Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт геометрийн хичээлүүд нь ромб, параллелограмм, тэгш өнцөгт, трапец, дөрвөлжин гэсэн янз бүрийн төрлийн дөрвөн өнцөгтийг авч үзэх ёстой. Хамгийн түрүүнд судлах хэлбэр бол тэгш өнцөгт ба дөрвөлжин юм.
Тэгэхээр тэгш өнцөгт гэж юу вэ? Ерөнхий боловсролын сургуулийн 2-р ангийн тодорхойлолт нь иймэрхүү харагдах болно: энэ бол дөрвөн өнцөгт нь зөв байрладаг дөрвөн өнцөгт юм. Тэгш өнцөгт ямар байхыг төсөөлөхөд хялбар байдаг: энэ нь 4 тэгш өнцөгт, талууд нь хос хосоороо параллель дүрс юм.
-тай холбоотой
Дараагийн геометрийн асуудлыг хэрхэн яаж ойлгох вэ, бид ямар дөрвөн өнцөгттэй харьцаж байна вэ? Гурван үндсэн шинж чанар байдаг, үүний тусламжтайгаар та тэгш өнцөгтийн тухай ярьж байгааг нарийн тодорхойлох боломжтой. Тэднийг дуудъя:
- зураг нь 90 ° -тай тэнцүү гурван өнцөг бүхий дөрвөлжин хэлбэртэй;
- танилцуулсан дөрвөлжин нь ижил диагональ бүхий параллелограмм юм;
- дор хаяж нэг тэгш өнцөгтэй параллелограмм.
Гүдгэр гэж юу вэ, түүний шинж чанар, шинж тэмдгүүдийг мэдэх нь сонирхолтой юм.
Тэгш өнцөгт нь параллелограмм (жишээ нь, эсрэг тал нь хос параллель дөрвөн өнцөгт) тул түүний бүх шинж чанар, шинж чанарууд биелнэ.
Хажуугийн уртыг тооцоолох томъёо
тэгш өнцөгт хэлбэрээрэсрэг талууд нь тэнцүү бөгөөд харилцан параллель байна. Урт талыг ихэвчлэн урт (а-аар тэмдэглэсэн), богино талыг өргөн (b-ээр тэмдэглэсэн) гэж нэрлэдэг. Зурган дээрх тэгш өнцөгтийн урт нь AB ба CD талууд, өргөн нь AC ба B.D. Мөн суурьтай перпендикуляр байна (өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь өндөр).
Хажуу талыг олохын тулд та доорх томьёог ашиглаж болно. Эдгээрт конвенцуудыг баталсан: a - тэгш өнцөгтийн урт, b - өргөн, d - диагональ (бие биенийхээ эсрэг байрлах хоёр өнцгийн оройг холбосон сегмент), S - зургийн талбай, P - периметр, α - диагональ ба уртын хоорондох өнцөг, β нь хоёр диагональаас үүссэн хурц өнцөг юм. Талуудын уртыг олох арга замууд:
- Диагональ ба мэдэгдэж буй талыг ашиглан: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
- Зургийн талбай ба түүний талуудын аль нэгээр нь: a = S / b, b = S / a.
- Периметр ба мэдэгдэж буй талыг ашиглан: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
- Диагональ ба түүний хоорондох өнцөг ба уртаар: a = d sinα, b = d cosα.
- Диагональ ба өнцгөөр β: a = d sin 0.5 β, b = d cos 0.5 β.
Периметр ба талбай
Дөрвөн өнцөгтийн периметрийг нэрлэдэгтүүний бүх талуудын уртын нийлбэр. Периметрийг тооцоолохын тулд дараахь томъёог ашиглаж болно.
- Хоёр талаас: P = 2 (a + b).
- Талбай болон талуудын аль нэгээр нь: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.
Талбай гэдэг нь периметрээр хүрээлэгдсэн орон зай юм. Талбайг тооцоолох гурван үндсэн арга:
- Хоёр талын уртаар: S = a*b.
- Периметр болон аль нэг мэдэгдэж буй талыг ашиглан: S \u003d (Па - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
- Диагональ ба өнцөг β: S = 0.5 d² sinβ.
Сургуулийн математикийн хичээлийн даалгаварт ихэвчлэн сайн мэдлэгтэй байхыг шаарддаг тэгш өнцөгтийн диагональуудын шинж чанарууд. Бид голыг нь жагсаав:
- Диагональууд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн огтлолцлын цэг дээр хоёр тэнцүү сегментэд хуваагдана.
- Диагональ нь хоёр талын квадратын нийлбэрийн язгуур гэж тодорхойлогддог (Пифагорын теоремын дагуу).
- Диагональ нь тэгш өнцөгтийг тэгш өнцөгт хоёр гурвалжин болгон хуваана.
- Уулзалтын цэг нь хүрээлэгдсэн тойргийн төвтэй давхцаж, диагональууд нь өөрөө диаметртэй давхцдаг.
Диагональ уртыг тооцоолохдоо дараах томъёог ашиглана.
- Зургийн урт ба өргөнийг ашиглан: d = √ (a ² + b ²).
- Дөрвөн өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ашиглан: d = 2 R.
Дөрвөлжингийн тодорхойлолт ба шинж чанарууд
Квадрат нь ромб, параллелограмм эсвэл тэгш өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. Эдгээр зургуудаас ялгаатай нь түүний бүх өнцөг нь зөв, дөрвөн тал нь тэнцүү байна. Квадрат бол ердийн дөрвөн өнцөгт юм.
Дараах тохиолдолд дөрвөн өнцөгтийг квадрат гэж нэрлэдэг.
- Хэрэв энэ нь урт a ба өргөн b нь тэнцүү тэгш өнцөгт бол.
- Хэрэв энэ нь ижил урттай диагональ, дөрвөн тэгш өнцөг бүхий ромб бол.
Дөрвөлжингийн шинж чанарууд нь тэгш өнцөгттэй холбоотой өмнө нь авч үзсэн бүх шинж чанаруудаас гадна дараахь зүйлийг агуулдаг.
- Диагональууд нь бие биендээ перпендикуляр байдаг (ромбусын шинж чанар).
- Уулзалтын цэг нь бичээстэй тойргийн төвтэй давхцдаг.
- Хоёр диагональ нь дөрвөн өнцөгтийг тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт дөрвөн ижил өнцөгт гурвалжинд хуваадаг.
Энд түгээмэл хэрэглэгддэг зарим томьёо энд байна 
квадратын периметр, талбай, элементүүдийг тооцоолох:
- Диагональ d = a √2.
- Периметр P = 4 a.
- Талбай S = a².
- Хязгаарлагдсан тойргийн радиус нь диагональ тал нь: R = 0.5 a √2.
- Бичсэн тойргийн радиусыг хажуугийн уртын хагасаар тодорхойлно: r = a / 2.
Жишээ асуулт, даалгавар
Сургуульд математикийн чиглэлээр суралцах явцад танд тулгарч болох зарим асуултанд дүн шинжилгээ хийж, хэд хэдэн энгийн асуудлыг шийдье.
Даалгавар 1. Тэгш өнцөгтийн талуудын уртыг гурав дахин нэмэгдүүлбэл талбай хэрхэн өөрчлөгдөх вэ?
Шийдэл : Анхны зургийн талбайг S0 гэж, талуудын уртыг гурав дахин урттай дөрвөн өнцөгтийн талбайг S1 гэж тэмдэглэе. Өмнө нь авч үзсэн томъёоны дагуу бид дараахь зүйлийг олж авна: S0 = ab. Одоо урт ба өргөнийг 3 дахин нэмэгдүүлж бичье: S1= 3 a 3 b = 9 ab. S0 ба S1-ийг харьцуулж үзвэл хоёр дахь талбай нь эхнийхээс 9 дахин том болох нь тодорхой болно.
Асуулт 1. Тэгш өнцөгтэй дөрвөлжин квадрат мөн үү?
Шийдэл : Тодорхойлолтоос харахад тэгш өнцөгт дүрс нь бүх талуудын урт нь тэнцүү байвал дөрвөлжин болно. Үгүй бол зураг нь тэгш өнцөгт байна.
Даалгавар 2. Тэгш өнцөгтийн диагональууд нь 60 градусын өнцөг үүсгэдэг. Тэгш өнцөгтийн өргөн 8. Диагональ нь юу болохыг тооцоол.
Шийдэл:Диагональууд нь огтлолцох цэгээр хуваагддаг гэдгийг санаарай. Тиймээс бид оройн өнцөг нь 60°-тай тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжинтай харьцаж байна. Гурвалжин нь тэгш өнцөгт тул суурийн өнцөг нь мөн адил байх болно. Энгийн тооцоогоор бид тус бүр нь 60 ° -тай тэнцүү байна. Үүнээс үзэхэд гурвалжин нь тэгш талт байна. Бидний мэдэх өргөн нь гурвалжны суурь учир диагональын тал нь мөн 8, бүх диагональ нь түүнээс хоёр дахин их буюу 16-тай тэнцүү байна.
Асуулт 2. Тэгш өнцөгт бүх талуудтай тэнцүү юу, үгүй юу?
Шийдэл : Дөрвөлжингийн хувьд бүх талууд тэнцүү байх ёстой гэдгийг санахад хангалттай бөгөөд энэ нь тэгш өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. Бусад бүх тохиолдолд хангалттай нөхцөл бол 3-аас доошгүй зөв өнцөг байх явдал юм. Талуудын тэгш байдал нь заавал байх ёстой шинж чанар биш юм.
Даалгавар 3. Квадратын талбай нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд 289-тэй тэнцүү. Бичсэн ба хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ол.
Шийдэл :
Квадрат томьёоны дагуу бид дараах тооцоог хийнэ.
- Квадратын үндсэн элементүүд ямар тэнцүү болохыг тодорхойлъё: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
- Дөрвөн өнцөгтийг тойрсон тойргийн радиус ямар хэмжээтэй тэнцүү болохыг тооцоолъё: R = 0.5 d = 8.5√2.
- Бичсэн тойргийн радиусыг олъё: r = a / 2 = 17 / 2 = 8.5.
Тодорхойлолт.Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.
Өмч.Параллелограммын эсрэг талууд нь тэнцүү, эсрэг талын өнцөг нь тэнцүү байна.
Өмч.Параллелограммын диагональууд нь огтлолцох цэгээр хуваагдана.
Параллелограммын 1 тэмдэг.Дөрвөн өнцөгтийн хоёр тал нь тэнцүү бөгөөд параллель байвал дөрвөлжин нь параллелограмм болно.
Параллелограммын 2 тэмдэг.Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд хос хосоороо тэнцүү бол дөрвөлжин нь параллелограмм болно.
Параллелограммын 3 тэмдэг.Дөрвөн өнцөгт диагональууд огтлолцож, огтлолцлын цэгийг хоёр хуваасан бол энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм болно.
Тодорхойлолт.Хоёр тал нь параллель, нөгөө хоёр тал нь параллель биш дөрвөн өнцөгтийг трапец гэнэ. Зэрэгцээ талууд гэж нэрлэдэг үндэслэл.
Трапец гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгт (исс өнцөгт)хэрэв түүний талууд тэнцүү бол. Хоёр талт трапецын хувьд суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.
тэгш өнцөгт.
трапецын дунд шугам. Дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.
Тэгш өнцөгт
Тодорхойлолт.
Өмч.Тэгш өнцөгтийн диагональууд тэнцүү байна.
Тэгш өнцөгт тэмдэг.Хэрэв параллелограммын диагональууд тэнцүү бол параллелограмм нь тэгш өнцөгт болно.
Тодорхойлолт.
Өмч.Ромбын диагональууд нь харилцан перпендикуляр бөгөөд өнцгийг нь хоёр хуваадаг.
Тодорхойлолт.
Дөрвөлжин гэдэг нь тодорхой төрлийн тэгш өнцөгт, мөн тодорхой төрлийн ромб юм. Тиймээс энэ нь тэдний бүх шинж чанартай байдаг.
Үл хөдлөх хөрөнгө:
1. Талбайн бүх өнцөг зөв байна
Бүх дүрмийг дөрвөлжин болгодог
Түлхүүр үг:
дөрвөлжин, гүдгэр, өнцгийн нийлбэр, дөрвөн өнцөгтийн талбай
дөрвөн өнцөгтдөрвөн цэг, тэдгээрийг цуваа холбосон дөрвөн сегментээс бүрдэх дүрсийг нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд эдгээр гурван цэг нь нэг шулуун дээр байх ёсгүй бөгөөд тэдгээрийг холбосон сегментүүд огтлолцох ёсгүй.
- Дөрвөн өнцөгтийн оройг нэрлэдэг хөрш хэрэв тэдгээр нь түүний аль нэг талын төгсгөл бол.
- Хөршүүд биш оройнууд , дуудсан эсрэг .
- Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын оройг холбосон шугамын хэсгүүдийг нэрлэдэг диагональ .
- Дөрвөн өнцөгтийн нэг оройноос үүссэн талуудыг нэрлэдэг хөрш намууд.
- Нийтлэг төгсгөлгүй талуудыг нэрлэдэг эсрэг намууд.
- Дөрвөн өнцөгт гэж нэрлэдэг гүдгэр , хэрэв энэ нь түүний аль нэг талыг агуулсан шулуун шугамтай харьцуулахад нэг хагас хавтгайд байрласан бол.
Дөрвөн өнцөгтийн төрлүүд
- Параллелограмм
Эсрэг талуудтай параллель дөрвөн өнцөгт
- Тэгш өнцөгт бүх тэгш өнцөг бүхий параллелограмм
- Ромб - бүх талууд тэнцүү параллелограмм
- Дөрвөлжин - бүх талууд тэнцүү тэгш өнцөгт
- Трапец - хоёр тал нь зэрэгцээ, нөгөө хоёр тал нь параллель биш дөрвөн өнцөгт
- Дельтоид Хоёр хос зэргэлдээ тал нь тэнцүү дөрвөн өнцөгт
Дөрвөн өнцөгт
дөрвөн өнцөгтдөрвөн цэг, тэдгээрийг цуваа холбосон дөрвөн сегментээс бүрдэх дүрсийг нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд эдгээр гурван цэгийн аль нь ч нэг шулуун дээр байрлахгүй бөгөөд тэдгээрийг холбосон сегментүүд огтлолцохгүй.
эсрэг. эсрэг.
Дөрвөн өнцөгтийн төрлүүд
Параллелограмм
Параллелограммэсрэг талууд нь хос параллель дөрвөн өнцөгт гэж нэрлэгддэг.
Параллелограммын шинж чанарууд
- эсрэг талууд тэнцүү;
- эсрэг өнцөг нь тэнцүү;
- диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь бүх талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Параллелограммын онцлог
ТрапецЭсрэг хоёр тал нь зэрэгцээ, нөгөө хоёр нь параллель биш дөрвөн өнцөгт гэж нэрлэгддэг.
Трапецын зэрэгцээ талуудыг түүний гэж нэрлэдэг үндэслэлба параллель бус талууд талууд.Талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг нэрлэдэг дунд шугам.
Трапец гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгт(эсвэл тэгш өнцөгт) хэрэв талууд нь тэнцүү бол.
Нэг тэгш өнцөгтэй трапецийг нэрлэдэг тэгш өнцөгт.
Трапецын шинж чанарууд
Трапецын шинж тэмдэг
Тэгш өнцөгт
Тэгш өнцөгтБүх өнцөг нь тэгш өнцөгт байвал параллелограмм гэж нэрлэдэг.
Тэгш өнцөгтийн шинж чанарууд
Тэгш өнцөгтийн онцлог
Параллелограмм нь тэгш өнцөгт юм, хэрэв:
- Түүний нэг булан нь зөв.
- Түүний диагональууд тэнцүү байна.
РомбБүх талууд тэнцүү бол параллелограмм гэж нэрлэдэг.
Ромбын шинж чанарууд
- параллелограммын бүх шинж чанарууд;
- диагональууд нь перпендикуляр;
Ромбын шинж тэмдэг
ДөрвөлжинБүх тал нь тэгш өнцөгтийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.
Квадрат шинж чанарууд
- талбайн бүх булан зөв байна;
- дөрвөлжингийн диагональууд нь тэнцүү, харилцан перпендикуляр, огтлолцлын цэгийг хагасаар хувааж, квадратын булангуудыг хагасаар хуваана.
Дөрвөлжин тэмдэг
Үндсэн томъёо
S=d 1 г 2 нүгэл
Параллелограмм
аболон б-зэргэлдээ талууд; -
тэдгээрийн хоорондох өнцөг; h a -өндөр нь хажуу тийш а.
S = ab sin
S=d 1 г 2 нүгэл
Трапец
аболон б- үндэслэл; h-тэдгээрийн хоорондох зай; би-дунд шугам .
Тэгш өнцөгт
S=d 1 г 2 нүгэл
S = 2 нүгэл
S=d 1 г 2
Дөрвөлжин
г- диагональ.
www.univer.omsk.su
Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд. Дөрвөн өнцөгтийн төрлүүд. Дурын дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд. Параллелограммын шинж чанарууд. Ромбын шинж чанарууд. Тэгш өнцөгтийн шинж чанарууд. Квадрат шинж чанарууд. трапецын шинж чанар. Ойролцоогоор 7-9 анги (13-15 нас)
Дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд. Дөрвөн өнцөгтийн төрлүүд. Дурын дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд.
Параллелограммын шинж чанарууд. Ромбын шинж чанарууд. Тэгш өнцөгтийн шинж чанарууд. Квадрат шинж чанарууд. трапецын шинж чанар.
Дөрвөн өнцөгтийн төрлүүд:
- Параллелограммнь эсрэг талууд нь параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм
- Ромббүх талууд тэнцүү параллелограмм юм.
- Тэгш өнцөгтбүх тэгш өнцөг бүхий параллелограмм юм.
- Дөрвөлжинбүх тал нь тэнцүү тэгш өнцөгт юм.
Дурын дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарууд:
Параллелограммын шинж чанарууд:
Ромбын шинж чанарууд:
Тэгш өнцөгтийн шинж чанарууд:
Квадрат шинж чанарууд:
Трапецын шинж чанарууд:
Зөвлөх ба техникийн
сайтын дэмжлэг: Zavarka Team
Бүх дүрмийг дөрвөлжин болгодог
Евклидийн бус геометр, геометртэй төстэй геометр ЕвклидЭнэ нь дүрсүүдийн хөдөлгөөнийг тодорхойлдог боловч таван постулатын аль нэгийг нь (хоёр дахь эсвэл тав дахь) үгүйсгэлээр сольсноор Евклидийн геометрээс ялгаатай. Евклидийн постулатын аль нэгийг үгүйсгэсэн (1825) нь сэтгэлгээний түүхэн дэх чухал үйл явдал байсан бөгөөд энэ нь түүнд хүрэх анхны алхам болсон юм. харьцангуйн онол.
Евклидийн хоёр дахь постулатад ингэж заасан байдаг ямар ч шугамын сегментийг тодорхойгүй хугацаагаар сунгаж болно. Евклид энэ постулат нь шулуун шугам нь хязгааргүй урттай гэсэн мэдэгдлийг агуулдаг гэж үзсэн бололтой. Гэсэн хэдий ч "зууван" геометрийн хувьд аливаа шулуун шугам нь төгсгөлтэй бөгөөд тойрог шиг хаалттай байдаг.
Тав дахь постулат нь хэрэв шугам нь өгөгдсөн хоёр шулууныг огтолж, түүний нэг талын хоёр дотоод өнцгийн нийлбэр нь хоёр зөв өнцгийн нийлбэрээс бага байвал эдгээр хоёр шулуун нь тодорхойгүй хугацаагаар сунгасан бол тэдгээрийн нийлбэр байх тал дээр огтлолцоно гэж заасан байдаг. Эдгээр өнцөг нь хоёр шулуун шугамын нийлбэрээс бага байна. Гэхдээ "гипербол" геометрийн хувьд C цэг дээр өгөгдсөн r шулуунтай перпендикуляр, өөр s шулууныг B цэг дээр хурц өнцгөөр огтолж байгаа CB шугам байж болно (Зураг харна уу), гэхдээ r ба төгсгөлгүй шугамууд байж болно. s хэзээ ч огтлолцохгүй.
Эдгээр шинэчлэгдсэн постулатуудаас харахад Евклидийн геометрийн хувьд 180°-тай тэнцүү гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь эллипс геометрт 180°-аас их, гипербол геометрт 180°-аас бага байна.
Дөрвөн өнцөгт
Дөрвөн өнцөгтдөрвөн орой, дөрвөн талыг агуулсан олон өнцөгт юм.
Дөрвөн өнцөгт, геометрийн дүрс - дөрвөн булантай олон өнцөгт, түүнчлэн аливаа объект, энэ хэлбэрийн төхөөрөмж.
Дөрвөн өнцөгтийн зэргэлдээгүй хоёр талыг гэнэ эсрэг.Зэргэлдээгүй хоёр оройг мөн нэрлэдэг эсрэг.
Дөрвөн өнцөгт нь гүдгэр (ABCD шиг) ба
гүдгэр бус (A 1 B 1 C 1 D 1).
Дөрвөн өнцөгтийн төрлүүд
- Параллелограмм- эсрэг талын бүх талууд параллель байх дөрвөн өнцөгт;
- Тэгш өнцөгт- бүх тэгш өнцөгт дөрвөн өнцөгт;
- Ромб- бүх талууд тэнцүү дөрвөн өнцөгт;
- Дөрвөлжин- бүх өнцөг нь тэгш, бүх талууд тэнцүү дөрвөн өнцөгт;
- Трапец- эсрэг талын хоёр тал нь параллель дөрвөн өнцөгт;
- ДельтоидХоёр хос зэргэлдээ тал нь тэнцүү дөрвөн өнцөгт.
Параллелограмм
Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.
Параллелограмм (Грек хэлнээс параллелос - параллель ба грамм - шугам) өөрөөр хэлбэл параллель шугамууд дээр хэвтэж байна. Параллелограммын онцгой тохиолдлууд нь тэгш өнцөгт, дөрвөлжин, ромб юм.
- эсрэг талууд тэнцүү;
- эсрэг өнцөг нь тэнцүү;
- уулзварын цэгийн диагональуудыг хагасаар хуваана;
- нэг талтай зэргэлдээх өнцгийн нийлбэр нь 180 °;
- диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь бүх талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм бөгөөд хэрэв:
- Үүний эсрэг талын хоёр тал нь тэнцүү бөгөөд зэрэгцээ байна.
- Эсрэг талууд нь хосоороо тэнцүү байна.
- Эсрэг өнцөг нь хосоороо тэнцүү байна.
- Уулзалтын цэгийн диагональуудыг хагасаар хуваана.
Тэгш өнцөгт
Тэгш өнцөгт бол бүх өнцөг бүхий параллелограмм юм.
- эсрэг талууд тэнцүү;
- эсрэг өнцөг нь тэнцүү;
- уулзварын цэгийн диагональуудыг хагасаар хуваана;
- нэг талтай зэргэлдээх өнцгийн нийлбэр нь 180 °;
- диагональууд тэнцүү байна.
Параллелограмм нь тэгш өнцөгт юм, хэрэв:
- Түүний нэг булан нь зөв.
- Түүний диагональууд тэнцүү байна.
Ромб бол бүх талууд тэнцүү параллелограмм юм.
- эсрэг талууд тэнцүү;
- эсрэг өнцөг нь тэнцүү;
- уулзварын цэгийн диагональуудыг хагасаар хуваана;
- нэг талтай зэргэлдээх өнцгийн нийлбэр нь 180 °;
- диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь бүх талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна;
- диагональууд нь перпендикуляр;
- диагональууд нь түүний өнцгийн биссектрис юм.
Параллелограммыг ромб гэнэ, хэрэв:
- Түүний хоёр зэргэлдээ тал нь тэнцүү байна.
- Түүний диагональууд перпендикуляр байна.
- Диагональуудын нэг нь түүний өнцгийн биссектрис юм.
Квадрат нь бүх тал нь тэнцүү тэгш өнцөгт юм.
- талбайн бүх булан зөв байна;
- дөрвөлжингийн диагональууд нь тэнцүү, харилцан перпендикуляр, огтлолцлын цэгийг хагасаар хувааж, квадратын булангуудыг хагасаар хуваана.
- Тэгш өнцөгт нь ромбын шинж чанартай бол дөрвөлжин юм.
Трапец гэдэг нь эсрэг талын хоёр тал нь зэрэгцээ, нөгөө хоёр нь параллель биш байдаг дөрвөн өнцөгт юм.
Трапецын зэрэгцээ талуудыг суурь, зэрэгцээ бус талуудыг талууд гэж нэрлэдэг. Хажуугийн дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг дунд шугам гэж нэрлэдэг.
Хэрэв талууд нь тэнцүү бол трапецийг тэгш өнцөгт (эсвэл тэгш өнцөгт) гэж нэрлэдэг.
Нэг тэгш өнцөгт трапецийг тэгш өнцөгт трапец гэж нэрлэдэг.
- түүний дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү;
- хэрэв трапецын тэгш өнцөгт байвал түүний диагональууд тэнцүү бөгөөд суурийн өнцөг нь тэнцүү байна;
- хэрэв трапецын тэгш өнцөгт байвал түүний эргэн тойронд тойрог дүрсэлж болно;
- Хэрэв суурийн нийлбэр нь талуудын нийлбэртэй тэнцүү бол түүнд тойрог бичиж болно.
- Дөрвөн өнцөгт нь паралель талууд нь тэнцүү биш бол трапец байна
ДельтоидИжил урттай хоёр хос талтай дөрвөн өнцөгт. Параллелограммаас ялгаатай нь хоёр хос зэргэлдээ тал нь тэнцүү биш, харин хоёр хос зэргэлдээ талууд юм. Дельта нь цаасан шувуу шиг хэлбэртэй.
- Тэгш бус урттай талуудын хоорондох өнцөг нь тэнцүү байна.
- Дельтоидын диагональууд (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүд) зөв өнцгөөр огтлолцдог.
- Аливаа гүдгэр гурвалжинд тойрог бичиж болно, үүнээс гадна хэрэв дельта нь ромб биш бол бүх дөрвөн талын өргөтгөлтэй шүргэгч өөр тойрог бий. Гүдгэр бус дельтоидын хувьд хоёр том тал руу шүргэгч тойрог, хоёр жижиг талын өргөтгөл, хоёр жижиг тал руу шүргэгч тойрог, хоёр том талын өргөтгөлүүдийг барьж болно.
- Хэрэв дельтоидын тэгш бус талуудын хоорондох өнцөг нь шулуун шугам байвал түүнд тойрог бичиж болно (тайлбарласан дельтоид).
- Хэрэв гурвалжингийн эсрэг талын хосууд тэнцүү бол ийм гурвалжин нь ромб юм.
- Хэрэв дельтоидын хос эсрэг тал ба диагональ хоёулаа тэнцүү бол дельта нь дөрвөлжин болно. Тэнцүү диагональ бүхий бичээстэй дельта нь мөн дөрвөлжин юм.
Геометрийн үүсэл нь эрт дээр үеэс эхэлсэн бөгөөд хүний үйл ажиллагааны практик хэрэгцээ (газар хэмжих хэрэгцээ, янз бүрийн биеийн эзэлхүүнийг хэмжих хэрэгцээ гэх мэт) холбоотой байв.
Хамгийн энгийн геометрийн мэдээлэл, ойлголтыг эртний Египетэд мэддэг байсан. Энэ хугацаанд геометрийн мэдэгдлийг нотлох баримтгүйгээр өгөгдсөн дүрмийн хэлбэрээр томъёолсон.
МЭӨ 7-р зуунаас д. МЭ 1-р зуун хүртэл д. Эртний Грекд геометрийн шинжлэх ухаан хурдацтай хөгжиж байв. Энэ хугацаанд зөвхөн янз бүрийн геометрийн мэдээллийн хуримтлал явагдсан төдийгүй геометрийн мэдэгдлийг батлах арга зүйг боловсруулж, геометрийн үндсэн анхан шатны заалтуудыг (аксиом) томъёолох анхны оролдлогуудыг хийсэн бөгөөд үүнээс олон янзын геометрийн мэдэгдлүүд нь цэвэр логик үндэслэлээр үүсдэг. Эртний Грекийн геометрийн хөгжлийн түвшин Евклидийн "Эхлэл"-ийн бүтээлд тусгагдсан байдаг.
Энэхүү номонд анх удаа тодорхойлогдоогүй геометрийн үндсэн ойлголт, аксиом (постулат) дээр үндэслэн планиметрийн системчилсэн бүтцийг өгөхийг оролдсон.
Математикийн түүхэнд онцгой байр суурийг Евклидийн тав дахь постулат (зэрэгцээ шугамын аксиом) эзэлдэг. Удаан хугацааны турш математикчид Евклидийн бусад постулатуудаас тав дахь постулатыг гаргах гэж оролдсон ч бүтэлгүйтсэн бөгөөд зөвхөн 19-р зууны дунд үед л Н.И.Лобачевский, Б.Риман, Ж.Бояи нарын судалгааны ачаар тодорхой болсон нь тодорхой болсон. Тав дахь постулатыг бусад хэсгээс гаргаж авах боломжгүй бөгөөд Евклидийн санал болгосон аксиомын систем нь цорын ганц боломжтой зүйл биш юм.
Евклидийн "Элементүүд" нь математикийн хөгжилд асар их нөлөө үзүүлсэн. Хоёр мянга гаруй жилийн турш энэ ном нь зөвхөн геометрийн сурах бичиг төдийгүй олон тооны математикийн судалгааны эхлэл болсон бөгөөд үүний үр дүнд математикийн бие даасан шинэ салбарууд бий болсон.
Геометрийн системчилсэн барилгыг ихэвчлэн дараахь төлөвлөгөөний дагуу гүйцэтгэдэг.
I.Тодорхойлолтгүйгээр танилцуулсан геометрийн үндсэн ойлголтуудыг жагсаав.
II.Геометрийн аксиомуудын томъёоллыг өгөв.
III.Аксиом болон геометрийн үндсэн ойлголтуудад үндэслэн бусад геометрийн ойлголт, теоремуудыг томъёолдог.
- Евклидийн бус геометр гэдэг нэрний гарал үүсэл?
- Ямар дүрсийг дөрвөн өнцөгт гэж нэрлэдэг вэ?
- Параллелограммын шинж чанарууд?
- Дөрвөн өнцөгтийн төрлүүд?
Ашигласан эх сурвалжуудын жагсаалт
- А.Г. Цыпкин. Математикийн гарын авлага
- “Улсын нэгдсэн шалгалт 2006. Математик. Оюутнуудыг бэлтгэх боловсролын болон сургалтын материал / Рособрнадзор, ISOP - М .: Оюуны төв, 2006 "
- Мазур К.И. "М. И. Сканавигийн найруулсан цуглуулгын математикийн өрсөлдөөний гол асуудлуудыг шийдвэрлэх нь"
Хичээл дээр ажиллаж байна
Та орчин үеийн боловсролын талаар асуулт тавьж, санал бодлоо илэрхийлэх эсвэл яаралтай асуудлаа шийдвэрлэх боломжтой Боловсролын форумшинэ бодол санаа, үйл ажиллагааны боловсролын зөвлөл олон улсын хэмжээнд хуралддаг. Бүтээсэн блог,Та чадварлаг багшийн статусаа ахиулахаас гадна ирээдүйн сургуулийн хөгжилд жинтэй хувь нэмэр оруулах болно. Боловсролын удирдагчдын холбоошилдэг мэргэжилтнүүдэд үүд хаалгыг нээж, дэлхийн шилдэг сургуулиудыг бий болгох чиглэлээр хамтран ажиллахыг урьж байна.
Алдартай:
- Үзэн ядалт, дайсагналыг өдөөх, түүнчлэн хүний нэр төрийг гутаан доромжлох 282 дугаар зүйл.
- Аж ахуйн нэгжийн хөрөнгийн албан татварын тооцоолуур Аж ахуйн нэгжийн хөрөнгийн албан татварыг хэрхэн тооцох Урьдчилгаа төлбөрийн тооцооны маягт өөрчлөгдсөн. 2017 оны эхний хагас жилийн тайлангаас эхлэн аж ахуйн нэгжийн хөрөнгийн албан татварын тооцоо [...]
- Экологийн хуулиуд 100 гаруй жилийн турш хүн ам, хамт олныг цогцоор нь судалсны дүнд асар их баримт хуримтлагдсан. Тэдгээрийн дотор санамсаргүй эсвэл тогтмол бус үзэгдэл, үйл явцыг тусгасан олон тоо байдаг. Гэхдээ биш […]
- Албан журмын тэтгэврийн даатгалын тогтолцоонд тэтгэвэр олгох сонголтууд 2015 оныг дуустал 1967 онд төрсөн болон түүнээс доош насны иргэд тэтгэврийн хуримтлал үүсгэх, эсвэл [...]
- Хөдөө аж ахуйн яамны захиалга 549 ОХУ-ын Хууль зүйн яаманд 2009 оны 3-р сарын 5-ны өдөр N 13476 ОХУ-ын ХАА-н яамны 2008 оны 12-р сарын 16-ны өдрийн N 532-р БАТЛЫН БАЙГУУЛЛАГЫН БАЙГУУЛЛАГЫН БАЙГУУЛЛАГЫН БАЙГУУЛЛАГЫН БАЙГУУЛЛАГА БАТЛАХ ТУХАЙ. ОЙ БА […]
- Хөгжлийн бэрхшээлтэй хүүхдийн тэтгэврийг 2018 оны нэгдүгээр сарын 1-нээс нэмэгдүүлнэ Иргэдийн тэтгэвэр тэтгэмж нь төрийн өмнө хүлээсэн үүрэг. Энэ нь тус улсын хууль тогтоомжийн код - Үндсэн хуульд заасан байдаг. Хөгжлийн бэрхшээлтэй хүмүүсийн дунд […]
- "Оросын төмөр зам" ХК "РЖД" ХК-ийн дотоод журмын дүрэм 2012 оны 7-р сарын 26-ны өдрийн 87 тоот тушаалаар УМБГ-ын Бүс нутгийн албаны (газар) хөдөлмөрийн дотоод зохицуулалтын дүрмийг батлах тухай [...]
- Позитивизмын 3 үе шатын хууль нь философийн урсгал болох ертөнц, хүн, нийгмийн талаарх мэдлэгийн дийлэнх хэсгийг тусгай шинжлэх ухаанд олж авдаг, "эерэг" шинжлэх ухаан оролдлогыг орхих ёстой гэсэн ойлголтоос үүдэлтэй [...]
Өнөөдөр бид геометрийн дүрсийг авч үзэх болно - дөрвөлжин. Энэ зургийн нэрнээс харахад энэ зураг дөрвөн булантай болох нь тодорхой болсон. Гэхдээ энэ зургийн бусад шинж чанар, шинж чанаруудыг бид доор авч үзэх болно.
Дөрвөн өнцөгт гэж юу вэ
Дөрвөн өнцөгт нь эдгээр цэгүүдийг хосоор нь холбосон дөрвөн цэг (орой) ба дөрвөн сегментээс (тал) бүрдсэн олон өнцөгт юм. Дөрвөн өнцөгтийн талбай нь диагональ ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн үржвэрийн хагас юм.
Дөрвөн өнцөгт нь дөрвөн оройтой олон өнцөгт бөгөөд тэдгээрийн гурав нь нэг шулуун дээр байрладаггүй.
Дөрвөн өнцөгтийн төрлүүд
- Эсрэг талууд нь хос параллель дөрвөн өнцөгтийг параллелограмм гэнэ.
- Эсрэг хоёр тал нь параллель, нөгөө хоёр тал нь параллель биш дөрвөн өнцөгтийг трапец гэнэ.
- Бүх тэгш өнцөгт дөрвөн өнцөгт нь тэгш өнцөгт юм.
- Бүх талууд нь тэнцүү дөрвөн өнцөгт бол ромб юм.
- Бүх талууд тэнцүү, бүх өнцөг нь тэгш байх дөрвөн өнцөгтийг квадрат гэнэ.
Дөрвөн өнцөгт нь дараахь байж болно.
өөрөө огтлолцдог
гүдгэр бус
гүдгэр
Өөрөө огтлолцдог дөрвөн өнцөгтнь түүний аль нэг тал нь огтлолцох цэгтэй дөрвөлжин юм (зураг дээрх цэнхэр өнгөөр).
Гүдгэр бус дөрвөлжиннь дотоод өнцгүүдийн аль нэг нь 180 градусаас дээш байх дөрвөн өнцөгт (зураг дээр улбар шараар заасан).
Өнцгийн нийлбэрӨөрөө огтлолцдоггүй дөрвөн өнцөгт нь үргэлж 360 градустай тэнцдэг.
Дөрвөн өнцөгтийн тусгай төрлүүд
Дөрвөн өнцөгт нь геометрийн тусгай хэлбэрийг бүрдүүлдэг нэмэлт шинж чанартай байж болно.
- Параллелограмм
- Тэгш өнцөгт
- Дөрвөлжин
- Трапец
- Дельтоид
- Эсрэг параллелограмм
Дөрвөлжин ба тойрог
Тойрог тойруулан бичээстэй дөрвөлжин (дөрвөлжин хэлбэртэй тойрог).
Хязгаарлагдмал дөрвөлжингийн гол шинж чанар:
Эсрэг талуудын уртын нийлбэр тэнцүү байх тохиолдолд дөрвөлжин тойргийг тойруулж болно.
Тойрог дотор бичсэн дөрвөлжин (дөрвөн өнцөгтийг тойруулан бичсэн тойрог)
Бичсэн дөрвөлжингийн гол шинж чанар:
Эсрэг өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градус байхад л дөрвөн өнцөгтийг тойрог дотор бичиж болно.
Дөрвөлжин талын уртын шинж чанарууд
Дөрвөн өнцөгтийн аль ч хоёр талын ялгааны модульбусад хоёр талын нийлбэрээс хэтрэхгүй.
|а - б| ≤ c + d
|а - в| ≤ b + d
|a - d| ≤ b + c
|б - в| ≤ a + d
|b - d| ≤ a + b
|c - d| ≤ a + b
Чухал. Тэгш бус байдал нь дөрвөлжин талуудын аль ч хослолын хувьд үнэн юм. Энэ зургийг зөвхөн ойлгоход хялбар болгох үүднээс өгсөн болно.
Ямар ч дөрвөн өнцөгт түүний гурван талын уртын нийлбэр нь дөрөв дэх талын уртаас багагүй байна.
Чухал. Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн хүрээнд асуудлыг шийдвэрлэхдээ хатуу тэгш бус байдлыг ашиглаж болно (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.
Тооцоолохын тулд ActiveX хяналтыг идэвхжүүлсэн байх ёстой!
Тодорхойлолт.Параллелограмм нь эсрэг талууд нь хос параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.
Өмч.Параллелограммын эсрэг талууд нь тэнцүү, эсрэг талын өнцөг нь тэнцүү байна.
Өмч.Параллелограммын диагональууд нь огтлолцох цэгээр хуваагдана.
Параллелограммын 1 тэмдэг.Дөрвөн өнцөгтийн хоёр тал нь тэнцүү бөгөөд параллель байвал дөрвөлжин нь параллелограмм болно.
Параллелограммын 2 тэмдэг.Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд хос хосоороо тэнцүү бол дөрвөлжин нь параллелограмм болно.
Параллелограммын 3 тэмдэг.Дөрвөн өнцөгт диагональууд огтлолцож, огтлолцлын цэгийг хоёр хуваасан бол энэ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм болно.
Тодорхойлолт.Хоёр тал нь параллель, нөгөө хоёр тал нь параллель биш дөрвөн өнцөгтийг трапец гэнэ. Зэрэгцээ талууд гэж нэрлэдэг үндэслэл.
Трапец гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгт (исс өнцөгт)хэрэв түүний талууд тэнцүү бол. Хоёр талт трапецын хувьд суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.
Нэг тэгш өнцөгтэй трапецийг нэрлэдэг тэгш өнцөгт.
Талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг нэрлэдэг трапецын дунд шугам. Дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.
Тодорхойлолт.Тэгш өнцөгт бол бүх өнцөг бүхий параллелограмм юм.
Өмч.Тэгш өнцөгтийн диагональууд тэнцүү байна.
Тэгш өнцөгт тэмдэг.Хэрэв параллелограммын диагональууд тэнцүү бол энэ параллелограмм нь тэгш өнцөгт болно.
Тодорхойлолт.Ромб бол бүх талууд тэнцүү параллелограмм юм.
Өмч.Ромбын диагональууд нь харилцан перпендикуляр бөгөөд өнцгийг нь хоёр хуваадаг.
Тодорхойлолт.Квадрат нь бүх тал нь тэнцүү тэгш өнцөгт юм.
Дөрвөлжин гэдэг нь тодорхой төрлийн тэгш өнцөгт, мөн тодорхой төрлийн ромб юм. Тиймээс энэ нь тэдний бүх шинж чанартай байдаг.
Үл хөдлөх хөрөнгө:
1. Талбайн бүх өнцөг зөв байна
2. Талбайн диагональууд нь тэнцүү, харилцан перпендикуляр, огтлолцлын цэгийг хагасаар, квадратын булангуудыг хагасаар хуваана.
Дөрвөн булан, дөрвөн талтай. Дөрвөн өнцөгт нь дөрвөн холбоосоос бүрдэх битүү полилин болон полилин дотор байрлах хавтгайн хэсгээс бүрддэг.
Дөрвөн өнцөгтийн тэмдэглэгээ нь орой дээрх үсгүүдээс бүрдэж, дарааллаар нь нэрлэнэ. Жишээлбэл, тэд ингэж хэлдэг эсвэл бичдэг: дөрвөлжин A B C D :
Дөрвөн өнцөгт хэлбэрээр A B C Dоноо А, Б, Cболон Д- энэ бол дөрвөн талт орой, сегментүүд AB, МЭӨ, CDболон Д.А - талууд.
Нэг талдаа хамаарах оройнуудыг дуудна хөрш, зэргэлдээ ороогүй оройг дуудна эсрэг:
Дөрвөн өнцөгт хэлбэрээр A B C Dоргилууд Аболон Б, Бболон C, Cболон Д, Дболон Азэргэлдээх ба оройнууд Аболон C, Бболон Д- эсрэгээрээ. Зэргэлдээх орой дээр байрлах өнцгийг мөн хөрш гэж нэрлэдэг бөгөөд эсрэг талын оройгуудыг эсрэг талд нь гэж нэрлэдэг.
Дөрвөн өнцөгтийн талуудыг зэргэлдээ болон эсрэг талд нь хосоор нь хувааж болно: нийтлэг оройтой талууд гэж нэрлэгддэг. хөрш(эсвэл холбоотой), нийтлэг оройгүй талууд - эсрэг:
Намууд ABболон МЭӨ, МЭӨболон CD, CDболон Д.А, Д.Аболон ABзэргэлдээх ба талууд ABболон DC, МЭболон МЭӨ- эсрэгээрээ.
Хэрэв эсрэг талын оройг сегментээр холбовол ийм сегментийг дуудах болно дөрвөлжингийн диагональ. Дөрвөн өнцөгт зөвхөн хоёр хос эсрэг талын орой байгааг харгалзан үзвэл зөвхөн хоёр диагональ байж болно.
Сегментүүд АСболон Б.Д- диагональ.
Гүдгэр дөрвөлжингийн үндсэн төрлүүдийг авч үзье.
- Трапец- эсрэг талын нэг хос нь хоорондоо параллель, нөгөө хос нь параллель биш дөрвөн өнцөгт.
- Хоёр талт трапец- талууд нь тэнцүү трапец.
- Тэгш өнцөгт трапецЗөв өнцгүүдийн аль нэгтэй трапец.
- ПараллелограммХоёр хос эсрэг тал нь хоорондоо параллель байрладаг дөрвөн өнцөгт.
- Тэгш өнцөгтБүх өнцөг нь тэнцүү байх параллелограмм.
- РомбБүх талууд тэнцүү параллелограмм.
- ДөрвөлжинТал ба өнцөг нь тэнцүү параллелограмм. Тэгш өнцөгт ба ромб хоёулаа дөрвөлжин байж болно.
Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн булангийн шинж чанарууд
Бүх гүдгэр дөрвөн өнцөгт нь дараах хоёр шинж чанартай байдаг.
- 180 ° -аас бага дотоод өнцөг.
- Дотоод өнцгийн нийлбэр нь 360 ° байна.
