Круглый диск радиусом r катится. По ободу диска движется точка с постоянной по модулю скоростью V1

Найти линейную скорость Земли v при ее орбитальном движении. Средний радиус земной орбиты R =1,5·10 8 км.

Ответ и решение

v ≈ 30 км/с.

v = 2πR /(365·24·60·60).

Пропеллер самолета радиусом 1,5 м вращается при посадке с частотой 2000 мин -1 , посадочная скорость самолета относительно Земли равна 162 км/ч. Определить скорость точки на конце пропеллера. Какова траектория движения этой точки?

Ответ и решение

v ≈ 317 м/с. Точка на конце пропеллера описывает винтовую линию с шагом h ≈ 1,35 м.

Пропеллер самолета вращается с частотой:

λ = 2000/60 с -1 = 33,33 с -1 .

Линейная скорость точки на конце пропеллера:

v лин = 2πRλ ≈ 314 м/с.

Скорость самолета при посадке v = 45 м/с.

Результирующая скорость точки на конце пропеллера равна сумме векторов линейной скорости при вращении пропеллера и скорости самолета при посадке:

v рез = ≈ 317 м/с.

Шаг винтовой траектории равен:

h = v /λ ≈ 1,35 м.

Диск радиусом R катится без скольжения с постоянной скоростью v . Найти геометрическое место точек на диске, которые в данный момент имеют скорость v .

Ответ

Геометрическим местом точек на диске, имеющих скорость v в данный момент, является дуга радиуса R , центр которой лежит в точке касания диска с плоскостью, т.е. в мгновенном центре вращения.

Цилиндрический каток радиусом R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 .

Определить угловую скорость вращения катка и скорость его центра, если проскальзывание отсутствует. Решить задачу для случая, когда скорости реек направлены в разные стороны.

Ответ

; .

По горизонтальной плоскости катится без скольжения с постоянной скоростью v c обруч радиусом R . Каковы скорости и ускорения различных точек обруча относительно Земли? Выразить скорость как функцию угла между вертикалью и прямой, проведенной между точкой прикосновения обруча с плоскостью и данной точкой обруча.

Ответ

v A = 2v C cosα . Ускорение точек обода содержит только центростремительную составляющую, равную a ц = v 2 /R .

Автомобиль движется со скоростью v = 60 км/ч. С какой частотой n вращаются его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен d = 60 см? Найти центростремительное ускорение а цс внешнего слоя резины на покрышках его колес.

Ответ

n ≈ 8,84 с -1 ; a ц ≈ 926 м/с 2 .

На горизонтальную плоскость кладут тонкостенный цилиндр, вращающийся со скоростью v 0 вокруг своей оси. Какой будет скорость движения оси цилиндра, когда прекратится проскальзывание цилиндра относительно плоскости?

Ответ

v = v 0 /2.

Совершает ли работу равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномерно движущемуся по окружности?

Ответ

Груз массой m может скользить без трения по горизонтальному стержню, вращающемуся вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Груз соединяют с этим концом стержня пружиной, коэффициент упругости которой k . При какой угловой скорости ω пружина растянется на 50% первоначальной длины?

Ответ

Две точечные массы m 1 и m 2 прикреплены к нити и находятся на абсолютно гладком столе. Расстояния от них до закрепленного конца нити равны l 1 и l 2 соответственно.

Система вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через закрепленный конец, с угловой скоростью ω . Найти силы натяжения участков нити Т 1 и Т 2 .

Ответ

T 1 = (m 1 l 1 + m 2 l 2)ω 2 ; T 2 = m 2 ω 2 l 2 .

Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом R =4 м. С какой частотой n должна вращаться платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек не мог удержаться на ней при коэффициенте трения k =0,27?

Ответ

n = 6,75 мин -1 .

Тело массой m находится на горизонтальном диске на расстоянии r от оси. Диск начинает раскручиваться с малым ускорением. Построить график зависимости составляющей силы трения в радиальном направлении, действующей на тело, от угловой скорости вращения диска. При каком значении угловой скорости диска начнется соскальзывание тела?

Ответ

Камень массой m =0,5 кг, привязанный к веревке длиной l =50 см, вращается в вертикальной плоскости. Сила натяжения веревки, когда камень проходит низшую точку окружности, Т =44 Н. На какую высоту h над нижней точкой окружности поднимется камень, если веревку перерезать в тот момент, когда его скорость направлена вертикально вверх?

Ответ

h ≈ 2 м.

Спортсмен посылает молот (ядро на тросике) на расстояние l =70 м по траектории, обеспечивающей максимальную дальность броска. Какая сила Т действует на руки спортсмена в момент броска? Масса молота m =5 кг. Считать, что спортсмен разгоняет молот, вращая его в вертикальной плоскости по окружности радиусом R =1,5 м. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ

T ≈ 2205 Н.

Автомобиль массой М =3*10 3 кг движется с постоянной скоростью v =36 км/ч: а) по горизонтальному мосту; б) по выпуклому мосту; в) по вогнутому мосту. Радиус кривизны моста в последних двух случаях R =60 м. С какой силой давит автомобиль на мост (в последних двух случаях) в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол α =10° с вертикалью?

Ответ

а) F 1 ≈ 29 400 Н; б) F 2 ≈ 24 000 Н; в) F 3 ≈ 34 000 Н.

По выпуклому мосту, радиус кривизны которого R = 90 м, со скоростью v = 54 км/ч движется автомобиль массой m = 2 т. В точке моста, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлением на вершину моста угол α , автомобиль давит с силой F = 14 400 Н. Определить угол α .

Ответ

α ≈ 8,5º.

Шарик массой m = 100 г подвешен на нити длиной l =1 м. Шарик раскрутили так, что он начал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. При этом угол, составляемый нитью с вертикалью, α = 60°. Определить полную работу, совершаемую при раскручивании шарика.

Ответ

A ≈ 1,23 Дж.

С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте с радиусом закругления R = 150 м, чтобы его не «занесло», если коэффициент трения скольжения шин о дорогу k = 0,42?

Ответ

v ≈ 89 км/ч.

1. Каким должен быть максимальный коэффициент трения скольжения k между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог пройти закругление радиусом R = 200 м при скорости v = 100 км/ч?

2. Автомобиль со всеми ведущими колесами, трогаясь с места, равномерно набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги, представляющему собой дугу окружности α = 30° радиусом R = 100 м. С какой максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути? Коэффициент трения колес о землю k = 0,3.

Ответ

1. k ≈ 0,4.

2. v ≈ 14,5 м/с.

Поезд движется по закруглению радиусом R = 800 м со скоростью v = 12 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего, чтобы на колесах не возникало бокового усилия. Расстояние между рельсами по горизонтали принять равным d = 1,5 м.

Ответ

Δh ≈ 7,65 см.

Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот радиусом кривизны 100 м. На сколько при этом он должен наклониться, чтобы не упасть на повороте?

Ответ

1. С какой максимальной скоростью v может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая дугу радиусом R = 90 м, если коэффициент трения скольжения k = 0,4?

2. На какой угол φ от вертикального направления он должен при этом отклониться?

3. Чему будет равна максимальная скорость мотоциклиста, если он будет ехать по наклонному треку с углом наклона α = 30° при том же радиусе закругления и коэффициенте трения?

4. Каким должен быть угол наклона трека α 0 для того, чтобы скорость мотоциклиста могла быть сколь угодно большой?

Ответ

1. v ≈ 18,8 м/с. 2. φ ≈ 21,8°. 3. v макс ≈ 33,5 м/с. 4. α 0 = arctg(1/k ).

Самолет совершает поворот, двигаясь по дуге окружности с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета повернут вокруг направления полета на угол α = 10°.

Ответ

R ≈ 5780 м.

На повороте дороги радиусом R = 100 м равномерно движется автомобиль. Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м, ширина колеи автомобиля а = 1,5 м. Определить скорость v , при которой автомобиль может опрокинуться. В поперечном направлении автомобиль не скользит.

Ответ

v ≈ 26,1 м/с.

Шофер, едущий на автомобиле, внезапно заметил впереди себя забор, перпендикулярный направлению его движения. Что выгоднее сделать, чтобы предотвратить аварию: затормозить или повернуть в сторону?

Ответ

Затормозить.

В вагоне поезда, идущего равномерно по криволинейному пути со скоростью v = 12 км/ч, производится взвешивание груза на пружинных весах. Масса груза m = 5 кг, а радиус закругления пути R = 200 м. Определить показание пружинных весов (силу натяжения пружины Т ).

Ответ

T ≈ 51 Н.

Найти силу F ед.об. , отделяющую сливки (плотность ρ с = 0,93 г/см 3) от снятого молока (ρ м = 1,03 г/см 3) в расчете на единицу объема, если отделение происходит: а) в неподвижном сосуде; б) в центробежном сепараторе, вращающемся с частотой 6000 мин -1 , если жидкость находится на расстоянии r = 10 см от оси вращения.

Ответ

а) F ед.об. ≈ 980 Н/м 3 ;

б) F ед.об. ≈ 3,94·10 5 Н/м 3 ;

Самолет делает «мертвую петлю» с радиусом R = 100 м и движется по ней со скоростью v = 280 км/ч. С какой силой F тело летчика массой М = 80 кг будет давить на сиденье самолета в верхней и нижней точках петли?

Ответ

F в ≈ 4030 Н, F н ≈ 5630 Н.

Определить силу натяжения Т каната гигантских шагов, если масса человека М = 70 кг и канат при вращении образует со столбом угол α = 45°. С какой угловой скоростью со будут вращаться гигантские шаги, если длина подвеса l = 5 м?

Ответ

T ≈ 990 Н; ω ≈ 1,68 рад/с.

Найти период Т вращения маятника, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости. Длина нити l . Угол, образуемый нитью с вертикалью, α .

Ответ

.

Грузик, подвешенный на нити, вращается в горизонтальной плоскости так, что расстояние от точки подвеса до плоскости, в которой происходит вращение, равно h . Найти частоту и вращения груза, считая ее неизменной.

Ответ

Результат не зависит от длины подвеса.

Люстра массой m = 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой l = 5 м. Определить высоту h , на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качениях цепь не оборвалась? Известно, что разрыв цепи наступает при силе натяжения Т > 1960 Н.

Ответ

h ≈ 2,5 м.

