Pi kosinusas, padalintas iš 3. Kampo laipsnio matas

Kampo laipsnio matas. Radianinis kampo matas. Laipsnius konvertuoti į radianus ir atvirkščiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Ankstesnėje pamokoje išmokome išmatuoti kampus trigonometriniame apskritime. Išmoko skaičiuoti teigiamus ir neigiamus kampus. Išmokome nubrėžti didesnį nei 360 laipsnių kampą. Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip išmatuoti kampus. Ypač su skaičiumi „Pi“, kuris mus stengiasi suklaidinti atliekant keblias užduotis, taip...

Standartiniai trigonometrijos uždaviniai su skaičiumi „Pi“ išsprendžiami gerai. Vaizdinė atmintis padeda. Bet bet koks nukrypimas nuo šablono yra katastrofa! Kad nenukristų - suprasti būtina. Tai mes dabar sėkmingai darysime. Aš turiu galvoje, mes viską suprasime!

Taigi, ką ar skaičiuojami kampai? Mokyklos trigonometrijos kurse naudojami du matai: kampo laipsnis matas Ir radianinio kampo matas. Pažvelkime į šias priemones. Be to trigonometrijoje niekur nėra.

Kampo laipsnio matas.

Kažkaip pripratome prie laipsnių. Bent jau geometriją išlaikėme... O gyvenime dažnai sutinkame, pavyzdžiui, frazę „pasisuk 180 laipsnių“. Trumpai tariant, laipsnis yra paprastas dalykas...

Taip? Atsakykite man tada kas yra laipsnis? Ką, iš karto nepavyksta? tai tiek...

Laipsniai buvo išrasti Senovės Babilone. Tai buvo seniai... prieš 40 šimtmečių... Ir jie sugalvojo paprastą idėją. Jie paėmė ir padalijo apskritimą į 360 lygių dalių. 1 laipsnis yra 1/360 apskritimo. Tai viskas. Jie galėjo jį suskaidyti į 100 dalių. Arba 1000. Bet jie padalijo į 360. Beje, kodėl būtent 360? Kuo 360 geriau nei 100? 100 atrodo kažkaip sklandžiau... Pabandykite atsakyti į šį klausimą. Ar silpnas prieš Senovės Babiloną?

Kažkur tuo pačiu metu Senovės Egipte juos kankino kitas klausimas. Kiek kartų apskritimo ilgis didesnis už jo skersmens ilgį? Ir matavo tai taip, ir taip... Viskas pasirodė kiek daugiau nei trys. Bet kažkaip gavosi gauruotas, nelygus... Bet jie, egiptiečiai, nekalti. Po jų jie kentėjo dar 35 šimtmečius. Kol galiausiai įrodė, kad kad ir kaip smulkiai supjaustytum apskritimą į lygias dalis, iš tokių gabalėlių galima padaryti sklandžiai skersmens ilgis neįmanomas... Iš esmės tai neįmanoma. Na, žinoma, buvo nustatyta, kiek kartų perimetras yra didesnis už skersmenį. Maždaug. 3,1415926... karto.

Tai yra skaičius „Pi“. Toks gauruotas, toks apšepęs. Po kablelio yra begalinis skaičius be jokios tvarkos... Tokie skaičiai vadinami iracionaliais. Tai, beje, reiškia, kad iš vienodų apskritimo gabalėlių skersmuo sklandžiai nesulankstykite. Niekada.

Praktiniam naudojimui įprasta atsiminti tik du skaitmenis po kablelio. Prisiminkite:

Kadangi suprantame, kad apskritimo perimetras yra didesnis už jo skersmenį „Pi“ kartų, prasminga prisiminti apskritimo apskritimo formulę:

Kur L- perimetras ir d- jo skersmuo.

Naudinga geometrijoje.

Dėl bendrojo lavinimo pridursiu, kad skaičius „Pi“ randamas ne tik geometrijoje... Įvairiose matematikos šakose, o ypač tikimybių teorijoje, šis skaičius atsiranda nuolat! Savaime. Už mūsų norų ribų. kaip tai.

Bet grįžkime prie laipsnių. Ar supratote, kodėl Senovės Babilone apskritimas buvo padalintas į 360 lygių dalių? Ir, pavyzdžiui, ne 100? Ne? Gerai. Aš jums pateiksiu versiją. Senovės babiloniečių negalima klausti... Statybai ar, tarkime, astronomijai, patogu apskritimą padalinti į lygias dalis. Dabar išsiaiškinkite, iš kokių skaičių jis dalijasi visiškai 100, o kurios - 360? Ir kokioje šių daliklių versijoje visiškai- daugiau? Šis skirstymas labai patogus žmonėms. Bet...

Kaip paaiškėjo daug vėliau nei Senovės Babilonas, ne visi mėgsta laipsnius. Aukštoji matematika jų nemėgsta... Aukštoji matematika – rimta dama, organizuota pagal gamtos dėsnius. Ir ši ponia pareiškia: „Šiandien suskaidėte ratą į 360 dalių, rytoj suskirsite į 100, poryt į 245... O ką man daryti Ne, tikrai...“ Teko klausytis. Tu negali apgauti gamtos...

Reikėjo įvesti kampo matą, kuris nepriklauso nuo žmogaus išradimų. Susipažinkite - radianas!

Radianinis kampo matas.

Kas yra radianas? Radiano apibrėžimas vis dar grindžiamas apskritimu. 1 radiano kampas yra kampas, nupjaunantis lanką iš apskritimo, kurio ilgis yra ( L) yra lygus spindulio ilgiui ( R). Pažiūrėkime į paveikslėlius.

Toks mažas kampas, jo beveik nėra... Perkeliame žymeklį ant nuotraukos (arba paliečiame paveikslėlį planšetiniame kompiuteryje) ir matome maždaug vieną radianas. L = R

Ar jaučiate skirtumą?

Vienas radianas yra daug daugiau nei vienas laipsnis. Kiek kartų?

Pažiūrėkime į kitą paveikslėlį. Ant kurio nupiešiau puslankį. Išskleistas kampas, žinoma, yra 180°.

