Reikalingas vektorius 
Jei , tai sistema (1) vadinama blogai kondicionuota. Tokiu atveju matricos koeficientų ir dešiniųjų pusių klaidos arba apvalinimo klaidos skaičiavimuose gali labai iškreipti sprendimą.
Sprendžiant daugelį uždavinių, apytiksliai žinomi sistemos (1) dešinioji pusė ir matricos A koeficientai. Šiuo atveju vietoj tikslios sistemos (1) turime kitą sistemą
toks kad
Darome prielaidą, kad ir d reikšmės yra žinomos.
Kadangi vietoj sistemos (1) turime sistemą (2), galime rasti tik apytikslį sistemos (1) sprendimą. Sistemos (1) apytikslio sprendimo sudarymo metodas turi būti stabilus mažiems pradinių duomenų pokyčiams.
Sistemos (1) pseudosprendimas yra vektorius, kuris sumažina neatitikimą visoje erdvėje.
Tegul x 1 yra koks nors fiksuotas vektorius iš , paprastai nustatomas pagal problemos teiginį.
Sistemos (1) sprendinys, normalus vektoriaus x 1 atžvilgiu, yra pseudosprendinys x 0 su minimalia norma, ty
čia F yra visų (1) sistemos pseudosprendimų aibė.
Be to 
kur ¾ yra vektoriaus x komponentai.
Bet kuriai (1) tipo sistemai yra įprastas sprendimas ir jis yra unikalus. Problema rasti normalų netinkamai kondicionuotos sistemos (1) sprendimą yra netinkamai iškelta.
Norėdami rasti apytikslį normalų sistemos (1) sprendimą, naudojame reguliavimo metodą.
Pagal šį metodą sukonstruojame formos išlyginimo funkcionalumą
ir suraskite vektorių, kuris sumažina šią funkciją. Be to, reguliavimo parametras a yra vienareikšmiškai nustatomas pagal sąlygą
Kur 
.
Išsigimusios ir blogai kondicionuotos sistemos gali būti neatskiriamos tam tikru tikslumu. Bet jei yra informacijos apie sistemos (1) išsprendžiamumą, vietoj sąlygos (5) reikia naudoti šią sąlygą:
Komponentai 
vektoriai yra tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendiniai, gaunami iš funkcijos minimumo sąlygos (4)
ir atrodo
kur E yra tapatybės matrica,
¾ Hermitinė konjuguota matrica.
Praktiškai vektoriaus pasirinkimas reikalauja papildomų svarstymų. Jei jų nėra, tarkime, kad =0.
Jei =0, mes rašome sistemą (7) formoje
Kur 
Rastas vektorius bus apytikslis normalus sistemos (1) sprendimas.
Sutelkime dėmesį į parametro a pasirinkimą. Jei a=0, tai sistema (7) virsta blogai kondicionuota sistema. Jei a yra didelis, tada sistema (7) bus gerai kondicionuojama, tačiau sureguliuotas sprendimas neprilygs norimam sistemos (1) sprendimui. Todėl per didelis arba per mažas a netinka.
Paprastai praktikoje skaičiavimai atliekami naudojant daugybę parametro a verčių. Pavyzdžiui,
Kiekvienai a reikšmei raskite elementą, kuris sumažina funkcinę reikšmę (4). Norima reguliavimo parametro reikšmė laikoma skaičiumi a, kurio lygybė (5) arba (6) tenkinama reikiamu tikslumu.
III. PRATIMAS
1. Sukurkite tiesinių algebrinių lygčių sistemą, susidedančią iš trijų lygčių su trimis nežinomaisiais, su determinantu, kurio reikšmė yra 10 -6.
2. Sukurkite antrą sistemą, panašią į pirmąją, bet turinčią kitų laisvųjų sąlygų, kurios skiriasi nuo pirmosios sistemos laisvųjų 0,00006.
3. Išspręskite sukurtas sistemas reguliavimo metodu (darant prielaidą, kad =0 ir d=10 -4) ir kokiu nors kitu metodu (pavyzdžiui, Gauso metodu).
4. Palyginkite gautus rezultatus ir padarykite išvadas apie taikytų metodų pritaikomumą.
IV. ATASKAITOS SUFORMAVIMAS
Ataskaitoje turi būti pateikta:
1. Kūrinio pavadinimas.
2. Problemos pareiškimas.
3. Sprendimo algoritmo (būdo) aprašymas.
4. Programos tekstas su aprašymu.
5. Programos rezultatai.
BIBLIOGRAFINIS SĄRAŠAS
1. Tikhonovas A.N., Arseninas V.Ya. Netinkamai iškeltų problemų sprendimo būdai. - M.: Nauka, 1979. 286 p.
2. Bakhvalovas N.S., Židkovas N.P., Kobelkovas G.M. Skaitiniai metodai. - M.: BINOM. Žinių laboratorija, 2007 636 p.
Laboratorinis darbas Nr.23
Nuorašas
1 6. Išsigimusios ir blogai sąlygotos SLAE 1 6. Degeneruotos ir blogai sąlygotos SLAE Dabar panagrinėkime dviejų tipų SLAE (27) su kvadratine matrica A, kurios dydis MxM: išsigimusi sistema (su nuliniu determinantu A =0); blogai kondicionuota sistema (determinantas A nėra lygus nuliui, bet sąlygos skaičius yra labai didelis). Nepaisant to, kad šių tipų lygčių sistemos labai skiriasi viena nuo kitos (pirmajai nėra sprendimo, o antrajai yra tik vienas), žvelgiant iš praktinio kompiuterio požiūrio, tarp jų yra daug bendro. juos. Išsigimusi sistema – tai sistema, aprašyta matrica su nuliniu determinantu A =0 (singuliarinė matrica). Kadangi kai kurios į tokią sistemą įtrauktos lygtys yra pavaizduotos tiesiniu kitų lygčių deriniu, tai iš tikrųjų pati sistema yra nepakankamai apibrėžta. Nesunku suprasti, kad, priklausomai nuo konkretaus dešiniojo vektoriaus b tipo, sprendinių yra be galo daug arba jų nėra. Panagrinėkime pirmąjį atvejį, kai SLAE A x=b su vienaskaita kvadratine matrica A neturi vieno sprendinio. Ši parinktis susijusi su įprasto pseudosprendimo sudarymu (t. y. iš begalinės sprendinių aibės pasirenkant tą, kuris yra arčiausiai tam tikro, pavyzdžiui, nulio, vektoriaus). Pateiksime tokios problemos pavyzdį (dviejų lygčių sistemai) A= , b= (37) SLAE (37) pavaizduotas pav. 19, kuris rodo, kad dvi lygtys, apibrėžiančios sistemą, apibrėžia dvi lygiagrečias tieses plokštumoje (x 1, x 2). Linijos nesikerta jokiame taške
2 2 6. Išsigimusios ir blogai sąlygotos SLAE viename koordinačių plokštumos taške ir, atitinkamai, nėra sistemos sprendimo. Atkreipkite dėmesį, kad SLAE, apibrėžta 2x2 dydžio nevienetine kvadratine matrica, apibrėžia plokštumos susikertančių tiesių porą (žr. paveikslėlį žemiau). Taip pat verta pasakyti, kad jei sistema būtų nuosekli, geometrinis lygčių vaizdas būtų dvi sutampančios linijos, apibūdinančios begalinį sprendinių skaičių. Ryžiai. 19. Nesuderinamo SLAE grafinis vaizdas Fig. 20. Likutinės f(x)= A x b pjūvių grafikas priklausomai nuo x 1 Nesunku atspėti, kad nagrinėjamu vienaskaitos atveju bus be galo daug sistemos (37) pseudosprendimų, minimizuojančių likutinį A x b, ir jie bus ant trečios tiesės, lygiagrečios dviem, parodytoms Fig. 19 ir yra viduryje tarp jų. Tai pavaizduota pav. 20, kuriame parodytos kelios liekamosios funkcijos f(x) = A x b atkarpos, kurios rodo, kad yra tokio paties gylio minimumų šeimos. Norint nustatyti unikalų sprendimą, iš viso pseudosprendimų rinkinio reikia pasirinkti tą, kuris turi
