Tiesi linija. Linijos lygtis

Lygtis

Ah+Bu+C=0

(Kur A, B, C gali turėti bet kokias reikšmes, jei tik koeficientai A, B nebuvo abu nuliai iš karto) reiškia tiesi linija. Bet kuri tiesi linija gali būti pavaizduota tokio tipo lygtimi. Štai kodėl jie jį vadina bendroji tiesės lygtis.

Jeigu A X lygiagrečiai OX ašiai.

Jeigu IN=0, tai yra, lygtyje nėra adresu, tai reiškia tiesią liniją, lygiagrečiai OY ašiai.

Kogla IN nėra lygus nuliui, tada bendroji tiesės lygtis gali būti ryžtas ordinas atžvilgiuadresu , tada jis konvertuojamas į formą

(Kur a=-A/B; b=-C/B).

Panašiai, kai A skiriasi nuo nulio, bendrąją tiesės lygtį galima išspręsti atsižvelgiant į X.

Jeigu SU=0, tai yra, bendrojoje linijos lygtyje nėra laisvo termino, tada ji žymi tiesę, einanti per pradžią

5.

Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nulemta nuolydžio k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ši lygtis apibrėžia linijų, einančių per tašką, pieštuką A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.

. Tiesės, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2), parašyta taip:

Tiesės, einančios per du duotus taškus, kampinis koeficientas nustatomas pagal formulę

7Tiesios linijos atkarpomis lygtis

Jei bendrojoje linijos lygtyje , tada (1) padalijus iš , gauname linijos lygtį atkarpomis

Kur,. Tiesi linija kerta ašį taške , ašį taške .

8Formulė: kampas tarp tiesių plokštumoje

U Tikslas α tarp dviejų tiesių, pateiktų pagal lygtis: y=k 1 x+b 1 (pirma eilutė) ir y=k 2 x+b 2 (antra tiesė), galima apskaičiuoti pagal formulę (kampas matuojamas nuo 1-osios tiesės iki 2-osios prieš laikrodžio rodyklę ):

9 Santykinė dviejų tiesių padėtis plokštumoje.

Leisk abu dabar lygtys tiesios linijos rašomos bendra forma.

Teorema. Leiskite

– generolas lygtys dvi tiesios linijos koordinuoti Oxy lėktuvas. Tada

1) jei , tada tiesiai ir sutampa;

2) jei , tada tiesus ir

lygiagretus;

3) jei , tada tiesiai susikerta.

Įrodymas. Sąlyga prilygsta normalios kolineariškumui vektoriai tiesioginiai duomenys:

Todėl, jei , tada tiesiai susikerta.

Jeigu , tada , , ir lygtis tiesioginisįgauna formą:

Arba , t.y. tiesiai rungtynės. Atkreipkite dėmesį, kad proporcingumo koeficientas, kitu atveju visi bendrojo koeficientai lygtys būtų lygus nuliui, o tai neįmanoma.

Jeigu tiesiai nesutampa ir nesikerta, tada lieka byla, t.y. tiesiai lygiagrečiai.

Teorema įrodyta.

Norint nustatyti atstumą nuo taško iki tiesės, reikia žinoti tiesės lygtis ir taško koordinates Dekarto koordinačių sistemoje. Atstumas nuo taško iki linijos bus statmenas, nubrėžtas iš šio taško į tiesę.

Instrukcijos

Bendroji tiesės lygtis Dekarto koordinatėse yra Ax+By+C=0, kur A, B ir C yra žinomi skaičiai. Tegul taškas O turi koordinates (x1, y1) Dekarto koordinačių sistemoje.

Šiuo atveju šio taško nuokrypis nuo tiesės yra lygus δ=(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2)), jei C<0, и δ=(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2))), если C>0.

Atstumas nuo taško iki tiesės yra taško nuokrypio nuo tiesės modulis, ty r=|(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2)) |, jei C<0, и δ=|(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2)))|, если C>0.

Tegu dabar trimatėje erdvėje pateikiamas taškas su koordinatėmis (x1, y1, z1). Tiesę galima nurodyti parametriškai, trijų lygčių sistema: x = x0+ta, y = y0+tb, z = z0+tc, kur t yra tikrasis skaičius. Atstumą nuo taško iki linijos galima rasti kaip mažiausią nuo šio taško iki savavališko linijos taško. Šio taško koeficientas t lygus tmin=(a(x1-x0)+b(y1-y0)+c(z1-z0))/((a^2)+(b^2)+(c^ 2))

Atstumas nuo taško (x1, y1) iki tiesės taip pat gali būti apskaičiuojamas, jei tiesė pateikiama lygtimi su kampiniu koeficientu: y = kx+b. Tada jai statmenos tiesės lygtis bus tokia: y = (-1/k)x+a. Toliau reikia atsižvelgti į tai, kad ši linija turi eiti per tašką (x1, y1). Iš čia randamas skaičius a. Po transformacijų randamas atstumas tarp taško ir tiesės.

31 . Pagrindas plokštumoje ir erdvėje

Apibrėžimas. Pagrindas lėktuve Vadinami bet kurie du tiesiškai nepriklausomi vektoriai.

Bet kokie du nekolineariniai vektoriai sudaro pagrindą. Leiskite a bet koks vektorius plokštumoje ir vektoriai b Ir c sudaryti pagrindą. Kadangi bet kurie trys vektoriai plokštumoje yra tiesiškai priklausomi, tada vektorius a yra tiesiškai išreiškiamas per bazinius vektorius, t.y. ryšys tenkinamas

Apibrėžimas. Pagrindas erdvėje Vadinami bet kokie trys tiesiškai nepriklausomi vektoriai. Bet kokie trys ne lygiaplaniai vektoriai sudaro pagrindą. Kaip ir plokštumos atveju, nustatyta, kad bet kuris vektorius a suyra į vektorius b, c Ir d

Bendras apibrėžimas (kad būtų aišku visiems) Pagrindas plokštumoje (erdvėje) – tai sutvarkyta pora (trys) nekolinearinių (nevienaplanių) vektorių. Bet kuris vektorius gali būti vienareikšmiškai išskaidytas į pagrindą. Išsiplėtimo koeficientai vadinami šio vektoriaus koordinatėmis tam tikro pagrindo atžvilgiu. Vektoriai sudaro pagrindą Dekarto koordinačių erdvėje Oxyz.

Daugeliu atvejų funkcijos grafiką sudaryti lengviau, jei pirmiausia sukuriate kreivės asimptotes.

Apibrėžimas 1. Asimptotės yra tos tiesės, prie kurių funkcijos grafikas savavališkai priartėja, kai kintamasis linkęs plius begalybė arba minus begalybė.

2 apibrėžimas. Tiesė vadinama funkcijos grafiko asimptote, jei atstumas nuo kintamojo taško M funkcijos grafikas iki šios tiesės linkęs į nulį, nes taškas neribotai tolsta M nuo pradžios išilgai bet kurios funkcijos grafiko šakos.

Yra trys asimptotų tipai: vertikalūs, horizontalūs ir įstrižai.

Vertikalios asimptotės

Apibrėžimas. Tiesiai x = a yra funkcijos grafiko vertikali asimptote , jei taškas x = a yra antrojo tipo nenutrūkstamumo taškasšiai funkcijai.

Iš apibrėžimo matyti, kad tiesi linija x = a yra funkcijos grafiko vertikali asimptotė f(x) jei tenkinama bent viena iš sąlygų:

Šiuo atveju funkcija f(x) gali būti visai neapibrėžtas, atitinkamai kada x ≥ a Ir x ≤ a .

komentaras:

1 pavyzdys. Funkcijos grafikas y=ln x turi vertikalią asimptotę x= 0 (t. y. sutampa su ašimi Oy) ant apibrėžimo srities ribos, nes funkcijos, kaip x linkęs į nulį iš dešinės, riba yra lygi minus begalybei:

(nuotrauka aukščiau).

patys ir tada pamatysite sprendimus

2 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes.

3 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Horizontalios asimptotės

If (funkcijos riba, nes argumentas linkęs į pliusą arba minusą begalybę, yra lygi tam tikrai reikšmei b), tai y = b – horizontalioji asimptote kreivas y = f(x ) (dešinė, kai X linkusi į pliuso begalybę, kairė, kai X linkusi į minus begalybę, ir dvipusė, jei ribos, kaip X linkusi į pliusą arba minus begalybę, yra lygios).

5 pavyzdys. Funkcijos grafikas

adresu a> 1 paliko horizontalią asimpototę y= 0 (t. y. sutampa su ašimi Jautis), kadangi funkcijos kaip „x“ riba yra atėmus begalybę, yra nulis:

Kreivė neturi dešinės horizontalios asimptotės, nes funkcijos riba kaip "x" linkusi plius begalybė yra lygi begalybei:

Įstrižai asimptotai

Vertikalios ir horizontalios asimptotės, kurias išnagrinėjome aukščiau, yra lygiagrečios koordinačių ašims, todėl joms sukurti mums reikėjo tik tam tikro skaičiaus - abscisės arba ordinačių ašies taško, per kurį eina asimptotas. Įstrižai asimptotei reikia didesnio nuolydžio k, kuris rodo linijos pasvirimo kampą ir laisvąjį terminą b, kuris rodo, kiek linija yra aukščiau arba žemiau pradžios. Tie, kurie nepamiršo analitinės geometrijos ir iš jos tiesės lygčių, pastebės, kad įstrižai asimptotei jie randa tiesės su nuolydžiu lygtis. Įstrižinės asimptotės egzistavimą lemia tokia teorema, kurios pagrindu randami ką tik paminėti koeficientai.

Teorema. Norėdami padaryti kreivę y = f(x) turėjo asimptotą y = kx + b , būtina ir pakanka, kad būtų baigtinės ribos k Ir b kintamasis x iki plius begalybės ir minus begalybės:

(1)

(2)

Tokiu būdu rasti skaičiai k Ir b ir yra pasvirieji asimptočių koeficientai.

Pirmuoju atveju (kaip x linkęs plius begalybė) gaunama į dešinę pakreipta asimptotė, antruoju (kaip x linkusi į minus begalybę) gaunama kairioji pasviroji asimptotė. Dešinysis įstrižas asimptotas parodytas Fig. žemiau.

Ieškant įstrižosios asimptotės lygties, būtina atsižvelgti į X tendenciją ir į plius begalybę, ir į minus begalybę. Kai kurioms funkcijoms, pavyzdžiui, trupmeninėms racionaliosioms, šios ribos sutampa, tačiau daugeliui funkcijų šios ribos skiriasi ir gali egzistuoti tik viena.

Jei ribos sutampa ir x linkęs plius begalybė ir minus begalybė, tiesi linija y = kx + b yra dvipusė kreivės asimptotė.

Jei bent viena iš asimptotą apibrėžiančių ribų y = kx + b , neegzistuoja, tada funkcijos grafikas neturi pasvirosios asimptotės (bet gali turėti vertikalią).

Nesunku pastebėti, kad horizontali asimptotė y = b yra ypatingas įstrižo atvejis y = kx + b adresu k = 0 .

Todėl, jei kuria nors kryptimi kreivė turi horizontalią asimptotę, tai šia kryptimi pasvirusios nėra, ir atvirkščiai.

6 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje, išskyrus x= 0, t.y.

Todėl lūžio taške x= 0 kreivė gali turėti vertikalią asimptotę. Iš tiesų, funkcijos riba, kai x linksta į nulį iš kairės, yra lygi plius begalybei:

Vadinasi, x= 0 – šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė.

Šios funkcijos grafikas neturi horizontalios asimptotės, nes funkcijos riba kaip x linkusi plius begalybė yra lygi plius begalybei:

Išsiaiškinkime įstrižos asimptotės buvimą:

Turi ribotas ribas k= 2 ir b= 0. Tiesiai y = 2x yra dvipusė pasvirusi šios funkcijos grafiko asimptotė (paveikslėlis pavyzdžio viduje).

7 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Funkcija turi vieną lūžio tašką x= -1 . Apskaičiuokime vienpuses ribas ir nustatykime nutrūkimo tipą:

Išvada: x= −1 yra antrojo tipo nutrūkimo taškas, taigi tiesi linija x= −1 yra šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė.

Ieškome įstrižų asimptotų. Kadangi ši funkcija yra trupmeninė-racionali, ribos pagal valią sutampa. Taigi, mes randame koeficientus, kaip pakeisti tiesią liniją - įstrižą asimptotę į lygtį:

Pakeitę rastus koeficientus į tiesės lygtį su nuolydžio koeficientu, gauname įstrižosios asimptotės lygtį:

y = −3x + 5 .

Paveiksle funkcijos grafikas pažymėtas bordo spalva, o asimptotės – juodai.

8 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Kadangi ši funkcija yra ištisinė, jos grafikas neturi vertikalių asimptočių. Mes ieškome įstrižų asimptotų:

.

Taigi šios funkcijos grafikas turi asimptotę y= 0 at ir neturi asyptoto ties .

9 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Pirmiausia ieškome vertikalių asimptočių. Norėdami tai padaryti, randame funkcijos apibrėžimo sritį. Funkcija apibrėžiama, kai nelygybė ir . Kintamojo ženklas x atitinka ženklą. Todėl apsvarstykite lygiavertę nelygybę. Iš to gauname funkcijos apibrėžimo sritį: . Vertikali asimptotė gali būti tik ant funkcijos apibrėžimo srities ribos. Bet x= 0 negali būti vertikali asimptotė, nes funkcija apibrėžta ties x = 0 .

Apsvarstykite dešinės pusės ribą (kairės ribos nėra):

.

Taškas x= 2 yra antrojo tipo nutrūkimo taškas, taigi tiesi linija x= 2 – šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė.

Mes ieškome įstrižų asimptotų:

Taigi, y = x+ 1 - šios funkcijos grafiko pasvirusi asimptotė ties . Mes ieškome įstrižos asimptotės adresu:

Taigi, y = −x − 1 - įstrižas asimptotas ties .

10 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko asimptotes

Sprendimas. Funkcija turi apibrėžimo sritį . Kadangi šios funkcijos grafiko vertikali asimptotė gali būti tik ant apibrėžimo srities ribos, vienpuses funkcijos ribas randame ties .

Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.

Per bet kurį tašką galima nubrėžti begalinį skaičių tiesių.

Per bet kuriuos du nesutampančius taškus galima nubrėžti vieną tiesią liniją.

Dvi besiskiriančios plokštumos tiesės arba susikerta viename taške, arba yra

lygiagretus (seka nuo ankstesnio).

Trimatėje erdvėje yra trys dviejų linijų santykinės padėties parinktys:

• linijos susikerta;

• linijos lygiagrečios;

• susikerta tiesios linijos.

Tiesiai linija— pirmosios eilės algebrinė kreivė: tiesė Dekarto koordinačių sistemoje

plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).

Bendroji tiesės lygtis.

Apibrėžimas. Bet kuri tiesi linija plokštumoje gali būti nurodyta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

ir pastovus A, B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras

tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B Ir SU Galimi šie ypatingi atvejai:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- per pradžią eina tiesi linija

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = C = 0, A ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi

. A = C = 0, B ≠0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją

pradines sąlygas.

Tiesės iš taško ir normaliojo vektoriaus lygtis.

Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)

statmena lygties nurodytai tiesei

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).

Sprendimas. Kai A = 3 ir B = -1, sudarykime tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C

Į gautą išraišką pakeisime duoto taško A koordinates Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl

C = -1. Iš viso: reikalinga lygtis: 3x - y - 1 = 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Ir M2 (x 2, y 2, z 2), Tada tiesės lygtis,

eina per šiuos taškus:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Įjungta

plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

Jeigu x 1 ≠ x 2 Ir x = x 1, Jei x 1 = x 2 .

Frakcija = k paskambino nuolydis tiesioginis.

Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.

Sprendimas. Taikydami aukščiau parašytą formulę, gauname:

Tiesios linijos lygtis naudojant tašką ir nuolydį.

Jei bendroji tiesės lygtis Ax + Wu + C = 0 veda prie:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama

tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Tiesės iš taško ir krypties vektoriaus lygtis.

Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį

tiesė per tašką ir tiesės krypties vektorius.

Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą

Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino nukreipiantis tiesės vektorius.

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.

Sprendimas. Ieškosime norimos eilutės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,

koeficientai turi atitikti šias sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.

adresu x = 1, y = 2 gauname C/A = -3, t.y. reikalinga lygtis:

x + y - 3 = 0

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ах + Ву + С = 0 С≠0, tada dalijant iš -С gauname:

arba kur

Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė

tiesiai su ašimi O A b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė Oi.

Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalioji tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ax + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus kuris vadinamas

normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ*C< 0.

r- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki tiesės,

A φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.

Pavyzdys. Pateikiama bendroji linijos lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalinga parašyti įvairių tipų lygtis

ši tiesi linija.

Šios tiesės lygtis atkarpomis:

Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

Linijos lygtis:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi segmentuose, pavyzdžiui, tiesės,

lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Kampas tarp tiesių plokštumoje.

Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų

bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi linijos yra statmenos

Jeigu k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Tiesioginis Ax + Wu + C = 0 Ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 lygiagrečiai, kai koeficientai yra proporcingi

A 1 = λA, B 1 = λB. Jei taip pat С 1 = λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės

randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis.

Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b

pavaizduota lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema. Jei skiriamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki tiesės Ax + Wu + C = 0 apibrėžiamas kaip:

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- iš taško nukritusio statmens pagrindas M už duotą

tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M Ir M 1:

(1)

Koordinatės x 1 Ir 1 val galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis

duota tiesi linija. Jei transformuosime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Tiesė, einanti per tašką K(x 0 ; y 0) ir lygiagreti tiesei y = kx + a, randama pagal formulę:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Kur k yra linijos nuolydis.

Alternatyvi formulė:
Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1 ; y 1) ir lygiagreti tiesei Ax+By+C=0, pavaizduota lygtimi

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

2 pavyzdys. Parašykite tiesės, lygiagrečios tiesei 2x + 5y = 0, lygtį ir kartu su koordinačių ašimis sudaro trikampį, kurio plotas lygus 5.
Sprendimas . Kadangi tiesės lygiagrečios, norimos tiesės lygtis yra 2x + 5y + C = 0. Stačiojo trikampio plotas, kur a ir b yra jo kojos. Raskime norimos tiesės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis:
;
.
Taigi, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Pakeiskime jį į ploto formulę: . Gauname du sprendinius: 2x + 5y + 10 = 0 ir 2x + 5y – 10 = 0.

3 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką (-2; 5) ir lygiagrečios tiesei 5x-7y-4=0, lygtį.
Sprendimas. Šią tiesią liniją galima pavaizduoti lygtimi y = 5/7 x – 4/7 (čia a = 5/7). Norimos tiesės lygtis yra y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), t.y. 7(y-5)=5(x+2) arba 5x-7y+45=0 .

4 pavyzdys. Išsprendę 3 pavyzdį (A=5, B=-7) naudodami formulę (2), randame 5(x+2)-7(y-5)=0.

5 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką (-2;5) ir lygiagrečios tiesei 7x+10=0, lygtį.
Sprendimas. Čia A = 7, B = 0. (2) formulė duoda 7(x+2)=0, t.y. x+2=0. Formulė (1) netaikoma, nes šios lygties negalima išspręsti y atžvilgiu (ši tiesė lygiagreti ordinačių ašiai).

Šiame straipsnyje tęsiama tiesės lygties plokštumoje tema: tokio tipo lygtį laikysime bendrąja tiesės lygtimi. Apibrėžkime teoremą ir pateiksime jos įrodymą; Išsiaiškinkime, kas yra neišsami bendroji linijos lygtis ir kaip atlikti perėjimus iš bendrosios lygties į kitų tipų linijos lygtis. Visą teoriją sustiprinsime iliustracijomis ir praktinių problemų sprendimais.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Plokštumoje nurodykime stačiakampę koordinačių sistemą O x y.

1 teorema

Bet kuri pirmojo laipsnio lygtis, turinti formą A x + B y + C = 0, kur A, B, C yra kai kurie realieji skaičiai (A ir B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui), apibrėžia tiesę stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje. Savo ruožtu bet kuri tiesė stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje yra nustatoma pagal lygtį, kurios forma yra A x + B y + C = 0 tam tikram reikšmių rinkiniui A, B, C.

Įrodymas

Ši teorema susideda iš dviejų punktų, įrodysime kiekvieną iš jų.

1. Įrodykime, kad lygtis A x + B y + C = 0 apibrėžia tiesę plokštumoje.

Tebūnie koks nors taškas M 0 (x 0 , y 0), kurio koordinatės atitinka lygtį A x + B y + C = 0. Taigi: A x 0 + B y 0 + C = 0. Iš kairės ir dešinės lygčių A x + B y + C = 0 pusių atimkite lygties A x 0 + B y 0 + C = 0 kairę ir dešinę puses, gausime naują lygtį, kuri atrodo kaip A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Jis yra lygus A x + B y + C = 0.

Gauta lygtis A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 yra būtina ir pakankama vektorių n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x) statmenumo sąlyga. 0, y - y 0) . Taigi taškų aibė M (x, y) apibrėžia tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje, statmenoje vektoriaus n → = (A, B) krypčiai. Galime manyti, kad taip nėra, bet tada vektoriai n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nebūtų statmeni, o lygybė A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nebūtų teisinga.

Vadinasi, lygtis A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 apibrėžia tam tikrą tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje, todėl lygiavertė lygtis A x + B y + C = 0 apibrėžia ta pati linija. Taip įrodėme pirmąją teoremos dalį.

1. Pateiksime įrodymą, kad bet kurią tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje galima nurodyti pirmojo laipsnio lygtimi A x + B y + C = 0.

Apibrėžkime tiesę a stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje; taškas M 0 (x 0 , y 0), per kurį eina ši tiesė, taip pat šios tiesės normalusis vektorius n → = (A, B) .

Tegul taip pat yra taškas M (x, y) – tiesės slankusis taškas. Šiuo atveju vektoriai n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) yra statmeni vienas kitam, o jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Perrašykime lygtį A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, apibrėžkime C: C = - A x 0 - B y 0 ir kaip galutinį rezultatą gausime lygtį A x + B y + C = 0.

Taigi, mes įrodėme antrąją teoremos dalį ir įrodėme visą teoremą kaip visumą.

1 apibrėžimas

Formos lygtis A x + B y + C = 0 - Tai bendroji tiesės lygtis plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemojeOxy.

Remdamiesi įrodyta teorema, galime daryti išvadą, kad tiesė ir jos bendroji lygtis, apibrėžta plokštumoje fiksuotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra neatsiejamai susijusios. Kitaip tariant, pradinė eilutė atitinka jos bendrąją lygtį; bendroji linijos lygtis atitinka duotąją tiesę.

Iš teoremos įrodymo taip pat išplaukia, kad kintamųjų x ir y koeficientai A ir B yra tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės, kurią pateikia bendroji tiesės lygtis A x + B y + C = 0.

Panagrinėkime konkretų bendrosios tiesės lygties pavyzdį.

Tegu yra lygtis 2 x + 3 y - 2 = 0, kuri atitinka tiesę duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje. Normalus šios linijos vektorius yra vektorius n → = (2, 3) . Nubrėžkime brėžinyje nurodytą tiesią liniją.

Taip pat galime teigti: tiesė, kurią matome brėžinyje, yra nustatoma pagal bendrąją lygtį 2 x + 3 y - 2 = 0, nes visų duotoje tiesėje esančių taškų koordinatės atitinka šią lygtį.

Lygtį λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 galime gauti padauginę abi bendrosios tiesės lygties puses iš skaičiaus λ, nelygaus nuliui. Gauta lygtis yra lygiavertė pradinei bendrajai lygčiai, todėl ji apibūdins tą pačią tiesę plokštumoje.

Užbaikite bendrąją linijos lygtį– tokia bendroji tiesės A x + B y + C = 0 lygtis, kurioje skaičiai A, B, C skiriasi nuo nulio. Priešingu atveju lygtis yra nepilnas.

Išanalizuokime visus nepilnos bendrosios tiesės lygties variantus.

1. Kai A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, bendroji lygtis įgauna formą B y + C = 0. Tokia nepilna bendroji lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y apibrėžia tiesę, lygiagrečią O x ašiai, nes bet kuriai realiajai x reikšmei kintamasis y įgaus reikšmę - C B. Kitaip tariant, bendroji tiesės A x + B y + C = 0 lygtis, kai A = 0, B ≠ 0, nurodo taškų (x, y), kurių koordinatės lygios tam pačiam skaičiui, vietą. - C B.
2. Jei A = 0, B ≠ 0, C = 0, bendroji lygtis yra y = 0. Ši nepilna lygtis apibrėžia x ašies O x .
3. Kai A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, gauname nepilną bendrąją lygtį A x + C = 0, apibrėžiančią tiesę, lygiagrečią ordinatėms.
4. Tegu A ≠ 0, B = 0, C = 0, tada nepilna bendroji lygtis bus x = 0, ir tai yra koordinačių tiesės O y lygtis.
5. Galiausiai, kai A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, nepilna bendroji lygtis įgauna formą A x + B y = 0. Ir ši lygtis apibūdina tiesią liniją, kuri eina per pradžią. Tiesą sakant, skaičių pora (0, 0) atitinka lygybę A x + B y = 0, nes A · 0 + B · 0 = 0.

Grafiškai pavaizduokime visus aukščiau išvardintus nepilnos bendrosios tiesės lygties tipus.

1 pavyzdys

Yra žinoma, kad duota tiesė yra lygiagreti ordinačių ašiai ir eina per tašką 2 7, - 11. Būtina užrašyti bendrąją duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Ordinačių ašiai lygiagreti tiesė pateikiama A x + C = 0 formos lygtimi, kurioje A ≠ 0. Sąlyga taip pat nurodo taško, per kurį eina tiesė, koordinates, o šio taško koordinatės atitinka nepilnos bendrosios lygties A x + C = 0 sąlygas, t.y. lygybė yra tiesa:

A 2 7 + C = 0

Iš jo galima nustatyti C, jei A suteikiame kokią nors ne nulį reikšmę, pavyzdžiui, A = 7. Šiuo atveju gauname: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Žinome abu koeficientus A ir C, juos pakeisime lygtimi A x + C = 0 ir gauname reikiamą tiesės lygtį: 7 x - 2 = 0

Atsakymas: 7 x - 2 = 0

2 pavyzdys

Brėžinyje pavaizduota tiesė, reikia užrašyti jos lygtį.

Sprendimas

Pateiktas brėžinys leidžia lengvai paimti pradinius duomenis, kad išspręstume problemą. Brėžinyje matome, kad duotoji tiesė yra lygiagreti O x ašiai ir eina per tašką (0, 3).

Tiesi linija, lygiagreti abscisei, nustatoma nepilna bendroji lygtis B y + C = 0. Raskime B ir C reikšmes. Taško (0, 3) koordinatės, kadangi per jį eina duotoji tiesė, tenkins tiesės B y + C = 0 lygtį, tuomet galioja lygybė: B · 3 + C = 0. Nustatykime B vertę, kuri skiriasi nuo nulio. Tarkime B = 1, tokiu atveju iš lygybės B · 3 + C = 0 rasime C: C = - 3. Naudodami žinomas B ir C reikšmes, gauname reikiamą tiesės lygtį: y - 3 = 0.

Atsakymas: y-3 = 0.

Bendroji tiesės, einančios per tam tikrą plokštumos tašką, lygtis

Tegul duotoji tiesė eina per tašką M 0 (x 0 , y 0), tada jos koordinatės atitinka bendrąją tiesės lygtį, t.y. lygybė yra teisinga: A x 0 + B y 0 + C = 0. Atimkime kairę ir dešinę šios lygties puses iš kairės ir dešinės bendrosios pilnosios lygties pusės. Gauname: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ši lygtis yra lygiavertė pradinei bendrajai, eina per tašką M 0 (x 0, y 0) ir turi normalią vektorius n → = (A, B) .

Gautas rezultatas leidžia užrašyti bendrąją tiesės lygtį su žinomomis normalaus linijos vektoriaus koordinatėmis ir tam tikro šios linijos taško koordinatėmis.

3 pavyzdys

Duotas taškas M 0 (- 3, 4), per kurį eina tiesė, ir šios tiesės normalusis vektorius n → = (1 , - 2) . Būtina užrašyti duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pradinės sąlygos leidžia gauti reikiamus duomenis lygčiai sudaryti: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Tada:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problema galėjo būti išspręsta kitaip. Bendroji tiesės lygtis yra A x + B y + C = 0. Pateiktas normalus vektorius leidžia gauti koeficientų A ir B reikšmes, tada:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Dabar suraskime C reikšmę naudodami uždavinio sąlygą nurodytą tašką M 0 (- 3, 4), per kurį eina tiesė. Šio taško koordinatės atitinka lygtį x - 2 · y + C = 0, t.y. - 3 - 2 4 + C = 0. Taigi C = 11. Reikiama tiesės lygtis yra tokia: x - 2 · y + 11 = 0.

Atsakymas: x - 2 y + 11 = 0 .

4 pavyzdys

Duota tiesė 2 3 x - y - 1 2 = 0 ir taškas M 0, esantis šioje tiesėje. Žinoma tik šio taško abscisė ir ji lygi – 3. Būtina nustatyti duoto taško ordinates.

Sprendimas

Taško M 0 koordinates pažymėkime x 0 ir y 0 . Šaltiniai duomenys rodo, kad x 0 = - 3. Kadangi taškas priklauso duotai tiesei, tai jo koordinatės atitinka bendrąją šios tiesės lygtį. Tada lygybė bus tiesa:

2 3 x 0 – y 0 – 1 2 = 0

Apibrėžkite y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Atsakymas: - 5 2

Perėjimas nuo bendrosios tiesės lygties prie kito tipo tiesės lygčių ir atvirkščiai

Kaip žinome, yra keletas lygčių tipų, skirtų tai pačiai tiesei plokštumoje. Lygties tipo pasirinkimas priklauso nuo uždavinio sąlygų; galima pasirinkti patogiau sprendžiant. Čia labai praverčia įgūdžiai konvertuoti vieno tipo lygtį į kito tipo lygtį.

Pirmiausia panagrinėkime perėjimą nuo bendrosios A x + B y + C = 0 lygties į kanoninę lygtį x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Jei A ≠ 0, tai terminą B y perkeliame į dešinę bendrosios lygties pusę. Kairėje pusėje mes išimame A iš skliaustų. Dėl to gauname: A x + C A = - B y.

Šią lygybę galima parašyti kaip proporciją: x + C A - B = y A.

Jei B ≠ 0, kairėje bendrosios lygties pusėje paliekame tik terminą A x, kitus perkeliame į dešinę, gauname: A x = - B y - C. Iš skliaustų paimame – B, tada: A x = - B y + C B .

Perrašykime lygybę proporcijos forma: x - B = y + C B A.

Žinoma, nereikia įsiminti gautų formulių. Pereinant nuo bendrosios lygties prie kanoninės, pakanka žinoti veiksmų algoritmą.

5 pavyzdys

Pateikta bendroji tiesės 3 lygtis y - 4 = 0. Būtina jį paversti kanonine lygtimi.

Sprendimas

Parašykime pradinę lygtį 3 y – 4 = 0. Toliau dirbame pagal algoritmą: terminas 0 x lieka kairėje pusėje; o dešinėje pusėje dedame - 3 iš skliaustų; gauname: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Gautą lygybę parašykime proporcija: x - 3 = y - 4 3 0 . Taigi, mes gavome kanoninės formos lygtį.

Atsakymas: x - 3 = y - 4 3 0.

Norint paversti bendrąją tiesės lygtį į parametrines, pirmiausia pereinama prie kanoninės formos, o po to pereinama nuo kanoninės tiesės lygties prie parametrinių lygčių.

6 pavyzdys

Tiesi linija pateikiama lygtimi 2 x - 5 y - 1 = 0. Užrašykite šios eilutės parametrines lygtis.

Sprendimas

Pereikime nuo bendrosios lygties prie kanoninės:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Dabar paimame abi gautos kanoninės lygties puses, lygias λ, tada:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Atsakymas:x = 5 λ y = -1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Bendrąją lygtį galima konvertuoti į tiesės, kurios nuolydis y = k · x + b, lygtį, bet tik tada, kai B ≠ 0. Perėjimui terminą B y paliekame kairėje pusėje, likusieji perkeliami į dešinę. Gauname: B y = - A x - C . Abi gautos lygybės puses padalinkime iš B, skirtingos nuo nulio: y = - A B x - C B.

7 pavyzdys

Pateikiama bendroji tiesės lygtis: 2 x + 7 y = 0. Turite konvertuoti šią lygtį į nuolydžio lygtį.

Sprendimas

Atlikime reikiamus veiksmus pagal algoritmą:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Atsakymas: y = - 2 7 x .

Iš bendrosios tiesės lygties pakanka tiesiog gauti lygtį x a + y b = 1 formos atkarpose. Norėdami atlikti tokį perėjimą, skaičių C perkeliame į dešinę lygybės pusę, gautos lygybės abi puses padaliname iš – C ir galiausiai perkeliame kintamųjų x ir y koeficientus į vardiklius:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8 pavyzdys

Reikia paversti bendrąją tiesės x - 7 y + 1 2 = 0 lygtį į tiesės lygtį atkarpomis.

Sprendimas

Perkelkime 1 2 į dešinę pusę: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Abi lygybės puses padalinkime iš -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Atsakymas: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Apskritai atvirkštinis perėjimas taip pat yra lengvas: nuo kitų tipų lygčių prie bendrosios.

Linijos lygtis atkarpose ir lygtis su kampiniu koeficientu gali būti lengvai konvertuojama į bendrą, tiesiog surinkus visus terminus kairėje lygybės pusėje:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanoninė lygtis konvertuojama į bendrąją pagal šią schemą:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Norėdami pereiti nuo parametrinių, pirmiausia pereikite prie kanoninio, o tada prie bendro:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9 pavyzdys

Pateikiamos tiesės x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametrinės lygtys. Būtina užrašyti bendrąją šios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pereikime nuo parametrinių lygčių prie kanoninių:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pereikime nuo kanoninio prie bendro:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Atsakymas: y – 4 = 0

10 pavyzdys

Pateikta tiesės lygtis atkarpose x 3 + y 1 2 = 1. Būtina pereiti prie bendrosios lygties formos.

Sprendimas:

Tiesiog perrašome lygtį reikiama forma:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Atsakymas: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Bendrosios tiesės lygties sudarymas

Aukščiau sakėme, kad bendrąją lygtį galima parašyti žinomomis normaliojo vektoriaus koordinatėmis ir taško, per kurį eina linija, koordinatėmis. Tokia tiesė apibrėžiama lygtimi A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Ten taip pat išanalizavome atitinkamą pavyzdį.

Dabar pažvelkime į sudėtingesnius pavyzdžius, kuriuose pirmiausia turime nustatyti normalaus vektoriaus koordinates.

11 pavyzdys

Duota tiesė, lygiagreti tiesei 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Taip pat žinomas taškas M 0 (4, 1), per kurį eina duotoji tiesė. Būtina užrašyti duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pradinės sąlygos mums sako, kad tiesės yra lygiagrečios, tada kaip normalųjį tiesės vektorių, kurios lygtį reikia parašyti, imame tiesės n → = (2, - 3) krypties vektorių: 2 x – 3 m. + 3 3 = 0. Dabar mes žinome visus reikalingus duomenis, kad sukurtume bendrą linijos lygtį:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Atsakymas: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

12 pavyzdys

Duota tiesė eina per pradžią statmenai tiesei x - 2 3 = y + 4 5. Būtina sukurti bendrąją lygtį duotai linijai.

Sprendimas

Normalusis tam tikros linijos vektorius bus tiesės x - 2 3 = y + 4 5 krypties vektorius.

Tada n → = (3, 5) . Tiesi linija eina per pradžią, t.y. per tašką O (0, 0). Sukurkime bendrąją duotosios linijos lygtį:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Atsakymas: 3 x + 5 y = 0 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter