Дериватив гэж юу вэ?

Деривативын хүснэгт.

Дериватив бол дээд математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Энэ хичээлээр бид энэ ойлголтыг танилцуулах болно. Математикийн хатуу томъёолол, нотолгоогүйгээр бие биетэйгээ танилцацгаая.

Энэхүү танил нь танд дараахь зүйлийг хийх боломжийг олгоно.

Дериватив бүхий энгийн ажлуудын мөн чанарыг ойлгох;

Эдгээр хамгийн энгийн ажлуудыг амжилттай шийдвэрлэх;

Деривативын талаар илүү ноцтой хичээлд бэлтгэ.

Нэгдүгээрт - тааламжтай гэнэтийн бэлэг.)

Деривативын хатуу тодорхойлолт нь хязгаарын онол дээр үндэслэсэн бөгөөд энэ нь нэлээд төвөгтэй юм. Энэ бухимдаж байна. Гэхдээ деривативын практик хэрэглээ нь дүрмээр бол ийм өргөн, гүн гүнзгий мэдлэг шаарддаггүй!

Сургууль, их сургуулийн ихэнх ажлыг амжилттай гүйцэтгэхийн тулд мэдэхэд хангалттай хэдхэн нэр томъёо- даалгаврыг ойлгох, мөн хэдхэн дүрэм- үүнийг шийдвэрлэх. Ингээд л болоо. Энэ нь намайг аз жаргалтай болгодог.

Танилцаж эхэлцгээе?)

Нэр томъёо, нэр томъёо.

Анхан шатны математикт олон янзын математик үйлдлүүд байдаг. Нэмэх, хасах, үржүүлэх, нэмэгдүүлэх, логарифм гэх мэт. Хэрэв та эдгээр үйлдлүүдэд нэг үйлдлийг нэмбэл анхан шатны математик илүү өндөр болно. Энэ шинэ үйл ажиллагаа гэж нэрлэгддэг ялгах.Энэ үйлдлийн тодорхойлолт, утгыг тусдаа хичээлээр хэлэлцэх болно.

Эндээс ялгах нь функц дээрх математикийн үйлдэл гэдгийг ойлгох нь чухал. Бид ямар ч функцийг авч, тодорхой дүрмийн дагуу хувиргадаг. Үр дүн нь шинэ функц байх болно. Энэ шинэ функцийг дараах нэрээр нэрлэдэг. дериватив.

Ялгаварлах- функц дээрх үйлдэл.

Дериватив- энэ үйл ажиллагааны үр дүн.

Яг л жишээ нь, нийлбэр- нэмэлтийн үр дүн. Эсвэл хувийн- хуваагдлын үр дүн.

Нөхцөлүүдийг мэдэж байгаа тул та ядаж даалгавруудыг ойлгож чадна.) Томъёо нь дараах байдалтай байна. функцийн деривативыг олох; деривативыг авах; функцийг ялгах; деривативыг тооцоолохгэх мэт. Энэ бүгд нэг ба ижил.Мэдээжийн хэрэг, деривативыг олох (ялгаалах) нь асуудлыг шийдэх алхамуудын зөвхөн нэг нь болох илүү төвөгтэй ажлууд байдаг.

Деривативыг функцын баруун дээд талд зураасаар тэмдэглэнэ. Үүнтэй адил: у"эсвэл f"(x)эсвэл S"(t)гэх мэт.

Уншиж байна igrek stroke, ef stroke from x, es stroke from te,За, чи ойлгож байна ...)

Анхны тоо нь тодорхой функцийн деривативыг мөн илэрхийлж болно, жишээлбэл: (2х+3)", (х 3 )" , (синкс)"гэх мэт. Ихэнхдээ деривативуудыг дифференциал ашиглан тэмдэглэдэг боловч бид энэ хичээл дээр ийм тэмдэглэгээг авч үзэхгүй.

Бид даалгавруудыг ойлгож сурсан гэж бодъё. Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах л үлдлээ.) Дахин сануулъя: деривативыг олох нь тодорхой дүрмийн дагуу функцийг хувиргах.Гайхалтай нь эдгээр дүрмүүд маш цөөхөн байдаг.

Функцийн деривативыг олохын тулд та зөвхөн гурван зүйлийг мэдэх хэрэгтэй. Бүх ялгаанууд дээр тогтдог гурван багана. Энд эдгээр гурван багана байна:

1. Деривативын хүснэгт (ялгаалах томъёо).

3. Комплекс функцийн дериватив.

Дарааллаар нь эхэлцгээе. Энэ хичээлээр бид деривативын хүснэгтийг үзэх болно.

Деривативын хүснэгт.

Дэлхий дээр хязгааргүй олон тооны функц байдаг. Энэ багцын дунд практик хэрэглээнд хамгийн чухал функцууд байдаг. Эдгээр функцууд нь байгалийн бүх хуулиудад байдаг. Тоосго гэх мэт эдгээр функцүүдээс та бусад бүх зүйлийг барьж болно. Энэ ангиллын функцийг нэрлэдэг үндсэн функцууд.Сургуульд эдгээр функцуудыг судалдаг - шугаман, квадрат, гипербола гэх мэт.

Функцуудыг "эхнээс нь" ялгах, i.e. Деривативын тодорхойлолт, хязгаарын онол дээр үндэслэн энэ нь нэлээд хөдөлмөр их шаарддаг зүйл юм. Математикчид ч гэсэн хүмүүс, тийм ээ, тийм!) Тиймээс тэд өөрсдийн (мөн бидний) амьдралыг хялбаршуулсан. Тэд бидний өмнө энгийн функцүүдийн деривативуудыг тооцоолсон. Үр дүн нь бүх зүйл бэлэн болсон деривативын хүснэгт юм.)

Энэ бол хамгийн алдартай функцүүдэд зориулагдсан хавтан юм. Зүүн талд нь энгийн функц, баруун талд нь дериватив байна.

	Чиг үүрэг y	y функцийн дериватив у"
1	C (тогтмол утга)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - дурын тоо)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	гэм х	(нүгэл х)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	арктан х
	arcctg x
4	а x
	д x
5	бүртгэл а x
	ln x ( a = e)

Энэ деривативын хүснэгтийн гурав дахь бүлгийн функцүүдэд анхаарлаа хандуулахыг би зөвлөж байна. Хүчин чадлын функцийн дериватив нь хамгийн түгээмэл биш юмаа гэхэд хамгийн түгээмэл томъёонуудын нэг юм! Та санааг ойлгож байна уу?) Тийм ээ, деривативын хүснэгтийг цээжээр мэдэхийг зөвлөж байна. Дашрамд хэлэхэд энэ нь санагдах шиг хэцүү биш юм. Илүү олон жишээг шийдэхийг хичээ, хүснэгт өөрөө санах болно!)

Таны ойлгож байгаагаар деривативын хүснэгтийн утгыг олох нь хамгийн хэцүү ажил биш юм. Тиймээс ийм даалгаварт нэмэлт чипүүд ихэвчлэн байдаг. Даалгаврын үг хэллэг, эсвэл хүснэгтэд байхгүй байгаа анхны функц дээр ...

Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

1. y = x функцийн деривативыг ол 3

Хүснэгтэнд ийм функц байхгүй байна. Гэхдээ ерөнхий хэлбэрээр (гурав дахь бүлэг) чадлын функцийн дериватив байдаг. Манай тохиолдолд n=3. Тиймээс бид n-ийн оронд гурвыг орлуулж, үр дүнг анхааралтай бичнэ үү.

(х 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Ингээд л болоо.

Хариулт: y" = 3x 2

2. y = sinx функцийн деривативын утгыг х = 0 цэгт ол.

Энэ даалгавар нь эхлээд синусын деривативыг олж, дараа нь утгыг орлуулах ёстой гэсэн үг юм x = 0ижил дериватив руу. Яг ийм дарааллаар!Үгүй бол тэд анхны функцэд тэгийг шууд орлуулах тохиолдол гардаг... Биднээс анхны функцийн утгыг биш харин утгыг олохыг шаарддаг. түүний дериватив.Дериватив нь шинэ функц гэдгийг танд сануулъя.

Таблетыг ашиглан бид синус ба холбогдох деривативыг олно.

y" = (sin x)" = cosx

Бид тэгийг дериватив болгон орлуулна:

y"(0) = cos 0 = 1

Энэ хариулт байх болно.

3. Функцийг ялгах:

Юу вэ, энэ нь сүнслэг нөлөө үзүүлдэг үү?) Деривативын хүснэгтэд ийм функц байхгүй.

Функцийг ялгах нь зөвхөн энэ функцийн деривативыг олох явдал гэдгийг сануулъя. Хэрэв та анхан шатны тригонометрийг мартсан бол манай функцийн деривативыг хайх нь нэлээд төвөгтэй юм. Хүснэгт нь тус болохгүй ...

Гэхдээ хэрэв бид харах юм бол бидний үүрэг давхар өнцгийн косинус, тэгвэл бүх зүйл тэр дороо сайжирна!

Тийм ээ, тийм! Анхны функцийг хувиргадаг гэдгийг санаарай ялгахын өмнөнэлээд хүлээн зөвшөөрөгдсөн! Мөн энэ нь амьдралыг ихээхэн хөнгөвчлөхөд хүргэдэг. Давхар өнцгийн косинусын томъёог ашиглан:

Тэдгээр. бидний төвөгтэй функц бол үүнээс өөр зүйл биш юм y = cosx. Мөн энэ бол хүснэгтийн функц юм. Бид нэн даруй авна:

Хариулт: y" = - sin x.

Ахисан түвшний төгсөгчид болон оюутнуудад зориулсан жишээ:

4. Функцийн деривативыг ол:

Мэдээжийн хэрэг деривативын хүснэгтэд ийм функц байхгүй. Гэхдээ хэрэв та анхан шатны математикийг санаж байвал хүч чадалтай үйлдлүүд ... Тэгвэл энэ функцийг хялбарчлах бүрэн боломжтой. Үүнтэй адил:

Аравны нэгийн х нь аль хэдийн хүснэгтийн функц юм! Гурав дахь бүлэг, n=1/10. Бид томъёоны дагуу шууд бичнэ:

Ингээд л болоо. Энэ хариулт байх болно.

Ялгах эхний багана болох деривативын хүснэгтээр бүх зүйл тодорхой байгаа гэж найдаж байна. Үлдсэн хоёр халимтай харьцах хэвээр байна. Дараагийн хичээлээр бид ялгах дүрмийг сурах болно.

Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив.

Танилцуулга.

Эдгээр арга зүйн боловсруулалтууд нь Үйлдвэр, барилгын инженерийн факультетийн оюутнуудад зориулагдсан болно. Тэдгээрийг математикийн хичээлийн хөтөлбөртэй уялдуулан "Нэг хувьсагчийн функцийн дифференциал тооцоо" хэсэгт эмхэтгэсэн.

Бүтээлүүд нь нэг арга зүйн удирдамжийг төлөөлдөг бөгөөд үүнд: онолын товч мэдээлэл; Эдгээр шийдлийн нарийвчилсан шийдэл, тайлбар бүхий "стандарт" асуудал, дасгалууд; туршилтын сонголтууд.

Догол мөр бүрийн төгсгөлд нэмэлт дасгалууд байдаг. Энэхүү хөгжүүлэлтийн бүтэц нь тэдгээрийг багшийн хамгийн бага туслалцаатайгаар тухайн хэсгийг бие даан эзэмшихэд тохиромжтой болгодог.

§1. Деривативын тодорхойлолт.

Механик ба геометрийн утга

дериватив.

Дериватив гэдэг ойлголт нь 17-р зуунд үүссэн математик шинжилгээний хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Деривативын тухай ойлголт үүсэх нь түүхэн хоёр асуудалтай холбоотой байдаг: ээлжлэн хөдөлгөөний хурдны асуудал ба муруйн шүргэгчийн асуудал.

Эдгээр асуудлууд нь өөр өөр агуулгатай хэдий ч функц дээр гүйцэтгэх ёстой ижил математикийн үйлдлүүдэд хүргэдэг. Үүнийг функцийг ялгах үйлдэл гэж нэрлэдэг. Ялгах үйлдлийн үр дүнг дериватив гэж нэрлэдэг.

Тэгэхээр x0 цэг дээрх y=f(x) функцийн дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар (хэрэв байгаа бол) юм.
цагт
.

Деривативыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
.

Тиймээс, тодорхойлолтоор

Тэмдгийг мөн деривативыг тэмдэглэхэд ашигладаг
.

Деривативын механик утга.

Хэрэв s=s(t) нь материаллаг цэгийн тэгш шулуун хөдөлгөөний хууль бол
t цаг дээрх энэ цэгийн хурд.

Деривативын геометрийн утга.

Хэрэв y=f(x) функц цэг дээр деривативтай бол , дараа нь тухайн цэг дээрх функцийн графикт шүргэгчийн өнцгийн коэффициент
тэнцүү байна
.

Жишээ.

Функцийн деривативыг ол
цэг дээр =2:

1) Үүнд нэг оноо өгье =2 өсөлт
. Үүнийг анхаарна уу.

2) Цэг дэх функцийн өсөлтийг ол =2:

3) Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааг үүсгэцгээе:

харьцааны хязгаарыг олъё
:

.

Тиймээс,
.

§ 2. Заримын дериватив

хамгийн энгийн функцууд.

Оюутан y=x,y= гэсэн тусгай функцийн деривативыг хэрхэн тооцоолох талаар сурах хэрэгтэй ерөнхийдөө = .

y=x функцийн деривативыг олъё.

тэдгээр. (x)′=1.

Функцийн деривативыг олъё

Дериватив

Болъё
Дараа нь

Хүчин чадлын функцийн деривативуудын илэрхийлэлд хэв маягийг анзаарахад хялбар байдаг
n=1,2,3-тай.

Тиймээс,

. (1)

Энэ томъёо нь ямар ч бодит n-д хүчинтэй.

Ялангуяа (1) томъёог ашиглан бид:

;

.

Жишээ.

Функцийн деривативыг ол

.

.

Энэ функц нь хэлбэрийн функцийн онцгой тохиолдол юм

цагт
.

(1) томъёог ашиглан бид байна

.

y=sin x ба y=cos x функцүүдийн деривативууд.

y=sinx гэж үзье.

∆x-д хуваавал бид олж авна

∆x→0-ийн хязгаарт хүрч, бид байна

y=cosx гэж үзье.

∆x→0-ийн хязгаарт хүрч, бид олж авна

;
. (2)

§3. Ялгаварлах үндсэн дүрмүүд.

Ялгах дүрмийг авч үзье.

Теорем1 . Хэрэв u=u(x) ба v=v(x) функцууд өгөгдсөн цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол энэ үед тэдгээрийн нийлбэр мөн дифференциалагдах ба нийлбэрийн дериватив нь гишүүн орнуудын деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. : (u+v)"=u"+v".(3 )

Баталгаа: y=f(x)=u(x)+v(x) функцийг авч үзье.

Аргумент x-ийн ∆x өсөлт нь u ба v функцүүдийн ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) нэмэгдлүүдтэй тохирч байна. Дараа нь y функц нэмэгдэх болно

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Тиймээс,

Тэгэхээр, (u+v)"=u"+v".

Теорем2. Хэрэв u=u(x) ба v=v(x) функцүүд өгөгдсөн цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол тэдгээрийн үржвэр нь ижил цэгт дифференциалагдах боломжтой. Энэ тохиолдолд үржвэрийн деривативыг дараах томъёогоор олно. uv)"=u"v+uv". (4)

Баталгаа: y=uv байг, энд u ба v нь x-ийн зарим дифференциалагдах функцууд байна. x-д ∆x-ийн өсөлтийг өгье, тэгвэл u ∆u, v нь ∆v, y нь ∆y-ийн өсөлтийг хүлээн авна.

Бидэнд y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), эсвэл байна

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Иймд ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Эндээс

∆x→0-ийн хязгаарт хүрч, u ба v нь ∆x-ээс хамаарахгүй гэдгийг харгалзан үзвэл бид дараах байдалтай болно.

Теорем 3. Хоёр функцийн хуваагчийн дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагчийн квадраттай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь ногдол ашгийн деривативын үржвэр ба хуваагчийн үржвэрийн зөрүү юм. хуваагчийн деривативаар ногдол ашиг, i.e.

Хэрэв
Тэр
(5)

Теорем 4.Тогтмолын дериватив нь тэг, i.e. хэрэв y=C бол C=const бол у"=0.

Теорем 5.Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж болно, i.e. хэрэв y=Cu(x), энд С=const бол y"=Cu"(x).

Жишээ 1.

Функцийн деривативыг ол

.

Энэ функц нь хэлбэртэй байна
, энд u=x,v=cosx. Ялгах дүрмийг (4) ашигласнаар бид олдог

.

Жишээ 2.

Функцийн деривативыг ол

.

(5) томъёог хэрэглэцгээе.

Энд
;
.

Даалгаврууд.

Дараах функцүүдийн деривативуудыг ол.

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Энэ нийтлэлд бид нэг хувьсагчийн функцийн дериватив сэдвээр цаашдын бүх онолыг үндэслэх үндсэн ойлголтуудыг өгөх болно.

Зам x нь f(x) функцийн аргумент бөгөөд тэгээс ялгаатай жижиг тоо юм.

("delta x"-г уншина уу) гэж нэрлэдэг функцийн аргументыг нэмэгдүүлэх. Зураг дээр улаан шугам нь аргумент дахь х утгаас утга руу шилжихийг харуулж байна (тиймээс аргументийн "өсгөх" нэрний мөн чанар).

Аргументийн утгаас функцийн утгууд руу шилжих үед функц нь интервал дээр монотон байвал зохих ёсоор өөрчлөгдөнө. Ялгаа гэж нэрлэдэг f(x) функцийн өсөлт, энэ аргументын өсөлттэй харгалзах. Зураг дээр функцийн өсөлтийг цэнхэр шугамаар харуулав.

Тодорхой жишээн дээр эдгээр ойлголтуудыг авч үзье.

Жишээлбэл, функцийг авч үзье . Аргументийн цэг болон өсөлтийг засъя. Энэ тохиолдолд -аас шилжих үед функцийн өсөлт нь тэнцүү байх болно

Сөрөг өсөлт нь сегмент дээрх функц буурч байгааг илтгэнэ.

График дүрслэл

Нэг цэг дэх функцийн деривативыг тодорхойлох.

f(x) функцийг (a; b) интервал дээр тодорхойлж, энэ интервалын цэгүүд байг. Цэг дэх f(x) функцийн деривативфункцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг. Томилогдсон .

Сүүлийн хязгаар нь тодорхой эцсийн утгыг авах үед бид оршихуйн тухай ярьдаг цэг дээрх хязгаарлагдмал дериватив. Хэрвээ хязгаар нь хязгааргүй бол тэд ингэж хэлдэг дериватив нь тухайн цэг дээр хязгааргүй байдаг. Хэрэв хязгаар байхгүй бол Энэ цэг дэх функцийн дериватив байхгүй байна.

f(x) функцийг дуудна цэг дээр ялгах боломжтой, энэ нь хязгаарлагдмал деривативтай байх үед.

Хэрэв f(x) функц нь тодорхой интервалын (a; b) цэг бүрт дифференциалагдах боломжтой бол функцийг энэ интервал дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. Тиймээс (a; b) интервалаас ямар ч х цэг нь энэ цэг дэх функцийн деривативын утгатай холбогдож болно, өөрөөр хэлбэл, бид шинэ функцийг тодорхойлох боломжтой болно. (a; b) интервал дээрх f(x) функцийн дериватив.

Деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах.

Цэг дэх ба интервал дээрх функцийн деривативын тухай ойлголтуудын мөн чанарыг ялгаж үзье: цэг дээрх функцийн уламжлал нь тоо, интервал дээрх функцийн дериватив нь функц юм.

Зургийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд үүнийг жишээгээр харцгаая. Ялгахдаа бид деривативын тодорхойлолтыг ашиглах болно, өөрөөр хэлбэл бид хязгаарыг олох болно. Хэрэв хүндрэл гарвал онолын хэсэгт хандахыг зөвлөж байна.

Жишээ.

Тодорхойлолтыг ашиглан цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл.

Нэгэнт функцийн деривативыг тухайн цэгээс хайж байгаа тул хариулт нь тоо агуулсан байх ёстой. Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг бичиж, тригонометрийн томъёог ашиглая:

Дериватив гэж юу вэ?
Дериватив функцийн тодорхойлолт ба утга

Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив ба түүний хэрэглээний талаархи миний зохиогчийн хичээлд энэ нийтлэлийг гэнэтийн байдлаар байрлуулсан нь олон хүнийг гайхшруулах болно. Эцсийн эцэст, сургуулиас хойшхи байдлаар: стандарт сурах бичиг нь юуны түрүүнд дериватив, түүний геометр, механик утгын тодорхойлолтыг өгдөг. Дараа нь оюутнууд функцүүдийн деривативуудыг тодорхойлолтоор нь олдог бөгөөд үнэн хэрэгтээ зөвхөн дараа нь тэд ялгах аргыг төгс болгодог. дериватив хүснэгтүүд.

Гэхдээ миний бодлоор дараах хандлага нь илүү прагматик юм: юуны өмнө САЙН ОЙЛГОХ нь зүйтэй юм. функцийн хязгаар, ялангуяа, хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнүүд. Гол нь үүнд л байгаа юм деривативын тодорхойлолт нь хязгаар гэсэн ойлголт дээр суурилдаг, энэ нь сургуулийн хичээлд муугаар тооцогддог. Тийм ч учраас мэдлэгийн боржингийн залуу хэрэглэгчдийн нэлээд хэсэг нь деривативын мөн чанарыг ойлгодоггүй. Тиймээс хэрэв та дифференциал тооцооны талаар бага ойлголттой эсвэл ухаалаг тархи энэ ачааг олон жилийн турш амжилттай арилгаж чадсан бол дараахаас эхэлнэ үү. функцийн хязгаарлалт. Үүний зэрэгцээ, тэдний шийдлийг мастер / санаарай.

Үүнтэй ижил практик мэдрэмж нь эхлээд давуу талтай гэдгийг заадаг дериватив олж сурах, үүнд нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативууд. Онол бол онол, гэхдээ тэдний хэлснээр та үргэлж ялгахыг хүсдэг. Үүнтэй холбогдуулан жагсаасан үндсэн хичээлүүдээр ажиллах нь дээр, магадгүй ялгах мастерүйлдлийнхээ мөн чанарыг ч ухааралгүйгээр.

Би нийтлэлийг уншсаны дараа энэ хуудасны материалаас эхлэхийг зөвлөж байна. Деривативтай холбоотой хамгийн энгийн асуудлууд, ялангуяа функцийн графиктай шүргэгчийн асуудлыг авч үзнэ. Гэхдээ та хүлээж болно. Баримт нь деривативын олон хэрэглээ үүнийг ойлгохыг шаарддаггүй бөгөөд онолын хичээл нэлээд хожуу гарч ирсэн нь гайхах зүйл биш юм - би тайлбарлах шаардлагатай үед өсөх/багарах интервал ба экстремумыг олохфункцууд. Түүгээр ч зогсохгүй тэрээр энэ сэдвээр нэлээд удаан ажилласан. Функц ба графикууд” Би үүнийг эрт тавихаар шийдсэн хүртэл.

Иймд эрхэм цайны савнуудаа, ханалт нь амтгүй, бүрэн бус байх тул өлсгөлөн мал шиг үүсмэлийн мөн чанарыг шингээх гэж яарах хэрэггүй.

Функцийн өсөлт, бууралт, максимум, минимум гэсэн ойлголт

Олон сурах бичгүүдэд деривативын тухай ойлголтыг зарим практик бодлогын тусламжтайгаар оруулсан байдаг бөгөөд би бас нэгэн сонирхолтой жишээг оллоо. Бид янз бүрийн аргаар хүрч болох хот руу аялах гэж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Муруй ороомгийн замыг нэн даруй хаяж, зөвхөн шулуун хурдны замыг авч үзье. Гэсэн хэдий ч шулуун шугамын чиглэлүүд өөр өөр байдаг: та гөлгөр хурдны замаар хот руу хүрч болно. Эсвэл уулархаг хурдны зам дагуу - дээш доош, дээш доош. Өөр нэг зам зөвхөн өгсөж, өөр нэг зам үргэлж урууддаг. Экстрим сонирхогчид эгц хад, эгц авиралт бүхий хавцлаар дамжин өнгөрөх замыг сонгох болно.

Гэхдээ таны хүссэн зүйлээс үл хамааран тухайн газар нутгийг мэдэх эсвэл дор хаяж топографийн зурагтай байхыг зөвлөж байна. Хэрэв ийм мэдээлэл байхгүй бол яах вэ? Эцсийн эцэст та жишээлбэл, гөлгөр замыг сонгож болно, гэхдээ үр дүнд нь хөгжилтэй Финчүүдтэй цанын налуу дээр бүдрэх болно. Навигатор эсвэл бүр хиймэл дагуулын зураг найдвартай мэдээлэл өгөх нь үнэн биш юм. Тиймээс математик ашиглан замын хөнгөвчлөх ажлыг албан ёсны болгох нь сайхан байх болно.

Зарим замыг харцгаая (хажуу талаас нь харах):

Ямар ч тохиолдолд би танд энгийн баримтыг сануулж байна: аялал тохиолддог зүүнээс баруун тийш. Энгийн байхын тулд бид функц гэж үздэг тасралтгүйавч үзэж буй талбайд.

Энэ графикийн онцлог юу вэ?

Интервалтайгаар функц нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл түүний дараагийн утга бүр илүүөмнөх нэг. Товчхондоо хуваарь нь явж байна доороос дээш(бид толгод авирч байна). Мөн интервал дээр функц буурдаг- дараагийн утга бүр багаөмнөх бөгөөд бидний хуваарь ажиллаж байна дээрээс доош(бид налуугаар бууж байна).

Мөн онцгой цэгүүдэд анхаарлаа хандуулцгаая. Бидний хүрэх цэг дээр дээд тал нь, тэр нь байдагутга нь хамгийн том (хамгийн өндөр) байх замын ийм хэсэг. Үүний зэрэгцээ энэ нь хүрч байна хамгийн бага, Мөн байдагутга нь хамгийн бага (хамгийн бага) байх түүний хөрш.

Бид ангидаа илүү хатуу нэр томъёо, тодорхойлолтыг авч үзэх болно. функцийн экстремумын тухай, гэхдээ одоо өөр нэг чухал шинж чанарыг судалж үзье: интервал дээр функц нь нэмэгдэж байгаа боловч нэмэгддэг өөр өөр хурдтай. Таны анхаарлыг татдаг хамгийн эхний зүйл бол график интервалын явцад дээшлэх явдал юм хамаагүй дажгүй, интервал дээр бодвол . Математикийн багаж ашиглан замын эгц байдлыг хэмжих боломжтой юу?

Функцийн өөрчлөлтийн хурд

Энэ санаа нь: бага зэрэг үнэ цэнийг авч үзье ("delta x"-г уншина уу), бид үүнийг дуудах болно аргументийн өсөлт, мөн замынхаа янз бүрийн цэгүүдэд "оролдож" эхэлцгээе:

1) Хамгийн зүүн цэгийг харцгаая: зайг даван туулж, налууг өндөрт авирдаг (ногоон шугам). Тоо хэмжээ гэж нэрлэдэг функцийн өсөлт, ба энэ тохиолдолд энэ өсөлт эерэг байна (тэнхлэгийн дагуух утгуудын ялгаа тэгээс их байна). Замынхаа эгц байдлын хэмжүүр болох харьцааг бий болгоё. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь маш тодорхой тоо бөгөөд хоёр өсөлт нь эерэг тул .

Анхаар! Тэмдэглэлүүд нь НЭГтэмдэг, өөрөөр хэлбэл та "X" -ээс "гурвалжин" -ыг "урагдаад" эдгээр үсгийг тусад нь авч үзэх боломжгүй. Мэдээжийн хэрэг, тайлбар нь функцийн өсөлтийн тэмдэгт хамаарна.

Үүссэн бутархайн мөн чанарыг илүү утга учиртай судалж үзье. Эхлээд 20 метрийн өндөрт (зүүн хар цэг дээр) байцгаая. Метрүүдийн зайг (зүүн улаан шугам) туулсны дараа бид 60 метрийн өндөрт гарах болно. Дараа нь функцийн өсөлт нь байх болно метр (ногоон шугам) ба: . Тиймээс, метр бүртзамын энэ хэсэг өндөр нэмэгддэг дунджаар 4 метрээр... авиралтын хэрэгслээ мартсан уу? =) Өөрөөр хэлбэл, бүтээгдсэн хамаарал нь функцийн ӨӨРЧЛӨЛТИЙН ДУНДАЖ ХҮН (энэ тохиолдолд өсөлт)-ийг тодорхойлдог.

Анхаарна уу : Тухайн жишээний тоон утгууд нь зөвхөн зургийн пропорциональ хэмжээтэй тохирч байна.

2) Одоо хамгийн баруун хар цэгээс ижил зайд явцгаая. Энд өсөлт нь илүү аажмаар явагддаг тул өсөлт (час улаан шугам) харьцангуй бага бөгөөд өмнөх тохиолдолтой харьцуулахад харьцаа нь маш даруухан байх болно. Харьцангуй хэлэхэд, метр ба функциональ өсөлтийн хурднь . Өөрөөр хэлбэл, замын метр бүрт энд байдаг дунджаархагас метрийн өсөлт.

3) Уулын энгэрт бяцхан адал явдал. Ординатын тэнхлэг дээр байрлах дээд хар цэгийг харцгаая. Энэ бол 50 метрийн тэмдэг гэж бодъё. Бид дахин зайг даван туулж, үүний үр дүнд бид 30 метрийн түвшинд доошоо орлоо. Хөдөлгөөн явагдаж байгаа тул дээрээс доош(тэнхлэгийн "эсрэг" чиглэлд), дараа нь эцсийн функцийн өсөлт (өндөр) сөрөг байх болно: метр (зураг дээрх хүрэн сегмент). Мөн энэ тохиолдолд бид аль хэдийн ярьж байна буурах хурдОнцлогууд: , өөрөөр хэлбэл, энэ хэсгийн замын метр тутамд өндөр нь буурдаг дунджаар 2 метрээр. Тав дахь цэг дээр хувцасаа анхаарч үзээрэй.

Одоо өөрөөсөө асуулт асууя: "Хэмжих стандарт" -ын ямар утгыг ашиглах нь дээр вэ? Энэ нь ойлгомжтой, 10 метр бол маш бүдүүлэг юм. Сайн арваад гүвээ нь тэдгээрт амархан багтах болно. Ямар ч овойлттой байсан доор нь гүн хавцал байж магадгүй бөгөөд хэдхэн метрийн дараа түүний нөгөө тал нь огцом дээшилдэг. Тиймээс, арван метрийн хувьд бид харьцаагаар дамжин өнгөрөх замын ийм хэсгүүдийн ойлгомжтой тайлбарыг олж авахгүй.

Дээрх хэлэлцүүлгээс дараах дүгнэлтийг гаргав. үнэ цэнэ бага байх тусам, бид замын топографийг илүү нарийвчлалтай дүрслэх болно. Үүнээс гадна дараахь баримтууд үнэн юм.

– Хэнд ч зориулавөргөх цэгүүд та тодорхой өсөлтийн хязгаарт тохирох утгыг (маш бага байсан ч) сонгож болно. Энэ нь харгалзах өндрийн өсөлт эерэг байх баталгаатай байх бөгөөд тэгш бус байдал нь эдгээр интервалын цэг бүрт функцийн өсөлтийг зөв зааж өгнө гэсэн үг юм.

- Үүний нэгэн адил, ямар ч хувьдналуу цэг нь энэ налуу дээр бүрэн тохирох утга байна. Иймээс өндрийн харгалзах өсөлт нь тодорхой сөрөг бөгөөд тэгш бус байдал нь өгөгдсөн интервалын цэг бүрт функцийн бууралтыг зөв харуулах болно.

– Ялангуяа сонирхолтой тохиолдол бол функцийн өөрчлөлтийн хурд тэг байх явдал юм: . Нэгдүгээрт, өндрийн тэг өсөлт () нь гөлгөр замын шинж тэмдэг юм. Хоёрдугаарт, бусад сонирхолтой нөхцөл байдал байдаг бөгөөд тэдгээрийн жишээг зураг дээр харж байна. Хувь тавилан биднийг бүргэдтэй дов толгод эсвэл мэлхий шуугих жалга довны ёроолд хүргэсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв та ямар нэгэн чиглэлд жижиг алхам хийвэл өндрийн өөрчлөлт нь үл тоомсорлох бөгөөд функцийн өөрчлөлтийн хурд нь үнэндээ тэг гэж хэлж болно. Энэ бол яг цэг дээр ажиглагдсан дүр зураг юм.

Тиймээс бид функцийн өөрчлөлтийн хурдыг төгс тодорхойлох гайхалтай боломжийг олж авлаа. Эцсийн эцэст, математик шинжилгээ нь аргументийн өсөлтийг тэг рүү чиглүүлэх боломжийг олгодог: өөрөөр хэлбэл үүнийг хийх боломжтой. хязгааргүй жижиг.

Үүний үр дүнд өөр нэг логик асуулт гарч ирнэ: зам, түүний хуваарийг олох боломжтой юу? өөр функц, аль бидэнд мэдэгдэнэбүх хавтгай хэсгүүдийн тухай, өгсөх, уруудах, оргилууд, хөндийгүүд, түүнчлэн замын дагуух цэг бүрийн өсөлт/бууралтын хурд?

Дериватив гэж юу вэ? Деривативын тодорхойлолт.
Дериватив ба дифференциалын геометрийн утга

Маш хурдан биш, анхааралтай уншина уу - материал нь энгийн бөгөөд хүн бүрт хүртээмжтэй! Хэрэв зарим газарт ямар нэг зүйл тодорхойгүй байвал та дараа нь нийтлэл рүү буцаж болно. Би илүү их зүйлийг хэлье, бүх зүйлийг сайтар ойлгохын тулд онолыг хэд хэдэн удаа судлах нь ашигтай байдаг (зөвлөгөө нь боловсролын үйл явцад дээд математик чухал үүрэг гүйцэтгэдэг "техникийн" оюутнуудад онцгой ач холбогдолтой юм).

Мэдээжийн хэрэг, деривативын тодорхойлолтод бид үүнийг дараах байдлаар орлуулдаг.

Бид юунд хүрэв? Тэгээд бид хуулийн дагуу чиг үүргийнх нь төлөө гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн дагуу тавьдаг бусад функцгэж нэрлэдэг дериватив функц(эсвэл зүгээр л дериватив).

Дериватив нь тодорхойлогддог өөрчлөлтийн хурдфункцууд Яаж? Энэ санаа нь нийтлэлийн эхнээс л улаан утас шиг урсдаг. Зарим зүйлийг авч үзье тодорхойлолтын домэйнфункцууд Өгөгдсөн цэг дээр функц дифференциалагдах байг. Дараа нь:

1) Хэрэв бол функц нь цэг дээр нэмэгдэнэ. Бас байгаа нь ойлгомжтой интервал(маш жижиг ч гэсэн) функц өсөх цэгийг агуулсан бөгөөд түүний график нь "доороос дээш" явдаг.

2) Хэрэв бол функц нь цэг дээр буурна. Мөн функц буурах цэгийг агуулсан интервал байдаг (график "дээрээс доош" явдаг).

3) Хэрэв , тэгвэл хязгааргүй ойрхонцэгийн ойролцоо функц нь хурдаа тогтмол байлгадаг. Энэ нь тэмдэглэснээр тогтмол функцээр тохиолддог функцийн чухал цэгүүдэд, ялангуяа хамгийн бага ба дээд цэгт.

Бага зэрэг семантик. "Ялгах" үйл үг нь өргөн утгаараа ямар утгатай вэ? Ялгана гэдэг нь ямар нэг онцлог шинжийг тодруулах гэсэн үг. Функцийг ялгах замаар бид түүний өөрчлөлтийн хурдыг функцийн дериватив хэлбэрээр "тусгаарлана". Дашрамд хэлэхэд "үүсмэл" гэдэг үг юу гэсэн үг вэ? Чиг үүрэг болсонфункцээс.

Нэр томьёог деривативын механик утгаар маш амжилттай тайлбарладаг :
Цаг хугацаанаас хамааран биеийн координат өөрчлөгдөх хууль, тухайн биеийн хөдөлгөөний хурдны функцийг авч үзье. Функц нь биеийн координатын өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог тул цаг хугацааны хувьд функцийн анхны дериватив юм: . Хэрэв "биеийн хөдөлгөөн" гэсэн ойлголт байгальд байхгүй байсан бол байхгүй байх байсан дериватив"Биеийн хурд" гэсэн ойлголт.

Биеийн хурдатгал нь хурдны өөрчлөлтийн хурд, тиймээс: . Хэрэв "биеийн хөдөлгөөн", "биеийн хурд" гэсэн анхны ойлголтууд байгальд байхгүй байсан бол байхгүй байх байсан дериватив"Биеийн хурдатгал" гэсэн ойлголт.