Эхлэхийн тулд ерөнхийдөө энгийн бутархай ба аравтын бутархай гэсэн хоёр төрлийн бутархай байдаг гэж хэлэх ёстой. Энгийн бутархайг дараах байдлаар бичнэ.
Аравтын бутархайг өөрөөр бичдэг:

Энгийн бутархай нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ: дээд талд нь тоологч, доод талд хуваагч байна. Тоолуур ба хуваагчийг бутархай шугамаар тусгаарлана. Тиймээс санаарай:

Аливаа бутархай нь бүхэл бүтэн хэсэг юм. Ихэвчлэн бүхэлд нь авч үздэг 1 (нэгж). Бутархайн хуваагч нь бүхэл хэдэн хэсэгт хуваагдаж байгааг харуулдаг ( 1 ), тоологч нь хэдэн хэсгийг авсан болохыг илэрхийлнэ. Хэрэв бид бялууг 6 тэнцүү хэсэгт хуваасан бол (математикт тэд хэлдэг хувьцаа ), дараа нь бялууны хэсэг бүр 1/6-тай тэнцүү байх болно. Хэрэв Вася 4 ширхэг идсэн бол 4/6 идсэн гэсэн үг.

Нөгөөтэйгүүр, ташуу зураас нь хуваах тэмдэгээс өөр зүйл биш юм. Тиймээс бутархай гэдэг нь тоо ба хуваагч гэсэн хоёр тооны хуваалт юм. Асуудлын текст эсвэл жор дээр бутархайг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг: 2/3, 1/2 гэх мэт. Зарим фракцууд өөрийн гэсэн нэртэй байдаг, жишээлбэл, 1/2 - "хагас", 1/3 - "гурав дахь", 1/4 - "дөрөвний нэг"
Одоо ямар төрлийн энгийн бутархай байдаг болохыг олж мэдье.

2 Энгийн бутархайн төрлүүд

Зөв, буруу, холимог гэсэн гурван төрлийн энгийн бутархай байдаг.

Зөв бутархай

Хэрэв тоологч нь хуваагчаас бага бол ийм бутархайг дуудна зөв,Жишээ нь: Зөв бутархай нь үргэлж 1-ээс бага байдаг.

Буруу бутархай

Хэрэв тоологч нь хуваагчаас их эсвэл хуваагчтай тэнцүү бол ийм бутархайг нэрлэдэг. буруу, Жишээ нь:

Бутархай бутархай нь нэгээс их (хэрэв тоо нь хуваагчаас их бол) эсвэл нэгтэй тэнцүү (хэрэв тоо нь хуваагчтай тэнцүү бол)

Холимог бутархай

Хэрэв бутархай нь бүхэл тоо (бүхэл тоо) ба зөв бутархай (бутархай хэсэг) -ээс бүрддэг бол ийм бутархайг нэрлэдэг. холимог, Жишээ нь:

Холимог бутархай нь үргэлж нэгээс их байдаг.

3 Бутархай хөрвүүлэлт

Математикийн хувьд ердийн бутархайг ихэвчлэн хувиргах шаардлагатай байдаг, өөрөөр хэлбэл холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргах шаардлагатай болдог. Энэ нь үржүүлэх, хуваах гэх мэт тодорхой үйлдлүүдийг хийхэд зайлшгүй шаардлагатай.

Тэгэхээр, ямар ч холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд бүхэл хэсгийг хуваагчаар үржүүлж, бутархай хэсгийн тоог нэмнэ. Үүссэн дүнг тоологч болгон авч, хуваагчийг ижил хэвээр үлдээнэ, жишээлбэл:

Аливаа буруу бутархайг холимог бутархай болгон хувиргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд тоологчийг хуваагчаар (үлдэгдэлтэй) хуваана. Үр дүн нь бүхэл тоо, үлдсэн хэсэг нь бутархай хэсгийн тоо байх болно, жишээлбэл:

Үүний зэрэгцээ тэд: "Бид бүхэл бүтэн хэсгийг буруу бутархайгаас тусгаарласан" гэж хэлдэг.

Өөр нэг дүрмийг санаж байх хэрэгтэй: Аливаа бүхэл тоог 1 хуваарьтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно, Жишээ нь:

Бутархайг хэрхэн харьцуулах талаар ярилцъя.

4 Бутархайн харьцуулалт

Бутархайг харьцуулахдаа хэд хэдэн хувилбар байж болно: Ижил хуваагчтай бутархайг харьцуулах нь амархан, харин хуваагч нь өөр байвал хамаагүй хэцүү байдаг. Мөн холимог бутархайн харьцуулалт бас байдаг. Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй, одоо бид сонголт бүрийг нарийвчлан авч үзээд бутархайг хэрхэн харьцуулах талаар сурах болно.

Ижил хуваагчтай бутархайг харьцуулах

Ижил хуваагчтай боловч өөр өөр тооны бутархай хоёр бутархайгаас том тоологчтой бутархай нь илүү байна, жишээлбэл:

Бутархайг ижил тоологчтой харьцуулах

Тоологч нь ижил боловч өөр хуваагчтай хоёр бутархайн дотроос бага хуваагчтай бутархай нь илүү байна, жишээлбэл:

Холимог ба буруу бутархайг зөв бутархайтай харьцуулах

Буруу эсвэл холимог бутархай нь зөв бутархайгаас үргэлж их байдаг, жишээлбэл:

Хоёр холимог бутархайг харьцуулах

Холимог бутархай хоёрыг харьцуулахдаа бүхэл хэсэг нь илүү том бутархай, жишээ нь:

Хэрэв холимог бутархайн бүхэл хэсгүүд ижил байвал бутархай хэсэг нь илүү том байна, жишээлбэл:

Бутархайг өөр өөр тоо болон хуваагчтай харьцуулах

Бутархайг хөрвүүлэхгүйгээр өөр өөр тоо болон хуваагчтай харьцуулах боломжгүй. Эхлээд бутархайг ижил хуваагч болгон бууруулж, дараа нь тэдгээрийн тоог харьцуулах ёстой. Тоолуур нь их байх тусмаа бутархай нь их байна. Гэхдээ бид өгүүллийн дараагийн хоёр хэсэгт бутархайг ижил хуваагч руу хэрхэн бууруулах талаар авч үзэх болно. Эхлээд бид бутархайн үндсэн шинж чанарыг авч үзэх ба бутархайг багасгах, дараа нь бутархайг ижил хуваагч болгон шууд бууруулах болно.

5 Бутархайн үндсэн шинж чанар. Бутархай хэсгүүдийг багасгах. GCD-ийн тухай ойлголт.

Санаж байна уу: Та зөвхөн ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах, харьцуулах боломжтой. Хэрэв хуваагч нь өөр бол та эхлээд бутархайг ижил хуваагч руу авчрах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл бутархайн аль нэгийг нь хуваагч нь хоёр дахь бутархайтай ижил болгохын тулд хувиргах хэрэгтэй.

Бутархай нь нэг чухал шинж чанартай байдаг бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг бутархайн үндсэн шинж чанар:

Хэрэв бутархайн хуваагч ба хуваагч хоёулаа ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хуваагдвал бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.

Энэ өмчийн ачаар бид боломжтой бутархайг багасгах:

Бутархайг багасгах гэдэг нь тоо болон хуваагчийг хоёуланг нь ижил тоогоор хуваахыг хэлнэ.(дээрх жишээг харна уу). Бутархайг багасгахад бид үйлдлээ дараах байдлаар бичиж болно.

Ихэнхдээ тэмдэглэлийн дэвтэрт фракцыг дараах байдлаар товчилдог.

Гэхдээ санаарай: та зөвхөн хүчин зүйлийг багасгаж чадна. Хэрэв тоологч эсвэл хуваагч нь нийлбэр эсвэл зөрүүг агуулж байвал та нөхцөлийг багасгаж болохгүй.

Жишээ:

Та эхлээд нийлбэрийг үржүүлэгч рүү хөрвүүлэх хэрэгтэй: Заримдаа их тоотой ажиллахдаа бутархайг багасгахын тулд олоход тохиромжтой байдаг

Тоолуур ба хуваагчийн хамгийн том нийтлэг хуваагч (GCD)Хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)

хэд хэдэн тоо нь эдгээр тоонууд үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг хамгийн том натурал тоо юм.

Хоёр тооны (жишээ нь бутархайн хуваагч ба хуваагч) gcd-ийг олохын тулд та хоёр тоог анхны үржүүлэгч болгон хувааж, хоёуланд нь ижил хүчин зүйлийг тэмдэглэж, эдгээр хүчин зүйлийг үржүүлэх хэрэгтэй. Үүссэн бүтээгдэхүүн нь GCD байх болно. Жишээлбэл, бид бутархайг багасгах хэрэгтэй:

96 ба 36 тоонуудын gcd-г олъё:

GCD нь тоологч болон хуваагч хоёулаа 12-ын хүчин зүйлтэй болохыг харуулж байгаа бөгөөд бид бутархайг хялбархан багасгаж чадна.

6 Заримдаа бутархайг ижил хуваарьт хүргэхийн тулд аль нэг бутархайг багасгахад хангалттай. Гэхдээ ихэвчлэн хоёр фракцын хувьд нэмэлт хүчин зүйлийг сонгох шаардлагатай байдаг. Тэгэхээр:

Бутархайг ижил хуваарьт хэрхэн бууруулах вэ. Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM).

Бутархайг ижил хуваагч болгон бууруулахдаа бид хуваагчийн хувьд эхний болон хоёр дахь хуваарьт хоёуланд нь хуваагдах тоог сонгоно (өөрөөр хэлбэл энэ нь математикийн хувьд хоёр хуваагчийн үржвэр байх болно). Мөн энэ тоо аль болох бага байх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь тоолоход илүү тохиромжтой юм. Тиймээс бид хоёр хуваагчийн LCM-ийг олох ёстой.нь эдгээр тоонуудын аль алинд нь үлдэгдэлгүй хуваагддаг хамгийн бага натурал тоо юм. Заримдаа LCM-ийг амаар олж болно, гэхдээ ихэнхдээ, ялангуяа их тоотой ажиллахдаа та дараах алгоритмыг ашиглан LCM-ийг бичгээр олох хэрэгтэй.

Хэд хэдэн тооны LCM-ийг олохын тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

1. Эдгээр тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваа
2. Хамгийн том өргөтгөлийг аваад эдгээр тоонуудыг бүтээгдэхүүн болгон бич
3. Бусад өргөтгөлүүдээс хамгийн том өргөтгөлд харагдахгүй (эсвэл цөөн удаа тохиолддог) тоог сонгоод бүтээгдэхүүнд нэмнэ үү.
4. Бүтээгдэхүүн дэх бүх тоог үржүүл, энэ нь LCM болно.

Жишээлбэл, 28 ба 21 тоонуудын LCM-ийг олъё:

Гэсэн хэдий ч фракцууддаа буцаж орцгооё. Бид хоёр хуваагчийн LCM-ийг олж эсвэл тооцоолсны дараа бид эдгээр бутархайн тоонуудыг үржүүлэх ёстой. нэмэлт үржүүлэгч. Та тэдгээрийг LCM-ийг харгалзах бутархайн хуваах замаар олж болно, жишээлбэл:

Тиймээс бид бутархайнуудаа ижил хуваагч болгон бууруулсан - 15.

7 Бутархайг нэмэх, хасах

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмэх хэрэгтэй, гэхдээ хуваагчийг ижил хэвээр үлдээх хэрэгтэй, жишээлбэл:

Ижил хуваагчтай бутархайг хасахын тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй, жишээлбэл:

Ижил хуваагчтай холимог бутархайг нэмэх, хасах

Холимог бутархай нэмэхийн тулд та тэдгээрийн бүхэл хэсгийг тусад нь нэмж, дараа нь бутархай хэсгүүдийг нэмж, үр дүнг холимог бутархай хэлбэрээр бичих хэрэгтэй.

Хэрэв бутархай хэсгүүдийг нэмэхдээ буруу бутархай авсан бол түүнээс бүхэл хэсгийг сонгоод бүхэл хэсэгт нэмнэ, жишээлбэл:

Хасах үйлдлийг ижил төстэй байдлаар гүйцэтгэдэг: бүхэл хэсгийг бүхэл хэсгээс, бутархай хэсгийг бутархай хэсгээс хасна.

Хэрэв хасалтын бутархай хэсэг нь хасах бутархай хэсгээс их байвал бид бүх хэсгээс нэгийг нь "зээлдэж", хасах хэсгийг буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь ердийнхөөрөө үргэлжлүүлнэ:

Үүний нэгэн адил бүхэл тооноос бутархайг хасах:

Бүхэл тоо ба бутархайг хэрхэн нэмэх вэ

Бүхэл тоо болон бутархай нэмэхийн тулд та бутархайн өмнө тэр тоог нэмээд холимог бутархай үүсгэнэ, жишээлбэл:

Хэрэв бид бүхэл тоо ба холимог бутархайг нэмэх, бид энэ тоог бутархайн бүхэл хэсэгт нэмнэ, жишээлбэл:

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасахын тулд эхлээд тэдгээрийг ижил хуваагч руу аваачиж, дараа нь ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх (тоологчийг нэмнэ) хийх ёстой.

Хасахдаа бид дараах байдлаар ажиллана.

Хэрэв бид холимог бутархайтай ажиллах юм бол бид тэдгээрийн бутархай хэсгүүдийг ижил хуваагч болгон бууруулж, дараа нь ердийнхөөрөө хасна: бүхэл хэсгийг бүхэлд нь, бутархай хэсгийг бутархай хэсгээс:

8 Бутархайг үржүүлэх, хуваах.

Бутархайг үржүүлэх, хуваах нь нэмэх, хасахаас хамаагүй хялбар байдаг, учир нь тэдгээрийг нэг хуваагч болгон багасгах шаардлагагүй. Бутархайг үржүүлэх, хуваах энгийн дүрмийг санаарай.

Тоолуур ба хуваагч дахь тоог үржүүлэхийн өмнө бутархайг багасгахыг зөвлөж байна, өөрөөр хэлбэл бидний жишээн дээрх хуваагч ба хуваагч дахь ижил хүчин зүйлээс салахыг зөвлөж байна.

Бутархайг натурал тоонд хуваах, та хуваагчийг энэ тоогоор үржүүлж, тоологчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй:

Жишээ нь:

Бутархайг бутархайд хуваах

Нэг бутархайг нөгөөд хуваахын тулд ногдол ашгийг хуваагчийн эсрэгээр (харилцан бутархай) үржүүлэх хэрэгтэй.

Хэрэв бид бутархайг эргүүлбэл, өөрөөр хэлбэл бид тоологч ба хуваагчийг сольсноор бид эсрэг бутархай болно. Бутархайн үржвэр ба түүний урвуу нь нэгийг өгдөг. Математикийн хувьд ийм тоонуудыг харилцан тоо гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, тоонууд - харилцан урвуу, оноос хойш

Тиймээс бутархайг бутархайд хуваахдаа буцаж орцгооё.

Нэг бутархайг нөгөөд хуваахын тулд та ногдол ашгийг хуваагчийн эсрэгээр үржүүлэх хэрэгтэй.:

Жишээ нь:

Үржүүлэхтэй адил холимог бутархайг хуваахдаа эхлээд буруу бутархай болгон хувиргах хэрэгтэй.

Бутархайг бүхэл натурал тоогоор үржүүлэх, хуваах үед, та мөн эдгээр тоог хуваагчтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно 1 .

Тэгээд хэзээ бүхэл тоог бутархайд хуваахэнэ тоог хуваагчтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлнэ 1 :

Хүүхдэд зориулсан "бутархай" математик

Бутархай нь бүхэл бүтэн нэг хэсэг, нэгээс бага гэдэгтэй шууд санал нийлэе. Бид бүхэл бүтэн хэсгийг хэдэн хэсэгт хуваах вэ? Ингээд бид санал нийлж байна. Бид юуг нэгж болгон авч үзэх вэ? Бидний санал нийлж байгаатай адил. Тэд маш эвтэйхэн байдаг, эдгээр фракцууд. Мөн та нэг зүйлийг санаж байх хэрэгтэй: бид бүхэл бүтэн хэсгийг хэдэн хэсэгт хуваахаар шийдсэн нь хуваагч, эдгээр хэсгүүдээс хэд нь хүртэгч юм.

Жишээлбэл, энд нэг түүх байна. Өвс дээр 3 алим байдаг, зараа зөвхөн 2-ыг л авсан. Бүхэл бүтэн (нэгж) бид бүх алимыг авна - бүхэл бүтэн ургац. Гэхдээ бид 3-тай байгаа нь бидний ургац 3 хэсэгт хуваагдсан гэсэн үг юм. 3 нь хуваагч юм. Бүхэл бүтэн ургац (нэгж) нь 3/3, алим бүр нь ургацын 1/3 байна. Зараа 2 алим авсан болохоор ургацынхаа 2/3-ыг авсан гэсэн үг!

Эсвэл та олон хүүхдийн хайртай Lego барилгын багцыг авч болно. Түүний бүх элементүүд өөр өөр хэмжээтэй байдгийг бид аль эрт анзаарсан биз дээ? Мөн хэсэг бүр өөр өөр тооны "батга" цэгүүдтэй байдаг. Тоолж үзье - энд нэг, хоёр, дөрөв, зургаа, бүр найм байна.

Найман цэг бүхий лего "тоосго"-ийг бүхэл (нэгж) гэж үзье. Эхлээд бусадтай харьцуулж үзье. Бид "тоосго" нэгжээ хийхийн тулд 4 цэгтэй хэдэн Lego ширхэг авах шаардлагатай вэ? Зөв, хоёр. Энэ нь 4 оноотой нэг хэсэг нь манай “нэгж”-ийн 1/2 байна гэсэн үг. Бүхэлийг авахын тулд хоёр цэгтэй хэдэн хэсэг авах шаардлагатай вэ? Энэ нь зөв, дөрөв. Тиймээс ийм нэг нарийн ширийн нь 1/4 байна. Нэг цэгтэй хэсэг нь 1/8 байна, учир нь бүхэл бүтэн болгохын тулд 8 хүртэл ийм хэсэг хэрэгтэй болно. Одоо асуудал илүү төвөгтэй байна: бидэнд зургаан цэг бүхий элемент байна. Энэ нь 3 "дөрөв"-ийг эзэлдэг бөгөөд хэрэв та түүнд нэгийг нэмбэл бүтэн (нэгж) болно. Тиймээс эхний жишээ энд байна: 3/4+1/4=4/4 эсвэл 1 (хэрэв тоо болон хуваагч тэнцүү бол энэ нь нэг юм!)

Энэ нь Легосоор хийж болох цорын ганц туршилтаас хол байна. Бутархайгаар олон зүйл дээр санал нийлж болно. Нэг зүйлийг дөрөвний нэгээр нь биш наймны нэгээр нь тоолвол яах вэ? Тэгээд бидний хуваагч 8 байх уу? Зургийг харцгаая: нэгж нь найман цэг бүхий "тоосго" юм. 1/2 - энэ нь 4/8, 1/4 = 2/8 болж хувирна. Мөн энэ бол та бутархайг хэрхэн багасгах тухай түүх юм. Гэхдээ энэ сэдэв үнэхээр жаахан хүлээх болно!

Бутархайтай жишээнүүд нь математикийн үндсэн элементүүдийн нэг юм. Бутархайтай олон төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг. Энэ төрлийн жишээг шийдвэрлэх дэлгэрэнгүй зааврыг доор харуулав.

Бутархайтай жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ - ерөнхий дүрмүүд

Нэмэлт, хасах, үржүүлэх, хуваах гэх мэт аль ч төрлийн бутархайтай жишээг шийдэхийн тулд та үндсэн дүрмийг мэдэх хэрэгтэй.

• Ижил хуваагчтай бутархай илэрхийллийг нэмэхийн тулд (хуваарагч нь бутархайн доод талд байрлах тоо, тоологч нь дээд талд байна) та тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.
• Хоёрдахь бутархай илэрхийллийг (ижил хуваагчтай) нэг бутархайгаас хасахын тулд тэдгээрийн тоологчийг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.
• Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасахын тулд та хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй.
• Бутархай үржвэрийг олохын тулд тооны болон хуваагчийг үржүүлж, боломжтой бол багасгах хэрэгтэй.
• Бутархайг бутархайд хуваахын тулд эхний бутархайг хоёр дахь бутархайгаар үржүүлнэ.

Бутархайтай жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ - дадлага хийх

Дүрэм 1, жишээ 1:

3/4 +1/4-ийг тооцоол.

Дүрмийн 1-д заасны дагуу хэрэв хоёр (эсвэл түүнээс дээш) бутархай нь ижил хуваагчтай бол тэдгээрийн тоог нэмэхэд л болно. Бид авна: 3/4 + 1/4 = 4/4. Хэрэв бутархай нь ижил тооны болон хуваагчтай бол бутархай нь 1-тэй тэнцэнэ.

Хариулт: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Дүрэм 2, жишээ 1:

Тооцоолох: 3/4 - 1/4

Дүрмийн дугаар 2-ыг ашигласнаар энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд 3-аас 1-ийг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй. Бид 2/4-ийг авдаг. Хоёр 2 ба 4-ийг багасгаж болох тул бид багасгаж, 1/2-ыг авна.

Хариулт: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Дүрэм 3, Жишээ 1

Тооцоолох: 3/4 + 1/6

Шийдэл: 3-р дүрмийг ашиглан бид хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг олно. Хамгийн бага нийтлэг хуваагч нь жишээн дээрх бүх бутархай илэрхийллийн хуваагчдад хуваагдах тоо юм. Тиймээс бид 4 ба 6-д хуваагдах хамгийн бага тоог олох хэрэгтэй. Энэ тоо нь 12. Бид 12-ыг хуваагч гэж бичнэ, бид 3-ыг авна, 3-аар үржүүлнэ, бичнэ. 3 тоологч *3 ба + тэмдэг. 12-ыг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хувааж, бид 2-ыг авч, 2-ыг 1-ээр үржүүлж, тоологч хэсэгт 2*1 гэж бичнэ. Тэгэхээр 12 хуваарьтай, 3*3+2*1=11-тэй тэнцүү хуваагчтай шинэ бутархай гарна. 11/12.

Хариулт: 11/12

Дүрэм 3, Жишээ 2:

3/4 - 1/6-г тооцоол. Энэ жишээ нь өмнөхтэй маш төстэй юм. Бид ижил алхмуудыг хийдэг боловч тоологч дээр + тэмдгийн оронд хасах тэмдэг бичдэг. Бид авна: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Хариулт: 7/12

Дүрэм 4, Жишээ 1:

Тооцоолох: 3/4 * 1/4

Дөрөв дэх дүрмийг ашиглан бид эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь хуваагчаар, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь хуваагчаар үржүүлнэ. 3*1/4*4 = 3/16.

Хариулт: 3/16

Дүрэм 4, Жишээ 2:

2/5 * 10/4-ийг тооцоол.

Энэ хэсгийг багасгаж болно. Бүтээгдэхүүний хувьд эхний бутархайн хуваагч ба хоёр дахь бутархайн хуваагч, хоёр дахь бутархайн хуваагч ба эхний бутархайн хуваагч хүчингүй болно.

4-ээс 2 цуцлагдана. 5-аас 10 цуцлагдана. Бид 1 * 2/2 = 1*1 = 1 авна.

Хариулт: 2/5 * 10/4 = 1

Дүрэм 5, Жишээ 1:

Тооцоолох: 3/4: 5/6

5-р дүрмийг ашигласнаар бид 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5-ийг авна. Бид өмнөх жишээний зарчмын дагуу бутархайг багасгаж, 9/10-ийг авна.

Хариулт: 9/10.

Бутархайтай жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ - бутархай тэгшитгэл

Бутархай тэгшитгэл нь хуваарьт үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан жишээ юм. Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та тодорхой дүрмийг ашиглах хэрэгтэй.

Нэг жишээг харцгаая:

15/3x+5 = 3 тэгшитгэлийг шийд

Та тэгээр хувааж болохгүй гэдгийг санаарай, өөрөөр хэлбэл. хуваагчийн утга нь тэг байх ёсгүй. Ийм жишээг шийдвэрлэхдээ үүнийг зааж өгөх ёстой. Энэ зорилгоор OA (зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ) байдаг.

Тэгэхээр 3x+5 ≠ 0.
Эндээс: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

x = 5/3 үед тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй болно.

ODZ-ийг тодорхойлсны дараа энэ тэгшитгэлийг шийдэх хамгийн сайн арга бол бутархай хэсгүүдээс салах явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд бүх бутархай бус утгыг бутархай хэлбэрээр үзүүлнэ, энэ тохиолдолд тоо 3. Бид авна: 15/(3x+5) = 3/1. Бутархай хэсгүүдээс салахын тулд та тус бүрийг хамгийн бага нийтлэг хуваариар үржүүлэх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд (3x+5)*1 болно. Үйлдлийн дараалал:

1. 15/(3x+5)-ийг (3x+5)*1 = 15*(3x+5) үржүүлнэ.
2. Хаалтуудыг нээ: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Бид тэгшитгэлийн баруун талд ижил зүйлийг хийнэ: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Зүүн ба баруун талыг тэнцүүл: 45x + 75 = 9x +15
5. X-г зүүн тийш, тоонуудыг баруун тийш шилжүүл: 36x = – 50
6. x: x = -50/36-г ол.
7. Бид бууруулна: -50/36 = -25/18

Хариулт: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Бутархайтай жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ - бутархай тэгш бус байдал

(3x-5)/(2-x)≥0 төрлийн бутархай тэгш бус байдлыг тооны тэнхлэг ашиглан шийднэ. Энэ жишээг харцгаая.

Үйлдлийн дараалал:

• Бид тоологч ба хуваагчийг тэгтэй тэнцүүлнэ: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Бид тоон тэнхлэг зурж, түүн дээр гарсан утгыг бичнэ.
• Утгын доор тойрог зур. Бөглөсөн ба хоосон гэсэн хоёр төрлийн тойрог байдаг. Бөглөх тойрог нь өгөгдсөн утга нь шийдлийн хүрээнд байна гэсэн үг юм. Хоосон тойрог нь энэ утгыг шийдлийн талбарт оруулаагүй болохыг харуулж байна.
• Хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж чадахгүй тул 2-ын доор хоосон тойрог байх болно.

• Тэмдгийг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлд хоёроос их тоог орлуулна, жишээ нь 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. утга нь сөрөг байна, энэ нь бид хоёрын дараа талбайн дээр хасахыг бичнэ гэсэн үг юм. Дараа нь X-д 5/3-аас 2 хүртэлх интервалын дурын утгыг орлуулна, жишээ нь 1. Утга нь дахин сөрөг байна. Бид хасах бичдэг. Бид 5/3 хүртэлх талбайтай ижил зүйлийг давтана. Бид 5/3-аас бага дурын тоог орлуулна, жишээ нь 1. Дахин хасах.

• Бид илэрхийлэл нь 0-ээс их буюу тэнцүү байх x утгуудыг сонирхож байгаа бөгөөд ийм утга байхгүй (хасах зүйл хаа сайгүй байдаг) тул энэ тэгш бус байдалд шийдэл байхгүй, өөрөөр хэлбэл x = Ø (хоосон багц).

Хариулт: x = Ø

Нэгжийн хэсэг буюу хэд хэдэн хэсгийг энгийн буюу энгийн бутархай гэж нэрлэдэг. Нэгжийг хуваах тэнцүү хэсгүүдийн тоог хуваагч, авсан хэсгүүдийн тоог тоологч гэнэ. Бутархайг дараах байдлаар бичнэ.

Энэ тохиолдолд а нь тоологч, b нь хуваагч юм.

Хэрэв тоологч нь хуваагчаас бага бол бутархай нь 1-ээс бага байх ба зөв бутархай гэж нэрлэдэг. Хэрэв тоологч нь хуваагчаас их бол бутархай нь 1-ээс их байвал бутархайг буруу бутархай гэж нэрлэдэг.

Бутархайн хуваагч ба хуваагч тэнцүү бол бутархай нь тэнцүү байна.

1. Хэрэв тоологчийг хуваагчаар хувааж болох юм бол энэ бутархай нь хуваагдлын хуваалттай тэнцүү байна.

Хэрэв хуваагдлыг үлдэгдлээр гүйцэтгэсэн бол энэ буруу бутархайг холимог тоогоор илэрхийлж болно, жишээлбэл:

Дараа нь 9 нь бүрэн бус хэсэг (холимог тооны бүхэл хэсэг),
1 - үлдэгдэл (бутархай хэсгийн тоологч),
5 нь хуваагч юм.

Холимог тоог бутархай болгохын тулд холимог тооны бүхэл хэсгийг хуваагчаар үржүүлж, бутархай хэсгийн тоог нэмэх шаардлагатай.

Үр дүн нь энгийн бутархайн хуваагч байх боловч хуваагч нь хэвээр үлдэнэ.

Бутархайтай үйлдлүүд

Бутархай тэлэлт.Бутархайн тоо болон хуваагчийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлбэл бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.
Жишээ нь:

Бутархай хэсгийг багасгах.Бутархайн тоо болон хуваагчийг тэгээс өөр тоонд хуваахад бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.
Жишээ нь:

Бутархайн харьцуулалт.Нэг тоологчтой хоёр бутархайн хуваагч нь бага нь их байна:

Нэг хуваарьтай хоёр бутархайн хуваарь нь их байгаа нь илүү байна:

Тоолуур ба хуваагч нь ялгаатай бутархайг харьцуулахын тулд тэдгээрийг өргөжүүлэх, өөрөөр хэлбэл нийтлэг хуваагч руу авчрах шаардлагатай. Жишээлбэл, дараах бутархайг авч үзье.

Бутархайг нэмэх, хасах.Хэрэв бутархайн хуваагч ижил байвал бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, бутархайг хасахын тулд тоог нь хасах хэрэгтэй. Үр дүнгийн нийлбэр буюу зөрүү нь үр дүнгийн хуваагч байх боловч хуваагч нь хэвээр үлдэнэ. Хэрэв бутархайн хуваагч өөр байвал эхлээд бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй. Холимог тоог нэмэхдээ бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг тус тусад нь нэмнэ. Холимог тоонуудыг хасахдаа эхлээд тэдгээрийг буруу бутархай хэлбэрт шилжүүлж, дараа нь нэгийг нь нөгөөгөөс нь хасаад дараа нь шаардлагатай бол үр дүнг дахин холимог тооны хэлбэрт шилжүүлэх хэрэгтэй.

Бутархайг үржүүлэх. Бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг тусад нь үржүүлж, эхний үржвэрийг хоёр дахь хэсэгт хуваах хэрэгтэй.

Бутархайн хуваагдал. Тоог бутархайд хуваахын тулд та энэ тоог эсрэг бутархайгаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Аравтын тоо- энэ нь арав, зуу, мянга гэх мэтийг нэгээр хуваасны үр дүн юм. хэсгүүд. Эхлээд тооны бүхэл хэсгийг бичиж, дараа нь баруун талд аравтын бутархайг байрлуулна. Аравтын бутархайн дараах эхний орон нь аравны нэгийн тоог, хоёр дахь нь зуутын тоо, гурав дахь нь мянгатын тоо гэх мэтийг илэрхийлнэ. Аравтын бутархайн дараа байрлах тоог аравтын бутархай гэж нэрлэдэг.

Жишээ нь:

Аравтын бутархайн шинж чанарууд

Үл хөдлөх хөрөнгө:

• Хэрэв та баруун талд тэг нэмбэл аравтын бутархай өөрчлөгдөхгүй: 4.5 = 4.5000.
• Аравтын бутархайн төгсгөлд тэгийг хасвал аравтын бутархай өөрчлөгдөхгүй: 0.0560000 = 0.056.
• Аравтын бутархай 10, 100, 1000 гэх мэтээр нэмэгддэг. удаа, хэрэв та аравтын бутархайг зөөвөл нэг, хоёр, гурав гэх мэт. баруун талд байрлал: 4.5 45 (бутархай 10 дахин нэмэгдсэн).
• Аравтын бутархайг 10, 100, 1000 гэх мэтээр багасгадаг. удаа, хэрэв та аравтын бутархайг зөөвөл нэг, хоёр, гурав гэх мэт. зүүн талын байрлал: 4.5 0.45 (бутархай 10 дахин буурсан).

Тогтмол аравтын бутархай нь цэг гэж нэрлэгддэг хязгааргүй давтагдах цифрүүдийн бүлгийг агуулна: 0.321321321321…=0,(321)

Аравтын бутархайтай үйлдлүүд

Аравтын бутархайг нэмэх, хасах нь бүхэл тоог нэмэх, хасахтай адил ажилладаг бөгөөд та харгалзах аравтын бутархайг нэг дор бичихэд л хангалттай.
Жишээ нь:

Аравтын бутархайг үржүүлэх нь хэд хэдэн үе шаттайгаар явагдана.

• Бид аравтын бутархайг үл тоомсорлон бүхэл тоогоор үржүүлдэг.
• Дүрмийг хэрэглэнэ: бүтээгдэхүүний аравтын бутархайн тоо нь бүх хүчин зүйлийн аравтын бутархайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ нь:

Хүчин зүйлийн аравтын бутархайн тоонуудын нийлбэр нь: 2+1=3 байна. Одоо та үүссэн тооны төгсгөлөөс 3 цифрийг тоолж, аравтын бутархай тавих хэрэгтэй: 0.675.

Аравтын бутархайг хуваах. Аравтын бутархайг бүхэл тоонд хуваах: хэрэв ногдол ашиг нь хуваагчаас бага бол тухайн хэсгийн бүхэл хэсэгт тэг бичиж, араас нь аравтын бутархай тавих хэрэгтэй. Дараа нь ногдол ашгийн аравтын бутархайг харгалзахгүйгээр бутархай хэсгийн дараагийн цифрийг бүхэл хэсэгт нэмж, ногдол ашгийн бүхэл хэсгийг хуваагчтай дахин харьцуулна. Хэрэв шинэ тоо дахин хуваагчаас бага байвал үйлдлийг давтах ёстой. Үр дүнгийн ногдол ашиг нь хуваагчаас их болтол энэ процесс давтагдана. Үүний дараа бүхэл тоонуудын адил хуваах болно. Хэрэв ногдол ашиг нь хуваагчаас их буюу тэнцүү бол эхлээд түүний бүх хэсгийг хувааж, хуваалтын үр дүнг хуваалтын хэсэгт бичиж, аравтын бутархайг тавина. Үүний дараа бүхэл тоонуудын адил хуваагдал үргэлжилнэ.

Нэг аравтын бутархайг нөгөөд хуваах: эхлээд ногдол ашиг ба хуваагч дахь аравтын бутархайг хуваагч дахь аравтын бутархайн тоонд шилжүүлж, өөрөөр хэлбэл хуваагчийг бүхэл тоо болгож, дээр дурдсан үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ.

Аравтын бутархайг энгийн бутархай болгохын тулд аравтын бутархайн дараах тоог тоологч, аравын бутархайн k-р зэрэглэлийг хуваагчаар (k нь аравтын бутархайн тоо) авах шаардлагатай. Тэг биш бүхэл хэсэг нь энгийн бутархайд хадгалагдана; тэг бүхэл тоо хасагдсан.
Жишээ нь:

Бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэхийн тулд хуваах дүрмийн дагуу тоологчийг хуваагчаар хуваах ёстой.

Хувь нь нэгжийн зууны нэг, жишээлбэл: 5% гэдэг нь 0.05 гэсэн үг. Харьцаа гэдэг нь нэг тооны нөгөө тоонд хуваагдсан хэсгийг хэлнэ. Пропорц гэдэг нь хоёр харьцааны тэгш байдал юм.

Жишээ нь:

Пропорцын үндсэн шинж чанар: пропорцын хэт нөхцлийн үржвэр нь түүний дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 5х30 = 6х25 байна. Харилцан хамааралтай хоёр хэмжигдэхүүнийг тэдгээрийн хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа өөрчлөгдөхгүй бол пропорциональ гэж нэрлэдэг (пропорциональ коэффициент).

Ийнхүү дараах арифметик үйлдлүүд тодорхойлогдлоо.
Жишээ нь:

Рационал тоонуудын багц нь эерэг ба сөрөг тоо (бүхэл тоо ба бутархай) ба тэгийг агуулдаг. Математикт хүлээн зөвшөөрөгдсөн рационал тоонуудын илүү нарийвчлалтай тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: хэрэв энэ нь дараах хэлбэрийн энгийн бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр дүрслэгдэх боломжтой бол тоог оновчтой гэж нэрлэдэг бөгөөд энд a ба b нь бүхэл тоо юм.

Сөрөг тооны хувьд үнэмлэхүй утга (модуль) нь тэмдгийг "-" -ээс "+" болгон өөрчилснөөр олж авсан эерэг тоо юм; эерэг тоо ба тэгийн хувьд - тоо өөрөө. Тооны модулийг заахдаа энэ тоог бичсэн хоёр шулуун шугамыг ашигладаг, жишээлбэл: |–5|=5.

Үнэмлэхүй үнэ цэнийн шинж чанарууд

Тооны модулийг өгье , үүнд дараах шинж чанарууд үнэн байна:

Мономиаль гэдэг нь хоёр буюу түүнээс дээш хүчин зүйлийн үржвэр бөгөөд тус бүр нь тоо, үсэг эсвэл үсгийн хүч юм: 3 x a x b. Коэффицентийг ихэвчлэн тоон үржүүлэгч гэж нэрлэдэг. Мономиалууд нь ижил эсвэл зөвхөн коэффициентээр ялгаатай байвал ижил төстэй гэж нэрлэдэг. Мономиалын зэрэг нь түүний бүх үсгүүдийн илтгэгчийн нийлбэр юм. Хэрэв мономиалуудын нийлбэр дунд ижил төстэй зүйл байвал нийлбэрийг энгийн хэлбэр болгон бууруулж болно: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Энэ үйлдлийг ижил төстэй нэр томъёог авчрах эсвэл хаалтнаас гаргах гэж нэрлэдэг.

Олон гишүүнт гэдэг нь мономиалуудын алгебрийн нийлбэр юм. Олон гишүүнтийн зэрэг нь өгөгдсөн олон гишүүнт багтсан мономиалуудын зэрэглэлүүдийн хамгийн том нь юм.

Дараах товчилсон үржүүлэх томъёо байдаг.

Факторжуулалтын аргууд:

Алгебрийн бутархай нь A ба B нь тоо, мономиал эсвэл олон гишүүнт байж болох хэлбэрийн илэрхийлэл юм.

Хэрэв хоёр илэрхийлэл (тоон ба цагаан толгойн) "=" тэмдгээр холбогдсон бол тэдгээр нь тэгш байдал үүсгэнэ. Үүнд орсон үсгүүдийн бүх зөвшөөрөгдөх тоон утгуудад хүчинтэй байгаа аливаа жинхэнэ тэгш байдлыг таних тэмдэг гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэл гэдэг нь түүнд багтсан үсгүүдийн тодорхой утгуудад хүчинтэй байдаг үгийн тэгш байдал юм. Эдгээр үсгүүдийг үл мэдэгдэх (хувьсагч) гэж нэрлэдэг бөгөөд өгөгдсөн тэгшитгэл нь ижил утгатай болж хувирдаг утгыг тэгшитгэлийн үндэс гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийг шийдэх нь түүний бүх үндсийг олох гэсэн үг юм. Хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэлүүд ижил үндэстэй бол тэдгээрийг эквивалент гэнэ.

• тэг нь тэгшитгэлийн үндэс байсан;
• тэгшитгэл нь зөвхөн хязгаарлагдмал тооны үндэстэй байв.

Алгебрийн тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүд:

ax + b = 0 шугаман тэгшитгэлийн хувьд:

• хэрэв a x 0 бол нэг язгуур байна x = -b/a;
• хэрэв a = 0, b ≠ 0 бол үндэс байхгүй;
• a = 0, b = 0 бол язгуур нь дурын бодит тоо байна.

Тэгшитгэл xn = a, n N:

• хэрэв n нь сондгой тоо бол дурын a-ийн хувьд a/n-тэй тэнцүү бодит язгууртай;
• хэрэв n нь тэгш тоо бол 0-ийн хувьд хоёр үндэстэй байна.

Үндсэн таних хувиргалт: нэг илэрхийлэлийг түүнтэй ижил тэнцүү өөр илэрхийллээр солих; тэгшитгэлийн нөхцөлийг нэг талаас нөгөө тал руу нь эсрэг тэмдгээр шилжүүлэх; Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр ижил илэрхийллээр (тоо) үржүүлэх буюу хуваах.

Нэг үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм: ax+b=0, энд a ба b нь мэдэгдэж байгаа тоонууд, x нь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн юм.

Хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем нь дараах хэлбэртэй байна.

Үүнд: a, b, c, d, e, f тоонууд өгөгдсөн; x, y нь үл мэдэгдэх.

a, b, c, d тоонууд нь үл мэдэгдэх коэффициентүүд; e, f нь үнэ төлбөргүй нөхцөл юм. Энэ тэгшитгэлийн системийн шийдлийг хоёр үндсэн аргаар олж болно: орлуулах арга: нэг тэгшитгэлээс бид үл мэдэгдэх нэгийг нь коэффициентээр, нөгөө нь үл мэдэгдэхийг илэрхийлж, дараа нь сүүлчийн тэгшитгэлийг шийдэж, хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна нэг үл мэдэгдэхийг олж, дараа нь олсон утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулж, хоёр дахь үл мэдэгдэхийг олох; нэг тэгшитгэлийг нөгөөд нь нэмэх, хасах арга.

Үндэстэй үйлдлүүд:

Сөрөг бус a тооны n-р зэрэглэлийн арифметик үндэс нь n-р зэрэг нь а-тай тэнцүү сөрөг бус тоо юм. Өгөгдсөн тооны n-р зэргийн алгебрийн үндэс нь энэ тооны бүх язгууруудын олонлог юм.

Иррационал тоог рационал тооноос ялгаатай нь m/n хэлбэрийн энгийн бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй бөгөөд энд m ба n нь бүхэл тоо юм. Эдгээр нь ямар ч нарийвчлалтайгаар тооцоолж болох боловч оновчтой тоогоор солих боломжгүй шинэ төрлийн тоонууд юм. Тэд геометрийн хэмжилтийн үр дүнд гарч ирж болно, жишээлбэл: дөрвөлжингийн диагоналийн уртыг хажуугийн урттай харьцуулсан харьцаа тэнцүү байна.

Квадрат тэгшитгэл нь 2-р зэргийн алгебрийн тэгшитгэл ax2+bx+c=0 бөгөөд a, b, c нь тоон буюу үсгийн коэффициентүүд өгөгдсөн бол х нь үл мэдэгдэх болно. Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг a-д хуваавал үр дүн нь x2+px+q=0 - багасгасан тэгшитгэл p=b/a, q=c/a. Үүний үндэс нь дараах томъёогоор олддог.

Хэрэв b2-4ac>0 бол хоёр өөр язгуур байна, b2- 4ac=0, тэгвэл хоёр тэнцүү язгуур байна; b2-4ac Модуль агуулсан тэгшитгэл

Модуль агуулсан тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүд:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, f(x), g(x), fk(x), gk(x) функцүүд өгөгдсөн.

Вида 0.123 4 (\displaystyle 0(,)1234).

Маягтын бутархайн тэмдэглэгээнд X / Y (\displaystyle X/Y)эсвэл X Y (\ displaystyle (\ frac (X) (Y)))шугамын өмнөх буюу дээд талын дугаарыг дуудна тоологч, мөн мөрийн дараах эсвэл доорх тоо байна хуваагч. Эхнийх нь ногдол ашгийн үүрэг гүйцэтгэдэг, хоёр дахь нь хуваагч юм.

Бутархайн төрлүүд

Энгийн бутархай

Энгийн(эсвэл энгийн) бутархай - хэлбэрээр оновчтой тоог бичих ± m n (\displaystyle \pm (\frac (m)(n)))эсвэл ± м / n , (\displaystyle \pm m/n,)Хаана n ≠ 0. (\displaystyle n\neq 0.)Хэвтээ эсвэл налуу зураас нь хуваах тэмдгийг илтгэж, үр дүнд нь quotient байна. Ногдол ашгийг гэж нэрлэдэг тоологчбутархай, хуваагч нь байна хуваагч.

Энгийн бутархайн тэмдэглэгээ

Энгийн бутархайг хэвлэмэл хэлбэрээр бичих хэд хэдэн төрөл байдаг.

Зөв ба буруу бутархай

ЗөвХугацагч нь хуваагчаасаа бага бутархайг бутархай гэнэ. Зөв биш бутархайг дуудна буруу, ба нэгээс их буюу тэнцүү модультай рационал тоог илэрхийлнэ.

Жишээлбэл, бутархай 3 5 (\displaystyle (\frac (3)(5))), 7 8 (\displaystyle (\frac (7)(8)))ба зөв бутархай, while 8 3 (\displaystyle (\frac (8)(3))), 9 5 (\displaystyle (\frac (9)(5))), 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1)))Тэгээд 1 1 (\displaystyle (\frac (1)(1)))- буруу бутархай. Ямар ч тэгээс бусад бүхэл тоог 1 хуваагчтай буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Холимог бутархай

Бүхэл тоо болон зөв бутархай хэлбэрээр бичигдсэн бутархайг нэрлэдэг холимог фракцбөгөөд энэ тоо ба бутархайн нийлбэр гэж ойлгогдоно. Аливаа рационал тоог холимог бутархай хэлбэрээр бичиж болно. Холимог бутархайгаас ялгаатай нь зөвхөн тоологч ба хуваагчтай бутархайг нэрлэдэг. энгийн.

Жишээлбэл, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 (\displaystyle 2(\frac (3)(7))=2+(\frac (3)(7))=(\frac (14) )(7))+(\frac (3)(7))=(\frac (17)(7))). Математикийн хатуу уран зохиолд холимог бутархайн тэмдэглэгээ нь бүхэл тоон үржвэрийн тэмдэглэгээтэй ижил төстэй, түүнчлэн илүү төвөгтэй тэмдэглэгээ, тооцоолол хийхэд тохиромжтой биш тул ийм тэмдэглэгээг ашиглахгүй байхыг илүүд үздэг. .

Нийлмэл фракцууд

Олон давхар буюу нийлмэл бутархай нь хэд хэдэн хэвтээ (эсвэл ихэвчлэн ташуу) шугам агуулсан илэрхийлэл юм:

Аравтын тоо

Аравтын бутархай нь бутархайн байрлалын илэрхийлэл юм. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

Жишээ: 3,141 5926 (\displaystyle 3(,)1415926).

Бичлэгийн байрлалын аравтын бутархайн өмнө ирэх хэсэг нь тооны бүхэл хэсэг (бутархай), аравтын бутархайн араас ирэх хэсэг нь бутархай хэсэг юм. Ямар ч энгийн бутархайг аравтын бутархай болгон хувиргаж болох бөгөөд энэ тохиолдолд төгсгөлийн тооны аравтын бутархай эсвэл үечилсэн бутархай болно.

Ерөнхийдөө тоог байрлалаар бичихийн тулд та зөвхөн аравтын тооллын системийг ашиглахаас гадна бусдыг (түүний дотор Фибоначчи гэх мэт) ашиглаж болно.

Бутархайн утга ба бутархайн үндсэн шинж чанар

Бутархай нь зөвхөн тооны дүрслэл юм. Ижил тоо нь энгийн болон аравтын бутархайн аль алинд нь өөр өөр бутархайтай тохирч болно.

Бутархайтай үйлдлүүд

Энэ хэсэгт энгийн бутархайн үйлдлүүд багтана. Аравтын бутархай дээрх үйлдлүүдийг Аравтын бутархай хэсгээс үзнэ үү.

Нийтлэг хуваагч болгон бууруулах

Бутархайг харьцуулах, нэмэх, хасахын тулд тэдгээрийг хөрвүүлэх шаардлагатай ( авчрах) ижил хуваагчтай хэлбэр рүү. Хоёр бутархай өгье: a b (\displaystyle (\frac (a)(b)))Тэгээд c d (\displaystyle (\frac (c)(d))). Процедур:

Үүний дараа хоёр бутархайн хуваагч нь давхцдаг (тэнцүү М). Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийн оронд энгийн тохиолдолд бид гэж авч болно Мхуваагчийн үржвэр зэрэг бусад нийтлэг үржвэр. Жишээлбэл, доорх Харьцуулалтын хэсгийг үзнэ үү.

Харьцуулалт

Хоёр энгийн бутархайг харьцуулахын тулд тэдгээрийг нийтлэг хуваагч руу авчирч, үүссэн бутархайн тоог харьцуулах хэрэгтэй. Илүү том тоологчтой бутархай нь илүү том байх болно.

Жишээ. Харьцуулъя 3 4 (\displaystyle (\frac (3)(4)))Тэгээд 4 5 (\displaystyle (\frac (4)(5))). LCM(4, 5) = 20. Бид бутархайг хуваагч 20 хүртэл бууруулна.

4 5 = 16 20 (\displaystyle (\frac (3)(4))=(\frac (15)(20));\quad (\frac (4)(5))=(\frac (16)( 20))) 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}

Тиймээс,

Нэмэх ба хасах

5 6 (\displaystyle (\frac (5)(6))) Хоёр энгийн бутархай нэмэхийн тулд тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй. Дараа нь тоологчдыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ үү.Хуваагчдын LCM (энд 2 ба 3) 6-тай тэнцүү байна. Бид бутархайг өгнө.
хуваагч 6-д, үүний тулд хүртэгч ба хуваагчийг 3-аар үржүүлэх шаардлагатай. Энэ нь ажилласан 3 6 (\displaystyle (\frac (3)(6))) . Бид бутархайг өгдөг 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))) ижил хуваагч руу, үүний тулд хүртэгч ба хуваагчийг 2-оор үржүүлэх ёстой..
Бутархай хэсгүүдийн ялгааг олж авахын тулд тэдгээрийг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, дараа нь хуваагчийг хэвээр үлдээж, тоологчдыг хасах хэрэгтэй.

Хуваагчийн LCM (энд 2 ба 4) 4-тэй тэнцүү байна. Бид бутархайг танилцуулж байна. Хоёр энгийн бутархай нэмэхийн тулд тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй. Дараа нь тоологчдыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ үү.хуваагч 4, үүний тулд та хуваагч болон хуваагчийг 2-оор үржүүлэх хэрэгтэй. 2 4 (\displaystyle (\frac (2)(4))).

Үржүүлэх, хуваах

Хоёр энгийн бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоологч ба хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй.

(\ displaystyle (\ frac (a) (b)) \ ​​cdot (\ frac (c) (d)) = (\ frac (ac) (bd)).)

2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))\cdot 3=(\frac (6)(3))=2)

5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 .

Жишээ нь:

a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , b , c , d ≠ 0. (\displaystyle (\frac (a)(b)):(\frac (c)(d))=(\frac (a)() b))\cdot (\frac (d)(c))=(\frac (ad)(bc)),\quad b,c,d\neq 0.)

1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2.

1 2 = 5 10 = 0 , 5 (\displaystyle (\frac (1)(2))=(\frac (5)(10))=0(,)5)

- хязгааргүй давтагдах хугацааг ихэвчлэн хаалтанд бичдэг.

Аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргахын тулд бутархай хэсгийг натурал тоогоор 10-ын тохирох зэрэгт хуваасан байдлаар бичнэ. Дараа нь үр дүнд тэмдэглэгдсэн бүхэл тоо нэмэгдэж, холимог бутархай үүсгэнэ. Жишээ: 71.147 5 = 71 + 1475 10000 = 71 1475 10000 = 71 59 400 (\displaystyle 71(,)1475=71+(\frac (1475)(10000))=71(\5010)(14)(1010) (\ frac (59)(400))), бусад хэл дээрх аналогуудын нэгэн адил гаралтай