Шарик массой m подвешен на нерастяжимой нити. На какой минимальный угол α мин надо отклонить шарик, чтобы при дальнейшем движении нить оборвалась, если максимально возможная сила натяжения нити 1,5 mg ?

Ответ

α мин ≈ 41,4°.

Маятник отклоняют в горизонтальное положение и отпускают. При каком угле α с вертикалью сила натяжения нити будет равна по величине действующей на маятник силе тяжести? Маятник считать математическим.

Ответ

α = arccos(⅓).

Груз массой m , привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найти максимальную разность сил натяжений нити.

Ответ

Гимнаст «крутит солнце» на перекладине. Масса гимнаста m . Считая, что вся его масса сосредоточена в центре тяжести, а скорость в верхней точке равна нулю, определить силу, действующую на руки гимнаста в нижней точке.

Ответ

Один грузик подвешен на нерастяжимой нити длиной l , а другой — на жестком невесомом стержне такой же длины. Какие минимальные скорости нужно сообщить этим грузикам, чтобы они вращались в вертикальной плоскости?

Ответ

Для нити v мин = ; для стержня v мин = .

Шарик массой М подвешен на нити. В натянутом состоянии нить расположили горизонтально и отпустили шарик. Вывести зависимость силы натяжения нити Т от угла α , который образует в данный момент нить с горизонтальным направлением. Проверить выведенную формулу, решив задачу для случая прохождения шарика через положение равновесия, при α = 90°.

Ответ

T = 3Mg sinα ; T = 3Mg .

Математический маятник длиной l и массой М отвели на угол φ 0 от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость v 0 , направленную перпендикулярно к нити вверх. Найти силу натяжения нити маятника Т в зависимости от угла φ нити с вертикалью.

Ответ

.

Грузик, подвешенный на нити, отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой угол с вертикалью α образует пить в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости грузика наибольшая?

Ответ

Одинаковые упругие шарики массой m , подвешенные на нитях равной длины к одному крючку, отклоняют в разные стороны от вертикали на угол α и отпускают. Шарики ударяются и отскакивают друг от друга. Какова сила F , действующая на крючок: а) при крайних положениях нитей; б) в начальный и конечный моменты удара шариков; в) в момент наибольшей деформации шариков?

Ответ

а) F = 2mg cos 2 α ;

б) F = 2mg (3 - 2cosα );

в) F = 2mg .

Математическому маятнику с гибкой нерастяжимой нитью длиной l сообщают из положения равновесия горизонтальную скорость v 0 . Определить максимальную высоту его подъема h при движении по окружности, если v 0 2 = 3gl . По какой траектории будет двигаться шарик маятника после того, как он достиг максимальной высоты подъема h на окружности? Определить максимальную высоту H , достигаемую при этом движении маятника.

Ответ

; по параболе; .

Маленький шарик подвешен в точке А на нити длиной l . В точке О на расстоянии l /2 ниже точки А в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают. В какой точке траектории исчезает сила натяжения нити? Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик?

Ответ

На l /6 ниже точки подвеса; по параболе; на 2l /27 ниже точки подвеса.

Сосуд, имеющий форму расширяющегося усеченного конуса с диаметром дна D = 20 см и углом наклона стенок α = 60°, вращается вокруг вертикальной оси 00 1 . При какой угловой скорости вращения сосуда ω маленький шарик, лежащий на его дне, будет выброшен из сосуда? Трение не учитывать.

Ответ

ω > ≈13 рад/с.

Сфера радиусом R = 2 м равномерно вращается вокруг оси симметрии с частотой 30 мин -1 . Внутри сферы находится шарик массой m = 0,2 кг. Найти высоту h , соответствующую положению равновесия шарика относительно сферы, и реакцию сферы N .

Ответ

h ≈ 1 м; N ≈ 0,4 Н.

Внутри конической поверхности, движущейся с ускорением a , вращается шарик по окружности радиусом R . Определить период Т движения шарика по окружности. Угол при вершине конуса 2α .

Ответ

.

Небольшое тело массой m соскальзывает вниз по наклонному скату, переходящему в мертвую петлю радиусом R .

Трение ничтожно мало. Определить: а) какова должна быть наименьшая высота h ската, чтобы тело сделало полную петлю, не выпадая; б) какое давление F при этом производит тело на помост в точке, радиус-вектор которой составляет угол α с вертикалью.

Ответ

а) h = 2,5R ; б) F = 3mg (1 - cosα ).

Лента конвейера наклонена к горизонту под углом α . Определить минимальную скорость ленты v мин, при которой частица руды, лежащая на ней, отделяется от поверхности ленты в месте набегания ее на барабан, если радиус барабана равен R .

Ответ

v мин = .

Небольшое тело скользит с вершины сферы вниз. На какой высоте h от вершины тело оторвется от поверхности сферы радиусом R ? Трением пренебречь.

Ответ

h = R /3.

Найти кинетическую энергию обруча массой m , катящегося со скоростью v . Проскальзывания нет.

Ответ

K = mv 2 .

Тонкий обруч без проскальзывания скатывается в яму, имеющую форму полусферы. На какой глубине h сила нормального давления обруча на стенку ямы равна его силе тяжести? Радиус ямы R , радиус обруча r .

Ответ

h = (R - r )/2.

