Matematinė analizė, diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas

KONTROLĖS UŽDAVINIŲ GALIMYBĖS

nuolatinių studijų studentams

Matematikos fakultetas

5 dalis

SANKT PETERBURGAS

Paskelbta Rusijos valstybinio pedagoginio universiteto Matematinės analizės ir RIS katedros sprendimu. A.I. Herzenas

Metodinis vadovas skirtas Rusijos valstybinio pedagoginio universiteto Matematikos fakulteto 1-3 metų dieninių studijų studentams. A.I. Herzenas.

Vadovaujantis matematinės analizės programa, vadove pateikiamos 28 skirtingos individualių namų testų versijos temomis „Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas“, „Keli integralai ir jų taikymas“. Prieš atliekant testo variantus, pateikiama šiek tiek teorinės informacijos ir analizuojami pavyzdžiai, prie kurių sprendimo pridedami metodiniai nurodymai jiems.

Vadovo medžiaga gali būti naudojama praktiniams užsiėmimams, testams ir testams aukštųjų mokyklų gamtos mokslų katedrose.

Vyresnysis dėstytojas O.S. Korsakova,

fizinių ir matematikos mokslų kandidatas, asistentas K.G. Meževičius

Recenzentas: skyriaus vedėjas matematika. vardo Rusijos valstybinio pedagoginio universiteto analizė. A.I. Herzenas,

Bokhan K.A., Egorova I.A., Laschenov K.V. Matematinės analizės kursas. M.: Švietimas, 1972, t. 1,2.

Vilenkinas N.Ya. ir kt. užduočių knyga matematinės analizės kursui. - M.: Švietimas, 1971. 1,2 dalys.

Kuznecovas A.A. Užduočių rinkinys aukštoji matematika ., 1983.

M.:

absolventų mokykla

Kudryavtsev L.D.

Matematinės analizės kursas. M.: Aukštoji mokykla, 1988. T. 1,2.

Kudrjavcevas L.D., Kutasovas A.D., Čechlovas V.I., Šabuninas M.I.

Matematinės analizės uždavinių rinkinys. Kelių kintamųjų funkcijos.

Sankt Peterburgas, 1994 m.

Povolotskis A.I., Likhtarnikovas L.M. Metrinės erdvės.
Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas. Vadovėlis / Leningrado valstybinis pedagoginis institutas pavadintas. A.I. Herzen.-L., 1985 m.
. Tada jie tai sako filmavimo aikštelėje D pasiryžusi kelių kintamųjų skaitmeninė funkcija
.

Daugelis D paskambino apibrėžimo sritis funkcijos, taškas
-argumentas funkcijas.

Toliau nagrinėsime dviejų kintamųjų funkciją
. Atminkite, kad viskas, kas pasakyta toliau, gali būti išplėsta į funkciją n kintamieji, kur n>2 .

Visų taškų rinkinys
, kuriai skirta funkcija
, apibrėžtas analitiškai, turi prasmę, vadinamas natūraliu apibrėžimo sritisšią funkciją.

Pavyzdžiui, funkcijos apimtis
yra atviras 2 spindulio apskritimas, kurio centras yra ištakoje, kurią suteikia nelygybė
.

Tvarkaraštis funkcijas
, Kur
, vadinamas rinkiniu. Jis apibrėžia tam tikrą paviršių erdvėje
.

Pavyzdžiui, funkcijos grafikas
,
, yra paraboloidas.

1 pavyzdys. Raskime funkcijos apibrėžimo sritį
.

Funkcija apibrėžtos tuose plokštumos taškuose
, Kur
.

Ši nelygybė prilygsta dviejų sistemų deriniui:

Ir
.

Pirmąją nelygybių sistemą tenkina visų parabolėje esančių taškų koordinatės
arba virš jo ir guli pusiau plokštumoje
. Ši aibė nuspalvinta 1 paveiksle. Antrąją sistemą tenkina taškų koordinatės, esančios aibėje, nuspalvintoje fig. 2. Vadinasi, šios funkcijos apibrėžimo sritis yra rastų aibių sąjunga, t.y. rinkinys, kuris paryškintas išbridimu pav. 3.

Ryžiai. 1 pav. 2 pav. 3

Lygio linija funkcijas
, vadinamas taškų rinkiniu
, tenkinantis lygtį
.

Lygiai nustatomi panašiai (arba lygus paviršius) funkcijas n kintamieji, jei n>2.

2 pavyzdys. Raskime funkcijos lygio eilutes
.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcija apibrėžta visoje plokštumoje
.

Norint sukurti lygių linijas, būtina bet kokia
rasti plokštumos taškų aibę, koordinates x, y kurios tenkina lygtį
. Todėl, jei
, Tai
, o jei
, Tai
.

Tai akivaizdu Su negali būti neigiamas (šiuo atveju jie taip sako Su- funkcijos lygis c<0 yra tuščias rinkinys).

Raskime lygio liniją ties c=0:

.

Panašiai lygių linijos randamos skirtingoms с>0.

Fig. 4 parodytos lygio linijos c=0, c=1 Ir c=2.

FUNKCIJOS RIBA

Nustatyti (atviras spindulio ratas
centruojamas taške
) vadinamas -aplinka taškų
. Per
žymėsime pradurtą taško apylinkę
.

Taškas
paskambino ribinis taškas rinkiniai
, jei sankryža yra bet kuri - taško kaimynystė
ir daug D yra bent vienas taškas, išskyrus
, t.y. Už

.

Atminkite, kad ribinis taškas gali nepriklausyti rinkiniui D.

Tegul funkcija
apibrėžta rinkinyje D ir laikotarpis
- ribinis taškas D.

Skaičius A paskambino funkcijos riba
taške
, jei bet kuriai kaimynystei
taškų A (
) egzistuoja-kaimynystė
taškų
toks, kad bet kokiam taškui

funkcijos reikšmė
patenka į apylinkes
.

Taigi,

:



)

:

).

3 pavyzdys.Įrodykime tai
.

Atkreipkite dėmesį, kad ši funkcija apibrėžta visoje plokštumoje, išskyrus tašką (0,0 ) .

Nes
, tada bet kokiam
egzistuoja
(būtent
) toks, kad visiems taškams
, atitinkančią sąlygą
, nelygybė yra tiesa
.

Funkcija
paskambino ištisinis taške
, Jei
.

Funkcija vadinama nenutrūkstamas filmavimo aikštelėjeD, jei jis yra tęstinis kiekviename aibės taške D.

4 pavyzdys. 1) Funkcija
yra tęstinis taške (0,0), nes
(žr. 3 pavyzdį).

2) Funkcija
taške (0,0) yra pertrauka, nes

.

DALINIAI IŠVEDINIAI. DIFERENCINĖ FUNKCIJA

Tegul funkcija
apibrėžta kokioje nors taško kaimynystėje
. Jei yra baigtinės ribos
Ir
, tada jie vadinami daliniai dariniai funkcijas
taške
pagal kintamuosius x Ir y yra atitinkamai paskirti
Ir
(arba:
Ir
).

Dalinei išvestinei apskaičiuoti (arba ) mėgautis žinomos formulės ir taisyklės, kaip atskirti vieno kintamojo funkciją, atsižvelgiant į kitą kintamąjį y (arba x) pastovią vertę.

5 pavyzdys. Raskime funkcijos dalines išvestines
.

Jei skaičiuosime y= konst, Tai - galios funkcija iš x, Štai kodėl
.

Jeigu x= konst, Tai - eksponentinė funkcija iš y, ir todėl
.

Funkcija
paskambino taške skiriasi
, jei yra skaičiai A Ir IN toks, kad prieaugis

funkcijas f taške
atstovaujama formoje

Kur
adresu
.

Pagrindinė viso prieaugio dalis
, tiesinis atžvilgiu
Ir
, t.y.
, paskambino pilnas diferencialas funkcijas
taške
ir yra paskirtas
.

Taigi,

.

Pagal apibrėžimą nepriklausomo kintamojo diferencialas yra jo prieaugis, t.y.
,
.

Funkcija vadinama filmavimo aikštelėje skiriasiD, jei jis yra diferencijuojamas kiekviename aibės taške D.

1 teorema. Jei funkcija
taške skiriasi
Ir

yra jos diferencialas šiame taške, tada šiame taške yra funkcijos dalinės išvestinės f, ir, be to,

=A,
=IN.

1 teorema leidžia apskaičiuoti funkcijos diferencialą f pagal formulę

+
.

Pagal 1 teoremą, jei funkcija taške yra diferencijuojama, tai tame taške yra funkcijos dalinės išvestinės. Atvirkščiai netiesa. Kad funkcija būtų diferencijuota, reikia daugiau nei stiprios sąlygos nei dalinių išvestinių buvimas taške.

