Линейка. Наиболее простой и точный метод определения середины отрезка - это измерить его длину с помощью линейки, а затем разделить получившееся значение пополам. В результате можно легко и быстро найти искомый центр с точностью до миллиметра. Однако, помимо такого очевидного метода существует еще один способ того, как построить середину отрезка. Тем не менее без линейки все равно не обойтись. Линейка поможет не только правильно, при необходимости, рассчитать расстояние, но и идеально ровно провести прямую или начертить отрезок, что является необходимым условием любого построения.
Карандаш. В случае построения середины отрезка карандаш вещь действительно незаменимая. Хорошо заточенный он всегда должен быть под рукой если дело касается черчения геометрических фигур линий или отрезков. Сегодня существует большой выбор карандашей любого качества и назначения. Так, для рисования больше подойдет мягкий или твердо-мягкий карандаш, а вот если речь идет о построении, то предпочтение лучше отдать твердому. Удобно, если на конце карандаша имеется хороший ластик.
Циркуль. Для того, что бы именно построить, а не рассчитать или отмерить середину отрезка, необходим циркуль. Вообще подобные знания могут понадобиться не только школьнику, но и, например, студенту при изучении основ начертательной геометрии или инженерной графики. Помимо всего прочего умение отыскать середину может помочь и в ответе на вопрос: как найти середину треугольника. Итак, для построения ставим иглу циркуля на один конец отрезка и отчерчиваем круг, длина диаметра которого равна длине отрезка. Далее, ставим иглу циркуля на второй конец отрезка и делаем такую же окружность.
В результате таких действий мы получаем два одинаковых круга, наложенных друг на друга и пересеченных в двух местах. Отрезок же проходит в центре окружностей и является их радиусом. С помощью линейки проводим прямую через две точки пересечения двух окружностей. В результате чего получаем середину отрезка.Если отрезок находиться в системе координат и возникает вопрос, как найти координаты середины отрезка, действия совершенно идентичные. Так же отчерчиваем два круга или полукруга и, проведя прямую через точки пересечения окружностей или их половин, находим середину отрезка.
После чего строим перпендикуляр от центра отрезка относительно осей координат и получаем координаты. Как правило, такой перпендикуляр наносится пунктиром с помощью линейки и имеет нечеткие очертания.Таким образом, известно не только как найти середину отрезка, но и как вычислить его координаты.Подобные знания могут пригодиться при выполнении различных задач во время учебы в школе, колледже или институте, а также в повседневной жизни, когда обычные способы не пригодны.
Геометрия, 7─9, Л.С. Атанасян
Тема урока: Построение середины отрезка. Построение перпендикулярных прямых.
Цели: научить учащихся с помощью циркуля и линейки выполнять деление отрезка пополам; научить строить перпендикулярные прямые.
Оборудование: чертежные инструменты; интерактивная доска.
Учебная задача: научить делить отрезок пополам; научить строить перпендикулярные прямые.
I . Мотивационно-ориентировочная часть.
Организационный момент : проверка домашнего задания.
Актуализация знаний (тест) (выдаются распечатки теста)
1) Запишите определение окружности;
2) Диаметр окружности = это…
а) прямая, проходящая через центр окружности;
б)хорда, проходящая через центр окружности;
3) Центр окружности – это..
а)середина окружности;
б)точка, куда ставится ножка циркуля;
в)точка, равноудаленная от всех точек окружности;
4) Как называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности?
а)длина окружности;
б)радиус окружности;
в) половина диаметра окружности;
5) Какой треугольник называется равнобедренным? (записать определение)
6) Как называются стороны равнобедренного треугольника?
7) Перечислите свойства равнобедренного треугольника?
8) Какой треугольник называется равносторонним?
9) Что называют серединой отрезка?
10) С помощью циркуля и линейки постройте угол в 30 градусов.
Мотивация : Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Одна из труднейших задач на построение, которую уже тогда умели выполнять, - построение окружности, касающейся трех данных окружностей. Эта задача называется задачей Аполлона - по имени греческого геометра Аполлония из Перги (ок. 200 г. до н.э.)
Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.
Эти три задачи привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении столетий, и лишь в середине ХIХ века была доказана их неразрешимость, т.е. невозможность указанных построений лишь с помощью циркуля и линейки. Эти результаты были получены средствами не геометрии, а алгебры, что еще раз подчеркнуло единство математики.
Сегодня мы познакомимся с двумя новыми задачами на построение.
Итак, запишем тему урока: «Построение середины отрезка. Построение перпендикулярных прямых». (слайд 1)
II . Содержательная часть.