Маленький обруч катится без скольжения по внутренней поверхности большой полусферы. В начальный момент у ее верхнего края обруч покоился. Определить: а) кинетическую энергию обруча в нижней точке полусферы; б) какая доля кинетической энергии приходится на вращательное движение обруча вокруг его оси; в) нормальную силу, прижимающую обод к нижней точке полусферы. Масса обруча равна m , радиус полусферы R .

Ответ

а) K = mgR ; б) 50%; в) 2mg .

Вода течет по трубе, расположенной в горизонтальной плоскости и имеющей закругление радиусом R = 2 м. Найти боковое давление воды. Диаметр трубы d = 20 см. Через поперечное сечение трубы в течение одного часа протекает М = 300 т воды.

Ответ

p = 1,2·10 5 Па.

Тело соскальзывает из точки А в точку В по двум искривленным наклонным поверхностям, проходящим через точки A и В один раз по выпуклой дуге, второй — по вогнутой. Обе дуги имеют одинаковую кривизну и коэффициент трения в обоих случаях один и тот же.

В каком случае скорость тела в точке B больше?

Ответ

В случае движения по выпуклой дуге.

Стержень ничтожной массы длиной l с двумя маленькими шариками m 1 и m 2 (m 1 > m 2) на концах может вращаться около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловую скорость ω и силу давления F на ось в момент прохождения стержнем с шариками положения равновесия.

Ответ

; .

На виток цилиндрической спирали, ось которой вертикальна, надевают маленькое колечко массой m . Колечко без трения начинает скользить по спирали. С какой силой F будет колечко давить на спираль после того, как оно пройдет n полных витков? Радиус витка R , расстояние между соседними витками h (шаг витка). Считать h ≪ R .

Ответ

.

Замкнутая металлическая цепочка лежит на гладхом горизонтальном диске, будучи свободно насажена на центрирующее ее кольцо, соосное с диском. Диск приведен во вращение. Принимая форму цепочки за горизонтальную окружность, определить силу натяжения Т вдоль цепочки, если ее масса m = 150 г, длина l = 20 см и цепочка вращается с частотой n = 20 с -1 .

Ответ

T ≈ 12 Н.

Реактивный самолет m = 30 т летит вдоль экватора с запада на восток со скоростью v = 1800 км/ч. На сколько изменится подъемная сила, действующая на самолет, если он будет лететь с той же скоростью с востока на запад?

Ответ

ΔF под ≈ 1,74·10 3 Н.

Задачи с решениями и ответы к упражнениям

Cтраница 1

Круглый диск радиуса а, погруженный в жидкость, вращв-тся вокруг оси, проходящей через центр диска перпендикулярно с его плоскости. Сопротивление трения равно ku на единицу пло-цади в каждой точке диска, где v - скорость точки, k - постоянная.  

Круглый диск радиуса АС г катится без скольжения по горизонтальной плоскости (фиг.  

Невесомый круглый диск радиуса R 4 м связан при помощи невесомых строп с грузом весом Q. Оставаясь горизонтальным, диск опускается в спокойном воздухе (при температуре t 0 и давлении h6 760 мм рт. ст.) с постоянной скоростью v 1 м / сек.  

На поверхности круглого диска радиуса а от центра до края уложено N витков спирали из тонкой проволоки.  

В этой задаче круглый диск радиуса R нагружен нормальной нагрузкой ап - - р (сжатие) вдоль двух диаметрально расположенных дуг длиной 2aR каждая. Геометрическая схема и условия нагружения показаны на рис. 4.14, из которого видно, что обе линии х 0 и у 0 служат осями симметрии.  

Показать, что когда круглый диск радиуса а вращается относительно своего диаметра в жидкости, покоящейся на бесконечности, то кинетическая энергия жидкости равна 8да5 (о2 / 45, где и - угловая скорость вращения диска, а Q - плотность жидкости.  

Заряд ql находится на оси симметрии круглого диска радиуса а на расстоянии а от плоскости диска.  

Колесо турбины схематически представим в виде круглого диска радиуса R п массы М, насаженного на вертикальную ось ADB (фиг.  

Как пример других возможных приложений теории рассмотрим задачу о двух равных круглых дисках радиуса с, вращающихся параллельно друг другу вокруг своей линии центров в безграничной жидкости. Обозначим через 21 расстояние между дисками и предположим, что они вращаются с одной и той же угловой скоростью со либо в одном и том же, либо в противоположных направлениях. Тогда, смотря по тому, имеет ли место первый случай: или второй, срединная плоскость ведет себя либо как свободная поверхность, либо как твердая граница.  

Вокруг точки А кривошипа вращается с постоянной абсолютной угловой скоростью (Оь направленной против часовой стрелки, круглый диск радиуса г. Определить абсолютные скорости и ускорения точек 1, 2, 3, 4 диска и его мгновенные центры скоростей и ускорений.  

При этом предполагается, что испарение происходит из всех точек испарителя с одной и той же скоростью. Случай двумерного испарителя, впервые решенный фон Хиппелем , будет рассмотрен нами в следующем разделе. Рассмотрим вначале модель испарителя в виде круглого диска радиуса s, поверхность испарения которого параллельна плоской поверхности подложки.  

Страницы:      1

Асламазов Л.Г. Движение по окружности // Квант. - 1972. - № 9. - С. 51-57.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Для описания движения по окружности наряду с линейной скоростью вводят понятие угловой скорости. Если точка при движении по окружности за время Δt описывает дугу, угловая мера которой Δφ, то угловая скорость .

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением υ = ω·r , где r - радиус окружности, по которой движется точка (рис. 1). Понятие угловой скорости особенно удобно для описания вращения твердого тела вокруг оси. Хотя линейные скорости у точек, находящихся на разном расстоянии от оси, будут неодинаковыми, их угловые скорости будут равны, и можно говорить об угловой скорости вращения тела в целом.

Задача 1 . Диск радиуса r катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянная и равна υ п. С какой угловой скоростью при этом вращается диск?

Каждая точка диска участвует в двух движениях - в поступательном движении со скоростью υ п вместе с центром диска и во вращательном движении вокруг центра с некоторой угловой скоростью ω.

Для нахождения ω воспользуемся отсутствием проскальзывания, то есть тем, что в каждый момент времени скорость точки диска, соприкасающейся с плоскостью, равна нулю. Это означает, что для точки А (рис. 2) скорость поступательного движения υ п равна по величине и противоположна по направлению линейной скорости вращательного движения υ вр = ω·r . Отсюда сразу получаем .

Задача 2. Найти скорости точек В , С и D того же диска (рис. 3).

Рассмотрим вначале точку В . Линейная скорость ее вращательного движения направлена вертикально вверх и равна , то есть по величине равна скорости поступательного движения, которая, однако, направлена горизонтально. Складывая векторно эти две скорости, находим, что результирующая скорость υ B по величине равна и образует угол 45º с горизонтом. У точки С скорости вращательного и поступательного движения направлены в одну сторону. Результирующая скорость υ C равна 2υ п и направлена горизонтально. Аналогично находится и скорость точки D (см. рис. 3).

Даже в том случае, когда скорость точки, движущейся по окружности, не меняется по величине, точка имеет некоторое ускорение, так как меняется направление вектора скорости. Это ускорение называется центростремительным . Оно направлено к центру окружности и равно (R - радиус окружности, ω и υ - угловая и линейная скорости точки).

Если же скорость точки, движущейся по окружности, меняется не только по направлению, но и по величине, то наряду с центростремительным ускорением существует и так называемое тангенциальное ускорение. Оно направлено по касательной к окружности и равно отношению (Δυ - изменение величины скорости за время Δt ).

Задача 3. Найти ускорения точек А , В , С и D диска радиуса r , катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянна и равна υ п (рис. 3).

В системе координат, связанной с центром диска, диск вращается с угловой скоростью ω, а плоскость движется поступательно со скоростью υ п. Проскальзывание между диском и плоскостью отсутствует, следовательно, . Скорость поступательного движения υ п не меняется, поэтому угловая скорость вращения диска постоянная и точки диска имеют только центростремительное ускорение , направленное к центру диска. Так как система координат движется без ускорения (с постоянной скоростью υ п), то в неподвижной системе координат ускорения точек диска будут теми же.

Перейдем теперь к задачам на динамику вращательного движения. Вначале рассмотрим простейший случай, когда движение по окружности происходит с постоянной скоростью. Так как ускорение тела при этом направлено к центру, то и векторная сумма всех сил, приложенных к телу, должна быть тоже направлена к центру, и по II закону Ньютона .

Следует помнить, что в правую часть этого уравнения входят только реальные силы, действующие на данное тело со стороны других тел. Никакой центростремительной силы при движении по окружности не возникает. Этим термином пользуются просто для обозначения равнодействующей сил, приложенных к телу, движущемуся по окружности. Что касается центробежной силы , то она возникает только при описании движения по окружности в неинерциальной (вращающейся) системе координат. Мы пользоваться здесь понятием центростремительной и центробежной силы вообще не будем.

Задача 4 . Определить наименьший радиус закругления дороги, которое автомобиль может пройти при скорости υ = 70 км/ч и коэффициенте трения шин о дорогу k =0,3.

Р = m·g , сила реакции дороги N и сила трения F тp между шинами автомобиля и дорогой. Силы Р и N направлены вертикально и равны по величине: P = N . Сила трения, препятствующая проскальзыванию («заносу») автомобиля, направлена к центру поворота и сообщает центростремительное ускорение: . Максимальное значение силы трения F тр max = k ·N = k ·m·g , поэтому минимальное значение радиуса окружности, по которой еще возможно движение со скоростью υ, определяется из уравнения . Отсюда (м).

Сила реакции дороги N при движении автомобиля по окружности не проходит через центр тяжести автомобиля. Это связано с тем, что ее момент относительно центра тяжести должен компенсировать момент силы трения, стремящийся опрокинуть автомобиль. Величина силы трения тем больше, чем больше скорость автомобиля . При некотором значении скорости момент силы трения превысит момент силы реакции и автомобиль опрокинется.

Задача 5 . При какой скорости автомобиль, движущийся по дуге окружности радиуса R = 130 м, может опрокинуться? Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м над дорогой, ширина следа автомобиля l = 1,5 м (рис. 4).