2 teorema. Jei dalinės išvestinės
Ir
funkcijas f egzistuoja tam tikroje taško kaimynystėje
ir yra nuolatiniai
, tada funkcija f taške skiriasi
.

6 pavyzdys. Apskaičiuokime funkcijos dalines išvestines ir diferencialą
taške (1, 1/5).

,

,

,
;

DALINIAI KOMPLEKSINĖS FUNKCIJOS IŠVEDINIAI

3 teorema. Tegul funkcijos
Ir
apibrėžta kokioje nors taško kaimynystėje
, ir funkcija
apibrėžta kokioje nors taško kaimynystėje.

Jei funkcija f taške skiriasi
, ir taške
yra dariniai
, tada taške
yra darinys sudėtinga funkcija
, ir

,
.

7 pavyzdys. Raskime kompleksinės funkcijos dalines išvestines
, kur,.

8 pavyzdys. Raskime kompleksinės funkcijos išvestinę
, Kur
,
. Šiame pavyzdyje funkcijos x Ir y priklauso nuo vieno kintamojo t, taigi tai sudėtinga funkcija
- vieno kintamojo funkcija.

9 pavyzdys. Leiskite f(u) - savavališka diferencijuojama funkcija. Įrodykime, kad funkcija
tenkina lygtį
.
.

Padėkime

Vadinasi,

DALINIAI IŠVEDINIAI IR DIFERENCIALAI

Tegul funkcija
DIDESNĖS UŽSAKYMAI
netoli taško .

turi dalinę išvestinę Dalinė funkcijos išvestinė x pagal kintamąjį paskambino dalinė išvestinė antra tvarka x pagal kintamąjį ir yra paskirtas
.

arba Dalinė funkcijos išvestinė y Dalinė išvestinė paskambino dalinė išvestinė paskambino x Ir y pagal kintamuosius ir yra paskirtas
.

arba Ir (
Ir
Antros eilės dalinės išvestinės apibrėžiamos panašiai .

) kaip funkcijos dalinės išvestinės Ir Dariniai yra vadinami

mišrūs daliniai dariniai. 4 teorema.
Tegul funkcija ,,
,
apibrėžiamas kartu su dalinėmis jo išvestinėmis

Ir
kokioje nors taško kaimynystėje

=

.

šiuo metu nuolatinis. Tada mišrių darinių reikšmės šiuo metu yra lygios, t.y.
Antros eilės darinių daliniai išvestiniai dariniai vadinami trečios eilės daliniais išvestiniais:

ir tt Dalinės išvestinės eilės dalinė išvestinė (bet kurio nepriklausomo kintamojo atžvilgiu).-1 m Dalinės išvestinės eilės dalinė išvestinė (bet kurio nepriklausomo kintamojo atžvilgiu)..

vadinamas daline tvarkos išvestine
4 teorema galioja ir mišrioms trečios, ketvirtos ir aukštesnės eilės išvestinėms. Pavyzdžiui, jei funkcija
apibrėžiamas kartu su jo dalinėmis išvestinėmis iki 3 eilės imtinai tam tikroje taško kaimynystėje
,
Ir
, ir mišrūs dariniai

=

=

.

šiuo tašku yra tęstiniai, tada mišrių išvestinių vertės šiame taške yra lygios: Antros eilės diferencialas

dviejų kintamųjų funkcija vadinama pirmos eilės diferencialo diferencialu.
Jei funkcija
du kartus nepertraukiamai diferencijuojamas tam tikroje taško kaimynystėje f (t. y. yra ištisinės dalinės funkcijos išvestinės
iki antros eilės imtinai punkto apylinkėse

.

), Tada 10 pavyzdys.
, Kur
,
.

,
.

=

=
,

=

=
,

Raskime dvigubai tolydžio diferencijuojamos kompleksinės funkcijos antros eilės išvestines

.

panašiai skaičiuojame

KRYPTINĖ IŠVEDINĖ. GRADIENTAS Leiskite l
- vieneto vektorius in
.

su koordinatėmis
Funkcijos išvestinė kryptimi Leiskite vektorius
taške

skambino .

.

Pažymima kryptinė išvestinė Gradientas f funkcijas
taške

yra vektorius, kurio koordinatės yra funkcijos dalinės išvestinės taške: f
= (
,
) =
grad +
i.

j Leiskite Nesunku parodyti, kad kryptinė išvestinė lygus skaliarinis produktas Leiskite:

=

+

=
,

gradiento vektorius ir vektorius yra vektorius, kurio koordinatės yra funkcijos dalinės išvestinės taške: f
Ir Leiskite.

čia  kampas tarp vektorių yra vektorius, kurio koordinatės yra funkcijos dalinės išvestinės taške: f
turi didžiausią reikšmę tarp įvairių krypčių išvestinių ir yra lygus gradiento vektoriaus moduliui.

11 pavyzdys. Raskime funkcijos išvestinę
taške M(1, 0) vektoriaus kryptimi MN, Kur N (5, 3) .

Vektorius MN turi koordinates (4, 3),
. Tai reiškia vieneto vektorių Leiskite turi koordinates (4/5, 3/5). Apskaičiuokime dalines išvestines taške M:
,
. Tada
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

12 pavyzdys. Raskime funkcijos išvestinę
taške (2,3) gradiento vektoriaus kryptimi šiame taške.

Apskaičiuokime dalines išvestines:

,
.

Išvestinė gradiento vektoriaus kryptimi taške yra lygi absoliučiai vektoriaus vertei yra vektorius, kurio koordinatės yra funkcijos dalinės išvestinės taške: f. Vadinasi,

LIETIMO PLOKŠTUMA IR NORMALI PAVIRŠIAUS

Skirtingiems taške
funkcijas
teisingas toks ryšys:

Kur
,
(tai išplaukia iš pirmosios eilės diferencialo apibrėžimo). Šansai A Ir IN yra aiškiai apibrėžti:
=A,
=IN.

Lygtis

yra plokštumos, einančios per tašką, lygtis
. Šis lėktuvas vadinamas liestinės plokštumaį funkcijos grafiką
taške
.

Taigi, funkcijos grafiko liestinės plokštuma
taške yra tokia plokštuma, kad skirtumas tarp jos taikymo ir funkcijos reikšmės
šiuo metu yra kiekis, kuris yra be galo mažas, palyginti su  adresu   0 .

Funkcijos grafiko normaliosios lygtis
taške
atrodo kaip

.

Jei lygaus paviršiaus lygtis pateikta netiesiogiai
, tada liestinės plokštumos taške lygtis
atrodo kaip

ir normali lygtis šiuo metu yra:

.

13 pavyzdys. Parašykime paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtį
taške (-2, 1, 4).

,
. Tangentinės plokštumos lygtis yra: arba
.

Normalioji lygtis: .

KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS EKSTREMA

Taškas
vadinamas tašku vietinis maksimumas (vietinis minimumas) funkcijas
,
, jei yra taško kaimynystė
, visų taškų, kurių nelygybė

(
).

Vietiniai didžiausi taškai ir vietinis minimumas funkcijos vadinamos vietiniai ekstremumo taškai.

Pavyzdžiui, taškas (0,0) yra mažiausias funkcijos taškas
.

5 teorema (būtina sąlyga ekstremumui). Jei funkcija
turi taške
vietinis ekstremumas ir šioje vietoje yra dalinės išvestinės f, Tai

=0 ir
=0.

Taškas
paskambino stacionarus taškas funkcijas f, Jei
=0 ir
=0.

6 teorema (pakankama sąlyga ekstremumui). Tegul funkcija
du kartus nepertraukiamai diferencijuojamas kurioje nors stacionaraus taško kaimynystėje
.

Pažymime  =



- (

) 2 .

Tada > 1) jei 
0, tada taške f funkcija

turi vietinį ekstremumą: maksimalus at

< 0;

> 0 ir mažiausia ties < 1) jei 
0, tada taške f 2) jei 

neturi ekstremumo; = 1) jei 
0, tada taške f 3) jei 

gali turėti arba neturėti vietinį ekstremumą (tokiu atveju reikia atlikti papildomus tyrimus). 14 pavyzdys.

Nagrinėjame ekstremumo funkciją u Atkreipkite dėmesį, kad funkcija
,
. Dalines išvestines prilyginę nuliui ir išsprendę gautą sistemą, randame stacionariuosius funkcijos taškus: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
, todėl taškuose (1, 2) funkcija turi minimumą, u(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, todėl taške (-1, -2) funkcija turi maksimumą, u(-1, -2) = 31.

DIDŽIAUSIOS IR MAŽIAUSIOS FUNKCIJOS VERTĖS

Tegul funkcija
tęstinis ribotoje uždaroje aibėje D.

Prisiminkite, kad daugelis
paskambino ribotas, jei tokia kaimynystė yra U (0,0), kuris
U (0,0); daug
paskambino uždaryta, jei jame yra visi ribiniai taškai.

Pagal Weierstrasso teoremą tokių taškų yra
Ir
, Ką
yra didžiausia aibėje esančios funkcijos reikšmė D, A
- mažiausia jo vertė rinkinyje D.

Funkcija, kuri yra diferencijuojama ribotame domene ir tęsiasi jos ribose, pasiekia didžiausias ir mažiausias vertes arba stacionarūs taškai, arba ribiniuose taškuose D.

15 pavyzdys. Raskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes rinkinyje D, apribotas tiesiomis linijomis
,
,
.

y(2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) – nejudantis

funkciniai taškai u (žr. 14 pavyzdį), bet (-2,-1),

(-1,-2) nepriklauso D.

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

D Ištirkime funkcijos elgesį uįjungta

x nustatyti ribą D.

Ryžiai. 5
. Tai yra vieno kintamojo funkcija,

kuri priima mažiausia vertė vektorius
, ir didžiausia taško reikšmė
:u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2)
,
. Šiame segmente
. Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią atkarpos funkcijos reikšmes, apskaičiuojame jos reikšmes stacionariuose taškuose ir atkarpos galuose:
;
, Bet
, todėl skaičiuojame u (0,0) = 3, u (0,
)= =
, u (0,4) = 7. Didžiausia reikšmė yra taške (0,4), o mažiausia – taške (0,
);

3)
,
. Čia

.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes stacionariuose taškuose ir atkarpos galuose: ;; u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0) = -45. Šioje ribos atkarpoje didžiausia funkcijos reikšmė yra taške (0,4), o mažiausia – taške (4,0).

Iš mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių, gautų 1)–3) dalyse įvairiose ribos atkarpose ir iš funkcijos reikšmių stacionariuose taškuose, parenkame didžiausią ir mažiausią. Didžiausia vertė: u (0,4) = 7, mažiausia reikšmė: u (4,0)= -45.

Studentas privalo:

žinoti:

· funkcijos ribos taške nustatymas;

funkcijos ribos taške savybės;

· formulės nuostabios ribos;

· funkcijos tęstinumo taške nustatymas,

ištisinių funkcijų savybės;

· išvestinės apibrėžimas, jos geometrinė ir fizinę reikšmę; lentelių dariniai, diferenciacijos taisyklės;

· kompleksinės funkcijos išvestinės skaičiavimo taisyklė; funkcijos diferencialo apibrėžimas, jos savybės; aukštesnio laipsnio išvestinių finansinių priemonių ir diferencialų apibrėžimas; funkcijos ekstremumo, išgaubtos funkcijos, vingio taškų, asimptočių nustatymas;

· neapibrėžtinio integralo apibrėžimas, jo savybės, lentelių integralai;

· integravimo formulės, naudojant kintamojo kaitą ir dalimis neapibrėžtam integralui;

· apibrėžtojo integralo apibrėžimas, jo savybės, pagrindinė integralo skaičiavimo formulė - Niutono-Leibnizo formulė;

· integravimo formulės, naudojant kintamojo ir dalimis kaitą apibrėžtajam integralui;

· geometrine prasme apibrėžtasis integralas, apibrėžtojo integralo taikymas.

sugebėti:

· apskaičiuoti sekų ir funkcijų ribas; atskleisti neapibrėžtumus;

· skaičiuoti sudėtingų funkcijų išvestinius, aukštesnio laipsnio išvestinius ir diferencialus;

· rasti funkcijų kraštutinumus ir vingio taškus;

· atlikti funkcijų tyrimus naudojant išvestines ir sudaryti jų grafikus.

· skaičiuoti neapibrėžtuosius ir apibrėžtinius integralus kintamųjų kaitos metodu ir dalimis;

· integruoti racionaliąsias, iracionaliąsias ir kai kurias trigonometrines funkcijas, taikyti universalus pakeitimas; plokštumos figūrų plotams rasti pritaikykite apibrėžtąjį integralą.

Funkcijos riba. Funkcijos ribos savybės. Vienpusės ribos. Dviejų funkcijų sumos, sandaugos ir koeficiento riba. Nuolatinės funkcijos, jų savybės. Elementariųjų ir kompleksinių funkcijų tęstinumas. Įspūdingos ribos.

Funkcijos išvestinės nustatymas. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestiniai. Funkcijos diferencijavimas. Funkcinis diferencialas. Sudėtingos funkcijos išvestinė. Diferencijavimo taisyklės: sumos, sandaugos ir dalinio išvestinė. Aukštesnių laipsnių išvestinės ir diferencialinės priemonės. Neaiškumų atskleidimas. Didėjančios ir mažėjančios funkcijos, sąlygos didėti ir mažėti. Ekstremalios funkcijos, būtina sąlyga ekstremumo buvimas. Ekstremalų radimas naudojant pirmąją išvestinę. Išgaubtos funkcijos. Posūkio taškai. Asimptotės. Visas tyrimas funkcijas.

Neapibrėžtas integralas, jo savybės. Pagrindinių integralų lentelė. Kintamasis pakeitimo būdas. Integravimas dalimis. Integracija racionalios funkcijos. Kai kuriuos integruojant neracionalios funkcijos. Universalus pakaitalas.

Apibrėžtinis integralas, jo savybės. Pagrindinė formulė integralinis skaičiavimas. Integravimas keičiant kintamąjį ir dalimis į apibrėžtąjį integralą. Apibrėžtinio integralo taikymai.

Naująjį skaičiavimą kaip sistemą visiškai sukūrė Niutonas, tačiau jis ilgą laiką savo atradimų nepaskelbė.

Oficiali gimimo data diferencialinis skaičiavimas gali būti laikoma gegužės mėn., kai Leibnicas paskelbė savo pirmąjį straipsnį "Naujas aukštumų ir nuosmukių metodas...". Šiame straipsnyje glausta ir neprieinama forma išdėstyti naujo metodo, vadinamo diferencialiniu skaičiavimu, principai.

Leibnicas ir jo mokiniai

Šie apibrėžimai paaiškinti geometriškai, o Fig. be galo maži prieaugiai vaizduojami kaip baigtiniai. Svarstymas grindžiamas dviem reikalavimais (aksiomomis). Pirma:

Reikalaujama, kad du dydžiai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik be galo mažu dydžiu, [supaprastinant išraiškas?] gali būti imami abejingai vienas vietoj kito.

Iš čia paaiškėja x + dx = x , toliau

dxy = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

Kiekvienos tokios linijos tęsinys vadinamas kreivės liestine. Per tašką einančios liestinės nagrinėjimas M = (x,y) , prideda L'Hopital puiki vertė dydis

pasiekus kraštutines vertes kreivės vingio taškuose, santykis dyĮ dx neteikiama ypatingos reikšmės.

Pažymėtina, kad reikia rasti ekstremalių taškų. Jei, nuolat didėjant skersmeniui x ordinatės y iš pradžių didėja, o paskui mažėja, tada skirtumas dy pirmasis teigiamas, palyginti su dx, o tada neigiamas.

Bet bet kokia nuolat didėjanti ar mažėjanti reikšmė negali virsti iš teigiamos į neigiamą nepraeidama begalybės ar nulio... Iš to išplaukia, kad didžiausios ir mažiausios reikšmės skirtumas turi būti lygus nuliui arba begalybei.

Ši formuluotė tikriausiai nėra nepriekaištinga, jei prisiminsime pirmąjį reikalavimą: tarkime, y = x 2 , tada pagal pirmąjį reikalavimą

ties nuliu dešinėje pusėje yra lygus nuliui, bet kairysis nėra. Matyt, taip ir reikėjo pasakyti dy gali būti transformuojamas pagal pirmąjį reikalavimą taip, kad didžiausiame taške dy= 0. . Pavyzdžiuose viskas savaime aišku, ir tik vingio taškų teorijoje L'Hopital rašo, kad dy lygus nuliui didžiausiame taške, dalijant iš dx .

Toliau, naudojant tik skirtumus, suformuluojamos ekstremalios sąlygos ir daug sudėtingos užduotys, daugiausia susijęs su diferencine geometrija plokštumoje. Knygos pabaigoje, skyriuje. 10, išdėstyta tai, kas dabar vadinama L'Hopital taisyklė, nors ir gana neįprasta forma. Tegul ordinatės dydis y kreivė išreiškiama trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis išnyksta kada x = a. Tada kreivės taškas su x = a turi ordinatę y , lygus santykiui skaitiklio skirtumas į vardiklio skirtumą, paimtas at x = a .

Pagal L'Hopital planą, tai, ką jis parašė, buvo pirmoji analizės dalis, o antroji turėjo būti integralinis skaičiavimas, tai yra būdas rasti ryšį tarp kintamųjų, remiantis žinomu jų skirtumų ryšiu. Pirmąjį jo pristatymą skaitė Johanas Bernoulli Matematinės paskaitos apie integralinį metodą. Čia yra daugumos priėmimo metodas elementarieji integralai ir daugelio sprendimo būdų diferencialines lygtis pirmas užsakymas.

