Мойвр-Лапласын орон нутгийн теорем(1730 Мойвр ба Лаплас)

Хэрэв $A$ үйл явдал тохиолдох магадлал $p$ тогтмол бөгөөд $p\ne 0$ ба $p\ne 1$ байвал $P_n (k)$ магадлал нь $A$ үйл явдал $k$ гарч ирэх болно. $n $ тест дэх удаа, ойролцоогоор тэнцүү байна ($n$ том байх тусмаа илүү нарийвчлалтай) $y=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \ frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2 \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)$

хувьд $x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $. $\varphi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) $ функцийн утгуудыг агуулсан хүснэгтүүд байдаг.

тэгэхээр \begin(equation) \label ( eq2 ) P_n (k)\prox \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)\,\,хаана\,x =\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \qquad (2) \төгсгөл(тэгшитгэл)

$\varphi (x)=\varphi (( -x ))$ функц тэгш байна.

Жишээ. Хэрэв туршилт бүрт энэ үйл явдал тохиолдох магадлал $p=0.2$ байвал $A$ үйл явдал 400 туршилтанд яг 80 удаа тохиолдох магадлалыг ол.

Шийдэл. $p=0.2$ бол $q=1-p=1-0.2=0.8$.

$P_ ( 400 ) (( 80 ))\ойролцоогоор \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \varphi (x)\,\, хаана\,x=\frac ( k-n\cdot) p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $

$ \begin(массив) ( l ) x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) =\frac ( 80-400\cdot 0.2 ) ( \sqrt ( 400 \cdot) 0.2\cdot 0.8 ) ) =\frac ( 80-80 ) ( \sqrt ( 400\cdot 0.16 ) ) =0 \\ \varphi (0)=0.3989\,\,P_ ( 400 ) (( 80 ))\ойролцоогоор \frac ( 0.3989 ) ( 20\cdot 0.4 ) =\frac ( 0.3989 ) ( 8 ) =0.0498 \\ \end(массив) $

Мойвр-Лапласын интеграл теорем

Туршилт бүрт $A$ үйл явдал тохиолдох P магадлал тогтмол бөгөөд $p\ne 0$ ба $p\ne 1$, дараа нь $A$ үйл явдал болох $P_n (( k_1 ,k_2 ))$ магадлал. $n$ туршилтанд $k_ ( 1 ) $ -с $ k_ ( 2 ) $ хүртэл удаа тохиолдох бөгөөд тэнцүү $ P_n (( k_1 ,k_2 ))\ approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi) ) ) \int\limits_ ( x_1 ) ^ ( x_2 ) ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) =\Phi (( x_2 ))-\Phi (( x_1 ))$

Энд $x_1 =\frac ( k_1 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) , x_2 =\frac ( k_2 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot) q ) ) $ ,хаана

$\Phi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) $ -хүснэгтүүдээс олдсон

$\Phi (( -x ))=-\Phi (x)$-сондгой

Хачирхалтай функц. Хүснэгт дэх утгыг $x=5$, $x>5,\Phi (x)=0.5$-д өгсөн болно.

Жишээ. Шалгалтын явцад бүтээгдэхүүний 10% нь татгалздаг гэдгийг мэддэг. Хяналтад 625 нэр төрлийн бүтээгдэхүүнийг сонгон шалгаруулсан. Сонгогдсон хүмүүсийн дунд хамгийн багадаа 550, дээд тал нь 575 стандартын бүтээгдэхүүн байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. 10%-ийн согогтой бол 90%-ийн стандарт бүтээгдэхүүн байна. Дараа нь нөхцөлөөр $n=625, p=0.9, q=0.1, k_1 =550, k_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0.9=562.5$. Бид $ \begin(массив) ( l ) P_ ( 625 ) (550.575)\ approx \Phi (( \frac ( 575-562.5 ) ( \sqrt ( 625\cdot 0.9\cdot 0.1 ) ) ) )- \Phi () авна. ( \frac ( 550-562.5 ) ( \sqrt ( 626\cdot 0.9\cdot 0.1 ) )) \ойролцоогоор \Phi (1.67)- \Phi (-1, 67)=2 \Phi (1.67)=0.9052 \\ \ төгсгөл (массив) $

Мойвр-Лапласын интеграл теорем . Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p нь тогтмол бөгөөд 0 ба 1-ээс ялгаатай бол n бие даасан туршилтын А үйл явдал тохиолдох магадлал m нь a-аас b хүртэлх мужид (хамааруулсан) байна. , хангалттай их тоотой n нь ойролцоогоор тэнцүү байна

Хаана
- Лаплас функц (эсвэл магадлалын интеграл);

,
.

Томьёог Мойвр-Лапласын интеграл томъёо гэж нэрлэдэг. n том байх тусмаа энэ томьёо үнэн зөв байна. npq ≥ 20 нөхцөл хангагдвал интеграл томьёо
, орон нутгийн нэгэн адил, дүрмээр бол дадлага хийхэд хангалттай магадлалыг тооцоолоход алдаа гаргадаг.

Ф(х) функцийг хүснэгтэд үзүүлэв (хүснэгтийг үз). Энэ хүснэгтийг ашиглахын тулд та мэдэх хэрэгтэй функцийн шинж чанарууд :

Ф(х) функц нь сондгой, өөрөөр хэлбэл. Ф(-х) = -Ф(х).

Ф(х) функц нь монотон нэмэгдэж байгаа бөгөөд x → +∞ Ф(х) → 1 (практикт бид x > 4 Ф(х) ≈ 1 байна гэж үзэж болно).

Жишээ . Зарим газарт 100 айл тутмын 80 нь хөргөгчтэй байдаг. 400 айлын 300-360 (хамааруулсан) нь хөргөгчтэй байх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Бид Мойвр-Лапласын интеграл теоремыг (npq = 64 ≥ 20) хэрэглэнэ. Эхлээд бид тодорхойлно:

,

.

Одоо томъёоны дагуу
, Ф(х)-ийн шинж чанарыг харгалзан бид олж авна

(хүснэгтийн дагуу F(2.50) = 0.9876, F(5.0) ≈ 1)

1. Мойвр-Лапласын интеграл теоремын үр дүн (дүгнэлттэй). Жишээ.

Мойвр-Лапласын интеграл теоремын үр дагаварыг авч үзье.

Үр дагавар. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p нь тогтмол бөгөөд 0 ба 1-ээс ялгаатай бол хангалттай олон тооны бие даасан туршилтын n тоотой бол магадлал нь:

a) А үйл явдлын тохиолдлын m тоо нь nр үржвэрээс ε > утгаас ихгүй ялгаатай байна.
;

б) давтамж А үйл явдал нь α-аас β (хамааруулсан) хүртэлх мужид агуулагдана, i.e.
, Хаана
,
.

в) давтамж А үйл явдал нь p магадлалаас Δ > 0-ээс ихгүй ялгаатай (үнэмлэхүй утгаар), өөрөөр хэлбэл.
.

□ 1) Тэгш бус байдал
нь pr - E ~ m ~ pr + E давхар тэгш бус байдалтай тэнцэнэ. Тиймээс интеграл томьёоны дагуу
:

.

2) Тэгш бус байдал
a = nα ба b = nβ-ийн хувьд a ≤ m ≤ b тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. Томьёонд орлуулах
Тэгээд
,
олж авсан илэрхийлэлүүдийг ашиглан a ба b утгуудыг бид нотлох томъёог олж авна
Тэгээд
,
.

3) Тэгш бус байдал
тэгш бус байдалтай адил
. Томъёонд орлуулах

, бид нотлох томъёог олж авна
.

Жишээ . Статистикийн мэдээгээр нярайн дунджаар 87% нь 50 насалдаг байна. 1000 нярайд 50 нас хүртэл амьд үлдсэн хүмүүсийн эзлэх хувь (давтамж) байх магадлалыг ол: a) 0.9-0.95 хооронд байх; б) энэ үйл явдлын магадлалаас 0.04 (үнэмлэхүй утгаар)-аас ихгүй ялгаатай байх уу?

Шийдэл. a) Шинээр төрсөн хүүхэд 50 наслах магадлал p 0.87 байна. Учир нь n = 1000 нь том (npq = 1000·0.87·0.13 = 113.1 ≥ 20 нөхцөл хангагдсан), тэгвэл бид Мойвр-Лапласын интеграл теоремын үр дүнг ашиглана. Эхлээд бид тодорхойлно:

,
. Одоо томъёоны дагуу
:

B) Томъёоны дагуу
:

Тэгш бус байдлаас хойш
тэгш бус байдалтай адил
, олж авсан үр дүн нь 1000 нярайн 0.83-0.91 нь 50 наслах нь бараг тодорхой гэсэн үг юм.

"Санамсаргүй хувьсагч" гэсэн ойлголт ба түүний тайлбар. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба түүний тархалтын хууль (цуврал).

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Жишээ. Доод

санамсаргүй хувьсагч Туршилтын үр дүнд тухайн тохиолдлоос хамааран өөрийн боломжит багц утгуудын аль нэгийг (урьдчилан мэдэгдээгүй) авдаг хувьсагч гэж ойлгодог.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээ : 1) Москвад өдрийн цагаар төрсөн хүүхдийн тоо; 2) тухайн багц дахь гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо; 3) эхний цохилтоос өмнө буудсан тоо; 4) их бууны нислэгийн хүрээ; 5) үйлдвэрт сар бүр цахилгаан эрчим хүчний хэрэглээ. санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг

Бие даасан салангид (тасралтгүй) , хэрэв түүний утгуудын багц нь хязгаарлагдмал, эсвэл хязгааргүй, гэхдээ тоолж болно.

тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Хязгааргүй тоолж баршгүй олон тооны утгууд нь тооны тэнхлэгийн тодорхой интервал (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) байдаг хэмжигдэхүүнийг бид ойлгох болно. Тиймээс, дээрх жишээнүүдийн 1-3-д бид салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй (1 ба 2-р жишээнд - хязгаарлагдмал утгуудтай; жишээ 3-т - хязгааргүй боловч тоолж болох утгуудын багцтай); 4 ба 5-р жишээнд - тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.Учир нь дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн
олон санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд, жишээлбэл. функцууд, хязгаарлагдмал эсвэл тоологдох, төлөө

Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн X, Y, Z,... том үсгээр тэмдэглэж, утгыг нь харгалзах жижиг үсгээр тэмдэглэнэ x, y, z,....

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгөгдсөн тархалтын хуулийн дагуу "тархсан" эсвэл энэ тархалтын хуульд "харъяалагддаг" гэж нэрлэдэг.

Дискрет санамсаргүй хувьсагчийн хувьд хуваарилалтын хууль m.b. хүснэгт хэлбэрээр, аналитик (томьёоны хэлбэрээр) болон график хэлбэрээр өгөгдсөн.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг тодорхойлох хамгийн энгийн хэлбэр бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд болон тэдгээрийн харгалзах магадлалыг өсөх дарааллаар жагсаасан хүснэгт (матриц) юм.

Энэ хүснэгтийг нэрлэдэг дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын ойролцоо .

Туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн x 1, x 2, ... утгыг авахаас бүрдэх X=x 1, X=x 2,...,X=x n үйл явдлууд. , x n нь тус тусад нь нийцэхгүй бөгөөд цорын ганц боломжтой (учир нь хүснэгтэд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг жагсаасан болно), өөрөөр хэлбэл. бүрэн бүлэг байгуулах. Иймд тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.Иймээс аливаа дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд
.

Түгээлтийн цуврал m.b. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, тэдгээрийн харгалзах магадлалыг ордны тэнхлэгийн дагуу зурвал графикаар дүрслэгдсэн болно. Хүлээн авсан цэгүүдийн холболт нь эвдэрсэн шугамыг үүсгэдэг олон өнцөгт буюу магадлалын тархалтын олон өнцөгт .

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг бие даасан , хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтын хууль нь нөгөө хэмжигдэхүүн ямар утгыг авахаас хамаарч өөрчлөгдөхгүй бол. Тиймээс хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь x i (i = 1, 2, ..., n) утгуудыг авч чадвал санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y нь y j (j = 1, 2, ...,) утгыг авч болно. m), тэгвэл X ба Y салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдал нь аливаа i = 1, 2, ... , n ба j = 1, 2, ...-ын хувьд X = x i ба Y = y үйл явдлуудын бие даасан байдлыг илэрхийлнэ. м. Үгүй бол санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дуудна хамааралтай .

Жишээ нь , хэрэв хоёр өөр мөнгөний сугалааны тасалбар байгаа бол тасалбар бүрийн ялалтыг (мөнгөний нэгжээр) илэрхийлсэн X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байх болно. бие даасан, учир нь нэг сугалааны тасалбарын аль нэг хожлын хувьд (жишээлбэл, X = x i үед) өөр тасалбар дээрх хожлын хуваарилалтын хууль (Y) өөрчлөгдөхгүй.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба Y нь нэг сугалааны тасалбарын хожлыг илэрхийлдэг бол энэ тохиолдолд X ба Y хамааралтай болно, учир нь нэг тасалбар дээр ямар нэгэн ялалт (X = x i) нь өөр тасалбар дээр хожих магадлалыг өөрчлөхөд хүргэдэг. (Y), өөрөөр хэлбэл e. U-ийн тархалтын хуульд өөрчлөлт оруулах.

Салангид санамсаргүй объектууд дээрх математик үйлдлүүд хувийн шинж чанарууд ба хуваарилалтын хуулийг бий болгох жишээ KH, X" 1 , X + К, XV бие даасан хэргүүдийн хуваарилалтыг өгсөн тоон хэмжигдэхүүнүүд X Тэгээд У.

Тодорхойлъё математик үйлдлүүд дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг өгье:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн kX үржвэр k тогтмол утгаар p i (i = 1,2,...,n) магадлал бүхий kx i утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

м санамсаргүй хэмжигдэхүүний X зэрэг, i.e.
, нь утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм ижил магадлалтай p i (i = 1,2,...,n).

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр (ялгаа эсвэл бүтээгдэхүүн). нь xi+yj (xj-yj эсвэл xj·yj) хэлбэрийн бүх боломжит утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, X санамсаргүй хэмжигдэхүүн xi, y нь yj утгыг авах pij магадлалтай:

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X ба Y нь бие даасан, i.e. аливаа үйл явдал X=xi, Y=yj нь бие даасан, тэгвэл бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремоор

3 тэмдэглэл . Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээрх үйлдлийн дээрх тодорхойлолтыг тодруулах шаардлагатай: учир нь хэд хэдэн тохиолдолд ижил утгатай байдаг. ,
,
pi, pij магадлал бүхий өөр өөр xi, yj-ийн хувьд янз бүрийн аргаар олж авч болно, тэгвэл ийм давтагдах утгын магадлалыг pi эсвэл pij магадлалыг нэмснээр олно.

Лапласын интеграл теорем

Теорем. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p нь тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай бол n бие даасан туршилтын А үйл явдал тохиолдох магадлал m нь a-аас b хүртэлх мужид (хамааруулсан) байна. , хангалттай олон тооны туршилттай бол n нь ойролцоогоор тэнцүү байна

Лапласын салшгүй томьёо, Мойвр-Лапласын орон нутгийн томьёо төдий чинээ үнэн зөв байх тусам n 0.5-тай ойртох тусам утга хТэгээд q. Хэрэв нөхцөл хангагдсан бол энэ томьёог ашиглан тооцоо хийх нь өчүүхэн алдаа гаргадаг npq≥ 20, гэхдээ нөхцөлийн биелэлтийг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой гэж үзэж болно npq > 10.

Функц Ф( x) хүснэгтэд үзүүлэв (Хавсралт 2-ыг үзнэ үү). Энэ хүснэгтийг ашиглахын тулд та Ф( функцийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй. x):

1. Функц Ф( x) – сондгой, өөрөөр хэлбэл F(- x) = – Ф( x).

2. Функц Ф( x) – нэг хэвийн өсөх ба x → +∞ Ф( x) → 0.5 (бараг дээр бид аль хэдийн байна гэж үзэж болно x≥ 5 F( x) ≈ 0,5).

Жишээ 3.4.Жишээ 3.3-ын нөхцлийг ашиглан 300-аас 360 (хамааруулсан) сурагчид эхний удаа шалгалтыг амжилттай өгөх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Бид Лапласын интеграл теоремыг ( npq≥ 20). Бид тооцоолно:

= –2,5; = 5,0;

П 400 (300 ≤ м≤ 360) = Ф(5.0) – Ф(–2.5).

Ф( функцийн шинж чанарыг харгалзан үзнэ. x) ба түүний утгуудын хүснэгтийг ашиглан бид: Ф(5,0) = 0.5; Ф(–2.5) = – Ф(2.5) = – 0.4938.

Бид авдаг П 400 (300 ≤ м ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

Лапласын интеграл теоремын үр дагаврыг бичье.

Дүгнэлт 1. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай бол хангалттай олон тооны бие даасан туршилтын n тоотой бол А үйл явдал тохиолдох m тоо np үржвэрээс ялгаатай байх магадлалтай. ε >-ээс ихгүй байна 0

.

(3.8)

Жишээ 3.5.Жишээ 3.3-ын нөхцөлд 280-360 сурагч магадлалын онолын шалгалтыг анх удаа амжилттай өгөх магадлалыг ол.

Шийдэл. Магадлалыг тооцоол Р 400 (280 ≤ м≤ 360) нь Лапласын үндсэн интеграл томъёог ашиглан өмнөх жишээтэй төстэй байж болно. Гэхдээ 280 ба 360 интервалын хил нь утгын хувьд тэгш хэмтэй байгааг анзаарсан бол үүнийг хийхэд илүү хялбар болно. n.p.=320. Дараа нь 1-р үр дүнд үндэслэн бид олж авна

= = ≈

≈ = 2Ф(5.0) ≈ 2·0.5 ≈ 1,

тэдгээр. Эхний удаад 280-360 оюутан амжилттай шалгалт өгөх нь бараг тодорхой болсон. ◄

Дүгнэлт 2. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай бол хангалттай олон тооны бие даасан туршилтын n тоотой бол А үйл явдлын давтамж m/n нь α-ийн мужид оршдог. to β (хамааруулсан) нь тэнцүү байна

,

(3.9)

Жишээ 3.6.Статистикийн мэдээгээр нярайн дунджаар 87% нь 50 насалдаг байна. 1000 нярайд 50 нас хүртэл амьд үлдэх хувь (давтамж) 0.9-0.95 хооронд байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Шинээр төрсөн хүүхэд 50 наслах магадлал r= 0.87. Учир нь n= 1000 нь том (жишээ нь нөхцөл npq= 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 хангагдсан), тэгвэл бид Лапласын интеграл теоремын 2-р үр дүнг ашиглана. Бид олдог:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

Дүгнэлт 3. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай бол хангалттай олон тооны бие даасан туршилтууд n байвал А үйл явдлын давтамж m/n нь түүний магадлалаас p -ээр ялгаатай байх магадлал. -аас илүүгүйΔ > 0 (үнэмлэхүй утгаараа) тэнцүү байна

.

(3.11)

Жишээ 3.7.Өмнөх асуудлын нөхцлийн дагуу 1000 нярайгаас 50 нас хүртэл амьд үлдсэн хүмүүсийн эзлэх хувь (давтамж) нь энэ үйл явдлын магадлалаас 0.04-ээс ихгүй (үнэмлэхүй утгаараа) ялгаатай байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Лапласын интеграл теоремын 3-р үр дүнг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

= 2Ф(3.76) = 2·0.4999 = 0.9998.

Тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцэх учир энэ үр дүн нь 1000 нярайн 83-91 хувь нь 50 наслах нь бараг тодорхой гэсэн үг. ◄

Өмнө нь бид бие даасан туршилтын хувьд энэ тооны магадлалыг тогтоосон мүйл явдлын тохиолдлууд АВ nТуршилтыг Бернуллигийн томъёогоор олно. Хэрэв nтом бол Лапласын асимптот томъёог ашиглана. Гэсэн хэдий ч, хэрэв үйл явдлын магадлал бага бол энэ томъёо тохиромжгүй ( r≤ 0.1). Энэ тохиолдолд ( nагуу, rбага) Пуассоны теоремыг хэрэглэнэ

Пуассоны томъёо

Теорем. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тэг байх хандлагатай бол (p → 0) туршилтын n тоо (n→ ∞) хязгааргүй ихэссэн тохиолдолд np үржвэр нь тогтмол тоо λ (np → λ) руу чиглэдэг бол А үйл явдал n-д m удаа гарч ирэх магадлал P n (m) болно. бие даасан туршилтууд нь хязгаарын тэгш байдлыг хангадаг

Теорем 2 (Мойвр-Лаплас (орон нутгийн)). Атус бүрт nбие даасан тестүүд тэнцүү байна r nтуршилтын үйл явдал Анэг удаа тохиолдох бөгөөд ойролцоогоор тэнцүү байна (илүү их n, илүү нарийвчлалтай байх тусмаа) функцийн утга

,

Хаана , . Функцийн утгын хүснэгтийг хавсралтад өгсөн болно. 1.

Жишээ 6.5.Бусдын дунд порциний мөөг олох магадлал тэнцүү байна. 300 шаазан мөөгний дотор 75 байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл.Асуудлын нөхцлийн дагуу , . Бид олдог . Хүснэгтээс бид олж мэднэ .

.

Хариулт: .

Теорем 3 (Мойвр-Лаплас (интеграл)).Хэрэв ямар нэгэн үйл явдал болох магадлал Атус бүрт nбие даасан тестүүд тэнцүү байна rбөгөөд энэ нь тэг ба нэгээс ялгаатай бөгөөд тестийн тоо хангалттай их байвал магадлал нь байна nамжилтын тоог шалгадаг мхооронд байна, ойролцоогоор тэнцүү (илүү их n, илүү нарийвчлалтай)

,

Хаана r- шалгалт бүрт амжилтанд хүрэх магадлал, , , утгыг хавсралтад өгсөн болно. 2.

Жишээ 6.6. 768 тарвасны багцад тарвас бүр боловсорч гүйцээгүй байх магадлалтай. Боловсорч гүйцсэн тарвасны тоо 564-600 байх магадлалыг ол.

Шийдэл.Нөхцөлөөр Лапласын интеграл теоремоор

Хариулт:

Жишээ 6.7.Тус хотод өдөр бүр 1000 жуулчин ирдэг бөгөөд өдрийн цагаар үдийн хоол идэхээр гардаг. Тэд бүгд ижил магадлалтай, бие биенээсээ үл хамааран үдийн хоолонд хотын хоёр ресторанаас нэгийг нь сонгодог. Нэг рестораны эзэн түүний ресторанд ирсэн жуулчид ойролцоогоор 0.99-ийн магадлалтайгаар тэнд нэгэн зэрэг хооллохыг хүсч байна. Үүний тулд түүний ресторанд хэдэн суудал байх ёстой вэ?

Шийдэл.Болъё А= "жуулчин сонирхсон эзэнтэй хооллосон." Үйл явдал тохиолдох АҮүнийг "амжилт" гэж үзье. , . Бид энэ хамгийн бага тоог сонирхож байна к, тохиолдох магадлал түүнээс багагүй байна камжилтанд хүрэх магадлал бүхий бие даасан туршилтуудын дарааллаар "амжилт" r= 0.5 нь ойролцоогоор 1 – 0.99 = 0.01-тэй тэнцүү байна. Энэ нь рестораны ачаалал ихтэй байх магадлал өндөр юм. Тиймээс бид энэ хамгийн бага тоог сонирхож байна к, Юу . Мойвр-Лапласын интеграл теоремыг хэрэгжүүлье

Үүнээс үүдэн үүнийг дагадаг

.

Хүснэгтийг ашиглах Ф(X) (Хавсралт 2), бид олж мэднэ , гэсэн үг. Тиймээс ресторан 537 хүний ​​суудалтай байх ёстой.

Хариулт: 537 газар.

Лапласын интеграл теоремоос бид томъёог гаргаж болно

.

Жишээ 6.8. 625 бие даасан туршилт тус бүрт тохиолдох үйл явдлын магадлал 0.8 байна. Үйл явдал тохиолдох харьцангуй давтамж нь түүний магадлалаас үнэмлэхүй утгаараа 0.04-ээс ихгүй хазайх магадлалыг ол.

n бие даасан туршилтын магадлал, тус бүрт үйл явдал тохиолдох магадлал p(0) байна.< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Функцийн утгын хүснэгт φ(x); x-ийн сөрөг утгуудын хувьд ижил хүснэгтийг ашиглана уу (φ (x) функц нь тэгш: φ(-x) = φ(x)).

Жишээ №1. 700 бие даасан туршилт бүрт 0.35 тогтмол магадлал бүхий А үйл явдал тохиолддог. А үйл явдал тохиолдох магадлалыг ол: a) яг 270 удаа; б) 270-аас бага, 230-аас дээш удаа; в) 270-аас дээш удаа.
Шийдэл.Туршилтын тоо n = 700 маш их тул бид Лапласын томъёог ашигладаг.
a) Өгөгдсөн: n = 700, p = 0.35, k = 270.
P 700 (270) -ийг олъё. Бид Лапласын орон нутгийн теоремыг ашигладаг.
Бид олдог:

Хүснэгтээс φ(x) функцийн утгыг олно.

b) Өгөгдсөн: n = 700, p = 0.35, a = 230, b = 270.
P 700 (230< k < 270).
Бид Лапласын интеграл теоремыг (23), (24) ашигладаг. Бид олдог:

Ф(x) функцийн утгыг хүснэгтээс олно.

в) Өгөгдсөн: n = 700, p = 0.35, a = 270, b = 700.
P 700 (k > 270) -ийг олъё.
Бидэнд:

Жишээ №2. Нэхмэлийн үйлдвэрт тогтворжсон технологийн процесст цагт 100 ээрмэл тутамд 10 утас тасардаг. Тодорхойл: а) нэг цагийн дотор 80 буланд 7 утас тасрах магадлалыг; б) нэг цагийн дотор 80 булны утас тасрах хамгийн их магадлалтай тоо.
Шийдэл.Нэг цагийн дотор утас тасрах статистик магадлал нь p = 10/100 = 0.1, тиймээс q = 1 – 0.1 = 0.9; n = 80; k = 7.
n нь том тул орон нутгийн Лаплас теоремыг (23) ашигладаг. Бид тооцоолно:

φ(-x) = φ(x) шинж чанарыг ашиглаад φ(0.37) ≈ 0.3726-г олоод хүссэн магадлалаа тооцоолъё:

Тиймээс нэг цагийн дотор 80 буланд 7 утас тасрах магадлал ойролцоогоор 0.139 байна.
Давтан туршилтын үед тохиолдох үйл явдлын хамгийн их магадлалтай k 0 тоог (14) томъёогоор тодорхойлно. Бид олдог: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

Жишээ №3. Нэг хэсэг нь нэгдүгээр зэрэглэлийн байх магадлал 0.4 байна. 150 ширхэг хийсэн. Тэдний дунд нэгдүгээр зэрэглэлийн 68 хэсэг байх магадлалыг ол.

Жишээ № 4. Бие даасан туршилт бүрт тохиолдох үйл явдлын магадлал нь p.
m туршилт хийвэл үйл явдал n удаа тохиолдох магадлалыг ол.
Гурван чухал тоонд хариултаа танилцуул.
р=0.75, n=87, м=120