/dt). (2.17)

מאז האצת המערכת

d 2 r/dt 2 = dv/dt,

כאשר v היא מהירות המערכת, אז המשוואה (2.17) תוך התחשבות במשוואה (2.15) תהיה

m(dv/dt) = - (dm/dt)u. (2.18)

הכפלת המשוואה (2.17) ב-dt נקבל

mdv = -udm, (2.19)

כלומר, לדעת את המהירות המקסימלית u = u O של הפרדת חלקיקים, אותה אנו רואים קבועה, נוכל לקבוע מהיחס בין המסות m O הראשוניות והמסות הסופיות m מהירות סופיתמערכות v

v = -u O ∫ dm /m = u O ln(m O /m). (2.20)

m O /m = e v/uo . (2.21)

משוואה (2.21) היא משוואת ציולקובסקי.

§3. קו מתאר של המדיום במחזור של כוח אינרציה צנטריפוגלי.

הבה נבחן את מחזוריות המדיום לאורך הטורוס (איור 3.1) עם רדיוס ממוצע R, הנע במהירות זוויתית ω ביחס למרכז O . מודול הכוח הצנטריפוגלי הפועל על אלמנט זרימה נקודתי עם מסה ∆m יהיה שווה ל

∆ F= ∆m ω 2 R.

בכל קטע של הטבעת עבור אלמנטים זהיםהכוח הצנטריפוגלי יהיה זהה בגודלו ויכוון באופן רדיאלי מהמרכז, למתוח את הטבעת. כוח צנטריפוגלי אינו תלוי בכיוון הסיבוב.

אורז. 3.1.

כעת הבה נחשב את הכוח הצנטריפוגלי הכולל הפועל בניצב לקוטר חצי המעגל העליון (איור 3.2). ברור, בכיוון מאמצע הקוטר הקרנה בניצבהכוח יהיה מרבי, ויורד בהדרגה לעבר קצוות חצי העיגול, עקב הסימטריה של העקומה ביחס לקו האמצע. בנוסף, התוצאה של תחזיות הכוחות הצנטריפוגליים הפועלים במקביל לקוטר תהיה שווה לאפס, מכיוון שהן שוות והפוכות בכיוון.

אורז. 3.2.

הבה נכתוב את הפונקציה היסודית של הכוח הצנטריפוגלי הפועל על קטע נקודתי בעל מסה ∆ מ' ואורך ∆ ℓ:

∆ F= ∆ m ω 2 R. (3.1)

המסה של אלמנט נקודתי שווה לצפיפות השטף כפול נפחו

∆ m=ρ ∆ V. (3.2)

אורך חצי טורוס לאורך קו האמצע

כאשר π הוא המספר pi.

נפח של חצי טורוס

V = π 2 Rr 2 = πR π r 2 = ℓ π r 2 ,

כאשר r הוא הרדיוס של צינור הטורוס.

עבור כרך יסודי אנו כותבים

∆ V= ∆ ℓ π r 2.

זה ידוע כי עבור מעגל

∆ ℓ= R ∆ Ψ,

∆ V = π r 2 R ∆ Ψ. (3.3)

החלפת ביטוי (3.3) ב-(3.2) נקבל:

∆ m=ρ π r 2 R ∆ Ψ. (3.4)

עכשיו בואו נחליף את (3.4) לתוך (3.1), אז

∆ F= ρ π r 2 ω 2 R 2 ∆ Ψ.

כוח צנטריפוגלי הפועל פנימה כיוון מאונך(איור 2)

∆ F┴ = ∆ Fcos((π/2)- Ψ).

ידוע כי cos((π/2)- Ψ)=sin Ψ, אם כן

∆ F┴ = ∆ F sin Ψ.

בואו נחליף את הערך ∆ F אנחנו מקבלים

∆ F┴ = ρ π r 2 ω 2 R 2 sin Ψ ∆ Ψ.

הבה נמצא את הכוח הצנטריפוגלי הכולל הפועל בכיוון הניצב במרווח מ-0 עד Ψ

F ┴ = ∫ ρ π r 2 ω 2 R 2 sin ΨdΨ.

בואו נשלב את הביטוי הזה, ואז נקבל

F ┴ = - ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.5)

נניח שהתאוצה w של המדיום במחזור הוא פי עשרה יותר תאוצהמערכת w c, כלומר

במקרה זה, לפי הנוסחה (2.5) אנו מקבלים

בואו לחשב את זווית הפעולה של כוחות אינרציאליים ברדיאנים

Ψ ≈ 0.467 π,

שמתאים לזווית של 84 מעלות.

לפיכך, טווח הפעולה הזוויתי של כוחות האינרציה הוא

0 £ Ψ £ 84° בחצי השמאלי של קו המתאר ובאופן סימטרי 96° £ Ψ £ 180° בחצי הימני של המתאר. כלומר, מרווח ההיעדרות כוחות פעיליםהאינרציה בכל המעגל היא כ-6.7% (במציאות, תאוצת המדיום במחזוריות גדולה בהרבה מההאצה של המערכת, ולכן מרווח היעדר כוחות האינרציה הפועלים יהיה פחות מ-1% וניתן להתעלם ממנו). כדי לקבוע את הכוח הצנטריפוגלי הכולל במרווחי זווית אלה, די להחליף את המרווח הראשון בנוסחה (3.5) ובשל סימטריה, להכפיל ב-2 נקבל

F ┴ = - 2ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.6)

לאחר חישובים פשוטים אנו מקבלים

F ┴ = 1.8 ρ π r 2 ω 2 R 2 .

ידוע כי המהירות הזוויתית

F ┴ = 1.8 ρ π r 2 v 2.

מכיוון שהמדיום הסובב חייב לנוע בתאוצה כדי שהכוח האינרציאלי יפעל, לכן אנו מבטאים את המהירות הליניארית במונחים של תאוצה, בהנחה שהמהירות ההתחלתית שווה לאפס

F ┴ = 1.8 ρ π r 2 (w t) 2 . (3.8)

הערך הממוצע במהלך התאוצה החיובית, שאנו מחשיבים אותו קבוע, יהיה

F ┴CP = ((1.8ρ π r 2 w 2)/t) ∫t 2 dt.

לאחר חישובים נקבל

F ┴SR = 0.6ρ π r 2 w 2 t 2 . (3.9).

כך זוהה קו מתאר של המדיום המסתובב, ממנו ניתן ליצור שרשרת סגורה ולסכם את הכוחות הצנטריפוגליים שלהם.

בואו נעשה מעגל סגור של ארבעה קווי מתאר של קטעים שונים (איור 3.3): שני קווי מתאר עליונים של רדיוס R, קטע S, ושני קווי מתאר תחתונים של רדיוס R1, קטע S1, תוך התעלמות מהשפעות הקצוות כאשר המדיום המסתובב עובר מקטע אחד ל אַחֵר. תן ל-S< S 1 и радиус

R 1< R. Плотность циркулирующей среды одинакова. Тогда согласно уравнению неразрывности отношение скоростей потока в разных сечениях обратно пропорционально их сечениям, то есть

v/v 1 = S 1 /S = r 1 2 /r 2, (3.10)

כאשר r 1 ו-r הם רדיוסי הזרימה של המדיום במחזור של הקטע המקביל.

