Pitagoro trynukai. Šiuolaikinės aukštosios technologijos Pitagoro skaičių trigubas

Toliau apžvelgsime žinomus efektyvių Pitagoro trigubų generavimo metodus. Pitagoro mokiniai pirmieji išrado paprastą Pitagoro trigubų generavimo būdą, naudodami formulę, kurios dalys reiškia Pitagoro trigubą:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Kur m- nesuporuotas, m>2. tikrai,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Panašią formulę pasiūlė senovės graikų filosofas Platonas:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Kur m- bet koks skaičius. Už m= 2,3,4,5 generuojami šie trigubai:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Kaip matome, šios formulės negali pateikti visų įmanomų primityvių trynukų.

Apsvarstykite šį daugianarį, kurį galima išplėsti į daugianarių sumą:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Taigi primityviųjų trigubų gavimo formulės yra šios:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Šios formulės generuoja trejetus, kurių vidutinis skaičius nuo didžiausio skaičiaus skiriasi tiksliai vienu, tai yra, generuojami ir ne visi galimi trynukai. Čia pirmieji trejetukai lygūs: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Norint nustatyti, kaip generuoti visus primityvius trynukus, reikėtų išnagrinėti jų savybes. Pirma, jei ( a,b,c) yra primityvus trigubas a Ir b, b Ir c, A Ir c- turi būti gana paprasta. Leiskite a Ir b yra skirstomi į d. Tada a 2 + b 2 – taip pat dalijasi iš d. Atitinkamai, c 2 ir c turi būti padalintas iš d. Tai yra, tai nėra primityvus trejetas.

Antra, tarp skaičių a, b vienas turi būti suporuotas, o kitas neporuotas. Tikrai, jei a Ir b- tada suporuotas Su bus suporuoti, o skaičiai gali būti padalyti bent iš 2. Jei jie abu nesuporuoti, jie gali būti pavaizduoti kaip 2 k+1 ir 2 l+1, kur k,l- kai kurie skaičiai. Tada a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, tai yra Su 2, patinka a 2 + b 2, padalijus iš 4, lieka 2.

Leiskite Su- bet koks skaičius, tai yra Su = 4k+i (i=0,…,3). Tada Su 2 = (4k+i) 2 liekana yra 0 arba 1 ir negali turėti likučio 2. Taigi, a Ir b negali būti atjungtas, tai yra a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 ir likusią padalijimo dalį Su 2 x 4 turi būti 1, o tai reiškia Su turi būti nesuporuotas.

Tokius Pitagoro trigubo elementų reikalavimus tenkina šie skaičiai:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Kur m Ir n— santykinai puikus su skirtingomis poromis. Šios priklausomybės pirmą kartą tapo žinomos iš Euklido, gyvenusio 2300 m., darbų. atgal.

Įrodykime priklausomybių (2) pagrįstumą. Leiskite A- tada suporuotas b Ir c- nesuporuotas. Tada c + b i c − b- suporuotas. Jie gali būti pavaizduoti kaip c + b = 2u Ir c − b = 2v, Kur u,v- kai kurie sveikieji skaičiai. Štai kodėl

a 2 = Su 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u·2 v = 4uv

Ir todėl ( a/2) 2 = uv.

Tai gali būti įrodyta prieštaravimu u Ir v- abipusiai paprasta. Leiskite u Ir v- padalintas į d. Tada ( c + b) Ir ( c − b) skirstomi į d. Ir taip c Ir b turi būti padalintas iš d, ir tai prieštarauja Pitagoro trigubo sąlygai.

Nes uv = (a/2) 2 ir u Ir v yra palyginti geriausi, nesunku tai įrodyti u Ir v turi būti kai kurių skaičių kvadratai.

Taigi yra teigiami sveikieji skaičiai m Ir n, toks u = m 2 ir v = n 2. Tada

A 2 = 4uv = 4m 2 n 2 taip
A = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Nes b> 0, tada m > n.

Belieka tai parodyti m Ir n turi skirtingas poras. Jeigu m Ir n- tada suporuotas u Ir v turi būti suporuoti, bet tai neįmanoma, nes jie yra palyginti pagrindiniai. Jeigu m Ir n- tada nesuporuotas b = m 2 − n 2 ir c = m 2 + n 2 būtų suporuoti, o tai neįmanoma, nes c Ir b- abipusiai paprasta.

Taigi bet koks primityvus Pitagoro trigubas turi atitikti sąlygas (2). Tuo pačiu ir skaičiai m Ir n yra vadinami generuojant skaičius primityvūs trynukai. Pavyzdžiui, turėkime primityvų Pitagoro trigubą (120 119 169). Šiuo atveju

A= 120 = 2,12,5, b= 119 = 144 − 25 ir c = 144+25=169,

Kur m = 12, n= 5 — generuojantys skaičius, 12 > 5; 12 ir 5 yra tarpusavyje pirminiai ir skirtingų porų.

Galite įrodyti priešingai, kad skaičiai m, n naudojant formules (2) jie duoda primityvų Pitagoro trigubą (a,b,c). tikrai,

A 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

tai yra ( a,b,c) yra Pitagoro trigubas. Įrodykime tai šiuo atveju a,b,c yra tarpusavyje pirminiai skaičiai pagal prieštaravimą. Tegul šie skaičiai dalijasi iš p> 1. Nuo m Ir n tada turi skirtingas poras b Ir c- nesuporuotas, tai yra p≠ 2. Nuo to laiko r dalijasi b Ir c, Tai r reikia padalinti 2 m 2 ir 2 n 2, bet tai neįmanoma, nes p≠ 2. Todėl m, n- abipusiai pirminis ir a,b,c- taip pat yra gana paprasti.

1 lentelėje rodomi visi primityvūs Pitagoro trigubai, sukurti naudojant (2) formules m≤10.

1 lentelė. Primityvūs Pitagoro trigubai už m≤10

Šios lentelės analizė rodo, kad yra šių modelių serijų:

• arba a, arba b dalijasi iš 3;
• vienas iš skaičių a,b,c dalijasi iš 5;
• numerį A dalijasi iš 4;
• dirbti a· b dalijasi iš 12.

1971 m. amerikiečių matematikai Teiganas ir Hedwinas pasiūlė tokius mažai žinomus stačiakampio trikampio parametrus, kaip jo aukštis, kad sukurtų trynukus. h = c− b ir perteklius (sėkmė) e = a + b − c. 1 pav. šie dydžiai rodomi tam tikrame stačiakampyje.

1 pav. Statusis trikampis ir jo augimas bei perteklius

Pavadinimas „perteklius“ kilęs iš to, kad tai yra papildomas atstumas, kurį reikia įveikti išilgai trikampio kraštų nuo vienos viršūnės iki priešingos, jei ne išilgai jo įstrižainės.

Per Pitagoro trikampio kraštinių perteklių ir augimą galima išreikšti taip:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Ne visi deriniai h Ir e gali atitikti Pitagoro trikampius. Dėl duoto h galimas vertes e yra tam tikro skaičiaus produktai d. Šis skaičius d turi augimo pavadinimą ir nurodo h taip: d yra mažiausias teigiamas sveikasis skaičius, kurio kvadratas dalijasi iš 2 h. Nes e daugkartinis d, tada jis rašomas kaip e = kd, Kur k yra teigiamas sveikasis skaičius.

Naudojant poras ( k,h) galite sugeneruoti visus Pitagoro trikampius, įskaitant neprimityviuosius ir apibendrintus, taip:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Be to, trigubas yra primityvus, jei k Ir h yra santykinai pirmieji ir jei h =± q 2 val q- nesuporuotas.
Be to, tai bus būtent Pitagoro trigubas, jei k> √2· h/d Ir h > 0.

Norėdami rasti k Ir h nuo ( a,b,c), atlikite šiuos veiksmus:

• h = c − b;
• užsirašyti h Kaip h = pq 2 kur p> 0 ir toks, kuris nėra kvadratas;
• d = 2pq Jeigu p- nesuporuotas ir d = pq, jei p yra suporuotas;
• k = (a − h)/d.

Pavyzdžiui, mes turime trigubą (8,15,17). h= 17−15 = 2 1, taigi p= 2 ir q = 1, d= 2 ir k= (8 − 2)/2 = 3. Taigi šis trigubas gaunamas iš ( k,h) = (3,2).

Trigubui (459 1260 1341) turime h= 1341 − 1260 = 81, taigi p = 1, q= 9 ir d= 18, iš čia k= (459 − 81)/18 = 21, taigi šio trigubo kodas yra ( k,h) = (21, 81).

Trijų nustatymas naudojant h Ir k turi daug įdomių savybių. Parametras k lygus

k = 4S/(dP), (5)

Kur S = ab/2 yra trikampio plotas ir P = a + b + c- jo perimetras. Tai išplaukia iš lygybės eP = 4S, kuris išplaukia iš Pitagoro teoremos.

Stačiajam trikampiui e lygus į trikampį įrašyto apskritimo skersmeniui. Tai išplaukia iš to, kad hipotenuzė Su = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Kur r- apskritimo spindulys. Iš čia h = c − b = A − 2r Ir e = a − h = 2r.

Už h> 0 ir k > 0, k yra eilės trynukų skaičius a-b-c Pitagoro trikampių sekoje su didėjančia h. Iš 2 lentelės, kurioje pateikiamos kelios porų generuojamų trynukų parinktys h, k, aišku, kad didėjant k didėja trikampio kraštinių dydžiai. Taigi, skirtingai nei klasikinė numeracija, numeracija poromis h, k turi didesnę tvarką tripletų sekose.

2 lentelė. Pitagoro trigubai, sukurti poromis h, k.

Už h > 0, d tenkina nelygybę 2√ h ≤ d ≤ 2h, kurioje apatinė riba pasiekiama ties p= 1, o viršutinė - ties q= 1. Todėl reikšmė d palyginti su 2√ h yra skaičiaus matas h nutolę nuo tam tikro skaičiaus kvadrato.

Savybės

Kadangi Eq. x 2 + y 2 = z 2 vienalytis, dauginant x , y Ir z už tą patį skaičių gausite dar vieną Pitagoro trigubą. Pitagoro trigubas vadinamas primityvus, jei jo negalima gauti tokiu būdu, tai yra kopirminiai skaičiai.

Pavyzdžiai

Kai kurie Pitagoro trigubai (surūšiuoti didėjimo tvarka pagal maksimalų skaičių, primityvūs paryškinti):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Remiantis Fibonačio skaičių savybėmis, iš jų galima sudaryti, pavyzdžiui, šiuos Pitagoro trynukus:

Istorija

Pitagoro trynukai žinomi labai seniai. Senovės Mesopotamijos antkapių architektūroje randamas lygiašonis trikampis, sudarytas iš dviejų stačiakampių, kurių kraštinės yra 9, 12 ir 15 uolekčių. Faraono Snofru (XXVII a. pr. Kr.) piramidės buvo pastatytos naudojant trikampius, kurių kraštinės yra 20, 21 ir 29, taip pat 18, 24 ir 30 dešimčių egiptietiškų uolekčių.

Taip pat žr

Nuorodos

• E. A. Gorinas Pirminių skaičių laipsniai Pitagoro trigubai // Matematinis išsilavinimas. - 2008. - V. 12. - P. 105-125.

Wikimedia fondas.

2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „Pitagoro skaičiai“ kituose žodynuose: Natūraliųjų skaičių trigubai tokie, kad trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, būtų stačiakampis, pvz. skaičių trigubas: 3, 4, 5...

Didysis enciklopedinis žodynas Natūraliųjų skaičių trigubai, tokie, kad trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, būtų stačiakampis, pavyzdžiui, skaičių trigubas: 3, 4, 5. * * * PITAGORO SKAIČIAI PITAGORO SKAIČIAI, natūraliųjų skaičių trigubai, pvz. kad... ...

Enciklopedinis žodynas

Natūraliųjų skaičių trigubai, kad trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, būtų stačiakampis. Pagal teoremą, priešingą Pitagoro teoremai (žr. Pitagoro teoremą), tam pakanka, kad jie... ... Teigiamų sveikųjų skaičių x, y, z trigubai, tenkinantys lygtį x2+y 2=z2. Visi šios lygties sprendiniai, taigi ir visi daliniai skaičiai, išreiškiami formulėmis x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, kur a ir b yra savavališki teigiami sveikieji skaičiai (a>b). P.h...

Matematinė enciklopedija Natūralių skaičių trigubai, pavyzdžiui, trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, yra stačiakampis. skaičių trigubas: 3, 4, 5...

Gamtos mokslas. Enciklopedinis žodynas

Matematikoje Pitagoro skaičiai (Pitagoro trigubas) yra trijų sveikųjų skaičių eilė, atitinkanti Pitagoro santykį: x2 + y2 = z2. Turinys 1 Savybės 2 Pavyzdžiai ... Vikipedija

Figūriniai skaičiai yra bendras skaičių, susijusių su konkrečia geometrine figūra, pavadinimas. Ši istorinė samprata kilo iš pitagoriečių. Manoma, kad posakis „į kvadratą ar kubą“ atsirado iš figūrinių skaičių. Turinys... ...Wikipedia

Figūriniai skaičiai yra bendras skaičių, susijusių su konkrečia geometrine figūra, pavadinimas. Ši istorinė samprata kilo iš pitagoriečių. Skiriami šie figūrinių skaičių tipai: Tiesiniai skaičiai – tai skaičiai, kurių negalima koeficientuoti, tai yra jų... ... Vikipedija

- (graikų aritmetika, iš aritmys number) skaičių mokslas, pirmiausia apie natūraliuosius (teigiamus sveikuosius) skaičius ir (racionaliąsias) trupmenas bei operacijas su jais. Turėti pakankamai išvystytą natūraliųjų skaičių sampratą ir gebėjimą... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Knygos

• Archimedo vasara, arba Jaunųjų matematikų sandraugos istorija. Dvejetainė skaičių sistema, Bobrovas Sergejus Pavlovičius. Dvejetainė skaičių sistema, Hanojaus bokštas, riterio judėjimas, stebuklingi kvadratai, aritmetinis trikampis, figūriniai skaičiai, deriniai, tikimybės samprata, Mobius juostelė ir Kleino butelis.…

Pitagoro skaičių trigubai

Kūrybinis darbas

studentas 8 "A" klasė

MAOU "Gimnazija Nr. 1"

Saratovo Oktyabrsky rajonas

Panfilovas Vladimiras

Vadovas – aukščiausios kategorijos matematikos mokytojas

Grišina Irina Vladimirovna

Turinys

Įvadas…………………………………………………………………………………3

Teorinė darbo dalis

Pagrindinio Pitagoro trikampio radimas

(senovės induistų formulės)…………………………………………………………………4

Praktinė darbo dalis

Pitagoro trynukų komponavimas įvairiais būdais………………………..6

Svarbi Pitagoro trikampių savybė……………………………………………………………8

Išvada…………………………………………………………………………………….9

Literatūra………………………………………………………………………………………………10

Įvadas

Šiais mokslo metais matematikos pamokose mokėmės vienos populiariausių geometrijos teoremų – Pitagoro teoremos. Pitagoro teorema naudojama geometrijoje kiekviename žingsnyje, ji plačiai taikoma praktikoje ir kasdieniame gyvenime. Tačiau, be pačios teoremos, mes taip pat ištyrėme teoremą, priešingą Pitagoro teoremai. Ryšium su šios teoremos studijomis susipažinome su Pitagoro skaičių tripletais, t.y. su 3 natūraliųjų skaičių aibėmisa , b Irc , kuriam galioja santykis: = + . Tokie rinkiniai apima, pavyzdžiui, šiuos trynukus:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Man iš karto kilo klausimų: kiek Pitagoro trigubų galite sugalvoti? Kaip juos sukomponuoti?

Mūsų geometrijos vadovėlyje, pateikus teoremą priešingai Pitagoro teoremai, buvo padaryta svarbi pastaba: galima įrodyti, kad kojosA Irb ir hipotenuzėSu stačiuosius trikampius, kurių kraštinių ilgiai išreikšti natūraliaisiais skaičiais, galima rasti naudojant formules:

A = 2kmn b = k( - ) c = k( + , (1)

Kurk , m , n – bet kuriuos natūraliuosius skaičius irm > n .

Natūralu, kad kyla klausimas: kaip įrodyti šias formules? Ir ar tik naudojant šias formules galima sudaryti Pitagoro trynukus?

Savo darbe bandžiau atsakyti į man kylančius klausimus.

Teorinė darbo dalis

Pagrindinio Pitagoro trikampio radimas (senovės induistų formulės)

Pirmiausia įrodome formules (1):

Kojų ilgius pažymėkimeX Iradresu , ir hipotenuzės ilgįz . Pagal Pitagoro teoremą turime lygybę:+ = .(2)

Ši lygtis vadinama Pitagoro lygtimi. Pitagoro trikampių tyrimas yra susijęs su (2) lygties išsprendimu natūraliaisiais skaičiais.

Jei kiekviena tam tikro Pitagoro trikampio kraštinė padidinama tiek pat kartų, tai gauname naują statųjį trikampį, panašų į šį, kurio kraštinės išreiškiamos natūraliaisiais skaičiais, t.y. vėl Pitagoro trikampis.

Tarp visų panašių trikampių yra mažiausias, nesunku atspėti, kad tai bus trikampis, kurio kraštinėsX Iradresu išreikštas pirminiais skaičiais

(GCD (x,y )=1).

Pavadinkime tai Pitagoro trikampiupagrindinis .

Pagrindinių Pitagoro trikampių radimas.

Tegul trikampis (x , y , z ) yra pagrindinis Pitagoro trikampis. SkaičiaiX Iradresu yra santykinai svarbiausi, todėl abu negali būti lygūs. Įrodykime, kad jie abu negali būti nelyginiai. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį į taiNelyginio skaičiaus kvadratas, padalytas iš 8, lieka 1. Tiesą sakant, bet koks nelyginis natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip2 k -1 , Kurk priklausoN .

Iš čia: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Skaičiai( k -1) Irk – iš eilės, vienas iš jų būtinai yra lyginis. Tada išraiškak ( k -1) padalintas iš2 , 4 k ( k -1) dalijasi iš 8, o tai reiškia skaičių Padalijus iš 8, liekana yra 1.

Dviejų nelyginių skaičių kvadratų suma suteikia likutį 2, padalijus iš 8, todėl dviejų nelyginių skaičių kvadratų suma yra lyginis skaičius, bet ne 4 kartotinis, todėl šis skaičiusnegali būti natūraliojo skaičiaus kvadratas.

Taigi, lygybė (2) negali įvykti, jeix Iradresu abu yra nelyginiai.

Taigi, jei Pitagoro trikampis (x, y, z ) – pagrindinis, tada tarp skaičiųX Iradresu vienas turi būti lyginis, o kitas – nelyginis. Tegul skaičius y yra lyginis. SkaičiaiX Irz nelyginis (nelyginisz išplaukia iš lygybės (2)).

Iš Eq.+ = mes tai gauname= ( z + x )( z - x ) (3).

Skaičiaiz + x Irz - x nes dviejų nelyginių skaičių suma ir skirtumas yra lyginiai skaičiai, todėl (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , KurA Irb priklausoN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = a - b. (5)

Iš šių lygybių išplaukia, kada Irb yra tarpusavyje pirminiai skaičiai.

Įrodykime tai ginčydami prieštaravimu.

Leisti GCD (a , b )= d , Kurd >1 .

Tadad z Irx , taigi ir skaičiaiz + x Irz - x . Tada, remiantis lygybe (3) būtų skaičiaus daliklis . Tokiu atvejud būtų bendras skaičių daliklisadresu IrX , bet skaičiaiadresu IrX turi būti santykinai pirmaujanti.

Skaičiusadresu , kaip žinoma, yra lygus, todėly = 2c , KurSu – natūralusis skaičius. Lygybė (3), pagrįsta lygybe (4), yra tokia: =2a*2 b , arba =ab.

Iš aritmetikos žinoma, kadjei dviejų santykinai pirminių skaičių sandauga yra natūraliojo skaičiaus kvadratas, tai kiekvienas iš šių skaičių taip pat yra natūraliojo skaičiaus kvadratas.

Reiškia,a = Irb = , Kurm Irn yra santykinai pirminiai skaičiai, nes jie yra pirminių skaičių dalikliaiA Irb .

Remiantis lygybe (5), turime:

z = + , x = - , = ab = * = ; c = mn

Taday = 2 mn .

Skaičiaim Irn , nes yra palyginti geriausi ir negali būti net tuo pačiu metu. Tačiau tuo pat metu jie negali būti keisti, nes šiuo atvejux = - būtų lygus, o tai neįmanoma. Taigi vienas iš skaičiųm arban yra lyginis, o kitas – nelyginis. Akivaizdu,y = 2 mn Vadinasi, kiekviename pagrindiniame Pitagoro trikampyje bent viena iš kojelių dalijasi iš 4. Iš to išplaukia, kad nėra Pitagoro trikampių, kurių visos kraštinės būtų pirminiai skaičiai.

Gauti rezultatai gali būti išreikšti tokia teorema:

Visi pagrindiniai trikampiai, kuriuoseadresu yra lyginis skaičius, gaunamas iš formulės

x = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), Kurm Irn – visos kopirminių skaičių poros, iš kurių viena yra lyginė, o kita – nelyginė (nesvarbu kuris). Kiekvienas pagrindinis Pitagoro trigubas (x, y, z ), kuradresu – netgi, tokiu būdu nustatomas vienareikšmiškai.

Skaičiaim Irn abu negali būti lyginiai arba abu nelyginiai, nes šiais atvejais

x = būtų lygus, o tai neįmanoma. Taigi vienas iš skaičiųm arban yra lyginis, o kitas yra nelyginis (y = 2 mn dalijasi iš 4).

Praktinė darbo dalis

Pitagoro trynukų komponavimas įvairiais būdais

Induistų formulėsem Irn – yra santykinai pirminiai, bet gali būti savavališko pariteto skaičiai ir naudojant juos gana sunku sudaryti Pitagoro trejetus. Todėl pabandykime rasti kitokį požiūrį į Pitagoro trynukų sudarymą.

= - = ( z - y )( z + y ), KurX – keista,y – net,z – keista

v = z - y , u = z + y

= uv , Kuru – keista,v – nelyginis (koprime)

Nes dviejų nelyginių pirminių skaičių sandauga yra natūraliojo skaičiaus kvadratas, tadau = , v = , Kurk Irl – santykinai pirminiai, nelyginiai skaičiai.

z - y = z + y = k 2 , iš kur sudėjus lygybes ir iš vienos atėmus kitą, gauname:

2 z = + 2 y = - tai yra

z = y = x = kl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (snuliai)*(100…0 (snuliai) +1)+1 =200…0 (s-1nuliai) 200…0 (s-1nuliai) 1

Svarbi Pitagoro trikampių savybė

Teorema

Pagrindiniame Pitagoro trikampyje viena iš kojų būtinai dalijama iš 4, viena iš kojų būtinai dalijama iš 3, o Pitagoro trikampio plotas būtinai yra 6 kartotinis.

Įrodymas

Kaip žinome, kiekviename Pitagoro trikampyje bent viena iš kojelių dalijasi iš 4.

Įrodykime, kad viena iš kojų taip pat dalijasi iš 3.

Norėdami tai įrodyti, tarkime, kad Pitagoro trikampyje (x , y , z x arbay kartotinis iš 3.

Dabar įrodome, kad Pitagoro trikampio plotas dalijasi iš 6.

Kiekvienas Pitagoro trikampis turi plotą, išreikštą natūraliu skaičiumi, dalijančiu iš 6. Tai išplaukia iš to, kad bent viena iš kojų dalijasi iš 3, o bent viena iš kojų dalijasi iš 4. Trikampio plotas , nustatomas pagal kojelių pusės sandaugą, turi būti išreikštas skaičiumi, dalijančiu iš 6 .

Išvada

Vykdoma

– įrodytos senovės induistų formulės

- buvo atliktas Pitagoro trynukų skaičiaus tyrimas (jų yra be galo daug)

- nurodyti Pitagoro trigubų radimo būdai

- buvo tiriamos kai kurios Pitagoro trikampių savybės

Tai man buvo labai įdomi tema ir atsakymų į savo klausimus paieška tapo labai įdomia veikla. Ateityje planuoju apsvarstyti Pitagoro trikampių ryšį su Fibonačio seka ir Ferma teorema bei sužinoti daug daugiau Pitagoro trikampių savybių.

Literatūra

L.S. Atanasjanas „Geometrija 7-9 kl.“ M.: Išsilavinimas, 2012 m.

V. Sierpinskis „Pitagoro trikampiai“ M.: Uchpedgiz, 1959 m.

Saratovas

2014

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas

II. Naujos medžiagos paaiškinimas

Mokytojas: Pitagoro trynukų patrauklios galios paslaptis žmoniją jau seniai jaudino. Unikalios Pitagoro trynukų savybės paaiškina ypatingą jų vaidmenį gamtoje, muzikoje ir matematikoje. Pitagoro burtažodis, Pitagoro teorema, išlieka milijonų, jei ne milijardų, žmonių smegenyse. Tai yra pagrindinė teorema, kurią kiekvienas moksleivis yra priverstas įsiminti. Nors Pitagoro teoremą gali suprasti dešimties metų vaikai, tai įkvepianti pradžia problemai, kurios didžiausiems matematikos istorijos protams nepavyko išspręsti, – Ferma teoremą. Pitagoras iš Samos salos (žr. 1 priedas , skaidrė 4) buvo viena įtakingiausių ir paslaptingiausių matematikos figūrų. Kadangi nėra išlikę patikimų pasakojimų apie jo gyvenimą ir kūrybą, jo gyvenimas buvo apipintas mitais ir legendomis, o istorikams gali būti sunku atskirti faktus nuo fantastikos. Tačiau nėra jokių abejonių, kad Pitagoras išplėtojo skaičių logikos idėją ir kad būtent jam esame skolingi už pirmąjį matematikos aukso amžių. Jo genialumo dėka skaičiai nustojo būti naudojami tik skaičiavimui ir skaičiavimams ir buvo įvertinti pirmą kartą. Pitagoras tyrinėjo tam tikrų skaičių klasių savybes, ryšius tarp jų ir skaičius formuojančių figūrų. Pitagoras suprato, kad skaičiai egzistuoja nepriklausomai nuo materialaus pasaulio, todėl skaičių studijoms mūsų pojūčių netikslumas įtakos neturi. Tai reiškė, kad Pitagoras įgijo gebėjimą atrasti tiesas, nepriklausančias nuo kieno nors kito nuomonės ar išankstinio nusistatymo. Tiesos yra labiau absoliučios nei bet kokios ankstesnės žinios. Remdamiesi literatūra apie Pitagoro trigubus, domėsis galimybėmis panaudoti Pitagoro trigubus sprendžiant trigonometrijos uždavinius. Todėl išsikelsime sau tikslą: ištirti daugybę Pitagoro trynukų, sukurti jų naudojimo algoritmą, sudaryti atmintinę apie jų naudojimą, atlikti jų naudojimo įvairiose situacijose tyrimus.

trikampis ( skaidrė 14), kurio kraštinės lygios Pitagoro skaičiams, yra stačiakampis. Be to, bet kuris toks trikampis yra Heroninis, t.y. tokia, kurios visos kraštinės ir plotas yra sveikieji skaičiai. Paprasčiausias iš jų – Egipto trikampis su kraštinėmis (3, 4, 5).

Sukurkime Pitagoro trigubų eilutę, skaičius (3, 4, 5) padauginus iš 2, iš 3, iš 4. Gausime Pitagoro trigubų eilę, surūšiuosime juos didžiausio skaičiaus didėjimo tvarka ir pasirinksime primityviuosius. .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Pamokos eiga

1. Apsvarstykite užduotis:

1) Naudodami ryšius tarp to paties argumento trigonometrinių funkcijų, raskite, jei

yra žinoma, kad.

2) Raskite kampo trigonometrinių funkcijų reikšmę?, jei žinoma, kad:

3) Mokymų užduočių sistema tema „Papildymo formulės“

žinodami, kad sin = 8/17, cos = 4/5 ir yra pirmojo ketvirčio kampai, raskite išraiškos reikšmę:

žinant, kad ir yra antrojo ketvirčio kampai, sin = 4/5, cos = – 15/17, raskite: .

4) Mokymų užduočių sistema tema „Dvikampės formulės“

a) Tegul sin = 5/13 yra antrojo ketvirčio kampas. Raskite sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Yra žinoma, kad tg? = 3/4, – trečiojo ketvirčio kampas. Raskite sin2, cos2, tg2, ctg2.

c) Yra žinoma, kad , 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Yra žinoma, kad , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Raskite tan( + ), jei žinoma, kad cos = 3/5, cos = 7/25, kur ir yra pirmojo ketvirčio kampai.

f) Rasti , – trečiojo ketvirčio kampas.

Problemą išsprendžiame tradiciniu būdu, naudodami pagrindines trigonometrines tapatybes, o tada tas pačias problemas sprendžiame racionaliau. Norėdami tai padaryti, naudojame algoritmą, skirtą problemų sprendimui naudojant Pitagoro trigubus. Sukurkime problemų sprendimo vadovą naudodami Pitagoro trigubus. Norėdami tai padaryti, prisimename sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą, stačiojo trikampio smailųjį kampą, nubrėžiame jį, priklausomai nuo problemos sąlygų, teisingai išdėstome Pitagoro trikampius dešiniojo trikampio šonuose ( ryžių. 1). Užrašome santykį ir išdėstome ženklus. Algoritmas buvo sukurtas.

1 pav

Problemų sprendimo algoritmas

Apžvelgti (studijų) teorinę medžiagą.

Išmokti mintinai primityvius pitagoro trigubus ir, jei reikia, mokėti konstruoti naujus.

Taikykite Pitagoro teoremą taškams su racionaliomis koordinatėmis.

Žinoti stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą, mokėti nubrėžti stačiąjį trikampį ir, atsižvelgiant į uždavinio sąlygas, teisingai išdėstyti Pitagoro trikampius trikampio kraštinėse.

Žinokite sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ženklus priklausomai nuo jų vietos koordinačių plokštumoje.

Būtini reikalavimai:

1. žinoti, kokius ženklus sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas turi kiekviename iš koordinačių plokštumos ketvirčių;
2. žinoti stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą;
3. žinoti ir mokėti taikyti Pitagoro teoremą;
4. žinoti pagrindines trigonometrines tapatybes, sudėties formules, dvigubo kampo formules, pusės argumentų formules;
5. žinoti redukcijos formules.

Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta aukščiau, užpildykime lentelę ( 1 lentelė). Jis turi būti užpildytas pagal sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą arba naudojant Pitagoro teoremą taškams su racionaliomis koordinatėmis. Tokiu atveju visada reikia atsiminti sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ženklus, atsižvelgiant į jų vietą koordinačių plokštumoje.

1 lentelė

		Skaičių trigubai		nuodėmė	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	I valanda
		(6, 8, 10)	II dalis			-	-
		(5, 12, 13)	III dalis	-	-
		(8, 15, 17)	IV dalis	-		-	-
		(9, 40, 41)	I valanda

Norėdami sėkmingai dirbti, galite naudoti Pitagoro trigubų naudojimo instrukcijas.

2 lentelė

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Spręskime kartu.

1) Uždavinys: raskite cos, tg ir ctg, jei sin = 5/13, jei - antrojo ketvirčio kampą.

Patogus ir labai tikslus metodas, kurį matininkai naudoja statmenoms linijoms ant žemės nubrėžti, yra toks. Tegu per tašką A reikia nubrėžti statmeną tiesei MN (13 pav.). Tris kartus atidėkite tam tikrą atstumą a nuo A AM kryptimi. Tada ant virvelės surišami trys mazgai, atstumai tarp jų yra 4a ir 5a. Pritvirtinę kraštutinius mazgus prie taškų A ir B, patraukite laidą už vidurinio mazgo. Virvelė bus išdėstyta trikampyje, kurio kampas A yra stačiakampis.

Šis senovinis metodas, kurį, matyt, prieš tūkstančius metų naudojo Egipto piramidžių statytojai, remiasi tuo, kad kiekvienas trikampis, kurio kraštinės yra santykiu 3:4:5, pagal gerai žinomą Pitagoro teoremą, yra stačiakampis. nuo

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Be skaičių 3, 4, 5, kaip žinoma, yra begalinė teigiamų sveikųjų skaičių a, b, c aibė, atitinkanti ryšį

A 2 + b 2 = c 2.

Jie vadinami Pitagoro skaičiais. Pagal Pitagoro teoremą tokie skaičiai gali tarnauti kaip tam tikro stačiojo trikampio kraštinių ilgiai; todėl a ir b vadinami „kojomis“, o c – „hipotenuse“.

Aišku, kad jei a, b, c yra Pitagoro skaičių trigubas, tai pa, pb, pc, kur p yra sveikasis skaičius, yra Pitagoro skaičiai. Ir atvirkščiai, jei Pitagoro skaičiai turi bendrą koeficientą, tada juos visus galima sumažinti šiuo bendru koeficientu ir vėl gausite Pitagoro skaičių trigubą. Todėl pirmiausia nagrinėsime tik pirminio Pitagoro skaičių trynukus (likusieji gaunami iš jų padauginus iš sveikojo skaičiaus koeficiento p).

Parodykime, kad kiekviename iš tokių trigubų a, b, c viena iš „kojų“ turi būti lyginė, o kita – nelyginė. Ginčykimės prieštaravimu. Jei abi „kojos“ a ir b yra lygios, skaičius a 2 + b 2 bus lyginis, taigi ir „hipotenuzė“. Tačiau tai prieštarauja faktui, kad skaičiai a, b, c neturi bendrų koeficientų, nes trys lyginiai skaičiai turi bendrą koeficientą 2. Taigi bent viena iš „kojų“ a, b yra nelyginė.

Lieka dar viena galimybė: abi „kojos“ yra nelyginės, o „hipotenuzė“ yra lyginė. Nesunku įrodyti, kad taip negali būti. Iš tiesų: jei „kojos“ turi formą

2x + 1 ir 2m + 1,

tada jų kvadratų suma lygi

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

y., tai yra skaičius, kurį padalijus iš 4 liekana 2. Tuo tarpu bet kurio lyginio skaičiaus kvadratas turi dalytis iš 4 be liekanos. Tai reiškia, kad dviejų nelyginių skaičių kvadratų suma negali būti lyginio skaičiaus kvadratu; kitaip tariant, mūsų trys skaičiai nėra pitagoriniai.

Taigi iš „kojų“ a, b viena yra lyginė, o kita – nelyginė. Todėl skaičius a 2 + b 2 yra nelyginis, o tai reiškia, kad „hipotenuzė“ c taip pat yra nelyginė.

Tarkime, kad „kraštinė“ a yra nelyginė, o b yra lyginė. Iš lygybės

a 2 + b 2 = c 2

nesunkiai gauname:

A 2 = c 2 - b 2 = (c + b) (c - b).

Dešinėje pusėje esantys veiksniai c + b ir c - b yra koprime. Iš tiesų, jei šie skaičiai turėtų bendrą pirminį koeficientą, kuris skiriasi nuo vieno, tada suma būtų padalinta iš šio koeficiento

(c + b) + (c - b) = 2c,

ir skirtumas

(c + b) - (c - b) = 2b,

ir dirbti

(c + b) (c - b) = a 2,

tai yra, skaičiai 2c, 2b ir a turėtų bendrą koeficientą. Kadangi a yra nelyginis, šis koeficientas skiriasi nuo dviejų, todėl skaičiai a, b, c turi tą patį bendrąjį koeficientą, kurio negali būti. Gautas prieštaravimas rodo, kad skaičiai c + b ir c - b yra pirminiai.

Bet jei santykinai pirminių skaičių sandauga yra tikslus kvadratas, tai kiekvienas iš jų yra kvadratas, t.y.

Išsprendę šią sistemą, randame:

C = (m 2 + n 2) / 2, b = (m 2 - n 2) / 2, a 2 = (c + b) (c - b) = m 2 n 2, a = mn.

Taigi nagrinėjami Pitagoro skaičiai turi formą

A = mn, b = (m 2 - n 2)/2, c = (m 2 + n 2)/2.

kur m ir n yra kai kurie santykinai pirminiai nelyginiai skaičiai. Skaitytojas gali lengvai patikrinti priešingai: bet kokiam nelyginiam tipui užrašytos formulės pateikia tris Pitagoro skaičius a, b, c.

Štai keletas Pitagoro skaičių trynukų, gautų naudojant skirtingus tipus:

Jei m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2, kai m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2, kai m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2, kai m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2, kai m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2, kai m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2, kai m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2, kai m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2, kai m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2, kai m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2, kai m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2, kai m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2, kai m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2, kai m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2, kai m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Visi kiti Pitagoro skaičių trejetai turi bendrų koeficientų arba turi didesnius nei šimtą skaičių.)