Euleris

Pokyčiai, įvykę per kitą pusę amžiaus, atsispindi plačiame Eulerio traktate. Analizės pristatymas atidaro dviejų tomų „Įvadą“, kuriame pateikiami tyrimai apie įvairios reprezentacijos elementarios funkcijos. Sąvoka „funkcija“ pirmą kartą pasirodė tik Leibnize, tačiau Euleris jį pirmiausia įtraukė. Pradinis funkcijos sąvokos aiškinimas buvo toks, kad funkcija yra skaičiavimo išraiška (vok. Rechnungsausdrϋck) arba analitinė išraiška .

Funkcija kintamas kiekis yra analitinė išraiška, tam tikru būdu sudaryta iš šio kintamo dydžio ir skaičių arba pastovių dydžių.

Pabrėždamas, kad „pagrindinis skirtumas tarp funkcijų slypi tame, kaip jos sudaromos iš kintamųjų ir konstantų“, Euleris išvardija veiksmus, „kuriuos dydžius galima derinti ir maišyti vienas su kitu; šie veiksmai yra: sudėties ir atimties, daugybos ir padalijimo, eksponencijos didinimas ir šaknų ištraukimas; Tai taip pat turėtų apimti [algebrinių] lygčių sprendimą. Be šių operacijų, vadinamų algebrinėmis, yra daugybė kitų transcendentinių operacijų, tokių kaip eksponentinė, logaritminė ir daugybė kitų, pateiktų integraliniu skaičiavimu. Šis aiškinimas leido lengvai valdyti daugiareikšmes funkcijas ir nereikėjo paaiškinti, kurio lauko funkcija buvo svarstoma: skaičiavimo išraiška buvo apibrėžta sudėtingoms kintamųjų reikšmėms, net jei tai nebuvo būtina sprendžiant problemą. svarstymas.

Operacijos išraiškoje buvo leidžiamos tik baigtinis skaičius, o transcendentinis skverbėsi padedamas be galo didelis skaičius. Išraiškose šis skaičius naudojamas kartu su natūraliuosius skaičius. Pavyzdžiui, tokia eksponento išraiška laikoma priimtina

kuriame tik vėlesni autoriai pamatė galutinį perėjimą. Analitinėmis išraiškomis buvo atliekamos įvairios transformacijos, kurios leido Euleriui rasti elementariųjų funkcijų atvaizdus serijų, begalinių sandaugų ir pan. pavidalu. Euleris skaičiuojant išraiškas transformuoja taip pat, kaip ir algebroje, nekreipdamas dėmesio į galimybę apskaičiuoti elementų reikšmę. funkcija taške kiekvienam iš parašytų formulių.

Skirtingai nei L'Hopital, Euleris išsamiai nagrinėja transcendentines funkcijas ir ypač dvi jų labiausiai ištirtas klases – eksponentinę ir trigonometrinę. Jis atranda, kad viskas elementarios funkcijos gali būti išreikštas naudojant aritmetiniai veiksmai ir dvi operacijos – imant logaritmą ir eksponentą.

Pats įrodymas puikiai parodo be galo didelio panaudojimo techniką. Apibrėžus sinusą ir kosinusą naudojant trigonometrinis ratas, Euleris iš sudėjimo formulių išveda:

Tikėdamas ir z = nx , jis gauna

atmetus begalinius mažumus aukštesnė tvarka. Naudodamas šią ir panašią išraišką, Euleris gavo savo garsiąją formulę

Nurodant įvairios išraiškos funkcijoms, kurios dabar vadinamos elementariomis, Euleris nagrinėja nubrėžtas kreives plokštumoje laisvas judėjimas rankas. Jo nuomone, kiekvienai tokiai kreivei neįmanoma rasti vienos analitinės išraiškos (taip pat žr. Stygų ginčą). XIX amžiuje, Casorati iniciatyva, šis teiginys buvo laikomas klaidingu: pagal Weierstrasso teoremą, kiekvienas tęstinis šiuolaikinis jausmas kreivę galima apytiksliai apibūdinti daugianariais. Tiesą sakant, Euleris vargu ar buvo tuo įsitikinęs, nes jam vis tiek reikėjo perrašyti ištrauką iki ribos naudojant simbolį.

Diferencialinio skaičiavimo pristatymą Euleris pradeda baigtinių skirtumų teorija, o trečiajame skyriuje pateikiamas filosofinis paaiškinimas, kad „begalinis dydis yra tiksliai nulis“, o tai labiausiai netiko Eulerio amžininkams. Tada diferencialai sudaromi iš baigtinių skirtumų su be galo mažu prieaugiu, o iš Niutono interpoliacijos formulės susidaro Teiloro formulė. Šis metodas iš esmės grįžta į Taylor (1715) darbą. Šiuo atveju Euleris turi stabilų ryšį , kuris vis dėlto laikomas dviejų begalinių mažųjų santykiu. Paskutiniai skyriai skirti apytikriam skaičiavimui naudojant serijas.

Trijų tūrių integralo skaičiavime Euleris integralo sąvoką interpretuoja ir pristato taip:

Funkcija, kurios diferencialas = Xdx, vadinamas jo integralu ir žymimas ženklu S, dedamas priekyje.

Apskritai ši Eulerio traktato dalis skirta bendresniam dalykui modernus taškas diferencialinių lygčių integravimo problemos vaizdas. Tuo pat metu Euleris randa daugybę integralų ir diferencialinių lygčių, kurios lemia naujas funkcijas, pavyzdžiui, Γ -funkcijas, elipsines funkcijas ir tt. Tikslų jų neelementarumo įrodymą 1830-aisiais pateikė Jacobi elipsinei funkcijai. funkcijos ir Liouville (žr. elementarias funkcijas).

Lagranžas

Kitas svarbus darbas, suvaidinęs reikšmingą vaidmenį plėtojant analizės koncepciją, buvo teorija analitinės funkcijos Lagrange'o ir Lacroix platus Lagrange'o kūrybos atpasakojimas šiek tiek eklektiškai.

Norėdamas visiškai atsikratyti begalybės mažumo, Lagrange'as pakeitė ryšį tarp darinių ir Taylor serijos. Analitine funkcija Lagranžas suprato savavališką funkciją, tiriamą analitiniais metodais. Pačią funkciją jis įvardijo kaip f(x), suteikiant grafinis metodas priklausomybės įrašai – anksčiau Euleris apsieidavo tik su kintamaisiais. Norint taikyti analizės metodus, pagal Lagrange'ą, funkcija turi būti išplėsta į seriją

kurių koeficientai bus naujos funkcijos x. Belieka įvardinti p išvestinė ( diferencialinis koeficientas) ir pažymėkite kaip f"(x). Taigi išvestinės sąvoka įvedama antrajame traktato puslapyje ir be begalinių mažylių pagalbos. Belieka tai pastebėti

todėl koeficientas q yra dvigubai didesnė išvestinės išvestinė f(x), tai yra

Šis požiūris į išvestinės sąvokos aiškinimą yra naudojamas šiuolaikinėje algebroje ir buvo pagrindas Weierstrass analitinių funkcijų teorijai sukurti.

Lagrange'as operavo su tokiais serialais kaip formalios ir gavo serijas nuostabios teoremos. Visų pirma, pirmą kartą ir gana griežtai jis įrodė įprastų diferencialinių lygčių pradinės problemos išsprendžiamumą formaliose laipsnių eilutėse.

Klausimą, kaip įvertinti aproksimacijų, pateiktų dalinėmis Taylor serijos sumomis, tikslumą, pirmiausia iškėlė Lagrange'as: galų gale Analitinių funkcijų teorijos jis išvedė tai, kas dabar vadinama Teiloro formule su likusiu terminu Lagranžo forma. Tačiau priešingai šiuolaikiniai autoriai, Lagranžas nematė reikalo naudoti šį rezultatą Taylor serijos konvergencijai pateisinti.

Kyla klausimas, ar tikrai galima išskaidyti analizėje naudojamas funkcijas galios serija, vėliau tapo diskusijų objektu. Žinoma, Lagranžas žinojo, kad kai kuriais taškais elementarios funkcijos gali būti neišplėstos į laipsnio eilutę, tačiau šiais taškais jos jokia prasme nesiskiria. Cauchy savo Algebrinė analizė kaip priešinį pavyzdį pateikė funkciją

pratęstas nuliu prie nulio. Ši funkcija yra sklandi visur tikrojoje ašyje, o esant nuliui, ji turi nulinę Maclaurin seriją, kuri todėl nesutampa su verte f(x). Prieš šį pavyzdį Puasonas prieštaravo, kad Lagrange'as apibrėžė funkciją kaip vieną analitinę išraišką, o Cauchy pavyzdyje funkcija nuliui ir . Tik į pabaigos XIX amžiuje Pringsheimas įrodė, kad yra be galo diferencijuota funkcija, kurią suteikia viena išraiška, kuriai Maclaurin serija skiriasi. Tokios funkcijos pavyzdys yra išraiška

Tolesnė plėtra

Bibliografija

Mokomoji literatūra

Standartiniai vadovėliai

Daugelį metų Rusijoje buvo populiarūs šie vadovėliai:

• Kudryavtsev, L.D. , Matematinės analizės kursas (trijų tomų).

T. 1. Vieno kintamojo funkcijų diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. T. 2. Eilutės. Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. T. 3. Harmoninė analizė. Funkcinės analizės elementai. Ypatingas dėmesys Vadovėlyje pagrindinis dėmesys skiriamas kokybinių ir analizės metodai, tai taip pat atspindėjo kai kuriuos geometrinės aplikacijos analizė. Skirta fizikos, matematikos ir inžinerinės fizikos specialybių universitetų studentams, taip pat kitų specialybių studentams, gilinantis matematinius mokymus.

• Kurantas, R. (dviejų tomų). Pagrindinis kurso metodinis atradimas: iš pradžių paprasčiausiai išdėstomos pagrindinės mintys, o tada jos pateikiamos griežti įrodymai. Parašė Courantas, būdamas Getingeno universiteto profesoriumi 1920-aisiais, veikiamas Kleino idėjų, o 1930-aisiais jis buvo perkeltas į Amerikos žemę. 1934 m. vertimas į rusų kalbą ir jo pakartotiniai leidimai pateikia tekstą remiantis vokišku leidimu, septintojo dešimtmečio vertimas (vadinamasis 4-asis leidimas) yra rinkinys iš vadovėlio vokiškų ir amerikietiškų versijų, todėl yra labai daugiažodis.
• Fikhtengolts, Grigorijus Michailovičius. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas(V trys tomai) // Mat. EqWorld analizė yra labai gera, bet šiek tiek pasenusi pamoka.

ir probleminė knyga

• Demidovičius, B. P., Matematinės analizės uždavinių ir pratimų rinkinys// Mat. EqWorld analizė

Yra keletas leidinių, teigiančių, kad jie yra „AntiDemidovich“:

• Lyashko I. I. ir kt. Aukštosios matematikos informacinis vadovas. 1-5 t

Daugelis universitetų turi savo analizės vadovus:

• Maskvos valstybinio universiteto Mechanikos ir matematikos fakultetas:

• Arkhipovas G. I., Sadovnichy V. A., Chubarikovas V. N. Paskaitos apie matematiką. analizė.
• Zorichas V.A. Matematinė analizė. I dalis M.: Nauka, 1981. 544 p.
• Zorichas V.A. Matematinė analizė. II dalis. M.: Nauka, 1984. 640 p.

• Iljinas V. A., Sadovnichy V. A., Sendovas Bl. X. Matematinė analizė (dviejų dalių)

• Maskvos valstybinio universiteto Fizikos fakultetas:

• Iljinas V. A., Poznyak E. G. Matematinės analizės pagrindai (dviejų dalių) // http://lib.homelinux.org.
• Butuzovas V.F. ir kt. Mat. klausimų ir užduočių analizė // http://lib.homelinux.org.

• MSTU pavadintas N. E. Baumano vardu:

• Matematika į technikos universitetas Kolekcija mokymo priemonės 21 tome.

• NSU, ​​mechanika ir matematika:

• Reshetnyak Yu. Matematinės analizės kursas. I dalis. 1 knyga. Matematinės analizės įvadas. Vieno kintamojo funkcijų diferencialinis skaičiavimas. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 1999. 454 su ISBN 5-86134-066-8.
• Reshetnyak Yu. Matematinės analizės kursas. I dalis. 2 knyga. Vieno kintamojo funkcijų integralinis skaičiavimas. Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 1999. 512 su ISBN 5-86134-067-6.
• Reshetnyak Yu. Matematinės analizės kursas. II dalis. 1 knyga. Sklandžios analizės daugiamatėse erdvėse pagrindai. Serialo teorija. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 2000. 440 su ISBN 5-86134-086-2.
• Reshetnyak Yu. Matematinės analizės kursas. II dalis. 2 knyga. Kelių kintamųjų funkcijų integralinis skaičiavimas. Integralinis skaičiavimas ant kolektorių. Išorinis diferencines formas. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 2001. 444 su ISBN 5-86134-089-7.
• Švedovas I. A. Kompaktiškas matematinės analizės kursas: 1 dalis. Vieno kintamojo funkcijos, 2 dalis. Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas.

• „Phystech“, Maskva

• Kudryavtsev L. D. Matematinės analizės kursas (trijų tomų)

Išplėstiniai vadovėliai

Vadovėliai:

• Rudinas U. Matematinės analizės pagrindai. M., 1976 – nedidelė knygelė, parašyta labai aiškiai ir glaustai.

Padidėjusio sunkumo problemos:

• G. Polia, G. Szege, Problemos ir teoremos iš analizės. 1 dalis, 2 dalis, 1978. ( Dauguma medžiaga nurodo TFKP)
• Paskalis, E.(Neapolis). Esercizii, 1895; 2 leid., 1909 // Interneto archyvas

Katalogai

Klasikiniai darbai

• L'Hopital. Begalinių mažumų analizė // Mat. EqWorld analizė
• Bernulis, Johanas. Die erste Integrelrechnunug. Leipcigas-Berlynas, 1914 m.
• Euleris. Analizės įvadas, Diferencialinis skaičiavimas, Integralinis skaičiavimas //Mat. analizė „EqWorld“ (antrasis „Analizės įvado“ tomas buvo išsaugotas su klaida)
• Koši. Santrauka diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pamokos //Mat. EqWorld analizė
• Audra. Analizės kursas. T.1,2 - Klasikinis kursas paryžietė politechnikos mokykla 1830-ieji.
• Gursa E. Matematikos kursas. analizė. T. 1.1, 1.2 // Mat. EqWorld analizė

Istorijos knygos

• Kestneris, Abraomas Gottgelfas. Geschichte der Mathematik. 4 tomai, Getingenas, 1796-1800 m
• Kantoras, Moricas. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipcigas: B. G. Teubneris, - . Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4
• A. P. Juškevičiaus redaguota matematikos istorija (trimis tomomis):

• Markushevich A.I. Esė apie analitinių funkcijų teorijos istoriją. 1951 m
• Vileitner G. Matematikos istorija nuo Dekarto iki XIX amžiaus vidurio. 1960 m
• Pirma Rusų kalbos vadovėlis pagal mat. analizė: M.E. Vaščenka-Zacharčenka, Algebrinė analizė arba Aukštoji algebra. 1887 m

Pastabos

1. Trečiadienis, pvz., Cornell Un kursas
2. Niutonas I. Matematiniai darbai . M, 1937 m.
3. Leibnicas //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., t. V, p. 220-226. Rus. Vertimas: Uspekhi Mat. Mokslai, t. 3, v. 1 (23), p. 166-173.
4. L'Hopital. Be galo maža analizė. M.-L.: GTTI, 1935. (Toliau: L'Hopital) // Mat. EqWorld analizė
5. L'Hopital, ch. 1, def. 2.
6. L'Hopital, ch. 4, def. 1.
7. L'Hopital, ch. 1, 1 reikalavimas.
8. L'Hopital, ch. 1, 2 reikalavimas.
9. L'Hopital, ch. 2, def.
10. L'Hopital, § 46.
11. „L'Hopital“ nerimauja dėl kažko kito: dy jam atkarpos ilgis ir būtina paaiškinti, ką reiškia būti neigiamu. 8-10 punktuose pateiktą pastabą netgi galima suprasti taip, kad mažėjant y su augimu x turėtų būti parašyta dxy = ydx − xdy , bet toliau tai nenaudojama.
12. L'Hopital, § 46.
13. Bernulis, Johanas. Die erste Integrelrechnunug. Leipcigas-Berlynas, 1914 m.

Susidarė ratas, kurio ryškiausi atstovai buvo broliai Bernoulli (Jokūbas ir Johanas) ir L'Hopital. Naudodamasis I. Bernoulli paskaitomis, L'Hopital parašė pirmąjį vadovėlį, kuriame išdėstyta naujas metodas taikant plokštumos kreivių teoriją. Jis jam paskambino Be galo maža analizė, tokiu būdu suteikiant vieną iš pavadinimų naujajai matematikos šakai. Pateikimas grindžiamas kintamųjų dydžių samprata, tarp kurių yra tam tikras ryšys, dėl kurio pasikeitus vienam pasikeičia ir kitas. L'Hopital pateikia šį ryšį naudodamas plokštumos kreives: jei M (\displaystyle M) yra judantis plokštumos kreivės taškas, tada jo Dekarto koordinatės x (\displaystyle x) Ir y (\displaystyle y), vadinami kreivės abscisėmis ir ordinatėmis, yra kintamieji ir pokytis x (\displaystyle x) reiškia pasikeitimą y (\displaystyle y). Funkcijos sąvokos nėra: norėdamas pasakyti, kad kintamųjų priklausomybė yra pateikta, L'Hopital sako, kad „kreivės prigimtis yra žinoma“. Diferencialo sąvoka pristatoma taip:

Be galo maža dalis, kuria kintamasis nuolat didėja arba mažėja, vadinama jo diferencialu... Skirtumui pažymėti kintamo dydžio, kuri pati išreiškiama viena raide, naudosime ženklą arba simbolį d (\displaystyle d). ... Be galo maža dalis, kuria kintamosios reikšmės skirtumas nuolat didėja arba mažėja, vadinama ... antruoju skirtumu.

Šie apibrėžimai paaiškinti geometriškai, o Fig. be galo maži prieaugiai vaizduojami kaip baigtiniai. Svarstymas grindžiamas dviem reikalavimais (aksiomomis). Pirma:

Reikalaujama, kad du dydžiai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik be galo mažu dydžiu, [supaprastinant išraiškas?] gali būti imami abejingai vienas vietoj kito.

Iš čia paaiškėja x + d x = x (\displaystyle x+dx=x), toliau

D x y = (x + d x) (y + d y) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x d y + y d x (\displaystyle dxy=(x+dx)(y+dy)- xy=xdy+ydx+dxdy=(x+dx)dy+ydx=xdy+ydx)

Antrasis reikalavimas nurodo:

Reikalaujama, kad lenkta linija būtų laikoma kolekcija begalinis skaičius be galo mažos tiesės.

Kiekvienos tokios linijos tęsinys vadinamas kreivės liestine. Per tašką einančios liestinės nagrinėjimas M = (x, y) (\displaystyle M=(x,y)), L'Hopital didelę reikšmę skiria dydžiui

pasiekus kraštutines vertes kreivės vingio taškuose, santykis d y (\displaystyle dy)Į d x (\displaystyle dx) neteikiama ypatingos reikšmės.

Pažymėtina, kad reikia rasti ekstremalių taškų. Jei nuolat didėjant abscisei x (\displaystyle x) ordinatės y (\displaystyle y) iš pradžių didėja, o paskui mažėja, tada skirtumas d y (\displaystyle dy) pirmasis teigiamas, palyginti su d x (\displaystyle dx), o tada neigiamas.

Bet bet kokia nuolat didėjanti ar mažėjanti reikšmė negali virsti iš teigiamos į neigiamą nepraeidama begalybės ar nulio... Iš to išplaukia, kad didžiausios ir mažiausios reikšmės skirtumas turi būti lygus nuliui arba begalybei.

Ši formuluotė tikriausiai yra ydinga, jei prisiminsime pirmąjį reikalavimą: tarkime, y = x 2 (\displaystyle y=x^(2)), tada pagal pirmąjį reikalavimą

esant nuliui, dešinėje pusėje yra nulis, o kairėje - ne. Matyt, taip ir reikėjo pasakyti d y (\displaystyle dy) gali būti transformuojamas pagal pirmąjį reikalavimą taip, kad didžiausiame taške d y = 0 (\displaystyle dy=0). . Pavyzdžiuose viskas savaime aišku, ir tik vingio taškų teorijoje L'Hopital rašo, kad d y (\displaystyle dy) lygus nuliui didžiausiame taške, padalijus iš d x (\displaystyle dx) .

Be to, vien diferencialų pagalba suformuluojamos ekstremalios sąlygos ir nagrinėjama daugybė sudėtingų problemų, daugiausia susijusių su diferencine geometrija plokštumoje. Knygos pabaigoje, skyriuje. 10, išdėstyta tai, kas dabar vadinama L'Hopital taisyklė, nors ir neįprasta. Tegul ordinatės dydis y (\displaystyle y) kreivė išreiškiama trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis išnyksta ties . Tada kreivės taškas su x = a (\displaystyle x=a) turi ordinatą y (\displaystyle y), lygus skaitiklio skirtumo ir vardiklio skirtumo santykiui, paimtas iš x = a (\displaystyle x=a).

Pagal L'Hôpital planą, tai, ką jis parašė, sudarė pirmąją analizės dalį, o antrojoje turėjo būti integralinis skaičiavimas, tai yra būdas rasti ryšį tarp kintamųjų, remiantis žinomu jų diferencialų ryšiu. Pirmąjį jo pristatymą skaitė Johanas Bernoulli Matematinės paskaitos apie integralinį metodą. Čia pateikiamas daugelio elementarių integralų paėmimo metodas ir daugelio pirmosios eilės diferencialinių lygčių sprendimo būdai.

Pabrėždamas praktinį naujojo metodo naudą ir paprastumą, Leibnicas rašė:

Tai, ką žmogus, išmanantis šį skaičiavimą, gali gauti tiesiogiai trimis eilutėmis, kiti išsilavinę vyrai buvo priversti ieškoti eidami sudėtingais žiediniais takais.

Euleris

Leonardas Eileris

Pokyčiai, įvykę per kitą pusę amžiaus, atsispindi plačiame Eulerio traktate. Analizės pristatymą pradeda dviejų tomų „Įvadas“, kuriame pateikiami įvairių elementariųjų funkcijų vaizdų tyrimai. Sąvoka „funkcija“ pirmą kartą pasirodė tik Leibnize, tačiau Euleris jį pirmiausia įtraukė. Pirminis funkcijos sąvokos aiškinimas buvo toks, kad funkcija yra skaičiavimo išraiška (vok. Rechnungsausdrϋck) arba analitinė išraiška.

Kintamojo dydžio funkcija yra analitinė išraiška, tam tikru būdu sudaryta iš šio kintamojo dydžio ir skaičių arba pastovių dydžių.

Pabrėždamas, kad „pagrindinis skirtumas tarp funkcijų slypi tame, kaip jos sudaromos iš kintamųjų ir konstantų“, Euleris išvardija veiksmus, „kuriuos dydžius galima derinti ir maišyti vienas su kitu; šie veiksmai yra: sudėties ir atimties, daugybos ir padalijimo, eksponencijos didinimas ir šaknų ištraukimas; Tai taip pat turėtų apimti [algebrinių] lygčių sprendimą. Be šių operacijų, vadinamų algebrinėmis, yra daugybė kitų transcendentinių operacijų, tokių kaip eksponentinė, logaritminė ir daugybė kitų, kurias teikia integralinis skaičiavimas. Šis aiškinimas leido lengvai valdyti daugiareikšmes funkcijas ir nereikėjo paaiškinti, kurio lauko funkcija buvo svarstoma: skaičiavimo išraiška buvo apibrėžta sudėtingoms kintamųjų reikšmėms, net jei tai nebuvo būtina sprendžiant problemą. svarstymas.

Išraiškos operacijos buvo leidžiamos tik baigtiniais skaičiais, o transcendentalas prasiskverbė be galo didelio skaičiaus pagalba ∞ (\displaystyle \infty ). Išraiškose šis skaičius naudojamas kartu su natūraliaisiais skaičiais. Pavyzdžiui, tokia eksponento išraiška laikoma priimtina

kurioje tik vėlesni autoriai įžvelgė galutinį perėjimą. Analitinėmis išraiškomis buvo atliekamos įvairios transformacijos, kurios leido Euleriui rasti elementariųjų funkcijų atvaizdus serijų, begalinių sandaugų ir pan. pavidalu. Euleris skaičiavimo išraiškas transformuoja taip pat, kaip ir algebroje, nekreipdamas dėmesio į galimybę apskaičiuoti elementų reikšmę. funkcija taške kiekvienam iš parašytų formulių.

Skirtingai nei L'Hopital, Euleris išsamiai nagrinėja transcendentines funkcijas ir ypač dvi jų labiausiai ištirtas klases – eksponentinę ir trigonometrinę. Jis atranda, kad visos elementarios funkcijos gali būti išreikštos naudojant aritmetines operacijas ir dvi operacijas – imant logaritmą ir eksponentą.

Pats įrodymas puikiai parodo be galo didelio panaudojimo techniką. Apibrėžęs sinusą ir kosinusą naudodamas trigonometrinį apskritimą, Euleris iš sudėjimo formulių išvedė:

Tikėdamas n = ∞ (\displaystyle n=\infty ) Ir z = n x (\displaystyle z=nx), jis gauna

atmetant be galo mažus aukštesnio laipsnio kiekius. Naudodamas šią ir panašią išraišką, Euleris gavo savo garsiąją formulę

Nurodęs įvairias funkcijų, kurios dabar vadinamos elementariosiomis, išraiškas, Euleris toliau nagrinėja kreives plokštumoje, nubrėžtą laisvu rankos judesiu. Jo nuomone, kiekvienai tokiai kreivei neįmanoma rasti vienos analitinės išraiškos (taip pat žr. Stygų ginčą). XIX amžiuje, Casorati iniciatyva, šis teiginys buvo laikomas klaidingu: pagal Weierstrasso teoremą bet kuri ištisinė kreivė šiuolaikine prasme gali būti apytiksliai apibūdinta daugianariais. Tiesą sakant, Euleris vargu ar tai buvo įtikintas, nes jam vis tiek reikėjo perrašyti ištrauką iki ribos naudojant simbolį ∞ (\displaystyle \infty ).

Diferencialinio skaičiavimo pristatymą Euleris pradeda baigtinių skirtumų teorija, o trečiajame skyriuje pateikiamas filosofinis paaiškinimas, kad „begalinis dydis yra tiksliai nulis“, o tai labiausiai netiko Eulerio amžininkams. Tada diferencialai sudaromi iš baigtinių skirtumų be galo mažu žingsniu, o Taylor formulė sudaroma iš Niutono interpoliacijos formulės. Šis metodas iš esmės grįžta į Taylor (1715) darbą. Tuo pačiu metu Euleris turi stabilų ryšį d k y d x k (\displaystyle (\frac (d^(k)y)(dx^(k)))), kuris vis dėlto laikomas dviejų begalinių mažiausių skaičių santykiu. Paskutiniai skyriai skirti apytikriam skaičiavimui naudojant serijas.

Trijų tūrių integralo skaičiavime Euleris integralo sąvoką pristato taip:

Ta funkcija, kurios diferencialas = X d x (\displaystyle =Xdx), vadinamas jo integralu ir žymimas ženklu S (\displaystyle S), dedamas priekyje.

Apskritai ši Eulerio traktato dalis yra skirta bendresnei, šiuolaikiniu požiūriu, diferencialinių lygčių integravimo problemai. Tuo pačiu metu Euleris randa daugybę integralų ir diferencialinių lygčių, kurios lemia naujas funkcijas, pvz. Γ (\displaystyle \Gamma )-funkcijos, elipsinės funkcijos ir kt. Griežtą jų neelementarumo įrodymą 1830-aisiais pateikė Jacobi elipsinės funkcijos ir Liouville (žr. elementarias funkcijas).

Lagranžas

Kitas svarbus darbas, suvaidinęs reikšmingą vaidmenį plėtojant analizės koncepciją, buvo Analitinių funkcijų teorija Lagrange'o ir Lacroix platus Lagrange'o kūrybos atpasakojimas šiek tiek eklektiškai.

Norėdamas visiškai atsikratyti begalybės mažumo, Lagrange'as pakeitė ryšį tarp darinių ir Taylor serijos. Analitine funkcija Lagranžas suprato savavališką funkciją, tiriamą analitiniais metodais. Pačią funkciją jis pavadino kaip , suteikdamas grafinį būdą parašyti priklausomybę – anksčiau Euleris apsieidavo tik su kintamaisiais. Norint taikyti analizės metodus, pagal Lagrange'ą, funkcija turi būti išplėsta į seriją

kurių koeficientai bus naujos funkcijos x (\displaystyle x). Belieka tik įvardinti p (\displaystyle p) išvestinę (diferencialinį koeficientą) ir pažymėkite ją kaip f '(x) (\displaystyle f"(x)). Taigi išvestinės sąvoka įvedama antrajame traktato puslapyje ir be begalinių mažylių pagalbos. Belieka pažymėti, kad

todėl koeficientas q (\displaystyle q) yra dvigubai didesnė išvestinės išvestinė f (x) (\displaystyle f(x)), tai yra

Šis požiūris į išvestinės sąvokos aiškinimą yra naudojamas šiuolaikinėje algebroje ir buvo pagrindas Weierstrass analitinių funkcijų teorijai sukurti.

Lagranžas naudojo tokias serijas kaip formalios ir gavo daugybę nuostabių teoremų. Visų pirma, pirmą kartą ir gana griežtai jis įrodė įprastų diferencialinių lygčių pradinės problemos išsprendžiamumą formaliose laipsnių eilutėse.

Klausimą, kaip įvertinti aproksimacijų, pateiktų dalinėmis Taylor serijos sumomis, tikslumą, pirmiausia iškėlė Lagrange'as: galų gale Analitinių funkcijų teorijos jis išvedė tai, kas dabar vadinama Teiloro formule su likusiu terminu Lagranžo forma. Tačiau, priešingai nei šiuolaikiniai autoriai, Lagrange'as nematė reikalo naudoti šį rezultatą Taylor serijos konvergencijai pateisinti.

Klausimas, ar analizėje naudojamas funkcijas tikrai galima išplėsti į galių eilutę, vėliau tapo diskusijų objektu. Žinoma, Lagranžas žinojo, kad kai kuriais taškais elementarios funkcijos gali būti neišplėstos į laipsnio eilutę, tačiau šiais taškais jos jokia prasme nesiskiria. Cauchy savo Algebrinė analizėšią funkciją nurodė kaip priešingą pavyzdį

pratęstas nuliu prie nulio. Ši funkcija yra sklandi visur tikrojoje ašyje, o esant nuliui ji turi nulinę Maclaurin seriją, kuri todėl nesutampa su verte f (x) (\displaystyle f(x)). Poissonas prieštaravo šiam pavyzdžiui, kad Lagrange'as apibrėžė funkciją kaip vieną analitinę išraišką, o Cauchy pavyzdyje funkcija nuliui ir nuliui apibrėžiama skirtingai. x ≠ 0 (\displaystyle x\not =0). Tik XIX amžiaus pabaigoje Pringsheimas įrodė, kad egzistuoja be galo diferencijuota funkcija, kurią suteikia viena išraiška, kuriai Maclaurino serija skiriasi. Tokios funkcijos pavyzdys yra išraiška

Tolesnė plėtra

(\displaystyle \Psi (x)=\sum \limits _(k=0)^(\infty )(\frac (\cos ((3^(k)x)))(k

Diferencialinis skaičiavimas Diferencialinis skaičiavimas tiria funkcijų išvestinių apibrėžimą, savybes ir taikymą. Išvestinės radimo procesas vadinamas diferenciacija . Už suteikta funkcija ir taškas jo srityje, to taško išvestinė priemonė yra būdas užkoduoti nedidelio masto tos funkcijos elgseną šalia to taško. Kiekviename apibrėžimo srities taške radę funkcijos išvestinę, galime nustatyti nauja funkcija , paskambino išvestinė funkcija arba tiesiog išvestinė nuo pradinės funkcijos. Įjungta išvestinė yra tiesinis atvaizdavimas, kurio įvestis yra viena funkcija, o išvestis – kita. Ši sąvoka yra abstraktesnė nei dauguma procesų, tirtų elementariojoje algebroje, kur funkcijos paprastai turi vieną skaičių kaip įvestį ir kitą kaip išvestį. Pavyzdžiui, jei dvigubinimo funkcijai įvestis yra trys, išvestis bus šeši; jei už kvadratinė funkcija nustatykite įvestį į tris, išvestis bus devyni. Išvestinė gali turėti kvadratinę funkciją kaip jos įvestį. Tai reiškia, kad išvestinė paima visą informaciją apie kvadrato funkciją, tai yra, atsižvelgiant į įvestį du, ji išveda keturis, tris konvertuoja į devynis, keturis paverčia šešiolika ir t. t. ir naudoja tą informaciją kitai funkcijai sukurti. (Kvadratinės funkcijos išvestinė yra būtent dvigubinimo funkcija.)

Labiausiai paplitęs simbolis, žymintis darinį, yra į apostrofą panašus ženklas, vadinamas pirminiu. Taigi funkcijos išvestinė f Yra f′, tariamas „f insultas“. Pavyzdžiui, jei f(x) = x 2 yra kvadrato funkcija f′(x) = 2x yra jo išvestinė, tai yra dvigubinimo funkcija.

Jei funkcijos įvestis yra laikas, tada išvestinė reiškia pokytį laikui bėgant. Pavyzdžiui, jei f yra nuo laiko priklausoma funkcija ir ji pateikia rutulio išvesties padėtį laike, tada išvestinę f nustato kamuoliuko padėties kitimą laikui bėgant, tai yra kamuoliuko greitį.

Neapibrėžtas integralas yra antidarinis, tai yra išvestinei atvirkštinė operacija. F yra neapibrėžtas integralas f tuo atveju, kai f yra kilęs iš F. (Tai yra didžiųjų ir mažosios raidės funkcijai ir jos neapibrėžtas integralas dažnas skaičiuojant).

Apibrėžtasis integralasįvesties funkcijos ir išvesties reikšmės yra skaičius, lygus paviršiaus plotui, apribotas pagal tvarkaraštį funkcija, abscisių ašis ir dvi tiesios linijos atkarpos nuo funkcijos grafiko iki abscisių ašies išvesties reikšmių taškuose. Techniniu požiūriu apibrėžtasis integralas yra stačiakampių plotų sumos riba, vadinama Riemano suma.

Fizikos pavyzdys yra nuvažiuoto atstumo apskaičiavimas einant bet kuriuo metu.

Jei greitis yra pastovus, pakanka daugybos operacijos, bet jei greitis kinta, turime taikyti daugiau galingas metodas atstumo skaičiavimai. Vienas iš tokių metodų yra apytikslis skaičiavimas dalijant laiką į atskirus trumpus laikotarpius. Tada padauginus kiekvieno intervalo laiką iš bet kurio iš tame intervale esančių greičių ir sudėjus visus apytikslius atstumus (Riemano sumą), nuvažiuotą kiekviename intervale, gauname bendrą nuvažiuotą atstumą. Pagrindinė idėja yra ta, kad jei naudosite labai trumpus intervalus, greitis kiekviename iš jų išliks daugiau ar mažiau pastovus. Tačiau Riemano suma nurodo tik apytikslį atstumą. Norėdami rasti tikslus atstumas, turime rasti visų tokių Riemann sumų ribą.

Jeigu f(x) kairėje esančioje diagramoje pavaizduotas greičio pokytis laikui bėgant, tada nuvažiuotas atstumas (tarp akimirkų a Ir b) yra tamsintos srities plotas s.

Norint apytiksliai įvertinti šią sritį, galimas intuityvus metodas, kurį sudaro atstumo padalijimas tarp a Ir b už tam tikrą skaičių vienodi segmentai(segmentų) ilgis Δx. Kiekvienam segmentui galime pasirinkti vieną funkcijos reikšmę f(x). Pavadinkime šią vertę h. Tada stačiakampio su pagrindu plotas Δx ir aukščio h suteikia atstumą (laiką Δx padaugintas iš greičio h) baigtas šiame segmente. Kiekvienas segmentas yra susietas su vidutine jame esančios funkcijos reikšme f(x)=h. Visų tokių stačiakampių suma suteikia apytikslį plotą po kreive, o tai yra viso nuvažiuoto atstumo įvertinimas. Sumažėti Δx duos daugiau stačiakampiai ir daugeliu atvejų bus geriausias apytikslis, tačiau norėdami gauti tikslų atsakymą, turime apskaičiuoti ribą Δx linkę į nulį.

Integracijos simbolis yra ∫ (\displaystyle \int ), pailgos raidės S(S reiškia „suma“). Apibrėžiamasis integralas parašytas taip:

(\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx.) a ir parašyta: „integralas iš bį f funkcijas x iš x Autorius “ Leibnizo užrašas dx skirtas plotui po kreive padalinti į begalinis skaičius Δx stačiakampiai tokie, kad jų plotis “ Leibnizo užrašas yra be galo mažas dydis

∫ a b … d x (\displaystyle \int _(a)^(b)\ldots \,dx) turėtų būti suprantamas kaip operatorius, kuris priima funkciją kaip įvestį ir pateikia skaičių kaip išvestį,. “ Leibnizo užrašas lygus plotui f(x).

nėra skaičius ir nesidaugina iš

Funkcijos, kurios skiriasi konstanta, turi tas pačias išvestines, todėl tam tikros funkcijos antidarinys iš tikrųjų yra funkcijų šeima, kurios skiriasi tik konstanta. Kadangi funkcijos išvestinė y = x² + C, Kur C- bet kuri konstanta yra lygi y′ = 2x, tada pastarojo antidarinys nustatomas pagal formulę:

(\displaystyle \int 2x\,dx=x^(2)+C.) C Neapibrėžta tipo konstanta

antidarinys yra žinomas kaip integracijos konstanta.

Niutono-Leibnizo teorema Niutono-Leibnizo teorema, dar vadinama pagrindinė analizės teorema teigia, kad diferenciacija ir integravimas yra tarpusavyje atvirkštinės operacijos. Tiksliau, tai susiję su antidarinių reikšme apibrėžtieji integralai . Kadangi paprastai lengviau apskaičiuoti antidarinį, nei taikyti apibrėžtąją integralo formulę, teorema pateikia praktinis būdas apibrėžtųjų integralų skaičiavimas. Tai taip pat gali būti aiškinama kaip tikslus teiginys, kad diferenciacija yra atvirkštinis veikimas

integracija. f Teorema teigia: jei funkcija a, b yra nuolatinis intervale [ F] ir jei f yra funkcija, kurios išvestinė lygi a, b per intervalą (

∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) . x(\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a).) a, b)

iš intervalo ( d d x ∫ a x f (t) d t = f (x) .(\displaystyle (\frac (d)(dx))\int _(a)^(x)f(t)\,dt=f(x).) Ši įžvalga, kurią padarė ir Newtonas, ir Leibnicas, kurie savo rezultatus grindė ankstesniais Isaac Barrow darbais, buvo raktas į greitą plitimą. analizės rezultatai

po to, kai jų darbai tapo žinomi. Pagrindinė teorema suteikia

algebrinis metodas

Visų pirma, beveik visos klasikinės mechanikos ir elektromagnetizmo sąvokos yra neatsiejamai susijusios viena su kita būtent klasikinės matematinės analizės pagalba. Pavyzdžiui, esant žinomam objekto tankio pasiskirstymui, jo masė, inercijos momentai, taip pat visos energijos potencialo lauke galima rasti naudojant diferencialinį skaičiavimą. Kitas ryškus pavyzdys Matematinės analizės taikymas mechanikoje – antrasis Niutono dėsnis: istoriškai jis tiesiogiai vartoja terminą „pokyčio greitis“ formuluotėje „Jėga = masė × pagreitis“, nes pagreitis yra greičio išvestinė arba antroji laiko išvestinė. trajektorija arba erdvinė padėtis.

Matematinė analizė taip pat naudojama ieškant apytikslių lygčių sprendinių. Praktikoje tai standartiniu būdu sprendžiant diferencialines lygtis ir rasti šaknis daugelyje programų. Pavyzdžiai yra Niutono metodas, paprastas iteracijos metodas ir tiesinė aproksimacija. Pavyzdžiui, skaičiuojant trajektoriją erdvėlaivis Eulerio metodo variantas naudojamas apytiksliai lenktiems judėjimo kursams, kai nėra gravitacijos, apskaičiuoti.

Bibliografija

Enciklopediniai straipsniai

• // Enciklopedinė leksika: 17 tomų. – Sankt Peterburge. : tipas. A. Pliushara, 1835-1841 m.
• // Brockhauso ir Efrono enciklopedinis žodynas: 86 tomai (82 tomai ir 4 papildomi). – Sankt Peterburge. , 1890–1907 m.

Mokomoji literatūra

Standartiniai vadovėliai

Daugelį metų Rusijoje buvo populiarūs šie vadovėliai:

• Kurantas, R. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas (dviejų tomų). Pagrindinis kurso metodologinis atradimas: pirmiausia paprasčiausiai išdėstomos pagrindinės mintys, o po to pateikiami griežti įrodymai. Parašė Courantas, būdamas Getingeno universiteto profesoriumi 1920-aisiais, veikiamas Kleino idėjų, o 1930-aisiais jis buvo perkeltas į Amerikos žemę. 1934 m. vertimas į rusų kalbą ir jo pakartotiniai leidimai pateikia tekstą remiantis vokišku leidimu, septintojo dešimtmečio vertimas (vadinamasis 4-asis leidimas) yra rinkinys iš vadovėlio vokiškų ir amerikietiškų versijų, todėl yra labai daugiažodis.
• Fikhtengoltas G. M. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas (trijų tomų) ir uždavinių knyga.
• Demidovičius B. P. Matematinės analizės uždavinių ir pratimų rinkinys.
• Lyashko I. I. ir kt. Aukštosios matematikos žinynas, 1-5 t.

Kai kurie universitetai turi savo analizės vadovus:

• Maskvos valstybinis universitetas, MechMat:

• Arkhipovas G. I., Sadovnichy V. A., Chubarikovas V. N. Paskaitos apie matematiką. analizė.
• Zorichas V.A. Matematinė analizė. I dalis M.: Nauka, 1981. 544 p.
• Zorichas V.A. Matematinė analizė. II dalis. M.: Nauka, 1984. 640 p.
• Kamyninas L. I. Matematinės analizės kursas (dviejų tomų). M.: Maskvos universiteto leidykla, 2001 m.

• V. A. Iljinas, V. A. Sadovnichy, Bl. H. Sendovas. Matematinė analizė / Red.