בנוסף, נרשום את הקשר הברור למהירויות ותאוצות

v/v 1 = w/w 1. (3.11)

בואו נמצא את התאוצה של מדיום המתאר התחתון באמצעות משוואה (3.10) ו-(3.11) לחישובים

w 1 = w r 2 / r 1 2 . (3.12)

כעת, על פי משוואה (3.9), אנו קובעים את הכוח הצנטריפוגלי עבור קו המתאר התחתון, תוך התחשבות במשוואה (3.12) ולאחר חישובים נקבל

F ┴CP1 = 0.6 ρ π r 1 2 w 1 2 = 0.6ρ π r 2 w 2 t 2 (r 2 / r 1 2) = F ┴CP (r 2 / r 1 2) (3.13)

כאשר משווים את הביטוי לכוח הצנטריפוגלי של קו המתאר העליון (3.9) והקונטור התחתון (3.13), יוצא שהם שונים בכמות (r 2 / r 1 2).

כלומר, כאשר ר< r 1 центробежная сила верхнего контура больше, чем нижнего.

אורז. 3.3.

תוצאת הכוחות הצנטריפוגליים הפועלים על שני קווי מתאר בחצי המישור העליון (הגבול של חצי המישור העליון והתחתון מוצג בקו דק) מכוון הפוך לתוצאה של כוחות צנטריפוגליים הפועלים על שני קווי מתאר בחצי התחתון -מָטוֹס. ברור, הכוח הצנטריפוגלי הכולל של F C יפעל בכיוון כפי שמוצג באיור 3.3 הבה ניקח את הכיוון הזה כחיובי. בוא נחשב את הכוח הצנטריפוגלי הכולל F

F C = 2 F ┴SR - 2F ┴SR1 = 1.2ρ π r 2 w 2 t 2 (1- (r 2 / r 1 2)) (3.14)

כפי שאנו יכולים לראות, הכוח הצנטריפוגלי הכולל תלוי בצפיפות הזרימה, בחתכים של קווי מתאר מנוגדים ובהאצת הזרימה. הכוח הצנטריפוגלי הכולל אינו תלוי ברדיוס קווי המתאר. עבור מערכת שבה המדיום במחזור נע באופן אחיד או עם האטה לאורך ההיקף, כוח צנטריפוגלי לא יגרום לתנועה מואצת מתקדמת של המערכת.

כך זוהה קו המתאר הבסיסי של המדיום המסתובב, והאפשרות להשתמש בקווי המתאר של המדיום הסובב של מקטעים שונים כדי לסכם את הכוח הצנטריפוגלי בכיוון מסוים ולשנות את הדחף הכולל של מערכת סגורה של גופים תחת השפעה. הוצגו כוחות אינרציאליים חיצוניים הנגרמים על ידי כוחות פנימיים.

תן r = 0.025m; r 1 = 0.05 מ'; ρ = 1000 ק"ג/מ"ר 3; w = 5m/s 2, t = 1s, ואז במהלך התאוצה החיובית הערך הממוצעכוח צנטריפוגלי כולל F C.≈ 44N.

§4. קווי המתאר של המדיום במחזוריות של כוח האינרציה של קוריוליס.

ידוע שכוח האינרציה של קוריוליס נוצר כאשר גוף בעל מסה m מסתובב במעגל ובו זמנית נע רדיאלי, והוא מאונך למהירות הזוויתית ω ומהירות תנועה רדיאלית v. כיוון כוח קוריוליס ועולה בקנה אחד עם הכיוון מוצר וקטורבנוסחה ו= 2 מ'[ vw].

אורז. 4.1.

איור 4.1 מציג את כיוון כוח הקוריוליס כאשר גוף מסתובב במעגל נגד כיוון השעון ונע בצורה רדיאלית לכיוון מרכז המעגל במהלך חצי המחזור הראשון. ואיור 4.2 מציג את כיוון כוח הקוריוליס כאשר הגוף מסתובב במעגל, גם נגד כיוון השעון, ומניע אותו באופן רדיאלי ממרכז המעגל במהלך חצי המחזור השני.

אורז. 4.2.

בואו נשלב את החלק השמאלי של תנועת הגוף באיור 4.1 ואת החלק הימני באיור 4.2. ואז נקבל באיור. 4.3 וריאנט של מסלול תנועת הגוף לאורך תקופה.

אורז. 4.3.

הבה נשקול את התנועה של תווך (נוזל) במחזור דרך צינורות מעוקלים לפי המסלול. כוחות הקוריוליס של עקומות שמאל וימין פועלים בגזרה של 180 מעלות בכיוון הרדיאלי כאשר נעים מנקודה B לנקודה O שמאלה וימינה, בהתאמה, ביחס לציר X רכיבי כוח הקוריוליס של שמאל ועקומות ימין F| | מקבילים לישר AC מפצים זה את זה, מכיוון שהם זהים, מכוונים הפוך וסימטריים ביחס לציר X הרכיבים הסימטריים של כוח הקוריוליס של עקומת שמאל וימין F^ בניצב לישר AC מסתכמים, שכן. הם מכוונים לאותו כיוון.

הבה נחשב את גודל כוח הקוריוליס הפועל לאורך ציר ה-X בחצי השמאלי של המסלול. מאז חיבור משוואת המסלול מייצג משימה קשה, ואז אנו מחפשים פתרון למציאת כוח קוריוליס באמצעות שיטה משוערת. תן v להיות קבוע מהירות הנוזל לאורך כל המסלול. מהירות רדיאלית v r ומהירות סיבוב לינארית v l, לפי משפט מקבילית המהירות, אנו מבטאים (איור 3) באמצעות מהירות v וזווית α

v r = v cosα, v l = v sinα.

מסלול התנועה (איור 4.3) נבנה תוך התחשבות בעובדה שבנקודה B המהירות הרדיאלית v r שווה לאפס, והמהירות הליניארית v l שווה ל v. במרכז מעגל O, עם רדיוס Ro, המהירות הרדיאלית v p שווה ל-v, והמהירות הליניארית v l שווה לאפס, ומסלול המשיק במרכז המעגל מאונך למסלול המשיק בתחילתו (נקודה ב'). הרדיוס יורד באופן מונוטוני מ-Ro לאפס. זווית α משתנה מ-90° בנקודה B ל-0° במרכז המעגל. לאחר מכן, מתוך קונסטרוקציות גרפיות, נבחר את אורך המסלול 1/4 מאורך המעגל עם רדיוס R 0. כעת ניתן לחשב את מסת הנוזל באמצעות הנוסחה לנפח של טורוס. כלומר, מסת המדיום במחזוריות תהיה שווה ל-1/4 ממסת הטורוס עם רדיוס ממוצע R 0 ורדיוס פנימי של הצינור r

m = ρπ 2 r 2 R 0 /2, (4.1)

כאשר ρ היא צפיפות הנוזל.

מודול ההקרנה של כוח קוריוליס בכל נקודה של המסלול על ציר X נמצא על ידי הנוסחה

F^ = 2m v р ср ω ср cos b , (4.2)

כאשר v r av - ערך ממוצע של מהירות רדיאלית; ω av - ערך ממוצע של מהירות זוויתית; b היא הזווית בין כוח Coriolis F לציר X (-90° £ b £ 90° ).

עבור חישובים טכניים, אתה לא יכול לקחת בחשבון את המרווח של היעדר כוחות אינרציאליים, שכן האצה של המדיום במחזור הוא הרבה יותר מאשר האצה של המערכת. כלומר, אנו בוחרים את מרווח הזוויות בין כוח הקוריוליס F לציר X (-90° £ b £ 90° ). זווית α משתנה מ-90° בנקודה B ל-0° במרכז המעגל, ואז הערך הממוצע של המהירות הרדיאלית

v р ср = 1 / (0 - π/2) ∫ v cos α dα = 2 v / π. (4.3)

מהירות הזווית הממוצעת תהיה שווה ל

ω av = (1/ ((v π /2Rо) - v Ro))) ∫ ω dω = (v /2Rо) ((π /2.) +1). (4.4)

הגבול התחתון של מהירות הזווית של האינטגרל בנוסחה (4.4) נקבע ב נקודת התחלהב. ברור שזה שווה ל-v/ro. הערך העליון של האינטגרל מוגדר כגבול היחס

ℓim (v l /R) = ℓim (v sinα /R), (4.5)

v l ® 0 α ® 0

R ® 0 R ® 0

כאשר R הוא רדיוס הזרם.

הבה נשתמש בשיטה הידועה [7, עמ' 410] למציאת גבולות לפונקציות של מספר משתנים: הפונקציה vsinα /R בנקודה (R=0, α=0) בכל ישר R = kα העובר דרך ה-. למוצא יש גבול. במקרה זה, אין הגבלה, אבל יש גבול לקו מסוים. בוא נמצא את מקדם k במשוואת הישר העובר דרך המוצא.

ב-α = 0 ® R= 0, ב-α = π /2 ® R= Ro (איור 3), ומכאן ל-= 2Ro/π, אז הנוסחה (5) הופכת לצורה הכוללת את הגבול המדהים הראשון

ℓim (v π sinα /2Ro α) = (v π/2Ro) ℓim sinα/α = v π/2Ro. (4.6)

α ® 0 α ® 0

כעת נחליף את הערך שהתקבל מהנוסחאות (4.1), (4.3) ו-(4.4) ב-(4.2) ונקבל

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) cos b .

בואו נמצא את סכום ההשלכות של כוח הקוריוליס במרווח (-90° £ b £ 90° ) עבור העקומה השמאלית.

90°

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) ∫ cos b db = 2 ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1).

90°

הסכום הסופי של תחזיות כוח קוריוליס עבור הקימורים השמאלי והימני

∑F^ = 4ρ r 2 v 2 ((π /2.) +1). (4.7)

על פי יחס (3.7), אנו משכתבים את המשוואה (4.7) בצורה

∑F^ = 4ρ r 2 (w t) 2 ((π /2.) +1). (4.8)

הבה נחשב את הערך הממוצע של כוח קוריוליס לאורך זמן, בהנחה שהתאוצה תהיה קבועה

Fк = ∑F^ ср = 4ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1) / t) ∫t 2 dt.

לאחר חישובים נקבל

Fк ≈ 1.3ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1)t 2 . (4.9)

תן r = 0.02m; w = 5m/s 2; ρ = 1000 ק"ג/מ"ק; t = 1c, אז הכוח האינרציאלי הממוצע של Coriolis במהלך התאוצה החיובית של המדיום במחזור יהיה Fк ≈ 33N.

במרכז המעגל במסלול ישנה נטייה (איור 4.3), אותה ניתן לפרש, לפשט חישובים, כחצי עיגול עם רדיוס קטן. למען הבהירות, בואו נחלק את המסלול לשני חצאים ונכניס חצי עיגול לחלק התחתון, ולתוך חלק עליוןקו ישר, כפי שמוצג באיור. 4.4 ולכוון את המדיום במחזור דרך צינור ברדיוס r, מעוקל בהתאם לצורת המסלול.

אורז. 4.4.

בנוסחה (3.5) אנו קובעים את הזווית Ψ = 180°, ואז הכוח הצנטריפוגלי הכולל Fc הפועל בכיוון הניצב עבור מעגל המדיום במחזור

Fts = 2 ρπ r 2 v 2. (4.10)

לפיכך, הכוח הצנטריפוגלי אינו תלוי ברדיוס R, אלא תלוי רק בזווית האינטגרציה (ראה נוסחה (3.5)) בצפיפות שטף קבועה ρ, רדיוס r ומהירות המדיום הסובב v בכל נקודה של המסלול. מכיוון שהרדיוס R יכול להיות כל אחד, אנו יכולים להסיק שלכל עקומה קמורה עם קצוות מאונכים לקו הישר AOB (איור 3.2), הכוח הצנטריפוגלי ייקבע על ידי ביטוי (4.10). יש לציין כתוצאה מכך שכל קצה של עקומה קמורה יכול להיות מאונך לקו שלו, שהם מקבילים ואינם שוכבים על אותו קו.

סכום תחזיות הכוחות הצנטריפוגליים (איור 4) הפועלים נגד כיוון ציר X, הנובעים בחצי עיגול ושני חצאי עקומה קמורה (הקו הישר אינו תורם לכוח הצנטריפוגלי) מעל הקו השבור ו תחזיות הפועלות לאורך ציר ה-X, הנובעות בשתי עקומות קמורות מתחת לקו השבור, מפוצות, מכיוון שהן זהות ומכוונות לכיוונים מנוגדים. לכן. כוח צנטריפוגלי אינו תורם לתנועה קדימה.

§5. מערכות סיבוביות במצב מוצק. כוחות צנטריפוגליים של אינרציה.

1. הווקטור של המהירות הזוויתית של המוטות עצמו מאונך לווקטור של המהירות הזוויתית של מרכז המסה של המוט ורדיוס ציר הסיבוב המשותף של המוטות.

ניתן להמיר את האנרגיה של תנועה תרגום לאנרגיה תנועה סיבוביתולהיפך . קחו בחשבון זוג מוטות מנוגדים באורך ℓ עם משקלי נקודה בעלי מסה שווה בקצוות, מסתובבים באופן אחיד סביב מרכז המסה שלהם ומסביב. מרכז כלליבערך רדיוס R עם מהירות זוויתית ω (איור 5.1): חצי סיבוב של המוט בסיבוב אחד סביב ציר משותף. תן לר³ ℓ/2. לתיאור מלא של התהליך, די לשקול סיבוב בטווח הזווית 0£ α £ π/2. הבה נסדר את הכוחות הפועלים במקביל לציר X העוברים דרך המרכז המשותף O ואת מיקום המוטות בזוויתα = 45 מעלות, במישור של ציר X וציר הסיבוב המשותף, כפי שמוצג באיור 5.1.

אורז. 5.1.

זווית α קשורה לתדר ω ולזמן t על ידי היחס

α = ωt/2, (5.1.1)

שכן חצי סיבוב של המוט מתרחש בסיבוב אחד סביב ציר משותף. ברור שכוחות צנטריפוגלייםאִינֶרצִיָה יהיו עומסים רחוקים יותר מהמרכז מאשר בקרבת מקום. תחזיות של כוחות צנטריפוגלייםאינרציה על ציר X תהיה

Ft1 = mω 2 (R - (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.2)

Ft2 = mω 2 (R + (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.3)

Ft3 = - mω 2 (R + (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.4)

Ft4 = - mω 2 (R - (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.5)

הבה נכתוב את ההבדל בכוח הצנטריפוגליאִינֶרצִיָה , הפועלים על עומסים מרוחקים. הבדל כוח צנטריפוגליאינרציה עבור העומס השני

Ft2-1 = mω 2 ℓ cosα sin2α. (5.1.6)

הבדל כוח צנטריפוגליאינרציה עבור העומס השלישי

Ft3-4 = - mω 2 ℓ sinα sin2α. (5.1.7)

ערך ממוצע של הבדל כוחות צנטריפוגלייםאִינֶרצִיָה לחצי סיבוב זה יהיה

Fav ц2-1 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ cosα sin2αdα = 4mω 2 ℓ/3 π » 0.4mω 2 ℓ, (5.1.8)

Fav c3-4 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ sinα sin2αdα = -4mω 2 ℓ/3 π » -0.4mω 2 ℓ. (5.1.9)

השגנו שני כוחות צנטריפוגליים הפוכים ושווים בגודלםאינרציה, שהם חיצוניים. לכן, הם יכולים להיות מיוצגים כשני גופים זהים באינסוף (לא נכללים במערכת), תוך אינטראקציה עם המערכת: העומס השני מושך את המערכת לכיוון הגוף הראשון, והעומס השלישי דוחף את המערכת מהגוף השני.

הערך הממוצע של כוח ההשפעה הכפויה על המערכת לכל חצי סיבוב לאורך ציר X שווה לסכום כוחות המשיכה Fav c2-1 ודחייה Fav c3-4 מגופים חיצוניים

Fп = | Fav c2-1 | + | Fav c3-4 | = 0.8 mω 2 ℓ. (5.1.10)

כדי לבטל את המומנט של מערכת של שני מוטות במישור אנכי (איור 5.2), יש צורך להשתמש בזוג אחר של מוטות מנוגדים, המסתובבים באופן סינכרוני באותו מישור בכיוון ההפוך.

אורז. 5.2.

כדי לבטל את המומנט של המערכת לאורך ציר משותף עם מרכז O, אנו משתמשים באותו זוג של ארבעה מוטות, אך מסתובבים בכיוון ההפוך ביחס לציר המשותף (איור 5.3).

אורז. 5.3.

לבסוף, עבור מערכת של ארבעה זוגות של מוטות מסתובבים (איור 5.3), כוח המתיחה יהיה

Ft = 4Fp = 3.2mω 2 ℓ. (5.1.11)

תן m = 0.1 ק"ג; ω =2 πf, כאשר f = 10 סיבובים/שניות; ℓ = 0.5 מ', ואז Ft ≈ 632N.

2. וקטור המהירות הזוויתית של המוטות עצמו מאונך לווקטור המהירות הזוויתית של מרכז המסה של המוט ומקביל לרדיוס ציר הסיבוב המשותף של המוטות.

הבה נבחן זוג מוטות מנוגדים הניצבים זה לזה באורך ℓ עם עומסי נקודה בעלי מסה שווה בקצוות, מסתובבים באופן אחיד סביב מרכז המסה שלהם ומסביב למרכז משותף O עם רדיוס R עם מהירות זוויתית ω (איור 5.4): חצי סיבוב של המוט לכל סיבוב סביב ציר משותף.

אורז. 5.4.

לחישוב נבחר רק m1 ו-m2, שכן הפתרון דומה עבור m3 ו-m4. הבה נקבע את המהירויות הזוויתיות של העומסים ביחס למרכז המשותף O. המודולים של תחזיות המהירות הליניארית של העומסים ביחס למרכז המסה שלהם במקביל למישור הסיבוב ביחס למרכז המשותף O יהיו ( איור 5.5)

v1 = v2 = (ωℓ/4) sin (Ψ/2), (5.2.1)

כאשר Ψ = ωt.

הבה נבחר לפי ערך מוחלט את תחזיות הטנגנס של המהירויות הללו מאונך לרדיוסים r1 ו-r2 בהתאמהיחסית למרכז O שנקבל

v1R = v2R = (ωℓ/4) חטא ( Ψ /2) cosב, (5.2.2)

חַסַת עָלִיםב= R /r1 = R /r2 =R/Ö (R 2 +(ℓ 2 /4) cos 2 (Ψ /2)), (5.2.3)

R – מרחק מהמרכז O למרכז המסה של העומסים, r1, r2 – מרחק מהעומסים למרכז O, ו-r1 = r2.

אורז. 5.5.

המודולים של המהירות הליניארית של העומסים ביחס למרכז המשותף O מבלי לקחת בחשבון את המהירות הליניארית שלהם ביחס למרכז המסה שלהם עצמם יהיו

vR1 = ω r1, (5.2.4)

vR2 = ω r2. (5.2.5)

הבה נמצא את המהירות הזוויתית הכוללת של כל עומס ביחס לציר הסיבוב המשותף, תוך התחשבות בכך שהמהירויות הליניאריות הן בכיוונים מנוגדים עבור העומס הראשון וזהות עבור השני, אז

ω 1 = (vR1 - v1R)/r1 = ω [ 1– (ℓR sin (Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] , (5.2.6)

ω 2 = (vR2 + v2R)/r2 = ω [ 1+ (ℓR] . (5.2.7)

בהתאם, הכוחות הצנטריפוגליים יהיו

F 1 = mω 1 2 r1

F 2 = mω 2 2 r2

או בפירוט

F 1 = mω 2 [ (1– (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)), (5.2.8)

F 2 = mω 2 [ (1+ (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)). (5.2.9)

בואו נשקול את האפשרות מתי ℓ= 4R. במקרה זה, מתיΨ=180° תדר זוויתי של העומס הראשון ω 1 = 0 והוא אינו משנה כיוון, לעומס השני יש ω 2 = 2ω (איור 5.6).

אורז. 5.6.

נעבור לקביעת כוחות צנטריפוגליים בכיוון ציר X בℓ= 4R

F 1 = mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)– sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)), (5.2.10)

F 2 = mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)+ sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)). (5.2.11)

יש לציין כי עם זווית גוברתΨ מ-0 עד 180 ° בנקודהΨ = ב = 60 ° הקרנה של כוח צנטריפוגלי F 2 משנה סימן משלילי לחיובי.

ראשית, נוסיף את הערכים הממוצעים של ההקרנה על ציר ה-X של הכוח הצנטריפוגלי של העומס הראשון ואת הערך הממוצע של ההקרנה של השני במרווח הזווית

0 £ Ψ 60 פאונד° , תוך התחשבות בסימנים, שכן הם מכוונים הפוך

F CP 1-2 = (1/(π /3))∫ (F 1 sin( b+Ψ) - F 2 sin( ב-Ψ))dΨ ≈ 0.6mω 2 R, (5.2.12)

איפה ב = arccos(1/ Ö (1 +4 cos 2 (Ψ /2))) נקבע מנוסחה (5.2.3).

כח צנטריפוגלי F CP 1-2 בנוסחה (5.2.12) הוא חיובי, כלומר מכוון לאורך ציר ה-X. כעת נוסיף את הערך הממוצע המכוון באותה מידה של ההקרנה על ציר ה-X של הכוח הצנטריפוגלי של העומס הראשון ואת הערך הממוצע של ההקרנה של השני במרווח הזווית של 60° £ Ψ 180 פאונד°

F CP 1+2 = (1/(π-(π/3)))∫(F 1 sin(Ψ + ב)+ F 2 sin(Ψ- ב))dΨ ≈ 1.8mω 2 R, (5.2.13)

ערך ממוצע במרווח 0° £ Ψ 180 פאונד° ברור שיהיה

F CP = (F CP 1-2 + 2F CP 1+2)/3 ≈ 1.4 mω 2 R. (5.2.14)

עבור m3 ו-m4, הערך הממוצע של ההקרנה על ציר ה-X של הכוח הצנטריפוגלי יהיה זהה, אך פועל בכיוון ההפוך.

F T = 4 F CP = 5.6mω 2 R. (5.2.15)

תן m = 0.1 ק"ג; ω =2 πf, כאשר f = 10 סיבובים/שניות; ℓ= 4R, כאשר R = 0.1m, ואז F T ≈ 220N.

3. הווקטור של המהירות הזוויתית של המוטות עצמו מקביל ומכוון באופן זהה לווקטור המהירות הזוויתית של מרכז המסה של המוט המסתובב סביב ציר משותף.

הבה נבחן זוג מוטות מנוגדים השוכבים על מישור המים באורך ℓ עם עומסי נקודה בעלי מסה שווה בקצוות, מסתובבים באופן אחיד סביב מרכז המסה שלהם ומסביב למרכז משותף O עם רדיוס R עם מהירות זוויתית ω (איור 5.7): חצי סיבוב של המוט לכל סיבוב סביב ציר משותף.

אורז. 5.7.

בדומה למקרה הקודם, אנו בוחרים רק m1 ו-m2 לחישוב, מכיוון שהפתרון דומה עבור m3 ו-m4. הערכה משוערתנפיק את כוחות האינרציה הפועלים ב-ℓ = 2R תוך שימוש בערכים הממוצעים של המהירות הזוויתית ביחס למרכז O, כמו גם בערכים הממוצעים של המרחק מהעומסים למרכז O. ברור, מהירות זוויתית של העומס הראשון בהתחלה תהיה 1.5ω מהעומס השני 0.5ω, ולאחר חצי סיבוב לשניהם יש ω. המרחק מהמשקל הראשון למרכז O בהתחלה הוא 2R מהמשקל השני 0, ואחרי חצי סיבוב מכל RÖ 2.

אורז. 5.8.

יתר על כן, במרווח 0° £ Ψ 36 פאונד° (איור 5.8) כוחות צנטריפוגליים מסתכמים בכיוון ציר X, במרווח 36° £ Ψ 72 פאונד° (איור 5.8, איור 5.9) הכוח של השני מופחת מכוח הגוף הראשון וההבדל שלהם פועל לאורך ציר X, במרווח 72° £ Ψ 90 פאונד° (איור 5.9) הכוחות מסתכמים ופועלים מול ציר X.

אורז. 5.9.

הבה נקבע את הערכים הממוצעים של מהירות הזווית ורדיוסים של העומסים לכל חצי סיבוב.

מהירות זוויתית ממוצעת של העומס הראשון

ω CP 1 = (ω + 0.5ω + ω)/2 = 1.25ω. (5.3.1)

מהירות זוויתית ממוצעת של העומס השני

ω CP 2 = (ω - 0.5ω + ω)/2 = 0.75ω. (5.3.2)

רדיוס ממוצע של העומס הראשון

R CP 1 = (2R + R Ö 2)/2 = R(2 + Ö 2)/2.(5.3.3)

רדיוס ממוצע של העומס השני

R CP 2 =(0 + R Ö 2)/2 = (RÖ 2)/2.(5.3.4)

הקרנת הכוח הצנטריפוגלי הפועל על העומס הראשון בכיוון ציר X תהיה

F 1 = mω 2 SR 1 R SR 1 cos(Ψ /2)sin2Ψ » 2.67mω 2 R cos(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.5)

הקרנת הכוח הצנטריפוגלי הפועל על העומס השני בכיוון ציר X תהיה

F 2 = mω 2 SR 2 R SR 2 sin(Ψ /2)sin2Ψ » 0.4mω 2 R sin(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.6)

° £ Ψ 36 פאונד° יהיה

0.2π

F CP 1 + 2 = (1/0.2 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ » 1.47mω 2 R. (5.3.7)

הערך הממוצע של ההפרש בין תחזיות הכוחות הצנטריפוגליים של העומס הראשון והשני במרווח 36° £ Ψ 72 פאונד° יהיה

0.4π

F CP 1 - 2 = (1/0.2 π) ∫(F 1 - F 2) dΨ » 1.95mω 2 R. (5.3.8)

0.2π

הערך הממוצע של סכום תחזיות הכוחות הצנטריפוגליים של העומס הראשון והשני במרווח 72° £ Ψ 90 פאונד° יהיה

0.5π

F CP- (1 + 2) = - (1/0.1 π) ∫(F 1 + F 2)dΨ » -3.72mω 2 R. (5.3.9)

0.4π

הערך הממוצע של סכום תחזיות הכוחות הצנטריפוגליים של העומס הראשון והשני במרווח 0° £ Ψ 90 פאונד° יהיה

F CP = (2F CP 1 + 2 + 2F CP 1 – 2 + F CP- (1 + 2))/5 » 0.62mω 2 R. (5.3.10)

סכום תחזיות הכוחות הצנטריפוגליים עבור העומסים השלישי והרביעי מחושב באופן דומה.

כדי לבטל את המומנט, יש צורך להשתמש בזוג מוטות נוסף, אך מסתובב בכיוון ההפוך ביחס למרכז המסה שלהם וביחס לציר הסיבוב המשותף, אז כוח המתיחה הסופי יהיה

F T = 4F CP = 2.48mω 2 R. (5.3.11)

תן m = 0.1 ק"ג; ω =2 πf, כאשר f = 10 סיבובים/שניות; R = 0.25m, ואז F T ≈ 245N.

§6. כוח שלב של אינרציה.

כדי ליישם את כוח הפאזה של האינרציה ככוח תרגום, אנו משתמשים בהצמדה מפרקית דו-קרבית עם ארבע חוליות כדי להמיר את הסיבוב האחיד של המנוע לסיבוב לא אחיד של העומסים לפי מצב מסוים, תוך אופטימיזציה של אופי התנועה של העומסים עבור שימוש יעילכוחות אינרציה, והבחירה המתאימה מיקום יחסיעומסים, לפצות על הדחף ההפוך

הצמדה מפרקית בעלת ארבעה מוטות תהיה כפולה אם המרחק ממרכז למרכז הוא AG (איור 6.1) יהיה קטן מאורך כל חוליה נעה, וסכום המרחק ממרכז למרכז ואורך הגדול שבחוליות הנעות יהיה קטן מסכום אורכי שני החוליה האחרים.

אורז. 6.1.

קישור VG (מנוף), שעליו מחובר עומס במסה m, הוא ארכובה מונע על פיר קבוע G, והקישור AB הוא מוביל. קישור A הוא ציר המנוע. קישור BV הוא מוט מחבר. היחס בין אורכי המוט המחבר לבין ארכובה הכונן נבחר כך שכאשר העומס מגיע נקודת קיצון D הייתה זווית ישרה בין מוט החיבור לבין ארכובה ההנעה, מה שמבטיח יעילות מקסימלית. לאחר מכן, עם סיבוב אחיד של גל המנוע A עם הארכובה המניע AB עם מהירות זוויתית w, מוט החיבור BV מעביר תנועה אל הארכובה המונעת VG, ומאט אותה. לפיכך, העומס מאט מנקודה E לנקודה D לאורך חצי העיגול העליון. במקרה זה, הכוח האינרציאלי פועל בכיוון התנועה של העומס. הבה ניקח בחשבון את תנועת העומס בחצי המעגל הנגדי (איור 6.2), שבו מוט החיבור, מתיישר, מאיץ את העומס.

אורז. 6.2.

במקרה זה, הכוח האינרציאלי פועל נגד כיוון התנועה של העומס, בקנה אחד עם כיוון הכוח האינרציאלי בחצי העיגול הראשון. מעגל ההנעה המשולב מוצג באיור 6.3.

אורז. 6.3.

הארכובה המונעים AB ו-A¢ B¢ מחוברים בצורה נוקשה בקו ישר על גל המנוע, והארכונים המונעים (מנופים) מסתובבים באופן עצמאי זה מזה על גבי ציר נייח. מרכיבי האורך של כוחות האינרציה בכיוון מנקודה E לנקודה D של העומסים העליונים והתחתונים מסתכמים ומספקים תנועה קדימה. אין דחף הפוך, מכיוון שהמשקולות מסתובבות באותו כיוון ובממוצע, ממוקמות הפוך באופן סימטרי.

הבה נעריך את כוח אינרצית הפאזה האפקטיבית.

תן AB = BV = r, GV = R.

נניח שבמיקום הימני הקיצוני הזווית Ψ בין הרדיוס R ו קו אמצע DE שווה ל-0° (איור 6.4) ו

r + r – AG = R, (6 .1)

וגם במיקום השמאלי הקיצוני בזווית Ψ =180° (איור 6.5).

Р ABC = 90°. (6 .2)

לאחר מכן, בהתבסס על תנאים אלה, קל לקבוע כי ההנחות מתקיימות עבור הערכים הבאים

r = 2R/(2+Ö 2), (6.3)

AG = (3 - 2Ö 2)R. (6 .4)

כעת הבה נקבע את המהירויות הזוויתיות במיקום הקיצוני הימני והשמאלי. ברור, במיקום הנכון, המהירויות הזוויתיות של ה-AG וה-GW חופפות ושוות ל-w.

אורז. 6.4.

במיקום השמאלי, המהירות הזוויתית w של ה-GW תהיה שווה כמובן ל

w GW = (180° /225° )w . (6 .5)

התוספת במהירות הזוויתית ∆w במהלך הזמן ∆t = 225° /w = 5π/4w תהיה

∆w = w GW - w = - 0.2w. (6 .6)

לתת תאוצה זוויתיתיהיה איטי באותה מידה, אם כך

dω/dt = ∆w /∆t = - 0.16w 2 / π. (6 .7)

הבה נשתמש בנוסחה של כוח האינרציה הפאזה (2.8) בצורה סקלרית

F f = -m [(dω/dt)R] = 0.16mw 2 R/ π. (6.8)

אורז. 6.5.

הקרנת כוח האינרציה הפאזה בכיוון ED תהיה

F fED = 0.16mw 2 RsinΨ/π. (6.9)

ערך ממוצע של הקרנת כוח האינרציה הפאזה עבור חצי מחזור

F CP = 0.16mω 2 R/ π 2) ∫ sinΨdΨ = 0.32mω 2 R/ π 2 . (6.10)

עבור שני עומסים (איור 6.3), הכוח מכפיל את עצמו. כדי לבטל את המומנט, יש צורך ליישם עוד זוג משקולות, אך מסתובב בכיוון ההפוך. לבסוף, כוח המתיחה עבור ארבעה עומסים יהיה

F T = 4F CP = 1.28mω 2 R/ π 2. (6.11)

תן m = 0.1 ק"ג; ω =2 πf, כאשר f = 10 סיבובים/שניות; R = 0.5 מ', ואז F T = 25.6 N.

§7. ג'ִירוֹסקוֹפּ. קוריוליס וכוח אינרציה צנטריפוגלי.

בואו נשקול תנועה תנודהעומס עם מסה m לאורך חצי עיגול (איור 7.1) עם רדיוס R עם מהירות ליניארית v כוח האינרציה הצנטריפוגלי Fc הפועל על עומס במסה m יהיה שווה ל-m v 2 /R, מכוון רדיאלי ממרכז O. הקרנת הכוח הצנטריפוגלי על ציר X תהיה שווה

F c׀ = (m v 2 /R) sin α. (7.1)

המטען חייב לנוע בתאוצה w לאורך ההיקף, כך שהכוח הצנטריפוגלי יעיל לתנועת התרגום של המערכת, ומכיוון v = wt, אם כן

F c׀ = (m w 2 t 2 /R) sin α, (7.2)

איפה זה הזמן.

אורז. 7.1.

בשל אינרציה של העומס, מופיע דחף הפוך בקצוות חצי העיגול, המונע תנועה קדימה של המערכת לכיוון ציר X.

ידוע שכאשר נחשפים לכוח המשנה את כיוון ציר הג'ירוסקופ, הוא מקדים בהשפעת כוח הקוריוליס, ותנועה זו נטולת אינרציה. כלומר, עם הפעלה מיידית של כוח שמשנה את כיוון ציר הסיבוב, הגירוסקופ מתחיל מיד להקדים ובאותה מידה נעצר כאשר כוח זה נעלם. במקום עומס, אנו משתמשים בגירוסקופ המסתובב במהירות זוויתית ω. כעת נפעיל כוח F בניצב לציר הסיבוב של הג'ירוסקופ (איור 7.2) ונשפיע על הציר כך שהמחזיק עם הג'ירוסקופ יבצע תנועת תנודה נטולת אינרציה (precesses) בגזרה מסוימת (במקרה האופטימלי עם ערך סופיα = 180°). עצירה מיידית של הפרצסיה של המחזיק עם גירוסקופ וחידושה בכיוון ההפוך מתרחשת כאשר כיוון הכוח F משתנה לכיוון ההפוך. כך, מתרחשת תנועה נדנדת, נטולת אינרציה, של המחזיק עם גירוסקופ, המבטלת את הדחף ההפוך שמונע תנועה קדימה לאורך ציר ה-X.

אורז. 7.2.

שיעור קדנציה זוויתית

dα /dt = M / I Z ω, (7.3)

שבו: M - מומנט כוח; I Z - מומנט אינרציה של הג'ירוסקופ; ω – מהירות זוויתית של הג'ירוסקופ.

מומנט כוח (בהנחה ש-ℓ מאונך ל-F)

M = ℓ F, (7.4)

כאשר: ℓ - מרחק מנקודת הפעלת הכוח F למרכז האינרציה של הגירוסקופ; F - כוח המופעל על ציר הגירוסקופ.

החלפת (7.4) לתוך (7.3) נקבל

dα /dt = ℓ F / I Z ω, (7.5)

בצד ימין של הנוסחה (7.5) הרכיבים ℓ, I Z, אנו רואים את ω קבוע, ונותנים לכוח F, בהתאם לזמן t, להשתנות בהתאם לחוק ליניארי חלקי (איור 7.3).

אורז. 7.3.

ידוע שמהירות לינארית קשורה למהירות זוויתית על ידי היחס הבא

v = R(dα/dt). (7.6)

מבדיל נוסחה (7.6) ביחס לזמן, אנו מקבלים תאוצה

w = R (d 2 α /dt 2). (7.7)

החלפת נוסחה (7.5) בנוסחה (7.7) נקבל

w = (R ℓ/IZω ) (dF/dt). (7.8)

לפיכך, האצה תלויה בקצב השינוי של כוח F, מה שהופך את הכוח הצנטריפוגלי יעיל לתנועה קדימה של המערכת.

יש לציין שבמהירות זוויתית גבוהה ω ו-dα /dt<< ω , возникающий гироскопический момент уравновешивает момент силы F, поэтому движения в направлении воздействия этой силы не происходит .

כדי לפצות על ההקרנה הניצבת של הכוח הצנטריפוגלי Fc ┴ אנו משתמשים בג'ירוסקופ דומה שני, המבצע תנועה נדנדת באופן סינכרוני באנטי-פאזה עם הג'ירוסקופ הראשון (איור 7.4). ההקרנה של הכוח הצנטריפוגלי Fc ┴ בג'ירוסקופ השני תכוון מול ההקרנה בראשון. ברור שהרכיבים הניצבים Fc ┴ יפוצו, ויתווספו הרכיבים המקבילים Fc׀׀.

אורז. 7.4.

אם מגזר התנודה של הג'ירוסקופים אינו יותר מחצי עיגול, אזי הכוח הצנטריפוגלי ההפוך לא יתעורר, ויפחית את הכוח הצנטריפוגלי בכיוון ציר X.

כדי לבטל את המומנט של המכשיר הנובע כתוצאה מסיבוב מאולץ של ציר הגירוסקופ, יש צורך להתקין זוג נוסף של אותם גירוסקופים, שציריהם מסתובבים בכיוון ההפוך. מגזרי התנועה התנודתית של מחזיקים עם גירוסקופים בזוגות, שציריהם מסתובבים גירוסקופים בכיוון אחד, צריכים להיות מכוונים באופן סימטרי בכיוון אחד עם גזרות המחזיקים עם גירוסקופים, שציריהם מסתובבים בכיוון השני (איור 1). 7.5).

אורז. 7.5.

הבה נחשב את הערך הממוצע של הקרנת Fп׀ של הכוח הצנטריפוגלי עבור גירוסקופ אחד (איור 7.2) על מחזיק המתנודד בגזרת חצי המעגל מ-0 ל-π ונסמן ערך זה ב-Fп

Fп = (1/ π) ∫ (m w 2 t 2 / R) sin α dα = 2m w 2 t 2 / Rπ. (7.9)

עבור ארבעה גירוסקופים על מחזיקים, הערך הממוצע של כוח התרגום Fп עבור כל חצי מחזור יהיה:

Fп = 8m w 2 t 2 / Rπ. (7.10)

תנו למסה של המחזיק להיות הרבה פחות ממסת הגירוסקופ, ומסת הגירוסקופ m = 1 ק"ג. תאוצה w = 5 m/s 2, והתאוצה של הג'ירוסקופ גדולה בסדר גודל מהתאוצה של המערכת, אז נוכל להתעלם מהמרווח הקטן של היעדר פעולת הכוח הצנטריפוגלי במרכז. זמן עליית מהירות t = 1 שניות. רדיוס (אורך) של המחזיק R = 0.5 מ'. לאחר מכן, לפי הנוסחה (7.10), כוח התרגום יהיה Fп = 8∙ 1∙ 5 2 ∙1 2 /0.5 π ≈ 127N.

סִפְרוּת

1. Vygodsky M. Ya Handbook of Higher Mathematics, מהדורה 14, – M.: Ursa Major LLC, APP "Dzhangar", 2001, 864 עמ'.

2. Sivukhin D.V. קורס כללי בפיזיקה. ת.1. מֵכָנִיקָה. מהדורה 5, סטריאוט. – M.: FIZMATLIT., 2010, 560 p.

3. שיפוב ג.י. תורת הוואקום הפיזי. תיאוריה, ניסויים וטכנולוגיה. מהדורה שנייה, – מ.: נאוקה, 1996, 456 עמ'.

4.אולחובסקי I.I. קורס מכניקה תיאורטית לפיזיקאים: ספר לימוד. מהדורה רביעית, נמחקה. – St. Petersburg: Lan Publishing House, 2009, 576 p.

5. מדריך פיזיקה למהנדסים וסטודנטים באוניברסיטה / B.M Yavorsky, A.A Detlaf, A.K. – מהדורה 8, מתוקנת. וקור. – M.: Onyx Publishing House LLC, Mir and Education Publishing House, 2008, 1056 p.

6. Khaikin S.E. יסודות פיזיקליים של מכניקה, מהדורה שנייה, ריב. ועוד הדרכה. מערכת מערכת ראשית של ספרות פיזיקלית ומתמטית. מ.: נאוקה, 1971, 752 עמ'.

7. Zorich V.A. ניתוח מתמטי. חלק 1. אד. 2, rev. ועוד M.: FAZIS, 1997, 554 p.

8. Alexandrov N.V. וישקין א.יא. קורס פיזיקה כללית. מֵכָנִיקָה. ספר לימוד מדריך לסטודנטים במשרה חלקית בפיזיקה ומתמטיקה. fak. פד. אינסט. מ., "נאורות", 1978, 416 עמ'.

9. Geronimus Ya.

10. קורס מכניקה תיאורטית: ספר לימוד / א.א. יבלונסקי, V.M. – מהדורה 15, נמחקה. – M.: KNORUS, 2010, 608 p.

11. טורישב M.V., על תנועת מערכות סגורות, או באילו תנאים לא מתקיים חוק שימור המומנטום, "מדעי הטבע והטכניים", מס' 3(29), 2007, ISSN 1684-2626.

12. יזרמן מ.א. מכניקה קלאסית: ספר לימוד. – מהדורה שנייה, מתוקנת. – מ.: מדע. מערכת מערכת ראשית לספרות פיזיקלית ומתמטית, 1980, 368 עמ'.

13. יבורסקי ו.מ., פינסקי א.א. יסודות הפיזיקה: ספר לימוד. ב-2 כרכים. מכניקה, פיזיקה מולקולרית. אלקטרודינמיקה / אד. יו.אי.דיקה. – מהדורה 5, סטריאוט. – מ.: FIZMATLIT. 2003. – 576 עמ'.

14. Kittel Ch., Knight V., Ruderman M. מכניקה: מדריך לימוד: טרנס. מאנגלית/אד. א.י. שלניקובה וא.ס. – מהדורה שלישית, ריב. – מ.: מדע. מערכת מערכת ראשית של ספרות פיזיקלית ומתמטית. 1983. – (קורס פיזיקה בברקלי, כרך 1). – 448 שניות.

15. Tolchin V.N., Inertsoid, Inertial forces as a source of translational motion. פרמיאן. הוצאת ספרים פרם, 1977, 99 עמ'.

16. פרולוב א.וו. הנעת וורטקס, "אנרגיה חדשה", מס' 3 (18), 2004, ISSN 1684-7288.

17.ברניקוב V.R. כמה השלכות מחוק היסוד של המכניקה, "כתב עת לפרסומים מדעיים של סטודנטים לתארים מתקדמים ודוקטורנטים", מס' 5 (71), 2012, ISSN 1991-3087.

18.ברניקוב V.R. כוחות אינרציאליים ותאוצה, "פרספקטיבה מדעית", מס' 4, 2012, ISSN 2077-3153.

19.ברניקוב V.R. כוחות אינרציאליים ויישומם, "כתב עת לפרסומים מדעיים של סטודנטים לתארים מתקדמים ודוקטורנטים", מס' 11 (65), 2011, ISSN 1991-3087.

הבה נבחן עגלה עם סוגר מחובר אליה, שאליה תלוי כדור על חוט (איור 5.1). בזמן שהעגלה במנוחה או נעה ללא תאוצה, החוט אנכי וכוח הכבידה m זמאוזן על ידי תגובת החוט ור. אם כעת נביא את העגלה לתנועה לינארית עם תאוצה א = אב , החוט יחרוג מהאנכי בזווית כזו שהכוח שנוצר m זו ור,. נתן לכדור תאוצה שווה ל אב:

M אב =m ז + ור. (5.6)

ביחס למסגרת הייחוס הקשורה לעגלה, הכדור נמצא במנוחה, למרות העובדה שהכוח הנובע מ-m זו ו r שונה מאפס. חוסר האצה של הכדור ביחס למסגרת ייחוס זו יכול להיות מוסבר רשמית על ידי העובדה שבנוסף לכוחות m זו ו r שווה בסך הכל ל-m אב , הכדור מופעל על ידי כוח אינרציאלי וב = -מ אב. במקרה האחרון, נקבל את אותה משוואה (5.6).

M א= מ ז + ו r.+ וב =m ז + ור. -M א in = 0, (5.7)

אורז. 5.1. איור 5. 2. איור 5.3.

הכנסת כוחות אינרציאליים מאפשרת לתאר את תנועת הגופים בכל מערכות ייחוס (אינרציאליות ולא אינרציאליות) באמצעות אותן משוואות תנועה.

עם זאת, יש להבין שלא ניתן להשוות כוחות אינרציאליים לכוחות הנגרמים מאינטראקציות בסיסיות, כגון כוחות כבידה ואלקטרומגנטיים, או כוחות אלסטיים וחיכוך. כל הכוחות הללו נגרמים מהשפעה על הגוף מגופים אחרים. כוחות אינרציאליים נקבעים על ידי המאפיינים של מערכת הייחוס שבה נחשבות תופעות מכניות.

הכנסת כוחות אינרציאליים בחשבון אינה הכרחית ביסודה. באופן עקרוני, כל תנועה תמיד יכולה להיחשב ביחס למסגרת ייחוס אינרציאלית. עם זאת, בפועל, לעיתים קרובות יש עניין בתנועת הגופים ביחס למערכות ייחוס לא אינרציאליות, למשל, ביחס לפני השטח של כדור הארץ. השימוש בכוחות אינרציאליים מאפשר לפתור את הבעיה המקבילה ישירות ביחס למערכת ייחוס כזו, שלעתים קרובות מתברר כפשוטה הרבה יותר מאשר התחשבות בתנועה במסגרת אינרציאלית.

תכונה אופיינית של כוחות אינרציאליים היא המידתיות שלהם למסת הגוף. הודות לתכונה זו, כוחות אינרציאליים מתגלים כדומים לכוחות כבידה. בואו נדמיין שאנחנו בתא סגור מרוחק מכל הגופים החיצוניים, שנע בתאוצה זבכיוון שנקרא "מעלה" (איור 5.3). אז כל הגופים הממוקמים בתוך התא יתנהגו כאילו פעלו עליהם על ידי כוח אינרציאלי וב = -מ ז. בפרט, קפיץ, שבסופו תלוי גוף בעל מסה m, יימתח כך שהכוח האלסטי יאזן את הכוח האינרציאלי -m ז. עם זאת, אותן תופעות היו נראות אם התא היה נייח וממוקם ליד פני כדור הארץ. ללא ההזדמנות "להסתכל" מחוץ לבקתה, שום ניסוי שבוצע בתוך התא לא יאפשר לנו לקבוע מה גורם לכוח -m ז- תנועה מואצת של התא או פעולת שדה הכבידה של כדור הארץ. על בסיס זה הם מדברים על השקילות של כוחות האינרציה והכבידה (בשדה כבידה אחיד). שוויון זה עומד בבסיס תורת היחסות הכללית (GTR) של איינשטיין.