Dabar aš supjaustysiu šį puslankį radianais! Užvedame žymeklį ant nuotraukos ir matome, kad 180° tinka 3 su puse radiano.

Kas gali atspėti, kam prilygsta ši uodega!?

Taip! Ši uodega yra 0,1415926.... Labas, numeris "Pi", mes tavęs dar nepamiršome!

Iš tiesų, 180° laipsnių yra 3,1415926... radiano. Kaip pats supranti, visą laiką rašyti 3.1415926... nepatogu. Todėl vietoj šio begalinio skaičiaus jie visada rašo paprastai:

Bet internete numeris

Nepatogu rašyti... Todėl ir rašau jo vardą tekste - "Pi". Nesusipainiok, gerai?...

Dabar galime visiškai prasmingai užrašyti apytikslę lygybę:

Arba tiksli lygybė:

Nustatykime, kiek laipsnių yra viename radiane. Kaip? Lengvai! Jei 3,14 radiano yra 180° laipsnių, tai 1 radiano yra 3,14 karto mažiau! Tai yra, padalijame pirmąją lygtį (formulė taip pat yra lygtis!) iš 3,14:

Šį santykį naudinga atsiminti. Vienas radianas yra maždaug 60°. Trigonometrijoje dažnai tenka įvertinti ir įvertinti situaciją. Čia šios žinios labai padeda.

Tačiau pagrindinis šios temos įgūdis yra laipsnius konvertuojant į radianus ir atvirkščiai.

Jei kampas pateikiamas radianais su skaičiumi „Pi“, viskas labai paprasta. Mes žinome, kad "Pi" radianai = 180°. Taigi "Pi" pakeičiame radianais - 180°. Mes gauname kampą laipsniais. Sumažiname, kas sumažinta, ir atsakymas paruoštas. Pavyzdžiui, turime išsiaiškinti, kiek laipsnių kampu "Pi"/2 radianas? Taigi rašome:

Arba egzotiškesnė išraiška:

Lengva, tiesa?

Atvirkštinis vertimas yra šiek tiek sudėtingesnis. Bet nelabai. Jei kampas nurodytas laipsniais, turime išsiaiškinti, koks vienas laipsnis yra lygus radianais, ir padauginti šį skaičių iš laipsnių. Kas yra 1° radianais?

Mes žiūrime į formulę ir suprantame, kad jei 180° = "Pi" radianai, tai 1° yra 180 kartų mažesnis. Arba, kitaip tariant, lygtį padalijame (formulė taip pat yra lygtis!) iš 180. Nereikia „Pi“ pavaizduoti kaip 3,14, bet kokiu atveju ji rašoma raide. Mes nustatome, kad vienas laipsnis yra lygus:

Tai viskas. Mes padauginame laipsnių skaičių iš šios vertės ir gauname kampą radianais. Pavyzdžiui:

Arba panašiai:

Kaip matote, neskubiame pokalbyje su lyriškais nukrypimais paaiškėjo, kad radianai yra labai paprasti. O vertimas ne bėda... O “Pi” – visiškai pakenčiamas dalykas... Tai iš kur ta painiava!?

Aš atskleisiu paslaptį. Faktas yra tas, kad trigonometrinėse funkcijose rašomas laipsnių simbolis. Visada. Pavyzdžiui, sin35°. Tai sinusas 35 laipsnių . Ir radiano piktograma ( džiaugiuosi) – neparašyta! Tai numanoma. Arba matematikus apėmė tinginystė, arba dar kažkas... Bet jie nusprendė nerašyti. Jei sinuso kotangento viduje nėra simbolių, kampas yra radianais ! Pavyzdžiui, cos3 yra trijų kosinusas radianų .

Tai sukelia painiavą... Žmogus pamato „Pi“ ir tiki, kad jis yra 180°. Visada ir visur. Beje, tai veikia. Kol kas pavyzdžiai yra standartiniai. Bet „Pi“ yra skaičius! Skaičius yra 3,14, bet ne laipsniai! Tai yra "Pi" radianai = 180°!

Dar kartą: „Pi“ yra skaičius! 3.14. Neracionalu, bet skaičius. Tas pats kaip 5 arba 8. Pavyzdžiui, galite atlikti „Pi“ veiksmus. Trys žingsniai ir dar šiek tiek. Arba nusipirkti „Pi“ kilogramų saldainių. Jeigu susidurs išsilavinęs pardavėjas...

„Pi“ yra skaičius! Ką, suerzinau tave šia fraze? Ar jau seniai viską supratai? Gerai. Patikrinkim. Pasakyk man, kuris skaičius didesnis?

Arba kas yra mažiau?

Tai vienas iš šiek tiek nestandartinių klausimų, kurie gali jus įvaryti į stuporą...

Jei ir jūs patekote į stuporą, atsiminkite burtą: „Pi“ yra skaičius! 3.14. Pačiame pirmajame sinuse aiškiai nurodyta, kad kampas yra laipsniais! Todėl „Pi“ pakeisti 180° neįmanoma! "Pi" laipsniai yra maždaug 3,14°. Todėl galime rašyti:

Antrajame sinuso užrašų nėra. Taigi, ten - radianų! Čia „Pi“ pakeitimas 180° veiks puikiai. Konvertuodami radianus į laipsnius, kaip parašyta aukščiau, gauname:

Belieka palyginti šiuos du sinusus. Ką. pamiršai kaip? Žinoma, naudojant trigonometrinį apskritimą! Nubrėžkite apskritimą, nubrėžkite apytikslius 60° ir 1,05° kampus. Pažiūrėkime, kokius sinusus turi šie kampai. Trumpai tariant, viskas aprašyta kaip temos apie trigonometrinį apskritimą pabaigoje. Ant apskritimo (net ir kreivo!) tai bus aiškiai matoma sin60°žymiai daugiau nei sin1,05°.

Lygiai tą patį darysime su kosinusais. Ant apskritimo nubrėžkite maždaug 4 kampus laipsnių ir 4 radianas(Ar pamiršote, kam apytiksliai lygus 1 radianas?). Ratas pasakys viską! Žinoma, cos4 yra mažesnis nei cos4°.

Praktikuokime kampo matavimus.

Konvertuokite šiuos kampus iš laipsnių į radianus:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Šias vertes turėtumėte gauti radianais (kita tvarka!)

Beje, atsakymus specialiai paryškinau dviem eilutėmis. Na, išsiaiškinkime, kokie kampai yra pirmoje eilutėje? Bent laipsniais, bent jau radianais?

Taip! Tai yra koordinačių sistemos ašys! Jei pažvelgsite į trigonometrinį apskritimą, tada judančią kampo pusę su šiomis reikšmėmis tiksliai tinka ant ašių. Šias vertybes reikia žinoti. Ir aš pažymėjau 0 laipsnių kampą (0 radianų) dėl geros priežasties. Ir tada kai kurie žmonės tiesiog neranda šio kampo ant apskritimo... Ir, atitinkamai, jie susipainioja trigonometrinėse nulio funkcijose... Kitas dalykas, kad judančios pusės padėtis nuliui laipsnių sutampa su padėtimi 360° kampu, todėl šalia esančio apskritimo visada yra sutapimų.

Antroje eilutėje taip pat yra specialūs kampai... Tai 30°, 45° ir 60°. Ir kuo jie ypatingi? Nieko ypatingo. Vienintelis skirtumas tarp šių kampų ir visų kitų yra tas, kad turėtumėte žinoti apie šiuos kampus Visi. Ir kur jie yra ir kokias trigonometrines funkcijas turi šie kampai. Tarkime, vertė sin100° jūs neturite žinoti. A sin45°- Prašau būk toks malonus! Tai yra privalomos žinios, be kurių trigonometrijoje nėra ką veikti... Bet apie tai plačiau kitoje pamokoje.

Tuo tarpu tęskime treniruotes. Konvertuokite šiuos kampus iš radiano į laipsnį:

Turėtumėte gauti tokius rezultatus (netvarkingai):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Ar pavyko? Tada galime manyti konvertuojant laipsnius į radianus ir atgal– nebėra jūsų problema.) Tačiau kampų vertimas yra pirmas žingsnis norint suprasti trigonometriją. Ten taip pat reikia dirbti su sinusais ir kosinusais. Ir su liestinėmis ir kotangentais...

Antrasis galingas žingsnis yra galimybė nustatyti bet kurio kampo padėtį trigonometriniame apskritime. Ir laipsniais, ir radianais. Aš duosiu jums nuobodžių užuominų apie šį trigonometrijos įgūdžius, taip...) Jei žinote viską (arba manote, kad žinote viską) apie trigonometrinį apskritimą ir kampų matavimą trigonometriniame apskritime, galite tai patikrinti. Išspręskite šias paprastas užduotis:

1. Į kurį ketvirtį patenka kampai:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Lengvai? Tęskime:

2. Į kurį ketvirtį patenka kampai:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Taip pat nėra problemų? Na, žiūrėk...)

3. Kampus galite sudėti į ketvirčius:

Ar galėtum? Na, tu duok..)

4. Ant kurių ašių kris kampas:

ir kampas:

Ar irgi lengva? Hm...)

5. Į kurį ketvirtį patenka kampai:

Ir pavyko!? Na, tada aš tikrai nežinau...)

6. Nustatykite, į kurį ketvirtį patenka kampai:

1, 2, 3 ir 20 radianų.

Atsakysiu tik į paskutinį paskutinės užduoties klausimą (jis šiek tiek sudėtingas). Į pirmąjį ketvirtį pateks 20 radianų kampas.

Kitų atsakymų nepateiksiu, ne iš godumo.) Tiesiog, jei tu neapsisprendė kažkas tu abejoji dėl to, arba išleista užduočiai Nr daugiau nei 10 sekundžių, blogai orientuojatės rate. Tai bus jūsų problema visoje trigonometrijoje. Geriau iš karto atsikratyti (problemos, o ne trigonometrijos!). Tai galima padaryti temoje: Praktinis darbas su trigonometriniu apskritimu 555 skyriuje.

Jame pasakojama, kaip paprastai ir teisingai išspręsti tokias užduotis. Na, šios užduotys, žinoma, buvo išspręstos. O ketvirtoji užduotis buvo išspręsta per 10 sekundžių. Taip, nuspręsta, kad tai gali padaryti bet kas!

Jei esate visiškai įsitikinęs savo atsakymais ir jūsų nedomina paprasti ir nesudėtingi darbo su radianais būdai, jums nereikia lankytis 555. Aš neprimygtinai reikalauju.)

Geras supratimas yra pakankamai gera priežastis judėti toliau!)

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Yra keletas variantų, kaip apskaičiuoti išraiškos cos (3/2 Pi) reikšmę.

Pirmas variantas. Naudojimas
Ši parinktis yra lengviausia ir paprasčiausia ir susideda iš to, kad reikia rasti atitinkamas reikšmes lentelėje.

Yra daugybė lentelės variantų, kai kurios pateikia argumentus tik radianais, kitos – laipsniais, o kitose – ir radianai, ir laipsniai.
Kartais vis tiek naudinga kampo reikšmę konvertuoti į laipsnius, kad būtų lengviau suvokti kosinuso reikšmę. Bet nedraudžiama naudoti lentelę su laipsniais ir radianais)).
Iš lentelės mes nustatome kosinuso vertę nuo 3 Pi / 2 - tai yra 0.
Matematinis žymėjimas:

Antras variantas. .
Patogus pasirinkimas, jei nėra trigonometrinių funkcijų lentelės. Čia trigonometrinės funkcijos reikšmę galima nustatyti naudojant trigonometrinį apskritimą.


Trigonometriniame apskritime (arba apskritime) kosinuso funkcijos reikšmės yra ant abscisių ašies.
Pagal priskyrimą funkcijos argumentas yra 3 Pi / 2. Apskritime ši reikšmė yra ordinačių ašyje pačiame apačioje. Norėdami apskaičiuoti tam tikros funkcijos reikšmę, turite nuleisti statmeną Ox ašiai, po to gauname reikšmę 0. Taigi 3 Pi / 2 kosinusas yra lygus 0.

Trečias variantas. Naudojimas .
Jei lentelės nėra ir sunku naršyti trigonometriniame apskritime, tada naudinga naudoti kosinuso grafiką, iš kurio taip pat galite nustatyti reikšmę.

(pi / 3) galima atlikti keliais būdais.

1 būdas.
Metodas dažniausiai naudojamas moksleivių ir studentų ir yra vienas paprasčiausių.
Funkcija ir jos argumentas randami bendruose argumentuose, o jų sankirtoje šios funkcijos reikšmė gaunama iš pateikto argumento.

Naudodamiesi lentele rasime pi / 3 sinuso reikšmę - tai yra 3 šaknis, padalyta iš 2.
Užrašykime matematiškai:

2 būdas.
Kitas būdas yra (arba ratas).


Čia sinusų reikšmės yra ordinačių ašyje (Oy ašyje). Pabandykime apskaičiuoti pi / 3 sinuso reikšmę.
Sinuso argumentas lygus pi / 3 – raskime šią reikšmę apskritime. Toliau mes nuleidžiame statmeną ašiai, kurioje yra sinusų reikšmės - Oy ašiai. Statmens pabaigoje gauname 3/2 reikšmės šaknį. Taigi pi/3 sinusas yra lygus 3/2 šaknei.

3 būdas.
Kitas sinuso vertės apskaičiavimo būdas yra jo naudojimas.
Pavyzdžiui, sinuso grafe (sinusoidėje) randame pi / 3 reikšmę Ox ašyje, tada nubrėžiame tiesią liniją, statmeną šiai ašiai, kol ji susikerta su grafiku. Gauname tašką, kurį projektuojame į Oy ašį ir gauname 3/2 reikšmės šaknį.

Paprasčiau tariant, tai daržovės, virtos vandenyje pagal specialų receptą. Apsvarstysiu du pradinius komponentus (daržovių salotas ir vandenį) ir galutinį rezultatą - barščius. Geometriškai jį galima įsivaizduoti kaip stačiakampį, kurio viena pusė reiškia salotas, o kita - vandenį. Šių dviejų pusių suma parodys barščius. Tokio „barščių“ stačiakampio įstrižainė ir plotas yra grynai matematinės sąvokos ir niekada nenaudojamos barščių receptuose.

Matematikos vadovėliuose nieko nerasite apie tiesines kampines funkcijas. Bet be jų negali būti matematikos. Matematikos dėsniai, kaip ir gamtos dėsniai, veikia nepriklausomai nuo to, ar žinome apie jų egzistavimą, ar ne.

Tiesinės kampinės funkcijos yra sudėjimo dėsniai. Pažiūrėkite, kaip algebra virsta geometrija, o geometrija – trigonometrija.

Ar galima apsieiti be linijinių kampinių funkcijų? Tai įmanoma, nes matematikai vis tiek apsieina be jų. Matematikos gudrybė yra ta, kad jie mums visada pasakoja tik apie tas problemas, kurias patys žino, kaip išspręsti, ir niekada nepasakoja apie tas problemas, kurių negali išspręsti. Žiūrėk. Jei žinome sudėjimo ir vieno nario rezultatą, kitam dėmeniui rasti naudojame atimtį. Visi. Mes nežinome kitų problemų ir nežinome, kaip jas išspręsti. Ką daryti, jei žinome tik pridėjimo rezultatą ir nežinome abiejų terminų? Šiuo atveju sudėjimo rezultatas turi būti išskaidytas į du terminus, naudojant tiesines kampines funkcijas. Toliau mes patys pasirenkame, koks gali būti vienas narys, o tiesinės kampinės funkcijos parodo, koks turi būti antrasis narys, kad pridėjimo rezultatas būtų būtent toks, kokio mums reikia. Tokių terminų porų gali būti be galo daug. Kasdieniame gyvenime mes puikiai sutariame, neatimdami sumos. Tačiau atliekant mokslinius gamtos dėsnių tyrimus, suskaidyti sumą į komponentus gali būti labai naudinga.

Kitas papildymo dėsnis, apie kurį matematikai nemėgsta kalbėti (dar vienas jų triukas), reikalauja, kad terminai turėtų tuos pačius matavimo vienetus. Salotoms, vandeniui ir barščiams tai gali būti svorio, tūrio, vertės arba matavimo vienetai.

Paveiksle pavaizduoti du matematinio skirtumo lygiai. Pirmasis lygis yra skaičių lauko skirtumai, kurie yra nurodyti a, b, c. Taip daro matematikai. Antrasis lygis yra matavimo vienetų lauko skirtumai, kurie rodomi laužtiniuose skliaustuose ir nurodomi raide U. Taip daro fizikai. Galime suprasti trečiąjį lygmenį – aprašomų objektų ploto skirtumus. Skirtingi objektai gali turėti tiek pat identiškų matavimo vienetų. Kaip tai svarbu, matome barščių trigonometrijos pavyzdyje. Jei prie to paties vieneto žymėjimo skirtingiems objektams pridėsime apatinius indeksus, galime tiksliai pasakyti, koks matematinis dydis apibūdina konkretų objektą ir kaip jis keičiasi laikui bėgant arba dėl mūsų veiksmų. Laiškas W Vandenį pažymėsiu raide S Aš pažymėsiu salotas raide B- barščiai. Taip atrodys barščių linijinės kampinės funkcijos.

Jei paimsime dalį vandens ir dalį salotų, kartu jos pavirs viena barščių porcija. Čia siūlau šiek tiek pailsėti nuo barščių ir prisiminti tolimą vaikystę. Prisimeni, kaip mus mokė surišti zuikius ir antis? Reikėjo išsiaiškinti, kiek bus gyvūnų. Ko tada buvome išmokyti? Mus mokė atskirti matavimo vienetus nuo skaičių ir sudėti skaičius. Taip, bet kurį numerį galima pridėti prie bet kurio kito skaičiaus. Tai tiesus kelias į šiuolaikinės matematikos autizmą – mes tai darome nesuprantamai, ką, nesuprantamai kodėl ir labai menkai suprantame, kaip tai susiję su realybe, nes dėl trijų skirtumų lygių matematikai operuoja tik su vienu. Teisingiau būtų išmokti pereiti nuo vieno matavimo vieneto prie kito.

Kiškučius, antis ir gyvūnėlius galima suskaičiuoti į gabalus. Vienas bendras skirtingų objektų matavimo vienetas leidžia juos sujungti. Tai vaikiška problemos versija. Pažvelkime į panašią suaugusiųjų problemą. Ką gausite pridėję zuikius ir pinigų? Čia galime pasiūlyti du sprendimus.

Pirmas variantas. Nustatome zuikių rinkos vertę ir pridedame prie turimos pinigų sumos. Mes gavome bendrą mūsų turto vertę pinigine išraiška.

Antras variantas. Prie mūsų turimų banknotų skaičiaus galite pridėti zuikių skaičių. Kilnojamojo turto kiekį gausime vienetais.

Kaip matote, tas pats papildymo įstatymas leidžia gauti skirtingus rezultatus. Viskas priklauso nuo to, ką tiksliai norime žinoti.

Bet grįžkime prie mūsų barščių. Dabar matome, kas nutiks skirtingoms linijinių kampinių funkcijų kampų vertėms.

Kampas lygus nuliui. Turime salotų, bet ne vandens. Mes nemokame virti barščių. Barščių kiekis taip pat lygus nuliui. Tai visiškai nereiškia, kad nulis barščių yra lygus nuliui vandens. Gali būti nuliniai barščiai su nulinėmis salotomis (stačiu kampu).

Man asmeniškai tai yra pagrindinis matematinis įrodymas, kad . Nulis nekeičia skaičiaus, kai pridedamas. Taip atsitinka todėl, kad pats papildymas neįmanomas, jei yra tik vienas narys, o trūksta antrojo. Galite jausti tai kaip norite, bet atminkite - visas matematines operacijas su nuliu sugalvojo patys matematikai, todėl meskite savo logiką ir kvailai prikimškite matematikų sugalvotus apibrėžimus: „dalyti iš nulio neįmanoma“, „bet koks skaičius padaugintas iš nulis lygus nuliui“, „už nulio taško“ ir kitos nesąmonės. Pakanka vieną kartą prisiminti, kad nulis nėra skaičius, ir daugiau niekada nekils klausimų, ar nulis yra natūralusis skaičius, ar ne, nes toks klausimas praranda bet kokią prasmę: kaip tai, kas nėra skaičius, gali būti laikomas skaičiumi ? Tai panašu į klausimą, prie kokios spalvos turėtų būti priskirta nematoma spalva. Pridėti nulį prie skaičiaus yra tas pats, kas tapyti dažais, kurių nėra. Pamojavome sausu teptuku ir visiems pasakėme, kad „dažėme“. Bet aš šiek tiek nukrypstu.

Kampas yra didesnis nei nulis, bet mažesnis nei keturiasdešimt penki laipsniai. Turime daug salotų, bet nepakankamai vandens. Dėl to gausime tirštus barščius.

Kampas yra keturiasdešimt penki laipsniai. Vandens ir salotų turime vienodus kiekius. Tai tobuli barščiai (atleiskite, virėjai, tai tik matematika).

Kampas yra didesnis nei keturiasdešimt penki laipsniai, bet mažesnis nei devyniasdešimt laipsnių. Turime daug vandens ir mažai salotų. Gausite skystų barščių.

Tiesus kampas. Turime vandens. Iš salotų lieka tik prisiminimai, nes toliau matuojame kampą nuo linijos, kuri kadaise žymėjo salotas. Mes nemokame virti barščių. Barščių kiekis lygus nuliui. Tokiu atveju laikykis ir gerk vandens, kol jo turi)))

Čia. Kažkas panašaus. Čia galiu papasakoti kitų istorijų, kurios čia būtų daugiau nei tinkamos.

Du draugai turėjo savo akcijų bendrame versle. Nužudžius vieną iš jų, viskas atiteko kitam.

Matematikos atsiradimas mūsų planetoje.

Visos šios istorijos pasakojamos matematikos kalba naudojant tiesines kampines funkcijas. Kažkada kitą kartą parodysiu tikrąją šių funkcijų vietą matematikos struktūroje. Tuo tarpu grįžkime prie barščių trigonometrijos ir apsvarstykime projekcijas.

Šeštadienis, 2019 m. spalio 26 d

Pažiūrėjau įdomų vaizdo įrašą apie Grundy serija Vienas minus vienas plius vienas minus vienas - Numberphile. Matematikai meluoja. Samprotavimo metu jie neatliko lygybės patikrinimo.

Tai pakartoja mano mintis apie .

Pažvelkime atidžiau į ženklus, kad matematikai mus apgaudinėja. Pačioje argumento pradžioje matematikai sako, kad sekos suma PRIKLAUSO nuo to, ar ji turi lyginį elementų skaičių, ar ne. Tai OBJEKTYVIAI NUSTATYTAS FAKTAS. Kas bus toliau?

Tada matematikai seką atima iš vienybės. Prie ko tai veda? Dėl to keičiasi sekos elementų skaičius – lyginis skaičius pakeičiamas nelyginiu, nelyginis – į lyginį. Juk į seką įtraukėme vieną elementą, lygų vienam. Nepaisant viso išorinio panašumo, seka prieš transformaciją nėra lygi sekai po transformacijos. Net jei kalbame apie begalinę seką, turime atsiminti, kad begalinė seka su nelyginiu elementų skaičiumi nėra lygi begalinei sekai su lyginiu elementų skaičiumi.

Sutapatindami dvi sekas su skirtingu elementų skaičiumi, matematikai teigia, kad sekos suma NEPRIKLAUSO nuo elementų skaičiaus sekoje, o tai prieštarauja OBJEKTYVIAI NUSTATYTAM FAKTUI. Tolesni samprotavimai apie begalinės sekos sumą yra klaidingi, nes jie grindžiami klaidinga lygybe.

Jei matote, kad matematikai, vykdydami įrodymus, deda skliaustus, pertvarko matematinės išraiškos elementus, ką nors prideda ar pašalina, būkite labai atsargūs, greičiausiai jie bando jus apgauti. Kaip ir kortų magai, matematikai naudoja įvairias išraiškos manipuliacijas, kad atitrauktų jūsų dėmesį, kad galiausiai gautų klaidingą rezultatą. Jei negalite pakartoti kortų triuko, nežinodami apgaulės paslapties, tai matematikoje viskas yra daug paprasčiau: apie apgaulę net neįtariate nieko, bet matematine išraiška pakartodami visas manipuliacijas galite įtikinti kitus gautas rezultatas, kaip ir tada, kai jie jus įtikino.

Klausimas iš auditorijos: Ar begalybė (kaip elementų skaičius sekoje S) lyginė ar nelyginė? Kaip galite pakeisti to, kas neturi pariteto?

Begalybė matematikams skirta kaip Dangaus karalystė kunigams - niekas ten nebuvo, bet visi tiksliai žino, kaip ten viskas veikia))) Sutinku, po mirties būsite visiškai abejingi, ar gyvenote lyginį ar nelyginį skaičių. dienų, bet... Į jūsų gyvenimo pradžią įtraukus vos vieną dieną, gausime visiškai kitą žmogų: jo pavardė, vardas ir patronimas visiškai sutampa, tik gimimo data visiškai kita - jis gimė vieną dieną prieš tave.

Dabar pereikime prie esmės))) Tarkime, kad baigtinė seka, turinti paritetą, praranda šią paritetą eidama į begalybę. Tada bet kuris baigtinis begalinės sekos segmentas turi prarasti paritetą. Mes šito nematome. Tai, kad negalime tiksliai pasakyti, ar begalinė seka turi lyginį ar nelyginį elementų skaičių, nereiškia, kad paritetas išnyko. Lygumas, jei jis egzistuoja, negali be pėdsako išnykti į begalybę, kaip šašerio rankovėje. Šiuo atveju yra labai gera analogija.

Ar kada nors klausėte laikrodyje sėdinčios gegutės, kuria kryptimi sukasi laikrodžio rodyklė? Jai rodyklė sukasi priešinga kryptimi, nei mes vadiname „laikrodžio rodyklės kryptimi“. Kad ir kaip paradoksaliai tai skambėtų, sukimosi kryptis priklauso tik nuo to, iš kurios pusės stebime sukimąsi. Taigi, mes turime vieną ratą, kuris sukasi. Negalime pasakyti, kuria kryptimi vyksta sukimasis, nes galime jį stebėti ir iš vienos sukimosi plokštumos pusės, ir iš kitos. Galime tik paliudyti, kad yra rotacija. Visiška analogija su begalinės sekos paritetu S.

Dabar pridėkime antrą besisukantį ratą, kurio sukimosi plokštuma lygiagreti pirmojo besisukančio rato sukimosi plokštumai. Vis dar negalime tiksliai pasakyti, kuria kryptimi šie ratai sukasi, tačiau galime visiškai pasakyti, ar abu ratai sukasi ta pačia kryptimi, ar priešinga kryptimi. Palyginus dvi begalines sekas S Ir 1-S, matematikos pagalba parodžiau, kad šios sekos turi skirtingus paritetus ir lygybės ženklą dėti tarp jų yra klaida. Asmeniškai aš pasitikiu matematika, nepasitikiu matematikais))) Beje, norint visiškai suprasti begalinių sekų transformacijų geometriją, būtina pristatyti sąvoką "vienalaikiškumas". Tai reikės nupiešti.

2019 m. rugpjūčio 7 d., trečiadienis

Baigdami pokalbį, turime apsvarstyti begalinį rinkinį. Esmė ta, kad „begalybės“ sąvoka veikia matematikus taip, kaip boa susiaurėjimas veikia triušį. Drebantis begalybės siaubas atima iš matematikų sveiką protą. Štai pavyzdys:

Pradinis šaltinis yra. Alfa reiškia realų skaičių. Lygybės ženklas aukščiau pateiktose išraiškose rodo, kad jei prie begalybės pridėsite skaičių arba begalybę, niekas nepasikeis, rezultatas bus ta pati begalybė. Jei kaip pavyzdį paimsime begalinę natūraliųjų skaičių aibę, tada nagrinėjamus pavyzdžius galima pavaizduoti taip:

Norėdami aiškiai įrodyti, kad jie buvo teisūs, matematikai sugalvojo daugybę skirtingų metodų. Asmeniškai aš į visus šiuos metodus žiūriu kaip į šamanus, šokančius su tamburinais. Iš esmės jie visi susiveda į tai, kad kai kurie kambariai yra neapgyvendinti ir įsikelia nauji svečiai, arba kai kurie lankytojai yra išmesti į koridorių, kad būtų vietos svečiams (labai žmogiškai). Savo požiūrį į tokius sprendimus pateikiau fantastinės istorijos apie blondinę forma. Kuo remiasi mano samprotavimai? Begalinio lankytojų skaičiaus perkėlimas užima be galo daug laiko. Kai atlaisvinsime pirmą kambarį svečiui, vienas iš lankytojų visada eis koridoriumi iš savo kambario į kitą iki laiko pabaigos. Žinoma, laiko faktorių galima kvailai ignoruoti, bet tai bus kategorija „neįstatymas nėra parašytas kvailiams“. Viskas priklauso nuo to, ką mes darome: prideriname tikrovę prie matematinių teorijų ar atvirkščiai.

Kas yra „begalinis viešbutis“? Begalinis viešbutis yra viešbutis, kuriame visada yra bet koks tuščių lovų skaičius, nepaisant to, kiek kambarių yra užimta. Jei begaliniame „lankytojų“ koridoriuje visi kambariai užimti, atsiranda kitas begalinis koridorius su „svečių“ kambariais. Tokių koridorių bus be galo daug. Be to, „begalinis viešbutis“ turi begalinį aukštų skaičių begaliniame skaičiuje pastatų begaliniame skaičiuje planetų begaliniame skaičiuje visatų, sukurtų begalinio skaičiaus dievų. Matematikai nesugeba atsiriboti nuo banalių kasdienių problemų: visada yra tik vienas Dievas-Allah-Buda, yra tik vienas viešbutis, yra tik vienas koridorius. Taigi matematikai bando žongliruoti viešbučių kambarių serijos numeriais, įtikindami mus, kad įmanoma „įsigyti neįmanomą“.

Savo samprotavimų logiką jums parodysiu naudodamas begalinės natūraliųjų skaičių aibės pavyzdį. Pirmiausia reikia atsakyti į labai paprastą klausimą: kiek yra natūraliųjų skaičių aibių – vienas ar daug? Nėra teisingo atsakymo į šį klausimą, nes mes patys sugalvojome skaičius gamtoje. Taip, Gamta puikiai moka skaičiuoti, tačiau tam ji naudoja kitus mums nepažįstamus matematinius įrankius. Kitą kartą pasakysiu, ką gamta galvoja. Kadangi mes išradome skaičius, mes patys nuspręsime, kiek yra natūraliųjų skaičių aibių. Apsvarstykime abu variantus, kaip ir dera tikriems mokslininkams.

Variantas vienas. „Duokite mums“ vieną natūraliųjų skaičių rinkinį, kuris ramiai guli lentynoje. Šį rinkinį paimame iš lentynos. Tai štai, kitų natūraliųjų skaičių lentynoje neliko ir nėra kur paimti. Negalime jo pridėti prie šio rinkinio, nes jį jau turime. O jeigu tu tikrai to nori? Jokių problemų. Galime paimti vieną iš jau paimto rinkinio ir grąžinti į lentyną. Po to galime paimti vieną iš lentynos ir pridėti prie to, kas liko. Dėl to vėl gausime begalinę natūraliųjų skaičių aibę. Visas mūsų manipuliacijas galite užrašyti taip:

Veiksmus užrašiau algebriniu ir aibių teorijos žymėjimu, detaliai išvardijau aibės elementus. Indeksas rodo, kad turime vieną ir vienintelį natūraliųjų skaičių rinkinį. Pasirodo, natūraliųjų skaičių aibė išliks nepakitusi tik iš jos atėmus vieną ir pridėjus tą patį vienetą.

Antras variantas. Savo lentynoje turime daugybę skirtingų begalinių natūraliųjų skaičių rinkinių. Pabrėžiu – SKIRTINGI, nepaisant to, kad jie praktiškai nesiskiria. Paimkime vieną iš šių rinkinių. Tada paimame vieną iš kitos natūraliųjų skaičių aibės ir pridedame prie jau paimtos aibės. Galime pridėti net dvi natūraliųjų skaičių aibes. Štai ką mes gauname:

Indeksai „vienas“ ir „du“ rodo, kad šie elementai priklausė skirtingiems rinkiniams. Taip, jei pridėsite vieną prie begalinės aibės, rezultatas taip pat bus begalinis aibė, tačiau jis nebus toks pat kaip pradinis rinkinys. Jei prie vienos begalinės aibės pridėsite kitą begalinę aibę, bus sukurta nauja begalinė aibė, susidedanti iš pirmųjų dviejų aibių elementų.

Natūraliųjų skaičių aibė naudojama skaičiuoti taip pat, kaip liniuote matuoti. Dabar įsivaizduokite, kad prie liniuotės pridėjote vieną centimetrą. Tai bus kita eilutė, neprilygsta pradinei.

Galite priimti arba nepriimti mano samprotavimų – tai jūsų pačių reikalas. Bet jei kada nors susidursite su matematinėmis problemomis, pagalvokite, ar einate klaidingų samprotavimų keliu, kurį žengia matematikų kartos. Mat matematikos studijos pirmiausia mumyse formuoja stabilų mąstymo stereotipą, o tik tada papildo mūsų protinius gebėjimus (arba, atvirkščiai, atima laisvą mąstymą).

pozg.ru

2019 m. rugpjūčio 4 d., sekmadienis

Baigiau rašyti straipsnį apie tai ir pamačiau šį nuostabų tekstą Vikipedijoje:

Skaitome: „... turtingas Babilono matematikos teorinis pagrindas neturėjo holistinio pobūdžio ir buvo sumažintas iki skirtingų metodų rinkinio, neturinčio bendros sistemos ir įrodymų bazės“.

Oho! Kokie mes protingi ir kaip gerai matome kitų trūkumus. Ar mums sunku tame pačiame kontekste pažvelgti į šiuolaikinę matematiką? Šiek tiek perfrazuodamas aukščiau pateiktą tekstą, aš asmeniškai gavau štai ką:

Turtingas šiuolaikinės matematikos teorinis pagrindas nėra holistinio pobūdžio ir yra sumažintas iki skirtingų skyrių, neturinčių bendros sistemos ir įrodymų bazės, rinkinio.

Toli nepatvirtinsiu savo žodžių – jo kalba ir sutartiniai principai skiriasi nuo daugelio kitų matematikos šakų kalbos ir susitarimų. Tie patys pavadinimai skirtingose ​​matematikos šakose gali turėti skirtingas reikšmes. Aiškiausioms šiuolaikinės matematikos klaidoms noriu skirti visą eilę publikacijų. Iki pasimatymo.

Šeštadienis, 2019 m. rugpjūčio 3 d

Kaip aibę padalyti į poaibius? Norėdami tai padaryti, turite įvesti naują matavimo vienetą, kuris yra kai kuriuose pasirinkto rinkinio elementuose. Pažiūrėkime į pavyzdį.

Tegul turime daug A susidedantis iš keturių žmonių. Šis rinkinys sudarytas remiantis „žmonėmis“ Pažymėkime raide A, indeksas su numeriu nurodys kiekvieno šio rinkinio asmens serijos numerį. Įveskime naują matavimo vienetą „lytis“ ir pažymėkime jį raide b. Kadangi seksualinės savybės būdingos visiems žmonėms, mes padauginame kiekvieną rinkinio elementą A remiantis lytimi b. Atkreipkite dėmesį, kad mūsų „žmonių“ rinkinys dabar tapo „žmonių, turinčių lyčių savybių“, rinkiniu. Po to galime suskirstyti seksualines savybes į vyriškas bm ir moterų bw seksualinės savybės. Dabar galime pritaikyti matematinį filtrą: pasirenkame vieną iš šių seksualinių savybių, nesvarbu, kuri – vyriška ar moteriška. Jei žmogus turi, tai dauginame iš vieneto, jei tokio ženklo nėra, dauginame iš nulio. Ir tada mes naudojame įprastą mokyklinę matematiką. Pažiūrėk, kas atsitiko.

Po dauginimo, mažinimo ir pertvarkymo gavome du pogrupius: vyrų pogrupį Bm ir moterų pogrupis Bw. Matematikai samprotauja maždaug taip pat, kai aibių teoriją taiko praktiškai. Tačiau jie mums nepasako detalių, o pateikia galutinį rezultatą – „daug žmonių susideda iš vyrų ir moterų pogrupio“. Natūralu, kad jums gali kilti klausimas: kaip teisingai matematika buvo pritaikyta aukščiau aprašytose transformacijose? Drįstu patikinti, kad iš esmės viskas buvo padaryta teisingai, pakanka žinoti aritmetikos, Būlio algebros ir kitų matematikos šakų matematinį pagrindą. kas tai? Kažkada apie tai papasakosiu.

Kalbant apie superrinkinius, galite sujungti du rinkinius į vieną superrinkinį, pasirinkdami šių dviejų rinkinių elementuose esantį matavimo vienetą.

Kaip matote, matavimo vienetai ir įprasta matematika aibių teoriją paverčia praeities reliktu. Požymis, kad su aibių teorija ne viskas gerai, yra tai, kad matematikai sugalvojo savo kalbą ir žymėjimą aibių teorijai. Matematikai elgėsi kaip kadaise šamanai. Tik šamanai žino, kaip „teisingai“ pritaikyti savo „žinias“. Jie mus moko šių „žinių“.

Baigdamas noriu parodyti, kaip matematikai manipuliuoja
Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir atsilieka nuo jo tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti šį atstumą, vėžlys nušliaups šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėga šimtą žingsnių, vėžlys šliaužia dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis iki begalybės, Achilas niekada nepasivys vėžlio.

Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Hilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip laikė Zenono aporiją. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tęsiasi iki šiol, mokslo bendruomenė dar nesugebėjo prieiti prie bendros nuomonės apie paradoksų esmę... į klausimo tyrimą įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai; ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia, "Zeno aporia". Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, iš ko susideda apgaulė.

Matematiniu požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo kiekybės prie . Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne nuolatinį. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams naudoti arba dar nėra sukurtas, arba nebuvo pritaikytas Zenono aporijai. Taikydami savo įprastą logiką, mes patenkame į spąstus. Mes, dėl mąstymo inercijos, abipusei vertei taikome pastovius laiko vienetus. Iš fizinės pusės tai atrodo kaip laikas sulėtėjęs, kol visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustos, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.

Jei apverstume savo įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekviena paskesnė jo kelio atkarpa yra dešimt kartų trumpesnė nei ankstesnė. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje pritaikytume „begalybės“ sąvoką, būtų teisinga sakyti „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.

Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių vienetų. Zenono kalba tai atrodo taip:

Per tą laiką, kurio prireiks Achilui nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nuropos šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.

Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Tačiau tai nėra visiškas problemos sprendimas. Einšteino teiginys apie šviesos greičio nenugalimą yra labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime studijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.

Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skraidančią strėlę:

Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.

Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – pakanka paaiškinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė ilsisi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia atkreipti dėmesį į dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti, ar automobilis juda, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau negalite nustatyti atstumo nuo jų. Norėdami nustatyti atstumą iki automobilio, jums reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingų erdvės taškų vienu metu, tačiau iš jų negalite nustatyti judėjimo fakto (žinoma, vis tiek reikia papildomų duomenų skaičiavimams, trigonometrija jums padės ). Noriu atkreipti ypatingą dėmesį į tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimo galimybes.
Parodysiu procesą pavyzdžiu. Mes pasirenkame „raudoną kietą spuogelyje“ - tai mūsų „visa“. Tuo pačiu matome, kad šie dalykai yra su lanku, o yra be lanko. Po to išrenkame dalį „visumos“ ir sudarome rinkinį „su lanku“. Taip šamanai gauna maistą, susiedami savo aibės teoriją su realybe.

Dabar padarykime nedidelį triuką. Paimkime "kietą su spuogeliu su lanku" ir derinkime šiuos "visumus" pagal spalvą, pasirinkdami raudonus elementus. Gavome daug „raudonos“. Dabar paskutinis klausimas: ar gauti rinkiniai „su lanku“ ir „raudona“ yra tas pats rinkinys, ar du skirtingi rinkiniai? Atsakymą žino tik šamanai. Tiksliau, jie patys nieko nežino, bet kaip sako, taip ir bus.

Šis paprastas pavyzdys rodo, kad aibių teorija yra visiškai nenaudinga, kai kalbama apie tikrovę. Kokia paslaptis? Suformavome rinkinį „raudonos kietos su spuogeliu ir lankeliu“. Formavimas vyko pagal keturis skirtingus matavimo vienetus: spalvą (raudona), stiprumą (vientisas), šiurkštumą (spiegtumą), puošybą (su lanku). Tik matavimo vienetų rinkinys leidžia adekvačiai apibūdinti realius objektus matematikos kalba. Štai kaip atrodo.

Raidė „a“ su skirtingais indeksais žymi skirtingus matavimo vienetus. Matavimo vienetai, pagal kuriuos preliminariajame etape išskiriama „visuma“, yra paryškinti skliausteliuose. Matavimo vienetas, pagal kurį formuojamas rinkinys, išimamas iš skliaustų. Paskutinėje eilutėje rodomas galutinis rezultatas – rinkinio elementas. Kaip matote, jei aibei sudaryti naudojame matavimo vienetus, tai rezultatas nepriklauso nuo mūsų veiksmų eilės. Ir tai yra matematika, o ne šamanų šokiai su tamburinais. Šamanai gali „intuityviai“ pasiekti tą patį rezultatą, teigdami, kad tai „akivaizdu“, nes matavimo vienetai nėra jų „mokslinio“ arsenalo dalis.

Naudojant matavimo vienetus, labai paprasta padalyti vieną rinkinį arba sujungti kelis rinkinius į vieną superkomplektą. Pažvelkime atidžiau į šio proceso algebrą.