Функцийн график мэдэгдэж байгаа бол y = f(kx) функцийн графикийг хэрхэн байгуулах вэ - Knowledge Hypermarket. Хичээл "y = f(x) функцийн график мэдэгдэж байгаа бол y = f(kx) функцийн графикийг хэрхэн зурах вэ?

Видео хичээлд үзүүлсэн материал нь янз бүрийн хувиргалтыг ашиглан функцийн график байгуулах сэдвийн үргэлжлэл юм. Функцийн график хэрхэн дүрслэгдсэнийг бид авч үзэх болно у=е(kx), хэрэв функцийн график мэдэгдэж байгаа бол у=е(x) . Энэ тохиолдолд к- тэгтэй тэнцүү биш аливаа бодит тоо.

Эхлээд хэзээ тохиолдлыг авч үзье к- эерэг тоо. Жишээлбэл, функцийн графикийг байгуулъя у=е(3 x) , Хэрэв функцийн график бол у=е(X)бидэнд байгаа. Зурагт координатын тэнхлэг дээрх графикийг харуулав у=е(X), дээр нь А ба В координаттай цэгүүд байна. Дурын утгыг сонгох Xмөн тэдгээрийг функцэд орлуулах у=е(3 x), харгалзах функцийн утгыг ол цагт. Тиймээс бид функцийн график цэгүүдийг олж авдаг у=е(3 x) Ординатууд нь А ба В цэгүүдийнхтэй ижил A 1 ба B 1. Өөрөөр хэлбэл функцийн графикаас үүнийг хэлж болно. у=е(x) коэффициентээр шахах замаар кординатын тэнхлэгт та функцийн графикийг авч болно у=е(kx) . Шахалтын үед ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд нэг байрандаа хэвээр байдгийг анхаарах нь чухал.

тохиолдолд к- сөрөг тоо, функцийн график у=е(kx) функцийн графикаас хөрвүүлсэн у=е(x) коэффициенттэй у тэнхлэгээс сунах замаар 1/ к.

1) эхлээд функцийн графикийн долгионы хэсгийг зурна у =нүгэлX(зураг харна уу);

2) учир нь к= 2, функцийн график шахагдсан байна у=синксординатын тэнхлэгт шахалтын харьцаа 2. Тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг ол x. Учир нь функцийн график у =нүгэлX x тэнхлэгийг π цэгээр, дараа нь функцийн графиктай огтлолцоно у =нүгэл 2Xπ/k = π/2 цэг дээр х тэнхлэгийг огтолдог функцийн график дээрх бусад бүх цэгүүд ижил төстэй байдлаар олддог у =нүгэл 2xГрафикийг бүхэлд нь эдгээр цэгүүдээс бүтээв.

2-р жишээг авч үзье - функцийн график у =cos(x/2).

1) y = cos функцийн долгионы графикийн хэсгийг байгуулна X(зураг харна уу);

2) учир нь к=1/2, функцийн графикийг сунгана у =нүгэлXординатын тэнхлэгээс ½ коэффициенттэй.

Графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё X. Учир нь функцийн график у =cosX x тэнхлэгийг π/2 цэгээр, дараа нь функцийн графиктай огтлолцоно у =cos(x/2)π цэг дээр x тэнхлэгийг огтолж байна. Үүнтэй адилаар бид функцийн графикийн бусад бүх цэгүүдийг олдог у =cos(x/2), эдгээр цэгүүд дээр үндэслэн графикийг бүхэлд нь байгуулъя.

Дараа нь функцийн график байгуулах сонголтыг авч үзье y= е(kx), Хаана к- тоо сөрөг байна. Жишээлбэл, хэзээ к= -1 функц y= е(kx) = е(- x). Зураг нь графикийг харуулж байна у=е(X),А ба В координаттай цэгүүд байдаг. x-ийн дурын утгыг сонгон функцэд орлуулах замаар y= е(- x), харгалзах функцийн утгыг ол цагт. Функцийн график цэгүүдийг авцгаая y= е(- x) Ординат тэнхлэгтэй харьцуулахад A ба B цэгүүдэд тэгш хэмтэй байх A 1 ба B 1. Өөрөөр хэлбэл, функцийн графикаас ординатын тэнхлэгийн тэгш хэмийг ашиглах үед у=е(kx) Бид функцийн графикийг авна у=е(- x).

Функцийн графикийг үргэлжлүүлье y= е(kx) к дээр<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) графикийн долгионы хэсгийг зуръя у =нүгэлX;

2) учир нь к= 4, суналтын коэффициент 4 байх абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад графикийн хагас долгионыг сунгацгаая;

3) абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй хувиргалт хийх;

4) ордны тэнхлэгээс сунах (суналтын коэффициент 2);

5) графикийг бүхэлд нь барьж дуусгах.

Энэхүү видео зааварт бид функцийн графикийг алхам алхмаар хэрхэн бүтээх талаар дэлгэрэнгүй үзсэн у=е(kx) өөр өөр утгууд дээр к.

Текстийг тайлах:

Өнөөдөр бид y = f (kx) функцийн графикийг хэрхэн зурах талаар сурахад туслах хувиргалттай танилцах болно.

(y нь ka ба х-ийн үржвэрийг илэрхийлэх аргументийн eff-тэй тэнцүү), хэрэв y = f (x) функцийн график мэдэгдэж байгаа бол (y нь х-ийн ef-тэй тэнцүү), энд ka нь ямар ч бодит тоо (тэгээс бусад).

1) Тодорхой жишээн дээр k нь эерэг тоо байх тохиолдлыг авч үзье, k = 3. Өөрөөр хэлбэл, та функцийг зурах хэрэгтэй.

y = f (3x) (y нь гурван х-ийн эффтэй тэнцүү), хэрэв y = f (x) функцийн график мэдэгдэж байгаа бол. y = f (x) функцийн график дээр координат (6; 5), В координат (-3; 2)-тай А цэг байг. Энэ нь f (6) = 5 ба f (- 3) = 2 (зургаагийн ef нь тав, хасах гурвын ef нь хоёр) гэсэн үг юм. y = f (3x) функцийн графикийг байгуулахдаа эдгээр цэгүүдийн хөдөлгөөнийг дагаж мөрдье.

Дурын утгыг х = 2 авъя, y = f (3x) функцын графикт х-ийн утгыг орлуулах замаар y-г тооцоолбол у = 5 гэсэн утгыг гаргана. (дэлгэцэн дээр: y = f (3x) = f) (3∙2)= f ( 6) = 5.) ​​Өөрөөр хэлбэл, y = f (3x) функцийн график дээр A 1 координат (2; 5) цэг байна. Хэрэв x = - 1 бол y = f (3x) функцийн графикт х-ийн утгыг орлуулснаар у = 2 утгыг авна.

(Дэлгэц дээр: y = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

Өөрөөр хэлбэл, y = f (3x) функцийн график дээр B 1 (- 1; 2) координаттай цэг байна. Тэгэхээр y = f (3x) функцийн график дээр у = f (x) функцийн график дээрх ординаттай ижил цэгүүд байгаа бол тухайн цэгийн абсцисса үнэмлэхүй утгаараа хоёр дахин бага байна.

y = f (x) функцийн график руу шилжих үед y = f (x) функцийн график дээрх бусад цэгүүд мөн адил байх болно.

Ерөнхийдөө ийм хувиргалтыг 3-ийн хүчин зүйлээр y тэнхлэгт (y тэнхлэг) шахах гэж нэрлэдэг.

Улмаар y = f (kx) функцийн графикийг y = f (x) функцийн графикаас y тэнхлэгт k коэффициентээр шахаж гаргана. Ийм хувиргалт хийснээр y = f (x) функцийн графикийн ординаттай огтлолцсон цэг байрандаа үлдэнэ гэдгийг анхаарна уу.

Хэрэв k нь нэгээс бага бол бид k-ийн коэффициенттэй шахалтын тухай биш, харин y тэнхлэгээс коэффициенттэй суналтын тухай ярьж байна (өөрөөр хэлбэл k = бол 4-ийн коэффициенттэй суналтын тухай ярьж байна). ).

ЖИШЭЭ 1. y = sin 2x (y нь хоёр х-ийн синустай тэнцүү) функцийн графикийг байгуул.

Шийдэл. Эхлээд тэгээс pi хүртэлх зайд y = sin x графикийн хагас долгионыг байгуулъя. Коэффициент нь хоёртой тэнцүү, энэ нь k нь нэгээс их эерэг тоо гэсэн үг тул y = sin x функцийн графикийг 2-ын коэффициентээр ординатын тэнхлэгт шахах болно. OX тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг ол. . Хэрэв y = sin x функцийн график нь OX тэнхлэгийг π цэгт огтолж байвал y = sin 2x функцийн график (π: k =π: 2 =) цэг дээр огтлолцоно (pi нь pi-д хуваагдсан нь тэнцүү байна) pi-г хоёроор хуваасан нь пи-г хоёрт тэнцүү) . Үүнтэй адилаар бид y = sin2 x функцийн графикийн бусад бүх цэгүүдийг олох болно. Ийнхүү (;1) координаттай y = sin x функцийн график дээрх цэг нь координат (;1) y = sin 2x функцийн график дээрх цэгтэй тохирно. Ийнхүү y = sin 2x функцийн графикийн нэг хагас долгионыг олж авна. Функцийн үечлэлийг ашиглан бид графикийг бүхэлд нь байгуулна.

ЖИШЭЭ 2. y = cos функцийн графикийг байгуул (y нь x ба хоёрын косинустай тэнцүү).

Шийдэл. Эхлээд y = cos x графикийн хагас долгионыг байгуулъя. k нь е нэгдлээс бага эерэг тоо тул y = cos x функцийн графикийг ординатаас 2-ын хүчин зүйлээр сунгана.

OX тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё. y = cos x функцийн график нь OX тэнхлэгийг нэг цэгээр огтолж байвал y = cos функцийн график π цэгт огтлолцоно. (: k =π: = π). Үүнтэй адилаар бид y = cos функцийн график дээрх бусад бүх цэгүүдийг олох болно. Тиймээс бид функцийн хүссэн графикийн нэг хагас долгионыг олж авна. Функцийн үечлэлийг ашиглан бид графикийг бүхэлд нь байгуулна.

k нь хасах нэгтэй тэнцүү байх тохиолдлыг авч үзье. Өөрөөр хэлбэл, y = f (x) функцийн график мэдэгдэж байгаа бол та y = f (-x) функцийн графикийг (y нь хасах х-ийн эффтэй тэнцүү) байгуулах хэрэгтэй. График дээр координат (4; 5) ба В цэг (-5; 1) бүхий А цэг байг. Энэ нь f(4) = 5 ба f(-5) = 1 гэсэн үг юм.

Томъёонд x = - 4-ийн оронд y = f (-x) -ийг орлуулахад y = f (4) = 5 болно, тэгвэл y = f (-x) функцийн график дээр цэг байна. координат A 1

(- 4; 5) (хасах дөрөв, тав). Үүний нэгэн адил y = f (-x) функцийн график нь B 1 (5; 1) цэгт хамаарагдана, өөрөөр хэлбэл y = f (x) функцийн график нь A (4; 5) ба В цэгүүдэд хамаарна. (-5; 1), y = f (-x) функцийн график нь A 1 (- 4; 5) ба B 1 (5; 1) цэгүүдэд хамаарна. Эдгээр хос цэгүүд нь ордны тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

Улмаар y = f (-x) функцийн графикийг ординатын тэнхлэгийг тойрсон тэгш хэмийн хувиргалтыг ашиглан y = f (x) функцийн графикаас гаргаж болно.

3) Эцэст нь k нь сөрөг тоо байх тохиолдлыг авч үзье. f (kx) = f (- |k|x) тэгш байдал (ка-ийн үржвэрээс x-ийн үржвэрийн eff нь ka ба х-ийн хасах модулийн үржвэрийн ef-тэй тэнцүү) тэгш байдал шударга гэж үзвэл бид байгуулах тухай ярьж байна. Алхам алхмаар байгуулж болох y = f (- |k |x) функцийн график:

1) y = f (x) функцийн графикийг байгуулах;

2) баригдсан графикийг |k| коэффициенттэй ординатын тэнхлэгт шахах буюу сунгахад оруулах. (модуль ka);

3) y тэнхлэгт тэгш хэмийн хувиргалт хийх

(Y) графикийн хоёр дахь догол мөрөнд авсан.

ЖИШЭЭ 3. y = 4 sin (-) функцийн графикийг байгуул (y нь 4-ийн синусыг х хассантай тэнцүү).

Шийдэл. Юуны өмнө sin(- t) = -sint (хасах te-ийн синус нь хасах синус те) гэдгийг санаарай, энэ нь y = 4 sin (-) = - 4 син (y нь хасах дөрвөн удаа тэнцүү) гэсэн үг юм. хэсэгчилсэн х-ийн синус хоёр ). Бид үүнийг үе шаттайгаар барих болно:

1) у= sinх функцийн графикийн нэг хагас долгионыг байгуулъя.

2) Баригдсан графикийг x тэнхлэгээс 4-ийн хүчин зүйлээр сунгаж, функцийн графикийн нэг хагас долгионыг авцгаая.

y = 4sinx (E нь 4 дахин синус x-тэй тэнцүү).

3) y= 4sinх функцийн графикийн баригдсан хагас долгионд x(x) тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмийн хувиргалт хийж, y= - 4sinx функцийн графикийн хагас долгионыг ол.

4) y = - 4sinх функцийн графикийн хагас долгионы хувьд ординатын тэнхлэгээс 2-ын коэффициентээр сунгана; Бид функцийн графикийн хагас долгионыг авна - 4 син.

5) Үүссэн хагас долгионыг ашиглан бид графикийг бүхэлд нь байгуулна.

>> Функцийн график мэдэгдэж байгаа бол y = f(kx) функцийн графикийг хэрхэн байгуулах вэ

§13. Функцийн график мэдэгдэж байгаа бол y = f(kx) функцийн графикийг хэрхэн зурах вэ

Энэ хэсэгт бид мэдэх боломжийг олгодог өөр нэг өөрчлөлттэй танилцах болно хуваарь y = f(x) функц, y = f(Ax) функцийн графикийг маш хурдан байгуул, энд k нь дурын бодит тоо (тэгээс бусад). Хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзье.

Даалгавар 1. y = f(x) функцийн графикийг мэдэж, y - f(kx) функцийн графикийг байгуул, k нь эерэг тоо.
Асуудлын мөн чанарыг ойлгоход хялбар болгохын тулд k = 2 үед тодорхой жишээг авч үзье. y = f(x) функцийн график мэдэгдэж байгаа бол y = f(2x) функцийн графикийг хэрхэн байгуулах вэ?

y = f(x) функцийн график (4; 7) ба (-2; 3) цэгүүдтэй байг. Энэ нь f(4) = 7 ба f(-2) = 3 гэсэн үг. y = f(2x) функцийг зурахад цэгүүд хаашаа хөдөлдөг вэ? Харна уу (Зураг 50): хэрэв x = 2 бол y = f(2x) = f(2 2) = f(4) = 7. Энэ нь y = f(2x) функцийн график дээр байна гэсэн үг. цэг (2; 7). Цаашлаад хэрэв x = -1 бол y = f(2x) = D-1-2) = f(-2) = 3. Энэ нь y = f(2x) функцийн график дээр цэг байна гэсэн үг. (-1; 3) . Тэгэхээр y = f(x) функцийн график дээр (4; 7) ба (-2; 3) цэгүүд, y = f(2x) функцийн график дээр (2; 7) цэгүүд байна. ) ба (- 1; 3) , i.e. ижил ординаттай цэгүүд.

харин абсциссаас хоёр дахин бага (үнэмлэхүй утгаараа). y = f(x) функцийн график руу шилжих үед y = f(x) функцийн график дээрх бусад цэгүүд мөн адил байна (Зураг 51). Энэ хувиргалтыг ихэвчлэн 1 коэффициент 2-той у тэнхлэгт шахах гэж нэрлэдэг.

Ерөнхийдөө y = f(kx) функцийн графикийг y-f(x) функцийн графикаас y тэнхлэгт коэффициентээр шахаж гаргана y = f(x) функцийн y тэнхлэг (хэрэв x = 0 бол kx = 0) хэвээр байна.

Гэсэн хэдий ч хэрэв тийм бол< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

Жишээ 1.Функцийн график бүтээх:

Шийдэл: a) y = sin x функцийн хагас долгионы графикийг байгуулж, y тэнхлэгээс 2 коэффициентээр сунгаж үзье; бид функцийн хүссэн графикийн нэг хагас долгионыг олж авна (Зураг 52). Дараа нь бид графикийг бүхэлд нь бүтээх болно (Зураг 53).

б) y = cos x функцийн хагас долгионы графикийг байгуулж, 2-ийн коэффициентээр y тэнхлэгт шахъя; y=cos 2x функцийн хүссэн графикийн нэг хагас долгионыг олж авна (Зураг 54). Дараа нь бид графикийг бүхэлд нь бүтээх болно (Зураг 55).

Даалгавар 2. y = f(x) функцийн графикийг мэдэж, y = f(kx) функцийн графикийг байгуулж, k = -1. Өөрөөр хэлбэл, y = f(-x) функцийн графикийг байгуулах тухай ярьж байна.

y = f(x) функцийн график дээр (3; 5) ба (-6; 1) цэгүүд байна гэж бодъё. Энэ нь f(3) = 5, f(-6) = 1 гэсэн үг юм. Үүний дагуу y = f(-x) функцийн график дээр (-3; 5) цэг байна. томъёо y = f(-x) утгууд x = -3 утгууд нь y = f(3) = 5. Үүний нэгэн адил y = f(-x) функцийн график (6; 1) цэгт хамаарах гэдэгт бид итгэлтэй байна. ).

Тэгэхээр y = f(x) функцийн графикт хамаарах (3; 5) цэг нь y = f(-x) функцийн графикт хамаарах (-3; 5) цэгтэй тохирч байна; y = f(x) функцийн графикт хамаарах (-6; 1) цэг нь y = f(-x) функцийн графикт хамаарах (6; 1) цэгтэй тохирч байна. Эдгээр хос цэгүүд нь у тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна (Зураг 56).

Эдгээр аргументуудыг нэгтгэн дүгнэж үзвэл бид дараах дүгнэлтэд хүрлээ: y = f(-x) функцийн графикийг у тэнхлэгийн тэгш хэмийн хувиргалтыг ашиглан "y = f(x) функцийн графикаас авч болно.

Сэтгэгдэл. y = f(x) функцийн графикийг зурахдаа бид ихэвчлэн y = f(x) функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг шалгадаг. Хэрэв y = f(x) тэгш функц бол, өөрөөр хэлбэл. f(-x)= f(x), тэгвэл y = f(-x) функцийн график y = f(x) функцийн графиктай давхцаж байна. Хэрэв y = f(x) нь сондгой функц бол i.e. f(-x) = -f(x), тэгвэл y = f(-x) функцийн графикийн оронд y = -f(x) функцийн графикийг байгуулж болно.

Даалгавар 3. y = f(x) функцийн графикийг мэдэж, y = f(kx) функцийн графикийг байгуул, k нь сөрөг тоо.
Энэ тохиолдолд f(kx) = f(-\k\x) тэгш байдал үнэн тул y = f(-\k\x) функцийн графикийг байгуулах тухай ярьж байна. Үүнийг гурван үе шаттайгаар хийж болно:

1) y = f (x) функцийн графикийг байгуулах;
2) түүний шахалтыг (эсвэл суналтыг) y тэнхлэг рүү | коэффициентээр гүйцэтгэнэ руу |;
3) шахсан (эсвэл сунгасан) графикийг у тэнхлэгийн тэгш хэмийн хувиргалтанд оруулна.

Жишээ 2. y = -3 cos (~2x) функцийн графикийг байгуул.

Шийдэл.Юуны өмнө cos (-2x) = cos2x гэдгийг анхаарна уу.
1) y = cosx функцын графикийг, эсвэл илүү нарийвчлалтайгаар графикийн нэг хагас долгионыг байгуулъя (Зураг 57а. Бүх урьдчилсан байгууламжийг тасархай шугамаар тэмдэглэв).
2) Баригдсан графикийг x тэнхлэгээс 3-ын хүчин зүйлээр сунгаж үзье; y=3cos x функцийн графикийн нэг хагас долгионыг авна.
3) y = 3 cos x функцийн графикийн баригдсан хагас долгионыг x тэнхлэгийн эргэн тойронд тэгш хэмийн хувиргалтанд оруулъя; y = -3сos x функцийн графикийн хагас долгионыг олж авна.
4) y = -3cos x функцийн графикийн хагас долгионы хувьд y тэнхлэгт 2-ын хүчин зүйлээр шахъя; бид y = -Зсоs2х функцийн графикийн хагас долгионыг (57а-р зураг дээрх хатуу шугам) авна.
5) Үүссэн хагас долгионыг ашиглан бид графикийг бүхэлд нь байгуулна (Зураг 576).

А.Г. Мордкович алгебр 10-р анги

Математикийн хуанли-сэдэвчилсэн төлөвлөлт, видеоматематикийн хичээлээр онлайн, Сургуулийн математик татаж авах

2. 0 бол< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(Зураг 3.8). Тиймээс функцийн графикийг шахаж эсвэл сунгасан байна.

Y Y

y

y

0 x X 0 x X

Цагаан будаа. 3.7 Зураг. 3.8

Дүрэм 2. k > 1. Дараа нь f(kx) функцийн графикийг OX тэнхлэгийн дагуу k дахин шахаж (өөрөөр хэлбэл OY тэнхлэгт шахаж) f(x) функцийн график гарна. k удаа).

0 байг< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Жишээ.Функцийн график байгуулах: 1)
Тэгээд
;

2)
Тэгээд
.

Y Y

p/2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Цагаан будаа. 3.9 Зураг. 3.10

Сэтгэгдэл.Анхаарна уу: хугацаа , OY тэнхлэг дээр хэвтэж, байрандаа хэвээр байна. Үнэн хэрэгтээ f(x) графикийн N(0, y) цэг бүрт нэг цэг таарч байна
график (kx).

Функцийн график
функцийн графикийг сунгах замаар олж авна
OY тэнхлэгээс 2 дахин их. Үүний зэрэгцээ дахин зааж өгнө үү өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна (3.9-ийн муруй (3)).

Функцийн график дүрслэх y=f(-x).

f(x) ба f(-x) функцууд нь х аргументийн эсрэг утгатай тэнцүү утгыг авна. Үүний үр дүнд тэдгээрийн графикуудын N(x;y) ба M(-x;y) цэгүүд нь OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

Дүрэм 3. f(-x)-ийн графикийг байгуулахын тулд f(x) функцийн графикийг OY тэнхлэгт хамааруулан тусгах хэрэгтэй.

Жишээ.График функцууд
Тэгээд
.

Шийдэлүүдийг Зураг дээр үзүүлэв. 3.11 ба 3.12.

Ю
Ю

Цагаан будаа. 3.11 Зураг. 3.12

Функцийн график дүрслэх y=f(-kx), энд k > 0 байна.

Дүрэм 4.Бид 2-р дүрмийн дагуу y=f(kx) функцийн графикийг байгуулна. f(kx) функцийн графикийг дүрмийн дагуу OY тэнхлэгээс толин тусгал хийнэ.

хаягдал 3. Үүний үр дүнд бид f(-kx) функцийн графикийг олж авна.

Жишээ.График функцууд

.

Шийдэлүүдийг Зураг дээр үзүүлэв. 3.13 ба 3.14.

х

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Цагаан будаа. 3.13 Зураг. 3.14

Функцийн график дүрслэх
, энд A > 0. Хэрэв A > 1 бол утга тус бүрийн хувьд
Өгөгдсөн функцийн ординат нь f(x) үндсэн функцийн ординатаас А дахин их байна. Энэ тохиолдолд f(x) графикийг OY тэнхлэгийн дагуу (өөрөөр хэлбэл: OX тэнхлэгээс) А дахин сунгасан байна.

Хэрэв 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в удаа OY тэнхлэгийн дагуу (эсвэл OX тэнхлэгээс).

Дүрэм 5. A > 1. Дараа нь функцийн график
f(x) графикаас OY тэнхлэгийн дагуу (эсвэл OX тэнхлэгээс) А дахин сунгаснаар гарна.

0 байг< A < 1. Тогда график функции
-д шахаж f(x)-ийн графикаас гарна удаа OY тэнхлэгийн дагуу (эсвэл OX тэнхлэгт).

Жишээ.Функцийн график байгуулах 1)
,
ба 2)
,

.

Ю
Ю

2

1

1
0 p/2 p p/3 p x

Цагаан будаа. 3.15 Зураг. 3.16

Функцийн график дүрслэх
.

Хүн бүрт
f(x) функцын N(x,y) цэгүүд болон -f(x) функцийн M(x, -y) цэгүүд нь OX тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй тул бид дүрмийг олж авна.

Дүрэм 6.Функцийн графикийг зурах
Надад хуваарь хэрэгтэй байна
OX тэнхлэгт хамаарах толин тусгал.

Жишээ.График функцууд
Тэгээд
(Зураг 3.17 ба 3.18).

Y Y

1

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

Цагаан будаа. 3.17 Зураг. 3.18

Функцийн график дүрслэх
, энд A>0.

Дүрэм 7.Функцийн график байгуулах
, энд A>0, дүрмийн 5-ын дагуу. Үүссэн графикийг 6-р дүрмийн дагуу OX тэнхлэгээс толин тусгал хийнэ.

Функцийн график дүрслэх
.

Хэрэв B>0 бол тус бүрийн хувьд
өгөгдсөн функцийн ординат нь f(x)-ийн ординатаас B нэгжээр их байна. Хэрэв Б<0, то для каждого
эхний функцийн ординатыг багасгасан Ординеф(х)-тай харьцуулсан нэгж. Тиймээс бид дүрмийг олж авдаг.

Дүрэм 8.Функцийг зурах
y=f(x) графикийн дагуу та энэ графикийг OY тэнхлэгийн дагуу B нэгжээр дээш, хэрэв B>0 бол, эсвэл нэгж буурсан бол B<0.

Жишээ.Функцийн графикийг байгуулах: 1) ба

2)
(Зураг 3.19 ба 3.20).

Ю

2

2

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

Цагаан будаа. 3.19 Зураг. 3.20

Функцийн график байгуулах схем .

Юуны өмнө бид функцийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
болон тэмдэглэнэ
. Дараа нь бид дараах схемийн дагуу функцийн графикийг байгуулна.

Бид f(x) үндсэн функцийн графикийг байгуулна.

1-р дүрмийн дагуу бид f(x-a) графикийг байгуулна.

k-ийн тэмдгийг харгалзан f(x-a) графикийг шахах буюу сунгах замаар 2-4-р дүрмийн дагуу бид f функцийн графикийг байгуулна.

Анхаарна уу: f(x-a) график нь x=a шулуунтай харьцуулахад шахагдсан эсвэл сунгасан байна (яагаад?)

Анхаарна уу: барилгын үе шат бүрт өмнөх график нь үндсэн функцийн графикийн үүрэг гүйцэтгэдэг.

Жишээ.Функцийн график зур
. Херек=-2, тэгэхээр
. Хачирхалтай паритет өгөгдсөн
, бидэнд байна
.

(Зураг 3.21).

π/2

π/2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/2 -π/2

Цагаан будаа. 3.21 Зураг. 3.22

Y Y

π/2

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

Цагаан будаа. 3.23 Зураг. 3.24

Даалгавар 2.

Модулийн тэмдэг агуулсан функцүүдийн графикийг зурах.

Энэ асуудлын шийдэл нь мөн хэд хэдэн үе шатаас бүрдэнэ. Энэ тохиолдолд та модулийн тодорхойлолтыг санах хэрэгтэй.

Функцийн график дүрслэх
.

Эдгээр үнэт зүйлсийн хувьд
, үүний төлөө
, болно
. Тиймээс функцийн графикуудыг энд оруулав
ба f(x) ижил байна. Үүнтэй адил
, үүний төлөө f(x)<0, будет
. Харин -f(x) графикийг f(x) графикаас OX тэнхлэгээс толины тусгалаар гаргаж авдаг. Бид функцийн график байгуулах дүрмийг олж авдаг
.

Дүрэм 9. y=f(x) функцийн графикийг байгуулна. Үүний дараа графикийн тэр хэсэг f(x), хаана
, өөрчлөхгүй орхиж, f(x) гэсэн хэсгийг үлдээнэ үү.<0, зеркально отражаем от оси OX.

Сэтгэгдэл.Хуваарь байгааг анхаарна уу
үргэлж OX тэнхлэгээс дээш байрладаг эсвэл түүнд хүрдэг.

Жишээ.График функцууд

(Зураг 3.24, 3.25, 3.26).

YY

2

Цагаан будаа. 3.25 Зураг. 3.26

Функцийн график дүрслэх
.

Учир нь
, Тэр
, өөрөөр хэлбэл график нь OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй тэгш хэмтэй функц өгөгдсөн.

Дүрэм 10.Бид y=f(x) функцийг цэг дээр зурна
. Бид бүтээгдсэн графикийг OY тэнхлэгээс тусгадаг. Дараа нь олж авсан хоёр муруйны хослол нь функцийн графикийг өгнө
.

Жишээ.График функцууд

(Зураг 3.27, 3.28, 3.29)

Ө Ө Ө

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Цагаан будаа. 3.27 Зураг. 3.28 Зураг. 3.29

Функцийн график дүрслэх
.

Функцийн график байгуулах
10-р дүрмийн дагуу.

Функцийн график байгуулах
9-р дүрмийн дагуу.

Жишээ.График функцууд
Тэгээд
.

Графикийн сөрөг хэсгийг OX тэнхлэгээс тусгана. Хуваарь
Зурагт үзүүлэв. 3.30.

Y Y

2 0 2 x -1 0 1 x

Цагаан будаа. 3.30 Зураг. 3.31

2. Функцийн графикийг байгуул
(Зураг 3.29).

Бид графикийн сөрөг хэсгийг OX тэнхлэгээс тусгадаг. Хуваарь
Зурагт үзүүлэв. 3.31.

Модулийн тэмдэг агуулсан функцийн графикийг зурахдаа функцийн тогтмол тэмдгийн интервалыг мэдэх нь маш чухал юм. Тиймээс асуудал бүрийн шийдэл нь эдгээр интервалуудыг тодорхойлохоос эхлэх ёстой.

Жишээ.Функцийн график зур
.

Тодорхойлолтын хамрах хүрээ. x+1 ба x-1 илэрхийллүүд нь x=-1 ба x=1 цэгүүдэд тэмдэгээ өөрчилдөг. Тиймээс бид тодорхойлолтын хүрээг дөрвөн интервалд хуваадаг.

x+1 ба x-1 тэмдгүүдийг харгалзан үзвэл бид байна

;

;

.

Тиймээс функцийг модулийн тэмдэггүйгээр дараах байдлаар бичиж болно.

Функцүүд
гипербол, y=2 функц нь шулуун шугамтай тохирч байна. Цаашдын барилгын ажлыг цэгүүдээр хийж болно (Зураг 3.32).

Ю

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 х

Сэтгэгдэл. x=0 үед функц тодорхойлогдоогүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ үед функц нь тасалдсан гэж хэлсэн. Зураг дээр. 3.32 үүнийг сумаар тэмдэглэсэн.

Даалгавар 3.Хэд хэдэн аналитик илэрхийллээр тодорхойлогдсон функцийн графикийг зурах.

Өмнөх жишээнд функц
Бид үүнийг хэд хэдэн аналитик хэллэгээр танилцуулсан. Тиймээ, хооронд нь
Энэ нь гиперболын хуулийн дагуу өөрчлөгддөг
; хооронд
, x=0-ээс бусад нь шугаман функц юм; хооронд
Бид дахин хэтрүүлсэн үгтэй боллоо
. Ирээдүйд ижил төстэй функцүүд байнга тулгарах болно. Энгийн жишээг харцгаая.

А өртөөнөөс Б өртөө хүртэлх галт тэрэгний зам гурван хэсгээс бүрдэнэ. Эхний хэсэгт тэрээр хурдыг, өөрөөр хэлбэл интервалаар авдаг
түүний хурд
, Хаана
. Хоёр дахь хэсэгт энэ нь тогтмол хурдтайгаар хөдөлдөг, өөрөөр хэлбэл v=c, if
. Эцэст нь, тоормослох үед түүний хурд байх болно
.
Тиймээс, хооронд нь

хөдөлгөөний хурд нь хуулийн дагуу өөрчлөгддөг

Зэрэгцээ шилжүүлэг.

Y тэнхлэгийн дагуух ОРЧУУЛГА
f(x) => f(x) - b

Та y = f(x) - b функцийн график байгуулахыг хүсч байна гэж бодъё. Энэ графикийн ординатууд нь |b| дээрх x-ийн бүх утгын хувьд байгааг харахад хялбар байдаг b>0 ба |b|-ийн хувьд y = f(x) функцийн графикийн харгалзах орднуудаас нэгж бага. нэгж илүү - b үед 0 эсвэл дээш b үед y + b = f(x) функцийн графикийг зурахын тулд y = f(x) функцийн графикийг байгуулж, х тэнхлэгийг |b| рүү шилжүүлэх хэрэгтэй. нэгж b>0 эсвэл |b|-ээр нэмэгдэнэ нэгж доош b

АББСИС тэнхлэгийн дагуу ШИЛЖҮҮЛЭХ
Та y = f(x + a) функцийг зурахыг хүсч байна гэж бодъё. Хэзээ нэгэн цагт x = x1 y1 = f(x1) утгыг авах у = f(x) функцийг авч үзье. Мэдээжийн хэрэг, y = f(x + a) функц нь x2 цэг дээр ижил утгыг авах бөгөөд координат нь x2 + a = x1 тэгшитгэлээс тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл. x2 = x1 - a бөгөөд авч үзэж буй тэгш байдал нь функцийн тодорхойлолтын мужаас бүх утгуудын нийлбэрт хүчинтэй байна. Иймд y = f(x) функцийн графикийг х тэнхлэгийн дагуу зүүн тийш |a|-аар зэрэгцээ шилжүүлснээр y = f(x + a) функцийн графикийг гаргаж болно. a > 0 буюу баруун тийш |a|-р нэгж a-д зориулсан нэгж y = f(x + a) функцийн графикийг байгуулахын тулд та y = f(x) функцийн графикийг байгуулж, ординатын тэнхлэгийг |a| руу шилжүүлэх хэрэгтэй. a>0 үед баруун тийш нэгж эсвэл |a| зүүн талд нь нэгж

Жишээ нь:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Тусгал.

Y = F(-X) ХЭЛБЭРИЙН ФУНКЦИЙН ГРАФИК БАРИХ

f(x) => f(-x)
y = f(-x) ба y = f(x) функцууд абсциссууд нь үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү боловч тэмдгээр эсрэгээрээ ижил утгатай байх нь ойлгомжтой. Өөрөөр хэлбэл х-ийн эерэг (сөрөг) утгуудын муж дахь y = f(-x) функцийн графикийн ординатууд нь y = f(x) функцийн графикийн ординатуудтай тэнцүү байх болно. үнэмлэхүй утга дахь х-ийн харгалзах сөрөг (эерэг) утгуудын хувьд. Тиймээс бид дараах дүрмийг олж авна.
y = f(-x) функцийг зурахын тулд y = f(x) функцийг зурж, ординаттай харьцуулан тусгах хэрэгтэй. Үүссэн график нь y = f(-x) функцийн график юм.

Y = - F(X) ХЭЛБЭРИЙН ФУНКЦИЙН ГРАФИК БАРИХ

f(x) => - f(x)
Аргументийн бүх утгуудын y = - f(x) функцийн графикийн ординатууд нь үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү боловч y = f(x) функцийн графикийн ординатуудын тэмдгээр эсрэгээрээ байна. аргументийн ижил утгууд. Тиймээс бид дараах дүрмийг олж авна.
y = - f(x) функцийн графикийг зурахын тулд y = f(x) функцийн графикийг х тэнхлэгтэй харьцуулан тусгах хэрэгтэй.

Жишээ нь:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Деформаци.

У тэнхлэгийн ДАГУУ ГРАФИК ГЭВШҮҮЛЭЛТ

f(x) => k f(x)
y = k f(x) хэлбэрийн функцийг авч үзье, энд k > 0. Аргументийн утга тэнцүү байх үед энэ функцийн графикийн ординатууд нь ординатуудаас k дахин их байх болно гэдгийг харахад хялбар байдаг. k > 1-ийн хувьд y = f(x) функцийн график эсвэл k-ийн хувьд y = f(x) функцийн графын ординатаас 1/k дахин бага y = k f(x) функцийн графикийг байгуулах. ), та y = f(x) функцын графикийг байгуулж, k > 1 үед ординатыг нь k дахин нэмэгдүүлэх (графыг ординатын тэнхлэгийн дагуу сунгах) эсвэл k дээр ординатыг 1/k дахин багасгах хэрэгтэй.
k > 1- Үхрийн тэнхлэгээс сунах
0 - OX тэнхлэг рүү шахах

ХИЙГЛИЙН тэнхлэгийн ДАГУУ ГРАФИК ГЭВШҮҮЛЭЛТ

f(x) => f(k x)
k>0 y = f(kx) функцийн график байгуулах шаардлагатай байг. Дурын x = x1 цэг дээр y1 = f(x1) утгыг авах y = f(x) функцийг авч үзье. y = f(kx) функц нь координат нь x1 = kx2 тэгшитгэлээр тодорхойлогддог x = x2 цэг дээр ижил утгыг авах нь ойлгомжтой бөгөөд энэ тэгшитгэл нь бүх утгуудын нийлбэрт хүчинтэй байна. функцийн тодорхойлолтын мужаас x. Үүний үр дүнд y = f(kx) функцийн график нь y = f(x) функцийн графиктай харьцуулахад абсцисса тэнхлэгийн дагуу шахагдсан (k 1-ийн хувьд) болж хувирна. Тиймээс бид дүрмийг олж авдаг.
y = f(kx) функцийн графикийг байгуулахын тулд y = f(x) функцийн графикийг байгуулж, k>1-ийн хувьд абсциссуудыг k дахин багасгах (абсцисса тэнхлэгийн дагуу графикийг шахах) эсвэл нэмэгдүүлэх шаардлагатай. k-ийн хувьд түүний абсциссуудыг 1/k дахин нэмэгдүүлнэ
k > 1- Ой тэнхлэг рүү шахах
0 - OY тэнхлэгээс сунах