Одной из двух задач на построение нашего сегодняшнего урока является задача на построение середины данного отрезка. (слайд 2)
Давайте её разрешим:
Дано: Построить: середину отрезка АВ.
Остроение
1) пусть АВ─данный отрезок;
2) построим две окружности с центрами А и В; Они пересекаются в точках P и Q.
3) проведем прямую PQ;
4) точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ.
Докажем это: соединим точки А, В, P, Q отрезками. 
(по трем сторонам), поэтому . Следовательно, отрезок РО - биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т.е точка О-середина отрезка АВ. (слайд 3)
Итак, мы с вами разрешили первую задачу.
Давайте перейдем к задаче номер 2 нашей темы
Задача : дана прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.(слайд 4)
Ано: Построить: прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.
Построение
1) дана прямая а и данная точка М принадлежит этой прямой;
2) на лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ;
3) построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в двух точках: Р и Q.
4) проведем прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР.
Докажем, что прямая МР а: т.к медиана МР равнобедренного треугольника РАВ является также высотой, то МР а. (слайд 5)
Итак, мы с вами решили две задачи на построение, давайте закрепим это на решении следущей задачи..
Закрепление: (слайд 6)
Задача: Постройте прямоугольный треугольник по его катетам.
Ано: Построить: прямоуголный треугольник.
Построение
Учитель: Используя выше решенные задачи на построение, с чего мы можем начать?
Ученики: построить перпендикуляр к прямой
Учитель: правильно, только здесь мы будем строить перпендикуляр к лучу
Итак запишем:
1) чертим луч О ;
2) строим перпендикуляр к лучу О
3) точку пересечения лучей обозначим точкой А;
4) отложим от точки А катет равный b, и место пересечения b и луча О будет точка С.
5) отложим от точки А катет равный а вверх, поставим точку В.
6) соединим точки В и С, это гипотенуза;
7) треугольник АВС – искомый.
III . Рефлексивно─оценочная часть .
Учитель:В ходе урока мы решили две из основных задач на построение.
Чему мы научились?
Ученики: строить середину отрезка, строить перпендикулярные прямые.
Учитель: в ходе решения этих задач какие знания изученные ранее мы вспомнили и использовали?
Ученики:Мы вспомнили признаки равенства треугольников; использовали построения окружностей, отрезков, лучей.
Запишем задание на дом: № 154 и параграф 4 повторить пройденное и вновь изученное. Подготовиться к небольшой самостоятельной работе.(слайд 7)
Порядок построения следующий (рис.2.2):
1. Из концов отрезка АВ проводят дуги радиусом R, величиной большей, чем половина отрезка.
2. Точки пересечения дуг соединяют прямой линией СD.
Линия CD является перпендикуляром к отрезку АВ, точка О – середина отрезка.
Деление отрезка
Деление отрезка на любое число равных частей
Деление отрезка на 6 равных частей показано на рис. 2.3.
1. Из любого конца отрезка АВ, например, из точки А, проводим луч под острым углом к отрезку.
2. На луче от точки А циркулем откладываем 6 равных отрезков произвольной длины.
3. Конец последнего отрезка, точку 6, соединяем с точкой В.
4. Из всех точек на луче проводим прямые, параллельные 6В, до пересечения с АВ.
Эти прямые разделяют отрезок АВ на шесть равных частей.
Рис.2.3 Рис.2.4
Деление окружности на пять равных частей
(Построение правильного пятиугольника, вписанного в окружность)
Построения показаны на рисунке 2.4.
Из точки С – середины радиуса окружности, как из центра, дугой радиуса СD сделать засечку на диаметре, получим точку М. Отрезок DМ равен длине стороны вписанного правильного пятиугольника. Сделав радиусом DМ засечки на окружности, получим точки деления окружности на пять равных частей (вершины вписанного правильного пятиугольника).
Деление окружности на шесть равных частей
(Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность)
Построения показаны на рисунке 2.5.
Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу окружности.
Для деления окружности на шесть равных частей надо из точек 1 и 4 пересечения центровой линии с окружностью сделать на окружности по две засечки радиусом R, равным радиусу окружности. Соединив полученные точки отрезками прямых, получим правильный шестиугольник.
Рис.2.5 Рис.2.6
Определение центра дуги окружности
Построения показаны на рисунке 2.6.
1. Назначить на дуге три произвольные точки А, В и С.
2. Соединить точки прямыми линиями.
3. Через середины полученных хорд АВ и ВС провести перпендикуляры.
Точка О пересечения перпендикуляров является центром дуги.
Сопряжения
Сопряжением называется плавный переход от одной линии к другой.
Роль плавных переходов в очертаниях различных изделий техники огромна. Их обуславливают требования прочности, гидроаэродинамики, промышленной эстетики, технологии. Чаще всего сопряжения осуществляют с помощью дуги окружности.
Из всего многообразия сопряжений различных линий рассмотрим наиболее распространенные:
1. Сопряжение двух прямых линий.
2. Сопряжение прямой линии и окружности.
3. Сопряжение двух окружностей.
Дуги окружностей, при помощи которых выполняется сопряжение, называют дугами сопряжения.
Алгоритм построения
1. Найти центр сопряжения;
2. Найти точки сопряжения, в которых дуга сопряжения переходит в сопрягаемые линии.
3. Построить дуги сопряжения, значит соединить точки сопряжения заданным радиусом сопряжения.
Сопряжение пересекающихся прямых линий при помощи дуги заданного радиуса.
Пример1 . Сопряжение двух взаимно перпендикулярных прямых а и b дугой заданного радиуса R.
Даны две взаимно перпендикулярные прямые а и b . Задан радиус сопряжения R. (рис.2.7а)
Алгоритм построения
1. Находим центр сопряжения.
Проводим две прямые, параллельные а и b , на расстоянии, равном радиусу R . Эти прямые являются геометрическим местом центров окружностей радиуса R , касательных к данным прямым (рис.2.7б);
Урок№2Тема : Построение середины отрезка. Построение перпендикулярных прямых
Цели:
обучающая: научить учащихся с помощью циркуля и линейки выполнять деление отрезка пополам; сформировать умения и навыки построения перпендикулярных прямых;
развивающая:
воспитательная:
Ход урока:
1. Актуализация основных теоретических понятий (5мин).
Сначала можно провести фронтальный опрос по следующим вопросам:
1. Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?
2. Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?
3. Какой треугольник называется равносторонним?
4. Что называют серединой отрезка?
Далее предложить задание: с помощью циркуля и линейки построить биссектрису, выходящую из вершины равнобедренного треугольника. Перечислить ее свойства.
2. Изучение нового материала (практическая работа) (20мин)
Построение середины отрезка
При изучении нового материала используется таблица№4 приложения 4, по которой учащиеся составляют рассказ, как разделить данный отрезок пополам. После этого в тетрадях выполняются соответствующие построения.
Задача . Построить середину данного отрезка (объясняет учитель с помощью учащихся).
Решение . Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ (рис.5).
Рис.5.
Они пересекаются в точках Р и Q. Проведем прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и искомая середина отрезка АВ.
В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трем сторонам, поэтому 1=2.
Следовательно, отрезок РО - биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т.е. точка О - середина отрезка АВ.
Построение перпендикулярных прямых
Здесь необходимо обратить внимание, что возможны два случая:
1. Точка принадлежит прямой;
2. Точка не принадлежит прямой.
После повторения учитель формулирует задачу и объясняет построение для первого случая, при этом может быть использована таблица№3 приложения 4.
При рассмотрении второго случая учащиеся при помощи таблицы 4 проводят построение и доказательство самостоятельно.
Задача . Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а (объясняет учитель, после обсуждения с учениками).
Решение . Возможны два случая:
1) точка О лежит на прямой а;
2) точка О не лежит на прямой а.
Рассмотрим первый случай (рис.6). Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках: А и В. из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С - точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки О и С.
Рис.6.
Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО.
Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.
Рассмотрим построение и доказательство для второго случая (рис.7).
Рис.7.
Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую а. Пусть А и В - точки ее пересечения с прямой а. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О - точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Искомая прямая проходит через точки О и О. Докажем это. Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО. Треугольники АОВ и АОВ равны по третьему признаку. Поэтому угол ОАС равен углу ОАС. А тогда треугольники ОАС и ОАС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС - перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.
3. Закрепление (10 мин)
Задача. Постройте прямоугольный треугольник по его катетам.
Данную задачу ученик решает у доски, предварительно проведя ее анализ.
1. Анализ.
Рис.8.
Выполним чертёж - набросок (рис.8).
СА=b, CB=a, АСВ=
2. Построение (рис.9).
Рис.9.
1. На прямой отметим точку С и отложим отрезок СВ=а.
2. Построим прямую, проходящую через точку С перпендикулярную СВ.
3. Отложим отрезок СА=b
4. АВС - искомый.
3. Доказательство.
В АВС ВС=а, СА= b, ВDАС, следовательно, угол ВСА равен 90є. Значит треугольник АВС - искомый.
Также для отработки умений и навыков, можно использовать задачи №154 (а, б) (см. приложение 1).
4. Подведение итога (3мин)
1. В ходе урока мы решили две задачи на построение. Учились:
а) строить середину отрезка;
б) строить перпендикулярные прямые.
2. В ходе решения этих задач:
а) вспомнили признаки равенства треугольников;
б) использовали построения окружностей, отрезков, лучей.
5. На дом (2мин): №153 (см. приложение 1).
Урок№3
Тема: Решение задач на построение
Цели:
обучающая: отработка умений и навыков выполнения элементарных построений с помощью циркуля и линейки;
развивающая: развитие пространственного мышления, внимания;
воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.
Ход урока:
1. Проверка домашнего задания (10мин)
Проверить выполнение задачи №153.
Проверку можно организовать так: у доски три ученика, они должны построить прямую, проходящую через точку А перпендикулярно прямой а (рис.10).
Рис.10.
Класс в это время может выполнить задание: дан треугольник АВС. построить высоту АD. После выполнения задания каждый шаг построения должен быть прокомментирован и обоснован.
2. Самостоятельная работа
Самостоятельная работа проводится по трём вариантам и имеет контролирующий характер
1. Разделить отрезок на 4 равные части.
2. Дан АВС. Построить биссектрису ВК.
3. Дан угол АОВ. Построить угол, для которого луч ОВ является биссектрисой.
1. Построение отрезка равного данному
Изобразим фигуры, данные в условии: луч ОС и отрезок АВ .
Построение:
Построим окружность радиуса АВ с центром в точке О .
Окружность пересечет луч ОС в некоторой точке D .
Отрезок ОD – искомый.
2. Построение угла равного данному
Построить:
Доказательство:
рассмотрим ΔАВС и ΔОDE.
1. АС=ОЕ, как радиусы одной окружности.
2. АВ=ОD, как радиусы одной окружности.
3. ВС=DE, как радиусы одной окружности.
ΔАВС = ΔОDЕ (по трем сторонам) А = О
Построение:
1. Построить произвольный луч.
2. Построить две равные окружности произвольного радиуса и окружность с центрами в начале луча и в вершине данного угла.
3. Найти и обозначить точки пересечения окружностей с лучом и со сторонами угла.
4. Построить окружность с центром в точке пересечения луча и окружности и радиусом, равным расстоянию между точками, построенными на сторонах угла.
5. Найти и обозначить точку пересечения окружностей.
6. Провести новый луч из начала луча через построенную точку пересечения окружностей.
7. Угол, образованный двумя построенными лучами, - искомый.
3. Построение биссектрисы угла
Дано:
Построить:
АВ - биссектриса
Доказательство:
Рассмотрим ∆АСВ и ∆ АDВ
1. АС=АD, как радиусы одной окружности.
2. СВ=DB, как радиусы одной окружности.
3. АВ – общая сторона.
∆АСВ = ∆ АDВ (по трем сторонам) луч АВ – биссектриса.
Построение:
1. Построить окружность произвольного радиусас центром в вершине угла.
2. Найти и обозначить точки пересечения окружности со сторонами угла.
3. Построить окружности с центрами в построенных точках и тем же радиусом.
4. Найти иобозначить точку пересечения окружностей.
5. Провести луч с началом в вершине угла через точку пересечения окружностей, - искомая биссектриса угла.
4. Построение перпендикулярных прямых
Случай
Дано:
Построить:
Доказательство:
1.АМ=МВ, как радиусы одной окружности.
2. АР=РВ, как радиусы одной окружности ∆АРВ р/б
3. РМ медиана в р/б треугольнике является также ВЫСОТОЙ.
Случай
Дано:
Построить:
Доказательство:
АМ=АN=MB=BN, как равные радиусы.
МN-общая сторона.
∆MВN= ∆MAN (по трем сторонам)
В р/б ∆АМВ отрезок МС является биссектрисой, а значит, и высотой.
Построение:
1. Построить окружность с центром в данной точке и радиусом больше расстояния от данной точки до прямой.
2. Найти и обозначить точки пересечения окружности с прямой.
3. Построить две равные окружности с центрами в построенных на прямой точках радиусом равным длине отрезка.
4. Найти и обозначить точку пересечения окружностей.
5. Провести прямую через данную точку, не лежащую на прямой и точку пересечения окружностей, - искомая прямая.
5.Построение середины отрезка
Дано:
Построить:
О – середина отрезка АВ.
Доказательство:
∆АРQ = ∆ BPQ (по трем сторонам) .
∆ АРВ р/б.
Отрезок РО является биссектрисой, а значит, и медианой.
Тогда, точка О – середина АВ.
Построение:
1. Построить две равные окружности с центрами в концах отрезка и радиусом равным АВ .
2. Обозначить точки пересечения окружностей.
3. Провести прямую через точки пересечения окружностей.
4. Обозначить точку пересечения прямой и отрезка, - искомая точка.
