Parabolės apibrėžimas ir jos kanoninė lygtis. Kas yra parabolė ir kaip ji atrodo?

Apibrėžimas: Parabolė yra plokštumos taškų, kurių atstumas iki kurio nors fiksuoto šios plokštumos taško F yra lygus atstumui iki fiksuotos tiesės, lokusas. Taškas F vadinamas parabolės židiniu, o fiksuota linija vadinama parabolės kryptine.

Norėdami gauti lygtį, sukurkime:

SU pagal apibrėžimą:

Kadangi 2 >=0, parabolė yra dešinėje pusplokštumoje. Kai x didėja nuo 0 iki begalybės
. Parabolė yra simetriška Jaučio atžvilgiu. Parabolės ir jos simetrijos ašies susikirtimo taškas vadinamas parabolės viršūne.

45. Antrosios eilės kreivės ir jų klasifikacija. Pagrindinė teorema apie kvp.

Yra 8 KVP tipai:

1.elipsės

2.hiperbolės

3.parabolės

Kreivės 1,2,3 yra kanoninės atkarpos. Jei susikertame kūgį su plokštuma, lygiagrečia kūgio ašiai, gauname hiperbolę. Jei plokštuma lygiagreti generatrix, tai yra parabolė. Visos plokštumos nekerta per kūgio viršūnę. Jei tai yra bet kuri kita plokštuma, tai yra elipsė.

4. lygiagrečių tiesių pora y 2 +a 2 =0, a0

5. susikertančių tiesių pora y 2 -k 2 x 2 =0

6.viena tiesė y 2 =0

7.vienas taškas x 2 + y 2 =0

8.tuščia aibė – tuščia kreivė (kreivė be taškų) x 2 + y 2 +1=0 arba x 2 + 1=0

Teorema (pagrindinė teorema apie KVP): Formos lygtis

a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2a 2 y+a 0 = 0

gali pavaizduoti tik vieno iš šių aštuonių tipų kreivę.

Įrodinėjimo idėja yra pereiti prie koordinačių sistemos, kurioje KVP lygtis įgaus paprasčiausią formą, kai tampa akivaizdus kreivės tipas, kurį ji vaizduoja. Teorema įrodoma pasukus koordinačių sistemą kampu, kuriame terminas su koordinačių sandauga išnyksta. Ir lygiagrečio koordinačių sistemos perkėlimo pagalba, kurioje išnyksta arba terminas su kintamuoju x, arba terminas su y kintamuoju.

Perėjimas prie naujos koordinačių sistemos: 1. Lygiagretusis perkėlimas

2. Pasukti

45. Antrosios eilės paviršiai ir jų klasifikacija. Pagrindinė teorema apie pvp. Sukimosi paviršiai.

P VP - taškų rinkinys, kurių stačiakampės koordinatės atitinka 2-ojo laipsnio lygtį: (1)

Daroma prielaida, kad bent vienas kvadratų ar sandaugų koeficientas skiriasi nuo 0. Lygtis yra nekintama koordinačių sistemos pasirinkimo atžvilgiu.

Teorema Bet kuri plokštuma kerta PVP išilgai CVP, išskyrus specialų atvejį, kai atkarpoje yra visa plokštuma (PVP gali būti plokštuma arba plokštumų pora).

Yra 15 PVP tipų. Išvardinkime jas, nurodydami lygtis, kuriomis jos nurodytos tinkamose koordinačių sistemose. Šios lygtys vadinamos kanoninėmis (paprasčiausiomis). Sukurkite kanonines lygtis atitinkančius geometrinius vaizdus lygiagrečių pjūvių metodu: Sukirkite paviršių su koordinačių plokštumomis ir joms lygiagrečiomis plokštumomis. Rezultatas yra pjūviai ir kreivės, kurios suteikia idėją apie paviršiaus formą.

1. Elipsoidas.

Jei a=b=c tada gauname sferą.

2. Hiperboloidai.

1). Vieno lapo hiperboloidas:

Vieno lapo hiperboloido pjūvis koordinačių plokštumose: XOZ:
- hiperbolė.

YOZ:
- hiperbolė.

XOY lėktuvas:
- elipsė.

2). Dviejų lapų hiperboloidas.

Kilmė yra simetrijos taškas.

Koordinačių plokštumos yra simetrijos plokštumos.

Lėktuvas z = h kerta hiperboloidą išilgai elipsės
, t.y. lėktuvas z = h pradeda kirsti hiperboloidą ties | h |  c. Hiperboloido pjūvis plokštumose x = 0 Ir y = 0 – tai hiperbolės.

Skaičiai a, b, c (2), (3), (4) lygtyse vadinami elipsoidų ir hiperboloidų pusašimis.

3. Paraboloidai.

1). Elipsinis paraboloidas:

Lėktuvų sekcija z = h Yra
, Kur
. Iš lygties aišku, kad z  0 yra begalinis dubuo.

Plokštumų sankirta y = h Ir x= h
- tai parabolė ir apskritai

2). Hiperbolinis paraboloidas:

Akivaizdu, kad XOZ ir YOZ plokštumos yra simetrijos plokštumos, z ašis yra paraboloido ašis. Paraboloido susikirtimas su plokštuma z = h- hiperbolės:
,
. Lėktuvas z=0 kerta hiperbolinį paraboloidą išilgai dviejų ašių
kurie yra asimptotai.

4. Antros eilės kūgis ir cilindrai.

1). Kūgis yra paviršius
. Kūgis suformuotas tiesių linijų, einančių per pradžią 0 (0, 0, 0). Kūgio skerspjūvis yra elipsė su pusiau ašimis
.

2). Antros eilės cilindrai.

Tai elipsės formos cilindras
.

Kad ir kokia tiesė, kuri kerta elipses ir yra lygiagreti Ozo ašiai, atitinka šią lygtį. Perkeldami šią tiesią liniją aplink elipsę, gauname paviršių.

G Hiperbolinis cilindras:

XOU plokštumoje tai yra hiperbolė. Hiperbolę kertančią tiesę perkeliame lygiagrečiai Ozui išilgai hiperbolės.

Parabolinis cilindras:

N o XOU plokštuma yra parabolė.

Cilindrinius paviršius formuoja tiesi linija (generatyvinė), einanti lygiagrečiai sau išilgai tam tikros tiesės (kreipiančiosios).

10. Susikertančių plokštumų pora

11. Lygiagrečių plokštumų pora

12.
- tiesiai

13. Tiesi linija - viename taške pastatytas „cilindras“.

14.Vienas taškas

15.Tuščias komplektas

Pagrindinė teorema apie PVP: Kiekvienas PVP priklauso vienam iš 15 aukščiau aptartų tipų. Kitų PVP nėra.

Sukimosi paviršiai. Tegu pateikta PDSC Oxyz, o Oyz plokštumoje tiesė e, apibrėžta lygtimi F(y,z)=0 (1). Sukurkime lygtį paviršiui, gautam sukdami šią liniją aplink Ozo ašį. Paimkime tašką M(y,z) tiesėje e. Kai plokštuma Oyz sukasi aplink Ozą, taškas M apibūdins apskritimą. Tegul N(X,Y,Z) yra savavališkas šio apskritimo taškas. Aišku, kad z=Z.

.

Rastas z ir y reikšmes pakeisdami į (1) lygtį, gauname teisingą lygybę:
tie. taško N koordinatės tenkina lygtį
. Taigi bet kuris sukimosi paviršiaus taškas atitinka (2) lygtį. Nesunku įrodyti, kad jei taškas N(x 1 ,y 1 ,z 1) tenkina (2) lygtį, tai jis priklauso aptariamam paviršiui. Dabar galime pasakyti, kad (2) lygtis yra norima apsisukimo paviršiaus lygtis.

Parabolė yra plokštumos taškų, kurie yra vienodai nutolę nuo nurodyto taško F ir tiesės d, kuri nekerta tam tikro taško, vieta. Šis geometrinis apibrėžimas išreiškia režisūrinė parabolės nuosavybė.

Režisūrinė parabolės nuosavybė

Taškas F vadinamas parabolės židiniu, linija d yra parabolės kryptis, statmens, nuleistos nuo židinio iki krypties, vidurio taškas O yra parabolės viršūnė, atstumas p nuo židinio iki krypties. yra parabolės parametras, o atstumas \frac(p)(2) nuo parabolės viršūnės iki jos židinio yra židinio nuotolis (3.45a pav.). Tiesė, statmena krypčiai ir einanti per židinį, vadinama parabolės ašimi (parabolės židinio ašimi). Atkarpa FM, jungianti savavališką parabolės tašką M su jo židiniu, vadinama taško M židinio spinduliu. Atkarpa, jungianti du parabolės taškus, vadinama parabolės styga.

Savavališkam parabolės taškui atstumo iki židinio ir atstumo iki krypties santykis yra lygus vienetui. Palyginę , ir parabolių direktorijų ypatybes, darome tokią išvadą parabolės ekscentriškumas pagal apibrėžimą lygus vienetui (e=1).

Geometrinis parabolės apibrėžimas, išreiškiantis jo direktorijos savybę, yra lygiavertis jo analitiniam apibrėžimui – tiesei, apibrėžtai kanonine parabolės lygtimi:

Išties, įveskime stačiakampę koordinačių sistemą (3.45 pav., b). Koordinačių sistemos pradžia laikome parabolės viršūnę O; abscisių ašimi laikome tiesę, einanti per židinį, statmeną krypčiai (teigiama kryptis joje yra nuo taško O iki taško F); Ordinačių ašimi laikykime tiesę, statmeną abscisių ašiai, einančią per parabolės viršūnę (kryptis ordinačių ašyje parenkama taip, kad stačiakampė koordinačių sistema Oxy būtų teisinga).

Sukurkime parabolės lygtį, naudodami jos geometrinį apibrėžimą, kuris išreiškia parabolės krypčių savybę. Pasirinktoje koordinačių sistemoje nustatome židinio koordinates F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) ir krypties lygtis x=-\frac(p)(2) . Savavališkam taškui M(x,y), priklausančiam parabolei, turime:

FM=MM_d,

Kur M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- taško M(x,y) stačiakampė projekcija į kryptį. Šią lygtį užrašome koordinačių forma:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Abi lygties puses padalijame kvadratu: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Pateikdami panašias sąlygas, gauname kanoninė parabolės lygtis

y^2=2\cdot p\cdot x, tie. pasirinkta koordinačių sistema yra kanoninė.

Atlikdami samprotavimus atvirkštine tvarka, galime parodyti, kad visi taškai, kurių koordinatės tenkina (3.51) lygtį, ir tik jie priklauso taškų lokusui, vadinamam parabole. Taigi, analitinis parabolės apibrėžimas yra lygiavertis geometriniam jos apibrėžimui, kuris išreiškia parabolės direktyvinę savybę.

Parabolės lygtis polinėje koordinačių sistemoje

Parabolės lygtis polinėje koordinačių sistemoje Fr\varphi (3.45 pav., c) turi formą

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), kur p yra parabolės parametras, o e = 1 yra jos ekscentriškumas.

Tiesą sakant, poliarinės koordinačių sistemos poliu pasirenkame parabolės židinį F, o poliarine ašimi - spindulį, kurio pradžia taške F, statmeną krypčiai ir jos nekertantį (3.45 pav., c). . Tada savavališkam taškui M(r,\varphi), priklausančiam parabolei, pagal geometrinį parabolės apibrėžimą (krypties savybę) gauname MM_d=r. Nes MM_d=p+r\cos\varphi, gauname parabolės lygtį koordinačių forma:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Atkreipkite dėmesį, kad poliarinėse koordinatėse elipsės, hiperbolės ir parabolės lygtys sutampa, tačiau apibūdinkite skirtingas tieses, nes jos skiriasi ekscentriškumu (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 už ).

Geometrinė parametro reikšmė parabolės lygtyje

Paaiškinkime geometrinė parametro reikšmė p kanoninėje parabolės lygtyje. Pakeitę x=\frac(p)(2) į lygtį (3.51), gauname y^2=p^2, t.y. y=\pm p . Todėl parametras p yra pusė parabolės stygos, einančios per jos židinį statmenai parabolės ašiai, ilgio.

Parabolės židinio parametras, taip pat elipsei ir hiperbolei, vadinama puse stygos, einančios per jos židinį statmenai židinio ašiai, ilgio (žr. 3.45 pav., c). Iš parabolės lygties polinėmis koordinatėmis ties \varphi=\frac(\pi)(2) gauname r=p, t.y. parabolės parametras sutampa su jos židinio parametru.

Pastabos 3.11.

1. Parabolės parametras p apibūdina jos formą. Kuo p didesnis, tuo platesnės parabolės šakos, tuo p arčiau nulio, tuo siauresnės parabolės šakos (3.46 pav.).

2. Lygtis y^2=-2px (kai p>0) apibrėžia parabolę, kuri yra į kairę nuo ordinačių ašies (3.47 pav.,a). Ši lygtis sumažinama iki kanoninės, pakeitus x ašies kryptį (3.37). Fig. 3.47,a rodo duotąją koordinačių sistemą Oxy ir kanoninę Ox"y".

3. Lygtis (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 apibrėžia parabolę su viršūne O"(x_0,y_0), kurios ašis lygiagreti abscisių ašiai (3.47 pav.,6). Ši lygtis, naudojant lygiagretųjį vertimą, redukuojama į kanoninę (3.36).

Lygtis (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, taip pat apibrėžia parabolę su viršūne O"(x_0,y_0), kurios ašis lygiagreti ordinačių ašiai (3.47 pav., c). Ši lygtis redukuojama iki kanoninės naudojant lygiagretųjį vertimą (3.36) ir pervadinant koordinačių ašys (3.38) Pav. 3.47, b, c pavaizduotos pateiktos koordinačių sistemos Oxy ir kanoninės koordinačių sistemos Ox"y".

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 yra parabolė su viršūne taške O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), kurios ašis lygiagreti ordinačių ašiai, parabolės šakos nukreiptos aukštyn (jeigu a>0) arba žemyn (a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftright rodyklė \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

kuri redukuojama iki kanoninės formos (y")^2=2px" , kur p=\left|\frac(1)(2a)\right|, naudojant pakaitalą y"=x+\frac(b)(2a) Ir x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

Ženklas pasirenkamas taip, kad sutaptų su pirmaujančio koeficiento a ženklu. Šis pakeitimas atitinka kompoziciją: lygiagretus perkėlimas (3.36) su x_0=-\frac(b)(2a) Ir y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), pervardijant koordinačių ašis (3.38), o a atveju<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 ir a<0 соответственно.

5. Kanoninės koordinačių sistemos x ašis yra parabolės simetrijos ašis, nes kintamąjį y pakeitus -y lygtis (3.51) nekeičiama. Kitaip tariant, taško M(x,y), priklausančio parabolei, koordinatės ir taško M"(x,-y) koordinatės, simetriškos taškui M x ašies atžvilgiu, atitinka lygtį. (3.S1) vadinamos kanoninės koordinačių sistemos ašys pagrindinės parabolės ašys.

3.22 pavyzdys.

Nubraižykite parabolę y^2=2x kanoninėje koordinačių sistemoje Oxy. Raskite židinio parametrą, židinio koordinates ir krypties lygtį. Sprendimas. Konstruojame parabolę, atsižvelgdami į jos simetriją abscisių ašies atžvilgiu (3.49 pav.). Jei reikia, nustatykite kai kurių parabolės taškų koordinates. Pavyzdžiui, pakeitę x=2 į parabolės lygtį, gauname y^2=4~\Leftright arrow~y=\pm2

. Vadinasi, taškai su koordinatėmis (2;2),\,(2;-2) priklauso parabolei. Palyginę pateiktą lygtį su kanonine (3.S1), nustatome židinio parametrą: p=1. Fokusavimo koordinatės x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0 , t.y. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right)

. Sudarome krypties lygtį x=-\frac(p)(2) , t.y. x=-\frac(1)(2) .

Bendrosios elipsės, hiperbolės, parabolės savybės 1. Režisūros ypatybę galima naudoti kaip vieną elipsės, hiperbolės, parabolės apibrėžimą (žr. 3.50 pav.):

geometrinis taškų lokusas plokštumoje, kurių kiekvieno atstumo iki duoto taško F (fokusas) ir atstumo iki nurodytos tiesės d (krypties), nekertančios tam tikro taško, santykis yra pastovus ir lygus ekscentriškumui e, vadinamas:<1 ;

a) jei 0\leqslant e

b) jei e>1;

c) parabolė, jei e=1. 2. Elipsė, hiperbolė ir parabolė gaunamos kaip plokštumos apskrito kūgio atkarpose ir todėl vadinamos kūginės sekcijos

. Ši savybė taip pat gali būti naudojama kaip geometrinis elipsės, hiperbolės ir parabolės apibrėžimas. 3. Įprastos elipsės, hiperbolės ir parabolės savybės bisektorinė nuosavybė jų liestinės. Pagal liestinė į tiesę tam tikrame taške K suprantama kaip ribinė sekanto KM padėtis, kai taškas M, likęs nagrinėjamoje tiesėje, krypsta į tašką K. Vadinama tiesė, statmena tiesės liestinei ir einanti per liesties tašką normalus

į šią eilutę. Elipsės, hiperbolės ir parabolės liestinių (ir normaliųjų) bisektorinė savybė formuluojama taip: elipsės arba hiperbolės liestinė (normalioji) sudaro lygius kampus su liestinės taško židinio spinduliais parabolės liestinė (normalioji) sudaro lygius kampus su liečiamojo taško židinio spinduliu ir statmenu, nuleistu nuo jo į kryptį(3.51 pav., c). Kitaip tariant, elipsės liestinė taške K yra trikampio F_1KF_2 išorinio kampo pusiausvyra (o normalioji yra trikampio vidinio kampo F_1KF_2 pusiausvyra); hiperbolės liestinė yra trikampio F_1KF_2 vidinio kampo pusiausvyra (o normalioji yra išorinio kampo pusiausvyra); parabolės liestinė yra trikampio FKK_d vidinio kampo pusiausvyra (o normalioji yra išorinio kampo pusiausvyra). Parabolės liestinės bisektorinė savybė gali būti suformuluota taip pat, kaip elipsės ir hiperbolės atveju, jei manome, kad parabolė turi antrąjį židinį taške begalybėje.

4. Iš bisektorinių savybių išplaukia elipsės, hiperbolės ir parabolės optinės savybės, paaiškinantis fizinę termino „fokusas“ reikšmę. Įsivaizduokime paviršius, susidariusius sukant elipsę, hiperbolę ar parabolę aplink židinio ašį. Jei ant šių paviršių padengiama atspindinti danga, gaunami elipsiniai, hiperboliniai ir paraboliniai veidrodžiai. Pagal optikos dėsnį šviesos spindulio kritimo į veidrodį kampas yra lygus atspindžio kampui, t.y. krintantys ir atsispindėję spinduliai sudaro lygius kampus su normaliu paviršiumi, o abu spinduliai ir sukimosi ašis yra toje pačioje plokštumoje. Iš čia gauname šias savybes:

– jeigu šviesos šaltinis yra viename iš elipsinio veidrodžio židinių, tai nuo veidrodžio atsispindėję šviesos spinduliai surenkami kitame židinyje (3.52 pav., a);

– jeigu šviesos šaltinis yra viename iš hiperbolinio veidrodžio židinių, tai nuo veidrodžio atsispindėję šviesos spinduliai išsiskirsto taip, lyg būtų iš kito židinio (3.52 pav., b);

– jeigu šviesos šaltinis yra parabolinio veidrodžio židinyje, tai nuo veidrodžio atsispindėję šviesos spinduliai eina lygiagrečiai židinio ašiai (3.52 pav., c).

5. Diametrinė savybė elipsė, hiperbolė ir parabolė gali būti formuluojamos taip:

– elipsės (hiperbolės) lygiagrečių stygų vidurio taškai yra vienoje tiesėje, einančioje per elipsės centrą (hiperbolė);

– parabolės lygiagrečių stygų vidurio taškai yra tiesioje, kolinearinėje parabolės simetrijos ašyje.

Visų lygiagrečių elipsės stygų (hiperbolės, parabolės) vidurio taškų geometrinis lokusas vadinamas elipsės skersmuo (hiperbolė, parabolė), susieti su šiais akordais.

Tai yra skersmens apibrėžimas siaurąja prasme (žr. 2.8 pavyzdį). Anksčiau skersmens apibrėžimas buvo pateiktas plačiąja prasme, kur elipsės, hiperbolės, parabolės ir kitų antrosios eilės linijų skersmuo yra tiesi linija, kurioje yra visų lygiagrečių stygų vidurio taškai. Siaurąja prasme elipsės skersmuo yra bet kokia styga, einanti per jos centrą (3.53 pav.,a); hiperbolės skersmuo – bet kuri tiesė, einanti per hiperbolės centrą (išskyrus asimptotes), arba tokios tiesės dalis (3.53,6 pav.); Parabolės skersmuo – tai bet koks spindulys, sklindantis iš tam tikro parabolės taško ir kolineriškas simetrijos ašiai (3.53 pav., c).

Du skersmenys, kurių kiekvienas padalija visas stygas lygiagrečiai kitam skersmeniui, vadinami konjugatu. 3.53 pav. paryškintos linijos rodo elipsės, hiperbolės ir parabolės konjuguotus skersmenis.

Elipsės liestinė (hiperbolė, parabolė) taške K gali būti apibrėžta kaip lygiagrečių sekantų M_1M_2 ribinė padėtis, kai taškai M_1 ir M_2, likę nagrinėjamoje tiesėje, linkę į tašką K. Iš šio apibrėžimo matyti, kad liestinė, lygiagreti stygoms, eina per skersmens konjugato galą su šiomis stygomis.

6. Elipsė, hiperbolė ir parabolė, be pirmiau nurodytų, turi daugybę geometrinių savybių ir fizinių pritaikymų. Pavyzdžiui, 3.50 pav. galima pavaizduoti kosminių objektų, esančių netoli svorio centro F, trajektorijas.

1 apibrėžimas

Parabolė – tai kreivė, sudaryta iš geometrinės taškų, esančių tokiu pat atstumu nuo tam tikro taško $F$, rinkinio, vadinamo židiniu ir neglūstanti nei šioje kreivėje, nei tiesėje $d$.

Tai reiškia, kad atstumų nuo savavališko parabolės taško iki židinio ir nuo to paties taško iki krypties santykis visada yra lygus vienetui, šis santykis vadinamas ekscentriškumu.

Terminas „ekscentriškumas“ taip pat vartojamas hiperbolėms ir elipsėms.

Pagrindiniai terminai iš kanoninės parabolės lygties

Taškas $F$ vadinamas parabolės židiniu, o linija $d$ yra jo kryptis.

Parabolės simetrijos ašis yra tiesė, einanti per parabolės $O$ viršūnę ir jos židinį $F$ taip, kad ji sudaro stačią kampą su kryptimi $d$.

Parabolės viršūnė yra taškas, nuo kurio atstumas iki krypties yra minimalus. Šis taškas padalija atstumą nuo židinio iki krypties per pusę.

Kokia yra kanoninė parabolės lygtis?

2 apibrėžimas

Kanoninė parabolės lygtis yra gana paprasta, lengvai įsimenama ir turi tokią formą:

$y^2 = 2px$, kur skaičius $p$ turi būti didesnis už nulį.

Skaičius $p$ iš lygties vadinamas "židinio parametru".

Ši parabolės lygtis, o tiksliau ši formulė, dažniausiai naudojama aukštojoje matematikoje, taikytina tuo atveju, kai parabolės ašis sutampa su $OX$ ašimi, tai yra, parabolė yra tarsi ant šono.

Lygtimi $x^2 = 2py$ aprašyta parabolė yra parabolė, kurios ašis sutampa su $OY$ ašimi, prie tokių parabolių esame įpratę mokykloje.

O parabolė, turinti minusą prieš antrąją lygties dalį ($y^2 = - 2px$), kanoninės parabolės atžvilgiu pasukama 180°.

Parabolė yra ypatingas 2-osios eilės kreivės atvejis, todėl apskritai parabolės lygtis atrodo lygiai taip pat, kaip ir visų tokių kreivių, ir tinka visais atvejais, o ne tik tada, kai parabolė lygiagreti $OX$; .

Šiuo atveju pagal formulę $B^2 – 4AC$ apskaičiuotas diskriminantas yra lygus nuliui, o pati lygtis atrodo taip: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\ cdot y + F = 0 $

Išvedimas brėžiant kanoninę parabolės lygtį

1 pav. Kanoninės parabolės lygties grafikas ir išvedimas

Remdamiesi šiame straipsnyje pateiktu apibrėžimu, sudarysime parabolės, kurios viršūnė yra koordinačių ašių susikirtimo vietoje, lygtį.

Naudodami esamą grafiką, iš jo nustatome $x$ ir $y$ taškus $F$ pagal aukščiau pateiktą parabolinės kreivės apibrėžimą, $x = \frac(p)(2)$ ir $y = 0$.

Pirmiausia sukurkime tiesės $d$ lygtį ir užrašykite ją: $x = - \frac(p)(2)$.

Savavališkam taškui M, esančiam mūsų kreivėje, pagal apibrėžimą galioja toks ryšys:

$FM$ = $MM_d$ (1), kur $M_d$ yra statmens, nubrėžto iš taško $M$ su kryptimi $d$, susikirtimo taškas.

X ir Y šiam taškui yra atitinkamai lygūs $\frac(p)(2)$ $y$.

Parašykime (1) lygtį koordinačių forma:

$\sqrt((x - \frac(p)(2))^2 + y^2 )= x + \frac(p)(2)$

Dabar, norėdami atsikratyti šaknies, turite sulyginti abi lygties puses:

$(x - \frac(p)(2))^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac(p^2)(4)$

Supaprastinus gauname kanoninę parabolės lygtį: $y^2 = px$.

Parabolė, apibūdinama kvadratine funkcija

Lygtis, apibūdinanti parabolę, kurios viršūnė yra bet kurioje grafiko vietoje ir nebūtinai sutampa su koordinačių ašių sankirta, atrodo taip:

$y = ax^2 + bx + c$.

Norėdami apskaičiuoti $x$ ir $y$ tokios parabolės viršūnei, turite naudoti šias formules:

$x_A = - \frac(b)(2a)$

$y_A = - \frac(D)(4a)$, kur $D = b^2 – 4ac$.

1 pavyzdys

Klasikinės parabolės lygties sudarymo pavyzdys

Užduotis. Žinodami židinio taško vietą, sukurkite kanoninę parabolės lygtį. Židinio taško $F$ koordinatės yra $(4; 0)$.

Kadangi nagrinėjame parabolę, kurios grafikas pateiktas kanonine lygtimi, jos viršūnė $O$ yra x ir y ašių sankirtoje, todėl atstumas nuo židinio iki viršūnės lygus $\frac (1)(2)$ židinio parametro $\frac(p )(2) = $4. Paprastais skaičiavimais nustatome, kad pats židinio parametras yra $ p = 8 $.

Pakeitus $p$ reikšmę į kanoninę lygties formą, mūsų lygtis tampa $y^2 = 16x$.

Kaip parašyti parabolės lygtį naudojant esamą grafiką

2 pavyzdys

2 pav. Kanoninė parabolės lygtis, grafikas ir sprendimo pavyzdys

Pirmiausia turime pasirinkti tašką $M$, kuris priklauso mūsų funkcijos grafikui, ir, praleidžiant iš jo statmenis $OX$ ir $OY$ ašyse, užrašyti jo x ir y, mūsų atveju, tašką. $M$ yra $(2;2) $.

Dabar turime pakeisti šiam taškui gautus $x$ ir $y$ į kanoninę parabolės $y^2 = px$ lygtį, gausime:

$2^2 = 2 \cdot 2p$

Sumažinę gauname tokią parabolės lygtį $y^2 = 2 \cdot x$.

Parabolė yra taškų rinkinys plokštumoje, nutolusių vienodu atstumu nuo nurodyto taško(sutelkti dėmesį)o iš duotosios tiesės, nekertančios tam tikro taško (direktorės), esantis toje pačioje plokštumoje(5 pav.).

Tokiu atveju koordinačių sistema parenkama taip, kad ašis
eina statmenai krypčiai per židinį, jo teigiama kryptis pasirenkama nuo krypties židinio link. Ordinačių ašis eina lygiagrečiai krypčiai, viduryje tarp krypties ir židinio, iš kur krypčių lygtis
, fokusavimo koordinates
. Kilmė yra parabolės viršūnė, o x ašis yra jos simetrijos ašis. Parabolės ekscentriškumas
.

Kai kuriais atvejais atsižvelgiama į paraboles, apibrėžtas lygtimis

A)

b)
(visiems atvejams
)

V)
.

A) atveju parabolė yra simetriška ašiai
ir yra nukreiptas jo neigiama kryptimi (6 pav.).

B) ir c) atvejais simetrijos ašis yra ašis
(6 pav.). Fokuso koordinates šiais atvejais:

A)
b)
V)
.

Krypties lygtis:

A)
b)
V)
.

4 pavyzdys. Parabolė, kurios viršūnė yra pradžioje, eina per tašką
ir simetriškas ašies atžvilgiu
. Parašykite jos lygtį.

Sprendimas:

Kadangi parabolė yra simetriška ašies atžvilgiu
ir eina per tašką su teigiama abscise, tada ji turi tokią formą, kaip parodyta 5 pav.

Taško koordinačių pakeitimas į tokios parabolės lygtį
, gauname
, t.y.
.

Todėl reikalinga lygtis

,

šios parabolės židinys
, krypties lygtis
.

4. Antros eilės tiesinės lygties pavertimas kanonine forma.

Bendroji antrojo laipsnio lygtis turi formą

kur yra koeficientai
tuo pačiu metu neikite į nulį.

Bet kuri tiesė, apibrėžta (6) lygtimi, vadinama antros eilės linija. Naudojant koordinačių sistemos transformaciją, antros eilės tiesės lygtis gali būti sumažinta iki paprasčiausios (kanoninės) formos.

1. (6) lygtyje
. Šiuo atveju (6) lygtis turi formą

Jis konvertuojamas į paprasčiausią formą, naudojant lygiagretų koordinačių ašių vertimą pagal formules

(8)

Kur
– naujos pradžios koordinatės
(senoje koordinačių sistemoje). Naujos ašys
Ir
lygiagrečiai senosioms. Taškas
yra elipsės arba hiperbolės centras ir viršūnė parabolės atveju.

Patogu sumažinti (7) lygtį iki paprasčiausios formos, naudojant pilnų kvadratų išskyrimo metodą, panašiai kaip tai buvo daroma apskritimui.

5 pavyzdys. Sumažinkite antros eilės linijos lygtį iki paprasčiausios formos. Nustatykite šios linijos tipą ir vietą. Raskite židinių koordinates. Padarykite piešinį.

Sprendimas:

Mes grupuojame narius, kuriuose yra tik ir tik , atimant koeficientus Ir už laikiklio:

Užpildome skliausteliuose esančias išraiškas, kad užbaigtume kvadratus:

Taigi ši lygtis transformuojama į formą

Mes skiriame

arba

Lyginant su (8) lygtimis, matome, kad šios formulės nustato lygiagretų koordinačių ašių perkėlimą į tašką
. Naujoje koordinačių sistemoje lygtis bus parašyta taip:

Perkeldami laisvąjį terminą į dešinę ir padalydami iš jo, gauname:

.

Taigi, ši antros eilės eilutė yra elipsė su pusiau ašimis
,
. Elipsės centras yra naujoje vietoje
, o jo židinio ašis yra ašis
. Fokusavimo atstumas nuo centro, todėl naujos tinkamo židinio koordinatės
. Senosios to paties židinio koordinatės randamos iš lygiagrečių vertimo formulių:

Taip pat naujos kairiojo židinio koordinatės
,
. Jo senosios koordinatės:
,
.

Taip gavę elipsės viršūnes, nubrėžiame pačią elipsę (7 pav.). komentuoti
. Norint patikslinti brėžinį, naudinga rasti šios tiesės (7) susikirtimo taškus su senosiomis koordinačių ašimis. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turime įvesti formulę (7)
ir tada

ir išspręskite gautas lygtis.

Sudėtingų šaknų atsiradimas reikš, kad linija (7) nesikerta su atitinkama koordinačių ašimi.

Pavyzdžiui, ką tik aptartos problemos elipsės atveju gaunamos šios lygtys:
nekerta. Pirmosios lygties šaknys:

Taškuose
Ir
elipsė kerta ašį
(7 pav.).

6 pavyzdys. Sumažinkite antros eilės eilutės lygtį iki jos paprasčiausios formos. Nustatykite linijos tipą ir vietą, suraskite židinio koordinates.

Sprendimas:

Kadangi narys su trūksta, tada reikia pasirinkti visą kvadratą tik pagal :

Taip pat išimame koeficientą už

.

Mes skiriame

arba

Dėl to koordinačių sistema perkeliama lygiagrečiai į tašką
. Po vertimo lygtis įgis tokią formą

.

lygus jai.

.

Todėl židinys turi naujas koordinates

Jo senos koordinatės
Jei įdėsime šią lygtį
arba
, tada mes nustatome, kad parabolė kerta ašį
taške
, ir ašis

2. ji nekerta.
(1) lygtyje
. Antrojo laipsnio bendroji lygtis (1) transformuojama į formą (2), t.y. į tai, kas aptarta 1 dalyje. atveju, pasukant koordinačių ašis kampu

(9)

Kur
pagal formules
– naujos koordinatės. Kampas

randama iš lygties
Ir
Koordinačių ašys pasukamos taip, kad naujos ašys

buvo lygiagrečios antros eilės linijos simetrijos ašims.
Žinant
Ir
, galima rasti

,
.

naudojant trigonometrines formules
Jei sukimosi kampas
sutikti būti laikomas ūminiu, tada šiose formulėse turime paimti pliuso ženklą ir už

taip pat turime priimti teigiamą (5) lygties sprendimą.
Visų pirma, kai
koordinačių sistema turi būti pasukta kampu

(11)

. Anglies sukimosi formulės atrodo taip: 7 pavyzdys.

Sprendimas:

Sumažinkite antros eilės linijos lygtį iki paprasčiausios formos. Nustatykite šios eilutės tipą ir vietą.
, 1
,
Šiuo atveju
– naujos koordinatės. Kampas

.

, todėl sukimosi kampas
Ir
Šios lygties sprendimas
. Apribojimas smailiu kampu

,

,
.

, paimame pirmąjį iš jų. Tada Ir Pakeičiant šias reikšmes

į šią lygtį

.

Atidarę skliaustus ir atnešę panašius, gauname

.

Galiausiai, padalijant iš fiktyvaus nario, gauname elipsės lygtį
,
Iš to išplaukia
, o didžioji elipsės ašis nukreipta išilgai ašies
.

, o mažoji – išilgai ašies
Gauni tašką
, kurio spindulys
pasviręs į ašį
kampu
, kuriam
. Todėl per šį tašką
Ir
ir praeis nauja x ašis. Tada pažymime ant ašių

elipsės viršūnes ir nubrėžti elipsę (9 pav.).
Jei įdėsime šią lygtį
):

Atkreipkite dėmesį, kad ši elipsė kerta senąsias koordinačių ašis taškuose, kurie randami iš kvadratinių lygčių (jei įdėsime šią lygtį
.

Ir

Pirmiausia apibūdinkime pagrindines sąvokas, kurias algebra ir geometrija suteikia šiam terminui. Panagrinėkime visus galimus šio grafiko tipus.

Išsiaiškinkime visas pagrindines šios funkcijos savybes. Supraskime kreivės konstravimo (geometrijos) pagrindus. Sužinokime, kaip rasti šio tipo grafiko aukščiausias ir kitas pagrindines reikšmes.

Išsiaiškinkime: kaip teisingai sukonstruoti norimą kreivę naudojant lygtį, į ką reikia atkreipti dėmesį. Pažvelkime į pagrindinį šios unikalios vertybės praktinį pritaikymą žmogaus gyvenime.

Kas yra parabolė ir kaip ji atrodo?

Algebra: šis terminas reiškia kvadratinės funkcijos grafiką.

Geometrija: tai antros eilės kreivė, turinti keletą specifinių savybių:

Kanoninė parabolės lygtis

Paveiksle pavaizduota stačiakampė koordinačių sistema (XOY), ekstremumas, funkcijos atšakų kryptis, brėžiama išilgai abscisių ašies.

Kanoninė lygtis yra tokia:

y 2 = 2 * p * x,

kur koeficientas p yra parabolės (AF) židinio parametras.

Algebroje jis bus parašytas kitaip:

y = a x 2 + b x + c (atpažįstamas modelis: y = x 2).

Kvadratinės funkcijos savybės ir grafikas

Funkcija turi simetrijos ašį ir centrą (ekstremumą). Apibrėžimo sritis yra visos abscisių ašies reikšmės.

Funkcijos reikšmių diapazonas – (-∞, M) arba (M, +∞) priklauso nuo kreivės šakų krypties. Parametras M čia reiškia funkcijos reikšmę eilutės viršuje.

Kaip nustatyti, kur nukreiptos parabolės šakos

Norėdami iš išraiškos rasti tokio tipo kreivės kryptį, turite nustatyti ženklą prieš pirmąjį algebrinės išraiškos parametrą. Jei a ˃ 0, tada jie nukreipti į viršų. Jei yra atvirkščiai, žemyn.

Kaip rasti parabolės viršūnę naudojant formulę

Ekstremo radimas yra pagrindinis žingsnis sprendžiant daugelį praktinių problemų. Žinoma, galite atidaryti specialius internetinius skaičiuotuvus, tačiau geriau tai padaryti patys.

Kaip tai nustatyti? Yra speciali formulė. Kai b nelygus 0, turime ieškoti šio taško koordinačių.

Viršūnės radimo formulės:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Pavyzdys.

Yra funkcija y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Raskime šios funkcijos viršūnes.

Tokiai eilutei:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Gauname viršūnės koordinates (-2, -41).

Parabolės poslinkis

Klasikinis atvejis, kai kvadratinėje funkcijoje y = a x 2 + b x + c antrasis ir trečiasis parametrai lygūs 0, o = 1 – viršūnė yra taške (0; 0).

Judėjimą išilgai abscisių arba ordinačių ašių lemia atitinkamai b ir c parametrų pasikeitimai. Linija plokštumoje bus paslinkta tiksliai tiek vienetų, kiek parametro vertė.

Pavyzdys.

Turime: b = 2, c = 3.

Tai reiškia, kad klasikinė kreivės forma pasislinks 2 vienetais išilgai abscisių ašies ir 3 išilgai ordinačių ašies.

Kaip sukurti parabolę naudojant kvadratinę lygtį

Svarbu, kad moksleiviai išmoktų teisingai nupiešti parabolę naudojant nurodytus parametrus.

Analizuodami išraiškas ir lygtis, galite pamatyti šiuos dalykus:

1. Norimos tiesės susikirtimo taškas su ordinačių vektoriumi turės reikšmę, lygią c.
2. Visi grafiko taškai (išilgai x ašies) bus simetriški pagrindinio funkcijos ekstremumo atžvilgiu.

Be to, susikirtimo taškus su OX galima rasti žinant tokios funkcijos diskriminantą (D):

D = (b 2 - 4 * a * c).

Norėdami tai padaryti, išraišką turite prilyginti nuliui.

Parabolės šaknų buvimas priklauso nuo rezultato:

• D ˃ 0, tada x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, tada x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, tada nėra susikirtimo taškų su vektoriumi OX.

Gauname parabolės konstravimo algoritmą:

• nustatyti šakų kryptį;
• rasti viršūnės koordinates;
• rasti sankirtą su ordinačių ašimi;
• rasti sankirtą su x ašimi.

1 pavyzdys.

Duota funkcija y = x 2 - 5 * x + 4. Būtina sukonstruoti parabolę. Mes laikomės algoritmo:

1. a = 1, todėl šakos nukreiptos į viršų;
2. ekstremalios koordinatės: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. kertasi su ordinačių ašimi, kai vertė y = 4;
4. raskime diskriminantą: D = 25 - 16 = 9;
5. Ieškau šaknų:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

2 pavyzdys.

Funkcijai y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 reikia sukurti parabolę. Mes veikiame pagal pateiktą algoritmą:

1. a = 3, todėl šakos nukreiptos į viršų;
2. ekstremalios koordinatės: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. susikirs su y ašimi reikšme y = -1;
4. Raskime diskriminantą: D = 4 + 12 = 16. Taigi šaknys yra:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1; 0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Naudodami gautus taškus galite sukonstruoti parabolę.

Kryptis, ekscentriškumas, parabolės židinys

Remiantis kanonine lygtimi, F židinys turi koordinates (p/2, 0).

Tiesi linija AB yra kryptis (tam tikro ilgio parabolės styga). Jo lygtis: x = -p/2.

Ekscentriškumas (pastovi) = 1.

Išvada

Apžvelgėme temą, kurią mokiniai mokosi vidurinėje mokykloje. Dabar žinote, žvelgdami į kvadratinę parabolės funkciją, kaip rasti jos viršūnę, į kurią pusę bus nukreiptos šakos, ar yra poslinkis išilgai ašių, ir, turėdami konstravimo algoritmą, galite nubraižyti jos grafiką.