תכונות של חוצה מאונך של קטע. נקודת החיתוך של חצויים ונקודת החיתוך של חצויים מאונכים של משולש

יש מה שנקרא ארבע נקודות ראויות לציון במשולש: נקודת החיתוך של החציונים. נקודת החיתוך של חצויים, נקודת החיתוך של גבהים ונקודת החיתוך של חצויים מאונכים. בואו נסתכל על כל אחד מהם.

נקודת חיתוך של חציוני משולש

משפט 1

על מפגש החציונים של משולש: החציונים של משולש נחתכים בנקודה אחת ומחולקים בנקודת החיתוך ביחס $2:1$ החל מהקודקוד.

הוכחה.

שקול את המשולש $ABC$, שבו $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ הם החציונים שלו. מאז החציונים מחלקים את הצדדים לשניים. הבה נבחן את הקו האמצעי $A_1B_1$ (איור 1).

איור 1. חציון של משולש

לפי משפט 1, $AB||A_1B_1$ ו-$AB=2A_1B_1$, לכן, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. המשמעות היא שמשולשים $ABM$ ו-$A_1B_1M$ דומים לפי הקריטריון הראשון של דמיון משולשים. לאחר מכן

באופן דומה, הוכח כי

המשפט הוכח.

נקודת חיתוך של חצויים משולשים

משפט 2

על מפגש חצויים של משולש: חצויים של משולש נחתכים בנקודה אחת.

הוכחה.

קחו בחשבון את המשולש $ABC$, שבו $AM,\BP,\CK$ הם חצויים שלו. תן לנקודה $O$ להיות נקודת החיתוך של חצויים $AM\ ו\BP$. הבה נצייר ניצבים מנקודה זו לצלעות המשולש (איור 2).

איור 2. חוצות משולש

משפט 3

כל נקודה של חצויה של זווית לא מפותחת נמצאת במרחק שווה מצלעיה.

לפי משפט 3, יש לנו: $OX=OZ,\ OX=OY$. לכן, $OY=OZ$. משמעות הדבר היא שהנקודה $O$ נמצאת במרחק שווה מצלעי הזווית $ACB$, ולכן, שוכנת על חוצה $CK$ שלה.

המשפט הוכח.

נקודת החיתוך של חצויים מאונכים של משולש

משפט 4

חצויים הניצבים לצלעות משולש חותכים בנקודה אחת.

הוכחה.

ניתן למשולש $ABC$, $n,\ m,\ p$ חצויים הניצבים שלו. תן לנקודה $O$ להיות נקודת החיתוך של הניצבים הדו-סקטורליים $n\ ו\ m$ (איור 3).

איור 3. חצויים מאונכים של משולש

כדי להוכיח את זה, אנחנו צריכים את המשפט הבא.

משפט 5

כל נקודה של חוצה הניצב לקטע נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע.

לפי משפט 3, יש לנו: $OB=OC,\ OB=OA$. לכן, $OA=OC$. משמעות הדבר היא שהנקודה $O$ נמצאת במרחק שווה מקצוות הקטע $AC$, ולכן, נמצאת על חוצה הניצב שלה $p$.

המשפט הוכח.

נקודת חיתוך של גבהים משולשים

משפט 6

גבהים של משולש או שלוחות שלו מצטלבים בנקודה אחת.

הוכחה.

שקול את המשולש $ABC$, שבו $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ הוא הגובה שלו. הבה נצייר קו ישר דרך כל קודקוד של המשולש במקביל לצלע שממול לקודקוד. נקבל משולש חדש $A_2B_2C_2$ (איור 4).

איור 4. גבהים של משולשים

מכיוון ש$AC_2BC$ ו-$B_2ABC$ הם מקביליות עם צד משותף, אז $AC_2=AB_2$, כלומר, נקודה $A$ היא נקודת האמצע של הצלע $C_2B_2$. באופן דומה, אנו מוצאים שנקודה $B$ היא נקודת האמצע של הצד $C_2A_2$, ונקודה $C$ היא נקודת האמצע של הצד $A_2B_2$. מהבנייה יש לנו ש$(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. לכן, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ הם חצויים מאונכים של משולש $A_2B_2C_2$. לאחר מכן, לפי משפט 4, יש לנו שהגבהים $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ מצטלבים בנקודה אחת.

לתת מושג על סוג חדש של בעיות - בניית דמויות גיאומטריות באמצעות מצפן וסרגל ללא חלוקות בקנה מידה.

הצג את המושג GMT.

הגדירו את חוצה הניצב, למדו כיצד לבנות אותו והוכיחו את המשפט על חוצה הניצב, וכן את היפוכו.

באמצעות מערכת השרטוט הממוחשבת "מצפן-3D", בצעו קונסטרוקציות גיאומטריות, שמומלץ לבצע בקורס גיאומטריה באמצעות מצפן וסרגל.

דפי מידע (נספח מס' 1)

בעיות הכרוכות בבנייה עם מצפנים וסרגל ללא חלוקות נפתרות לרוב לפי סכמה מסוימת:

אני. אָנָלִיזָה: צייר את הדמות הרצויה בצורה סכמטית וצור קשרים בין נתוני המשימה לאלמנטים הנדרשים.

II. בְּנִיָה: לפי התוכנית המתוכננת, הבנייה מתבצעת עם מצפן וסרגל.

III. הוכחה: הוכיחו שהדמות הבנויה עומדת בתנאי הבעיה.

IV. לימוד: ערכו מחקר כדי לראות אם לבעיה יש פתרון לנתונים מסוימים, ואם כן, כמה פתרונות יש (לא בוצע בכל הבעיות).

הנה כמה דוגמאות למשימות בנייה יסודיות שנשקול:

1. הניחו בצד קטע השווה לנתון (למד קודם לכן).

2. בניית החציקטור הניצב לקטע:

לבנות את האמצע של קטע נתון;
לבנות קו העובר דרך נקודה נתונה ומאונך לישר נתון (הנקודה עשויה לשכב על קו נתון או לא).

3. בניית חוצה הזווית.

4. בניית זווית שווה לזווית הנתונה.

חציו הניצב של קטע קו.

הגדרה: חוצה מאונך לקטע הוא קו העובר באמצע הקטע ומאונך לו.

משימה: "בנה את החציקטור הניצב לקטע." הַצָגָה

O - אמצעי AB

תיאור הבנייה ( שקופית מספר 4):

קרן א; א – תחילת הקורה

היקף (A; r =m)

עיגול a = B; AB = m

מעגל 1 (A; r 1 > m/2)

מעגל 2 (B; r 1)

מעגל 1 מעגל 2 =

MN; MN AB =0, (MN = L)

שבו MN AB, O – אמצע AB

III. הוכחה(שקופית מס' 5, 6)

1. שקול את AMN ו-BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, לכן AM = BN, AN = BM MN – צד משותף

(איור 3)

לכן, AMN = BNM (ב-3 צדדים),

לָכֵן

1= 2 (בהגדרת שווה)

3= 4 (בהגדרת שווה)

2. MAN ו-NBM הם שווה שוקיים (בהגדרה) ->

1 = 4 ו-3 = 2 (לפי מאפיין שווה שוקיים)

3. מנקודות 1 ו-2 -> 1 = 3 לכן MO הוא החציו של השווה AMB

4. כך הוכחנו ש-MN הוא החציו הניצב לקטע AB

IV. לימוד

לבעיה זו יש פתרון ייחודי, כי לכל קטע יש רק נקודת אמצע אחת, ודרך נקודה נתונה אפשר לצייר קו ישר בודד בניצב לנתון.

הגדרה: קבוצת נקודות גיאומטרית (GMT) היא קבוצה של נקודות שיש להן תכונה מסוימת. (נספח מס' 2)

GMTs שאתה מכיר:

חציו הניצב של קטע הוא קבוצת הנקודות הנמצאות במרחק שווה מקצות הקטע.
חוצה של זווית - קבוצה של נקודות במרחק שווה מצידי הזווית

אז בואו נוכיח את המשפט:

משפט: "כל נקודה של החציקטור המאונך לקטע נמצאת במרחק שווה מקצוות הקטע הזה."

(איור 4)

נתון: א.ב; MO – חוצה ניצב

הוכח: AM = VM

הוכחה:

1. MO – חוצה ניצב (לפי תנאי) -> O – נקודת אמצע של קטע AB, MOAB

2. קחו בחשבון AMO ו-VMO - מלבני

MO – רגל כללית

AO = VO (O – האמצע של AB) -> AMO = VMO (על 2 רגליים) -> AM = VM (על פי הגדרה של משולשים שווים, כצלעות מתאימות)

Q.E.D

שיעורי בית: "הוכח את המשפט ההפוך למשפט הזה"

משפט: "כל נקודה הנמצאת במרחק שווה מקצוות קטע נמצאת על החציקטור המאונך לקטע זה."

(איור 5)

נתון: א.ב; MA=MV

לְהוֹכִיחַ: נקודה M שוכנת על חוצה הניצב

הוכחה:

זֶה. MO הוא החציקטור הניצב המכיל את כל הנקודות במרחק שווה מקצוות הקטע.

תכונה של חצויים מאונכים לצלעות של משולש

הם מצטלבים בנקודה אחת ונקודה זו היא מרכז המעגל המוקף סביב המשולש, אותו נלמד בכיתה ח'.

סדנה

ציוד חומרי וטכני:

תפוצה: 29,574 KB

מערכת הפעלה: Windows 9x/2000/XP

אתר אינטרנט: http://www.ascon.ru

כעת נעביר את הבנייה לסביבה הגרפית של המחשב (שקופית מס' 7)

ידע ומיומנויות שנרכשו בעבר חייבים להיות מיושמים במשימה ספציפית. אתה תראה שבנייה לא תיקח לך יותר זמן מאשר בנייה במחברת. בין היתר, מעניין לראות כיצד סביבת המחשב מבצעת פקודות אנושיות לבניית דמויות מישוריות. לפניכם נספח מס' 3, המתאר את שלבי הבנייה שלכם בפירוט. טען את התוכנית ופתח ציור חדש ( שקופית מספר 8, 9).

צייר את העצמים הגיאומטריים המצוינים בהצהרת הבעיה: ray אמתחיל בנקודה מסוימת אוהקטע שווה M- אורך שרירותי ( שקופית מספר 10).

הזן את ייעוד הקרן, קטע, תחילת הקרן בשרטוט באמצעות הלשונית "כלים"טקסט.

בנה מעגל עם רדיוס שווה לקטע Mמרוכז בקודקוד בנקודה נתונה א (שקופית מספר 11).

Mעם מרכז בקודקוד נתונה נקודה A ( שקופית מס' 12, 13).

בנה מעגל עם רדיוס השווה לקטע הגדול מ-1/2 Mכדי לעשות זאת, בחר את הפריט " בתפריט ההקשר של RMB בין 2 נקודות" (שקופית מס' 14, 15, 16).

דרך נקודות החיתוך של מעגלים M ו-Nלצייר קו ישר ( שקופית מס' 17,18).

ספרים משומשים:

Ugrinovich N.D. "אינפורמטיקה. קורס יסוד” כיתה ז. - מ.: BINOM – 2008 – 175 עמ'.
Ugrinovich N.D. "סדנה בנושא מדעי המחשב וטכנולוגיית מידע." הדרכה. – מ.: BINOM, 2004-2006. -
אוגרינוביץ' נ"ד "הוראת הקורס "אינפורמטיקה ותקשוב" בכיתות ח'-י"א מב"ס יסודי ותיכון: מעבדת הידע BINOM, 2008. - 180 עמ'.
Ugrinovich N.D. סדנת מחשבים על CD-ROM. – מ.: BINOM, 2004-2006.
Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. פרפונוב א.א. "מצפן - 3D v 5.11-8.0 סדנת למתחילים" - M.: SOLON - PRESS, 2006 - 272 p.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., וחב' "גיאומטריה 7-9. ספר לימוד לבתי ספר תיכוניים" – מ: חינוך 2006 – 384 עמ'.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., ועוד. "לימוד גיאומטריה 7-9 כיתות. המלצות מתודולוגיות לספר הלימוד" - מ: חינוך 1997 - 255 עמ'.
Afanasyeva T.L., Tapilina L.A. "מערכי שיעור מבוססים על ספר כיתה ח' מאת Atanasyan L.S." - וולגוגרד "מורה" 2010, 166 עמ'.

נספח מס' 1

תוכנית לפתרון בעיות הכרוכות בבנייה עם מצפן וסרגל.

אָנָלִיזָה.
בְּנִיָה.
הוכחה.
לימוד.

הֶסבֵּר

בעת ביצוע ניתוח, הדמות הרצויה משורטטת באופן סכמטי ונוצר קשר בין נתוני המשימה לאלמנטים הנדרשים.
על פי התוכנית המתוכננת, הבנייה מתבצעת באמצעות מצפנים וסרגל.
הם מוכיחים שהדמות הבנויה עונה על תנאי הבעיה.
הם עורכים מחקר: האם לבעיה יש פתרון לנתונים מסוימים, ואם כן, כמה פתרונות?

דוגמאות לבעיות בנייה אלמנטריות

הניחו בצד קטע השווה לנתון.
בנו את החציקטור הניצב לקטע.
בנה את נקודת האמצע של הקטע.
בנה קו העובר דרך נקודה נתונה, בניצב לישר נתון (הנקודה עשויה לשכב על קו נתון או לא).
בנה את החציקטור של הזווית.
בנה זווית שווה לזווית הנתונה.

נספח מס' 2

מוקד הנקודות הגיאומטרי (GLP) הוא קבוצה של נקודות בעלות תכונה מסוימת.

דוגמאות ל-GMT:

חציו הניצב של קטע הוא קבוצת הנקודות הנמצאות במרחק שווה מקצות הקטע.
מעגל הוא קבוצה של נקודות במרחק שווה מנקודה נתונה - מרכז המעגל.
חוצה של זווית היא קבוצת הנקודות במרחק שווה מצלעי הזווית.

כל נקודה של חוצה הניצב של קטע נמצאת במרחק שווה מקצוות הקטע הזה.

בשיעור הקודם הסתכלנו על המאפיינים של חוצה זווית, הן סגורות במשולש והן חופשיות. משולש כולל שלוש זוויות ולכל אחת מהן נשמרות המאפיינים הנחשבים של חצויה.

מִשׁפָּט:

חצויים AA 1, BB 1, СС 1 של המשולש מצטלבים בנקודה אחת O (איור 1).

אורז. 1. המחשה למשפט

הוכחה:

הבה נבחן תחילה שני חצויים BB 1 ו-CC 1. הם מצטלבים, נקודת החיתוך O קיימת. כדי להוכיח זאת, הבה נניח את ההיפך: תנו לחצויים הנתונים לא להצטלב, ובמקרה זה הם מקבילים. אז הישר BC הוא גזרה וסכום הזוויות הוא , זה סותר את העובדה שבמשולש כולו סכום הזוויות הוא .

אז קיימת נקודה O של החיתוך של שני חצויים. הבה נבחן את התכונות שלו:

נקודה O שוכנת על חוצה של הזווית, כלומר היא נמצאת במרחק שווה מצלעותיה BA ו-BC. אם OK מאונך ל-BC, OL מאונך ל-BA, אז האורכים של הניצבים הללו שווים - . כמו כן, נקודה O שוכנת על חוצה של הזווית ונמצאת במרחק שווה מצלעותיה CB ו-CA, הניצבים OM ו-OK שווים.

השגנו את השוויון הבא:

, כלומר, כל שלושת הניצבים שנפלו מנקודה O לצלעות המשולש שווים זה לזה.

אנו מעוניינים בשוויון של הניצבים OL ו-OM. השוויון הזה אומר שנקודה O נמצאת במרחק שווה מצלעי הזווית, מכאן נובע שהיא שוכנת על חוצה AA 1 שלה.

לפיכך, הוכחנו שכל שלושת חצוי המשולש נחתכים בנקודה אחת.

בנוסף, משולש מורכב משלושה קטעים, מה שאומר שעלינו לשקול את התכונות של קטע בודד.

נתון הקטע AB. לכל קטע יש נקודת אמצע, וניתן לצייר דרכו מאונך - בואו נסמן אותו כעמ'. לפיכך, p הוא החציקטור הניצב.

אורז. 2. המחשה למשפט

כל נקודה השוכבת על חוצה הניצב נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע.

הוכח זאת (איור 2).

הוכחה:

שקול משולשים ו. הם מלבניים ושווים, כי יש להם רגל משותפת OM, והרגליים AO ו-OB שוות בתנאי, ולכן יש לנו שני משולשים ישרים, שווים בשתי רגליים. מכאן נובע שגם תחתיות המשולשים שווים, כלומר מה שנדרש להוכחה.

המשפט ההפוך הוא נכון.

כל נקודה הנמצאת במרחק שווה מקצוות קטע נמצאת על חוצה הניצב לקטע זה.

נתון קטע AB, החציו הניצב שלו p, ונקודה M במרחק שווה מקצות הקטע. הוכח שנקודה M נמצאת על חוצה הניצב לקטע (איור 3).

אורז. 3. המחשה למשפט

הוכחה:

קחו בחשבון משולש. זה שווה שוקיים, לפי התנאי. קחו בחשבון את החציון של משולש: נקודה O היא האמצע של הבסיס AB, OM הוא החציון. לפי התכונה של משולש שווה שוקיים, החציון הנמשך לבסיסו הוא גם גובה וגם חוצה. מכאן נובע . אבל גם קו p מאונך ל-AB. אנחנו יודעים שבנקודה O אפשר לצייר מאונך בודד לקטע AB, כלומר הישרים OM ו-p עולים בקנה אחד, מכאן נובע שהנקודה M שייכת לישר p, וזה מה שהיינו צריכים להוכיח.

ניתן להכליל את המשפטים הישירים וההפוכים.

נקודה שוכנת על חוצה הניצב של קטע אם ורק אם היא נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע הזה.

אז, הבה נחזור על כך שיש שלושה קטעים במשולש והתכונה של חוצה הניצב חלה על כל אחד מהם.

מִשׁפָּט:

חצויים מאונכים של משולש מצטלבים בנקודה אחת.

ניתן משולש. ניצבים לצלעיו: P 1 לצד BC, P 2 לצד AC, P 3 לצד AB.

הוכיחו כי הניצבים P 1, P 2 ו-P 3 מצטלבים בנקודה O (איור 4).

אורז. 4. המחשה למשפט

הוכחה:

הבה ניקח בחשבון שני חצויים מאונכים P 2 ו-P 3, הם מצטלבים, נקודת החיתוך O קיימת. בואו נוכיח עובדה זו בסתירה - תנו לניצבים P 2 ו- P 3 להיות מקבילים. ואז הזווית מתהפכת, מה שסותר את העובדה שסכום שלושת הזוויות של משולש הוא . אז, יש נקודה O של החיתוך של שניים מתוך שלושת חצויים הניצבים. מאפיינים של נקודה O: היא שוכנת על חוצה הניצב לצלע AB, כלומר היא נמצאת במרחק שווה מקצוות הקטע AB: . זה גם שוכן על החצייה הניצבת לצד AC, כלומר . השגנו את השוויון הבא.

חוצה ניצב (חציון מאונךאוֹ mediatrix) - קו ישר מאונך לקטע נתון ועובר באמצעו.

נכסים

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

כאשר כתב המשנה מציין את הצלע שאליה נמשך האנך,

ס

הוא שטח המשולש, וכמו כן ההנחה היא שהצלעות קשורות באי-שוויון

a\geqslant b\geqslant c.

p_a\geq p_b

p_c\geq p_b.

במילים אחרות, חוצה הניצב הקטן ביותר של משולש שייך למקטע האמצעי.

כתוב ביקורת על המאמר "חצוף ניצב"

הערות

קטע המאפיין את החציקטור הניצב

קוטוזוב, שעצר ללעוס, בהה בוולצוגן בהפתעה, כאילו אינו מבין מה נאמר לו. וולצוגן, כשהבחין בהתרגשות של דה אלטן הרן, [האדון הזקן (הגרמני)] אמר בחיוך:
– לא ראיתי את עצמי זכאי להסתיר מאדונך את מה שראיתי... החיילים נמצאים באי-סדר מוחלט...
- האם ראית? ראית?.. – צעק קוטוזוב בזעף, קם במהירות והתקדם לוולצוגן. "איך אתה... איך אתה מעז!..", הוא צעק תוך תנועות מאיימות בלחיצת ידיים ובחנק. – איך אתה מעז, אדוני היקר, לומר לי זאת? אתה לא יודע כלום. אמור ממני לגנרל ברקלי שהמידע שלו שגוי ושהמהלך האמיתי של הקרב ידוע לי, אלוף הפיקוד, טוב יותר ממנו.
וולצוגן רצה להתנגד, אבל קוטוזוב קטע אותו.
- האויב נהדף בצד שמאל ומובס בצד ימין. אם לא ראית טוב, אדוני היקר, אז אל תרשה לעצמך לומר מה שאינך יודע. גש בבקשה לגנרל ברקלי ומסר לו למחרת את כוונתי המוחלטת לתקוף את האויב", אמר קוטוזוב בחומרה. כולם שתקו, וכל מה שאפשר היה לשמוע הוא הנשימה הכבדה של הגנרל הזקן חסר הנשימה. "הם נהדפו בכל מקום, ועל כך אני מודה לאל ולצבא האמיץ שלנו". האויב מובס, ומחר נגרש אותו מהארץ הרוסית הקדושה”, אמר קוטוזוב והצטלב; ופתאום התייפחה מהדמעות שהגיעו. וולצוגן, מושך בכתפיו ומכווץ את שפתיו, התרחק בשקט הצידה, תוהה אובר diese Eingenommenheit des alten Herrn. [בעריצות זו של האדון הזקן. (גֶרמָנִיָת)]
"כן, הנה הוא, גיבור שלי," אמר קוטוזוב לגנרל השמנמן, החתיך ושחור השיער, שנכנס לתל באותה עת. זה היה ראיבסקי, שבילה את כל היום בנקודה המרכזית של שדה בורודינו.
רביבסקי דיווח כי הכוחות איתנים במקומם וכי הצרפתים לא העזו לתקוף יותר. לאחר שהקשיב לו, אמר קוטוזוב בצרפתית:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [אתה לא חושב, אם כן, כמו אחרים, שעלינו לסגת?] הוכחות למשפטים על תכונות המעגל המוקף של משולש

חוצה מאונך לקטע קו

הגדרה 1. חוצה מאונך לקטענקרא קו ישר הניצב לקטע זה ועובר באמצעו (איור 1).

משפט 1. כל נקודה של חוצה הניצב לקטע נמצאת באותו מרחק מהקצוות הקטע הזה.

הוכחה . הבה ניקח בחשבון נקודה שרירותית D השוכנת על חוצה הניצב לקטע AB (איור 2), ונוכיח שהמשולשים ADC ו-BDC שווים.

ואכן, משולשים אלו הם משולשים ישרים שבהם הרגליים AC ו-BC שוות, ורגל DC היא משותפת. שוויון המשולשים ADC ו-BDC מרמז על שוויון המקטעים AD ו-DB. משפט 1 מוכח.

משפט 2 (הפוך למשפט 1). אם נקודה נמצאת באותו מרחק מקצות קטע, אז היא שוכנת על חוצה הניצב לקטע זה.

הוכחה . הבה נוכיח את משפט 2 בסתירה. לשם כך, נניח שנקודה E כלשהי נמצאת באותו מרחק מקצות הקטע, אך אינה שוכנת על חוצה הניצב לקטע זה. הבה נביא את ההנחה הזו לסתירה. הבה נבחן תחילה את המקרה שבו נקודות E ו-A שוכנות על צדדים מנוגדים של חוצה הניצב (איור 3). במקרה זה, הקטע EA חוצה בנקודה מסוימת את חוצה הניצב, אותו נסמן באות D.

הבה נוכיח שהקטע AE ארוך מהקטע EB. בֶּאֱמֶת,

לפיכך, במקרה שבו נקודות E ו-A שוכנות על צדדים מנוגדים של חוצה הניצב, יש לנו סתירה.

עכשיו שקול את המקרה שבו נקודות E ו-A שוכנות באותו צד של חוצה הניצב (איור 4). הבה נוכיח שהקטע EB ארוך מהקטע AE. בֶּאֱמֶת,

הסתירה המתקבלת משלימה את הוכחת משפט 2

מעגל מוקף בערך משולש

הגדרה 2. מעגל מוקף סביב משולש, נקרא מעגל העובר דרך כל שלושת קודקודי המשולש (איור 5). במקרה זה נקרא המשולש משולש רשום במעגלאוֹ משולש רשום.

תכונות המעגל המוקף של משולש. משפט הסינוסים

דמות	צִיוּר	תכונה
חצויים מאונכים לצידי המשולש		מצטלבים בנקודה אחת .

מֶרְכָּז מעגל מוקף על משולש חד		מרכז תיאר על בעל זווית חדה בְּתוֹך משולש.
מֶרְכָּז מעגל מוקף על משולש ישר זווית		המרכז תיאר על מַלבֵּנִי באמצע היפוטנוזה .
מֶרְכָּז עיגול מוקף על משולש קהה		מרכז תיאר על זווית קהה מעגל משולש שקרים בחוץ משולש.
		,
כיכר משולש		S= 2ר 2 חטא אחטא בחטא ג ,
Circumradius		עבור כל משולש השוויון נכון: