§ 7. Kombinatorikos taikymas tikimybei skaičiuoti

Jei iš bendro tūrio n imami mėginiai k elementų su grąža, tada kiekvienos konkrečios imties gavimo tikimybė laikoma lygi .

Jei imtis negrąžinama, tada ši tikimybė yra lygi .

Tegul įvykis A susideda iš imties atsiradimo su tam tikrais papildomais apribojimais ir tokių imčių skaičius yra lygus m. Tada mėginių ėmimo su grąžinimu atveju turime:

jei mėginys imamas negrąžinant:

1 pavyzdys. Atsitiktinai parenkamas triženklis skaičius be nulio dešimtainėje žymėjime. Kokia tikimybė, kad pasirinktas skaičius turi lygiai du vienodus skaitmenis?

Sprendimas. Įsivaizduokime, kad skaičiai 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 užrašomi ant 9 vienodų kortelių ir šios kortelės dedamos į urną. Atsitiktinai pasirinkti triženklį skaičių prilygsta nuosekliam piešimui, 3 kortelių grąžinimui iš urnos ir skaičių užrašymui jų atsiradimo tvarka. Vadinasi, visų elementariųjų eksperimento baigčių skaičius yra 93 = 729. Palankių atvejų skaičius mus dominančiam įvykiui A apskaičiuojamas taip: galima pasirinkti 2 skirtingus skaičius x ir y skirtingais būdais; jei pasirinkti x ir y, iš jų galima padaryti https://pandia.ru/text/78/365/images/image007_10.gif" width="115 height=41" height="41">.

2 pavyzdys. Iš žodžio „rotorius“ raidžių, sudarytų naudojant suskaidytą abėcėlę, atsitiktine tvarka paeiliui ištraukiamos 3 raidės ir sudedamos į eilę. Kokia tikimybė, kad pasirodys žodis „tor“?

Sprendimas. Kad atskirtume identiškas raides viena nuo kitos, jas pateikiame skaičiais: p1, p2, o1, o2. Tada bendras elementarių baigčių skaičius yra lygus: . Žodis „torus“ bus rodomas 1 × 2 × 2 = 4 atvejais (to1р1, then1р2, then2р1, then2р2)..gif" width="24" height="25 src="> ir mes manome, kad jie visi yra vienodi tikimybės .

3 pavyzdys. N dalių partijoje yra n defektų. Kokia tikimybė, kad tarp k atsitiktinai parinktų dalių bus s defektinių?

Sprendimas. Visų elementarių rezultatų skaičius yra lygus . Apskaičiuojant palankių atvejų skaičių, samprotaujame taip: iš n sugedusių detalių galima pasirinkti s detalių s būdais, o iš N - n nesugedusių dalių galima pasirinkti k – s nesugedusias detales; Pagal gaminio taisyklę palankių atvejų skaičius lygus ×. Reikalinga tikimybė yra:

4 pavyzdys Komandoje yra 4 moterys ir 3 vyrai. Tarp brigados narių ištraukiami 4 bilietai į teatrą. Kokia tikimybė, kad tarp bilietų turėtojų bus 2 moterys ir 2 vyrai?

Sprendimas. Taikykime statistinę atrankos schemą. Iš 7 komandos narių galima pasirinkti 4 žmones = 35 būdai, todėl visų elementarių testo rezultatų skaičius yra 35..gif" width="28" height="34">= 3 būdai. Tada skaičius palankių atvejų bus lygus 6 × 3 = 18..gif" width="21" height="41"> . Kiek baltų rutuliukų yra urnoje?

150. Urnoje yra n baltų ir m juodų kamuoliukų. Atsitiktinai nupiešti K rutuliukai (k>m). Kokia tikimybė, kad urnoje liko tik balti rutuliukai?

151. Iš urnos, kurioje yra N kamuoliukų, vienas rutulys išimamas N kartų, kiekvieną kartą grąžinant išimtą rutulį. Kokia tikimybė, kad visi rutuliai bus ištraukti vieną kartą?

152. Pilna kortų kaladė (52 lapai) atsitiktine tvarka padalinama į 2 lygias dalis (po 26 kortas). Raskite šių įvykių tikimybę:

A – kiekvienoje dalyje bus po 2 tūzus;

B – vienoje iš dalių nebus nė vieno tūzo;

C – vienoje iš dalių bus lygiai vienas tūzas.

153. Urnoje yra balti, b juodi ir c raudoni rutuliukai. Visi rutuliai po vieną išimami iš šios urnos negrąžinant ir užrašomos jų spalvos. Raskite tikimybę, kad balta spalva šiame sąraše pasirodys prieš juodą.

154. Urnos yra 2: pirmoje yra a baltas ir b juodas rutuliai; antrasis su balta ir d juoda. Iš kiekvienos urnos traukiamas rutulys. Raskite tikimybę, kad abu rutuliai bus balti (įvykis A) ir tikimybę, kad kamuoliukai bus skirtingų spalvų (įvykis B).

155. 2n komandos suskirstytos į 2 pogrupius po n komandų. Raskite tikimybę, kad 2 stipriausios komandos pateks: a) į skirtingus pogrupius (A renginys); b) į vieną pogrupį (B renginys).

156. Iš 36 kortų kaladės atsitiktinai ištraukiamos 3 kortos. Nustatykite tikimybę, kad taškų suma šiose kortose yra 21, jei lizdas yra 2 taškai, dama yra 3, karalius yra 4, tūzas yra 11, o likusios kortos yra 6, 7, 8, 9, 10 taškų. , atitinkamai.

157. Vienos Sportloto loterijos kortelės savininkas (6 iš 49) perbraukia 6 skaičius. Kokia tikimybė, kad jie atspės:

a) visi 6 numeriai kitame tiraže;

b) 5 arba 6 skaičiai;

c) bent 3 skaičiai?

158. Autobusas su 15 keleivių turi sustoti 20. Darant prielaidą, kad visi galimi keleivių paskirstymo tarp stotelių būdai yra vienodai įmanomi, apskaičiuokite tikimybę, kad toje pačioje stotelėje neišlips 2 keleiviai.

159. Iš skaičių 1, 2, …, N, r atsitiktinai parenkami skirtingi skaičiai (r £ N). Raskite tikimybę, kad bus pasirinktas r skaičius iš eilės.

160. Iš pilnos kortų kaladės (52 lapai) ištraukiamos kelios kortos. Kiek kortų reikia ištraukti, kad su didesne nei 0,5 tikimybe būtų galima teigti, kad tarp jų bus tos pačios spalvos kortų?

161. Yra n kamuoliukų, kurie atsitiktinai išsibarstę po m duobutes. Raskite tikimybę, kad lygiai k1 rutuliukų įkris į pirmąją duobutę, k2 rutuliukų į antrąją ir pan., o km rutuliukų į m-ąją duobutę, jei k1+k2+…+km=n.

162. Ankstesnio uždavinio sąlygomis raskite tikimybę, kad vienoje iš skylių (nesvarbu, kurioje) bus k1 rutuliukų, o kitoje - k2 rutuliukų ir pan., m-ojoje - km kamuoliukai (manoma, kad skaičiai k1,k2,... ,km skiriasi).

163. Iš aibės (1, 2,…, N) skaičiai x1 ir x2 atrenkami paeiliui, negrąžinant. Raskite p(x2 > x1).

1 rankraštis suskirstytas į 30 aplankų (vienas rankraštis užima 3 aplankus). Raskite tikimybę, kad 6 atsitiktinai išmestuose aplankuose nėra viso rankraščio.

165. Kokia tikimybė, kad r žmonių kompanijoje bent du švęs tą patį gimtadienį? (Paprastumo dėlei daroma prielaida, kad vasario 29 diena nėra gimtadienis).

166. Naudodamiesi lg n reikšmių lentele! ir ankstesnio uždavinio sąlygą, apskaičiuokite tikimybes, kai r = 22, 23, 60.

167. Jūs nusprendėte surasti žmogų, kurio gimtadienis sutampa su jūsų. Kiek nepažįstamų žmonių reikėtų apklausti, kad tikimybė sutikti tokį žmogų būtų ne mažesnė nei 0,5?

168. Valstybės paskolai kasmet ištraukiami 6 pagrindiniai ir vienas papildomas lošimas, vykstantis po pagrindinio penktojo. Iš 100 000 serijų 170 epizodų laimi kiekviename pagrindiniame važiavime ir 230 serijų kiekviename papildomame. Raskite tikimybę laimėti vieną obligaciją per pirmuosius 10 metų: a) pagrindinėje apyvartoje; b) papildomame leidime; c) bet kuriame leidime.

Griežtas mokytojas, skubiai reikia per 1 dieną išspręsti tikimybių teorijos uždavinius, tema "Tikimybių teorija (matematika)"

1. Telefono numerį sudaro šeši skaitmenys. Raskite tikimybę, kad visi skaičiai yra skirtingi. 2. Partijoje yra 10 produktų, iš kurių keturi yra nestandartiniai. Atsitiktinai paimami keturi daiktai. Raskite tikimybę, kad tarp paimtų gaminių yra daugiau standartinių nei nestandartinių. 3. Dešimt žmonių atsitiktinai sėdi ant dešimties vietų suoliuko. Raskite tikimybę, kad šalia bus 2 konkretūs asmenys. 4. Taškas parenkamas atsitiktinai kvadrato su viršūnėmis viduje. Raskite tokio įvykio tikimybę: 5. Du šauliai savarankiškai paleido vieną šūvį į taikinį. Yra žinoma, kad tikimybė vienam iš šaulių pataikyti į taikinį yra 0,6; o už kitą – 0,7. Raskite tikimybę, kad bent vienas iš šaulių nepataikys į taikinį. 6. Prieš įveikiant pirmąjį konkurso turą, kiekvienam pretendentui pateikiamos trys užduotys: meninio skaitymo tekstas, pantomimos pristatymo tema, eilėraštis vokaliniam atlikimui pagal savo melodiją. Įveikiant konkursą, siūloma atlikti du numerius iš trijų. Skaičių pasirinkimas yra atsitiktinis. Konkurentas skaičiuoja, kad pirmąjį literatūros skaitymo turą jis įveiks su 0,9 tikimybe; atliekant pantomimą – 0,3; atliekant vokalinę užduotį – 0,5. Kokia tikimybė įveikti pirmąjį turą tokiu pasiruošimu dalyviui? 7. Pirmoje urnoje yra 10 kamuoliukų, iš kurių 8 balti; Antroje urnoje yra 15 kamuoliukų, iš kurių 4 balti. Iš pirmosios urnos atsitiktine tvarka buvo ištraukti du rutuliai, o tada į ją buvo perkeltas rutulys iš antrosios urnos. Po to iš pirmosios urnos buvo ištrauktas kamuolys. Raskite tikimybę, kad šis rutulys yra baltas. 8. Iš 18 šaulių 5 pataikė į taikinį su 0,6 tikimybe; 7 – su tikimybe 0,7; 4 – su tikimybe 0,8; 2 – su tikimybe 0,5. Atsitiktinai pasirinktas šaulys taikinį nepataikė. Kuriai grupei šis šaulys greičiausiai priklauso? 9. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,7. Raskite tikimybę, kad 20 nepriklausomų šūvių į taikinį bus pataikyta ne daugiau kaip 14 kartų. 10. Kišenėje yra 5 monetos, apytiksliai vienodos: trys - po 2 rublius ir dvi - po 10 rublių. Nežiūrėdami jie ištraukia 2 monetas. Atsitiktinis dydis yra bendras išgautų rublių skaičius. Atsitiktiniam dydžiui: a) sukonstruoti skirstinio eilutę, b) rasti matematinį lūkestį ir dispersiją, c) rasti įvykio tikimybę (išskirta mažiausiai 4, bet ne daugiau kaip 12 rublių). 11. Į namus iškviestas technikas gali atvykti bet kuriuo metu nuo 10 iki 18 val. Klientas, palaukęs iki 14 valandų, išvyko 1 val. Laikydami pagrindinio įrenginio atvykimo laiką atsitiktiniu dydžiu, paskirstytu tolygiai, raskite tikimybių tankį, pasiskirstymo funkciją. Nustatyti tikimybę, kad meistras (jo atvykimas privalomas) neras kliento namuose? Sukurkite tikimybių tankio grafikus ir pasiskirstymo funkcijas.

Daugiau informacijos
Klasikinio tikimybės nustatymo uždaviniai.

Sprendimų pavyzdžiai Trečioje pamokoje apžvelgsime įvairias problemas, susijusias su tiesioginiu klasikinio tikimybės apibrėžimo taikymu. Norėdami efektyviai išstudijuoti šio straipsnio medžiagą, rekomenduoju susipažinti su pagrindinėmis sąvokomis tikimybių teorija Ir kombinatorikos pagrindai . Užduotis klasikiniu būdu nustatyti tikimybę su tikimybe, linkusia į vieną, bus atliekama atliekant nepriklausomą / kontrolinį darbą su tereriu, todėl pasiruoškime rimtam darbui. Galite paklausti, kas čia tokio rimto? ...tik viena primityvi formulė. Perspėju dėl lengvabūdiškumo – teminės užduotys yra gana įvairios, ir daugelis jų gali lengvai jus suklaidinti. Šiuo atžvilgiu, be pagrindinės pamokos, pabandykite išstudijuoti papildomas užduotis šia tema, kurios yra taupyklėje paruošti sprendimai aukštajai matematikai

. Sprendimo technikos yra sprendimo technikos, bet „draugus“ vis tiek „reikia pažinti iš matymo“, nes net turtinga vaizduotė yra ribota ir užtenka standartinių užduočių. Na, aš pasistengsiu kuo daugiau jų kokybiškai sutvarkyti.

Prisiminkime žanro klasiką:

Tikimybė, kad tam tikrame teste įvyks įvykis, yra lygi santykiui , kur: – bendras visų skaičius, vienodai įmanoma elementarus šio testo rezultatus;

pilna renginių grupė vienodai įmanoma- kiekis

renginiui palankių rezultatų. Trečioje pamokoje apžvelgsime įvairias problemas, susijusias su tiesioginiu klasikinio tikimybės apibrėžimo taikymu. Norėdami efektyviai išstudijuoti šio straipsnio medžiagą, rekomenduoju susipažinti su pagrindinėmis sąvokomis Ir tuoj pat sustojimas duobėse. Ar suprantate pabrauktas sąlygas? Tai reiškia aiškų, o ne intuityvų supratimą. Jei ne, vis tiek geriau grįžti prie 1 straipsnio apie

ir tik po to judėti toliau.

Nepraleiskite pirmųjų pavyzdžių - juose pakartosiu vieną iš esmės svarbų dalyką, taip pat pasakysiu, kaip teisingai suformatuoti sprendimą ir kokiais būdais tai galima padaryti:

1 problema

Urnoje yra 15 baltų, 5 raudoni ir 10 juodų kamuoliukų. Atsitiktinai ištrauktas 1 rutulys, raskite tikimybę, kad jis bus: a) baltas, b) raudonas, c) juodas. Sprendimas : Svarbiausia klasikinio tikimybės apibrėžimo naudojimo sąlyga yra.

Iš viso urnoje yra 15 + 5 + 10 = 30 kamuoliukų, ir akivaizdu, kad šie faktai yra teisingi:

– taip pat galima atgauti bet kurį kamuolį (lygias galimybes rezultatai), o rezultatai elementarus ir forma šio testo rezultatus (t. y. atlikus testą vienas iš 30 kamuoliukų tikrai bus pašalintas).

Taigi bendras rezultatų skaičius:

Apsvarstykite įvykį: – iš urnos bus ištrauktas baltas rutulys. Šis įvykis yra palankus vienodai įmanoma todėl rezultatai pagal klasikinį apibrėžimą:
– tikimybė, kad iš urnos bus ištrauktas baltas rutulys.

Kaip bebūtų keista, net atliekant tokią paprastą užduotį galima padaryti rimtų netikslumų, į kuriuos jau atkreipiau dėmesį pirmame straipsnyje apie Trečioje pamokoje apžvelgsime įvairias problemas, susijusias su tiesioginiu klasikinio tikimybės apibrėžimo taikymu. Norėdami efektyviai išstudijuoti šio straipsnio medžiagą, rekomenduoju susipažinti su pagrindinėmis sąvokomis. Kur čia spąstas? Neteisinga čia ginčytis „Kadangi pusė rutuliukų yra balti, tada tikimybė ištraukti baltą rutulį» . Klasikinis tikimybės apibrėžimas nurodo ELEMENTARY rezultatus, o trupmeną reikia užrašyti!

Su kitais aspektais taip pat apsvarstykite šiuos įvykius:

– iš urnos bus ištrauktas raudonas rutulys;
– iš urnos bus ištrauktas juodas rutulys.

Įvykį palankiai vertina 5 pagrindiniai rezultatai, o įvykiui – 10 elementarių rezultatų. Taigi atitinkamos tikimybės yra:

Įprasta daugelio serverio užduočių patikra atliekama naudojant teoremos apie įvykių, sudarančių visą grupę, tikimybių sumą. Mūsų atveju įvykiai sudaro pilną grupę, o tai reiškia, kad atitinkamų tikimybių suma būtinai turi būti lygi vienetui: .

Patikrinkime, ar tai tiesa: tuo ir norėjau įsitikinti.

Atsakymas:

Iš principo atsakymą galima surašyti ir išsamiau, bet aš asmeniškai esu įpratęs ten dėti tik skaičius – dėl to, kad pradėjus „štampuoti“ problemas šimtais ir tūkstančiais, stengiamasi sumažinti sprendimą, kiek įmanoma. Beje, apie trumpumą: praktikoje „didelės spartos“ dizaino parinktis yra įprasta sprendimus:

Iš viso: 15 + 5 + 10 = 30 kamuoliukų urnoje. Pagal klasikinį apibrėžimą:
– tikimybė, kad iš urnos bus ištrauktas baltas rutulys;
– tikimybė, kad iš urnos bus ištrauktas raudonas rutulys;
– tikimybė, kad iš urnos bus ištrauktas juodas rutulys.

Atsakymas:

Tačiau jei sąlygoje yra keli punktai, tada dažnai patogiau sprendimą suformuluoti pirmuoju būdu, kuris užtrunka šiek tiek daugiau laiko, bet tuo pačiu „išdėlioja viską į lentynas“ ir palengvina naršyti problemą.

Sušilkime:

2 problema

Parduotuvė gavo 30 šaldytuvų, iš kurių penki turi gamybos broką. Atsitiktinai parenkamas vienas šaldytuvas. Kokia tikimybė, kad jis bus be defektų?

Pasirinkite tinkamą dizaino parinktį ir patikrinkite pavyzdį puslapio apačioje.

Paprasčiausiuose pavyzdžiuose įprastų ir palankių rezultatų skaičius slypi paviršiuje, tačiau dažniausiai bulves tenka išsikasti patiems. Kanoninė problemų, susijusių su pamirštu abonentu, serija:

3 problema

Rinkdamas telefono numerį abonentas pamiršo paskutinius du skaitmenis, tačiau prisimena, kad vienas iš jų yra nulis, o kitas – nelyginis. Raskite tikimybę, kad jis surinks teisingą numerį.

Pastaba : nulis yra lyginis skaičius (dalijasi iš 2 be liekanos)

Urnoje yra 15 baltų, 5 raudoni ir 10 juodų kamuoliukų. Atsitiktinai ištrauktas 1 rutulys, raskite tikimybę, kad jis bus: a) baltas, b) raudonas, c) juodas.: Pirmiausia randame bendrą rezultatų skaičių. Pagal sąlygą abonentas prisimena, kad vienas iš skaitmenų yra nulis, o kitas skaitmuo yra nelyginis. Čia racionaliau neapsirikti su kombinatorika ir vartojimu tiesioginio rezultatų sąrašo metodas . Tai yra, kurdami sprendimą, mes tiesiog užrašome visus derinius:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Ir mes juos suskaičiuojame – iš viso: 10 rezultatų.

Yra tik vienas palankus rezultatas: teisingas skaičius.

Pagal klasikinį apibrėžimą:
– tikimybė, kad abonentas surinks teisingą numerį

Atsakymas: 0,1

Dešimtainės trupmenos atrodo gana tinkamos tikimybių teorijoje, tačiau taip pat galite laikytis tradicinio Vyshmatov stiliaus, veikiančio tik su paprastomis trupmenomis.

Išplėstinė užduotis savarankiškam sprendimui:

4 problema

Abonentas pamiršo savo SIM kortelės PIN kodą, bet prisimena, kad jame yra trys „penkiukai“, o vienas iš skaičių yra „septyni“ arba „aštuoni“. Kokia sėkmingo autorizavimo tikimybė iš pirmo karto?

Čia taip pat galite sukurti idėją apie tikimybę, kad abonentas bus nubaustas puk kodu, bet, deja, argumentai peržengs šios pamokos ribas.

Sprendimas ir atsakymas pateikiami žemiau.

Kartais derinių išvardijimas yra labai kruopšti užduotis. Visų pirma, taip yra kitoje, ne mažiau populiarioje problemų grupėje, kur metami 2 kauliukai (rečiau - didesni kiekiai):

5 problema

Raskite tikimybę, kad metant du kauliukus bendras skaičius bus:

a) penki taškai;
b) ne daugiau kaip keturi balai;
c) nuo 3 iki 9 taškų imtinai.

Urnoje yra 15 baltų, 5 raudoni ir 10 juodų kamuoliukų. Atsitiktinai ištrauktas 1 rutulys, raskite tikimybę, kad jis bus: a) baltas, b) raudonas, c) juodas.: raskite bendrą rezultatų skaičių:

Būdai, kaip gali iškristi 1-ojo kauliuko pusė Ir skirtingais būdais gali iškristi 2-ojo kubo pusė; Autorius kombinacijų dauginimo taisyklė, iš viso: galimi deriniai. Kitaip tariant, kiekviena 1-ojo kubo veidas gali būti užsakyta pora su kiekvienu 2-ojo kubo kraštas. Sutarkime tokią porą parašyti formoje , kur skaičius, išmestas ant 1-ojo kauliuko, yra skaičius, išmestas ant 2-ojo kauliuko. Pavyzdžiui:

– pirmasis kauliukas surinko 3 taškus, antrasis kauliukas surinko 5 taškus, iš viso taškų: 3 + 5 = 8;
– pirmasis kauliukas surinko 6 taškus, antrasis – 1 tašką, iš viso taškų: 6 + 1 = 7;
– 2 taškai išmesti ant abiejų kauliukų, suma: 2 + 2 = 4.

Akivaizdu, kad mažiausią sumą duoda pora, o didžiausią – du „šešetukai“.

a) Apsvarstykite įvykį: – metant du kauliukus atsiras 5 taškai. Užsirašykime ir suskaičiuokime rezultatų, palankių šiam įvykiui, skaičių:

Iš viso: 4 palankūs rezultatai. Pagal klasikinį apibrėžimą:
– norima tikimybė.

b) Apsvarstykite įvykį: – bus išmesta ne daugiau kaip 4 taškai. Tai yra, arba 2, arba 3, arba 4 taškai. Vėl išvardijame ir skaičiuojame palankius derinius, kairėje surašysiu bendrą taškų skaičių, o po dvitaškio - tinkamas poras:

Iš viso: 6 palankios kombinacijos. Taigi:
– tikimybė, kad bus išmesta ne daugiau kaip 4 taškai.

c) Apsvarstykite įvykį: – 3–9 taškai imtinai. Čia galite eiti tiesiu keliu, bet... kažkodėl nenorite. Taip, kai kurios poros jau buvo išvardytos ankstesnėse pastraipose, tačiau dar reikia daug nuveikti.

Koks geriausias būdas tęsti? Tokiais atvejais žiedinis kelias pasirodo esąs racionalus. Pasvarstykime priešingas įvykis: – Išmeta 2 arba 10 arba 11 arba 12 taškų.

Kokia prasmė? Priešingą įvykį mėgsta žymiai mažesnis porų skaičius:

Iš viso: 7 palankūs rezultatai.

Pagal klasikinį apibrėžimą:
– tikimybę, kad messite mažiau nei tris arba daugiau nei 9 taškus.

Be tiesioginio rezultatų sąrašo ir skaičiavimo, įvairūs kombinatorinės formulės. Ir vėl epinė problema dėl lifto:

7 problema

Į 20 aukštų pastato pirmame aukšte liftą pateko 3 žmonės. Ir eime. Raskite tikimybę, kad:

a) jie išeis į skirtingus aukštus
b) du išeis tame pačiame aukšte;
c) visi išlips tame pačiame aukšte.

Mūsų įdomi pamoka baigėsi, ir galiausiai dar kartą primygtinai rekomenduoju, jei ne išspręsti, tai bent išsiaiškinti papildomos problemos dėl klasikinio tikimybės nustatymo. Kaip jau minėjau, „rankų paminkštinimas“ taip pat svarbus!

Toliau kurso metu - Geometrinis tikimybės apibrėžimas tikimybių teorija Tikimybių sudėties ir daugybos teoremos ir... sėkmės svarbiausia!

Sprendimai ir atsakymai:

2 užduotis: Urnoje yra 15 baltų, 5 raudoni ir 10 juodų kamuoliukų. Atsitiktinai ištrauktas 1 rutulys, raskite tikimybę, kad jis bus: a) baltas, b) raudonas, c) juodas.: 30 – 5 = 25 šaldytuvai neturi defektų.

– tikimybė, kad atsitiktinai parinktas šaldytuvas neturi defekto.
Atsakymas :

4 užduotis: Urnoje yra 15 baltų, 5 raudoni ir 10 juodų kamuoliukų. Atsitiktinai ištrauktas 1 rutulys, raskite tikimybę, kad jis bus: a) baltas, b) raudonas, c) juodas.: raskite bendrą rezultatų skaičių:
būdais galite pasirinkti vietą, kurioje yra abejotinas numeris ir ant kiekvieno Iš šių 4 vietų gali būti 2 skaitmenys (septyni arba aštuoni). Pagal derinių dauginimo taisyklę bendras rezultatų skaičius: .
Arba sprendimas gali tiesiog išvardyti visus rezultatus (laimei, jų yra nedaug):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Yra tik vienas palankus rezultatas (teisingas PIN kodas).
Taigi, pagal klasikinį apibrėžimą:
– tikimybė, kad abonentas prisijungs pirmą kartą
Atsakymas :

6 užduotis: Urnoje yra 15 baltų, 5 raudoni ir 10 juodų kamuoliukų. Atsitiktinai ištrauktas 1 rutulys, raskite tikimybę, kad jis bus: a) baltas, b) raudonas, c) juodas.: raskite bendrą rezultatų skaičių:
skaičiai ant 2 kauliukų gali pasirodyti įvairiai.

a) Apsvarstykite įvykį: – metant du kauliukus, taškų sandauga bus lygi septyniems. Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą tam tikram įvykiui nėra jokių palankių rezultatų:
, t.y. šis įvykis neįmanomas.

b) Apsvarstykite įvykį: – metant du kauliukus, taškų sandauga bus ne mažesnė kaip 20. Šiam įvykiui palankios šios baigtys:

Iš viso: 8
Pagal klasikinį apibrėžimą:
– norima tikimybė.

c) Apsvarstykite priešingus įvykius:
– taškų sandauga bus lygi;
– taškų sandauga bus nelyginė.
Išvardinkime visus renginiui palankius rezultatus:

Iš viso: 9 palankūs rezultatai.
Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą:
Priešingi įvykiai sudaro visą grupę, todėl:
– norima tikimybė.

Atsakymas :

8 problema: Urnoje yra 15 baltų, 5 raudoni ir 10 juodų kamuoliukų. Atsitiktinai ištrauktas 1 rutulys, raskite tikimybę, kad jis bus: a) baltas, b) raudonas, c) juodas.: apskaičiuokime bendrą rezultatų skaičių: 10 monetų gali nukristi įvairiais būdais.
Kitas būdas: kaip gali nukristi 1-oji moneta Ir kaip gali nukristi 2-oji moneta Ir … Ir kaip gali nukristi 10-oji moneta. Pagal kombinacijų dauginimo taisyklę gali nukristi 10 monetų būdais.
a) Apsvarstykite įvykį: – ant visų monetų atsiras galvutės. Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą šiam įvykiui palankus vienas rezultatas: .
b) Apsvarstykite įvykį: – 9 monetos nusileis galvas, o viena moneta – uodegas.
Yra monetų, kurios gali nusileisti ant galvų. Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą: .
c) Apsvarstykite įvykį: – ant pusės monetų atsiras galvos.
Egzistuoja unikalūs penkių monetų deriniai, kuriais galima nuleisti galvas. Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą:
Atsakymas :

Kombinatorika tiria būdus, kaip suskaičiuoti elementų skaičių baigtinėse aibėse. Kombinatorikos formulės naudojamos tiesioginiam tikimybių skaičiavimui.
Vadinamos elementų rinkiniai, susidedantys iš tų pačių skirtingų elementų ir besiskiriantys vienas nuo kito tik savo tvarka permutacijasšie elementai. Galimų permutacijų skaičius iš n elementai žymimi , ir šis skaičius yra lygus n! (skaitykite „en-factorial“):
\(P_n=n\) (1.3.1)
Kur
. (1.3.2)

Pastaba 1. Tuščiam rinkiniui taikomas susitarimas: tuščią komplektą galima užsisakyti tik vienu būdu; pagal apibrėžimą tiki.

Vietos vadinami rinkiniais, sudarytais iš nįvairūs elementai pagal m elementai, kurie skiriasi arba elementų sudėtimi, arba jų tvarka. Visų galimų vietų skaičius nustatomas pagal formulę
. (1.3.3)

Deriniai iš nįvairūs elementai pagal m vadinami rinkiniais, kuriuose yra m elementai iš tarpo n pateiktos ir kurios skiriasi bent vienu elementu. Derinių skaičius n elementai pagal m reiškia: arba . Šis skaičius išreiškiamas formule

. (1.3.4)

2 pastaba. Pagal apibrėžimą tarkime .

Derinių skaičiui galioja lygybės:
, , (1.3.5)
. (1.3.6)

Paskutinė lygybė kartais formuluojama kaip tokia teorema apie baigtiniai rinkiniai:
Visų iš jų susidedančios aibės poaibių skaičius n elementai, lygūs .
Atkreipkite dėmesį, kad permutacijų, vietų ir derinių skaičius yra susijęs lygybe

3 pastaba. Buvo manoma, kad viskas yra aukščiau n elementai yra skirtingi. Jei kai kurie elementai kartojasi, tokiu atveju rinkiniai su pasikartojimais apskaičiuojami naudojant kitas formules.

Pavyzdžiui, jei tarp n elementai yra vieno tipo elementai, kito tipo elementai ir pan., tada permutacijų su pasikartojimais skaičius nustatomas pagal formulę
(1.3.7)
Kur.

Vietų skaičius pagal m elementai su pasikartojimais iš n elementai yra lygūs
, tai yra
su pakartojimu (1.3.8)
Derinių skaičius su pakartojimais nuo n elementai pagal m elementų yra lygus derinių skaičiui be pasikartojimų nuo n + m- po 1 elementą m elementai, tai yra
nuo kartojimo (1.3.9)

Sprendžiant kombinatorikos uždavinius, naudojamos šios taisyklės.

Sumos taisyklė. Jei kurį nors objektą A iš objektų rinkinio galima pasirinkti m būdais, o kitą objektą B galima pasirinkti n būdų, tai A arba B galima pasirinkti m + n būdų.

Produkto taisyklė. Jei objektą A galima pasirinkti iš įvairių objektų m metodus ir po kiekvieno tokio pasirinkimo galima pasirinkti objektą B n būdais, tada nurodyta tvarka objektų porą (A, B) galima pasirinkti būdais.

Klasikinė tikimybių skaičiavimo schema tinka daugeliui grynai praktinių problemų išspręsti. Panagrinėkime, pavyzdžiui, tam tikrą N tūrio elementų rinkinį. Tai gali būti produktai, kurių kiekvienas yra tinkamas arba su trūkumais, arba sėklos, kurių kiekviena gali būti gyvybinga arba ne. Tokio pobūdžio situacijos apibūdinamos urnos schema: urnoje yra N rutuliukų, iš kurių M yra mėlyni, o (N - M) yra raudoni.

Iš urnos, kurioje yra N rutuliukų, kurioje yra M mėlynų kamuoliukų, ištraukiama n kamuoliukų. Turite nustatyti tikimybę, kad n dydžio imtyje bus aptikta m mėlynų rutuliukų. Pažymėkime A įvykį „n dydžio imtyje yra m mėlynų rutuliukų“, tada
(1.3.10)

1 pavyzdys. Keliais skirtingais būdais iš dešimties kandidatų į tris skirtingas pareigas gali būti atrinkti trys asmenys?

Sprendimas. Naudokime formulę (1.3.3). Jei n = 10, m = 3 gauname
.

2 pavyzdys. Kiek skirtingų būdų 5 žmonės gali tilpti ant suoliuko?

Sprendimas. Pagal (1.3.1) formulę su n=5 randame
P 5 =5!=1·2·3·4·5=120.

3 pavyzdys. Keliais būdais iš dešimties kandidatų į tris vienodas pareigas gali būti atrinkti trys asmenys?

Sprendimas. Pagal (1.3.4) formulę randame

4 pavyzdys. Kiek skirtingų šešiaženklių skaičių galima parašyti naudojant skaitmenis 1; 1; 1; 2; 2; 2?

Sprendimas.Čia reikia rasti permutacijų su pasikartojimais skaičių, kuris nustatomas pagal (1.3.7) formulę. Kai k = 2, n 1 = 3, n 2 = 3, n = 6, naudodamiesi šia formule gauname

5 pavyzdys. Kiek skirtingų raidžių permutacijų galima padaryti žodžiuose: pilis, rotorius, kirvis, varpas?

Sprendimas.Žodyje pilis visos raidės skirtingos, iš viso jų yra penkios. Pagal formulę (1.3.1) gauname P 5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Žodžiu rotorius, susidedantis iš penkių raidžių, raidžių p tikimybių teorija o kartojami du kartus. Norėdami apskaičiuoti įvairias permutacijas, naudojame formulę (1.3.7). Jei n = 5, n 1 = 2, n 2 = 2, naudodamiesi šia formule randame

Raidė žodyje ax O kartojama du kartus, taigi

Septynių raidžių žodyje varpas, raidė Į pasirodo du kartus, raidė O- tris kartus, laiškas l- du kartus. Pagal formulę (13.7), kai n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n з = 2 gauname

6 pavyzdys. Raidės I, K, M, N, S užrašomos ant penkių vienodų kortelių. Kortos sumaišomos ir išdėliotos atsitiktine tvarka. Kokia tikimybė, kad pasirodys žodis MINSK?

Sprendimas. Iš penkių skirtingų elementų galite sukurti P5 permutacijas:
. Tai reiškia, kad iš viso bus 120 galimų baigčių, tačiau tik vienas palankus tam tikram įvykiui. Vadinasi,

7 pavyzdys. Iš žodžio raidžių rotorius, sudarytas naudojant išskaidytą abėcėlę, atsitiktine tvarka iš eilės parenkamos 3 raidės ir išdėstomos iš eilės. Kokia tikimybė, kad žodis išeis toras?

Sprendimas. Kad atskirtume identiškas raides viena nuo kitos, jas pateikiame su skaičiais: p 1 , p 2 , 0 1 , 0 2. Bendras elementarių rezultatų skaičius yra lygus: . Žodis rotorius veiks tais atvejais ( tada 1 r 1, tada 1 r 2, tada 2 r 1, tada 2 r 2). Reikalinga tikimybė lygi

Skaičiuodami palankių atvejų skaičių, naudojome prekės taisyklę: raidę m galite pasirinkti vieną būdą, raidę O- du, raidė r- dviem būdais.

8 pavyzdys.Žodžio raidės užrašytos ant šešių vienodos formos ir dydžio kortelių. talentas- po vieną raidę kiekvienoje kortelėje. Kortos kruopščiai sumaišomos. jie atsitiktinai išimami ir vienas po kito dedami ant stalo. Kokia tikimybė vėl gauti žodį talentas?

Sprendimas. Sunumeruokime korteles raidėmis:

Žodis talentas (513246) nepasikeis, jei raidės A pertvarkyti, bet pagal kortų išdėstymą gausite skirtingą derinį: talentas (523146). Jei kiekviename iš šių dviejų derinių darysime tą patį su raide t, gausime dar 2 skirtingas kortų kombinacijas su žodžiu talentas. Tai reiškia, kad žodžio išvaizda talentas 4 elementarūs rezultatai yra palankūs. Bendras galimų elementarių baigčių skaičius lygus 6 elementų permutacijų skaičiui: n = 6! = 720. Todėl reikiama tikimybė

Pastaba: šią tikimybę taip pat galima rasti naudojant formulę (1.3.7), kuri, kai n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n 3 = 2, n 4 = 2, atsižvelgiama į:

. Taigi, P = 1/180.

9 pavyzdys. Raidės rašomos ant penkių vienodų kortelių: ant dviejų kortelių l, ant kitų trijų Ir. Šios kortelės įdedamos atsitiktine tvarka
eilė. Kokia tikimybė, kad tai sukurs žodį lelijos?

Sprendimas. Raskime šių penkių raidžių permutacijų skaičių su pasikartojimais.
Naudodami formulę (1.3.7), kai n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3, gauname

Tai yra bendras vienodai galimų eksperimento rezultatų skaičius A - „žodžio lelija atsiradimas“ yra palankesnis vienam. Pagal formulę (1.2.1) gauname

10 pavyzdys. 10 dalių partijoje 7 yra standartinės. Raskite tikimybę
faktas, kad iš 6 atsitiktinai paimtų dalių 4 yra standartinės.

Sprendimas. Bendras galimų Ix elementaraus testo rezultatų skaičius yra lygus būdų, kuriais iš 10 gali būti išskirtos 6 dalys, skaičiui, tai yra 10 elementų, kurių kiekvienas yra po 6 elementus, derinių skaičiui ().

Mes nustatome įvykiui A palankių rezultatų skaičių - „iš 6 paimtų dalių 4 yra standartinės“. Keturios standartinės dalys iš septynių standartinių gali būti paimtos skirtingais būdais, o likusios 6 - 4 = 2 dalys turi būti nestandartinės; Yra būdų, kaip paimti 2 nestandartines dalis iš 10 - 7 = 3 nestandartinės dalys. Todėl palankių rezultatų skaičius yra lygus .

Reikalinga tikimybė yra lygi įvykiui palankių baigčių skaičiaus ir visų elementarių baigčių skaičiaus santykiui:

Pastaba Paskutinė formulė yra specialus (1.3.10) formulės atvejis: N = 10, M = 7, n = 6, m = 4.

11 pavyzdys. Tarp 25 mokinių 10 merginų grupėje ištraukiami 5 bilietai. Raskite tikimybę, kad tarp bilietų turėtojų bus 2 merginos.

Sprendimas. Visų vienodai galimų atvejų, kai 5 bilietai paskirstomi 25 studentams, skaičius yra lygus 25 elementų derinių skaičiui iš 5, t. Grupių skaičius iš trijų berniukų iš 15 galinčių gauti bilietus yra . Kiekvienas toks trejetas gali būti derinamas su bet kuria dešimties mergaičių pora, o tokių porų skaičius yra lygus 5 mokinių grupių, sudarytų iš 25 mokinių grupės, kurių kiekvienoje bus trys berniukai ir dvi mergaitės, skaičius. , yra lygus produktui. Šis produktas yra lygus palankių atvejų skaičiui, kai grupės mokiniams išdalinami penki bilietai taip, kad trys bilietai atitektų berniukams, o du – mergaitėms. Pagal formulę (1.2.1) randame reikiamą tikimybę

Pastaba Paskutinė formulė yra specialus (1.3.10) formulės atvejis: N = 25, M = 15, n = 5, m = 3.

12 pavyzdys. Dėžutėje yra 15 raudonų, 9 mėlyni ir 6 žali rutuliai. Atsitiktinai ištraukiami 6 rutuliai. Kokia tikimybė, kad bus ištrauktas 1 žalias, 2 mėlyni ir 3 raudoni rutuliai (įvykis A)?

Sprendimas. Dėžutėje yra tik 30 kamuoliukų. Šiam eksperimentui visų vienodai galimų elementarių rezultatų skaičius bus . Suskaičiuokime elementarių baigčių, palankių įvykiui A, skaičių. Tris raudonus rutulius iš 15 galima pasirinkti būdais, du mėlynus rutulius iš 9 galima pasirinkti būdais, vieną žalią iš 6 galima pasirinkti būdais
Palankių rezultatų skaičius yra lygus produktui

Reikalinga tikimybė nustatoma pagal (1.3.10) formulę:

14 pavyzdys. Kauliukai metami 10 kartų. Kokia tikimybė, kad 1, 2, 3, 4, 5, 6 pusės pasirodys atitinkamai 2, 3, 1, 1, 1, 2 kartus (įvykis A)?

Sprendimas. Apskaičiuojame įvykiui A palankių baigčių skaičių pagal formulę (1.3.7):
Visų šio eksperimento elementarių rezultatų skaičius yra n = 6 10, todėl

Užduotys
1. Raidės B, E, R, S, T parašytos ant 5 vienodų kortelių. Šios kortelės išdėliotos atsitiktine tvarka. Kokia tikimybė, kad pasirodys žodis BREST?
2. Dėžutėje yra 4 mėlyni ir 5 raudoni rutuliai. Iš dėžutės atsitiktine tvarka ištraukiami 2 rutuliai. Raskite tikimybę, kad šie rutuliai yra skirtingų spalvų.
3. Komandoje yra 4 moterys ir 3 vyrai. Tarp brigados narių ištraukiami 4 bilietai į teatrą. Kokia tikimybė, kad tarp bilietų turėtojų bus 2 moterys ir 2 vyrai?
4. Dėžutėje yra 10 kamuoliukų, iš kurių 2 balti, 3 raudoni ir 5 mėlyni. Raskite tikimybę, kad visi 3 rutuliai yra skirtingų spalvų.
5. Ant penkių vienodų kortelių užrašytos raidės l, m, o, o, t Kokia tikimybė, kad išėmę korteles po vieną, gausime žodį plaktukas tokia tvarka, kokia jos pasirodė?
6. Iš partijos, kurioje yra 10 gaminių, iš kurių 3 yra brokuoti, atsitiktine tvarka atrenkami 3 gaminiai. Raskite tikimybę, kad vienas produktas gautame pavyzdyje yra su defektais.
7. Iš dešimties bilietų du laimi. Kokia tikimybė, kad iš penkių atsitiktinai atrinktų bilietų vienas bus laimėtojas?

Atsakymai
1. 1/120. 2. 5/9. 3. 18/35. 4 . 0,25. 5 . 1/60. 6 . 21/40. 7 . 5/9.

Klausimai
1. Kas vadinamos permutacijomis?
2. Kokia forma apskaičiuojamas n skirtingų elementų permutacijų skaičius?
3. Kaip vadinamos paskirties vietos?
4. Kokia formule apskaičiuojamas n skirtingų elementų įdėjimų skaičius pagal m elementus?
5. Kaip vadinami deriniai?
6. Kokia formule apskaičiuojate n elementų iš m elementų kombinacijų skaičių?
7. Kokia lygybė siejasi su permutacijų, vietų ir derinių skaičiais?
8. Kokia formule apskaičiuojamas n elementų permutacijų skaičius, jei kai kurie elementai kartojasi?
9. Kokia formulė nustato m elementų išdėstymo skaičių su n elementų pasikartojimais?
10. Kokia formule nustatomas kombinacijų skaičius su n elementų pasikartojimais iš m elementų?

Atsakymai

Užduotys

Pratimai.

1. Raskite patikimus ir neįmanomus įvykius tarp šių atsitiktinių įvykių:

A 1 – 10 taškų atsiradimas metant kauliuką,

A 2 – 10 taškų atsiradimas metant tris kauliukus,

A 3 – 20 taškų atsiradimas metant tris kauliukus,

A 4 – atsitiktinai parinktas dviženklis skaičius ne didesnis kaip 100,

A 5 – dviejų herbų atsiradimas metant dvi monetas.

2. Ar įvykiai A 1 ir A 2 nesuderinami:

b) testas – kauliuko metimas; įvykiai: A 1 – trijų taškų atsiradimas, A 2 – nelyginio taškų skaičiaus atsiradimas,

c) testas – dviejų monetų metimas; įvykiai: A 1 – herbo atsiradimas ant vienos monetos, A 2 – herbo atsiradimas ant kitos monetos?

3. Ar įvykiai A 1 ir A 2 galimi vienodai:

a) testas – kauliuko metimas; įvykiai: A 1 – dviejų taškų atsiradimas, A 2 – penkių taškų atsiradimas;

b) testas – kauliuko metimas; įvykiai: A 1 – dviejų taškų atsiradimas, A 2 – lyginio taškų skaičiaus atsiradimas;

c) bandymas – du šūviai į taikinį; įvykiai: A 1 – nepataikė iš pirmo šūvio, A 2 – nepataikė iš antrojo šūvio?

4. Ar įvykiai sudaro visą grupę:

a) bandymas – monetos metimas; įvykiai: A 1 – herbo išvaizda, A 2 – numerio atsiradimas;

b) bandymas – du šūviai į taikinį; įvykiai: A 1 – nepataikyta, A 2 – vienas smūgis, A 3 – du smūgiai?

5. Raskite įvykių sumą:

b) testas – kauliuko metimas; įvykiai: A – vieno taško atsiradimas, B – dviejų taškų atsiradimas, C – trijų taškų atsiradimas;

c) testas – loterijos bilietų pirkimas; renginiai: A – laimėjimas 10 rublių; B – laimėk 20 rublių; C – laimėk 25 rublius.

6. Raskite įvykių produktą:

a) bandymas – du šūviai į taikinį; įvykiai: A – pataikė pirmu šūviu, B – pataikė antruoju šūviu;

b) testas – kauliuko metimas; įvykiai: A – tritaškių nebuvimas, B – penkių taškų nebuvimas, C – nelyginio balų skaičiaus atsiradimas.

1. Atsitiktinai parenkama viena raidė iš žodžio NAUGAD. Kokia tikimybė, kad tai raidė A? Kokia tikimybė, kad tai balsis?

2. Mesti kauliuką. Kokia tikimybė gauti skaičių 4? Kokia tikimybė gauti skaičių didesnį už 4?

3. Kontroliuojama 250 detalių, iš kurių 5 nestandartinės. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai paimta dalis bus:

a) nestandartinis;

b) standartinis?

4. Ant kortelių rašomos raidės O, K, T Kortelės išdėliotos atsitiktine tvarka. Kokia tikimybė perskaityti žodį KATĖ?

5. Ant kiekvienos iš šešių vienodų kortelių užrašomos raidės T, P, C, O, A, M. Kortelės sumaišomos ir išdėliojamos keturios iš eilės. Kokia tikimybė, kad pasirodys žodis TROS?

6. Iš penkių kortelių su raidėmis A, B, C, D, D atsitiktine tvarka viena po kitos atrenkamos trys ir išdėstomos į eilę pagal atsiradimo tvarką. Kokia tikimybė gauti žodį DU?

7. Abonentas pamiršo paskutinius du telefono skaitmenis ir, atsitiktinai surinkęs numerį, tik prisiminė, kad jie skiriasi. Raskite tikimybę, kad bus pasirinkti teisingi skaičiai.

Išspręskite problemą, jei pamiršote paskutinius tris skaitmenis.

8. Urnoje yra 3 balti ir 7 juodi rutuliukai. Kokia tikimybė, kad du atsitiktinai ištraukti rutuliai bus juodi?

9. Metamos varinės ir sidabrinės monetos. Kokia tikimybė, kad abi monetos turės HERBĄ?

10. Dėžutėje yra 15 dalių, iš jų 10 dažytų. Surinkėjas atsitiktinai pašalina tris dalis. Raskite tikimybę, kad ištrauktos dalys bus nudažytos.

11. Sandėlyje yra 10 nuleidžiamų cisternų, iš jų 4 su plastikinėmis plūdėmis. Dėl sėkmės buvo paimti 2 tankai. Raskite tikimybę, kad abiejuose bakuose yra plastikinės plūdės.

12. Prietaisas susideda iš penkių elementų, iš kurių du yra susidėvėję. Kai įjungiate įrenginį, atsitiktinai įsijungia du elementai. Raskite tikimybę, kad bus įtraukti nesusidėvėję elementai.

13. Dengimo plytelės buvo pristatytos gyvenamojo namo apkalimui. Dėžutėje yra 300 plytelių. Prekės defektai yra 2%. Raskite tikimybę, kad pirmosios trys paimtos plytelės nebus sugedusios.

14. Ceche dirba šeši vyrai ir keturios moterys. Septyni žmonės buvo atrinkti atsitiktinai, naudojant jų personalo numerius. Raskite tikimybę, kad tarp atrinktų asmenų bus trys moterys.

15. Sandėlyje yra 15 kineskopų, iš kurių 10 buvo pagaminti Lvovo gamykloje. Raskite tikimybę, kad tarp penkių atsitiktinai paimtų vaizdo kineskopų bus trys vamzdžiai iš Lvovo gamyklos.

16. Grupėje mokosi 12 mokinių, iš jų 8 puikūs mokiniai. Atsitiktinai iš sąrašo buvo atrinkti 9 mokiniai. Raskite tikimybę, kad tarp atrinktų mokinių yra penki puikiai mokiniai.

17. Lentynoje atsitiktinai padėta dešimt knygų. Raskite tikimybę, kad šalia bus trys konkrečios knygos.

18. Olya ir Kolya sutiko sutikti Naujuosius metus 10 žmonių kompanijoje. Abu norėjo sėsti vienas šalia kito prie šventinio stalo. Raskite tikimybę, kad jų noras išsipildys, jei yra įprasta paskirstyti vietas tarp draugų burtų keliu.

19. Iš 20 bilietų 5 laimi. Raskite tikimybę, kad tarp įsigytų bilietų bus:

a) laimi visi trys;

b) nei vieno laimėtojo;

c) 2 laimėję;

d) 1 laimėjimas.

20. 5 žmonės atsitiktinai sėdi ant penkiaviečio suoliuko. Kokia tikimybė, kad šalia bus 3 konkretūs žmonės?

21. 12 sportininkų komandoje yra 5 sporto meistrai. Burtų būdu iš komandos atrenkami 3 sportininkai. Kokia tikimybė, kad visi atrinktieji yra sporto meistrai?

22. Tarp 17 grupės mokinių, iš kurių 8 merginos, ištraukti 7 bilietai. Kokia tikimybė, kad tarp bilietų savininkų bus 4 merginos?

23. Urnoje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš šios urnos atsitiktine tvarka ištraukiami 5 rutuliai. Kokia tikimybė, kad 2 iš jų yra balti ir 3 juodi?

24. 60 gaminių partijoje 5 yra brokuoti. Iš partijos atsitiktinai atrenkami 6 produktai. Nustatykite tikimybę, kad iš šių 6 gaminių 2 bus su defektais.

25. Loterijoje yra n bilietų, iš kurių m laimi. Loterijos dalyvis perka k bilietus. Nustatykite tikimybę, kad laimės bent vienas bilietas.

26. Yra r rutuliukų, kurie atsitiktinai išsibarstę į n dėžutes. Toje pačioje dėžutėje gali būti keli kamuoliukai ar net visi rutuliai. Raskite tikimybę, kad tiksliai r 1 rutuliukai įkris į pirmą langelį, r 2 rutuliukai į antrąjį ir tt į n-tą langelį r n kamuoliukų.

27. Trys žmonės pateko į pirmame aukšte esančio septynių aukštų pastato liftą. Kiekvienas iš jų turi vienodą tikimybę išeiti iš bet kurio aukšto, pradedant nuo antrojo. Raskite šių įvykių tikimybę:

A=(visi keleiviai išlips ketvirtame aukšte);

IN = (visi keleiviai išlips tuo pačiu metu tame pačiame aukšte);

C= (visi keleiviai išlips skirtinguose aukštuose).

28. Raskite tikimybę, kad 12 žmonių gimtadieniai pateks į skirtingus metų mėnesius.

29. Taške C, kurio padėtis telefono linijoje AB ilgio Lygiai taip pat gali būti, kad įvyko pertrauka. Nustatykite tikimybę, kad taškas C bus pašalintas iš taško A ne mažesniu kaip l atstumu.

30. Taškas įmestas į apskritimą, kurio spindulys R. Raskite tikimybę, kad jis pateks į šį apskritimą įbrėžto kvadrato vidų.

31. Žodis sudarytas iš kortelių, ant kurių parašyta po vieną raidę. Kortelės sumaišomos ir išimamos po vieną, negrąžinant. Raskite tikimybę, kad kortelės su raidėmis bus išimamos tam tikro žodžio raidžių tvarka: a) „įvykis“; b) „statistika“.

32. Surinkti penkių tomų kūriniai yra išdėstyti lentynoje atsitiktine tvarka. Kokia tikimybė, kad knygos bus išdėstytos iš kairės į dešinę tomų numeravimo tvarka (nuo 1 iki 5)?

33. Tarp 25 mokinių, iš kurių 15 yra merginos, ištraukiami keturi bilietai ir kiekvienas gali laimėti tik vieną bilietą. Kokia tikimybė, kad tarp bilietų turėtojų bus: a) keturios merginos; b) keturi jaunuoliai; c) trys berniukai ir viena mergaitė?

34. Iš 20 taupomųjų kasų 10 yra už miesto ribų. Apklausai atsitiktine tvarka buvo atrinktos 5 taupomosios kasos. Kokia tikimybė, kad tarp pasirinktų bankų miesto viduje bus: a) 3 taupomosios kasos; b) bent vieną?

35. Iš dėžutės, kurioje yra 5 poros batų, iš kurių trys poros vyriškų ir dvi poros moteriškų, atsitiktine tvarka perkelkite 2 poras batų į kitą dėžę, kurioje yra tiek pat moteriškų ir vyriškų batų porų. Kokia tikimybė, kad antroje dėžutėje po šios bus tiek pat vyriškų ir moteriškų batų porų?

36. Parduotuvėje yra 30 televizorių, iš kurių 20 yra importiniai. Raskite tikimybę, kad tarp 5 per dieną parduotų televizorių bus daugiau nei 3 importuoti televizoriai, darant prielaidą, kad skirtingų gamintojų televizorių įsigijimo tikimybė yra vienoda.

37. Atsitiktinai pasirinktas telefono numeris susideda iš 5 skaitmenų. Kokia tikimybė, kad visi jame esantys skaičiai yra: a) skirtingi; b) tas pats; c) keista? Yra žinoma, kad telefono numeris neprasideda skaičiumi nuliu.

38. Varžyboms 16 tinklinio komandų burtų keliu suskirstytos į du pogrupius (po aštuonias komandas kiekviename). Raskite tikimybę, kad dvi stipriausios komandos pateks: a) į skirtingus pogrupius; b) viename pogrupyje.

39. Mokinys žino 20 iš 25 programos klausimų. Testas laikomas išlaikytu, jeigu mokinys atsako bent į tris iš 4 biliete pateiktų klausimų. Pažvelgęs į pirmąjį bilieto klausimą, studentas suprato, kad jį žino. Kokia tikimybė, kad mokinys: a) išlaikys testą; b) neišlaikys testo?

40. Montuotojas turi 10 mažai besiskiriančių viena nuo kitos detalių, iš jų keturios yra pirmo tipo, po dvi – antrojo, trečiojo ir ketvirtojo. Kokia tikimybė, kad iš šešių dalių, paimtų vienu metu, trys bus pirmo tipo, dvi – antrojo ir viena – trečiojo?

41. Raskite tikimybę, kad iš dešimties atsitiktine tvarka išdėstytų knygų šalia bus 3 konkrečios knygos.

42. Senoviniame žaidime kauliukais, norint laimėti, metant tris kauliukus reikėjo gauti taškų sumą, viršijančią 10. Raskite tikimybę: a) gauti 11 taškų; b) laimėjimas.

43. Įmonėje dirba 8 auditoriai, iš kurių 3 aukštos kvalifikacijos ir 5 programuotojai, iš kurių 2 aukštos kvalifikacijos. Į komandiruotę reikia išsiųsti 3 auditorių ir 2 programuotojų grupę. Kokia tikimybė, kad šioje grupėje bus bent 1 aukštos kvalifikacijos auditorius ir bent 1 aukštos kvalifikacijos programuotojas, jei kiekvienas specialistas turės vienodas galimybes vykti į komandiruotę?

44. Du asmenys susitarė susitikti tam tikroje vietoje nuo 18 iki 19 valandos ir susitarė, kad pirmas atėjusysis palauks kito 15 minučių, o po to išeis. Raskite jų susitikimo tikimybę, jei kiekvieno atvykimas nurodytą valandą gali įvykti bet kuriuo metu ir atvykimo momentai yra nepriklausomi.

45. Kokia tikimybė, kad taškas, atsitiktinai įmestas į apskritimą, atsidurs jame įrašyto kvadrato viduje.

46. Priimant prekių partiją, tikrinama pusė gaminių. Priėmimo sąlyga yra tai, kad mėginyje yra mažiau nei 2% defektų. Apskaičiuokite tikimybę, kad bus priimta 100 produktų partija, kurioje yra 5% defektų.

	1/3, 1/2	19 b	91/228	33 a
	1/6, 1/3	19 colių	5/38	33 b
	1/50, 49/50	19 g	35/76	33 colių
	1/6		3/10	34 a
	1/360		1/22	34 b
	1/60		0,302
	1/90		0,2381
	7/15		0,049	37 a
	1/6			37 b
	24/91			37 colių
	2/15	27 a	1/216	38 a
	0,3	27 b	1/36	38 b
		27 colių	5/54	39 a
	½			39 b	0,099
	0,4
	14/55		.
	1/15	31 a	1/R 7=1/7!= =0,000198		a) 0,125; b) 0,5
	1/5	31 b	R 2 R 3 R 2 R 2/R 10=2!3!2!2!/10! = 0,0000132
19 a	1/114		1/R 5=1/5!= =,00833		0,4375