3 6. Išsigimusios ir blogai kondicionuotos SLAE 3 pagal mažiausią normą. Taigi, vienaskaitos atveju, norint gauti išskirtinį sprendimą, reikia skaitiniu būdu išspręsti daugiamačio minimizavimo problemą. Tačiau, kaip matysime vėliau, efektyvesnis būdas yra naudoti reguliavimą arba stačiakampių matricų skaidymus (atitinkamai žr. 7 ir 10). Dabar pereikime prie blogai kondicionuotų sistemų, t.y. SLAE su matrica A, kurios determinantas nelygus nuliui, bet sąlygos skaičius A -1 A yra didelis. Nepaisant to, kad blogai kondicionuotos sistemos turi unikalų sprendimą, praktiškai dažnai nėra prasmės ieškoti šio sprendimo. Panagrinėkime blogai kondicionuotų SLAE savybes naudodami du konkrečius labai artimų netinkamai kondicionuotų SLAE pavyzdžius su ta pačia dešine puse b ir šiek tiek skirtingomis matricomis A ir B: A= B=, b=, 3 5. (38) ) Nepaisant šių sistemų artumo, jų tikslūs sprendiniai pasirodo labai nutolę vienas nuo kito, būtent: y A = , y B = (39) Jei prisiminsime triukšmo buvimą, t.y. Apie visada esančią įvesties duomenų klaidą tampa aišku, kad blogai kondicionuotų sistemų sprendimas naudojant standartinius metodus visiškai neturi prasmės. Prisiminkite, kad problemos, kurių mažos modelio klaidos (matrica A ir vektorius b) lemia dideles sprendimo klaidas, vadinamos neteisingomis. Taigi netinkamos sąlygos SLAE yra tipiškas netinkamų problemų pavyzdys. Be to, reikia pažymėti, kad dviejų lygčių sistemai nesunku gauti tikslų sprendimą, tačiau sprendžiant didelio matmens SLAE (įskaitant su „tiksliu“ algoritmu
4 4 6. Išsigimusios ir blogai sąlygotos Gauso SLAE) net ir nedidelės apvalinimo klaidos, kurios neišvengiamai susikaupia skaičiavimų metu, lemia didžiules rezultato klaidas. Kyla klausimas: ar prasminga ieškoti skaitinio sprendimo, jei iš anksto žinoma, kad dėl pačios problemos nestabilumo jis gali pasirodyti visiškai neteisingas? Norint geriau suprasti neteisingumo priežastį, pravartu palyginti dviejų lygčių gręžinio (21 pav.) ir blogai (22 pav.) sąlyginės sistemos grafinę interpretaciją. Sistemos sprendimas vizualizuojamas dviejų tiesių, vaizduojančių kiekvieną lygtį, susikirtimo tašku. Ryžiai. 21. Gerai kondicionuoto SLAE grafikas Fig. 22. Blogai kondicionuoto SLAE grafikas Iš Fig. 22 matyti, kad tiesios linijos, atitinkančios blogai kondicionuotą SLAE, yra arti viena kitos (beveik lygiagrečios). Šiuo atžvilgiu nedidelės kiekvienos linijos vietos klaidos gali sukelti didelių klaidų lokalizuojant jų susikirtimo tašką (SLAE sprendimai), priešingai nei gerai kondicionuotos sistemos atveju, kai mažos klaidos linijų nuolydis turi mažai įtakos jų susikirtimo taško vietai (21 pav.).
5 6. Išsigimusios ir netinkamai kondicionuotos SLAE 5 Atkreipkite dėmesį, kad netinkamai kondicionuota matrica taip pat būdinga atkuriant eksperimentinius duomenis, pateiktus per daug apibrėžtų (nenuoseklių) SLAE (pavyzdžiui, esant tomografijos problemoms). Siekiant išspręsti netinkamai iškeltas problemas, ypač išsigimusias ir blogai kondicionuotas SLAE, buvo sukurtas labai efektyvus metodas, vadinamas reguliavimu. Jis pagrįstas atsižvelgimu į papildomą a priori informaciją apie sprendimo struktūrą, kuri labai dažnai prieinama praktiniais atvejais.
10. QR ir SVD skaidymai: „blogi“ SLAE 1 10. QR ir SVD skilimai: „blogi“ SLAE Tarp matricinių skaidymų ypatingą vaidmenį atlieka stačiakampiai, kurie turi savybę išlaikyti vektorius. Leiskite jums priminti
7. Reguliavimas 1 7. Reguliavimas Siekdamas išspręsti netinkamai iškeltas problemas, sovietų matematikas Tichonovas pasiūlė paprastą, bet itin veiksmingą metodą, vadinamą reguliavimu ir pagrįstą įtraukimu.
Pavyzdys: svėrimas 1 Pavyzdys: svėrimas Pateiksime dar paprastesnį atvirkštinės problemos, susijusios su eksperimento rezultatų apdorojimu, interpretaciją, pavyzdžiui, dviejų tipų objektų svėrimas
Tema Skaitiniai tiesinės algebros metodai - - Tema Skaitiniai tiesinės algebros metodai Klasifikacija Yra keturios pagrindinės tiesinės algebros dalys: Tiesinių algebrinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimas
UDC 55 Isabekovas KA Madanbekova EE YSU pavadintas KTynystanovo vardu APIE APGYVENDINĮ NETIKSINGŲ ALGEBRINIŲ LYGČIŲ SISTEMŲ SPRENDIMĄ Šiame straipsnyje pateikiami dviejų blogo sprendimo metodų algoritmai
Specialus skaičiavimo seminaras su moksliniais tyrimais Nikolajus Matvejevičius Andruševskis, Maskvos valstybinio universiteto Informatikos fakultetas Anotacija Seminaras pagrįstas išsamiu matricų vienaskaitos vertės skaidymo metodo ir jo taikymo tyrimu.
Pernelyg nustatytos tiesinių lygčių sistemos Skalko Jurijus Ivanovičius Cibulinas Ivanas Ševčenka Aleksandras Per daug apibrėžtos SLAE Per daug nustatytos SLAE Apsvarstykite SLAE Ax = b, bet tuo atveju, kai lygčių yra daugiau,
Tiesinių algebrinių lygčių sistemos Pagrindinės sąvokos Tiesinių algebrinių lygčių sistema (SLAE) yra a a a, a a a, a a a formos sistema. Ją galima pavaizduoti kaip matricinę lygtį.
Ne LA egzaminas ekonomikos bakalaurams 04-0 mokslo metais, Raskite vektorių Ne (6 4; 6 8) ir Ne DEMO variantą 0 (x; y) (kuriam Ne ir x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
Erdvės tiesės lygtis 1 Tiesė yra dviejų plokštumų sankirta. Dviejų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistema. Tiesi erdvė erdvėje gali būti apibrėžta kaip dviejų plokštumų sankirta. Leiskite
6 PASKAITA SPEKTRALINĖS UŽDUOTYS. Nusileidimo metodai Paskutinėje paskaitoje buvo nagrinėjami variacinio tipo iteraciniai metodai. Sistemai Au = f, kuriai A = A, buvo įvesta funkcinė Φ(u, u).
11. Tiesinis redukavimas 1 11. Tiesinis redukavimas Baigkime pokalbį apie tiesines atvirkštines problemas, pateikdami kitą metodą, vadinamą redukcija. Iš esmės tai labai artima reguliavimui (kai kuriuose
01 1. Raskite lygčių sistemos bendruosius ir pagrindinius sprendinius: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, pagrindiniais kintamaisiais pasirinkdami x ir x. Atsakymas: Jei pasirinksime kaip pagrindinius kintamuosius
Demo 01 1. Raskite bendruosius ir pagrindinius lygčių sistemos sprendinius: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, pagrindiniais kintamaisiais pasirinkdami x ir x. 2. Raskite sistemos pagrindą
Maskvos valstybinis technikos universitetas, pavadintas NE Baumano Fundamentinių mokslų fakulteto Matematinio modeliavimo katedra ÀÍ Kasikov,
UDC 57.9 Igrunova S.V., sociologijos mokslų kandidatė, docentė, Rusijos informacinių sistemų katedros docentė, Belgorodas Kičigina A.K. Inžinerinių technologijų ir gamtos mokslų instituto IV kurso studentė
6 Funkcijų aproksimavimo metodai. Geriausias apytikslis. Paskutiniame skyriuje aptarti aproksimavimo metodai reikalauja, kad tinklelio funkcijos mazgai griežtai priklausytų gautam interpoliantui. Jei nereikalausi
TIŠINĖS ALGEBROS ELEMENTAI MATRIKSŲ IR OPERACIJŲ SU JOMIS KLASIFIKACIJA Apibrėžkite matricą Matricų klasifikavimas pagal dydį Kas yra nulinės ir tapatybės matricos? Kokiomis sąlygomis matricos laikomos lygiomis?
) SLAE samprata) SLAE sprendimo Cramerio taisyklė) Gauso metodas 4) Matricos rangas, Kronecker-Capelli teorema 5) SLAE sprendimas matricos inversija, matricų kondicionavimo samprata) SLAE samprata O. SLAE sistema
Lygiagretieji skaičiavimai tomografijoje Algebriniai kompiuterinės tomografijos metodai. Kompiuterinės tomografijos problema diskrečioje formoje Kompiuterinės tomografijos problema diskrečioje formoje. Priešingai
2 PASKAITA SKAIČIUS SLAE SPRENDIMAS Paprastai, sprendžiant daugumą praktinių uždavinių, tiesinių algebrinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimo uždavinys iškyla kaip pagalbinė užduotis.
LA Gauso metodo pagrindinių uždavinių pavyzdžiai Tam tikros tiesinių lygčių sistemos Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu 6
Operacijų tyrimas Apibrėžimas Operacija – tai renginys, skirtas tam tikram tikslui pasiekti, leidžiantis kelioms galimybėms ir jų valdymui Apibrėžimas Operacijų tyrimas matematinių
3 paskaita. 3. Niutono metodas (liestinės. Nustatykime tam tikrą pradinį aproksimaciją [,b] ir tiesiarizuosime funkciją f(kaimynystėje naudodami Teiloro serijos segmentą f(= f(+ f "(-. (5 Vietoj lygties) (sprendžiame
Tiesės ir plokštumos lygtys Tiesės lygtis plokštumoje.. Bendroji tiesės lygtis. Lygiagretumo ir tiesių statmenumo ženklas. Dekarto koordinatėse kiekviena tiesė Oxy plokštumoje yra apibrėžta
Maskvos valstybinis technikos universitetas, pavadintas N. E. Baumano Fundamentinių mokslų fakultetas Matematinio modeliavimo katedra A.N. Kasikovas,
Kontrolinių darbų pildymo pavyzdžiai nuotolinio mokymosi metu 1 kontrolinis darbas (CR-1) 1 tema. Tiesinė algebra 1 užduotis Būtina išspręsti lygčių sistemą, pateiktą užduotyje formoje Pastovi parametrai
Maskvos valstybinis technikos universitetas pavadintas. N.E. Baumano fakulteto Fundamentinių mokslų katedra Aukštoji matematika Analitinė geometrija Modulis 1. Matricinė algebra. Vektorinė algebra Paskaita
Bilietas. Matricos, veiksmai joms.. Parabolės lygtis kanoninėje koordinačių sistemoje. Bilietas. Matricos operacijų savybės Santykinė tiesės ir plokštumos padėtis. Kampas tarp jų, lygiagretumo sąlygos
3 TURINYS 1. Dalykos tikslai ir uždaviniai 4. Dalyko vieta BOP struktūroje 4 3. Dalykos struktūra ir turinys 5 3.1. Dalyko sandara 5 3.. Dalyko turinys 6 4. Mokomosios ir metodinės medžiagos sąrašas
PRAKTINĖS PAMOKOS Pamoka BŪTINOS IR PAKANKAMAS SĄLYGOS BESĄSĄLYGINIAM EKSTREMUMUI Uždavinio išdėstymas Duota du kartus nuolat diferencijuojama funkcija f (), apibrėžta aibėje X R Reikalinga ištirti
Antrojo semestro algebros uždavinių sprendimai D.V. Gorkovecas, F.G. Korablevas, V.V. Korableva 1 Tiesinės vektorinės erdvės 1 uždavinys. Ar vektoriai R4 yra tiesiškai priklausomi? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
Federalinė valstybinė švietimo biudžetinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga "Finansų universitetas prie Rusijos Federacijos Vyriausybės" (Finansų universitetas) "MATematikos" katedra
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Parodykite, kad vektorius;;) ;;) ; ;) suformuokite vektoriaus pagrindą ir parašykite tiesinę vektoriaus kombinaciją If;;) ant šių vektorių raskite X iš lygties Parodykite, kad vektorius;)
Kronecker-Capelli teorema. SLAE sprendimas Gauso metodu. Matricos rangas. Panagrinėkime stačiakampę matricą su m eilučių ir stulpelių: A. m m m Šioje matricoje parinksime savavališkas eilutes ir stulpelius. Elementai
Tiesinių lygčių sistemos su dviem kintamaisiais Formos lygčių sistema vadinama tiesinių lygčių sistema su dviem kintamaisiais. Dviejų kintamųjų lygčių sistemos sprendimas yra reikšmių pora
TIŠINĖ ALGEBRA Paskaita Tiesė ir plokštuma erdvėje Turinys: Plokštumos lygtis Abipusis plokštumų išsidėstymas Vektorinė-parametrinė tiesės lygtis Tiesės iš dviejų taškų lygtys Tiesė
ST PETERBURGO VALSTYBINĖS UNIVERSITETAS Valdymo procesų taikomosios matematikos fakultetas A. P. IVANOV, Y. V. OLEMSKOY PRAKTIKA APIE SKAIČIŲ METODUS KVADRATINĖS FUNKCIJOS MAŽINIMAS.
0 g 6 Procesai FORA SĄLYGOS MATRIKOS SKAIČIUS, KAIP STABILUMO RODIKLIS, SPRENDANT TAIKOMAS PROBLEMAS R Tsey, MM Shumafov Adygea State University, Maykop Matricos sąlygos numeris
MATRIKOS, DETERMINANTAI, TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS Ribinių nepilnamečių metodas, norint rasti matricos rangą A = m m m mažoji Matricos k eilės mažoji k yra bet koks šios matricos k-osios eilės determinantas,
4 PASKAITA ITERACYVINIAI SLAE SPRENDIMO METODAI Norėdami sumažinti paklaidą, susijusią su apvalinimu, naudokite tokį algoritmą. Tebūnie u tikslus sistemos sprendimas, u skaitinis sprendimas. Tada pristatome
1. Tiesinės sistemos ir matricos 1. Apibrėžkite matricos dauginimą. Ar ši operacija yra komutacinė? Paaiškinkite atsakymą. Matricų A ir B sandauga C apibrėžiama kaip m p m p A B ij = A ik B kj. Operacija nėra komutacinė.
RUSIJOS FEDERACIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA TOMSK VALSTYBĖS VALDYMO SISTEMŲ IR RADIJOELEKTRONIKOS UNIVERSITETAS (TUSUR) Yu.E. Voskoboynikovas A.A. Mitzel NETEISINGOS MATEMATINĖS PROBLEMOS
SKAIČIŪS TIŠINĖS ALGEBROS METODAI Skyriuje „Tiesinės algebros skaitmeniniai metodai“ aptariami skaitiniai tiesinių algebrinių lygčių sistemų (SLAE) sprendimo metodai ir skaitiniai uždavinių sprendimo metodai.
ANALITINĖ GEOMETRIJOS 3 STRAUKA Lektorius P. V. Golubcovas 1.1. Vektoriai. Pirmosios egzamino dalies klausimų sąrašas 1. Suformuluokite tiesinių veiksmų vektoriais apibrėžimą. Išvardykite tiesinių operacijų savybes
Tiesinių algebrinių lygčių sistemos Panagrinėkime m tiesinių algebrinių lygčių su nežinomaisiais sistemą b b () m m m bm Sistema () vadinama vienalyte, jei visi jos laisvieji nariai b b b m yra lygūs
4. Tiesinių lygčių sistemos. Pagrindinės sąvokos Lygtis vadinama tiesine, jeigu joje yra nežinomųjų tik iki pirmojo laipsnio ir nėra nežinomųjų sandaugų, t.y. jei jis turi formą + + +
Tiesinė algebra 7 paskaita Vektoriai Įvadas Matematikoje yra dviejų rūšių dydžiai: skaliarai ir vektoriai.
Skaitinių metodų egzamino klausimų sąrašas (2018 m. gegužės 28 d.) 0.1 Skaitinis integravimas 1. Išvardykite netinkamųjų integralų skaičiavimo metodus. Sukurkite kvadrato formulę integralui apskaičiuoti
Lygiagretieji skaičiavimai tomografijoje Paprastas iteracijos metodas. Greito nusileidimo metodas. ART metodas. SIRT metodas. Taikant paprastą iteracijos metodą, atsipalaidavimo koeficientai τ k ir matricos H k nepriklauso nuo skaičiaus
Įvadas į tiesinę matricinę algebrą. Apibrėžimas. M n skaičių lentelė m m m n n mn, susidedanti iš m eilučių ir n stulpelių, vadinama matrica. Matricos elementai numeruojami panašiai kaip determinanto elementai
7 PASKAITA INTERPOLIACIJA Paskutinėje paskaitoje buvo svarstoma per daug apibrėžtos sistemos sprendimo problema. Tokia sistema yra tokia: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x
TEORIJOS KLAUSIMAI I. MATRIKOS, DETERMINANTAI 1) Pateikite matricos apibrėžimą. Kas yra nulio ir tapatumo matricos? Kokiomis sąlygomis matricos laikomos lygiomis? Kaip atliekama perkėlimo operacija? Kada
7 paskaita ANTROSIOS TVARKOS KREIVĖS SUMAŽINIMAS IKI KANONINĖS FORMOS. Pagrindų ir koordinačių transformacija plokštumoje Tegul plokštumoje pateikiamos dvi stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos, turinčios bendrą pradžią:
Tiesinė algebra Modulis 1. Tiesinės ir Euklido erdvės. Tiesiniai operatoriai tiesinėje erdvėje Paskaita 1.4 Santrauka Tiesinio operatoriaus savieji vektoriai ir savosios reikšmės, jų savybės.
UDC. REKURSINIŲ SKAITMENINIŲ FILTRŲ SINTEZĖ PAGAL IMPULSŲ CHARAKTERISTIKĄ, NUSTATYTAS PAGAL ELEMENTARINĘ MATEMATINĘ FUNKCIJĄ Nikitinas D.A., Khanovas V.Kh. Įvadas Šiuolaikiniame rekursinio sintezės metodų arsenale
8 skyrius Funkcijos ir grafikai Kintamieji ir jų priklausomybės. Du dydžiai vadinami tiesiogiai proporcingais, jei jų santykis yra pastovus, tai yra, jei =, kur yra pastovus skaičius, kuris nesikeičia keičiantis
Gauso metodas (nežinomų pašalinimo metodas) Dvi sistemos vadinamos lygiavertėmis (ekvivalentinėmis), jei jų sprendiniai sutampa. Galite pereiti į lygiavertę sistemą naudodami elementarias transformacijas
Laboratorinis darbas Nr.3
Nesąlyginių tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas
Reguliavimo metodas
Įvesties parametrai: n-teigiamas sveikasis skaičius, lygus sistemos eilei n; a yra n x n realiųjų skaičių masyvas, kuriame yra sistemos koeficientų matrica; b – n realiųjų skaičių masyvas, kuriame yra sistemos laisvųjų terminų stulpelis (b(1) = b 1, b(2) = b 2, …b (n) = b n) .
Išvesties parametrai: x – sistemos sprendimas; p-iteracijų skaičius.
Algoritmo schema parodyta 18 pav.
Programos tekstas:
procedura regul(N:Sveikasis skaičius;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvektorius;
alfa,s1,s:realus; max,eps:real; i,j,k,l:integer;
Out_Slau_T(n,a,b);
I:=1 iki n Do (gaunama A TA)
K:=1 iki N Do
Jei J:=1 iki N. Daryti S:=S+A*A;
I:=1 iki N Do (gaunama A T B)
Jei J:=1 iki N Do
Pradžia S:=S+A*B[j];
alfa:=0; (pradinė alfa vertė)
k:=0; (iteracijų skaičius)
alfa:=alfa+0,01; inc(k); a2:=a1;
nuo i:=1 iki N daryti a2:=a1+alfa; (gauna A T A+alfa)
jei i:=1–N – b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (gauna A T B+alfa)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
i:=2 iki n daryti
jei abs(b2[i]-X[i])>max tada max:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Blogai kondicionuotų sistemų sprendimo reguliavimo metodu uždavinių variantai pateikti 3 lentelėje.
Sukimosi metodas (duota)
Algoritmo schema parodyta 19 pav.
Pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą
Programos tekstas:
PROCEDŪRA Vrash;
Var I, J, K: sveikasis skaičius; M, L, R: Tikras; F1:TEXT; Etiketė M1,M2;
Out_Slau_T(nn,aa,b);
i:=1 iki Nn daryti
Jei I:=1 Iki Nn-1 Pradėkite
K:=I+1 To Nn Pradėti
Jei (Aa0.0) Tada eikite į M1; Jei (Aa0.0) Tada eikite į M1;
1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);
L: = -1,0*Aa/M;
M2:Jei:=1 Iki Nn Pradėti
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
I:=Nn Downto 1 Pradėkite
Jei K:=0 Iki Nn-I-1 Pradėkite M:=M+Aa*Aa; Pabaiga;
Aa:=(Aa-M)/Aa;
Pabaiga;
nuo i:=1 iki Nn daro x[i]:=Aa;Pabaiga;
jei abs(b2[i]-X[i])>max tada max:=abs(b2[i]-X[i]);
Skaičiavimai pagal programą davė tokius rezultatus:
19 pav. Givenso metodo algoritmo schema (sukimas)
Užduočių parinktys
|
3 lentelė |
3 lentelė |
||||||
Matrica A
Žinių kontrolės laboratorinio darbo Nr.3 tema iliustruojama kontrolės ir mokymo programa.
Laboratorinis darbas Nr.4
Netiesinių lygčių ir netiesinių lygčių sistemų sprendimas
Paprastas iteracijos metodas
Laboratorinių darbų atlikimo tvarka:
Raskite sprendinio nulinę aproksimaciją;
Paversti sistemą f(x) = 0 į formą x = Ф(x);
Patikrinkite metodo konvergencijos sąlygą.
Algoritmo schema parodyta 20 pav.
Pavyzdys. Išspręskite sistemą naudodami paprastą iteracijos metodą
Programos tekstas:
Nuliniam aproksimacijai pasirenkame tašką x = 1, y = 2,2, z = 2. Transformuokime sistemą į formą
PROCEDŪRA Iteraz;
Var I, J, K, J1: sveikasis skaičius;
X2,X3,Eps: Tikras;
Eps: = 0,01; X2: = 0,0; K:=1;
J:=1 Iki Nn Do Pradėti
Jei I:=1 Iki Nn Pradėti S:=S+Aa*Xx[i]; Pabaiga;
Jei J1:=1 Iki Nn Pradėti Xx:=R; Pabaiga; X3:=Xx;
Jei I:=1 Iki Nn Pradėti Jei (Xx[i]>=X3) Tada X3:=Xx[i]; Pabaiga;
Jei I:=1 Iki Nn Pradėkite Xx[i]:=Xx[i]/X3; Pabaiga;
X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);
Jei (U1>=Eps) Tada X2:=X1;
nuo i:=1 iki Nn daro x[i]:=Aa;Pabaiga;
Iki ((K>=50)arba (U1
X(1) = 1,1132 X(2) = 2,3718 X(3) = 2,1365
Iteracijų skaičius: 5
20 pav. Paprasto iteracijos metodo algoritmo schema
Niutono metodas
Programa gali būti naudojama sprendžiant ne aukštesnės nei dešimtosios eilės sistemas. 
Įvesties parametrai: n - sistemos lygčių skaičius (sutampa su nežinomųjų skaičiumi), n £ 10; n realiųjų skaičių x masyvas, kuriame yra pradinis sprendimo spėjimas; f yra išorinės procedūros f(n, x, y) pavadinimas, kuri pagal duotąsias x reikšmes, esančias masyvo x elementuose, apskaičiuoja esamas funkcijos f reikšmes ir įdeda jas į masyvo y elementai; g - išorinės procedūros g(n, x, d), kuri apskaičiuoja matricos elementus iš nurodytų reikšmių x iš masyvo x pavadinimas
Išvesties parametrai: x - n realių skaičių masyvas (dar žinomas kaip įvestis) turi apytikslę sprendimo reikšmę išeinant iš paprogramės; k – iteracijų skaičius.
UDC 519.61:621.3
V.P. VOLOBOJEVAS*, V.P. KLIMENKO*
APIE VIENĄ POŽIŪDĮ, SPRENDANT NETINKINGĄ TIŠINIŲ ALGEBRINIŲ LYGČIŲ SISTEMĄ, APRAŠANT FIZIKĄ OBJEKTĄ
Ukrainos nacionalinės mokslų akademijos Matematinių mašinų ir sistemų problemų institutas, Kijevas, Ukraina
Abstraktus. Įrodyta, kad fizinių objektų, kurių diskretiškas modelis aprašomas tiesinių algebrinių lygčių sistema (SLAR), modeliavimo rezultatų tikimybė yra ne dėl prasto matricos dizaino, o dėl neteisingi SLAR atrankos pokyčiai sulankstytų lygių stadijoje, naudojant mazgo potencialų metodą ar jo analogus, ir pats metodas Tai esminis nukrypimas nuo teisingo užduoties nustatymo metodo SLAR teisingumo tikrinimo metodas, suformuotas pagal pasiūlytas mazgų potencialų metodas, turintis negeneruotą simetrišką matricą, kurią būtina transformuoti į teisingą formą.
Reikšminiai žodžiai: sistema, modeliavimas, neteisingas nustatymas, blogas samprotavimas, tiesinių algebrinių lygčių sistema, mazgų potencialų metodas, teisingo uždavinio nustatymo metodas, teisingumo tikrinimas.
Anotacija. Parodyta, kad modeliuojant fizikinius objektus, kurių diskretąjį modelį apibūdina tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistema, rezultatų patikimumas priklauso ne nuo prasto matricos sąlygiškumo, o nuo neteisingo SLAE kintamųjų pasirinkimo. lygčių sudarymo stadijoje naudojant mazgų potencialų metodą ar jo analogus, o pats metodas yra tam tikras vienas teisingo problemos formulavimo metodo atvejis. Siūloma metodika SLAE, sudarytos mazginių potencialų metodu, turinčios neišsigimusią ir simetrišką matricą, teisingumui patikrinti ir prireikus konvertuoti į teisingą formą.
Reikšminiai žodžiai: sistema, modeliavimas, neteisingai iškelta problema, netinkamas kondicionavimas, tiesinių algebrinių lygčių sistema, mazgų potencialų metodas, teisingo uždavinio formulavimo metodas, teisingumo patikrinimas.
Abstraktus. Straipsnyje parodyta, kad fizinių objektų modeliavimo rezultatų patikimumas, kurio diskretinis modelis aprašomas tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistema, priklauso ne nuo prastai kondicionuotos matricos, o nuo neteisingo kintamojo SLAE pasirinkimo lygčių generavimo etape. mazgo potencialo metodu ar jo analogais, o metodas yra specialus teisingo problemos išdėstymo metodo atvejis. Buvo pasiūlytas SLAE teisingumo patikrinimo metodas, atliktas mazgo potencialo metodu, turintis nevienskaitą ir simetrišką matricą ir, jei reikia, jos transformaciją į teisingą formą.
Raktiniai žodžiai: sistema, modeliavimas, neteisingas uždavinys, blogai sąlygotas, tiesinių algebrinių lygčių sistema, mazgo potencialo metodas, teisingo uždavinio teigimo metodas, teisingumo patikrinimas.
1. Įvadas
Daugelis fizinių (techninių) objektų modeliavimo problemų susiveda į tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistemų sprendimą. Kadangi visi skaičiavimai sprendžiant tokias sistemas atliekami su baigtiniu reikšmingų skaitmenų skaičiumi, tikslumas gali būti gerokai prarastas dėl apvalinimo klaidų. Blogai kondicionuota (nestabili) sistema arba, bendriau formuluojant, neteisingai iškelta problema, laikoma problema, kuri, esant fiksuotam įvesties duomenų klaidų lygiui ir skaičiavimo tikslumui, negarantuoja jokio sprendimo tikslumo. Sąlygos numeris naudojamas kaip a priori blogiausias galimų klaidų įvertinimas sprendžiant SLAE. Kaip matyti iš literatūros, neteisingai iškeltų problemų sprendimo metodų kūrimas yra laikomas grynai matematine problema, kurioje neatsižvelgiama į fizinių (techninių) objektų ypatybes, nepaisant to, kad daugelio uždavinių skaitinis sprendimas. matematinės fizikos ir sudėtingų fizikinių procesų matematinio modeliavimo
© Voloboev V.P., Klimenko V.P., 2014 m
pelėdos ir techninės sistemos yra neišsenkantis tiesinės algebros problemų šaltinis. Išvardytai problemų klasei, kuriant sprendimo būdus, neatsižvelgiama į SLAE sudarymo stadiją, kurioje vienaip ar kitaip galima atsižvelgti į konkrečios problemos ypatybes. Tai, kad į šį etapą reikia atsižvelgti, patvirtina toliau pateiktų darbų rezultatai.
Pirmiausia verta atkreipti dėmesį į darbą, kuriame pateikiami matricų pavyzdžiai, kurių tikslumo praradimas sprendžiant SLAE yra nedidelis, o sąlygos skaičiaus reikšmė didžiulė, tai yra parodyta, kad visuotinai priimtas kriterijus SLAE sprendimo tikslumo a priori įvertinimas pagal sąlygos numerį yra būtinas, bet nepakankamas. Darbuose buvo pasiūlytas visiškai naujas požiūris į netinkamai iškeltos problemos sprendimą. Tai slypi tame, kad siekiant padidinti SLAE sprendimo tikslumą, net ir esant didelei sąlygos skaičiaus reikšmei, aprašant diskretišką fizinio objekto modelį, siūloma teisingai sudaryti SLAE. Tai reiškia ne tik tai, kad tokios matricos egzistuoja, kaip nurodyta darbe, bet ir tai, kad buvo pasiūlytas būdas teisingai sudaryti SLAE matricą, aprašančią diskretųjį objekto modelį. SLAE matricos sudarymo metodas nagrinėjamas atsižvelgiant į elektros grandinių, maitinimo sistemų, mechanikos strypų sistemų ir matematinės fizikos elipsinių lygčių modeliavimo problemas.
Šio metodo esmė ta, kad, skirtingai nuo esamų metodų, formuojant SLAE, tikslingai pasirenkant kintamuosius, atsižvelgiama į fizinio objekto diskretinio modelio parametrus. Pažymėtina, kad metodas taikomas tik tiems objektams, kurių diskrečiojo modelio topologija pavaizduota grafiku.
Šį reikalavimą tenkina elektros grandinės ir maitinimo sistemos projektinis modelis. Daugeliui sudėtingų fizikinių procesų, techninių sistemų ir matematinės fizikos matematinio modeliavimo problemų diskretinio modelio topologijos vaizdavimas grafo pavidalu nenaudojamas. Darbuose matyti, kad minėtas apribojimas pašalinamas fizinio objekto diskretinio modelio skaičiavimo schemų elementų topologiją pavaizduojant grafo pavidalu. Taip pat yra elementų topologijos vaizdavimo grafų pavidalu metodas.
Šiame darbe pasiūlysime neteisingai iškeltos problemos ištaisymo būdą tuo atveju, kai diskrečiojo modelio topologija neatvaizduojama grafo pavidalu. Kurdami metodą atsižvelgiame į tai, kad visuotinai pripažintas diskrečiųjų matematinės fizikos problemų ir sudėtingų fizikinių procesų bei techninių sistemų modelių aprašymo metodas (mazginio potencialo metodas) yra specialus teisingo SLAE matricos sudarymo metodo atvejis. .
2. Ryšys tarp SLAE, apibūdinančio diskrečiųjų objekto modelį, sprendinio tikslumo ir lygčių sudarymo metodo.
Akademikas Voevodinas V.V. savo darbe parodė, kad didžiausias SLAE sprendimo Gauso metodu rezultatų tikslumas pasiekiamas naudojant metodą su pagrindinio elemento pasirinkimu. Remiantis šia idėja, buvo išleista daugybė darbų. Tačiau sprendžiant praktines problemas paaiškėjo, kad SLAE sprendimo tikslumas, ypač blogai sąlygotų matricų atveju, labai prarandamas dėl apvalinimo klaidų, tai yra, norint pagerinti rezultatų tikslumą sprendimo etape, to nepakanka. tiesiog naudoti Gauso metodą pasirenkant pagrindinius elementus.
Tolimesnė šios idėjos plėtra – darbe siūlomas metodas, kai diskretiškojo objekto modelio aprašymo sudarymo etape siūloma pagrindinius formuoti įstrižinius matricos elementus. Norėdami tai padaryti, sudarant aprašymą, naudojama papildoma informacija, būtent diskretiškojo modelio parametrai. Šio požiūrio efektyvumas, būtent SLAE sprendimo tikslumo priklausomybė, apibūdinanti diskretišką
ISSN 1028-9763. Matematinės mašinos ir sistemos, 2014, Nr.4
Modelio pavyzdžiu bus demonstruojamas naujas objekto modelis iš lygčių sudarymo metodo. Toliau apsvarstysime modelio pavyzdžio aprašymo sudarymą naudojant aprašytą metodą, pasirenkant pagrindinį elementą ir jo nerenkant, ir jo sprendimą.
Pavyzdiniu pavyzdžiu pasirinkta elektros grandinė, parodyta 1 pav. 1.
Ryžiai. 1. Elektros grandinė
Yra žinoma, kad SLAE, apibūdinančio elektros grandinę, sąlygiškumas priklauso nuo grandinės komponentų laidumo (varžos) verčių sklaidos diapazono. Pasirinktas elektros grandinės komponentų laidumo pokyčių diapazonas, lygus 15 eilučių, užtikrina prastą SLAE sąlygiškumą, taigi, kaip įprasta manyti, problemos neteisingumą. Naudojant 2 mazgo potencialo apskaičiavimo pavyzdį (įtampa komponente G2), bus analizuojama skaičiavimo rezultatų patikimumo priklausomybė nuo įstrižainės elemento formavimo būdo sudarant elektros grandinės aprašymą.
Žemiau pateikiamos pagrindinės nuostatos, reikalingos sprendžiant modelio pavyzdį naudojant teisingos problemos formulavimo metodą. Elektros grandinės matematinio modelio konstravimas šiuo metodu grindžiamas pagrindine elektros grandinės lygčių sistema, kuri apima komponentines lygtis ir lygtis, sudarytas remiantis Kirchhoffo dėsniais. Modelio pavyzdyje komponento lygtis turi tokią formą
čia U i – komponento nukritusi įtampa, I – srovė, tekanti per komponentą, Gt – komponento laidumas.
Apibūdinti elektros grandinės grafiką ir atitinkamai lygtis, pagrįstas Kirchhoffo dėsniais, naudojamos kontūrų ir pjūvių topologinės matricos. Grandinės grafikas sutampa su elektros grandine. Kontūrų ir pjūvių topologinių matricų sudarymas apima grandinės grafiko medžio pasirinkimą ir pasirinkto medžio kontūrų nubrėžimą. Elektros grandinės grafiko medis parenkamas taip, kad į medį būtų įtraukti visi įtampos šaltiniai, o visi srovės šaltiniai – į akordus. Elementai grandinės komponentų įtampos vektoriuose U ir srovės I yra sugrupuoti į tuos, kurie yra įtraukti į medį (rodyklė D), tai yra, šakos ir stygos (indeksas X), taigi:
Kontūrai formuojami sujungiant akordus prie grandinės grafiko medžio. Šiuo atveju
topologinė kontūrų matrica turi formą
kur 1 yra akordų vienetinė submatrica, t
Žymi matricos transpoziciją, o sekcijų topologinė matrica yra formos |1 -F, kur 1 yra šakų vienetinė submatrica. Kaip matyti iš , matricos įstrižainės
ISSN 1028-9763. Matematinės mašinos ir sistemos, 2014, Nr.4
bus pagrindiniai tuo atveju, kai medžio komponentų laidumas grandinėse turi didžiausią laidumą. Atsižvelgiant į topologinių matricų tipą, grandinės lygtys, sudarytos remiantis Kirchhoffo dėsniais, gali būti parašytos matricos forma taip:
jų =-ґid, (3)
Sudarytos lygčių sistemos kintamieji parenkami iš komponentų įtampų ir/ar srovių, atlikus pagrindinės lygčių sistemos analizę. Jei komponentai, esantys medžio šakose, pasirenkami kaip kintamos įtampos, komponentų lygtis (1) ir lygtis (3), (4) gali būti transformuota į tokią formą:
Gd U d – F(Gx (- FUd)) = 0.
Žemiau pateiksime lygčių sudarymą modelio pavyzdžiui. Pirmiausia parengiamas elektros grandinės aprašymas, kad pagrindiniai būtų matricos įstrižainės. Šį reikalavimą tenkina į medį įtrauktas komponentų rinkinys E1, G6, G3, G2 (1 pav. medžio šakos paryškintos paryškinta linija). Pasirinktą medį atitinka šie komponentų įtampų ir srovių vektoriai:
ir topologines matricas
(5) lygtis, atsižvelgiant į (6), (7) ir komponentų lygtis po transformacijų, turi tokią formą:
- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5
SLAE (8) yra blogai kondicionuotas, nes matricos savosios reikšmės \= 1,5857864376253, R2 = 5,0E +14+j5,0E +14, A, = 5,0E +14 - j5,0E +14. Norint nustatyti, kaip sistemos sprendimo rezultatų tikslumas priklauso nuo lygčių sudarymo varianto pasirinkimo, 2 mazgo potencialo Uq apskaičiavimas bus atliktas bendra forma:
ISSN 1028-9763. Matematinės mašinos ir sistemos, 2014, Nr.4
(g1+g2 +g4 +g5)-
Iš skaičiavimo proceso analizės (9-11) matyti, kad nepaisant didelio laidumo verčių pokyčių diapazono (15 dydžių kategorijų), nėra griežtų reikalavimų galutiniam skaičių vaizdavimo tikslumui tiek sudarydami lygtis ir jas sprendžiant. Norint gauti patikimą rezultatą, pakanka atlikti SLAE sudarymo ir sprendimo skaičiavimo procesą, kad skaičiai būtų pavaizduoti iki dviejų reikšmingų skaičių.
Pažymėtina, kad SLAE (8) matricos G+G4+G5I antrosios eilės (stulpelio) įstrižainės elementas yra žymiai didesnis (15 dydžių kategorijų) nei likusių narių suma.
eilutės (stulpeliai) | G4 + 2G51. Tai reiškia, kad UG = 0, galime supaprastinti SLAE
(8), išlaikant rezultatų patikimumą. Rankinio skaičiavimo eroje ši technika atitiko 2 mazgo sujungimą su 3 (1 pav.).
Antruoju atveju (nepasirinkus įstrižainės elemento kaip pagrindinio) pakanka medyje pasirinkti komponentus Ex, G6, G4, G2 (1 pav. medžio šakos pažymėtos punktyrinėmis linijomis).
linija). Įtampos kritimai ant šių komponentų atitinka mazgo potencialus 1, 4, 3, 2, skaičiuojamus nuo nulinio mazgo. Tai reiškia, kad pasirinkus tokį komponentų medį, teisingo SLAE matricos sudarymo metodas sutampa su mazgų potencialų metodu. Pasirinktą medį ir akordus atitinka šie komponentų įtampų ir srovių vektoriai:
U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG
UG G2 G5 ig G2 G5
ir topologines matricas
(5) lygtis, atsižvelgiant į (12), (13) ir komponentų lygtis, bus tokia:
ISSN 1028-9763. Matematinės mašinos ir sistemos, 2014, Nr.4
G5 + G6 -G5 0 UG G6 0
G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0
0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1
Lygčių sistema (14) yra nesąlygota, nes turi šias matricos savąsias reikšmes: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Kaip ir pirmoje pavyzdžio versijoje, galimas 2 mazgo UG bus apskaičiuojamas bendra forma:
(G + G + G)-----------
V 3 4 У (G + G)
+ (G1 + G2 + G3)
3 4 5 colių (G5 + G6)
Iš lygčių sistemos (15-17) sprendimo skaičiavimo proceso analizės matyti, kad rezultatų patikimumas tiek sudarant, tiek sprendžiant lygtis priklauso nuo galutinio skaičių vaizdavimo tikslumo. Taigi, jei sistemos (15-17) sprendimo skaičiavimo procesas atliekamas mažesniu nei 15 reikšminių skaitmenų tikslumu, rezultatas bus
1015 +1015 ~ o,
ir tuo atveju, kai tikslumas yra didesnis nei 15 reikšminių skaitmenų, jis bus toks
1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)
Palyginus (8) ir (14) matricas, taip pat lygčių sistemų sprendimo skaičiavimo procesus, daromos tokios išvados.
Mazginių potencialų metodas yra specialus pasiūlyto metodo atvejis, o būtent mazginių potencialų metodu į medį visada parenkamos grafiko briaunos, jungiančios pagrindinį mazgą su likusiu mazgu.
Matricos įstrižainės elementų modulis yra didesnis nei kitų elementų, tiek eilutėse, tiek stulpeliuose, nepriklausomai nuo to, ar matrica sudaryta pasirinkus didžiausias įstrižaines, ar be jų. Vienintelis skirtumas yra tai, kiek didesni yra įstrižainės elementai nei neįstrižai. Tai reiškia, kad tokio tipo SLAE sprendimas Gauso metodu pasirenkant pagrindinį elementą nepadidina šios klasės problemų rezultatų tikslumo.
ISSN 1028-9763. Matematinės mašinos ir sistemos, 2014, Nr.4
Galutinis reikšmingų skaičių, naudojamų Gauso sprendime, skaičius labai priklauso nuo to, ar matrica sudaryta pasirinkus didžiausius įstrižainius elementus, ar be jų. Vienos problemos versijos skiriasi nuo kitos tik tuo, kad lygčių sudarymo stadijoje vienu atveju medyje parenkamas didžiausio laidumo komponentas ir tokiu būdu šio komponento įtampa veikia kaip kintamasis SLAE. Šio komponento laidumas yra susijęs tik su įstrižainės matricos elemento formavimu. Kitu atveju šis komponentas patenka į akordus. Kaip matyti iš (3) lygties, komponento įtempis nustatomas pagal medžio komponentų įtempį. Iš (4) lygties seka, kad komponento laidumas dalyvauja formuojant eilučių ir stulpelių elementus, taigi stygos laidumas lemia šių matricos elementų dydį.
3. SLAE matricos, sudarytos mazgų potencialų metodu, transformavimas į formą, atitinkančią teisingą formulę
Skaitmeniškai sprendžiant matematinės fizikos uždavinius ir matematiškai modeliuojant sudėtingus fizikinius procesus ir technines sistemas, skirtas sudaryti SLAE, apibūdinančius diskrečius šių problemų modelius, daugiausia naudojamas mazgų potencialų metodas arba jo analogai. Išskirtinis šio metodo bruožas yra tai, kad kaip SLAE kintamieji naudojami diskretinio modelio projektavimo schemos potencialai, skaičiuojami nuo bazinio mazgo iki likusių mazgų, paprastas lygčių sudarymo algoritmas ir silpnai užpildyta SLAE matrica. Tokio efektyvumo kaina gali būti užduoties neteisingumas. Atsižvelgiant į tai, kad mazginių potencialų metodas yra tik vienas iš teisingo uždavinio iškėlimo metodo variantų, neteisingai iškelta problema gali būti ištaisyta taikant matricinę transformaciją. Žemiau apžvelgsime algoritmą, kaip transformuoti neteisingai sudarytą uždavinį mazginių potencialų metodu.
Iš visos fizinių objektų įvairovės bus svarstomi tik tie objektai, kurių tiesinis diskretinis modelis aprašytas SLAE su neišsigimusia ir simetriška matrica.
3.1. Matricos transformacijos algoritmas
Kuriant matricos transformacijos algoritmą, naudojamas faktas, kad matricos i-osios eilutės j-asis neįstrižainis elementas yra įtrauktas į matricą su minuso ženklu ir turi diskretišką modelio parametrą, apibūdinantį ryšį. tarp i-ojo ir j-ojo diskretinio modelio mazgų. Įstrižainės elementas įtrauktas į matricą su teigiamu ženklu, jame yra neįstrižainių elementų suma ir diskretiškas modelio parametras, apibūdinantis ryšį tarp i-ojo mazgo ir bazinio. Paprastai, numeruojant diskretinio modelio mazgus, pagrindinis mazgas laikomas nuliu.
Kaip matyti iš aukščiau atlikto tyrimo, problemos neteisingumas sudaryto SLAE lygyje atsiranda tik tuo atveju, jei bent vienas iš neįstrižainių linijos elementų yra žymiai didesnis už diskretinio modelio parametrą, kuris įtraukiamas tik įstrižainėje elemente. Žemiau pateikiama metodika, kaip patikrinti sudaryto SLAE teisingumą.
Tegul SLAE turi formą
kur x yra mazgų potencialų (mazgų įtakos) vektorius, y yra išorinių srautų vektorius, A yra formos matrica
ISSN 1028-9763. Matematinės mašinos ir sistemos, 2014, Nr.4
а11 а1і a1j a1n
аі1 а,і aj ain , (21)
aJ1 an1 аі aJJ ann
kur n yra matricos dydis. Matricos elementai atitinka šiuos reikalavimus:
ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)
Žemiau apsvarstysime i-osios matricos eilutės teisingumo patikrinimą ir, jei reikia, jos pataisymą.
Pirmiausia nustatomas diskretinio modelio parametras ait, kuris įtraukiamas tik į i-osios matricos eilutės įstrižainės elementą,
i-oji matricos eilutė laikoma teisingai sudaryta, jei parametras ait atitinka sąlygą
1 < j < n, при j Ф і.
Jei sąlyga (24) neįvykdyta, koreguojama i-oji eilutė. Pirmiausia pasirenkamas didžiausias iš neįstrižainių elementų. Tegul tai yra j-asis i-osios eilutės elementas. Nesunku įsitikinti, kad dėl matricos sudėties specifikos (sąlyga (22)) diskretinio modelio parametras, dalyvaujantis formuojant elementus o. ir a.^ iš i-osios ir j-osios eilučių, yra įtraukta kaip neatskiriama dalis į elementus aii ir a. . I-osios eilutės koregavimo esmė – i-tą ir j-ą matricos eilutes transformuoti taip, kad elemento reikšmė būtų a. buvo įtrauktas tik į elementą aii. Tai nesunku pastebėti, atvaizduojant kintamąjį xi formoje
X = xj + xj (25)
ir atliekant sekančią SLAE matricos j-osios stulpelio elementų transformaciją
o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)
gauname naują j-tą matricos stulpelį, kuriame transformuoti elementai yra a. ir a. nėra diskretiškojo modelio, sudarusio elementus a, parametro. ir a. .
Kitas žingsnis yra j-osios eilutės transformavimas naudojant formulę
aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)
Transformuotos j eilutės elementai a i nebeturi diskretiškojo modelio parametro, atitinkančio elementą a i .
ISSN 1028-9763. Matematinės mašinos ir sistemos, 2014, Nr.4
SLAE matricos teisingumo tikrinimas ir neteisingų eilučių taisymas atliekamas visai matricai. Šiame darbe nagrinėjamas tik matricos konvertavimo į teisingą formą algoritmo sudarymo metodas. Klausimai, susiję su efektyvaus matricos konvertavimo į teisingą formą algoritmo kūrimu, šiame darbe nenagrinėjami. Žemiau pateiksime SLAE matricos (14) transformacijos pavyzdį, sudarytą mazginių potencialų metodu.
3.2. Demo pavyzdys
Visų pirma, reikia pažymėti, kad matrica (14) yra simetriška ir neišsigimusi. Matricos koeficientai tenkina sąlygą (22). Mazgų potencialai atitinka įtampos kritimą tarp komponentų
U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG
Atsižvelgiant į (28), SLAE (14) gali būti pavaizduotas taip:
G5 + G6 - G5 0 U 4 0
G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0
0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA
Matricos teisingumo patikrinimas apima šias operacijas.
Diskretaus modelio parametro ait nustatymas pagal formulę (23), įtrauktas tik
į įstrižinį elementą. Pirmoje matricos eilutėje tai bus G6, antroje eilėje G4 ir trečioje - (Gl + G2).
Matricos eilučių teisingumo tikrinimas atliekamas pagal (24) formulę. Atlikus šį patikrinimą paaiškėja, kad antroji eilutė neatitinka teisingumo reikalavimo, nes (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . Parametras G3 taip pat įtrauktas į trečią matricos eilutę, todėl pagal (25) formulę pasirenkamas kintamojo U3 vaizdavimas formoje
U3 = U2 + U23, (30)
Transformavus 3 stulpelio elementus pagal (26) formulę, gauname tokios formos matricą (29):
G5 + G6 - G5 - G5
G5 g3 + g4 + g5 g4+g5
ir transformavus trečiąją eilutę, pagal (27) formulę, matrica (31) turės formą
(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0
G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)
G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E
SLAE (32) atitinka teisingumo reikalavimą, todėl reguliavimas laikomas baigtu. SLAE kintamieji (32) atitinka SLAE kintamuosius (8), ty in
ISSN 1028-9763. Matematinės mašinos ir sistemos, 2014, Nr.4
Dėl transformacijos į medį buvo parinkti tie patys komponentai, kaip ir teisingo problemos formulavimo metodu. Palyginus SLAE (8) ir (32), matyti, kad antrojo stulpelio ir antrosios eilės matricos (32) neįstrižiniai elementai skiriasi nuo matricos (8) ženklu. Taip yra dėl to, kad transformuojant matricą (14), buvo pasirinkta G3 komponento srovės kryptis, priešinga krypčiai, pasirinktai sudarant SLAE (8). Pakeitę kintamąjį U23 į U23 = -U23 ir antrosios lygties elementų ženklus pakeitę į priešingus, gauname matricą (8).
4. Išvada
Modeliavimas tapo neatsiejama žmonijos intelektinės veiklos dalimi, o modeliavimo rezultatų patikimumas yra pagrindinis modeliavimo rezultatų vertinimo kriterijus. Siekiant užtikrinti rezultatų patikimumą, reikalingi nauji požiūriai į sudėtingų objektų ir jų sprendimų aprašymo metodų ir algoritmų kūrimą.
Skirtingai nuo esamo požiūrio į netinkamai iškeltų problemų sprendimo metodų kūrimą, šiame darbe siūloma netinkamai iškeltą problemą (blogai sąlygotą) perkelti į teisingą formą. Parodyta, kad patikimus rezultatus sprendžiant SLAE, aprašančius diskrečius fizinių objektų modelius, apsunkina ne prastas matricos sąlygiškumas, o neteisingas SLAE kintamųjų pasirinkimas lygčių sudarymo etape ir mazgo metodas. Potencialai ir jo analogai, kuriais sudaromi SLAE, apibūdinantys diskrečiųjį modelį, yra specialus teisingo problemos formulavimo metodo atvejis. Siūlomas metodas SLAE, sudaryto mazgų potencialų metodu, teisingumui patikrinti tuo atveju, kai SLAE matrica yra nevienetinė ir simetriška. Nagrinėjamas matricos konvertavimo į teisingą formą algoritmas.
NUORODOS
1. Kalitkinas N.N. Kiekybinis sąlygiškumo kriterijus tiesinių algebrinių lygčių sistemoms / N.N. Kalitkinas, L.F. Yukhno, L.V. Kuzmina // Matematinis modeliavimas. - 2011. T. 23, Nr. 2. - P. 3 - 26.
2. Volobojevas V.P. Dėl vieno požiūrio į sudėtingų sistemų modeliavimą / V.P. Volobojevas, V.P. Klimenko // Matematinės mašinos ir sistemos. - 2008. - Nr. 4. - P. 111 - 122.
3. Volobojevas V.P. Apie vieną požiūrį į energijos sistemų modeliavimą / V.P. Volobojevas, V.P. Klimenko // Matematinės mašinos ir sistemos. - 2009. - Nr. 4. - P. 106 - 118.
4. Volobojevas V.P. Strypų sistemų mechanika ir grafų teorija / V.P. Volobojevas, V.P. Klimenko // Matematinės mašinos ir sistemos. - 2012. - Nr. 2. - P. 81 - 96.
5. Volobojevas V.P. Baigtinių elementų metodas ir grafų teorija / V.P. Volobojevas, V.P. Klimenko // Matematinės mašinos ir sistemos. - 2013. - Nr. 4. - P. 114 - 126.
6. Pukhovas G.E. Pasirinkti matematinių mašinų teorijos klausimai / Pukhov G.E. - Kijevas: Ukrainos TSR mokslų akademijos leidykla, 1964. - 264 p.
7. Seshu S. Tiesiniai grafikai ir elektros grandinės / S. Seshu, M.B. Reidas. - M.: Aukštoji mokykla, 1971. - 448 p.
8. Zenkevičius O. Baigtiniai elementai ir aproksimacija / O. Zenkevich, K. Morgan. - M.: Mir, 1986. -318 p.
9. Voevodinas V.V. Tiesinės algebros skaičiavimo pagrindai / Voevodin V.V. - M.: Nauka, 1977. -304 p.
10. Elektrotechnikos teoriniai pagrindai: vadovėlis universitetams / K.S. Demirchyanas, L.R. Neimanas, N.V. Korovkinas, V.L. Čechurinas. - . - Petras, 2003. - T. 2. - 572 p.
Vėl grįžkime prie SLAU Aх=b su kvadratine matrica A dydis MхN, kuriam, priešingai nei pirmiau aptartu „geru“ atveju (žr. 8.D skyrių), reikalingas specialus požiūris. Atkreipkime dėmesį į du panašius SLAE tipus:
- išsigimusi sistema (su nuliu determinantu |A|=0);
- prastai kondicionuota sistema (determinantas A nėra lygus nuliui, bet sąlygos skaičius yra labai didelis).
Nepaisant to, kad šių tipų lygčių sistemos labai skiriasi viena nuo kitos (pirmajai nėra sprendimo, o antrajai yra tik vienas), žvelgiant iš praktinio kompiuterio požiūrio, tarp jų yra daug bendro. juos.
Išsigimusios SLAE
Išsigimusi sistema – tai sistema, aprašyta matrica su nuliniu determinantu |A|=0(vienaskaitos matrica). Kadangi kai kurios į tokią sistemą įtrauktos lygtys yra vaizduojamos kitų lygčių tiesiniu deriniu, tai iš tikrųjų pati sistema yra nepakankamai apibrėžta. Nesunku suprasti, kad, priklausomai nuo konkretaus dešiniojo vektoriaus b tipo, sprendinių yra be galo daug arba jų nėra. Pirmasis variantas susijęs su įprasto pseudosprendimo konstravimu (t. y. iš begalinės sprendinių aibės pasirenkant tą, kuris yra arčiausiai tam tikro, pavyzdžiui, nulio, vektoriaus). Šis atvejis buvo išsamiai aptartas skyriuje. 8.2.2 (žr. 8.11-8.13 sąrašus).
Ryžiai. 8.7. Nenuoseklios dviejų lygčių sistemos su vienaskaita matrica grafinis vaizdas
Panagrinėkime antrąjį atvejį, kai SLAE Aх=b su vienaskaita kvadratine matrica A neturi sprendimo. Tokios problemos pavyzdys (dviejų lygčių sistemai) parodytas fig. 8.7, kurio viršuje įvedama matrica A ir vektorius b, taip pat bandoma (nesėkmingai, nes matrica A yra vienaskaita) išspręsti sistemą naudojant funkciją išspręsti. Grafikas, kuris užima pagrindinę paveikslo dalį, rodo, kad dvi lygtys, apibrėžiančios sistemą, apibrėžia dvi lygiagrečias tieses plokštumoje (x0,x1). Tiesės nesikerta jokiame koordinačių plokštumos taške ir, atitinkamai, nėra sistemos sprendimo.
Pastaba
Pirma, atkreipkite dėmesį, kad SLAE, apibrėžtas ne vienaskaitos kvadratine matrica, kurios dydis yra 2x2, apibrėžia plokštumoje susikertančių tiesių porą (žr. 8.9 pav. toliau). Antra, verta pasakyti, kad jei sistema būtų nuosekli, geometrinis lygčių vaizdas būtų dvi sutampančios linijos, apibūdinančios begalinį sprendinių skaičių..
Ryžiai. 8.8. Likutinės funkcijos atkarpų grafikas f (x) = |Ax-b|
Nesunku atspėti, kad nagrinėjamu atskiru atveju sistemos pseudosprendimai sumažina neatitikimą |Kirvis-b|, jų bus be galo daug, ir jie bus ant trečios tiesės, lygiagrečios dviem, parodytoms Fig. 8.7 ir yra viduryje tarp jų. Tai pavaizduota pav. 8.8, kuriame rodomos kelios funkcijos skyriai f(x)= | Ax-b |, kurie rodo tokio paties gylio minimumų šeimos buvimą. Jei bandysite juos rasti naudodami įtaisytąją funkciją Sumažinti, jo skaitinis metodas visada ras bet kurį vieną minėtos tiesės tašką (priklausomai nuo pradinių sąlygų). Todėl norint nustatyti unikalų sprendimą, iš viso pseudosprendimų rinkinio reikėtų pasirinkti tą, kurio norma yra mažiausia. Galite pabandyti suformuluoti šią daugiamačio sumažinimo problemą Mathcad naudodami integruotų funkcijų derinius Sumažinti, tačiau efektyvesnis būdas būtų naudoti reguliavimą (žr. toliau) arba stačiakampių matricų skaidymus (žr. 8.3 skyrių).