В момент опрокидывания автомобиля как сила реакции дороги N , так и сила трения F тp приложены к «внешнему» колесу. При движении автомобиля по окружности со скоростью υ на него действует сила трения . Эта сила создает момент относительно центра тяжести автомобиля . Максимальный момент силы реакции дороги N = m·g относительно центра тяжести равен (в момент опрокидывания сила реакции проходит через внешнее колесо). Приравнивая эти моменты, найдем уравнение для максимальной скорости, при которой автомобиль еще не опрокинется:

Откуда ≈ 30 м/с ≈ 110 км/ч.

Чтобы автомобиль мог двигаться с такой скоростью, необходим коэффициент трения (см. предыдущую задачу).

Аналогичная ситуация возникает при повороте мотоцикла или велосипеда. Сила трения, создающая центростремительное ускорение, имеет момент относительно центра тяжести, стремящийся опрокинуть мотоцикл. Поэтому для компенсации этого момента моментом силы реакции дороги мотоциклист наклоняется в сторону поворота (рис. 5).

Задача 6 . Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью υ = 70 км/ч, делая поворот радиусом R = 100 м. На какой угол α к горизонту он должен при этом наклониться, чтобы не упасть?

Сила трения между мотоциклом и дорогой , так как она сообщает мотоциклисту центростремительное ускорение. Сила реакции дороги N = m·g . Условие равенства моментов силы трения и силы реакции относительно центра тяжести дает уравнение: F тp ·l ·sin α = N ·l ·cos α, где l - расстояние ОА от центра тяжести до следа мотоцикла (см. рис. 5).

Подставляя сюда значения F тp и N , находим что или . Отметим, что равнодействующая сил N и F тp при этом угле наклона мотоцикла проходит через центр тяжести, что и обеспечивает равенство нулю суммарного момента сил N и F тp .

Для того, чтобы увеличить скорость движения по закруглению дороги, участок дороги на повороте делают наклонным. При этом в создании центростремительного ускорения, кроме силы трения, участвует и сила реакции дороги.

Задача 7 . С какой максимальной скоростью υ может двигаться автомобиль по наклонному треку с углом наклона α при радиусе закругления R и коэффициенте трения шин о дорогу k ?

На автомобиль действуют сила тяжести m·g , сила реакции N , направленная перпендикулярно плоскости трека, и сила трения F тp , направленная вдоль трека (рис. 6).

Так как нас не интересуют в данном случае моменты сил, действующих на автомобиль, мы нарисовали все силы приложенными к центру тяжести автомобиля. Векторная сумма всех сил должна быть направлена к центру окружности, по которой движется автомобиль, и сообщать ему центростремительное ускорение. Поэтому сумма проекций сил на направление к центру (горизонтальное направление) равна , то есть

Сумма проекций всех сил на вертикальное направление равна нулю:

N ·cos α – m·g – F т p ·sin α = 0.

Подставляя в эти уравнения максимальное возможное значение силы трения F тp = k·N и исключая силу N , находим максимальную скорость , с которой еще возможно движение по такому треку. Это выражение всегда больше значения , соответствующего горизонтальной дороге.

Разобравшись с динамикой поворота, перейдем к задачам на вращательное движение в вертикальной плоскости.

Задача 8 . Автомобиль массы m = 1,5 т движется со скоростью υ = 70 км/ч по дороге, показанной на рисунке 7. Участки дороги АВ и ВС можно считать дугами окружностей радиуса R = 200 м, касающимися друг друга в точке В . Определить силу давления автомобиля на дорогу в точках А и С . Как меняется сила давления при прохождении автомобилем точки В ?

В точке А на автомобиль действуют сила тяжести Р = m·g и сила реакции дороги N A . Векторная сумма этих сил должна быть направлена к центру окружности, то есть вертикально вниз, и создавать центростремительное ускорение: , откуда (Н). Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе реакции. В точке С векторная сумма сил направлена вертикально вверх: и (Н). Таким образом, в точке А сила давления меньше силы тяжести, а в точке С - больше.

В точке В автомобиль переходит с выпуклого участка дороги на вогнутый (или наоборот). При движении по выпуклому участку проекция силы тяжести на направление к центру должна превышать силу реакции дороги N B 1 , причем . При движении по вогнутому участку дороги, наоборот, сила реакции дороги N В 2 превосходит проекцию силы тяжести: .

Из этих уравнений получаем, что при прохождении точки В сила давления автомобиля на дорогу меняется скачком на величину ≈ 6·10 3 Н. Разумеется, такие ударные нагрузки действуют разрушающе как на автомобиль, так и на дорогу. Поэтому дороги и мосты всегда стараются делать так, чтобы их кривизна менялась плавно.

При движении автомобиля по окружности с постоянной скоростью сумма проекций всех сил на направление, касательное к окружности, должна быть равна нулю. В нашем случае касательная составляющая силы тяжести уравновешивается силой трения между колесами автомобиля и дорогой.

Величина силы трения регулируется вращательным моментом, прикладываемым к колесам со стороны мотора. Этот момент стремится вызвать проскальзывание колес относительно дороги. Поэтому возникает сила трения, препятствующая проскальзыванию и пропорциональная приложенному моменту. Максимальное значение силы трения равно k·N , где k - коэффициент трения между шинами автомобиля и дорогой, N - сила давления на дорогу. При движении автомобиля вниз сила трения играет роль тормозящей силы, а при движении вверх, наоборот, роль силы тяги.

Задача 9 . Автомобиль массой m = 0,5 т, движущийся со скоростью υ = 200 км/ч, совершает «мертвую петлю» радиуса R = 100 м (рис. 8). Определить силу давления автомобиля на дорогу в верхней точке петли А ; в точке В , радиус-вектор которой составляет угол α = 30º с вертикалью; в точке С , в которой скорость автомобиля направлена вертикально. Возможно ли движение автомобиля по петле с такой постоянной скоростью при коэффициенте трения шин о дорогу k = 0,5?

В верхней точке петли сила тяжести и сила реакции дороги N A направлены вертикально вниз. Сумма этих сил создает центростремительное ускорение: . Поэтому Н.

Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе N А .

В точке В центростремительное ускорение создается суммой силы реакции и проекции силы тяжести на направление к центру: . Отсюда Н.

Легко видеть, что N B > N A ; с увеличением угла α сила реакции дороги увеличивается.

В точке С сила реакции Н; центростремительное ускорение в этой точке создается только силой реакции, а сила тяжести направлена по касательной. При движении по нижней части петли сила реакции будет превышать и максимальное значение Н сила реакции имеет в точке D . Значение , таким образом, является минимальным значением силы реакции.

Скорость автомобиля будет постоянной, если касательная составляющая силы тяжести не превышает максимальной силы трения k·N во всех точках петли. Это условие заведомо выполняется, если минимальное значение превосходит максимальное значение касательной составляющей силы веса. В нашем случае это максимальное значение равно m·g (оно достигается в точке С ), и условие выполняется при k = 0,5, υ = 200 км/ч, R = 100 м.

Таким образом, в нашем случае движение автомобиля по «мертвой петле» с постоянной скоростью возможно.

Рассмотрим теперь движение автомобиля по «мертвой петле» с выключенным мотором. Как уже отмечалось, обычно момент силы трения противодействует моменту, приложенному к колесам со стороны мотора. При движении автомобиля с выключенным мотором этого момента нет, и силой трения между колесами автомобиля и дорогой можно пренебречь.

Скорость автомобиля уже не будет постоянной - касательная составляющая силы тяжести замедляет или ускоряет движение автомобиля по «мертвой петле». Центростремительное ускорение тоже будет меняться. Создается оно, как обычно, равнодействующей силы реакции дороги и проекции силы тяжести на направление к центру петли.

Задача 10 . Какую наименьшую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D (см. рис. 8) для того, чтобы совершить ее с выключенным мотором? Чему будет равна при этом сила давления автомобиля на дорогу в точке В ? Радиус петли R = 100 м, масса автомобиля m = 0,5 т.

Посмотрим, какую минимальную скорость может иметь автомобиль в верхней точке петли А , чтобы продолжать двигаться по окружности?

Центростремительное ускорение в этой точке дороги создается суммой силы тяжести и силы реакции дороги . Чем меньшую скорость имеет автомобиль, тем меньшая возникает сила реакции N A . При значении эта сила обращается в нуль. При меньшей скорости сила тяжести превысит значение, необходимое для создания центростремительного ускорения, и автомобиль оторвется от дороги. При скорости сила реакции дороги обращается в нуль только в верхней точке петли. В самом деле, скорость автомобиля на других участках петли будет большей, и как легко видеть из решения предыдущей задачи, сила реакции дороги тоже будет большей, чем в точке А . Поэтому, если автомобиль в верхней точке петли имеет скорость , то он нигде не оторвется от петли.

Теперь определим, какую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D , чтобы в верхней точке петли А его скорость . Для нахождения скорости υ D можно воспользоваться законом сохранения энергии, как если бы автомобиль двигался только под действием силы тяжести. Дело в том, что сила реакции дороги в каждый момент направлена перпендикулярно перемещению автомобиля, а, следовательно, ее работа равна нулю (напомним, что работа ΔA = F ·Δs ·cos α, где α - угол между силой F и направлением перемещения Δs ). Силой трения между колесами автомобиля и дорогой при движении с выключенным мотором можно пренебречь. Поэтому сумма потенциальной и кинетической энергии автомобиля при движении с выключенным мотором не меняется.

Приравняем значения энергии автомобиля в точках А и D . При этом будем отсчитывать высоту от уровня точки D , то есть потенциальную энергию автомобиля в этой точке будем считать равной нулю. Тогда получаем

Подставляя сюда значение для искомой скорости υ D , находим: ≈ 70 м/с ≈ 260 км/ч.

Если автомобиль въедет в петлю с такой скоростью, то он сможет совершить ее с выключенным мотором.

Определим теперь, с какой силой при этом автомобиль будет давить на дорогу в точке В . Скорость автомобиля в точке В опять легко находится из закона сохранения энергии:

Подставляя сюда значение , находим, что скорость .

Воспользовавшись решением предыдущей задачи, по заданной скорости находим силу давления в точке B :

Аналогично можно найти силу давления в любой другой точке «мертвой петли».

Упражнения

1. Найти угловую скорость искусственного спутника Земли, вращающегося по круговой орбите с периодом обращения Т = 88 мин. Найти линейную скорость движения этого спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии R = 200 км от поверхности Земли.

2. Диск радиуса R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся со скоростями υ 1 и υ 2 . Определить угловую скорость вращения диска и скорость его центра. Проскальзывание отсутствует.

3. Диск катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Показать, что концы векторов скоростей точек вертикального диаметра находятся на одной прямой.

4. Самолет движется по окружности с постоянной горизонтальной скоростью υ = 700 км/час. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета наклонен на угол α = 5°.

5. Груз массы m = 100 г, подвешенный на нити длины l = 1 м, равномерно вращается по кругу в горизонтальной плоскости. Найти период обращения груза, если при его вращении нить отклонена по вертикали на угол α = 30°. Определить также натяжение нити.

6. Автомобиль движется со скоростью υ = 80 км/ч по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса R = 10 м по горизонтальному кругу. При каком минимальном коэффициенте трения между шинами автомобиля и поверхностью цилиндра это возможно?

7. Груз массой m подвешен на нерастяжимой нити, максимально возможное натяжение которой равно 1,5m·g . На какой максимальный угол α можно отклонить нить от вертикали, чтобы при дальнейшем движении груза нить не оборвалась? Чему будет равно при этом натяжение нити в тот момент, когда нить составит угол α/2 с вертикалью?

Ответы

I. Угловая скорость искусственного спутника Земли ≈ 0,071 рад/с. Линейная скорость спутника υ = ω·R . где R - радиус орбиты. Подставляя сюда R = R 3 + h , где R 3 ≈ 6400 км, находим υ ≈ 467 км/с.

2. Здесь возможны два случая (рис. 1). Если угловая скорость диска ω, а скорость его центра υ, то скорости точек, соприкасающихся с рейками, будут соответственно равны

в случае a) υ 1 = υ + ω·R , υ 2 = υ – ω·R ;

в случае б) υ 1 = υ + ω·R , υ 2 = ω·R – υ.

(Мы приняли для определенности, что υ 1 > υ 2). Решая эти системы, находим:

а)

б)

3. Скорость любой точки М , лежащей на отрезке ОВ (см. рис. 2), находится по формуле υ M = υ + ω·r M , где r M - расстояние от точки М до центра диска О . Для любой точки N , принадлежащей отрезку ОА , имеем: υ N = υ – ω·r N , где r N - расстояние от точки N до центра. Обозначим через ρ расстояние от любой точки диаметра ВА до точки А соприкосновения диска с плоскостью. Тогда очевидно, что r M = ρ – R и r N = R – ρ = –(ρ – R ). где R - радиус диска. Поэтому скорость любой точки на диаметре ВА находится по формуле: υ ρ = υ + ω·(ρ – R ). Так как диск катится без проскальзывания, то и для скорости υ ρ получаем υ ρ = ω·ρ. Отсюда следует, что концы векторов скоростей находятся на прямой, выходящей из точки А и наклоненной к диаметру ВА под углом, пропорциональным угловой скорости вращения диска ω.

Доказанное утверждение позволяет нам сделать вывод, что сложное движение точек, находящихся на диаметре ВА , можно в каждый данный момент рассматривать как простое вращение вокруг неподвижной точки А с угловой скоростью ω, равной угловой скорости вращения вокруг центра диска. В самом деле, в каждый момент скорости этих точек направлены перпендикулярно диаметру ВА , а по величине равны произведению ω на расстояние до точки А .

Оказывается, что это утверждение справедливо для любой точки диска. Более того, оно является общим правилом. При любом движении твердого тела в каждый момент существует ось, вокруг которой тело просто вращается - мгновенная ось вращения.

4. На самолет действуют (см. рис. 3) сила тяжести Р = m·g и подъемная сила N , направленная перпендикулярно плоскости крыльев (так как самолет движется с постоянной скоростью, то сила тяги и сила лобового сопротивления воздуха уравновешивают друг друга). Равнодействующая сил Р

6. На автомобиль действуют (рис. 5) сила тяжести Р = m·g , сила реакции со стороны цилиндра N и сила трения F тp . Так как автомобиль движется по горизонтальному кругу, то силы Р и F тp уравновешивают друг друга, а сила N создает центростремительное ускорение . Максимальное значение силы трения связано с силой реакции N соотношением: F тp = k·N . В результате получаем систему уравнений: , из которой находится минимальное значение коэффициента трения

7. Груз будет двигаться по окружности радиуса l (рис. 6). Центростремительное ускорение груза (υ - скорость груза) создается разностью величин силы натяжения нити Т и проекции силы тяжести m·g направление нити: . Поэтому , где β - угол, образуемый нитью с вертикалью. По мере того, как груз будет опускаться, его скорость будет расти, а угол β будет уменьшаться. Натяжение нити станет максимальным при угле β = 0 (в тот момент, когда нить будет вертикальной): . Максимальная скорость груза υ 0 находится по углу α, на который отклоняют нить, из закона сохранения энергии:

Используя это соотношение, для максимального значения натяжения нити получаем формулу: T m ax = m·g ·(3 – 2 cos α). По условию задачи T m ах = 2m·g . Приравнивая эти выражения, находим cos α = 0,5 и, следовательно, α = 60°.

Определим теперь натяжение нити при . Скорость груза в этот момент также находится из закона сохранения энергии:

Подставляя значение υ 1 в формулу для силы натяжения, находим: