Dispersijos skaičiavimo pavyzdžiai. Grupės, tarpgrupės ir bendros dispersijos apskaičiavimas (pagal dispersijų sudėjimo taisyklę)

Tinklo topologija reiškia fizinę arba elektrinę tinklo kabelių ir jungčių konfigūraciją.

Apibūdinant tinklų topologiją, vartojami keli specializuoti terminai: tinklo mazgas – kompiuteris arba tinklo perjungimo įrenginys; tinklo atšaka - kelias, jungiantis du gretimus mazgus;

terminalo mazgas – mazgas, esantis tik vienos šakos gale;

tarpinis mazgas – mazgas, esantis daugiau nei vienos šakos galuose; gretimi mazgai yra mazgai, sujungti bent vienu keliu, kuriame nėra jokių kitų mazgų. Yra tik 5 pagrindiniai tinklo topologijų tipai:

1. „Shared Bus“ topologija. Šiuo atveju ryšys ir duomenų mainai vykdomi per bendras kanalas komunikacija, vadinama bendra magistrale: Bendra magistralė yra labai paplitusi vietinių tinklų topologija. Perduota informacija gali būti paskirstoma abiem kryptimis. Naudojant bendrą magistralę, sumažėja laidų sąnaudos ir suvienodinamas įvairių modulių prijungimas. Pagrindiniai šios schemos pranašumai yra maža kaina ir paprastas kabelių paskirstymas visose patalpose. Rimčiausias bendros magistralės trūkumas yra mažas jos patikimumas: bet koks kabelio ar bet kurios iš daugybės jungčių defektas visiškai paralyžiuoja visą tinklą. Kitas bendros magistralės trūkumas yra mažas našumas, nes naudojant šį prisijungimo būdą duomenis į tinklą vienu metu gali perduoti tik vienas kompiuteris. Todėl ryšio kanalo pralaidumas čia visada yra padalintas tarp visų tinklo mazgų.

Centro funkcija yra nukreipti kompiuterio perduodamą informaciją į vieną ar visus kitus tinklo kompiuterius. Pagrindinis šios topologijos pranašumas, palyginti su įprasta magistrale, yra didesnis patikimumas. Visos problemos, susijusios su kabeliu, turi įtakos tik kompiuteriui, prie kurio prijungtas šis kabelis, ir tik koncentratoriaus gedimas gali sugadinti visą tinklą. Be to, šakotuvas gali atlikti išmaniojo informacijos, gaunamos iš tinklo mazgų, filtro vaidmenį ir, jei reikia, blokuoti administratoriaus draudžiamus perdavimą. Žvaigždės topologijos trūkumai apima didesnę tinklo įrangos kainą, nes reikia įsigyti šakotuvą. Be to, galimybę padidinti tinklo mazgų skaičių riboja šakotuvo prievadų skaičius. Šiuo metu hierarchinė žvaigždė yra labiausiai paplitęs ryšio topologijos tipas tiek vietiniuose, tiek pasauliniuose tinkluose.

3. „Žiedo“ topologija. Tinkluose su žiedo topologija duomenys tinkle perduodami nuosekliai iš vienos stoties į kitą išilgai žiedo, dažniausiai viena kryptimi:

Jei kompiuteris atpažįsta duomenis kaip jam skirtus, tada jis nukopijuoja juos į savo vidinį buferį. Tinkle su žiedine topologija būtina imtis specialių priemonių, kad sugedus ar atsijungus kokiai nors stotelei nenutrūktų ryšio kanalas tarp likusių stočių. Šios topologijos privalumas – valdymo paprastumas, trūkumas – viso tinklo gedimo galimybė, jei kanale tarp dviejų mazgų sugenda.

4. Tinklo topologija. Tinklo topologijai būdinga kompiuterinio ryšio schema, kurioje fizinės ryšio linijos nustatomos su visais netoliese esančiais kompiuteriais:

Tinkle su tinkleline topologija tiesiogiai prijungiami tik tie kompiuteriai, tarp kurių vyksta intensyvus duomenų mainai, o duomenų mainams tarp kompiuterių, kurie nėra tiesiogiai sujungti, naudojami tranzitiniai perdavimai per tarpinius mazgus. Tinklo topologija leidžia prijungti daugybę kompiuterių ir paprastai būdinga pasauliniams tinklams. Šios topologijos pranašumai yra atsparumas gedimams ir perkrovoms, nes Yra keletas būdų, kaip apeiti atskirus mazgus.

5. Mišri topologija. Nors maži tinklai paprastai turi tipišką žvaigždutės, žiedo arba magistralės topologiją, dideli tinklai paprastai turi atsitiktinius ryšius tarp kompiuterių. Tokiuose tinkluose galima identifikuoti atskirus tipinės topologijos potinklius, todėl jie vadinami mišrios topologijos tinklais.

Žingsniai

Imties dispersijos skaičiavimas

1. Užrašykite pavyzdines vertes. Daugeliu atvejų statistikai turi prieigą tik prie konkrečių populiacijų pavyzdžių. Pavyzdžiui, statistikai paprastai neanalizuoja visų Rusijos automobilių agregato išlaikymo išlaidų - jie analizuoja atsitiktinis pavyzdys iš kelių tūkstančių automobilių. Toks pavyzdys padės nustatyti vidutinę automobilio kainą, tačiau greičiausiai gauta vertė bus toli nuo tikrosios.

   • Pavyzdžiui, paanalizuokime per 6 dienas kavinėje parduotų bandelių skaičių atsitiktine tvarka. Imtis atrodo taip: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Tai yra imtis, o ne populiacija, nes neturime duomenų apie parduotas bandeles už kiekvieną kavinės darbo dieną.
   • Jei jums pateikiama populiacija, o ne reikšmių pavyzdys, pereikite prie kito skyriaus.

2. Užsirašykite formulę imties dispersijai apskaičiuoti. Dispersija yra tam tikro dydžio verčių sklaidos matas. Kaip artimesnę vertę dispersija iki nulio, tuo arčiau reikšmės grupuojamos viena su kita. Kai dirbate su verčių pasirinkimu, naudokite tokią formulę dispersijai apskaičiuoti:

   • s 2 (\displaystyle s^(2)) = ∑[(x i (\displaystyle x_(i))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2))] / (n - 1)
   • s 2 (\displaystyle s^(2))– tai dispersija. Sklaida matuojama kvadratinių vienetų matavimai.
   • x i (\displaystyle x_(i))– kiekviena imties reikšmė.
   • x i (\displaystyle x_(i)) reikia atimti x̅, kvadratą ir pridėti rezultatus.
   • x̅ – imties vidurkis (imties vidurkis).
   • n – reikšmių skaičius imtyje.

3. Apskaičiuokite vidurkį pavyzdžių. Jis žymimas x̅. Imties vidurkis apskaičiuojamas kaip paprastas aritmetinis vidurkis: sudėkite visas imties reikšmes ir padalykite rezultatą iš imtyje esančių reikšmių skaičiaus.

   • Mūsų pavyzdyje pridėkite vertes pavyzdyje: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Dabar padalykite rezultatą iš imties verčių skaičiaus (mūsų pavyzdyje yra 6): 84 ÷ 6 = 14.
     Imties vidurkis x̅ = 14.
   • Imties vidurkis yra centrinė vertė, aplink kurią pasiskirsto imties reikšmės. Jei imties klasterio reikšmės aplink imtį yra vidutinės, tada dispersija yra maža; kitu atveju dispersija yra didelė.

4. Iš kiekvienos imties vertės atimkite imties vidurkį. Dabar apskaičiuokite skirtumą x i (\displaystyle x_(i))- x̅, kur x i (\displaystyle x_(i))– kiekviena imties reikšmė. Kiekvienas gautas rezultatas rodo, kiek tam tikra reikšmė nukrypsta nuo imties vidurkio, tai yra, kiek ši reikšmė yra nuo imties vidurkio.

   • Mūsų pavyzdyje:
     x 1 (\displaystyle x_(1))- x̅ = 17 - 14 = 3
     x 2 (\displaystyle x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\displaystyle x_(3))- x = 23 - 14 = 9
     x 4 (\displaystyle x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\displaystyle x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\displaystyle x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • Gautų rezultatų teisingumą patikrinti nesunku, nes jų suma turi būti lygi nuliui. Tai susiję su vidutinės vertės nustatymu, nes neigiamos reikšmės(atstumai nuo vidutinio iki mažesnės vertės) yra visiškai kompensuojamos teigiamas vertes(atstumai nuo vidutinių iki didelių verčių).

5. Kaip minėta aukščiau, skirtumų suma x i (\displaystyle x_(i))- x̅ turi būti lygus nuliui. Tai reiškia, kad vidutinė dispersija visada yra lygus nuliui, o tai nesuteikia jokio supratimo apie tam tikro dydžio verčių sklaidą. Norėdami išspręsti šią problemą, kiekvieną skirtumą padalykite kvadratu x i (\displaystyle x_(i))- x̅. Taip gausite tik teigiamus skaičius, kurių suma niekada nebus 0.

   • Mūsų pavyzdyje:
     (x 1 (\displaystyle x_(1))-x̅) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\displaystyle (x_(2)))-x̅) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Radote skirtumo kvadratą - x̅) 2 (\displaystyle ^(2)) kiekvienai imties vertei.

6. Apskaičiuokite skirtumų kvadratų sumą. Tai yra, suraskite tą formulės dalį, kuri parašyta taip: ∑[( x i (\displaystyle x_(i))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2))]. Čia ženklas Σ reiškia kiekvienos reikšmės skirtumų kvadratu sumą x i (\displaystyle x_(i)) pavyzdyje. Jau radote skirtumus kvadratu (x i (\displaystyle (x_(i))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2)) kiekvienai vertei x i (\displaystyle x_(i)) mėginyje; dabar tiesiog pridėkite šiuos kvadratus.

   • Mūsų pavyzdyje: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. Padalinkite rezultatą iš n - 1, kur n yra imties verčių skaičius. Prieš kurį laiką, norėdami apskaičiuoti imties dispersiją, statistikai tiesiog padalijo rezultatą iš n; šiuo atveju gausite kvadratinės dispersijos vidurkį, kuris idealiai tinka tam tikros imties dispersijai apibūdinti. Tačiau atminkite, kad bet koks pavyzdys yra tik maža dalis gyventojų vertybes. Jei paimsite kitą pavyzdį ir atliksite tuos pačius skaičiavimus, gausite kitokį rezultatą. Pasirodo, padalijus iš n – 1 (o ne tik iš n), gaunamas tikslesnis populiacijos dispersijos įvertinimas, kuris jus domina. Dalyba iš n – 1 tapo įprasta, todėl įtraukta į imties dispersijos skaičiavimo formulę.

   • Mūsų pavyzdyje pavyzdyje yra 6 reikšmės, ty n = 6.
     Imties dispersija = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. Skirtumas tarp dispersijos ir standartinio nuokrypio. Atkreipkite dėmesį, kad formulėje yra eksponentas, todėl dispersija matuojama analizuojamos vertės kvadratiniais vienetais. Kartais tokį dydį gana sunku valdyti; tokiais atvejais naudokite standartinį nuokrypį, kuris yra lygus kvadratinė šaknis nuo dispersijos. Štai kodėl imties dispersija žymima kaip s 2 (\displaystyle s^(2)), A standartinis nuokrypis pavyzdžiai – kaip s (\displaystyle s).

   • Mūsų pavyzdyje imties standartinis nuokrypis yra: s = √33,2 = 5,76.

   Populiacijos dispersijos apskaičiavimas

   1. Išanalizuokite kai kurias vertybes. Rinkinyje yra visos nagrinėjamo kiekio reikšmės. Pavyzdžiui, jei tiriate gyventojų amžių Leningrado sritis, tada į gyventojų skaičių įeina visų šios vietovės gyventojų amžius. Dirbant su gyventojais, rekomenduojama sukurti lentelę ir pridėkite į ją visumos reikšmes. Apsvarstykite šį pavyzdį:

      • Tam tikroje patalpoje yra 6 akvariumai. Kiekviename akvariume yra toks žuvų skaičius:
        x 1 = 5 (\displaystyle x_(1) = 5)
        x 2 = 5 (\displaystyle x_(2) = 5)
        x 3 = 8 (\displaystyle x_(3) = 8)
        x 4 = 12 (\displaystyle x_(4) = 12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5) = 15)
        x 6 = 18 (\displaystyle x_(6) = 18)

   2. Užsirašykite formulę populiacijos dispersijai apskaičiuoti. Kadangi visuma apima visas tam tikro dydžio reikšmes, toliau pateikta formulė leidžia mums gauti tikslią vertę populiacijos dispersijos. Norėdami atskirti populiacijos dispersiją nuo imties dispersijos (tai tik apytikslis rodiklis), statistikai naudoja įvairius kintamuosius:

      • σ 2 (\displaystyle ^(2)) = (∑(x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n
      • σ 2 (\displaystyle ^(2))– gyventojų sklaida (skaitoma kaip „sigmos kvadratas“). Sklaida matuojama kvadratiniais vienetais.
      • x i (\displaystyle x_(i))– kiekviena vertė visapusiškai.
      • Σ – sumos ženklas. Tai yra, nuo kiekvienos vertės x i (\displaystyle x_(i)) reikia atimti μ, kvadratuoti ir pridėti rezultatus.
      • μ – gyventojų vidurkis.
      • n – reikšmių skaičius populiacijoje.

   3. Apskaičiuokite gyventojų vidurkį. Dirbant su populiacija, jos vidurkis žymimas μ (mu). Populiacijos vidurkis apskaičiuojamas kaip paprastas aritmetinis vidurkis: sudėkite visas populiacijos reikšmes ir padalykite rezultatą iš populiacijos reikšmių skaičiaus.

      • Atminkite, kad vidurkiai ne visada skaičiuojami kaip aritmetinis vidurkis.
      • Mūsų pavyzdyje populiacijos reikšmė: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. Iš kiekvienos populiacijos vertės atimkite populiacijos vidurkį. Kuo skirtumas arčiau nulio, tuo arčiau specifinę reikšmę gyventojų vidurkiui. Raskite skirtumą tarp kiekvienos populiacijos reikšmės ir jos vidurkio, ir gausite pirmą supratimą apie verčių pasiskirstymą.

      • Mūsų pavyzdyje:
        x 1 (\displaystyle x_(1))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 (\displaystyle x_(2))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 (\displaystyle x_(3))- μ = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 (\displaystyle x_(4))- μ = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 (\displaystyle x_(5))- μ = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 (\displaystyle x_(6))- μ = 18 - 10,5 = 7,5

   5. Kiekvieną gautą rezultatą kvadratu. Skirtumo reikšmės bus teigiamos ir neigiamos; Jei šios vertės pavaizduotos skaičių tiesėje, jos bus dešinėje ir kairėje nuo populiacijos vidurkio. Tai netinka dispersijai skaičiuoti, nes teigiamas ir neigiami skaičiai kompensuoti vienas kitą. Taigi kiekvieną skirtumą padalykite kvadratu, kad gautumėte tik teigiamus skaičius.

      • Mūsų pavyzdyje:
        (x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) kiekvienai populiacijos vertei (nuo i = 1 iki i = 6):
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)), Kur x n (\displaystyle x_(n)) – paskutinė vertė bendroje populiacijoje.
      • Norėdami apskaičiuoti gautų rezultatų vidutinę reikšmę, turite rasti jų sumą ir padalyti iš n:(( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n
      • Dabar užrašykite aukščiau pateiktą paaiškinimą naudodami kintamuosius: (∑( x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n ir gaukite populiacijos dispersijos skaičiavimo formulę.

.

Ir atvirkščiai, jei yra neneigiamas a.e. funkcija tokia, kad , tada yra absoliučiai nenutrūkstamas tikimybės matas, kuris yra jo tankis.

Mato pakeitimas Lebesgue integralu:

,

kur yra bet kuri Borelio funkcija, kuri yra integruojama tikimybės mato atžvilgiu.

Dispersija, dispersijos rūšys ir savybės Dispersijos samprata

Sklaida statistikoje randamas kaip atskirų charakteristikos verčių standartinis nuokrypis kvadratu nuo aritmetinio vidurkio. Priklausomai nuo pradinių duomenų, jis nustatomas naudojant paprastas ir svertines dispersijos formules:

1. Paprasta dispersija(nesugrupuotiems duomenims) apskaičiuojamas pagal formulę:

2. Svertinis dispersija (variacijų serijoms):

kur n yra dažnis (X faktoriaus pakartojamumas)

Dispersijos nustatymo pavyzdys

Šiame puslapyje aprašomas standartinis dispersijos nustatymo pavyzdys, taip pat galite peržiūrėti kitas jo nustatymo problemas

1 pavyzdys. Grupės apibrėžimas, grupės vidurkis, tarpgrupė ir bendra dispersija

2 pavyzdys. Dispersijos ir variacijos koeficiento radimas grupavimo lentelėje

3 pavyzdys. Diskrečiosios serijos dispersijos radimas

4 pavyzdys. Pateikiami duomenys apie 20 mokinių grupę korespondencijos skyrius. Reikia statyti intervalų serija charakteristikos pasiskirstymą, apskaičiuoti vidutinę charakteristikos reikšmę ir ištirti jos dispersiją

Sukurkime intervalų grupavimą. Nustatykime intervalo diapazoną naudodami formulę:

kur X max – maksimali vertė grupavimo funkcija; X min – minimali grupavimo charakteristikos reikšmė; n – intervalų skaičius:

Priimame n=5. Žingsnis yra toks: h = (192 - 159) / 5 = 6,6

Sukurkime intervalų grupavimą

Tolesniems skaičiavimams sudarysime pagalbinę lentelę:

X"i – intervalo vidurys. (pvz., intervalo vidurys 159 – 165,6 = 162,3)

Vidutinį mokinių ūgį nustatome naudodami svertinio aritmetinio vidurkio formulę:

Nustatykime dispersiją naudodami formulę:

Formulę galima transformuoti taip:

Iš šios formulės išplaukia, kad dispersija yra lygi skirtumas tarp pasirinkimų kvadratų vidurkio ir kvadrato bei vidurkio.

Skirtumas į variacijų serija vienodais intervalais, naudojant momentų metodą, galima apskaičiuoti taip, naudojant antrąją dispersijos savybę (visas parinktis padalijus iš intervalo reikšmės). Dispersijos nustatymas, apskaičiuotas naudojant momentų metodą, naudojant šią formulę, yra mažiau pastangų reikalaujanti:

kur i yra intervalo reikšmė; A yra įprastas nulis, kuriam patogu naudoti didžiausio dažnio intervalo vidurį; m1 yra pirmosios eilės momento kvadratas; m2 - antros eilės momentas

Alternatyvių bruožų dispersija (jei statistinėje visumoje charakteristika pasikeičia taip, kad yra tik du vienas kitą paneigiantys variantai, toks kintamumas vadinamas alternatyviu) gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Keičiama į šią formulę dispersija q =1- p, gauname:

Dispersijos tipai

Bendra dispersija matuoja charakteristikos kitimą visoje populiacijoje kaip visumoje, veikiant visiems šį kitimą sukeliantiems veiksniams. Jis lygus vidutiniam nuokrypių kvadratui individualias vertybes charakteristika x iš bendros vidutinės x reikšmės ir gali būti apibrėžta kaip paprasta dispersija arba svertinis dispersija.

Skirtumas grupės viduje charakterizuoja atsitiktinę variaciją, t.y. svyravimų dalis, kuri atsiranda dėl neatsižvelgtų veiksnių įtakos ir nepriklauso nuo veiksnio-atributo, kuris sudaro grupės pagrindą. Tokia dispersija yra lygi atskirų X grupės požymio verčių nuokrypių nuo grupės aritmetinio vidurkio kvadratui ir gali būti apskaičiuojama kaip paprasta dispersija arba kaip svertinė dispersija.

Taigi, dispersijos rodikliai grupės viduje bruožo kitimas grupėje ir nustatomas pagal formulę:

kur xi yra grupės vidurkis; ni yra vienetų skaičius grupėje.

Pavyzdžiui, grupės viduje skirtumai, kuriuos reikia nustatyti, tiriant darbuotojų kvalifikacijos įtaką darbo našumo lygiui dirbtuvėse, rodo kiekvienos grupės produkcijos svyravimus, kuriuos lemia visi galimi veiksniai (techninė įrangos būklė, prieinamumas). įrankiai ir medžiagos, darbuotojų amžius, darbo intensyvumas ir kt.), išskyrus kvalifikacinės kategorijos skirtumus (grupėje visi darbuotojai turi vienodą kvalifikaciją).

Grupės viduje esančių dispersijų vidurkis atspindi atsitiktinę variaciją, ty tą kitimo dalį, kuri įvyko veikiant visiems kitiems veiksniams, išskyrus grupavimo veiksnį. Jis apskaičiuojamas pagal formulę:

Tarpgrupinė dispersija apibūdina sistemingą gautos charakteristikos kitimą, kuris atsiranda dėl veiksnio-atributo, kuris sudaro grupės pagrindą, įtakos. Jis lygus grupės vidurkių nuokrypių nuo bendrojo vidurkio vidutiniam kvadratui. Tarpgrupinė dispersija apskaičiuojama pagal formulę: